【创新设计】高中数学 2.2.2椭圆的简单几何性质课时作业付参考答案 新人教A版选修2-1
【创新设计】高中数学(人教版选修2-1)配套练习：2.2.2椭圆的简单几何性质(含答案解析)
2.2.2 椭圆的简单几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b 2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45 B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22C.2－1D.225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．0A ．(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于______．9．椭圆E ：x 216＋y 24＝1内有一点P(2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为____________． 三、解答题 10.如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2c (c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e.11．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．能力提升12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.1313．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F 1(－3，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用． 3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．2.2.2 椭圆的简单几何性质知识梳理 1.作业设计1．B [先将椭圆方程化为标准形式：x 29＋y 225＝1，其中b ＝3，a ＝5，c ＝4.] 2．A 3.B4．A [由(a ＋c)2＝a 2＋2b 2＋c 2， ∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋ac －a 2＝0， ∵e ＝ca ，∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝－1＋52.]5．B [∵4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4. ∴点P(m ，n)在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．]∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部， 设点P 为椭圆上任意一点，则|OP|>c 恒成立， 由椭圆性质知|OP|≥b ，其中b 为椭圆短半轴长， ∴b>c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴⎝⎛⎭⎫c a 2<12，∴e ＝c a <22.又∵0<e<1，∴0<e<22.] 7.x 245＋y 236＝1 解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，将点(－5,4)代入得25a 2＋16b2＝1，又离心率e ＝c a ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，解之得a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.8.255解析 由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝c a ＝255.9．x ＋2y －4＝0解析 设弦的两个端点为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2116＋y 214＝1x 2216＋y 224＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k MN ＝－12，由点斜式可得弦所在直线的方程为y ＝－12(x －2)＋1，即x ＋2y －4＝0.10．解 依题意知H ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0，F(c,0)，B(0，b)．设P(x P ，y P )，且x P ＝c ，代入到椭圆的方程， 得y P ＝b 2a.∴P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .∵HB ∥OP ，∴k HB ＝k OP ，即b －00＋a 2c ＝b 2a c.∴ab ＝c 2. ∴e ＝c a ＝b c ，∴e 2＝a 2－c 2c 2＝e －2－1.∴e 4＋e 2－1＝0.∵0<e<1，∴e ＝5－12. 11．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0. 解得－52≤m≤52. (2)设直线与椭圆交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝15(m 2－1)．设弦长为d ，且y 1－y 2＝(x 1＋m)－(x 2＋m)＝x 1－x 2， ∴d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2. ∴当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x. 12．B [由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2， ∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac.∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0. ∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．]13．解 (1)∵a ＝2，c ＝3，∴b ＝a 2－c 2＝1. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P(x 0，y 0)，M(x ，y)，由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －12. 又∵x 204＋y 20＝1，∴(2x －1)24＋⎝⎛⎭⎫2y －122＝1 即为中点M 的轨迹方程．。
课时作业10：2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)
2．2.2 椭圆的简单几何性质(一)一、基础过关1．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( ) A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上答案 C解析 由椭圆的对称性知(－3,2)必在椭圆上．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝16或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9答案 D3．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23答案 A 解析 将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，即a ＝1，c ＝a 2－b 2＝32，故离心率e ＝c a ＝32. 4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33C.12D.13答案 B解析 记|F 1F 2|＝2c ，则由题意，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33.5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A. 14 B. 12 C ．2 D ．4 答案 A解析 由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k (k >0，a >0，b >0)具有( ) A ．相同的顶点B ．相同的离心率C ．相同的焦点D ．相同的长轴和短轴答案 B解析 不妨设a >b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝k 的离心率 e 2＝ ka 2－kb 2ka 2＝ a 2－b 2a 2. 而椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝ a 2－b 2a 2，故B 正确． 7．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6. (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)． 由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)． 如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1. 二、能力提升8．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆的方程是________．答案 x 212＋y 29＝1 解析 如图所示，cos ∠OF 2A ＝cos 60°＝|OF 2||AF 2|， 即c a ＝12.又a －c ＝3， ∴a ＝23，c ＝3，∴b 2＝(23)2－(3)2＝9.∴椭圆的方程是x 212＋y 29＝1. 9．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m ＝________. 答案 14或4 解析 方程化为x 2＋y 21m＝1，则有m >0且m ≠1. 当1m <1时，依题意有1－1m 1＝32，解得m ＝4； 当1m >1时，依题意有1m －11m＝32，解得m ＝14. 综上，m ＝14或4. 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．答案 2－1 解析 因为△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝22c ，又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以22c ＋2c ＝2a ，即(2＋1)c ＝a ，于是e ＝c a ＝12＋1＝2－1. 11．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)可转化为x 21m 2＋y 214m 2＝1. ∵m 2<4m 2，∴1m 2>14m 2，∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m，半焦距长c ＝32m . ∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m， 焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0， 顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m . 离心率e ＝c a ＝32m 1m ＝32. 12.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°.试求椭圆的离心率．解 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c .因为MF 2⊥F 1F 2，所以△MF 1F 2为直角三角形．又∠MF 1F 2＝30°，所以|MF 1|＝2|MF 2|，|F 1F 2|＝32|MF 1|. 而由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，因此|MF 1|＝4a 3，|MF 2|＝2a 3， ∴2c ＝32×4a 3，即c a ＝33， 即椭圆的离心率是33. 三、探究与拓展13．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围． 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1. ① MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3. ∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32.∵－2<x0<2，∴－2<t<－1.∴实数t的取值范围为(－2，－1)．。
课时作业1：2.2.2 椭圆的几何性质(二)
2.2.2 椭圆的几何性质(二)一、基础过关1.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，上顶点为B 2，右顶点为A 2，过点A 2作x 轴的垂线交直线F 1B 2于点P ，若|P A 2|＝3b ，则椭圆C 的离心率为( )A.12B.13C.14D.15答案 A解析 由题设知|B 2O ||P A 2|＝|F 1O ||F 1A 2|⇒b 3b＝c a ＋c ＝13，e ＝12. 2．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3答案 B解析 F 1(－3，0)、F 2(3，0)，设M (x 0，y 0)，由MF 1→·MF 2→＝0，可得x 0＝±263. 3．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( )A ．[4－23，4＋23]B ．[4－3，4＋3]C ．[4－22，4＋22]D ．[4－2，4＋2] 答案 A解析 方程可化为x 23＋y 28＝1，故椭圆焦点在y 轴上， 又a ＝22，b ＝3，所以－3≤m ≤3，故4－23≤2m ＋4≤23＋4.4.“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：( ) ①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2；④c 1a 1<c 2a 2. A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案 B解析 在椭圆Ⅰ中，|PF |＝a 1－c 1，e 1＝c 1a 1；在椭圆Ⅱ中，|PF |＝a 2－c 2，e 2＝c 2a 2，故②正确．由图知轨道Ⅰ比轨道Ⅱ扁，即e 1>e 2，故③正确．5．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34B ．1C ．2D ．4 答案 C解析 圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2，则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)，∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)．由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.6．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 答案 3－1解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝c a＝3－1. 7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆方程．解 由题意可得切点A (1,0)．切点B (m ，n )满足⎩⎨⎧ n －12m －1＝－m n ，m 2＋n 2＝1，解得B (35，45)． ∴过切点A ，B 的直线方程为2x ＋y －2＝0.令y ＝0得x ＝1，即c ＝1；令x ＝0得y ＝2，即b ＝2.∴a 2＝b 2＋c 2＝5，∴椭圆方程为x 25＋y 24＝1. 二、能力提升8．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( )A ．1B ．a 2C ．b 2D ．c 2答案 D解析 由椭圆的几何性质得|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|(2a －|PF 1|)＝－|PF 1|2＋2a |PF 1|＝－(|PF 1|－a )2＋a 2≥－c 2＋a 2＝b 2，所以|PF 1|·|PF 2|最大值与最小值之差为a 2－b 2＝c 2.9．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1 答案 C解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则|OP |>c 恒成立，由椭圆性质知|OP |≥b ，其中b 为椭圆短半轴长，∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴⎝⎛⎭⎫c a 2<12，∴e ＝c a <22.又∵0<e <1，∴0<e <22. 10．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2 (a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在双曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是__________．答案 ②③解析 设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2 (a >1)，将原点(0,0)代入等式不成立，故①不正确．∵点P (x ，y )在双曲线C 上，点P 关于原点的对称点P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程等式成立，故②正确．设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．11．在直线l ：x －y ＋9＝0上任意取一点M ，经过M 点且以椭圆x 212＋y 23＝1的焦点作为焦点作椭圆，问当M 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？解 椭圆的两焦点分别为F 1(－3，0)、F 2(3,0)，作F 1关于直线l 的对称点F ′1，则直线F 1F ′1的方程为x ＋y ＝－3，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－3x －y ＝－9， 得P 的坐标(－6,3)， 由中点坐标公式得F ′1坐标(－9,6)，所以直线F 2F ′1的方程为x ＋2y ＝3.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3x －y ＝－9，得M 点坐标(－5,4)． 由于|F ′1F 2|＝180＝2a ＝6 5.所以M 点的坐标为(－5,4)时，所作椭圆的长轴最短，最短长轴为6 5.12．点A 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)短轴上位于x 轴下方的顶点，过A 作斜率为1的直线交椭圆于P 点，B 点在y 轴上且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若B (0,1)，求椭圆方程；(2)若B (0，t )，求t 的取值范围．解 (1)由题意知B (0,1)，A (0，－b )，∠P AB ＝45°.AB →·AP →＝|AB →|·|AP →|cos 45°＝(b ＋1)2＝9，得b ＝2.∴P (3,1)，代入椭圆方程，得9a 2＋14＝1， ∴a 2＝12，故所求椭圆的方程为x 212＋y 24＝1. (2)若B (0，t )，由A (0，－b )得|AB →|＝|t ＋b |＝t ＋b (B 在A 点上方)．将P (3，t )代入椭圆方程，得9a 2＋t 2b 2＝1， ∴a 2＝9b 2b 2－t 2.∵a 2>b 2，∴9b 2b 2－t 2>b 2.① 又|AB →|＝t ＋b ＝3，∴b ＝3－t .代入①式得92(3－t )2－t 2>1，解得0<t <32. 三、探究与拓展13．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)， 其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4. 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1. (2)A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16， 所以x 2B ＝164＋k 2. 又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .。
