高一数学必修4试题{附答案详解}
人教版高一数学必修1必修4期末测试卷附答案
人教版高一数学必修1必修4期末测试卷附答案人教版高一数学必修1必修4期末测试卷姓名：__________ 班级：___________ 学号：____________ 分数：______________一、选择题（每题5分，共40分）1.集合A={x∈N*｜-1<x<3}的子集的个数是（。
）。
A。
4.B。
8.C。
16.D。
322.函数f(x)=1/(1-x)+lg(1+x)的定义域是（。
）。
A。
(-∞,-1)。
B。
(1,+∞)。
C。
(-1,1)U(1,+∞)。
D。
(-∞,+∞)3.设a=log2,c=5-1/3,b=ln22，则（。
）。
A。
a<b<c。
B。
b<c<a。
C。
c<a<b。
D。
c<b<a4.函数y=-x^2+4x+5的单调增区间是（。
）。
A。
(-∞,2]。
B。
[-1,2]。
C。
[2,+∞)。
D。
[2,5]5.已知函数f(x)=x^2-2ax+3在区间(-2,2)上为增函数，则a的取值范围是（。
）。
A。
a≤2.B。
-2≤a≤2.C。
a≤-2.D。
a≥26.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是（。
）。
A。
y=x-2.B。
y=x-1.C。
y=x^2.D。
y=x^37.若函数f(x)=x/(2x+1)(x-a)为奇函数，则a=（。
）。
A。
1/2.B。
2/3.C。
3/4.D。
1/88.已知α是第四象限角，XXX(π-α)=5/12，则sinα=（。
）。
A。
1/5.B。
-1/5.C。
5.D。
-59.若tanα=3，则sinαcosα=（。
）。
A。
3.B。
3/2.C。
3/4.D。
9/410.sin600°的值为（。
）。
A。
3/2.B。
-3/2.C。
-1/2.D。
1/211.已知cosα=3/5，π/4<α<π，则XXX(α+π/4)=（。
）。
A。
1.B。
-1.C。
5/8.D。
-5/812.在△ABC中，sin(A+B)=sin(A-B)，则△ABC一定是（。
人教版数学必修4练习题附答案
高一数学下学期期中练习题时间：120分钟 满分：150分第I 卷（选择题, 共60分）一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）3．下列函数中，最小正周期为2π的是( )A ．sin y x =B ．sin cos y x x =C ．tan 2xy = D ．cos 4y x =5．已知(,3)a x =v , (3,1)b =v , 且a b ⊥v v , 则x 等于 ( )A ．－1B ．－9C ．9D ．16．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=( )A ．21B ．21-C ．89D ．89-7．要得到2sin(2)3y x π=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( )A ．向左平移23π个单位 B ．向右平移23π个单位C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位A 重心B 垂心C 内心D 外心10．已知1(2,1)P -, 2(0,5)P 且点P 在12P P 的延长线上, 12||2||PP PP =u u u v u u u v, 则点P 的坐标为 ( )A ．(2,7)-B ．4(,3)3 C ．2(,3)3 D ．(2,11)-11．已知2tan()5αβ+=, 1tan()44πβ-=, 则tan()4πα+的值为 ( )A ．16 B ．2213 C ．322 D ．131812．函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图，则ϕ、ω可以取的一组值是（ ）A. ,24ππωϕ==B. ,36ππωϕ==C. ,44ππωϕ== D. 5,44ππωϕ==第II 卷（非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）11．已知扇形的圆心角为0120，半径为3，则扇形的面积是12．已知ABCD 为平行四边形，A(-1,2)，B (0,0)，C(1,7)，则D 点坐标为三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（本小题满分10分）(2)已知3tan =α，计算ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+- 的值18（本题满分12分）已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----． （1）化简()f α（2）若31cos()25πα-=，求()f α的值19（本小题满分12分） 1 3已知(1,2)a =r ,)2,3(-=,当k 为何值时，(1) ka b +r r 与3a b -r r 垂直？(2) ka b +r r 与3a b -r r 平行？平行时它们是同向还是反向？21．（本题12分）如图,某大风车的半径为2米,每12秒沿逆时针方向旋转一周,它的最底点O 离地面1米,风车圆周上一点A 从最底点O 开始,运动t 秒后与地面距离为h 米，(1)求函数h=f(t)的关系式, 并在给出的方格纸上用五点作图法作出h=f(t)在一个周期内的图象(要列表,描点)；(2) A 从最底点O 开始, 沿逆时针方向旋转第一周内,有多长时间离地面的高度超过4米?22（本小题满分12分）已知,cos )a x m x =+r ，(cos ,cos )b x m x =-+r , 且()f x a b =v v g(1) 求函数()f x 的解析式;(2) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.参考答案一、1-5 DBDDA 6-10 DDBCD 11-12 CC三、17.解：（1）1（2）显然cos 0α≠∴ 4sin 2cos 4sin 2cos 4tan 24325cos 5cos 3sin 5cos 3sin 53tan 5337cos αααααααααααα---⨯-====++++⨯ 18.解：（1）()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----(cos )(sin )(tan )(tan )sin cos αααααα--=-=-（2）∵31cos()25πα-=∴ 1sin 5α-= 从而1sin 5α=-又α为第三象限角∴cos α==即()f α的值为-19.解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+r r3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-r r（1）()ka b +⊥r r (3)a b -r r ，得()ka b +r r g (3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-==r r（2）()//ka b +r r (3)a b -r r ，得14(3)10(22),3k k k --=+=- 此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=--r r ，所以方向相反。
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云南省昆明市师范大学附属中学2024届数学高一下期末达标检测试题含解析
云南省昆明市师范大学附属中学2024届数学高一下期末达标检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知0a >，若关于x 的不等式22(1)()x ax ->的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是（） A ．43,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭2．函数12log sin(2)4y x π=+的单调减区间为()A ．(kπ﹣4π，kπ]，(k ∈Z) B ．(kπ﹣8π，kπ]，(k ∈Z) C ．(kπ﹣8π，kπ+8π]，(k ∈Z) D ．(kπ+8π，kπ+38π]，(k ∈Z)3．已知ππ042βα<<<<，且sin cos αα-=π4sin 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ+=（ ）A B ． C D ． 4．设向量a 12=-（，），b m 1,,m =+-（）且a b ⊥，则实数的值为（） A ．2-B ．2C ．13D ．13-5．已知等比数列{}n a 中，141,8a a =-=，该数列的公比为 A ．2B ．-2C ．2±D ．36．两圆22(2)1x y +-=和22(2)(1)16x y +++=的位置关系是（） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切7．如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为，落在正方形内的豆子数为，则圆周率的估算值是（ ）A ．B ．C ．D ．8．．在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ⋅=，则3132log log b b ++…314log b +等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．圆心坐标为()1,1-，半径长为2的圆的标准方程是（） A ．()()22112x y -++= B ．()()22112x y ++-= C ．()()22114x y -++= D ．()()22114x y ++-= 10．若集合，则A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024-2025学年重庆市南开中学高一数学上学期9月考试卷附答案解析
2024-2025学年重庆市南开中学高一数学上学期9月考试卷试卷满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各项中，不可以组成集合的是A ．所有的正数B ．等于2的数C ．接近于0的数D ．不等于0的偶数2．已知命题1:0,2p x x x∀>+>，则p ⌝为（）A ．0x ∀>，12x x +≤B ．0x ∀≤，12x x +≤C ．0x ∃≤，12x x+≤D ．0x ∃>，12x x+≤3．{}2{1,,},1,,2A x y B x y ==，若A B =，则实数x 的取值集合为（）A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,22⎧⎫-⎨⎩⎭C ．10,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．110,,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭4．满足{1，2，3}M {1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（）A ．8B ．7C ．6D ．55．如图，I 是全集，M P S 、、是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()I M P S ⋂⋂ðD ．()I M P S⋂⋃ð6．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）7．若A 、B 、C 为三个集合，A B B C ⋃=⋂，则一定有（）A ．A C⊆B ．C A⊆C ．A C¹D ．A =∅8．设集合{123456}M =，，，，，，12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i≠j ，{123}i j k ∈ 、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y，中的较小者），则k 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9．已知“1x <”是“x a ”的充分不必要条件，则a 的值可能为（）A ．0B ．1C ．2D ．410．设{}{},31,,31,a b A xx m m c B x x k k ∈==+∈∈==-∈Z Z ∣∣，则（）A ．a b A +∈B ．ab A ∈C ．a b B+∈D ．ac B∈11．集合{}S x m x l =≤≤∣，且若a S ∈，则2a S ∈，那么下列说法正确的有（）A ．若1m =，则1l =B ．12l =，则202m ≤≤C ．||1,||1m l ≤≤D ．若1l =，则10m -≤≤第II 卷（非选择题）三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.12．设全集{}*6U x x =∈<N ∣，集合{}1,3A =，{}3,5B =，则()U C A B ⋃=．13．南开中学高一某班报名数学、物理竞赛班，两科都不参加的占全班的13，只参加数学的占全班的25，参加物理的比参加数学的少11人，两门都参加的有5人，则全班有人.14．已知集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，(){},1,1,,B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合()()(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为.四、解答题15．（1）若集{}2R310A x ax x =∈++=∣中有且仅有一个元素，求实数a 的所有取值.