江苏省2015年高考文科数学复习课件 数学思想方法篇 专题4 转化与化归是解决问题的核心

题型三
函数、方程、不等式之间的转化
所以函数f(x)在(1,2－a)上单调递减，在(2－a,2)上单调递增．
a 所以函数 f(x)在[1,2]上的最小值为 f(2－a)＝ (2－a)2，最大 6 1 a 2 － ， a 值为 max{f(1)，f(2)}＝max . 3 6 3
题型二
传统知识与向量间的转化
破题切入点
根据题目中的条件， 结合向量的有关运算， 取 F2P 的 → → → → 中点 M，可以得到OM⊥F2P，从而得到F1P⊥PF2，再结 合双曲线的定义即可得到 a 与 c 的关系， 从而求出双曲线 的离心率.
题型二
传统知识与向量间的转化
→ → → 则OP＋OF2＝2OM. → → → → 又由已知得OM· F2P＝0，∴OM⊥F2P. → → 又 OM 为△F2F1P 的中位线，∴F1P⊥PF2. → → → → 在△PF1F2 中，2a＝|PF1|－|PF2|＝( 3－1)|PF2|，2c＝2|PF2|. 2 ∴ e＝ ＝ 3＋1.转化
例2
x 2 y2 设 F1，F2 分别是双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的左，右焦 a b
→ → → 点，若双曲线右支上存在一点 P，使(OP＋OF2)· F2P＝0，O 为 → → 坐标原点， 且|PF1|＝ 3|PF2|， 则该双曲线的离心率为________．
{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
破题切入点
A∩B≠∅，所以A是方程x2－4mx＋2m＋6＝0①的实数解组成 的非空集合，并且方程①的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负 根和一零根； (3)一负根和一正根．分别求解比较麻烦，我们可 以从问题的反面考虑，采取 “ 正难则反 ” 的解题策略，即先由 Δ≥0，求出全集U，然后求①的两根均为非负时m的取值范围， 最后利用“补集思想”求解．
2 a a 2 1 所以当 0<a≤ 时，必有 2× (2－a) > － ， 5 6 3 6
2 2 2 结合 0<a≤ 可解得 1－ <a≤ ； 5 2 5
2 a 2 2 当 <a<1 时，必有 2× (2－a) > a， 5 6 3
题型三
函数、方程、不等式之间的转化
题型一
解
正难则反的转化
设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，
3 即 U＝{m|m≤－1 或 m≥ }． 2 若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均为非负，
m∈U， 3 则x1＋x2＝4m≥0，⇒m≥ ， 2 x1x2＝2m＋6≥0
所以，使A∩B≠∅的实数m的取值范围为{m|≤－1}．
(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题
的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和
依据．
(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符
合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其
推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．
(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的
解析 如图，取F2P的中点M，
答案
3＋1
题型三
例 3
函数、方程、不等式之间的转化
1 3 a 4 2 4 2 已知函数 f(x)＝ x ＋ － x ＋ － ax(0<a<1 ， x ∈ 3 2 3 3 3
R)．若对于任意的三个实数 x1，x2，x3∈[1,2]，都有 f(x1)＋ f(x2)>f(x3)恒成立，求实数 a 的取值范围．
2 1 a 2 因为当 0<a≤ 时， － ≥ a； 5 3 6 3
2 2 1 a 当 <a<1 时， a> － ， 5 3 3 6
题型三
函数、方程、不等式之间的转化
由对任意x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，
得2f(x)min>f(x)max(x∈[1,2])．
具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函
数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与
平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形
结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方 程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近 主干知识之间的互化，注重知识的综合性． 转化与化归思想的原则 (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将 未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知 识、经验和问题来解决．
破题切入点 恒成立问题的解决往往和最值联系在一起，将已知不等式恒成 立准确转化为关于函数f(x)在[1,2]上的最大值和最小值问题，同时 要注意函数f(x)在[1,2]上的最大值不能直接由函数的图象得到，而 必须讨论f(1)与f(2)的大小关系．
题型三
解
函数、方程、不等式之间的转化
2
因为 f′(x)＝ x
4 2 8 2 ＋a－ x＋ － a＝x－ (x＋ a－ 2)， 3 3 3 3
所以令f′(x)＝0，
2 解得 x1＝ ，x2＝2－a. 3 由0<a<1，知1<2－a<2.
2 所以令 f′(x)>0，得 x< ，或 x>2－a； 3 2 令 f′(x)<0，得 <x<2－a， 3
专题4 转化与化归是解决问题的核心
方法精要
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采 用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的
一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问
题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决
的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想是实现
反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．
典例剖析
精题狂练
典例剖析 题型一 正难则反的转化
题型二 传统知识与向量间的转化
题型三 题型四 函数、方程、不等式之间的转化 以换元为手段的转化与化归
题型一
例1
正难则反的转化
已 知 集 合 A ＝ {x∈R|x2 － 4mx ＋ 2m ＋ 6 ＝ 0} ， B ＝