课时作业1：2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)
2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)一、基础过关1.椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( ) A.8,2B.5,4C.5,1D.9,1 答案 D解析 因为a ＝5，c ＝4，所以最大距离为a ＋c ＝9，最小距离为a －c ＝1.2.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A.m >1B.m >1且m ≠3C.m >3D.m >0且m ≠3 答案 B解析 由⎩⎨⎧y ＝x ＋2x 2m ＋y 23＝1⇒(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0， ∵Δ>0，∴m >1或m <0.又∵m >0，∴m >1且m ≠3.3.已知AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值为( )A.b 2B.abC.acD.bc 答案 D解析 当直线AB 为y 轴时面积最大，|AB |＝2b ，△AFB 的高为c ，∴此时S △AFB ＝12·2b ·c ＝bc .4.已知F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上的一点，且PF ⊥x 轴，A 、B 分别为短轴、长轴的一个端点，且OP ∥AB ，那么该椭圆的离心率等于( )A.22B.24C.12D.32 答案 A5.已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( )A.[4－23，4＋23]B.[4－3，4＋3]C.[4－22，4＋22]D.[4－2，4＋2]答案 A 解析 方程可化为x 23＋y 28＝1，故椭圆焦点在y 轴上， 又a ＝22，b ＝3，所以－3≤m ≤3，故4－23≤2m ＋4≤23＋4.6.椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________. 答案 3－1解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝c a＝3－1. 7.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆方程.解 由题意可得切点A (1,0).切点B (m ，n )满足⎩⎪⎨⎪⎧n －12m －1＝－m n ，m 2＋n 2＝1，解得B (35，45). ∴过切点A ，B 的直线方程为2x ＋y －2＝0.令y ＝0得x ＝1，即c ＝1；令x ＝0得y ＝2，即b ＝2.∴a 2＝b 2＋c 2＝5，∴椭圆方程为x 25＋y 24＝1. 二、能力提升8.过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( ) A.67B.167C.716D.76答案 B解析 椭圆的方程可化为x 24＋y 22＝1，∴F (－2，0).又∵直线AB 的斜率为3， ∴直线AB 的方程为y ＝3x ＋ 6.由{ y ＝3x ＋6，x 2＋2y 2＝4，得7x 2＋122x ＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1227， x 1·x 2＝87， ∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝167. 9.已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点.若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________. 答案 8解析 由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.10.人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为______________.答案 2(p ＋r )(q ＋r )解析 ∵{ p ＋r ＝a －c ，q ＋r ＝a ＋c ，∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(p ＋r )(q ＋r )，∴2b ＝2(p ＋r )(q ＋r ).11.已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率. (1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程.解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)， 其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4. 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1. (2)方法一 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16， 所以x 2B ＝164＋k 2. 又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .方法二 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2. 由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2. 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1， 即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .12.在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C .(1)写出C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA →⊥OB →？此时|AB |的值是多少？解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆.它的短半轴长b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1. 消去y ，并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1 ＝－4k 2＋1k 2＋4. 又x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴k ＝±12. 当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217. |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2，而(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝42172＋4×1217＝43×13172， ∴|AB |＝ 54×43×13172＝46517. 三、探究与拓展13.已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，短轴的两个端点分别为B 1、B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且F 1P →⊥F 1Q →，求直线l 的方程.解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0). 根据题意知{ a ＝2b ，a 2－b 2＝1，解得a 2＝43，b 2＝13， 故椭圆C 的方程为x 243＋y 213＝1. (2)容易求得椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1). 由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2(k 2－1)2k 2＋1， F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q →＝(x 2＋1，y 2)因为F 1P →⊥F 1Q →，所以F 1P →·F 1Q →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0， 解得k 2＝17，即k ＝±77. 故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.。
课时作业5：2.2.2 椭圆的简单几何性质（二）
2.2.2椭圆的简单几何性质（二）1．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32C ．1 D.3 解析：选B.由x 24＋y 23＝1得右焦点为(1,0)．则右焦点到直线y ＝3x 的距离：d ＝|3×1－0|3＋1＝32. 2．过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A 、B 两点，则|AB |＝( )A ．4B ．2 3C ．1D ．43解析：选C.∵x 24＋y 2＝1中a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝3，∴右焦点坐标F (3，0)，将x ＝3代入x 24＋y 2＝1得，y ＝±12， 故|AB |＝1.3．椭圆y 225＋x 29＝1上的点P 到上焦点的距离的最值为( )A ．最大值为5，最小值为4B ．最大值为10，最小值为8C ．最大值为10，最小值为6D ．最大值为9，最小值为1 解析：选D. a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴P 到上焦点的距离的最大值为a ＋c ＝9，最小值为a －c ＝1. 4．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A ．(23，53)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－132，－172)解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 2＋2y 2＝4，消去y ，得3x 2＋4x －2＝0， 设弦的两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，中点坐标为(x 中，y 中)，则x 1＋x 2＝－43，∴x 中 ＝－23.从而y 中＝x 中＋1＝－23＋1＝13，∴中点坐标为(－23，13)．5．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆．若过点P (a 2c ，0)作圆的两条切线互直垂直，则该椭圆的离心率为( )A.32 B.22 C.13 D.12解析：选B.如下图，切线P A 、PB 互相垂直，又OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，易知四边形OAPB 是正方形，∴△OAP 是等腰直角三角形，故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a ＝22.6．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ≥2b >0)，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．解析：离心率e ＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 1－b 2a 2.∵a ≥2b ，∴0<b a ≤12， ∴e ＝ 1－b 2a 2≥ 1－14＝32，又0<e <1，∴e ∈[32，1)． 答案：[32，1) 7．椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0 所截得的弦长|AB |＝__________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x 23＋y 2＝1得交点为(0,1)，⎝⎛⎭⎫－32，－12，则|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫1＋122＝322. 答案：3228．F 1，F 2是椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点，过F 2作倾斜角为π4的弦AB ，则△F 1AB 的面积为________．解析：不妨设椭圆的右焦点为F 2(1,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AB 的方程为y ＝x －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1x 22＋y 2＝1，得3x 2－4x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝43.根据弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝423. 椭圆的左焦点为F 1(－1,0)到直线AB 的距离d ＝|－1－0－1|1＋1＝2，∴S △F 1AB ＝12d |AB |＝12×2×423＝43.答案：439．已知椭圆x 28＋y 22＝1过点M (2,1)，O 为坐标原点，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)．(1)当m ＝3时，判断直线l 与椭圆的位置关系；(2)当m ＝3时，P 为椭圆上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值．解：(1)由题可知k l ＝k OM ＝12，当m ＝3时，直线l 的方程为y ＝12x ＋3.由⎩⎨⎧y ＝12x ＋3x 28＋y22＝1，得x 2＋6x ＋14＝0.∵Δ＝36－4×14＝－20<0，∴原方程组无解，即直线l 和椭圆无交点， 此时直线l 和椭圆相离．(2)设直线a 与直线l 平行，且直线a 与椭圆相切，设直线a 的方程为y ＝12x ＋b ，联立⎩⎨⎧y ＝12x ＋b x 28＋y22＝1，得x 2＋2bx ＋2b 2－4＝0，∴Δ＝(2b )2－4(2b 2－4)＝0，解得b ＝±2，∴直线a 的方程为y ＝12x ±2.所求P 到直线l 的最小距离等于直线l 到直线y ＝12x ＋2的距离d ＝3－212＋122＝255.10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P 、Q 两点，且|PQ |＝10，求椭圆方程．解：∵e ＝32，∴c a ＝32，∴c 2a 2＝34，∴b 2＝14a 2，∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2，将x ＋2y ＋8＝0代入x 2＋4y 2＝a 2消去y 得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0， 由Δ＝162－4×2×(64－a 2)>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54[64－2(64－a 2)]．解之得a 2＝36，b 2＝9，∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1.能力提升1．若点(x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则yx －2的最小值为( )A ．1B ．－1C ．－233 D ．以上都不对解析：选C.y x －2表示椭圆上的点(x ，y )与定点(2,0)连线的斜率．不妨设yx －2＝k ，则过定点(2,0)的直线方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －24x 2＋y 2＝4，得(k 2＋4)x 2－4k 2x ＋4k 2－4＝0.令Δ＝(－4k 2)2－4(k 2＋4)·(4k 2－4)＝0，得k ＝±233，∴k min ＝－233，即y x －2的最小值为－23 3.2．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．解析：由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a ＝7.故长轴长为27. 答案：273．求椭圆x 23＋y 2＝1上的点到直线x －y ＋6＝0的距离的最小值．解：设与直线x －y ＋6＝0平行且与椭圆x 23＋y 2＝1相切的直线方程为 x －y ＋m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1x －y ＋m ＝0，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，∴Δ＝36m 2－16(3m 2－3)＝0， 解得m ＝2或m ＝－2，显然与直线x －y ＋6＝0距离最近的直线为x －y ＋2＝0， 所以所求最小距离为d ＝|6－2|2＝2 2.4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，3)、(0，－3)的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C .(1)写出C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA →⊥OB →？此时|AB →|的值是多少？ 解：(1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为a ＝2的椭圆，它的短半轴b ＝22－32＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1y ＝kx ＋1，消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，Δ＝(2k )2－4×(k 2＋4)×(－3)＝16(k 2＋3)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.由OA →⊥OB →，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝－4k 2＋1k 2＋4.由－4k 2＋1k 2＋4＝0，得k ＝±12，此时OA →⊥OB →.当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217.|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2x 2－x 12，而(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝42172＋4×1217＝42×52172， 所以|AB →|＝46517.。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2第一课时椭圆的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1
求椭圆的离心率 求椭圆的离心率的常见思路：一是先求 ， ， 求椭圆的离心率的常见思路：一是先求a，c， 再计算e；二是依据条件中的关系，结合有关 再计算 ；二是依据条件中的关系， 知识和a、 、 的关系 构造关于e的方程 的关系， 的方程， 知识和 、b、c的关系，构造关于 的方程，再 求解．注意 的范围 的范围： 求解．注意e的范围：0<e<1.