（2）已知集合{}2{10},320A xmx B x x x =-==-+=∣∣，若A B ⊆，求实数m 的值.16．设集合{}{}{}23217,280,321A x x B x x x C x a x a =-<+<=+->=-<<+.(1)求()A B ⋂R ð(2)若()A B C ⋃⊆R ð，求实数a 的取值范围.17．已知全集R U =，集合22{|30},{|(2)(34)0}A x x x b B x x x x =-+==-+-=．(1)若b ＝4时，存在集合M 使得AMB ，求出所有这样的集合M ；(2)集合A ，B 能否满足()U B A =∅ ð？若能，求实数b 的取值范围；若不能，请说明理由．18．已知{}{}22{(,)2},(,),(,)2(42)A x y y x k B x y y x C x y y x k x k ==+====+--∣∣∣.(1)若A B =∅ ，求实数k 的取值范围;(2)若()()A B A C ⋂⊆⋂，求实数k 的取值范围.19．设集合{1,2,3,,n S n = ），若X 是n S 的子集，把X 中所有元素的和称为X 的"容量"（规定空集的容量为0），若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为n S 的奇（偶）子集.(1)写出4S 的所有奇子集;(2)求证：n S 的奇子集与偶子集个数相等；(3)求证：当3n ≥时，n S 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.1．C【详解】试题分析：集合中的元素满足三要素：确定性、互异性、无序性；“接近于0的数”是不确定的元素故接近于0的数不能组成集合故选C ．考点：集合的含义．2．D【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得：命题1:0,2p x x x ∀>+>的否定是10,2x x x∃>+≤．故选：D 3．A【分析】两个集合相等，则元素相同，据此分类讨论求解即可.【详解】由题意1x ≠，22x y y x =⎧⎨=⎩或22x x y y ⎧=⎨=⎩，∴1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y =⎧⎨=⎩，由集合元素互异性可知1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则实数x 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故选：A.4．C【分析】根据条件，列举出满足条件的集合M ，即可求解.【详解】由题意可知，{}1,2,3,4M =,{}1,2,3,5,{}1,2,3,6,{}1,2,3,4,5,{}1,2,3,4,6,{}1,2,3,5,6，共有6个集合满足条件.故选：C 5．C【分析】直接根据阴影部分的位置得答案.【详解】图中阴影部分不在集合S 中，在集合,M P 中，故阴影部分所表示的集合是()I M P S ⋂⋂ð.故选：C.6．B【详解】试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a的取值范围为，故选B.考点：集合的关系7．A【分析】由已知等式可推导得到A B C ⊆⊆，由此可依次判断各个选项得到结果.【详解】因为A B B C ⋃=⋂，所以⊆ A B B ，A B C ⊆ ，B B C ⊆ ，所以,,A B A C B C ⊆⊆⊆,所以A B C ⊆⊆，对于A ，因为A B C ⊆⊆，所以A C ⊆，故A 正确；对于B ，当且仅当A B C ==时，C A ⊆，故B 错误；对于C ，当A B C ==时，满足A B C ⊆⊆，故C 错误；对于D ，当A ≠∅时，满足A B C ⊆⊆，故D 错误.故选：A.8．B 【分析】根据题意，首先分析出M 的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对{},,(,j j i i i i j j a b a b min min min x y b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭表示两个数x 、y 中的较小者）的把握，即可得答案．【详解】解：根据题意，对于M ，含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个；故选：B ．9．BCD【分析】由充分不必要条件求出a 的范围即可找到选项.【详解】因为“1x <”是“x a ≤”的充分不必要条件，所以1a ≥.故选：BCD 10．BCD【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可.【详解】设()31,31,31a u b v c w u v w =+=+=-∈Z 、、，而()()32311a b u v u v B +=++=++-∈，即A 错误，C 正确；()()931331ab uv u v uv u v A =+++=+++∈，即B 正确；()()931331ac uw w u uw u w B =+--=-+-∈，即D 正确.故选：BCD.11．AB【分析】根据集合的定义，由m S ∈，l S ∈，得到2m S ∈，2l S ∈，即2m m ≥，2l l ≤，然后利用一元二次不等式的解法化简后逐项判断.【详解】∵非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当a S ∈时，有2a S ∈∴m S ∈，l S ∈，m l ≤.则2m S ∈，2l S ∈，且2m m ≥，2l l ≤.即0m ≤或1m ≥，01l ≤≤且1m ≤，对于A ，当1m =时，有1l =，故A 正确；对于B ，当12l =时，2m S ∈，所以212m ≤，所以02m ≤≤，故B 正确；对于C ，因为0m ≤或1m ≥，故C 错误；对于D ，当1l =时，可知10m -≤≤或1m =，故D 错误.故选：AB 12．{2,4}【分析】由全集{}*6U x x =∈<N ∣，可得{1,2,3,4,5}U =，然后根据集合混合运算的法则即可求解．【详解】{}1,3A = ，{}3,5B =，{1,3,5}A B ∴⋃=，{}*{|6}1,2,3,4,5U x x =∈<=N ，(){}2,4U C A B ∴⋃=，故答案为：{2,4}．13．45【分析】引入参数x ，只参加数学的占参加了竞赛班的比例列方程即可求解.【详解】设只参加物理的有x 个人，则只参加数学的有()11x +个人，因为两科都不参加的占全班的13，所以参加了竞赛班的占全班的23，所以只参加数学的占参加了竞赛班的()2311115251152163x x x x x ++===++++，解得7x =，所以全班有7114525+=人.故答案为：45.14．21【分析】首先用列举法表示集合A 、B ，从而得到A B ⊕，即可得解.【详解】因为(){}()()()()(){}22,1,,0,1,0,1,1,0,1,0,0,0A x y xy x y =+≤∈=--Z ，(){},1,1,,B x y x y x y =≤≤∈Z()()()()()()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1=------，又()()(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，所以()()()()()()()(){2,1,2,0,2,1,1,0,1,1,1,2,1,1,1,2,A B ⊕=-----------()()()()()0,0,0,1,0,2,0,1,0,2--，()()()()()()()()1,0,1,1,1,2,1,1,1,2,2,0,2,1,2,1}---，所以A B ⊕中元素的共21个.故答案为：2115．（1）0，94；（2）0，12，1.【分析】（1）分a 是否等于0两种情况讨论即可；（2）分m 是否等于0两种情况讨论即可.【详解】（1）情形一：若0a =，则{}1R3103A x x ⎧⎫=∈+==-⎨⎬⎩⎭∣中只有13-这一个元素，故0a =符合题意；情形二：若0a ≠，且集合A 中只有一个元素，这意味着当且仅当一元二次方程2310ax x ++=有两个相等的实数根，从而940a ∆=-=，解得94a =；综上所述，实数a 的所有取值可能为：0，94；（2）{}{}23201,2B xx x =-+==∣，情形一：当0m =时，{}{10}|010A xmx x x =-==⋅-==∅∣，此时满足A B ⊆，故0m =符合题意；情形二：当0m ≠时，1{10}A xmx m ⎧⎫=-==⎨⎩⎭∣，若要A B ⊆，则当且仅当11m =或12m=，解得12m =或1m =；综上所述，实数m 的值可能是：0，12，1.16．(1){}22x x -<≤(2)233a a ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）先解不等式求出集合,A B ，再利用交集、补集的概念计算即可；（2）先求出,A B 并集的补集，再根据集合间的基本关系计算即可.【详解】（1）由3217x -<+<得{}23A x x =-<<，由2280x x +->得2x >或<4x -，即B ={2x x >或<4x -}，所以{}42B x x =-≤≤R ð，故(){}22A B x x ⋂=-<≤R ð；（2）由上知A B = {2x x >-或<4x -}，所以(){}42A B x x ⋃=-≤≤-R ð，而()A B C ⋃⊆R ð，则32132412a a a a -<+⎧⎪-≤-⎨⎪+≥-⎩，解之得233a -≤≤-，即a 的取值范围为233a a ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭.17．(1){}{}{}{}{}{}4,1,2,4,1,4,2,1,2---；(2)能，{}9(,)24+∞ .【分析】（1）当4b =时，由0∆<，得到A =∅，求得{4,1,2}B =-，结合条件即可求解；（2）由()U B A =∅ ð，得到A B ⊆，分A =∅和A ≠∅，两种情况讨论，结合集合的包含关系，即可求解.【详解】（1）解：当4b =时，可得2{|330}A x x x =-+=，因为2(3)440∆=--⨯<，所以A =∅，又由2{|(2)(34)0}{4,1,2}B x x x x =-+-==-，又因为AMB ，所以这样的集合M 共有如下6个：{}{}{}{}{}{}4,1,2,4,1,4,2,1,2---.（2）解：能；由()U B A =∅ ð，可得A B ⊆，若A =∅时，此时满足A 是B 的一个子集，此时940b ∆=-<，解得94b >；若A ≠∅时，由（1）知{4,1,2}B =-，当4A -∈时，28b =-，此时{4,7}A =-，此时A 不是B 的一个子集；当1A ∈时，2b =，此时{1,2}A =，此时A 是B 的一个子集；当2A ∈时，2b =，此时{1,2}A =，此时A 是B 的一个子集，综上可得，当A =∅或{1,2}A =时，满足()U B A =∅ ð，此时实数b 的取值范围为{}9(,)24+∞ .18．(1)(),1∞--(2)1k <-或3k =【分析】（1）由交集为空集得到一元二次方程无解，再由判别式小于等于零可解出；（2）分A B =∅ 和A B ≠∅ 时，分别求出k 的范围，注意A B ≠∅ 时A B ⋂中的点都在集合C 中，即可解出；【详解】（1）由22y x ky x=+⎧⎨=⎩得220--=x x k ，①因为A B =∅ ，所以①的440k ∆=+<，解得1k <-，所以实数k 的取值范围为(),1∞--，（2）①若A B =∅ ，由（1）可得1k <-，②若A B ≠∅ ，且其中的点都在集合C 中，也符合题意，此时1k ≥-，联立22y x ky x=+⎧⎨=⎩，得220--=x x k ，且Δ440k =+≥，解得()(){}1,1A B k k⋂=+-，将1x =C 中，整理可得82y k =+-令822y k k =++=--，整理得())310k -+=，解得3k =，同理，把1x =C ，得(()(221421882y k k k k =-+---=-+，令2y k =-，整理并化简可得()(310k -=，所以3k =，综上，实数k 的取值范围为1k <-或3k =.19．(1){1}、{3}、{1,2}、{1,4}、{3,4}、{2,3}、{1,2,4}、{2,3,4}；(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据题意，分析4S 的子集，对应奇子集的定义，即可得4S 的所有奇子集；（2）设S 为n S 的奇子集，根据奇子集和偶子集的定义，按1是否属于S 进行分类，则得到奇子集和偶子集之间的关系，分析即可证得结论；（3）根据（2）中的结论，计算奇子集容量之和时，元素i 的贡献是22n i -，即可求得奇子集的容量之和，从而得到偶子集的容量之和，即可得到结论．【详解】（1）由题意可知，当4n =时，4{1s =，2，3，4}，X 的容量为奇数，则X 为n S 的奇子集，∴所有的奇子集应为{1}、{3}、{1,2}、{1,4}、{3,4}、{2,3}、{1,2,4}、{2,3,4}；（2）设奇数n k S ∈，对于n S 的每个奇子集A ，当k A ∈时，取{|B x x A =∈且}x k ≠．当k A ∉时，取{}B A k = ，则B 为n S 的偶子集．反之，亦然．11所以，n S 的奇子集与偶子集是一一对应的．所以，n S 的奇子集与偶子集个数相等．（3）对任一(1)i i n ≤≤，含i 的子集共有12n -个，用上面的对应方法可知，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对于每个数i ，在奇子集的和与偶子集的和中，i 所占的个数是一样的．于是在计算奇子集容量之和时，元素i 的贡献是22n i -，∴奇子集容量之和是2312(1)2nn n i i n n --==+⋅∑，根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等，故当3n ≥时，n S 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．【点睛】方法点睛：对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。
