高三数学-2016届高三上学期11月期中考试文科数学试题

300CP2016届高三文科数学11月期中考试一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设集合{}|0A x x =>，{}|1B x x =≤，则A B =__________。

R2．若2()af x kx -=（k a ∈R ，）为幂函数，且()f x 的图象过点(21)，，则k a +的值为 ． 13．已知直线1:60l x ay ++=和2:(2)320l a x y a -++=，则12//l l 的充要条件是a = ﹣1 ． 4．若曲线ln x y x=在0x x =处的切线斜率为0，则实数0x 的值为 ．e5．已知函数11(),0,()2(1),0,x x f x f x x -⎧≤⎪=⎨⎪->⎩ 则2(1log 3)f += ．836．将函数sin (0)y x ωω=>向左平移6π个单位,平移后的图像如图所示,则平移后图像所对应的函数解析式为 sin(23y x π=+7．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且21243723,4a a a a a +=={}n a 的通项公式为 ．32n na = 8.下列说法中正确的个数为 2 .①命题：“若0a <，则20a ≥”的否命题是“若0a ≥，则20a <”； ②若复合命题“p q ∧”为假命题,则,p q 均为假命题；③“三个数,,a b c 成等比数列”是“b = ④命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.9．在锐角△ABC 中，若tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，则tan tan A C 的值为 ．3 10.正方形ABCD 的中心为（3,0），AB 所在直线的方程为220x y -+=，则正方形ABCD 的外接圆的方程为___________________ 11．已知正实数,a b 满足2291a b +=，则3aba b +的最大值为 .12212．如图,,,A B C 是直线上三点,P是直线外一点,1==BC AB ,︒=∠90APB ,︒=∠30BPC ,则PA PC ⋅ =________.74-13.设函数32().x x a f x x x a ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤，，，若存在实数b ，使得()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．0a <或1a > 14.已知数列{}n a 满足123()4n n n a a n N a *++=∈+,设(,,n n n a b n N a λλμμ*-=∈-为均不等于2的且互不相等的常数），若数列{}n b 为等比数列，则λμ⋅的值为______________． 3- 二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题满分14分）在直角坐标系xoy 中，不共线的四点,,,A B C D 满足AB DC =，且(1,2)AC = ，(3,4)DB =，求： （1）,AB AD的坐标；（2）四边形ABCD 的面积。

16.（本题满分14分）设向量a (2cos ,2sin )x x =-,b (3cos )x x =,()f x =a ⋅b . (1)求函数()f x 的单调增区间和图像的对称中心坐标；(2)在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()0,1f C c ==,求a b +的取值范围。

解: (1)2()6cos cos )36f x x x x x π=-=++所以()f x 的单调增区间为7[,]()1212k k k Z ππππ--∈,对称中心为(,3)()26k k Z ππ+∈. (2)由()0f C =,得cos(2)6C π+= ,C 为锐角∴752,266666C C πππππ<+<∴+=,3C π=. 由正弦定理得,a b +=2sin sin()sin sin 3sin sin 3A A a b A Bc c Cππ+-++==1sin )2sin()26A A A A π=+=+ABC ∴∆是锐角三角形,0,220,32A A πππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩得62A ππ<<.所以sin()6A π+∈, 从而a b +的取值范围为17.（本题满分14分）如图所示,有一块半径长为1米的半圆形钢板,现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ,设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米.(I)按下列要求写出函数关系式:①设2CD x =(米),将y 表示成x 的函数关系式; ②设()BOC rad θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式. (II)求梯形部件ABCD 面积y 的最大值.