互动探究1 互动探究
若本例中椭圆方程变为： 若本例中椭圆方程变为：“4x2＋y2
＝1”，试求解． ” 试求解．
y 2 x2 1 解：已知方程为 ＋ ＝1，所以 a＝1，b＝ ，c ， ＝ ， ＝ 1 1 2 4 ＝ 3 1 1－ ＝ ，因此，椭圆的长轴的长和短轴的 因此， － 4 2
c 3 长分别为 ＝ 长分别为 2a＝2,2b＝1，离心率 e＝a＝ ，两个 ＝ ， ＝ 2 焦点分别为 个顶点是
x2 ． 2＝1(a>b>0)． b c 2 由已知得 e＝a＝ ，2b＝8 5， ＝ ＝ ， 3 a 2－ b 2 4 c ∴ 2＝ 2 ＝ ，b2＝80. 9 a a
2
∴a2＝144. y y x x ∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1 或 ＋ 144 80 144 80 ＝1. y2 x2 (2) 设 椭 圆 方 程 为 2 ＋ 2 ＝ a b 1(a>b>0)．如图所示，△A1FA2 为 ．如图所示， 等腰直角三角形， OF 等腰直角三角形， 为斜边 A1A2 的中线(高 ， 的中线 高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝ ＝ ， ＝ 2 2 2 2b，∴c＝b＝4，∴a ＝b ＋c ＝32，故所求椭圆 ， ， ＝ ＝ ， x2 y 2 的方程为 ＋ ＝1. 32 16
为直角三角形， 由 AF1 ⊥ AF2 知 △ AF1F2 为直角三角形 ， 且 ∠ AF2F1＝60°. 由椭圆定义， 由椭圆定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|F1F2|＝2c.则 ＋ ＝ ， ＝ 则 在 Rt△AF1F2 中，由∠AF2F1＝60°得|AF2|＝c， △ 得 ＝ ， |AF1|＝ 3c，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝( 3＋1)·c， ，所以 ＝ ＋ ＝ ＝ ＋ ， c 所以离心率 e＝a＝ 3－1. ＝ －
课时作业6：2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）
2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）1.已知点(3,2)在椭圆2222x y a b+=1上,则( ). A .点(-3,-2)不在椭圆上 B .点(3,-2)不在椭圆上C .点(-3,2)在椭圆上D .无法判断以上各点是否在椭圆上答案:C 解析:由椭圆的对称性知(-3,2)必在椭圆上.2.椭圆22259x y +=1与椭圆2229x y a +=1有( ). A .相同短轴B .相同长轴C .相同离心率D .以上都不对答案:D 解析:由于椭圆2229xy a +=1中,焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上,所以无法确定两个椭圆的长轴长、短轴长的关系,且离心率也不一定相同.3.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为( ). A.22916x y +=1 B.222516x y +=1 C.22916x y +=1和22169x y +=1 D.222516x y +=1和222516y x +=1 答案:D解析:依题意2a +2b =18,2c =6,所以a +b =9,c =3.而c 2=a 2-b 2,所以a 2-b 2=9,于是a -b =1,解得a =5,b =4,故方程为222516x y +=1或221625x y +=1. 4.椭圆2289x y k ++=1的离心率为23,则k 的值为( ). A.415 B.-3 C.415或-3 D.-3或413答案:C解析:若焦点在x 轴上,则98k +=1-22539⎛⎫= ⎪⎝⎭, ∴k =415;若焦点在y 轴上,则8599k +=,∴k =-3.5.中心在原点,焦点在坐标轴上,且过点(2,0)的椭圆的方程是( ). A.24x +y 2=1 B.24x +y 2=1或x 2+24y =1 C.x 2+4y 2=1 D.x 2+4y 2=4或4x 2+y 2=16 答案:D解析:若焦点在x 轴上,则a =2.又e ∴c ∴b 2=a 2-c 2=1,∴方程为24x +y 2=1,即x 2+4y 2=4;若焦点在y 轴上,则b =2.又e =,∴22ba =1-3144=,∴a 2=4b 2=16,∴方程为22416x y +=1,即4x 2+y 2=16.6.若点O 和点F 分别为椭圆2243x y +=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则·OP FP 的最大值为( ).A.2B.3C.6D.8 答案:C解析:由题意得F (-1,0),设点P (x 0,y 0),则20y =32014x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(-2≤x 0≤2), OP ·FP =x 0(x 0+1)+2200y x =+x 0+2200y x =+x 0+3201144x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(x 0+2)2+2, 当x 0=2时,OP ·FP 取得最大值为6.7.已知椭圆E 的短轴长为6,焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E 的离心率等于 .答案:45解析:根据题意得2b =6,a +c =9或a -c =9(舍去).所以a =5,c =4,故e =45c a =. 8.若AB 为过椭圆222516x y +=1的中心的线段,F 1为椭圆的焦点,则△F 1AB 的面积的最大值为 .答案:12解析:如图,111AB AO BO S F F F S S =+=21AO F S .又∵OF 1=c =3为定值,∴点A 与(0,4)重合时,OF 1边上的高最大.此时1AO S F 的最大值为12×4×3=6.∴1AB S F 的最大值为12.9.椭圆2242x y +=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,直线l 过F 2与椭圆相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,以AB 为直径的圆恰好过O ,求直线l 的方程.解:F 2设直线l 的方程为y =k (x 由22240,(x y y k x ⎧+-=⎪⎨=-⎪⎩得(1+2k 2)x 2-2x +4(k 2-1)=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2x 1·x 2=224(1)12k k -+.又y 1=k (x 1y 2=k (x 2∴y 1·y 2=k 2x 1·x 22(x 1+x 2)+2k 2. OA =(x 1,y 1),OB =(x 2,y 2).∵OA OB ⊥,∴OA ·OB =0,∴OA ·OB =x 1·x 2+y 1·y 2=222412k k-+=0,∴k 又当k 不存在时,OA 与OB 不垂直,∴所求直线方程为x10.如图,设椭圆的中心为原点O,长轴x 轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F 1,F 2,线段OF 1,OF 2的中点分别为B 1,B 2,且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ,Q 两点,使PB 2⊥QB 2,求直线l 的方程.解:(1)如上图所示,设所求椭圆的标准方程为2222xy a b+=1(a>b>0),右焦点为F 2(c ,0). 因△AB 1B 2是直角三角形,又|AB 1|=|AB 2|,故∠B 1AB 2为直角,因此|OA |=|OB 2|,得b =2c ,结合c 2=a 2-b 2得4b 2=a 2-b 2,故a 2=5b 2,c 2=4b 2,所以离心率e =c a = 在Rt △AB 1B 2中,OA ⊥B 1B 2,故12AB B 1S2=·|B 1B 2|·|OA |=|OB 2|·|OA |=2c ·b =b 2. 由题设条件12AB B S =4得b 2=4,从而a 2=5b 2=20,因此所求椭圆的标准方程为22204x y +=1. (2)由(1)知B 1(-2,0),B 2(2,0).由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为x =my -2.代入椭圆方程得(m 2+5)y 2-4my -16=0,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则y 1,y 2是上面方程的两根,因此y 1+y 2=245m m +,y 1·y 2=-2165m +, 又2B P =(x 1-2,y 1),2B Q =(x 2-2,y 2),所以2B P ·2B Q =(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=(my 1-4)(my 2-4)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2-4m (y 1+y 2)+16=-222216(1)1655m m m m +=+++16=-2216645m m -+. 由PB 2⊥QB 2,得2B P ·2B Q =0,即16m 2-64=0,解得m =±2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x +2y +2=0和x -2y +2=0.。
课时作业28：2.2.2 椭圆的简单几何性质（二）
2.2.2 椭圆的简单几何性质（二）学业达标一、选择题1.已知椭圆x 23＋y 24＝1上的焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则|AF |＋|BF |＋|CF |＋|DF |＝( ) A.2 3 B.43 C.4 D.82.若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A.(－∞，0)∪(1，＋∞)B.(1,3)∪(3，＋∞)C.(－∞，－3)∪(－3,0)D.(1,3)3.若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－233，233 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫233，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43 4.椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.23275.已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若F A →＝3F B →，则|A F →|＝( )A. 2B.2C.3D.3二、填空题6.已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________.7.过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________.8.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________.三、解答题9.已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值.能力提升1.设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，则PF 1→·PF 2→的值等于( )A.0B.2C.4D.－22.过椭圆x 26＋y 25＝1内一点P (2，－1)的弦恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( ) A.5x －3y ＋13＝0B.5x ＋3y ＋13＝0C.5x －3y －13＝0D.5x ＋3y －13＝03.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为________. 4.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点.若AC →·DB→＋AD →·CB →＝8，求k 的值.参考答案学业达标一、选择题1.【答案】 D【解析】 由题可得a ＝2.如图，设F 1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF 1，BF 1，CF ，FD .由椭圆的对称性可知， 四边形AFDF 1为平行四边形， ∴|AF 1|＝|FD |，同理可得|BF 1|＝|CF |，∴|AF |＋|BF |＋|CF |＋|DF |＝|AF |＋|BF |＋|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＝8，故选D.2.【答案】 B【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1， 消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0.若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋m ≠0，Δ＝4m 2－4m 3＋m >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m <0或m >1. 由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，知m >0且m ≠3. 综上可知，m >1且m ≠3，故选B.3.【答案】 B【解析】 因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123＞1，解得a ＞233或a ＜－233，故选B.4.【答案】 A【解析】 联立方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2＝1， 得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝n m ＋n，y 0＝1－x 0＝1－n m ＋n ＝m m ＋n. ∴k OP ＝y 0x 0＝m n ＝22.故选A. 5.【答案】 A【解析】 设点A (2，n )，B (x 0，y 0).由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1，∴右焦点F (1,0).由F A →＝3F B →，得(1，n )＝3(x 0－1，y 0).∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n . 将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得 12×⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1，∴|A F →|＝(2－1)2＋n 2＝1＋1＝ 2.二、填空题6.【答案】 823【解析】 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，消去y ，得3x 2－4x ＝0. ∴A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13.∴|AB |＝423， ∴|F 1A |＋|F 1B |＝4a －|AB |＝42－423＝823. 7.【答案】 53【解析】 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43，∴S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53. 8.【答案】 6【解析】 由x 24＋y 23＝1可得F (－1,0). 设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2， 当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.三、解答题9.解：(1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，整理得： 5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2≥0， ∴－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由(1)得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝m 2－15.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·425m 2－4(m 2－1)5＝225－4m 2＋5. ∵－52≤m ≤52， ∴0≤m 2≤54， ∴当m ＝0时，|AB |取得最大值，此时直线方程为y ＝x ，即x －y ＝0.10.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 22＝1， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2， 所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2， 又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2， 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103， 化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.能力提升1.【答案】 D【解析】 由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×|F 1F 2|·h (h 为F 1F 2边上的高)， 所以当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos 120°＝2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－2. 故选D.2.【答案】 C【解析】 设弦的两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x 21＋6y 21＝30，5x 22＋6y 22＝30， 两式作差可得：5(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－6(y 1＋y 2)(y 1－y 2)， ①又弦的中点为(2，－1)，可得x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2， ②将②代入①式可得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝53， 故直线的方程为y ＋1＝53(x －2)， 化为一般式为5x －3y －13＝0，故选C.3.【答案】 4105【解析】 法一 设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得 x 24＋(x ＋t )2＝1， 整理得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.∵Δ＝64t 2－80(t 2－1)>0，∴－5<t < 5.设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－8t 5，x 1·x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤6425t 2－4×4(t 2－1)5 ＝－32t 2＋16025. 当t ＝0时，|AB |为最大，即|AB |max ＝4105.法二 根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y ＝x 代入x 24＋y 2＝1得交点坐标为A ⎝⎛⎭⎫255，255和B ⎝⎛⎭⎫－255，－255， 故|AB |＝4105. 4.解：(1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c . 过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有－c 2a 2＋y 2b 2＝1， 解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433， 解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ， 整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2. 因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2. 由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8， 解得k ＝± 2.。
第二章 2.2 2.2.2 第1课时 椭圆的简单几何性质 答案