高中数学集合测试题(附答案和解析)
高中数学集合测试题(附答案和解析)一、单选题1．已知集合{}3,5,7,9,11,13,17A =，{}41,B x x n n Z ==+∈，则A B =（ ） A ．{}5,9,11 B ．{}5,9,11,17 C ．{}5,13,17D ．{}5,9,13,172．已知集合{}2,0,1M =-，{}220N x x ax =+-=，若N M ⊆，则实数a ＝（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-13．设集合{}()(){}|32,|130A x x B x x x =-<<=+-≤，则A B =（ ）A ．{}|12x x -≤<B ．{}|33x x -<≤C ．{}|32x x -<≤D ．{}|13x x -≤≤4．若集合{}220A x x x =--<，{}21B x x =<，则A B =（ ）A ．AB ．BC ．()1,0-D ．()0,25．集合{|13}A x x =-<<，集合{}24B xx =<∣，则A B =（ ） A ．（-2，2）B ．（-1，2）C ．（-2，3）D ．（-1，3）6．已知集合{123}M =，，，{134}N =，，，则M N ⋂等于（ ） A ．{13}，B ．{1234}，，， C ．{24}，D ．{134}，，7．已知集合{}1,2M =，{}2,3N =，那么M N ⋂等于（ ） A ．∅B ．{}1,2,3C ．{}2D ．{}38．已知集合{}1A x x =>，()(){}150B x x x =+-≤，则A B =（ ） A ．(]1,5-B ．(]1,5C ．[]1,5-D ．[]1,59．已知函数()2log f x x =，()2g x a x =-，若存在[]12,1,2x x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),25,-∞⋃+∞ B ．(][),25,-∞⋃+∞ C ．()2,5 D ．[]2,5 10．已知集合{}{}1101A B =-=，，，，则A B =（ ） A ．{0}B ．{1}C ．{2}D ．∅11．已知集合{}82A xx =-<<∣，{}1B x x =≤-，则()R A B ⋂=（ ） A ．{}1x x <- B ．{}12x x -<< C ．{}8x x >-D ．{}28x x <≤12．设集合{}220A x x x =-≤，{}1,2,3B =，{}2,3,4C =，则()A B C =（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,413．已知集合{{24},A xx B x y =<==∣∣，则A B ⋃=（ ） A ．[)2,+∞ B ．[)3,4 C ．[]3,4 D ．[)3,+∞14．已知集合{}1A x x =≥-，{}12B x x =-<，则A B ⋃=（ ） A ．{}13x x -<< B ．{}1x x >- C ．{}13x x -≤<D ．{}1x x ≥-15．设集合{}*21230,1A x N x x B x Rx ⎧⎫=∈--≤=∈≥⎨⎬⎩⎭∣∣，则A B =（ ） A ．0,1B ．{}1C ．(]0,1D ．{}0,1二、填空题16．已知平面上两个点集(){},112,,M x y x y x y x R y R =++++->∈∈，(){},11,,N x y x a y x R y R =-+-≤∈∈，若M N ⋂=∅，则实数a 的取值集合是___________．17．设非空数集M 同时满足条件：①M 中不含元素1,0,1-；②若a M ∈，则11aM a+∈-，则下列结论不正确的个数是__________个. （1）集合M 中至多有2个元素； （2）集合M 中至少有4个元素； （3）集合M 中有且仅有4个元素； （4）集合M 中至多有4个元素.18．已知集合{}|04A x x =<≤，集合{}|B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是_____.19．设集合{1,2,3,4,6}M =，12,,,k S S S 都是M 的含有两个元素的子集，则k =______；若满足：对任意的{,}i i i S a b =,{,}j j j S a b ={}(,,1,2,3,,)i j i j k ≠∈都有,i i j j a b a b <<，且ji i ja ab b ≠，则k 的最大值是__________． 20．已知函数()()()2sin 0,0g x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，将函数()g x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，若集合()3512A x y f x f π⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，集合{}0,1,2B =，则A B =______．21．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}|3B x N x =∈<，则A B =_____.22．若集合{}3cos23,xA x x x R π==∈，{}21,B y y y R ==∈，则A B ⋂=_______． 23．已知集合{}{}214,0,1,2,4A x x B =≤<=，则A B ⋂=___________．24．从集合M={}1,2,3,4,,2021中去掉所有3的倍数和5的倍数，则剩下的元素个数为______25．设集合{}2,3,4U =，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大.最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推.若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第6位的子集是_________.三、解答题26．已知集合2{|23}A x a x a =≤≤+，{|14}B x x =-≤≤，全集U =R ． (1)当1a =时，求U ()A B ；(2)当A =∅时，求实数a 的取值范围；(3)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围．27．已知集合2111x A xx +⎧⎫=>-⎨⎬-⎩⎭，(){}222B x x m x m B =<-+，不为空集. (1)当1m =时，求()RA B ⋃；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数m 的取值范围.28．已知全集U R =，集合{|A x =213x -<，123}3x x -≤-，{|13}B x x =-≤≤.(1)求A ，A B ⋃，UB(2)如图①，阴影部分表示集合M ，求M . (3)如图②，阴影部分表示集合N ，求N .29．设n 是不小于3的正整数，集合12{()|{01}12}n n i S a a a a i n =⋯∈=⋯，，，，，，，，，对于集合Sn 中任意两个元素1212()()n n A a a a B b b b =⋯=⋯，，，，，，，．定义()1122 n n A B n a b a b a b =--+-++-．若·0A B =，则称A ，B 互为相反元素，记作A B =或B A =．(1)若n =3，A =（0，1，0），B =（1，1，0），试写出A ，B ，以及A ·B 的值； (2)若n A B S ∈，，证明： A B A B n +=；(3)设k 是小于n 的正奇数，至少含有两个元素的集合n M S ⊆，且对于集合M 中任意两个不同的元素1212 ()()n n A a a a B b b b =⋯=⋯，，，，，，，，都有·A B n k =-，试求集合M 中元素个数的所有可能的取值．30．已知集合2{|40}A x x =-≥，集合{|1}B x m x m =<<-. (1)求A .(2)求A B A ⋃=，求m 的取值范围.【参考答案】一、单选题 1．D 【解析】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】因为集合{}3,5,7,9,11,13,17A =，{}41,B x x n n Z ==+∈， 所以{5,9,13,17}A B =， 故选：D. 2．B【解析】 【分析】对于集合N ，元素x 对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又根据韦达定理以及N M ⊆，可确定出其中的元素，进而求解. 【详解】对于集合N ，因为280a ∆=+>， 所以N 中有两个元素，且乘积为-2， 又因为N M ⊆，所以{}2,1N =-， 所以211a -=-+=-．即a ＝1． 故选：B. 3．A 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得； 【详解】解：由()()130x x +-≤，解得13x -≤≤， 所以()(){}{}|130|13B x x x x x =+-≤=-≤≤， 又{}|32A x x =-<<，所以{}|12A B x x ⋂=-≤<. 故选：A 4．B 【解析】 【分析】由题知{}12A x x =-<<，{}11B x x =-<<，再求交集即可. 【详解】解：解不等式220x x --<得12x -<<，故{}12A x x =-<<， 解不等式21x <得11x -<<，故{}11B x x =-<<， 所以A B ={}11x x B -<<=. 故选：B 5．B 【解析】 【分析】先求集合B ，进一步求出答案. 【详解】集合{}24B xx =<∣{22}x x =-<<∣，{13}A x x =-<<∣， ∴{12}A B xx ⋂=-<<∣. 故选：B.6．A 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得； 【详解】解：因为{}1,2,3M =，{}1,3,4N =，所以{}1,3M N ⋂=； 故选：A 7．C 【解析】 【分析】由交集的定义直接求解即可 【详解】因为{}1,2M =，{}2,3N = 所以{}2M N =，故选：C 8．B 【解析】 【分析】化简集合B ，然后利用交集的定义运算即得. 【详解】∵集合()(){}{}15015B x x x x x =+-≤=-≤≤，{}1A x x =>， ∴(]1,5A B ⋂=． 故选：B. 9．D 【解析】 【分析】根据条件求出两个函数在[1,2]上的值域，结合若存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x =，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可． 【详解】当12x ≤≤时，22log 1()log 2f x ≤≤，即0()1f x ≤≤，则()f x 的值域为[0，1]， 当12x ≤≤时，4()2a g x a -≤≤-，则()g x 的值域为[4,2]a a --， 因为存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x =， 则[4,2][0,1]a a --≠∅ 若[4,2][0,1]a a --=∅， 则14a <-或02a >-， 得5a >或2a <，则当[4,2][0,1]a a --≠∅时，25a ≤≤，即实数a 的取值范围是[2,5]，A ，B ，C 错，D 对. 故选：D ． 10．B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算，直接求得答案. 【详解】集合{}{}1101A B =-=，，，， 则{1}A B ⋂=， 故选：B 11．B 【解析】 【分析】根据补集的运算，求得{}R |1B x x =>-，结合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}1B x x =≤-，可得{}R |1B x x =>-又由{}82A xx =-<<∣，所以(){}R 12A B x x ⋂=-<<. 故选：B. 12．C 【解析】 【分析】先求出集合A ，再按照交集并集的运算计算()A B C 即可. 【详解】{}{}22002A x x x x x =-≤=≤≤，{}(){}1,2,1,2,3,4A B A B C ==.故选：C. 13．A 【解析】 【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B . 【详解】解：{}[)2424A x x =≤<=，，{[)3,B x y ∞===+，因此，[)2,A B =+∞. 故选：A. 14．D 【解析】 【分析】求出集合B ，利用并集的定义可求得集合A B .【详解】因为{}{}{}1221213B x x x x x x =-<=-<-<=-<<，因此，{}1A B x x ⋃=≥-. 故选：D. 15．B 【解析】 【分析】先求出结合,A B ，再根据集合的交集运算，即可求出结果. 【详解】因为{}{}{}*2*N 230N 131,2,3A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=∣， {}1101B x x x x ⎧⎫=∈≥=∈<≤⎨⎬⎩⎭R R所以{}1A B =. 故选：B.二、填空题 16．{}1-【解析】 【分析】结合点到直线距离公式可知M 表示到直线10x y ++=与10x y +-=的，可得可行域；N 是以(),1a 的正方形及其内部的点集，采用数形结合的方式可确定a 的取值. 