【答案】解:如图所示,以直径AB 所在的直线为x 轴,线段AB 中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系,过点C 作AB CE ⊥于E ,(I)①∵2CD x =,∴(01)OE x x =<<,CE =∴11()(2222y AB CD CE x =+⋅=+(11)x x =+<<②∵(0)2BOC θθπ∠=<<,∴cos ,sin OE CE θθ==,∴11()(22cos )sin (1cos )sin 22y AB CD CE θθθθ=+⋅=+=+(0)2θπ<<,(说明:若函数的定义域漏写或错误,则一个扣1分)(II)(方法1)∴y ==令43221t x x x =--++,则32322'4622(231)2(1)(21)t x x x x x x =--+=-+-=-+-, 令'0t =,12x =,1x =-(舍)∴当102x <<时,'0t >,∴函数在(0,12)上单调递增,当112x <<时,'0t <,∴函数在(12,1)上单调递减,所以当12x =时,t 有最大值2716,max y答:梯形部件ABCD 平方米.(方法2)21'(1)2y x =+⨯=, 令'0y =,∴2210x x +-=,(21)(1)0x x -+=,∴12x =,1x =-(舍).∴当102x <<时,'0y >,∴函数在(0,12)上单调递增,当112x <<时,'0y <,∴函数在(12,1)上单调递减,所以当12x =时, max y =答:梯形部件ABCD 平方米.(方法3)∴'[(sin sin cos )]'(sin )'(sin cos )'y θθθθθθ=+=+⋅22cos cos sin θθθ=+-22cos cos 1θθ=+-,令'0y =,得1cos 2θ=,即3θπ=,cos 1θ=-(舍),∴当03θπ<<时, '0y >,∴函数在(0,)3π上单调递增, 当32θππ<<时,'0y <,∴函数在(,)32ππ上单调递减 , 所以当3θπ=时,max y = 答:梯形部件ABCD 面积的最大值为433平方米.18．（本题满分16分）已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=,直线l 的方程为20x y -=,点P在直线l 上,过P 点作圆M 的切线,PA PB ,切点为,A B . (1)若︒=∠60APB ,试求点P 的坐标;(2)若P 点的坐标为(2,1),过P 作直线与圆M 交于,C D 两点,当2=CD 时,求直线CD 的方程;(3)经过,,A P M 三点的圆是否经过异于点M 的定点,若经过,请求出此定点的坐标;若不经过,请说明理由.【答案】,解:(1)设(2,)P m m ,由题可知2MP =,所以22(2)(2)4m m +-=,解之得:40,5m m ==, 故所求点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55P .(2)设直线CD 的方程为:1(2)y k x -=-,易知k 存在,由题知圆心M 到直线CD 的距离为2,所以2=解得,1k =-或17k =-,ks.5u 故所求直线CD 的方程为:30x y +-=或790x y +-=.( ) (3)设(2,)P m m ,MP 的中点(,1)2mQ m +,因为PA 是圆M 的切线 所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心,以MQ 为半径的圆, 故其方程为:2222()(1)(1)22m mx m y m -+--=+- 化简得:0)22(222=-+--+y x m y y x ,此式是关于m 的恒等式,故解得02x y =⎧⎨=⎩或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5254y x 所以经过,,A P M 三点的圆必过异于点M 的定点)52,54(19．（本题满分16分）已知0>a ,）1ln(12)(2+++-=x x ax x f ,l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线.(Ⅰ)求l 的方程;(Ⅱ)若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点,求a 的值;(Ⅲ)证明对任意的n a =)(*N n ∈,函数)(x f y =总有单调递减区间,并求出)(xf单调递减区间的长度的取值范围.(区间],[21x x 的长度=12x x -)【答案】1)0(),1ln(12)(2=+++-=f x x ax x f ,11)22(21122)(2'+--+=++-=x x a ax x ax x f ,1)0('-=f ,切点)1,0(P ,l 斜率为1-.∴切线l 的方程:1+-=x y(Ⅱ)切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点等价于方程1)1ln(122+-=+++-x x x ax 有且只有一个实数解.令)1ln()(2++-=x x ax x h ,则0)(=x h 有且只有一个实数解. ∵0)0(=h ,∴0)(=x h 有一解0=x .1)]121([21)12(21112)(2'+--=+-+=++-=x a x ax x xa ax x ax x h ①)(),1(01)(,212'x h x x x x h a ->≥+==在),1(+∞-上单调递增, ∴0=x 是方程0)(=x h 的唯一解; ②0)(,10'=<<x h a ,011,021>-==x x )∴0)1ln()(,0)0()12(2>++-⨯==<-a a aa a h h a h , ∴方程0)(=x h 在),121(+∞-a上还有一解.