[A 组 基础巩固]1．解析：方程化为x 2＋y 26＝1， ∴a 2＝6，a ＝6，长轴的端点坐标为(0，±6)．答案：D2．解析：由题意得m 2＝2×8＝16，∵m 是正数，∴m ＝4，∴c 2＝4－1＝3，∴c ＝3，∴e ＝32.故选A. 答案：A3．解析：在Rt △PF 1F 2中，设PF 2＝1，则PF 1＝2，F 1F 2＝5，故此椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝53.答案：A4．解析：对椭圆C 1，c 1＝a 21－b 21＝4，对椭圆C 2，∵0＜k ＜9，∴25－k ＞9－k＞0.其焦点在y 轴上，∴c 2＝25－k －(9－k )＝4，故选B答案：B5．解析：由题意知a ＝3，又∵e ＝33，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所求椭圆方程为x 23＋y 22＝1或y 23＋x 22＝1.故选D.答案：D6．解析：由题意知，2c ＝8，c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴方程是y 264＋x 248＝1.答案：y 264＋x 248＝17．解析：直线与x 轴，y 轴的交点分别为A (2,0)，B (0,1)，由题意a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝3，故椭圆的焦点坐标为(±3，0)．答案：(±3，0)8．解析：如图所示，在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3. 由椭圆定义知2c 3＋4c 3＝2a ， ∴e ＝c a ＝33.答案：339．解析：椭圆方程可化为x 24＋y 2m ＝1.(1)当0<m <4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m ，∴e ＝c a ＝4－m 2＝12，∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴长分别是4,23，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m >4时，a ＝m ，b ＝2，∴c ＝m －4，∴e ＝c a ＝m －4m＝12，解得m ＝163， ∴a ＝433，c ＝233，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝⎛⎭⎪⎫0，－233，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎪⎫0，433，B 1(－2,0)，B 2(2,0)． 10．解析：(1)当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋8，b 2＝9，得c 2＝k －1.由e ＝32，可得k －1k ＋8＝34，即k ＝28. (2)当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝9，b 2＝k ＋8，得c 2＝1－k .由e ＝32，得1－k 9＝34，即k ＝－234. 故满足条件的k 值为k ＝28或－234.[B 组 能力提升]1．解析：设运行轨道的长半轴长为a ，焦距为2c ，由题意，可得⎩⎨⎧a －c ＝n ＋R ，a ＋c ＝m ＋R ， 解得a ＝m ＋n 2＋R ，c ＝m －n 2，故b ＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 22 ＝R 2＋(m ＋n )R ＋mn ＝(m ＋R )(n ＋R ).即2b ＝2(m ＋R )(n ＋R ).答案：A2.解析：连接PF 1，由题意知OA ＝b ，∴|PF 1|＝2b ，∴|PF 2|＝2a －2b ，∴|AF 2|＝a －b .在Rt △OAF 2中有b 2＋(a －b )2＝c 2，将b 2＝a 2－c 2代入整理得3a 2－3c 2－2a a 2－c 2＝0，即3－3e2＝21－e2，即9e4－14e2＋5＝0，解得e2＝59或e2＝1(舍去)，∴e＝53.故选C.答案：C3．解析：由条件知，2a＝20，ca＝35，∴a＝10，c＝6，b＝8，故标准方程为x2100＋y264＝1或y2100＋x264＝1.答案：x2100＋y264＝1或y2100＋x264＝14．解析：设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝bc x交于点M.由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ. 又O为线段F1F的中点，∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.在Rt△MOF中，tan∠MOF＝|MF||OM|＝bc，|OF|＝c，可解得|OM|＝c2a，|MF|＝bca，故|QF|＝2|MF|＝2bca，|QF1|＝2|OM|＝2c2a.由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝2bca＋2c2a＝2a，整理得b＝c，∴a＝b2＋c2＝2c，故e＝ca＝2 2.答案：2 25．解析：依题知，F1P⊥F2P，所以△F1QO∽△F1F2P，因为△F1OQ与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，所以SF 1OQ SF 1F 2P ＝13，所以OF 1F 1P ＝13，设椭圆的焦距为2c ，则F 1P ＝3c ，F 2P ＝F 1F 22－F 1P 2＝c ，由椭圆的定义可得：3c ＋c ＝2a ，所以，e ＝c a ＝23＋1＝3－1.6.解析：(1)∵焦点为F (c,0)，AB 斜率为ba ， 故CD 方程为y ＝ba (x －c )．与椭圆联立后消去y 得2x 2－2cx －b 2＝0. ∵CD 的中点为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a ，点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，将E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bca 代入椭圆方程并整理得2c 2＝a 2，∴e ＝c a ＝22.(2)由(1)知CD 的方程为y ＝22(x －c )，b ＝c ，a ＝2c .与椭圆联立消去y 得2x 2－2cx －c 2＝0. ∵平行四边形OCED 的面积为S ＝c |y C －y D |＝22c (x C ＋x D )2－4x C x D ＝22c c 2＋2c 2＝62c 2＝6，∴c ＝2，a ＝2，b ＝ 2.故椭圆方程为x 24＋y 22＝1.。
课时作业6：2.2.2 椭圆的简单几何性质（二）
2.2.2椭圆的简单几何性质（二）1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2<a <2B ．a <－2或a > 2C ．－2<a <2D ．－1<a <1 解析：选A.由题意知a 24＋12<1，解得－2<a < 2.2．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33解析：选C.把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由于Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63.3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73C.⎝⎛⎭⎫－23，13D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 解析：选C.把y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得3x 2＋4x －2＝0， 所以弦的中点坐标(x 0，y 0)满足x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13.4．经过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →＝( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B.椭圆右焦点为(1,0)，设l ：y ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝x －1代入x 22＋y 2＝1，得3x 2－4x ＝0.∴A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13.∴OA →·OB →＝－13. 5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8 解析：选C.∵OP →·FP →＝|OP →|·|FP →|·cos ∠OPF ，∴当P 为右端点时OP →·FP →最大，其值为a ·(a ＋c )·cos 0°＝6.6．椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0 所截得的弦长|AB |＝__________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x 23＋y 2＝1得交点为(0,1)，⎝⎛⎭⎫－32，－12， 则|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫1＋122＝322.答案：3227．已知椭圆的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)．如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰为椭圆的右焦点F ，则椭圆的离心率为________． 解析：焦点在x 轴上，设交点为P ，则P ⎝⎛⎭⎫16－m 2，m24， 又∵点P 在y ＝22x 上，∴m 24＝2216－m 2，解得m ＝22，∴e ＝c a ＝224＝22.答案：228．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．解析：将椭圆与直线方程联立：⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋5y 2－20＝0，y ＝2x －1，解得交点A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43.设右焦点为F ，则S △OAB ＝12·OF ·|y 1－y 2|＝12×1×⎪⎪⎪⎪43＋2＝53. 答案：539．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围．解：由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22.即k 的取值范围为(－∞，－22)∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞. 10．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程．解：设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，∴x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2，x 1x 2＝0.由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，∴(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329，即(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫－4k 1＋2k 22＝329，化简得：k 4＋k 2－2＝0，∴k 2＝1，∴k ＝±1.∴所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.能力提升1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.12解析：选D.如图，由于BF ⊥x 轴，∴BF ∥OP .∵AP →＝2PB →，∴a ＝2c ，∴c a ＝12.2．椭圆E ：x 216＋y 24＝1内有一点P (2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为________．解析：法一：设过点P (2,1)的直线为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程可得(4k 2＋1)x 2＋(8k －16k 2)x ＋16k 2－16k －12＝0.设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝2，即16k 2－8k4k 2＋1＝4，得k ＝－12，即所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设弦的两端点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意有：⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1 ①x 2216＋y 224＝1 ②x 1＋x 2＝4 ③y 1＋y 2＝2 ④y 1－y2x 1－x 2＝k AB⑤①－②将③④⑤代入得k AB ＝－12，∴所求直线的方程为：y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.答案：x ＋2y －4＝03．已知椭圆x 28＋y 22＝1过点M (2,1)，O 为坐标原点，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)．(1)当m ＝3时，判断直线l 与椭圆的位置关系；(2)当m ＝3时，P 为椭圆上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值． 解：(1)由题可知k l ＝k OM ＝12，当m ＝3时，直线l 的方程为y ＝12x ＋3.由⎩⎨⎧y ＝12x ＋3，x 28＋y22＝1，得x 2＋6x ＋14＝0.∵Δ＝36－4×14＝－20＜0，∴原方程组无解，即直线l 和椭圆无交点，此时直线l 和椭圆相离．(2)设直线a 与直线l 平行，且直线a 与椭圆相切，设直线a 的方程为y ＝12x ＋b ，联立⎩⎨⎧y ＝12x ＋b ，x 28＋y22＝1，得x 2＋2bx ＋2b 2－4＝0，∴Δ＝(2b )2－4(2b 2－4)＝0，解得b ＝±2，∴直线a 的方程为y ＝12x ±2.所求P 到直线l 的最小距离等于直线l 到直线y ＝12x ＋2的距离d ＝3－2－12＋⎝⎛⎭⎫122＝255.4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，3)、(0，－3)的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C .(1)写出C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA →⊥OB →？此时|AB →|的值是多少？ 解：(1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为a ＝2的椭圆，它的短半轴b ＝22－32＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，Δ＝(2k )2－4×(k 2＋4)×(－3)＝16(k 2＋3)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.由OA →⊥OB →，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1， 于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝－4k 2＋1k 2＋4.由－4k 2＋1k 2＋4＝0，得k ＝±12，此时OA →⊥OB →.当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217.|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2x 2－x 12，而(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝42172＋4×1217＝42×52172， 所以|AB →|＝46517.。
高中数学选修2-1课时作业3：2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)
2.2.2椭圆的简单几何性质（二）1．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )．A ．±34B ．±32C ．±22D ．±34[解析] 由条件可得F 1(－3，0)，PF 1的中点在y 轴上，∴P 坐标(3，y 0)，又P 在x 212＋y 23＝1的椭圆上得y 0＝±32，∴M 的坐标(0，±34)，故选A. [答案] A2．如下图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )．A.15B.25C.55D.255 [解析] 由条件知，F 1(－2，0)，B (0，1)，∴b ＝1，c ＝2，∴a ＝22＋12＝5，∴e ＝c a ＝25＝255. [答案] D3．已知椭圆x 23＋y 24＝1的上焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝( )．A ．2 3B ．4 3C ．4D ．8[解析] 如图，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF 1、FD .由椭圆的对称性可知，四边形AFDF 1(其中F 1为椭圆的下焦点)为平行四边形，∴AF 1＝FD ，同理BF 1＝CF ，∴AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝AF ＋BF ＋BF 1＋AF 1＝4a ＝8.[答案] D4．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________． [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0. 若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝（4m ）2－4m （3＋m ）>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m <0或m >1. 由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆知，m >0且m ≠3. 综上可知，m 的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．[答案] (1，3)∪(3，＋∞)5．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0. 设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋（12x 1－12x 2）2 ＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54（4＋24）＝35. [答案]35 6．已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程． 解 设直线l 与椭圆的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0. 由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， ∴(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329.即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2)2＝329. 化简，得k 4＋k 2－2＝0，∴k 2＝1，∴k ＝±1.∴所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为( )．A.12 B ．－12 C.13 D ．－13[解析] 设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 12＝b 2－b 2x 12a 2， 所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 12x 2－x 12＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13. [答案] D8．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝( )． A. 2 B ．2 C. 3 D ．3[解析] 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1，∴右焦点F (1，0)．∴由F A →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n . 将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×(43)2＋(13n )2＝1. 解得n 2＝1，∴|AF →|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.所以选A.[答案] A9．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.[解析] 由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5， 可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.[答案] 810．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．[解析] 直线A 1B 2的方程为x －a ＋y b ＝1，直线B 1F 的方程为x c ＋y －b ＝1，二者联立，得T (2ac a －c ，b （a ＋c ）a －c )，则M (ac a －c ，b （a ＋c ）2（a －c ）)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上， ∴c 2（a －c ）2＋（a ＋c ）24（a －c ）2＝1，c 2＋10ac －3a 2＝0，e 2＋10e －3＝0，解得e ＝27－5. [答案] 27－511．已知过点A (－1，1)的直线与椭圆x 28＋y 24＝1交于点B 、C ，当直线l 绕点A (－1，1)旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程．解 设直线l 与椭圆的交点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，弦BC 中点M (x ，y )，则x 128＋y 124＝1，① x 228＋y 224＝1.② ②－①，得(x 228－x 128)＋(y 224－y 124)＝0. ∴(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＋2(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.③当x 1≠x 2时，x 1＋x 22＝x ，y 1＋y 22＝y ，y 2－y 1x 2－x 1＝y －1x ＋1， 又∵③式可化为(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 2－y 1x 2－x 1＝0. ∴2x ＋2·2y ·y －1x ＋1＝0，化简得x 2＋2y 2＋x －2y ＝0. 当x 1＝x 2时，由点M (x ，y )是线段BC 中点，∴x ＝－1，y ＝0，显然适合上式．总之，所求弦中点M 的轨迹方程是x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.12．如图所示，点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解 (1)由已知可得点A (－6，0)，F (4，0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236 ＋y 220＝1，（x ＋6）（x －4）＋y 2＝0.则2x 2＋9x －18＝0, 即得x ＝32或x ＝－6.由于y >0，只能x ＝32，于是y ＝523. ∴点P 的坐标是(32，523)． (2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M 的坐标是(m ，0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2， 于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d ，有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15， 由于－6≤x ≤6.∴当x ＝92时，d 取最小值15.。