【详解】由112x y x y ++++->>则M 表示到直线10x y ++=与10x y +-=直线10x y ++=与10x y +-=之间的距离d =则集合()10,10x y M x y x y ⎧⎫+->⎧=⎨⎨⎬++<⎩⎩⎭，则其表示区域如阴影部分所示（不包含10x y ++=与10x y +-=上的点）；集合N 是以(),1a 若M N ⋂=∅，则,M N 位置关系需如图所示，由图形可知：当且仅当1a =-时，M N ⋂=∅， ∴实数a 的取值集合为{}1-.【点睛】思路点睛：本题考查集合与不等式的综合应用问题，解题基本思路是能够确定集合所表示的点构成的区域图形，进而采用数形结合的方式来进行分析求解. 17．3 【解析】 【分析】 由题意可求出11,,11,1a a a a a a -+--+都在M 中，然后计算这些元素是否相等，继而判断M 的元素个数的特点. 【详解】因为若a M ∈，则11aM a +∈-，所以1111111a a M a a a ++-=-∈+--，111111a a M a a--=∈++， 则11211211a a a a M a a -++==∈--+； 当1,0,1a ≠-时，4个元素11,,11,1a a a a a a -+--+中，任意两个元素都不相等， 所以集合M 中至少有4个元素．故可判断出（1）错误，（2）正确，（3）错误，（4）错误， 故答案为：3.18．4a >【解析】 【分析】结合数轴图与集合包含关系，观察即可得到参数的范围. 【详解】在数轴上表示出集合A ，B ，由于A B ⊆，如图所示，则4a >. 19． 10 6 【解析】 【分析】列举M 的2个元素子集数个数即可；利用,i i j j a b a b << ，再结合ji i ja ab b ≠进行排除其他的即为答案. 【详解】M 的两元素子集有{1,2}{1,3}{1,4}{1,6}{2,3}{2,4}{2,6}{3,4}{3,6}{4,6}、、、、、、、、、，所以共有10个，因此k =10；因为前面的列举方式已经保证,i i j j a b a b <<，只需要再增加条件ji i ja ab b ≠即可，所以{1,2}{2,4}、、{3,6}保留一个，{1,3}{2,6}、保留一个，{2,3}{4,6}、只能保留一个，所以以上10个子集需要删去4个，还剩下6个，所以则k 的最大值是6.故max 6k .故答案为：10;6.20．{}0【解析】 【分析】根据图像求出g (x )的解析式，再求出f (x )解析式，求出A 集合，根据集合交集运算法则计算即可. 【详解】由图可知()g x 周期52=1212T πππ⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭，∴22T πω==． 由212πg ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得22122k ππϕπ⎛⎫⨯-+=+ ⎪⎝⎭，∴223k πϕπ=+，k ∈Z ， ∵0ϕπ<<，∴k 取0，23ϕπ=， ∴()22sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴()22sin 22sin 2633f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴35352sin 22sin 611212363f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴()35150sin 22221232636f x f x k x k πππππππ⎛⎫⎛⎫-≥⇔+≥⇔+≤+≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈Z ， ∴,124A x k x k k ππππ⎧⎫=-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ，∴{}0A B ⋂=．故答案为：{}0﹒21．{}0,1【解析】 【分析】由题知{}0,1,2B =，再根基集合交集运算求解即可. 【详解】解：因为{}{}|30,1,2B x N x =∈<=，{}2,1,0,1A =-- 所以A B ={}0,1 故答案为：{}0,122．{}1【解析】 【分析】易知{}1,1B =-，分别验证1,1-和集合A 的关系即可得结果. 【详解】因为{}{}21,1,1B y y y R ==∈=-，13cos 23π=，()13cos 23π--≠，即1A ∈，1A -∉，所以{}1A B ⋂=， 故答案为：{}1.23．{}1【解析】 【分析】根据集合的交集的定义进行求解即可 【详解】当0x =时，不等式214x ≤<不成立， 当1x =时，不等式214x ≤<成立， 当2x =时，不等式214x ≤<不成立， 当4x =时，不等式214x ≤<不成立， 所以{}1A B ⋂=， 故答案为：{}1 24．1078 【解析】 【分析】剔除集合中是3的倍数，5的倍数的元素，即可得出结果. 【详解】集合M 中，3的倍数有20216733⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5的倍数有20214045⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，15的倍数有202113415⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个， 则剩下的元素个数为2021(673404134)1078-+-=个. 故答案为：1078.25．{}2,4【解析】 【分析】根据题意依次按“势”从小到大顺序排列，得到答案. 【详解】根据题意，将全部的子集按“势”从小到大顺序排列为：∅，{}2，{}3，{}4，{}2,3，{}2,4，{}3,4，{}2,3,4.故排在第6的子集为{}2,4. 故答案为：{}2,4三、解答题26．(1)[)1,1-； (2)()(),13,∞∞--⋃+； (3)()1,3,2∞∞⎛⎤-⋃+ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）根据集合的补运算和交运算，求解即可；（2）根据题意，求解关于a 的一元二次不等式，即可求得范围； （3）根据集合之间的关系，列出不等关系，求解即可. (1)当1a =时，{|15}A x x =≤≤，{|14}B x x =-≤≤， 故U ()A B {|1x x =<或{}5}|14{|11}x x x x x >⋂-≤≤=-≤<.即U ()A B [)1,1=-.(2)若A =∅，则223a a >+，即()()310a a -+>，解得1a <-或3a >， 故实数a 的取值范围为：()(),13,∞∞--⋃+. (3)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，则A B ⊆， ①A =∅时，1a <-或3a >满足题意；②A ≠∅，则13234a a -≤≤⎧⎨+≤⎩，得1-12a ≤≤综上所述，实数a 的取值范围为()1,3,2∞∞⎛⎤-⋃+ ⎥⎝⎦.27．(1)12x x ⎧≤-⎨⎩或}1x ≥(2)(]2,4- 【解析】 【分析】（1）分别求出集合,A B ，再根据并集和补集的定义即可得出答案；（2）根据“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，可得B A ⊆且B ≠∅，讨论m 的范围，从而可得出答案. (1)解：当1m =时，{}212112B x x x x x ⎧⎫=<+=-<<⎨⎬⎩⎭，{}211211x A x x x x +⎧⎫=>-=-<<⎨⎬-⎩⎭， 则112A B x x ⎧⎫⋃=-<<⎨⎬⎩⎭，所以()12RA B x x ⎧⋃=≤-⎨⎩或}1x ≥； (2)解：(){}()(){}222210B x x m x m x x m x =<-+=+-<，因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件， 所以B A ⊆且B ≠∅，故2m ≠-， 当12m->，即2m <-时，12m B x x ⎧⎫=<<-⎨⎬⎩⎭，因为{}21A x x =-<<， 所以A B =∅，不符合题意； 当12m-<，即2m >-时，12m B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，则有222m m >-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩，解得24m -<≤，综上(]2,4m ∈-. 28．(1)3{|2}2A x x =≤<，{|13}AB x x ⋃=-≤≤，UB {|1x x =<-或3}x >；(2)3{|12M x x =-≤<或23}x ≤≤； (3){|1M x x =<-或3}x >. 【解析】【分析】（1）求解不等式组解得集合A ，再根据集合的并运算和补运算即可求得结果； （2）根据阴影部分可知M =()B A B ⋂，根据已知集合求解即可； （3）根据阴影部分可知M =()UAB ，根据已知集合求解即可.(1){|A x =213x -<，1323}{|2}32x x x x -≤-=≤<，{|13}A B x x ⋃=-≤≤，UB {|1x x =<-或3}x >.(2)因为3{|2}2A B x x ⋂=≤< 根据题意可得M =()BA B ⋂3{|12x x =-≤<或23}x ≤≤. (3)因为{|13}A B x x ⋃=-≤≤， 根据题意可得M =()UAB {|1x x =<-或3}x >.29．(1)(101)(001)2A B A B ===，，，，，， (2)证明见解析(3)集合M 中元素的个数只可能是2 【解析】 【分析】（1）根据定义直接求解即可；（2）设121212()()()n n n A a a a B b b b A x x x =⋯=⋯=⋯，，，，，，，，，，，，进而结合题意得1122||n n a x a x a x n +++=---，112i i x a i n ==⋯－，，，，，再计算 A B A B +即可；（3）假设121212() ()()n n n A a a a B b b b C c c c ===，，，，，，，，，，，为集合M 中的三个不相同的元素，进而结合题意，推出矛盾，得出假设不成立，即集合M 中至多有两个元素，且{(1,1,,1,0,0,,0),(0,0,,0)}k n k M -=个个时符合题意，故集合M 中元素的个数只可能是2(1)解：因为若·0A B =，则称A ，B 互为相反元素，记作A B =或B A =， 所以(101)(001)A B ==，，，，，， 所以()30111002A B =--+-+-=. (2)解：设121212()()()n n n A a a a B b b b A x x x =⋯=⋯=⋯，，，，，，，，，，，， 由{01}12i i i a b x i n ∈=⋯，，，，，，，，可得||112i i a x i n ≤=⋯-，，，， 所以1122||n n a x a x a x n ++⋯+≤---，当且仅当||112i i a x i n ==⋯-，，，，，即112i i x a i n ==⋯-，，，，时上式“=”成立 由题意可知1122·()0n n A A n a x a x a x =--+-++-=即1122n n a x a x a x n -+-++-=所以112i i x a i n ==⋯－，，，， 12[|||(1)|]ni i i i i A B A B n a b a b =+=--+--∑12[|1||0|]ni i i n b b ==--+-∑12(1)ni i i n b b ==--+∑2n n =-n =(3)解：解法1：假设121212() ()()n n n A a a a B b b b C c c c ===，，，，，，，，，，，为集合M 中的三个不相同的元素． 则1122(||||||)n n A B n a b a b a b n k =--+-++-=-即1122||||||n n a b a b a b k -+-++-=又由题意可知||0i i a b =－或1，i =1，2，，n 1122||,||,,||n n a b a b a b ---恰有k 个1，与n －k 个0设其中k 个等于1的项依次为1122,,,k k m m m m m m a b a b a b --- n －k 个等于0的项依次为1122,,,k k k k n n m m m m m m a b a b a b ++++---由题意可知1122(||||||)n n A C n a c a c a c n k =--+-++-=-所以11||||i i jj knm m m m i j k a c ac k ==+-+-=∑∑， 同理11||||i i jj k nm m m m i j k b c bc k ==+-+-=∑∑所以1111||||||||2i i j ji i j jkn kn m m m m m m m m i j k i j k a c a c b c b c k ==+==+⎛⎫⎛⎫-+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 即111(||||)||||2i i i i jj jj knnm m m m m m m m i j k j k a c b c ac bc k ==+=+-+-+-+-=∑∑∑因为11221k k m m m m m m a b a b a b -=-==-=由（2）可知1(||||)i i i i km m m m i a c b c k =-+-=∑因为11220k k k k n n m m m m m m a b a b a b ++++-=-==-=所以11||||jj jj nnm m m m j k j k ac bc =+=+-=-∑∑，设11||||jj jj nnm m m m j k j k ac bc p =+=+-=-=∑∑，由题意可知p N ∈.所以2 2k p k +=，得2k p =与k 为奇数矛盾所以假设不成立，即集合M 中至多有两个元素 当{(1,1,,1,0,0,,0),(0,0,,0)}k n k M -=个个时符合题意所以集合M 中元素的个数只可能是2解法2：假设121212() ()()n n n A a a a B b b b C c c c ===，，，，，，，，，，，为集合M 中的三个不相同的元素．