辽宁省沈阳市第二中学2016届高三暑假验收考试数学(文)试题

沈阳二中2015-2016学年度上学期暑假验收
高三（16届）数学试题(文科)
命题人： 高三数学组 审校人：高三数学组
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.
第Ⅰ卷 （60分）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知α为第二象限角，3
sin 5
α=
，则sin 2α=（ ） A ．2425-
B ．1225-
C ．1225
D ．2425 2．指数函数y ＝f(x)的反函数的图象过点(2，－1)，则此指数函数为（ ）
A ．x y )2
1
(=
B ．x y 2=
C ．x y 3=
D ．x y 10=
3．设的大小关系是、、，则，，c b a c b a 243.03.03log 4log -===（ ）
A ．a <b <c
B ．a <c <b
C ．c <b <a
D ．b <a <c
4.函数)3
2sin(3)(π
-=x x f 的图象为C ，以下三个命题中，正确的有（ ）个
①图象C 关于直线
对称; ②函数)(x f 在区间
内是增函数;
③由x y 2sin 3=的图象向右平移个单位长度可以得到图象C .
A.0
B.1
C.2
D.3
5.下列命题错误的是（ ）
A ．对于命题R x p ∈∃:，使得012<++x x ，则p ⌝为：R x ∈∀，均有012≥++x x
B ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ， 则0232≠+-x x ”
C ．若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题
D ．“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件
6．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足：(4)()f x f x +=--，且02x <≤时，
2()log (3)f x x =+，则(11)f =（ ）
A ．2
B ．2-
C ．1
D ．1-
7.已知函数11
()(sin cos )sin cos 22
f x x x x x =
+--,则()f x 的值域是（ ）
A ．[]
1,1-
B ．⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．⎡-⎢⎣⎦
D ．1,⎡-⎢⎣
⎦ 8.现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2x y x =⋅的图象
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A.①④②③
B.①④③②
C.④①②③
D.③④②① 9.已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ． 最小正周期为
2π
的奇函数
C ．最小正周期为π的偶函数
D ． 最小正周期为2
π
的偶函数
10．已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ）
A ．0x ∃∈R,0()0
f x =
B.函数()y f x =的图像是中心对称图形
C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减
D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x = 11．若y x y x +-=，则2log 的最小值为（ ）
A ．33
22
B ．23
33
C ．332
D ．223
12．已知函数32
()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范
围是（ ）
A ．()2,+∞ （
B ）()1,+∞ （
C ）(),2-∞- （
D ）(),1-∞-
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．在平面直角系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α、β的终边分别与单位圆 交于点125(
,)1313和34
(,)55
-，那么sin cos αβ等于 . 14．设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=
x x x x f ，其中⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡π∈θ650，，则导数()1-'f 的取值范围是 。

15．若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,2
1
(-
内单调递增，则a 的取值范围是 。

16. 已知函数322()(,)f x x ax bx a a b R =+++∈若函数()1f x x =在处有极值10，则b 的 值为 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
已知m R ∈，命题:p 对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立； 命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立
（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；
（2）当1a =，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围。

18．（本小题满分12分）已知函数2
1
(2cos 1)sin 2cos 42
f x x x x =-+（
）. (1)求f x （）的最小正周期及最大值;
(2)若(
,)2
π
απ∈,且2
f α=
（）,求α的值. 19．（本小题满分12分）已知函数)(2
1ln )(2
R m x x m x f ∈-=满足1)1('=f . （1）求m 的值及函数)(x f 的单调区间；
（2）若函数)32
1
()()(2
c x x x f x g +--=在]3,1[内有两个零点，求实数c 的取值范围.
20．（本小题满分12分）
已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>. (1)令1ω=,判断函数()()(2
F x f x f x π
=++
的奇偶性并说明理由;
(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移
6
π
个单位,再往上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像.对任意的a R ∈,求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有
可能值.
21．（本小题满分12分）
请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示
的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x cm
（1）某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2
）最大，试问x 应取何值？
（2）某广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的
高与底面边长的比值。

22．（本小题满分12分）
已知函数()ln f x ax x =+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数. （1）求()f x 的单调区间；
（2）若0a <，且()f x 在区间(]0,e 上的最大值为2-，求a 的值；
（3）当1a =-时，试证明：1()ln 2
x f x x x >+.
沈阳二中2015-2016学年度上学期暑假验收
高三（16届）数学试题(文科)答案
一. 选择题
二. 填空题
13.-15/65 14. ]6,3[ 15. )1,4
3[ 16.-11
三. 解答题 17（Ⅰ）
对任意[]0,1x ∈不等式2
223x m m -≥-恒成立
2min (22)3x m m ∴-≥-，即2
32m m -≤-解得12m ≤≤，即p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2………………………………5分 （Ⅱ）1,a =且存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立1m ∴≤，即命题q 满足1m ≤。