课时作业4：2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）
2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5、3、0.8B ．10、6、0.8C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6解析：选B.把椭圆的方程写成标准形式为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4. ∴2a ＝10,2b ＝6，c a＝0.8. 2．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 29＝1或x 29＋y 216＝1B.x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1 C.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 D ．椭圆的方程无法确定 解析：选C.a ＝5且c ＝3，∴b ＝4，∴椭圆方程为x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1. 3．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是( )A.x 24＋y 216＝1或x 216＋y 24＝1B.x 24＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 216＋y 220＝1 解析：选C.由已知a ＝4，b ＝2，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆方程是x 216＋y 24＝1.故选C. 4．椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( ) A ．8,2 B ．5,4 C ．5,1 D ．9,1解析：选D.因为a ＝5，c ＝4，所以最大距离为a ＋c ＝9，最小距离为a －c ＝1.5．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.32 C.53 D.63解析：选A.如图所示，四边形B 1F 2B 2F 1为正方形，则△B 2OF 2为等腰直角三角形， ∴c a ＝22.6．(2010年高考广东卷)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15解析：选B.由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝35或e ＝－1(舍去)． 二、填空题7．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________．解析：依题意得椭圆的焦点坐标为(0，5)，(0，－5)，故c ＝5，又2b ＝45，所以b ＝25，a 2＝b 2＋c 2＝25.答案：x 220＋y 225＝1 8．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________． 解析：依题意，得b ＝3，a －c ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4，∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝45.答案：459．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的标准方程为________．解析：设椭圆的长半轴长为a ，由2a ＝12知a ＝6.又e ＝c a ＝32，故c ＝33，∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9. ∴椭圆标准方程为x 236＋y 29＝1. 答案：x 236＋y 29＝1 三、解答题10．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A (2,0)； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， ∵椭圆过点A (2,0)，∴4a 2＝1，a ＝2，∵2a ＝2·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 24＋y 2＝1. 若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)， ∵椭圆过点A (2,0)，∴02a 2＋4b 2＝1，∴b ＝2,2a ＝2·2b ，∴a ＝4，∴方程为y 216＋x 24＝1. 综上所述，椭圆方程为x 24＋y 2＝1或y 216＋x 24＝1. (2)由已知⎩⎨⎧ a ＝2c a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23c ＝3.从而b 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 11．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形． 在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2. 而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab . 又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49. ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53. 法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b2＝1， 所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53. 12．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长及顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1. 因为m －m m ＋3＝m m ＋2m ＋3>0，所以m >m m ＋3. 即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝ m m ＋2m ＋3.由e ＝32，得 m ＋2m m ＋3＝32，解得m ＝1. 所以a ＝1，b ＝12，椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1. 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，四个顶点的坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12)．。
课时作业21：2.2.2 椭圆的几何性质
2.2.2 椭圆的几何性质学业达标一、选择题1．焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为35的椭圆的标准方程是( )A ．x 2100＋y 236＝1B ．x 2100＋y 264＝1C ．x 225＋y 216＝1D ．x 225＋y 29＝12．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( ) A ．12B ．13C ．14D ．223．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 23＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( ) A ．513B ．－513C ．21313D ．－213135．如图，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A ．15B ．25C ．55D ．255二、填空题6．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、D 的椭圆的离心率为________．7．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ·k OM ＝________.8．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________．三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．10．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P在椭圆上，且∠OP A ＝120°，求椭圆的离心率．能力提升1．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( ) A.22B ．2－1C ．2－ 2D ．2－122．“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________．4．已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF . (1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．参考答案学业达标一、选择题 1．【答案】 C【解析】 由题意知2b ＝8，得b ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16，又e ＝c a ＝35，解得c ＝3，a ＝5，又焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1，故选C.2．【答案】 A【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝12.3．【答案】 B【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 225－k ＝1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B. 4．【答案】 B【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3， 故c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 23＝1，解得y 0＝±32，所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12＋⎝⎛⎭⎫322＝132. 由余弦定理知cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |22|OM ||ON |＝⎝⎛⎭⎫1322＋⎝⎛⎭⎫1322－322×132×132＝－513.5．【答案】 D 二、填空题 6．【答案】 12【解析】 如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝12.7．【答案】 －b 2a2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点坐标M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1， k OM ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，k AB ·k OM ＝y 22－y 21x 22－x 21， b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2，得b 2(x 22－x 21)＋a 2(y 22－y 21)＝0，即y 22－y 21x 22－x 21＝－b 2a 2.8．【答案】 [1,2]【解析】 因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2. 三、解答题9．解：(1)∵c ＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)． 设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵e ＝c a ＝55，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20，∴所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1.(2)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵2c ＝8，∴c ＝4， 又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20. ∴椭圆的方程为x 236＋y 220＝1.10．解：不妨设A (a,0)，点P 在第一象限内，由题意知，点P 的横坐标是a2，设P ⎝⎛⎭⎫a 2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝⎛⎭⎫a 22a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝34b 2，即P ⎝⎛⎭⎫a 2，32b ，又∠OP A ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan ∠POA ＝32b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝(3b )2－b 23b ＝223.能力提升1．【答案】 B【解析】 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得|PF 2|＝b 2a ＝2c ，即a 2－c 2a＝2c ，得离心率e ＝2－1，故选B. 2．【答案】 A【解析】 椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，当0<m <4时，4－m 2＝12，得m ＝3， 当m >4时，m －4m＝12，得m ＝163， 即“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的充分不必要条件．3．【答案】 12【解析】 由AP →＝2PB →，得|AO |＝2|FO |(O 为坐标原点)，即a ＝2c ， 则离心率e ＝12.4．解：(1)由已知可得A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )． 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋6x －4＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或x ＝－6.由于y >0，所以只能取x ＝32，于是y ＝52 3.所以点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫32，523. (2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，又B (6,0)，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15， 由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取最小值为15.。
课时作业8：2.2.2 椭圆的简单几何性质
2．2.2 椭圆的简单几何性质基础梳理x2y2y2x2想一想：1.通过对椭圆几何性质的研究，你能判断椭圆的焦点是在长轴上还是在短轴上吗？2．椭圆的离心率e能否用a，b表示？自测自评1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( ) A ．(－1，0)、(1，0) B ．(0，－1)、(0，1) C ．(－6，0)、(6，0) D ．(0，－6)、(0，6)2．椭圆的四个顶点构成的菱形的面积为10，两个焦点与短轴的两个顶点构成的菱形的面积为5，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.32 C.12 D.633．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2)基础巩固1．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为( ) A.12 B.13 C.14 D.222．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k ＞0)具有相同的( )A ．顶点B ．离心率C ．长轴D ．短轴3．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)4．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______________．能力提升5．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或216．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面m 千米，远地点B 距离地面n 千米，地球半径为k 千米，则飞船运行轨道的短轴长为( ) A ．2（m ＋k ）（n ＋k ） B.（m ＋k ）（n ＋k ） C ．mn D ．2mn7．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点顺次连接构成一个菱形，该菱形的面积为210，又椭圆的离心率为155，则椭圆的标准方程是____________________________． 8．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________________． 9．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，求椭圆的离心率．10．设椭圆x 2m ＋1＋y 2＝1的两个焦点是F 1(－c ，0)与F 2(c ，0)，且椭圆上存在点P ，使得直线PF 1与直线PF 2垂直，求实数m 的取值范围．答 案基础梳理【答案】 a b b a 原点、x 轴、y 轴 (±a ，0) (0，±b ) (0，±a ) (±b ，0) (±c ，0) (0，±c ) (0，1) 想一想：1.椭圆的焦点在长轴上． 2．可以，因为e ＝c a，又c ＝a 2－b 2，所以e ＝a 2－b 2a＝1－b 2a2. 自测自评 1．【答案】D2．【解析】依题意有2ab ＝10，2bc ＝5，所以e ＝c a ＝12.【答案】C3．【解析】由于椭圆的焦点在x轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）（a －3）>0，a >－6.解得a >3或－6<a <－2，故选D.【答案】D基础巩固1．【解析】由题意，得a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.【答案】A2．【解析】椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝c 21a 21＝1－b 2a 2，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝k 的离心率e 2＝c 22a 22＝1－b 2ka 2k＝1－b 2a2＝e 1.故选B. 【答案】B3．【解析】由条件知，椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，所以c 2＝a 2－b 2＝169－100＝69，所以焦点坐标为(0，±69)． 【答案】D4．【解析】已知⎩⎨⎧a ＝2b ，c ＝23，a 2－b 2＝c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝4，a 2＝16⇒x 216＋y 24＝1.【答案】x 216＋y 24＝1能力提升5．【解析】当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝9，b 2＝4＋k ， 得c 2＝5－k .由ca ＝5－k 3＝45，得k ＝－1925； 当焦点在y 轴上时，a 2＝4＋k ，b 2＝9，得c 2＝k －5.由ca＝k －54＋k ＝45，得k ＝21. 【答案】C6．【解析】由题意可得a －c ＝m ＋k ，a ＋c ＝n ＋k ，故(a －c )·(a ＋c )＝(m ＋k )(n ＋k )．即a 2－c 2＝b 2＝(m ＋k )(n ＋k )，所以b ＝（m ＋k ）（n ＋k ），所以椭圆的短轴长为2（m ＋k ）（n ＋k ），故选A. 【答案】A7．【解析】由题意，得2ab ＝210，即ab ＝10.①又e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1525＝35，即2a 2＝5b 2.②解①②得a 2＝5，b 2＝2，所以所求椭圆方程为x 25＋y 22＝1.【答案】x 25＋y 22＝18．【解析】根据题意，求出点B 的坐标代入椭圆方程求解．设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.【答案】x 2＋32y 2＝19．【答案】解：∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2， 在Rt △PF 1F 2中，tan ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12， 设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴x ＝2a 3，∵|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴x 2＋4x 2＝4c 2， ∴209a 2＝4c 2，∴e ＝c a ＝53. 10．【答案】解：(1)由题设有m >0，c ＝m ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由PF 1⊥PF 2得y 0x 0＋c ·y 0x 0－c＝－1，化简得x 20＋y 20＝m .① 将①与x 20m ＋1＋y 20＝1联立，解得x 2＝m 2－1m ，y 20＝1m.由m >0，x 20＝m 2－1m≥0，得m ≥1.∴实数m 的取值范围是[1，＋∞)．。