则1122(||||||)n n A B n a b a b a b n k =--+-++-=-即1122||||||n n a b a b a b k -+-++-=又由题意可知||0112i i a b i n ==⋯-或，，，， 1122||,||,,||n n a b a b a b ---恰有k 个1，与n －k 个0设其中k 个等于1的项依次为1122,,,k k m m m m m m a b a b a b --- n －k 个等于0的项依次1122,,,k k k k n n m m m m m m a b a b a b ++++---由题意可知1122(||||||)n n A C n a c a c a c n k =--+-++-=-所以11||||i i jj knm m m m i j k a c ac k ==+-+-=∑∑① 同理11||||i i jj k nm m m m i j k b c bc k ==+-+-=∑∑②因为11220k k k k n n m m m m m m a b a b a b ++++-=-==-=所以11||||jj jj nnm m m m j k j k ac bc =+=+-=-∑∑，①—②得1(||||)0i i i i km m m m i a c b c =---=∑又因为111(||||)(|1||0|)2i i i i i i i k k km m m m m m m i i i a c b c c c k c ===---=---=-∑∑∑为奇数与1(||||)0i i i i km m m m i a c b c =---=∑矛盾所以假设不成立，即集合M 中至多有两个元素 当{(1,1,,1,0,0,,0),(0,0,,0)}k n k M -=个个时符合题意所以集合M 中元素的个数只可能是2． 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于利用反证法证明当121212() ()()n n n A a a a B b b b C c c c ===，，，，，，，，，，，为集合M 中的三个不相同的元素时，结合题意推出2k p =与k 为奇数矛盾，进而得集合M 中至多有两个元素，再举例当{(1,1,,1,0,0,,0),(0,0,,0)}k n k M -=个个时符合题意即可.30．(1){|22}A x x =-≤≤ (2)[1,)-+∞ 【解析】【分析】（1）由不等式240x -≥，求得22x -≤≤，即可求解； （2）由A B A ⋃=，得到B A ⊆，列出不等式组，即可求解. (1)解：由240x -≥，即24x ≤，可得22x -≤≤，可得集合{|22}A x x =-≤≤. (2)解：因为{|22}A x x =-≤≤，且集合{|1}B x m x m =<<-， 又因为A B A ⋃=，即B A ⊆， 当B =∅时，即1m m ≥-，可得12m ≥，此时满足B A ⊆； 当B ≠∅时，则满足2121m m m m≥-⎧⎪-≤⎨⎪<-⎩，解得112m -≤<，综上可得，1m ≥-，即实数m 的取值范围[1,)-+∞.。
2021年人教版高中数学必修第一册：第4章《章末复习课》(含答案详解)
2021年人教版高中数学必修第一册：第4章《章末复习课》(含答案详解)1、指数与对数的运算【例1】计算：(1)2log32－log3＋log38－5log53；(2)1.5－×0＋80.25×＋(×)6－.[解] (1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.(2)原式＝＋2×2＋22×33－＝21＋4×27＝110.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先留意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要留意分子、分母因式分解以到达约分的目的.对数运算首先留意公式应用过程中范围的改变，前后要等价，娴熟地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.7n1．设3x＝4y＝36，则＋的值为( )A．6B．3C．2D．1D [由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝lo2、g436，∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]指数函数、对数函数的图象及应用【例2】(1)若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如下图，则以下函数正确的选项是( )A B C D(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.①如图，画出函数f(x)的图象；②依据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．(1)B [由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x0时，y0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调3、递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，7n 与图象相符．应选B.](2)[解] ①先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．1．识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象的改变趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特别点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.2．函数y＝1＋log(x－1)的图象肯定经过点( )A．(1,1)B．(1,0)C．(2,1)D．(2,0)C [把y＝logx的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可4、得到y＝1＋log(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]比较大小【例3】若0xy1，则( )A．3y3xB．logx3logy3C．log4xlog4y7nD.xyC [因为0xy1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x3y，A错误．对于B，依据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0a1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0xy1，所以logx3logy3，B错误．对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4xlog4y，C正确．对于D，函数y＝x在R上单调递减，故xy，5、D错误．]1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问题，要依据参数的取值进行分类商量．3．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则( )A．abcB．bacC．acbD．cbaC [∵a＝log2πlog22＝1，b ＝logπlog1＝0，c＝π－2＝，即0c1，∴acb，应选C.]指数函数、对数函数的性质【例4】(6、1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数7nD．偶函数，且在(0,1)上是减函数(2)已知a0，a≠1且loga3loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.①求a的值；②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．(1)A [由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．](2)[7、解] ①因为loga3loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝2＋∈，所以所求函数的值域为.1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋)”，推断其奇偶性．[解] ∵f(x)＝ln(x＋)，∴其定义域为R，又f(－x)＝ln(－x ＋)，∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln1＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．28、．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．[解] 由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3,27]，∴f(t)＝t2＋t－1＝2－，t∈[3,27]，∴当t＝3时，f(t)min＝f(3)＝9＋3－1＝11.7n1．讨论函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要留意换元后u的取值范围．函数的应用【例5】一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．[解] (1)最初的质量为9、500g.经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w ＝500×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t.(2)由题意得500×0.9t＝250，即0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得lg0.9t＝lg0.5，即tlg0.9＝lg0.5，所以t＝≈6.6.即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x 为时间)的形式.4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量削减，问至少应过滤几次才能使产品到达市场要求？(已知：10、lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)7n[解] 设过滤n次能使产品到达市场要求，依题意，得×n≤，即n≤.则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥≈7.4，考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能到达市场要求．7。
2020-2021学年___高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年___高一(下)期末数学试卷(附答案详解)1.已知集合A={A∈A|−2≤A<2}，A={0,1}，则下列判断正确的是()A。
A∈AB。
A∩A=⌀C。
A⊆AD。
A⊆A2.已知A>0，则对于2−3A−A^2，说法正确的是()A。
有最小值2+4√3B。
有最小值2−4√3C。
有最大值2+4√3D。
有最大值2−4√33.已知AA=(1,A)，AA//AA，则|AA+AA|=()A。
√10B。
√5C。
2√5D。
104.已知A=log0.3 3，A=log0.3 4，A=30.3，则()A。
A<A<AB。
A<A<AC。
A<A<AD。
A<A<A5.为了得到函数A=cos5A，A∈A的图象，只需把余弦函数的图象A=AAAA，A∈A上所有的点的()A。
横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B。
横坐标缩短到原来的5倍，纵坐标不变C。
纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D。
纵坐标缩短到原来的5倍，横坐标不变6.随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分。
如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是()A。
这9年我国快递业务量有增有减B。
这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C。
这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D。
这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件7.在空间四边形ABCD中，若AA⊥AA，AA⊥AA，则对角线AC与BD的位置关系为()A。
相交但不垂直B。
垂直但不相交C。
不相交也不垂直D。
无法判断8.若直线l经过A(2,1)，A(1,−A/2)(A∈A)两点，则直线l 的倾斜角A的取值范围是()A。
≤A≤π/4B。
π/4<A<π/2C。
π/4≤A<π/2D。
π/2<A≤3π/49.三条直线A+A=4，A−A=1，A+AA=3构成三角形，则a 的取值可以是()A。
高一数学测试卷及答案详解(附答案)
第一部分选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1.设集合 ，那么集合 是（）
A. B. C. D.
2.设集合 和集合 都是自然数集 ，映射 把集合 中的元素 映射到集合 中的元素 ，则在映射 下，像20的原像是（ ）
16.本小题主要考查指数函数和对数函数的性质，考查函数的单调性.满分14分.