p 且q 为假，p 或q 为真∴q 、p 一真一假
当p 真q 假时，则12
,1m m ≤≤⎧⎨
>⎩
即12m <≤
当p 假q 真时，则1?ò2
,1
m m m <>⎧⎨
≤⎩即1m <，
综上所述，1m <或12m <≤…………………………10分
18解:( 1)因为2
1(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（
）=1
cos 2sin 2cos 42
x x x +
=
1(sin 4cos 4)2x x +)4x π+,所以()f x 的最小正周期为2π,
(2)
因为2
f α=（）,所以sin(4)14πα+=. 因为(,)2παπ∈,
所以9174(
,)4
44π
ππα+∈,所以5442ππα+=,故916
π
α=.
19.解：（1）函数2
2
1ln )(x x m x f -
=的定义域是),0(+∞． ……………………1分 x x
m
x f -=
)(/ ，由1)1(/=f 得11=-m ， 2=∴m 即x
x x x x f 2
/
22)(-=-=． ………………………………2分
令0)(/=x f 得：2=
x 或2-=x （舍去）．………………………3分
当)2,0(∈x 时，0)(/>x f ，)(x f ∴在)2,0(上是增函数； 当),2(+∞∈x 时，0)(/<x f ，)(x f ∴在),2(+∞上是减函数．
∴函数)(x f 的增区间是)2,0(，减区间是),2(+∞.
（2）由（1）可知2
2
1ln 2)(x x x f -
=， ∴c x x x x g -+-=3ln 2)(2
，
∴x
x x x x x g 2
32322)(2/
++-=+-=.
令0)(/
=x g 得：2=x 或2
1
-
=x （舍去）. 当)2,1[∈x 时，0)(/
>x g ，则)(x g 在)2,1[上单调递增； 当]3,2(∈x 时，0)(/
<x g ，则)(x g 在]3,2(上单调递减.
又∵函数)(x g 在]3,1[有两个零点等价于： ⎪⎩⎪
⎨⎧≤>≤0)3(0)2(0)1(g g g ，
∴⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-03ln 2022ln 202c c c 22ln 23ln 23ln 222ln 22+<≤⇒⎪⎩⎪
⎨⎧≥+<≥⇒c c c c ， ∴实数c 的取值范围是)22ln 2,3ln 2[+．
20解:(1)()2sin 2sin()2sin 2cos )24
F x x x x x x π
π
=++
=+=+ ()F x 是非奇函数非偶函数.
∵()0,()44F F π
π-
==∴()(),()()4444
F F F F ππππ
-≠-≠-
∴函数()()()2
F x f x f x π
=++
是既不是奇函数也不是偶函数.
(2)2ω=时,()2sin 2f x x =,()2sin 2()12sin(2)163
g x x x π
π
=++=++,
其最小正周期T π=
由2sin(2)103x π
+
+=,得1
sin(2)32x π+=-, ∴2(1),36k x k k Z πππ+=--⋅∈,即(1),2126
k k x k Z πππ=--⋅-∈ 区间[],10a a π+的长度为10个周期,
若零点不在区间的端点,则每个周期有2个零点;
若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点,其它区间仍是2个零点; 故当(1),2126
k k a k Z πππ
=
--⋅-∈时,21个,否则20个.
21.解：设馐盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），由已知得
.300),30(22
260,2<<-=-=
=x x x
h x a
（1）,1800)15(8)30(842
+--=-==x x x ah S 所以当15=x 时，S 取得最大值.
（2）).20(26),30(22222x x V x x h a V -='+-== 由00=='x V 得（舍）或x=20.
当)20,0(∈x 时，.0)30,20(;0<'∈>'V x V 时当 所以当x=20时，V 取得极大值，也是最小值. 此时1122h a =即装盒的高与底面边长的比值为1
.2
22. 解：（1）11
()ax f x a x x
+'=+
= 当0a ≥时，()0f x '>恒成立，故()f x 的单调增区间为()0,+∞
当0a <时，令()0f x '>解得10x a <<-，令()0f x '<解得1
x a
>-，故()f x
的单调增区间为10,a ⎛
⎫-
⎪⎝⎭，()f x 的单调减区间为1,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
………………4分 （2）由（1）知
当1e a -
≥，即1
a e
≥-时，()f x 在(]
0,e 上单调递增，
m
i n
()()10
f x f e a e ∴==+≥舍； 当10e a <-
<，即1a e <-时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1,e a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上递减， min 11
()()1ln()2f x f a a =-=-+-=-，得a e =-………………8分
（3）即要证明ln 1
()2
x f x x >+ 由（Ⅰ）知，当1a =-时，max ()(1)1,()1f x f f x ==-∴≥， 又令2
ln 11ln (),()2x x x x x x ϕϕ-'=
+=， 故()x ϕ在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，
故11
()()12x e e ϕϕ≤=
+< 即证明ln 1
()2
x f x x >+………………12分。