高中数学选修2-1课时作业7：2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)
2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值为( ) A ．5 B ．8C ．5或3 D ．8或5[解析] 当焦点在x 轴上时，m ＝4＋1＝5；当焦点在y 轴上时，4＝m ＋1，∴m ＝3，综上知，m ＝5或3.[答案] C2．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)的关系为( ) A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距[解析] 当0<k <9时，(25－k )－(9－k )＝25－9＝16＝c 2，∴c ＝4，而焦点一个在x 轴上，一个在y 轴上，∴两椭圆的焦点不同，因此，有相同的焦距，故选D.[答案] D3．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )A.13B.33C.12D.32[解析] 依题意2a ＝4b ，即a ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝14a 2＋c 2，即34a 2＝c 2，∴c 2a 2＝34， ∴e ＝c a ＝32. [答案] D4．若椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13，则m 的值为( ) A.1289B.1289或18C ．18 D.1283或6 [解析] 当焦点在x轴上时，a 2＝16，b 2＝m ，∴c 2＝a 2－b 2＝16－m ，∴e 2＝c 2a 2＝16－m 16＝⎝⎛⎭⎫132，∴m ＝1289，当焦点在y 轴上时，同理可求得m ＝18.综上知m 的值为1289或18. [答案] B5．直线y ＝x ＋1被椭圆x 2＋2y 2＝4所截得的弦的中点坐标是________．[解析] 把y ＝x ＋1代入x 2＋2y 2＝4得，x 2＋2(x 2＋2x ＋1)＝4，即3x 2＋4x －2＝0.设直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－43，y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2＝－43＋2＝23. ∴x 1＋x 22＝－23，y 1＋y 22＝13.因此得弦AB 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，13.[答案] (－23，13) 6．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r 1、r 2，则卫星远行轨道的离心率是__________．[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝r 2＋R ，a －c ＝r 1＋R ，∴2a ＝2R ＋r 1＋r 2,2c ＝r 2－r 1.∴e ＝c a ＝r 2－r 12R ＋r 1＋r 2. [答案] r 2－r 12R ＋r 1＋r 27．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c .以点O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过点P (a 2c，0)所作圆M 的两条切线互相垂直．则该椭圆的离心率为________．[解析] 如图，切线P A ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 为等腰直角三角形．∴a 2c ＝2a ∴e ＝c a ＝22. [答案]228．椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点为F 1(0，－c )，F 2(0，c )(c ＞0)，离心率e ＝32，焦点到椭圆上点的最短距离为2－3，求椭圆的方程．解 ∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a －c ＝2－ 3.又e ＝c a ＝32， ∴a ＝2，c ＝ 3.∴b 2＝1.∴椭圆的方程为y 24＋x 2＝1. 9．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( ) A ．4 B ．3C ．2 D ．1[解析] 画出示意图知，两曲线有两个交点，∴A ∩B 含有2个元素，子集有4个．[答案] A10．若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45B.35C.25D.15[解析] 依题意得2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2，∴4(a 2－c 2)＝(a ＋c )2.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.解得e ＝35，或e ＝－1(舍去)． [答案] B11．直线l 过点M (1,1)，与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，若AB 的中点为M ，求直线l 的方程．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，① x 224＋y 223＝1，② ①－②得x 1－x 2x 1＋x 24＋y 1－y 2y 1＋y 23＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－34·x 1＋x 2y 1＋y 2. 又M (1,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.∴直线l 的斜率为－34. ∴直线l 的方程为y －1＝－34(x －1)，即3x ＋4y －7＝0. 12．椭圆过点(3,0)点，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程． 解 当椭圆焦点在x 轴上时，则a ＝3，c a ＝63，∴c ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆的方程为x 29＋y 23＝1. 当椭圆的焦点在y 轴上时，则b ＝3，又c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27， 故椭圆的方程为x 29＋y 227＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.。
高中数学 2.2.2.1椭圆的简单几何性质课时作业 新人教A
椭圆的简单几何性质(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为( )A.(±13,0)B.(0,±10)C.(0,±13)D.(0,±)【解析】选D.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且a=13,b=10,所以c2=a2-b2=169-100=69,所以焦点坐标为(0,±).2.椭圆+=1与+=1(0<k<9)的关系为( )A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率【解析】选B.对于椭圆+=1(0<k<9),c2=(25-k)-(9-k)=16,焦点在y轴上,所以它们有相等的焦距.3.(2014·孝感高二检测)若椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.【解析】选B.由椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,所以2×2b=2a+2c,即2b=a+c,所以5c2-3a2+2ac=0,等式两边同除以a2得5e2+2e-3=0,解得e=或e=-1(舍).4.(2014·茂名高二检测)已知椭圆+=1及以下3个函数:①f(x)=x;②f(x)=sinx;③f(x)=cosx,其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个【解析】选B.我们知道:①f(x)=x,②f(x)=sinx都是奇函数,其图象关于原点对称,而椭圆+=1的图象也关于原点对称,故①②函数图象能等分该椭圆面积;而③f(x)=cosx是偶函数,其图象不关于原点对称,故f(x)=cosx的图象不能等分该椭圆面积.综上可知:只有①②满足条件.5.设AB是椭圆+=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是( ) A.98a B.99a C.100a D.101a【解析】选 D.设F2为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,…,|F1P49|=|F2P51|,因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a.故结果应为50×2a+|F1P50|=101a.【误区警示】本题在求解过程中,易忽视|F1P50|,结果选C而致错.6.(2014·吉林高二检测)椭圆+=1的离心率为,则k的值为( )A.-21B.21C.-或21D.或21【解析】选C.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=9,b2=4+k,得c2=5-k,由==,得k=-;当焦点在y轴上时,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5,由==,得k=21.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·荆州高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为.【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0).由得由a2=b2+c2,得b2=32.故椭圆的方程为:+=1.答案:+=18.(2013·上海高考)设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA=,若AB=4,BC=,则Γ的两个焦点之间的距离为.【解析】如图所示.以AB的中点O为坐标原点,建立如图所示的坐标系.设D在AB上,且CD⊥AB,AB=4,BC=,∠CBA=⇒CD=1,DB=1,AD=3⇒C(1,1)且2a=4,把C(1,1)代入椭圆标准方程得+=1,a2=b2+c2⇒b2=,c2=⇒2c=.答案:9.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为.【解题指南】设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得=3,因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值+2+3=6.答案:6【误区警示】解题中容易不考虑x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.三、解答题(每小题10分,共20分)10.设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=,已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.【解题指南】先设椭圆方程为+=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由离心率得a=2b,利用两点间的距离公式表示出|PM|2,若0<b<,则当y=-b时|PM|2最大,这种情况不可能,若b≥,则当y=-时4b2+3=7,从而求出b值,最后求得所求方程.【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由=得a=2b,|P M|2=x2+=-3+4b2+3(-b≤y≤b),若0<b<,则当y=-b时|PM|2最大,即=7,所以b=->,故矛盾.若b≥,则当y=-时,4b2+3=7,b2=1,从而a2=4.所求方程为+y2=1.11.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn=4a2-3mn≥4a2-3·=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).所以≥,即e≥.又0<e<1,所以e的取值范围是.(2)由(1)知mn=b2,所以=mnsin60°=b2,即△PF1F2的面积只与短轴长有关.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知椭圆2x2+y2=2的两个焦点为F1,F2,且B为短轴的一个端点,则△F1BF2的外接圆方程为( )A.x2+y2=1B.(x-1)2+y2=4C.x2+y2=4D.x2+(y-1)2=4【解析】选A.由2x2+y2=2得x2+=1,所以b=1,c=1.F1(0,-1),F2(0,1),取B(1,0),故△F1BF2外接圆方程为x2+y2=1.2.F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=,则椭圆的标准方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1或+=1D.+=1或+=1【解析】选D.当焦点在x轴上时,cos∠OFA====.因为2a=6,所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5.所以椭圆方程为+=1,同理,当焦点在y轴上时,椭圆方程为+=1.3.(2014·邯郸高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根x1,x2,则点P(x1,x2)( )A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情况都有可能【解析】选A.因为x1,x2是方程ax2+bx-c=0的两个实根,所以x1+x2=-,x1·x2=-=-.由+=(x1+x2)2-2x1x2=+1,因为a>b,所以<1,所以+1<2,故点P(x1,x2)在圆x2+y2=2内.4.(2014·衡水高二检测)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )A.(0,1)B.C. D.【解析】选C.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为·=0,所以M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.又M点总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即c<b,c2<b2=a2-c2,故e2<,所以0<e<.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·辽宁高考)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则+= .【解析】根据题意,椭圆的左右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),由于点M的不确定性,不妨令其为椭圆的左顶点M(-3,0),线段MN的中点为椭圆的上顶点H(0,2),则M关于C的焦点的对称点分别为A(-2+3,0),B(2+3,0),而点N(3,4),据两点间的距离公式得+=+=12. 答案:126.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且=2,则椭圆C的离心率为.【解析】如图,不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,设D(x,y),由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),即解得所以D.因为点D在椭圆上,所以+=1,解得a2=3c2,即e2=,所以e=.答案:【变式训练】(2013·江苏高考改编)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为+=1(a>0,b>0),右焦点为F,直线l方程为:x=,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2,若d2=d1,则椭圆C的离心率为.【解题指南】利用d2=d1构建关于参数a,b,c的关系式.【解析】由原点到直线BF的距离为d1得d1=,因F到l的距离为d2故d2=-c,又d2=d1,所以-c=⇒a2-c2=⇒1-e2=e2,又=,解得e=.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知椭圆x2+=1(0<b<1)的左焦点为F,左、右顶点分别为A,C,上顶点为B,过F,B,C三点作☉P,且圆心在直线x+y=0上,求此椭圆的方程.【解题指南】根据圆的性质,得圆心P为FC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点,因此分别算出FC,BC的垂直平分线方程,得到它们的交点为P,代入直线x+y=0解出b2=,即可得出此椭圆的方程.【解析】设圆心P的坐标为(m,n),因为☉P过点F,B,C三点,所以圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC 的垂直平分线上,FC的垂直平分线方程为x=. ①因为BC的中点为,k BC=-b,所以BC的垂直平分线方程为y-=②由①,②联立,得x=,y=,即m=,n=.因为P(m,n)在直线x+y=0上,所以+=0,可得(1+b)(b-c)=0,因为1+b>0,所以b=c,结合b2=1-c2得b2=,所以椭圆的方程为x2+=1,即x2+2y2=1.8.已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P是椭圆上的一个动点,求·的取值范围.【解析】由+=1,得F1(-,0),F2(,0),设P(x0,y0),则=(--x0,-y0),=(-x0,-y0).所以·=(-5)+. ①又+=1,所以=4-,代入①,所以·=-1,因为0≤≤9,所以0≤≤5,所以-1≤·≤4,所以·∈[-1,4].【误区警示】本题易出现只注意到≥0得出·≥-1的错误,错误的原因是忽视了点P(x0,y0)在椭圆上,x0应满足x0∈[-3,3].【变式训练】已知椭圆+=1(a>b>0),若椭圆的离心率e满足≤e≤,且+=2,求椭圆长轴长的取值范围.【解题指南】由+=2把b2用a2表示,代入关于离心率的不等式组中,求出2a的范围.【解析】由+=2得b2=①,所以e2===1-,又因为≤e≤,所以≤1-≤,结合①b2=可得≤≤,所以≤a2≤,≤a≤,即≤2a≤, 故长轴长的取值范围是[,].。
课时作业4：2.2.2 椭圆的简单几何性质（二）