解：（1）函数 有意义，则 ……2分
当 时，由 解得 ；当 时，由 解得 .
所以当 时，函数的定义域为 ；……4分
当 时，函数的定义域为 .……6分
（2）当 时，任取 ，且 ，则
，即
由函数单调性定义知：当 时， 在 上是单调递增的.……10分
对称，那么必有（）
A. B. C. D.
8.如果直线 ，那么 的位置关系是（）
A.相交B. C. D. 或
9.在空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点坐标为（）
A. B. C. D.
10.一个封闭的立方体，它的六个表面各标出ABCDEF这六个字母.现放成下面三中不同的位置，所看见的表面上字母已标明，则字母A、B、C对面的字母分别为( )
13.集合 ，若 ，则实数 的取值范围为_____________
14.已知函数 分别由下表给出，则 _______， ________.
1
2
3
4
1
2
3
4
2
3
4
1
2
1
4
3
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.（其中15题和18题每题12分，其他每题14分）
高一数学试卷附答案解析
高一数学试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.曲线与直线在轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为,,,,,…,则等于 ( )A ．B ．2C ．3D ．2.在数列{}中，，则（ ）A ．B ．C ．D ．3.已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则有( ) A ． B ．C ．D ．4.化简的结果是 （ ）A ．B ．C ．D ．5.过点作圆的两条切线，切点分别为、，为坐标原点，则的外接圆方程是 A ． B ． C ． D ．6.已知全集U ＝R ，A ＝{x|x≤0}，B ＝{x|x≥1}，则集合∁U （A ∪B ）＝（） A. {x|x≥0} B. {x|x≤1}C. {x|0≤x≤1}D. {x|0＜x ＜1} 7.已知函数，则下列说法正确的为（ ）A ．函数的最小正周期为B ．函数的最大值为C ．函数的图象关于直线对称D．将图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数图像8.已知函数在[5，20]上是单调函数，则的取值范围是A． B． C． D．9.已知非零向量、满足，那么向量与向量的夹角为（）A． B． C． D．10.设,则下列不等式中恒成立的是( )A． B． C． D．11.函数的一个单调递减区间是（）A．B．C．D．12.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系为()A．f(x)＞g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)＜g(x)D．随x值变化而变化13.设，则（）A． B． C． D．14.函数的值域为A． B． C． D．15.设，则用表示的形式是（）A．B．C．D．16.已知全集U=R,A= B=则为（）A． B． C． D．17.已知函数的定义域为（）A．B．C．D．18.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A．B．C．D．19.如图，把截面半径的圆形木头锯成矩形木料，若矩形的一边长为，面积为，则函数的图象大致是（）20.下列函数是奇函数的是 ()A． B． C． D．二、填空题21.过平面外一点，与平面平行的直线有_________条，如果直线m∥平面?，那么在平面?内有_________条直线与m平行22.(2008全国高考卷Ⅱ,13)设向量＝(1,2),＝(2,3).若向量λ+与向量＝(-4,-7)共线,则λ＝_____________.23.已知函数f（x ）=log3x ，则=_____．24.在△ABC 中，B ＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为 .25.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比为_________．26.设为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若∥且∥，则∥； （2）若且，则∥； （3）若∥且∥，则∥； （4）若且，则∥．上面命题中，所有真命题的序号是 ★ ． 27.(2010年高考北京卷)已知函数y ＝图中表示的是给定x的值，求其对应的函数值y 的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．28.数列中，，则数列的通项公式为29.过点的直线的方程为 . 30.若，则x ＝ 。
高中数学集合测试题(附答案和解析)
高中数学集合测试题(附答案和解析)一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4A =，2{|log ,}B y y x x x A ==-∈，则A B =（ ） A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}1,2,3D ．{}1,3,42．已知集合{A xy =∣，{}0,1,2,3B =，则A B =（ ） A ．{3} B ．{2,3} C ．{1,2,3} D ．{0,1,2,3}3．已知集合{}1,2,3A =，{}21,B y y x x A ==-∈，则A B =（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,2,3 C ．{}1,3D ．{}1,2,3,54．已知集合{}2|8120A x x x =-+<，{|14}B x Z x =∈<<，则A B =（ ）A ．{1，2}B ．{}2,4C ．{3}D ．∅5．已知集合{}N 15A x x =∈≤≤，{}05B x x =<<，则A B =（ ） A ．{}2,3,4B ．{}1,2,3,4C ．{}15x x ≤≤D ．{}15x x ≤<6．已知R 为实数集，集合{}{}2340,ln(1)A x x x B x y x =--≤==-，则R A B ⋃=（ ）A ．{}14x x <≤B ．{}11x x -≤≤C ．{}1x x ≥-D ．{}4x x ≤7．已知集合{}{}2230,1A x x x B x x =--<=≤，则R()A B ⋂=（ ）A ．(,1][1,)∞∞--⋃+B ．(,1](1,)-∞-⋃+∞C ．(]1,1-D ．[1,1)- 8．已知集合{}{}|2,|(1)0A x x B x x x =>=->，则A B ⋃=（ ） A ．（-∞，0） B ．()(),01,-∞⋃+∞ C ．()(),02,-∞⋃+∞D ．（2，+∞）9．设集合(){}ln 2A x y x ==-，{}13B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ） A ．(]2,3 B ．[)1,+∞ C ．()2,+∞D ．(],3-∞10．已知集合{|12}A x x =-<≤，{}2,1,0,2,4B =--，则()R A B ⋂=（ ） A ．∅B ．{}1,2-C ．{}2,4-D ．{}2,1,4--11．已知函数()2log f x x =，()2g x a x =-，若存在[]12,1,2x x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),25,-∞⋃+∞ B ．(][),25,-∞⋃+∞ C ．()2,5D ．[]2,512．已知集合(){},M x y y x ==，(){}22,|1N x y xy =+=，M N A ⋂=，则A 中元素个数为（ ）个. A ．1B ．2C ．3D ．4 13．设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,4A =，{}2,3B =，则()U A B ⋂=（ ） A ．{}2B ．{}2,3C ．{}0,3D ．{}314．集合N A x x ⎧⎫=∈⎨⎬⎭⎩31，()}{N log B x x =∈+≤211，S A ⊆，S B ⋂≠∅，则集合S 的个数为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．815．设集合{}260A x x x =--≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x ⋂=-≤≤，则=a （ ） A ．4-B ．2-C ．2D ．4二、填空题16．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，()1,2,,8i i x AB AP i =⋅=则用集合列举法表示i x 组成的集合______．17．如图，用集合符号表述下列点､直线与平面之间的关系.（1）点C 与平面β：___________； （2）点A 与平面α：___________；（3）直线AB 与平面α：___________； （4）直线CD 与平面α：___________.18．若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤≤﹐则A B =_________． 19．已知集合{}1,2,3,4,A =，{}1,4,7,10,B =，下有命题：①{} 2,3,5,6,8,9,AB =；②若f 表示对二个数乘以3减去2的运算，则对应:f A B →表示一个函数； ③A 、B 两个集合元素个数相等； ④n A ∀∈，22n n ≥. 其中真命题序号是______.20．已知{}3A x a x a =≤≤+，{}15b x x =-<<，A B =∅，则实数a 的取值范围是______ 21．集合(){},A x y y a x ==，(){},B x y y x a ==+，C AB =，且集合C 为单元素集合，则实数a 的取值范围是________.22．已知[]x 表示不超过x 的最大整数.例如[2.1]2=，[ 1.3]2-=-，[0]0=，若{[]}A y y x x ==-∣，{0}∣=≤≤B y y m ，yA 是yB ∈的充分不必要条件，则m 的取值范围是______.23．已知集合{1,2,3}A =，则满足A B A ⋃=的非空集合B 有_________个．24．已知集合{}1,0,1A =-，{}220B x x x =-=，则A B ⋃=______．25．写出集合{1,1}-的所有子集______.三、解答题26．（1）已知全集{}|510,Z U x x x =-≤≤∈，集合M ={|07,Z x x x ≤≤∈}，N ={|24,Z x x x -<∈≤}，求()U N M （分别用描述法和列举法表示结果）；（2）已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U A B =⋃=，若集合{}2,4,6,8UA B =，求集合B ；（3）已知集合2{|210,R,R}P x ax ax a x =++=∈∈，当集合P 只有一个元素时，求实数a 的值，并求出这个元素.27．函数()()sin 22sin cos 1a x f x a x x +=+-.(1)若1a =，,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，求函数()f x 的值域；(2)当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，且()f x 有意义时，①若(){}0y y f x ∈=，求正数a 的取值范围； ②当12a <<时，求()f x 的最小值N .28．已知集合2111x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{(1)(2)0}B x x x m =-+<． (1)当1m =时，求A B ；(2)已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数m 的取值范围．29．已知集合{|lg(3)A x y x ==-，2{|9200}B x x x =-+≤，{|121}C x a x a =+≤<-.若()C A B ⊆，求实数a 的取值范围.30．已知U =R ，{}2=160A x x -<，{}2=3180B x x x -++>，求A B ，A B ．【参考答案】一、单选题 1．A 【解析】 【分析】根据对数的运算求出集合B ，再根据交集的定义可求出结果. 【详解】当1x =时，21log 11y =-=， 当2x =时，22log 21y =-=， 当3x =时，23log 3y =-， 当4x =时，24log 42y =-=， 所以2{1,2,log 3}B =， 所以A B ={1,2}. 故选：A 2．C 【解析】 【分析】先由y =A ，再根据集合交集的原则即可求解.【详解】对于集合A ，10x -≥，即1≥x ，则{}1A x x =≥， 所以{}1,2,3A B =， 故选：C 3．C 【解析】 【分析】根据题意求出集合B ，在和集合A 取交集即可. 【详解】因为集合{}1,2,3A =，{}21,B y y x x A ==-∈， 所以{}1,3,5B =，所以{}1,3A B =， 故选：C. 4．C 【解析】 【分析】解出不等式28120x x -+<，然后可得答案. 