故方程0)(=x h 的解不唯一; ③当0)(,21'=>x h a ,)0,1(121,021-∈-==ax x∴0)0()12(=>-h ah ,而当1->x 且x 趋向-1时,)1ln(,12++<-x a x ax 趋向∞-,)(x h 趋向∞-.∴方程0)(=x h 在)1211(--a，上还有一解.故方程0)(=x h 的解不唯一. 综上,当l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点时,21=a . (Ⅲ)11)22(2)(2'+--+=x x a ax x f ;∵,1->x ∴)('<x f 等价于01)22(2)(2<--+=x a ax x k .∵)1(48)22(22>+=+-=∆a a a ,对称轴12121422->+-=--=aa a x ,011)22(2)1(>=---=-a a k ,∴0)(=x k 有解21,x x ,其中211x x <<-.∴当),(21x x x ∈时,0)('<x f .所以)(x f y =的减区间为],[21x x22122121211214)222(4)(aa a a x x x x x x +=⨯+--=-+=- 当)(*N n n a ∈=时,区间长度21211n x x +=-21112=+≤ ∴减区间长度12x x -的取值范围为2,1(]20．（本题满分16分）己知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，数列{}n b 是等比数列． （1）若()1n n n n c a a b +=-（n ∈N *），求证：{}n c 为等比数列；（2）设n n n b a c =（n ∈N *），其中n a 是公差为2的整数项数列，nn b ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1312，若1234516842c c c c c >>>>，且当17n ≥时，{}n c 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式； （3）若数列{}n c 使得⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n c b a 是等比数列，数列{}nd 的前n 项和为n nn c c a -，且数列{}n d 满足：对任意2n ≥，n ∈N *,或者0n d =恒成立或者存在正常数M ，使M d Mn <<1恒成立，求证：数列{}n c 为等差数列．（1）证明：1()n n n n c b a a +=-，设{}n a 公差为d 且0d ≠，{}n b 公比为q ，⇒112111()()n n n n n n n n n nc b a a b q c b a a b ++++++-===-=常数，{}n c ∴为等比数列………3分 （2）由题意得：12n n c c +>对1,2,3,4n =恒成立且1+>n n c c 对17n ∀≥恒成立，…5分)2(1312t n b a c nn n n +⋅⎪⎭⎫⎝⎛==n t t n t n nn 282414)2(13122)22(13121-<⇒+⎪⎭⎫⎝⎛>++⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒+对4,3,2,1=n 恒成立744-<⇒t ………… ……7分 )22(1312)2(13121++⎪⎭⎫ ⎝⎛>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+t n t n n nn t 224->⇒对17n ≥恒成立10t ⇒>- ………… ……9分44107t ∴-<<-而9,8,7t Z t ∈⇒=--- 27n a n ⇒=-或28n a n =-或29n a n =-. ………… ……10分（3）证明：设22112211,nn nn n n n n n a b A q b A q A q a c c A q ⎛⎫==⇒=⋅ ⎪⎝⎭不妨设A A A =12，n nn c Aq a q q q ⋅=⇒=1211n nn n n i i n Aq c c d Aq c =-⇒==-∑()1111(1)(2)nn n n i i i i d d d A q q n --==⇒=-=-≥∑∑，即1)1(--=n n qq A d (2)n ≥. ………… ……13分若1=q ，满足)2(0≥=n d n ， 若1>q ，则对任给正数M ，则n 取(log ,)(1)qMA q +∞-内的正整数时，M d n >，与M d Mn <<1矛盾. 若10<<q ，则对任给正数T =1M ，则n 取))1((log ∞+-q A T q 内的正整数时T d n <=1M ，与M d Mn <<1矛盾. 1=∴q ，n n Ac a =∴而n a 是等差数列，设公差为d '，111()n n n n d c c a a A A++'∴-=-=为定值，n c ∴为等差数列. ………… ……16分。