2.2.2 椭圆的简单几何性质（二）一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a <2 B ．a <－2或a > 2 C ．－2<a <2 D ．－1<a <1 答案：A2．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( ) A.12 B.32C ．1 D.3 解析：选B.椭圆的右焦点为F (1,0)，∴d ＝33＋1＝32. 3．过椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( ) A ．5 B ．6 C.9017D ．7 解析：选C.椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k ＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4x 225＋y 29＝1得9x 2＋25(x －4)2＝225， 由弦长公式易求|AB |＝9017. 4．直线y ＝x ＋m 与椭圆x 2144＋y 225＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(－5,5) B ．(－12,12) C ．(－13,13) D ．(－15,15)解析：选C.联立直线与椭圆方程，由判别式Δ>0，可得－13<m <13.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12解析：选D.如图，由于BF ⊥x 轴，故x B ＝－c ，y B ＝b 2a.设P (0，t )，∵AP →＝2PB →，∴(－a ，t )＝2⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a －t .∴a ＝2c ，∴c a ＝12.6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B.不妨设l 过椭圆的右焦点(1,0)，则直线l 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 22＋y 2＝1，消去y ，得3x 2－4x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝43，x 1x 2＝0， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－1)(x 2－1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－43＋1＝－13. 二、填空题7．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．解析：由题意可设椭圆方程x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a ＝7. 答案：278．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2连线的夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝___. 解析：两焦点的坐标分别为F 1(－5,0)、F 2(5,0)，由PF 1⊥PF 2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100.而|PF 1|＋|PF 2|＝14，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝196.∴100＋2|PF 1|·|PF 2|＝196.∴|PF 1|·|PF 2|＝48.答案：489．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．解析：椭圆的右焦点为F (1,0)，∴l AB ：y ＝2x －2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 25＋y 24＝1，得3x 2－5x ＝0，∴x ＝0或x ＝53，∴A (0，－2)，B (53，43)，∴S △AOB ＝12|OF |(|y B |＋|y A |)＝12×1×(2＋43)＝53. 答案：53三、解答题10．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程． 解：设此椭圆的标准方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，且a 2－b 2＝(52)2＝50 ① 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2b 2＋y 2a 2＝1y ＝3x －2，得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0. ∵x 1＋x 22＝12，∴6b 2a 2＋9b 2＝12，∴a 2＝3b 2 ②，此时Δ>0， 由①②得a 2＝75，b 2＝25，∴x 225＋y 275＝1. 11．如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的方程．解：∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°，即△BAP 是等腰直角三角形，|AB |＝2|AP |. ∵AB →·AP →＝9，∴|AB ||AP |cos 45°＝2|AP |2cos 45°＝9，∴|AP |＝3.∵P (0,1)，∴|OP |＝1，|OA |＝2，即b ＝2，且B (3,1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1. 12．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎨⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4， 得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．。
课时作业29：2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）
2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）A 级 基础巩固一、选择题1．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2)2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为 ( ) A ．12B ．13C ．14D ．223．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k ＝1 (0<k <9)有 ( )A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴4．短轴长为5，离心率为23的椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A ，B两点，则△ABF 2的周长为 ( ) A ．24 B ．12 C ．6D ．35．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为 ( ) A ．13B ．12C ．33D ．226．已知A ＝{1,2,4,5}，a 、b ∈A ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率为 ( )A ．34B ．38C ．316D ．12二、填空题7．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为__________.8．已知点A (1，e )和点B (e ，32)都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，其中e 为椭圆的离心率，则e ＝_________. 三、解答题9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.10．已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x 轴的距离等于短半轴长的23，求椭圆的离心率.B 级 素养提升一、选择题1．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 ( )A ．8、6B ．4、3C ．2、3D ．4、232．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1||PF 2|＝21，则△F 1PF 2的面积等于 ( ) A ．5B ．4C ．3D ．13．已知点P (x ，y )在椭圆x 2＋4y 2＝4上，则34x 2＋2x －y 2的最大值为 ( )A ．8B ．7C ．2D ．－14．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( ) A ．14B ．55C ．12D ．5－25．焦点在y 轴上的椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率为32，则m 的值为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题6．设点F ，B 分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点和上顶点，O 为坐标原点，且△OFB的周长为3＋3，则实数a 的值为_____________.7．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，若直线l ：x ＝a 2c 上存在一点P ，使得线段PF 1的垂直平分线过点F 2，则离心率的范围是______________. 三、解答题8．已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段P A 中点M 的轨迹方程.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，离心率e ＝22，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4 2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 、B 是直线l ：x ＝22上的不同两点，若AF 1→·BF 2→＝0，求|AB |的最小值．C 级 能力拔高设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到椭圆的最远距离是7，求椭圆的标准方程.参考答案A 级 基础巩固一、选择题 1．【答案】D【解析】由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0a >－6，解得a >3或－6<a <－2，故选D ． 2．【答案】A【解析】由题意，得a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12．3．【答案】B【解析】 依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C 2：焦距＝2(25－k )－(9－k )＝8，故选B ． 4．【答案】C 【解析】由题意b ＝52，e ＝c a ＝23，a 2＝b 2＋c 2，从而得a ＝32，4a ＝6，故选C ． 5．【答案】D【解析】依题意椭圆的焦距和短轴长相等，故b ＝c ，a 2－c 2＝c 2，∴e ＝22． 6．【答案】B【解析】∵a 、b ∈A ，∴不同的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1共有16个．由题意a 2<b 2，∴a ＝1时，b ＝2、4、5；a ＝2时，b ＝4、5； a ＝4时，b ＝5，共6个，∴所求概率P ＝616＝38．二、填空题7．【答案】y 216＋x 2＝1【解析】由已知，2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1， ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1．8．【答案】22【解析】∵1a 2＋e 2b 2＝1，e 2a 2＋34b 2＝1，∴b 2＋c 2a 2b 2＝1，∴b 2＝1，a 2＝2c ⇒1＋c 2＝2c ⇒c ＝1， ∴e ＝22． 三、解答题9．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3．即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3． 由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1． ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32．∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1(－32，0)、F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)、A 2(1,0)、B 1(0，－12)、B 2(0，12)．10．解：解法一：设焦点坐标为F 1(－c ，0)、F 2(c,0)，M 是椭圆上一点， 依题意设M 点坐标为(c ，23b )．在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2，而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab ． 又c 2＝a 2－b 2,3b ＝2a .∴b 2a 2＝49． ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53． 解法二：设M (c ，23b )，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，∴c 2a 2＝59，∴c a ＝53，即e ＝53． B 级 素养提升一、选择题 1．【答案】B【解析】椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是2b 2a ．∴最长的弦为2a ＝4，最短的弦为2b 2a ＝2×32＝3，故选B ． 2．【答案】B【解析】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1||PF 2|＝21，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B ．3．【答案】B【解析】 点P (x ，y )在椭圆x 2＋4y 2＝4上，可得x ∈[－2,2]． 可得y 2＝1－14x 2．则34x 2＋2x －y 2＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2≤9－2＝7，当且仅当x ＝2时取得最大值7.故选B ． 4．【答案】B【解析】∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝a ＋c ，又由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列得(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2，所以离心率e ＝55． 5．【答案】D 【解析】椭圆的方程mx 2＋y 2＝1化为标准方程为x 21m＋y 2＝1，由题意得，a 2＝1，b 2＝1m ，∴c 2＝a 2－b 2＝1－1m ，∴离心率e ＝ca ＝1－1m ＝32，∴m ＝4． 二、填空题 6．【答案】2【解析】根据题意可知△OFB 的周长为a ＋b ＋c ＝3＋3，又b ＝3，可知a ＋c ＝3，结合a 2－c 2＝b 2＝3，可以解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，故实数a 的值为2．7．【答案】[33，1) 【解析】由题意得 F 1(－c,0))，F 2 (c,0)，设点P (a 2c ，m )，则由中点公式可得线段PF 1的中点K (a 2－c 22c ，m 2)，∴线段PF 1的斜率与KF 2的斜率之积等于－1，∴m －0a 2c ＋c ·m2－0a 2－c 22c －c ＝－1， ∴m 2＝－(a 2c ＋c )·(a 2c－3c )≥0， ∴a 4－2a 2c 2－3c 4≤0， ∴3e 4＋2e 2－1≥0，∴e 2≥13，或e 2≤－1(舍去)，∴e≥33． 又椭圆的离心率0＜e ＜1，故33≤e ＜1，故答案为[33，1)． 三、解答题8．解：设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x 0＋62＝x y 0＋02＝y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6y 0＝2y ，∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 204＝1．把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6y 0＝2y ，代入x 208＋y 204＝1，得(2x －6)28＋(2y )24＝1，即x －322＋y 2＝1为所求．9．解：(1)由题意得：⎩⎨⎧e ＝c a ＝22a 2＝b 2＋c2S ＝12×(2a )×(2b )＝42，解得：⎩⎨⎧a ＝2b ＝2c ＝2．所以椭圆的标准方程为：x 24＋y 22＝1．(2)由(1)知，F 1、F 2的坐标分别为F 1(－2，0)、F 2(2，0)，设直线l ：x ＝22上的不同两点A 、B 的坐标分别为A (22，y 1)、B (22，y 2)，则AF 1→＝(－32，－y 1)、BF 2→＝(－2，－y 2)，由AF 1→·BF 2→＝0得y 1y 2＋6＝0，即y 2＝－6y 1，不妨设y 1>0，则|AB |＝|y 1－y 2|＝y 1＋6y 1≥26，当y 1＝6、y 2＝－6时取等号，所以|AB |的最小值是26．C 级 能力拔高解：依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝34，所以b 2a 2＝14，即a ＝2b ．设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2(1－y 2b 2)＋y 2－3y ＋94＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3． 若b <12，则当y ＝－b 时，d 2有最大值，从而d 有最大值， 于是(7)2＝(b ＋32)2，因为b >0，从而解得b ＝7－32<12，与b <12矛盾．所以必有b ≥12，此时当y ＝－12时，d 2有最大值，从而d 有最大值，所以4b 2＋3＝(7)2， 解得b 2＝1，a 2＝4．于是所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1．。
课时作业44：2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)
2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)基础过关1.点A (a ，1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.(－2，2)C.[－2，2]D.(－2，2)解析 由题意，得a 24＋12<1，即a 2<2，解得－2<a < 2.答案 B2.已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，则直线l 与椭圆C 的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.相切或相交解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 24＋y 2＝1消y ，得x 24＋(3－x )2＝1， 即5x 2－24x ＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离.答案 C3.经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA→·OB →等于( ) A.－3 B.－13C.－13或－3D.±13解析 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.答案 B4.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP→·FP →的最大值为________. 解析 由题意得，F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3(1－x 204)(－2≤x 0≤2)， 因为OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋1，y 0)， 所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 所以当x 0＝2时，OP→·FP →取得最大值6. 答案 65.已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，联立得：3x 2－4x ＝0， 可知：A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， 又F 1(－1，0)，∴|F 1A |＋|F 1B |＝2＋523＝823.答案 8236.设直线y ＝x ＋m 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点.(1)求实数m 的取值范围；(2)当m ＝1时，求|AB→|. 解 (1)将y ＝x ＋m 代入x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋m 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＝24－8m 2>0，解得－3<m < 3.所以m 的取值范围是(－3，3).(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当m ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43.相应地，y 1＝1，y 2＝－13.所以|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝43 2.7.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2，3)，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12.(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.