【详解】因为{}{}2|8120|26A x x x x x =-+<=<<，{}{}142,3B x Z x =∈<<=所以{}3⋂=A B ， 故选：C 5．B 【解析】 【分析】由集合的交运算求A B 即可. 【详解】由题设，集合{}1,2,3,4,5A =，{}05B x x =<<， 所以{}1,2,3,4A B ⋂=. 故选：B 6．D 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据对数型函数的定义域求出集合B ，最后根据补集、并集的定义计算可得； 【详解】解：由2340x x --≤，即410x x ，解得14x -≤≤，即{}{}234014A x x x x x =--≤=-≤≤，又(){}{}ln 11B x y x x x ==-=，所以{}|1R B x x =≤，所以{}4R A B x x ⋃=≤； 故选：D 7．B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合A 、解绝对值不等式求集合B ，再应用集合的交补运算求R()A B .【详解】由题设，{|13},{|11}A x x B x x =-<<=-≤≤， 所以1{|1}A B x x =-<≤，则R(){|1A B x x ⋂=≤-或1}x >.故选：B 8．B 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据并集的定义计算可得； 【详解】解：由(1)0x x ->，解得1x >或0x <，所以{}|(1)0{|1B x x x x x =->=>或0}x <，又{}|2A x x =>，所以()(),01,A B ⋃=-∞⋃+∞；故选：B 9．B 【解析】 【分析】根据对数型函数的性质，结合集合并集的定义进行求解即可. 【详解】因为(2,)A =+∞，{}13B x x =≤≤， 所以A B ⋃=[)1,+∞， 故选：B 10．D 【解析】 【分析】 利用补集定义求出A R，利用交集定义能求出()A B R ．【详解】解：集合{|12}A x x =-<≤，{}2,1,0,2,4B =--， 则R{|1A x x =≤-或2}x >，(){}R 2,1,4A B ∴⋂=--． 故选：D 11．D【分析】根据条件求出两个函数在[1,2]上的值域，结合若存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x =，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可． 【详解】当12x ≤≤时，22log 1()log 2f x ≤≤，即0()1f x ≤≤，则()f x 的值域为[0，1]， 当12x ≤≤时，4()2a g x a -≤≤-，则()g x 的值域为[4,2]a a --， 因为存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x =， 则[4,2][0,1]a a --≠∅ 若[4,2][0,1]a a --=∅， 则14a <-或02a >-， 得5a >或2a <，则当[4,2][0,1]a a --≠∅时，25a ≤≤， 即实数a 的取值范围是[2,5]，A ，B ，C 错，D 对. 故选：D ． 12．B 【解析】 【分析】联立方程，解方程组，考察方程组的解的组数，即为集合A 的元素个数； 【详解】联立方程得221y x x y =⎧⎨+=⎩,解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以集合M 与N 的交集A 中的元素个数为2个； 故选：B. 13．D 【解析】 【分析】利用补集和交集的定义可求得结果. 【详解】 由已知可得{}0,3UA =，因此，(){}U 3AB ⋂=，故选：D. 14．C 【解析】 【分析】根据分式不等式和对数不等式求出集合A 和B ，利用交集的定义 和集合的包含关系即可求解.由x31，得03x <≤， 所以}{N,,A x x ⎧⎫=∈=⎨⎬⎭⎩31123. 由()log x +≤211，得11x -<≤． 所以()}{}{N log ,B x x =∈+≤=21101．由S A ⊆，S B ⋂≠∅，知S 中必含有元素1，可以有元素2,3．所以S 只有{}1，{}12，，{}13，，{}123，，，即集合S 的个数共4个． 故选：C. 15．B 【解析】 【分析】先求出集合,A B ，再根据交集的结果求出a 即可. 【详解】由已知可得{}23A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭又∵{}21A B x x ⋂=-≤≤，∴12a-=， ∴2a =-． 故选：B ．二、填空题 16．{}1【解析】 【分析】由空间向量的加法得：i i AP AB BP =+，根据向量的垂直和数量积得221AB AB ==，0i AB BP ⋅=计算即可.【详解】由题意得，()2i i i i x AB AP AB AB BP AB AB BP =⋅=⋅+=+⋅又AB ⊥平面286BP P P ，i AB BP ∴⊥，则0i AB BP ⋅=，所以221i i x AB AB BP AB =+⋅==， 则()1,2,,81i i x AB AP i =⋅==，故答案为：{}117． C β∉ A α AB B α⋂= CD α⊂【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系，由图可写出答案 【详解】(1)C 为元素，平面β为集合，所以，由图可得C β∉.(2)A 为元素，平面α为集合，所以，由图可得A α.(3)直线AB 为集合，平面α为集合，所以，由图可得AB B α⋂=. (4)直线CD 为集合，平面α为集合，所以，CD α⊂.故答案为：①C β∉；②A α；③AB B α⋂=；④CD α⊂； 18．{2,3}##{3,2} 【解析】 【分析】 由交集的运算求解 【详解】{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤≤，则{2,3}A B =故答案为：{2,3} 19．①②③ 【解析】 【分析】①由补集定义直接判断；②按照函数定义进行判断；③元素一一对应即可判断；④3n =时，不成立. 【详解】因为{}{}**,32,A n n N B n n k k N =∈==-∈，故②正确，又{ 31AB n n k ==-或}*3,n k k N =∈，故①正确；A 、B 两个集合元素一一对应，元素个数相等，故③正确；当3n =时，3223<，故④错误. 故答案为：①②③. 20．4a ≤-或5a ≥ 【解析】 【分析】由3a a <+可得A ≠∅，根据题意可得到端点的大小关系，得到不等式，从而可得答案. 【详解】由题意 3a a <+，则A ≠∅要使得A B =∅，则31a +≤-或5a ≥ 解得4a ≤-或5a ≥ 故答案为：4a ≤-或5a ≥21．[1,1]-【解析】 【分析】由题意可得集合A ，B 表示的曲线有一个交点，可得a x x a =+有一个根，当0a =时，符合题意，当0a ≠时，1x x a =+，分别作出y x =与1xy a=+的图象，根图象求解即可 【详解】因为C A B =，且集合C 为单元素集合， 所以集合A ，B 表示的曲线有一个交点， 所以a x x a =+有一个根 当0a =时，符合题意， 当0a ≠时，1x x a =+，分别作出y x =与1xy a=+的图象， 由图象可知11a ≥或11a≤-时，两函数图象只有一个交点， 解得01a <≤或10a -≤<， 综上，实数a 的取值范围是[1,1]-， 故答案为：[1,1]-22．[)1,+∞【解析】 【分析】由题可得{[]}[0,1)A yy x x ==-=∣，然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即求. 【详解】∵[]x 表示不超过x 的最大整数，∴[]x x ≤，[]01x x ≤-<，即{[]}[0,1)A yy x x ==-=∣， 又y A 是y B ∈的充分不必要条件，{0}∣=≤≤B y y m ，∴A B ，故m 1≥，即m 的取值范围是[)1,+∞. 故答案为：[)1,+∞.23．7 【解析】 【分析】由A B A ⋃=可得B A ⊆，所以求出集合B 的所有非空子集即可 【详解】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆， 因为{1,2,3}A =，所以非空集合{}1B =，{}2，{}3，{}1,2，{}1,3，{}2,3，{}1,2,3， 所以非空集合B 有7个， 故答案为：724．{1,0,1,2}-【解析】 【分析】根据给定条件求出集合B ，再利用并集的定义直接计算作答. 【详解】解方程220x x -=得：0x =或2x =，则{}0,2B =，而{}1,0,1A =-， 所以{1,0,1,2}A B =-. 故答案为：{1,0,1,2}- 25．∅，{}1-，{1}，{1,1}- 【解析】 【分析】利用子集的定义写出所有子集即可. 【详解】由子集的定义，得集合{1,1}-的所有子集有：∅，{}1-，{1}，{1,1}-.故答案为：∅，{}1-，{1}，{1,1}-.三、解答题26．（1）{}|47,Z x x x ≤≤∈，{}4,5,6,7；（2）{}0,1,3,5,7,9,10；（3）1a =，元素为1-. 【解析】 【分析】（1）根据补集和交集的定义直接计算作答. （2）利用补集的定义直接计算作答. （3）利用元素与集合的关系推理计算作答. 【详解】（1）由{}|510,Z U x x x =-≤≤∈，N ={|24,Z x x x -<∈≤}， 得：{|52U N x x =-≤<-或410,Z}x x ≤≤∈，而{|07,Z}M x x x =≤≤∈， 所以{}()|47,Z U N M x x x =≤≤∈{}4,5,6,7=.（2）由{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U A B =⋃=，{}2,4,6,8UA B =，得{2,4,6,8}UB =，所以{}()0,1,3,5,7,9,10U U B B ==. （3）当0a =时，P =∅，不符合题意，当0a ≠时，因集合P 只有一个元素，则方程2210ax ax ++=有等根，2440a a ∆=-=， 此时1a =，集合P 中的元素为1-， 所以1a =，这个元素是1-.27．(1)(,2-∞-(2)①2a ≥；②)21N a=【解析】 【分析】（1）当1a =时，求得()sin 22sin cos 1x f x x x +=+-，令[)sin cos 1,1t x x =+∈-，令[)12,0m t =-∈-，()()22h m f x m m==++，利用双勾函数的单调性可得出函数()h m 在[)2,0-上的值域，即可得解；（2）①分析可知210a a --≤≤，可得出2a ≥，分1a =、1a ≠两种情况讨论，化简函数()221at ap t at +-=-的函数解析式或求出函数()f x 的最小值，综合可得出正实数a 的取值范围；②令[]11,1n at a a =-∈---，则1n t a +=，可得出()()21122a a p t n n a n ϕ⎡⎤+-=++=⎢⎥⎣⎦，分析可得出101a a --<<-<法可求得N . (1)解：当1a =时，()sin 22sin cos 1x f x x x +=+-，因为,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，则,444x πππ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭，令[)sin cos 1,14t x x x π⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭，则212sin cos 1sin 2t x x x =+=+，可得2sin 21x t =-， 设()()211t g t f x t +==-，其中11t -≤<，令1m t =-，则()22111221m t m t m m+++==++-，令()22h m m m=++，其中20m -≤<，下面证明函数()h m 在2,⎡-⎣上单调递增，在()上单调递减，任取1m 、[)22,0m ∈-且12m m <，则()()1212122222h m h m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()12121212121222m m m m m m m m m m m m ---=--=，当122m m -≤<<122m m >，此时()()12h m h m <，当120m m <<，则1202m m <<，此时()()12h m h m >， 所以，函数()h m在2,⎡-⎣上单调递增，在()上单调递减，则()(max 2h m h ==-因此，函数()f x 在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的值域为(,2-∞-. (2)解：因为,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，则,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，令[]sin cos 1,14t x x x π⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭，设()()222211a a t at a a f x p t at at -⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭===--， ①若(){}0y y f x ∈=，必有210aa--≤≤，因为0a >，则2a ≥，当1a =时，即当1a =()110p t t t a =+==，可得1t =，合乎题意；当1a≠2a ≥且1a ≠()min 0p t =，合乎题意. 