解 (1)由题意可知直线AM 的方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＝－4.当y ＝0时，解得x ＝－4，所以a ＝4.由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2，3)，可得416＋9b 2＝1，解得b 2＝12.所以C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m(m≠－4).如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程x－2y＝m与椭圆方程x216＋y212＝1，可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，即m2＝64，解得m＝±8，与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8，点N与直线AM的距离即两平行线之间的距离，即d＝8＋41＋4＝1255.又由两点之间距离公式可得|AM|＝（2＋4）2＋32＝35，所以△AMN的面积的最大值为12×35×1255＝18.能力提升8.过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.52 B.33C.12 D.13解析 由题意得，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a 或⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ， 因为∠F 1PF 2＝60°，所以2c b 2a ＝3，即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)， 所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或e ＝－3(舍去). 答案 B9.直线y ＝x ＋1被椭圆x 2＋2y 2＝4所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12 解析 将直线方程y ＝x ＋1代入椭圆方程x 2＋2y 2＝4中，得x 2＋2(x ＋1)2＝4，∴3x 2＋4x －2＝0，∴弦的中点的横坐标是x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－23， 代入直线方程y ＝x ＋1中，得y ＝13， ∴弦的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.故选B. 答案 B10.已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________.解析 由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b 2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 答案 311.已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为________. 解析 由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c ).∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14.答案 1412.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程. 解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 所以1a 2＋94b 2＝1.①又因为离心率为12，所以c a ＝12，所以b 2a 2＝34.②解①②得a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线的倾斜角为π2时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32， S △ABF 2＝12|AB |×|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227，不符合题意.当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)，代入x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以S △ABF 2＝12|y 1－y 2|×|F 1F 2|＝|k |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝|k |⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 24k 2＋32－4·4k 2－124k 2＋3 ＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227， 所以17k 4＋k 2－18＝0，解得k 2＝1(k 2＝－1817舍去)，所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.创新突破13.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过点A (－2，－1)，且a ＝2b .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点B (－4，0)的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x ＝－4于点P ，Q ，求|PB ||BQ |的值.解 (1)由椭圆过点A (－2，－1)，得4a 2＋1b 2＝1.又a ＝2b ，∴44b 2＋1b 2＝1，解得b 2＝2，∴a 2＝4b 2＝8，∴椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1. (2)当直线l 的斜率不存在时，显然不合题意.设直线l ：y ＝k (x ＋4)，由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋4），x 2＋4y 2＝8得(4k 2＋1)x 2＋32k 2x ＋64k 2－8＝0. 由Δ＞0，得－12＜k ＜12.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－32k 24k 2＋1，x 1x 2＝64k 2－84k 2＋1. 又∵直线AM ：y ＋1＝y 1＋1x 1＋2(x ＋2)， 令x ＝－4，得y P ＝－2（y 1＋1）x 1＋2－1. 将y 1＝k (x 1＋4)代入，得y P ＝－（2k ＋1）（x 1＋4）x 1＋2. 同理y Q ＝－（2k ＋1）（x 2＋4）x 2＋2. ∴y P ＋y Q ＝－(2k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋4x 1＋2＋x 2＋4x 2＋2 ＝－(2k ＋1)·2x 1x 2＋6（x 1＋x 2）＋16（x 1＋2）（x 2＋2）＝－(2k ＋1)·2（64k 2－8）4k 2＋1＋6×（－32k 2）4k 2＋1＋16（x 1＋2）（x 2＋2）＝－(2k ＋1)·128k 2－16－192k 2＋64k 2＋16（4k 2＋1）（x 1＋2）（x 2＋2）＝0. ∴|PB |＝|BQ |，∴|PB ||BQ |＝1.。
课时作业15：2.2.2 椭圆的简单几何性质（二）
2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)一、选择题1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值是( )A ．－1B.12 C ．－1或1 D ．－12或122．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝03．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22 B ．±22 C.12 D ．±124．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最大值的点P 为( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(0,1)或(0，－1)5．已知椭圆：x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B. 2C.32D. 3 6．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，c >0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且c 2＝a 2－b 2.若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．[12，1) B ．(0，12] C ．[22，1) D ．(0，22] 二、填空题7．椭圆x 216＋y 29＝1上的点到直线l ：x ＋y －9＝0的距离的最小值为________． 8．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________．9．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．10．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．三、解答题11．设直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)相交于A ，B 两点，且l 过椭圆C 的右焦点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆C 的方程．12．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →⊥OQ →(O 为坐标原点)． (1)求证：1a 2＋1b 2等于定值； (2)若椭圆的离心率e ∈[33，22]，求椭圆长轴长的取值范围．13．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，离心率为12，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程．答案精析1．C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.B 7．22 8.2(p ＋r )(q ＋r ) 9.2 10.23或3811．解 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)得c ＝a 2－(a 2－1)＝1， ∴椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．又∵l 经过点F 2，∴m ＝－1，即直线l 的方程为y ＝x －1，代入x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)得 (2a 2－1)x 2－2a 2x ＋2a 2－a 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝2a 2－a 42a 2－1. 又∵以AB 为直径的圆过点F 1，∴AF 1⊥BF 1.∴kAF 1·kBF 1＝－1，即y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1， ∴y 1y 2＋(x 1＋1)·(x 2＋1)＝0.∵y 1＝x 1－1，y 2＝x 2－1，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(x 1＋1)·(x 2＋1)＝0，即x 1x 2＝－1，∴2a 2－a 42a 2－1＝－1， 解得a 2＝2±3.又∵a 2>1，∴a 2＝2＋3，即a 2－1＝1＋ 3. 故所求椭圆的方程为x 22＋3＋y 21＋3＝1. 12．(1)证明 椭圆的方程可化为b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0，x ＋y －1＝0， 消去y 得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0.由Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)·a 2·(1－b 2)>0得a 2＋b 2>1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2. ∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝0.∴2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，即2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b 2＋1＝0. ∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，即1a 2＋1b 2＝2. ∴1a 2＋1b 2等于定值． (2)解 ∵e ＝c a， ∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－a 2e 2.又∵a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴2－e 2＝2a 2(1－e 2)，即a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2). ∵33≤e ≤22， ∴54≤a 2≤32，即52≤a ≤62， ∴5≤2a ≤6，即椭圆长轴长的取值范围是[5，6]．13．解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)， 所以1a 2＋94b 2＝1. ① 又因为离心率为12，所以c a ＝12， 所以b 2a 2＝34. ② 解①②得a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线的倾斜角为π2时， A (－1，32)，B (－1，－32)，S △ABF 2＝12|AB |×|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227. 当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)， 代入x 24＋y 23＝1， 得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3， x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以S △ABF 2＝12|y 1－y 2|·|F 1F 2| ＝|k |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|k | (－8k 24k 2＋3)2－4·4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227， 所以17k 4＋k 2－18＝0，解得k 2＝1(k 2＝－1817舍去)， 所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。
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2.2.2 椭圆的简单几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1 (a>b>0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A .x 236＋y 216＝1 B .x 216＋y236＝1C .x 26＋y 24＝1D .y 26＋x24＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A . 3B .32C .83D .234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为( )A .－1＋52 B ．1－22C .2－1D .225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0A ．(0,1)B .⎝⎛⎦⎥⎤0，12C .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D .⎢⎡⎪⎫2，1二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于______．9．椭圆E ：x 216＋y24＝1内有一点P(2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为____________． 三、解答题 10.如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a2c(c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.11．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．能力提升 12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A .45 B .35 C .25 D .13 13．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F 1(－3，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．2.2.2 椭圆的简单几何性质知识梳理作业设计1．B [先将椭圆方程化为标准形式：x 29＋y 225＝1，其中b ＝3，a ＝5，c ＝4.] 2．A 3.B4．A [由(a ＋c )2＝a 2＋2b 2＋c 2， ∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，∵e ＝c a ，∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝－1＋52.]5．B [∵4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<4. ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．]∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部， 设点P 为椭圆上任意一点，则|OP |>c 恒成立， 由椭圆性质知|OP |≥b ，其中b 为椭圆短半轴长，∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2<12，∴e ＝c a <22.又∵0<e <1，∴0<e <22.]7.x 245＋y 236＝1解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，将点(－5,4)代入得25a 2＋16b2＝1，又离心率e ＝c a ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，解之得a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.8.255解析 由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝c a＝255. 9．x ＋2y －4＝0解析 设弦的两个端点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1x 2216＋y 224＝1，两式相减，得 x 1＋x 2 x 1－x 2 16＋ y 1＋y 2 y 1－y 24＝0.又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k MN ＝－12，由点斜式可得弦所在直线的方程为y ＝－12(x －2)＋1，即x ＋2y －4＝0.10．解 依题意知H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，F (c,0)，B (0，b )． 设P (x P ，y P )，且x P ＝c ，代入到椭圆的方程，得y P ＝b 2a .∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .∵HB ∥OP ，∴k HB ＝k OP ，即b －00＋a 2c＝b 2a c .∴ab ＝c 2.∴e ＝c a ＝b c ，∴e 2＝a 2－c 2c2＝e －2－1.∴e 4＋e 2－1＝0.∵0<e <1，∴e ＝5－12. 11．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0.解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝15(m 2－1)．设弦长为d ，且y 1－y 2＝(x 1＋m )－(x 2＋m )＝x 1－x 2，∴d ＝ x 1－x 2 2＋ y 1－y 2 2＝2 x 1－x 2 2＝2[ x 1＋x 2 2－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45 m 2－1 ＝2510－8m 2. ∴当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x .12．B [由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．]13．解 (1)∵a ＝2，c ＝3，∴b ＝a 2－c 2＝1. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －12.又∵x 204＋y 20＝1，∴ 2x －1 24＋⎝⎛⎭⎪⎫2y －122＝1即为中点M 的轨迹方程．。