综上所述，2a ≥；②令[]11,1n at a a =-∈---，则1n t a+=， 则()()22121122n a a a a a a p t n n n a n ϕ⎡⎤+-⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦==++=⎢⎥⎣⎦， 令()()20qs x x q x=++>，下面证明函数()s x在(上单调递减，在)+∞上为增函数，任取1x、(2x ∈且12x x <，则120x x -<，120x x q <<， 所以，()()()()()()121212121212121212220q x x x x x x q q qs x s x x x x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫-=++-++=--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，()()12s x s x >，故函数()s x在(上单调递减， 同理可证函数()s x在)+∞上为增函数，在(,-∞上为增函数，在()上为减函数，因为12a <<，则()()2212121,2a a a +-=--+∈，且()()22121220a a a a a +---=->10a >->， 又()22212120a a a a +----=-<，1a ∴--<，101a a ∴--<<-由双勾函数的单调性可知，函数()n ϕ在1,a ⎡--⎣上为增函数，在()上为减函数，在(]0,1a -上为减函数， 当[)1,0x a ∈--时，()((max 120n aϕϕ==-<， ()2101a a ϕ-=>-，()((22111a a a ϕϕ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦- (())())()21142214210111a a a a a a a a a a +------=≥=>---，由双勾函数性质可得()()min 21f x a ϕ=-=，综上所述())min 21f x N a==.【点睛】关键点点睛：在求解本题第二问第2小问中，要通过不断地换元，将问题转化为双勾函数的最值，结合比较法可得出结果. 28．(1){21}x x -<<； (2)[2,4]∈-m . 【解析】 【分析】（1）当1m =时，解分式不等式化简集合A ，解一元二次不等式化简集合B ，再利用并集的定义计算作答.（2）由给定条件可得B A ⊆，再借助集合包含关系列式计算作答. (1) 由2111x x +<-，得201x x +<-，解得21x -<<，则{21}A x x =-<<， 当1m =时，()()1{1210}12B x x x x x ⎧⎫=-+<=-<<⎨⎬⎩⎭，所以{21}A B x x ⋃=-<<． (2)因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆， 当12m ->，即2m <-时，{1}2mB x x =<<-，B A ⊄，不符合题意，当12m-=，即2m =-时，B =∅，符合题意， 当12m -<，即2m >-时，12m B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，则212m -≤-<，解得24m -<≤，综上得：24m -≤≤，所以实数m 的取值范围[2,4]∈-m .29．(,3]-∞【解析】 【分析】求函数定义域得93,2A ⎛⎤= ⎥⎝⎦，解不等式得[4,5]B =，进而得(3,5]A B =，再结合题意，分C =∅和C ≠∅两种情况求解即可.【详解】解：由30920x x ->⎧⎨-≥⎩，解得932x <≤，所以93,2A ⎛⎤= ⎥⎝⎦，因为()()2920450x x x x -+=--≤，解得45x ≤≤，所以[4,5]B =所以(3,5]A B = 因为()C A B ⊆，所以，当C =∅时，121a a +≥-，解得2a ≤C ≠∅时，可得12113215a a a a +<-⎧⎪+>⎨⎪-≤⎩，解得：23a <≤综上可得：实数a 的取值范围是(,3]-∞ 30．{}=34A B x x ⋂-<<,{}=46A B x x ⋃-<< 【解析】 【分析】先化简集合A 、B ，再去求A B 、A B 即可解决. 【详解】{}{}2=16044A x x x x -<=-<<{}{}2=318036B x xx x x -++>=-<<则{}{}{}=443634A B x x x x x x ⋂-<<⋂-<<=-<<{}{}{}=443646A B x x x x x x ⋃-<<⋃-<<=-<<。
高一上期数学(必修1+必修4)期末复习培优专题卷附详解
高一上期数学(必修1+必修4)期末复习培优专题卷附详解高一上学期数学（必修1+必修4）期末复培优专题卷一．选择题1.已知定义域为实数集的函数f（x）的图像经过点（1，1），且对任意实数x1<x2，都有f(x1)≤f(x2)，则不等式的解集为（）。
A。
（-∞，1）∪(1，+∞) B。
（-∞，+∞）C。
（1，+∞） D。
（-∞，1）2.对任意x∈[0，2π]，任意y∈（-∞，+∞），不等式-2cosx≥asinx-x恒成立，则实数a的取值范围是（）。
A。
[-3，3] B。
[-2，3] C。
[-2，2] D。
[-3，2]3.定义在实数集上的偶函数f（x）满足f（2-x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f（x）=lnx-x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）。
A。
(-∞，-1/2) B。
(-∞，0)C。
(-1，+∞) D。
(0，+∞)4.定义在实数集上的函数y=f（x）为减函数，且函数y=f （x-1）的图像关于点（1，0）对称，若f（x-2x）+f（2b-b）≤0，且-2≤x≤2，则x-b的取值范围是（）。
A。
[-2，0] B。
[-2，2] C。
[0，2] D。
[0，4]5.设函数f（x）=x^2-2x+1，当x∈[-1，1]时，恒有f（x+a）＜f（x），则实数a的取值范围是（）。
A。
(-∞，-1) B。
(-1，+∞)C。
(-∞，1) D。
(-∞，-2)6.定义域为实数集的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=x^2-x，若当x∈[-4，-2）时，不等式f（x）≥-t+2恒成立，则实数t的取值范围是（）。
A。
[2，3] B。
[1，3] C。
[1，4] D。
[2，4]7.已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的三边长，则称f （x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：①f（x）=lg（x+1）（x＞0）；②f（x）=4-cosx；③f（x）=|sinx|；④f（x）=|x|+1.其中为“三角形函数”的个数是（）。
中国人民大学附属中学2024届数学高一第二学期期末达标检测试题含解析
中国人民大学附属中学2024届数学高一第二学期期末达标检测试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知集合{|U x y ==，9{|log }A x y x ==，{|2}x B y y ==-，则()=U A C B ⋂（ ）A ．∅B ．RC ．{|0}x x >D ．{0}2．向量(),1a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b -等于（ ）A ．BC ．D ．103．已知角,αβ满足322ππαβ<-<，0αβ<+<π，且1sin()3αβ-=，1cos()3αβ+=-，则cos 2β的值为（ ）A ．9-B ．9C ．9-D ．94．在ABC ∆中，0120B =，AB =A 的平分线AD =，则BC 长为( )A ．1BC D5．直线10ax y +-=与直线2320x y +-=平行，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．1-C ．32-D ．66．已知函数()sin(),(0,0)f x A x A ωϕω=+<>的值域为11[,]22-，且图像在同一周期内过两点351,,,22221B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,A ω的值分别为（ ） A ．1,22A ω== B ．1,22A ω=-= C ．1,2A ωπ=-=D ．1,22A ω== 7．已知D E F 、、分别是ABC ∆的边BC CA AB 、、的中点，则①1EF BC =；②EA BE BC =-；③AD BE CF +=-中正确等式的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 9．在ABC △中，3AB =，1AC =，π6B =，则ABC △的面积是（ ）． A ．32B ．34C ．32或34 D ．32或3 10．在中，如果，，，则此三角形有（ ） A ．无解B ．一解C ．两解D ．无穷多解二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
上海华东政法大学附属中学必修一第四单元《函数应用》测试题(答案解析)
一、选择题1．已知函数()102x x f x =+-的零点为a ，()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ，则a b +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数()()223,ln 1,x x x f x x x λλ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x 恰有两个零点，则λ的取值范围是（ ）A ．[)[)1,23,-+∞B ．[)[)1,23,+∞C ．[)()1,22,⋃+∞D ．[)1,+∞3．已知定义在[﹣2，2]上的函数y ＝f （x ）和y ＝g （x ），其图象如图所示：给出下列四个命题：①方程f [g （x ）]＝0有且仅有6个根； ②方程f [f （x ）]＝0有且仅有5个根方程；③g [g （x ）]＝0有且仅有3个根 ；④方程g [f （x ）]＝0有且仅有4个根，其中正确命题的序号（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④4．已知函数()()2log 1,1212,1x x x f x x ⎧-<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩，若函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()2,3C ．(]3,4D ．()2,+∞ 5．已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（ ）A ．80,11⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．110,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭ 6．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（ ）A ．4.25米B ．4.5米C ．3.9米D ．4.05米 7．激光多普勒测速仪（LaserDopplerVelocimetry ，LDV ）的工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚后反射，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为零时，反射光相对探测光发生频移，频移()2sin 1/h p v f ϕλ=，其中v 为被测物体的横向速度，ϕ为两束探测光线夹角的一半，λ为激光波长.如图，用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为()91560nm 1nm 10m -=，测得这时刻的频移为()98.72101/h ⨯，则该时刻高铁的速度约为（ ）A ．320km/hB ．330km/hC ．340km/hD ．350km/h8．已知函数()21,04,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若函数()y f x a =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x （123x x x <<），则123a x x x ++的取值范围是( ) A ．()2,0- B ．[]2,0- C ．[]2,0- D ．(]2,0- 9．用二分法求方程x 2–2=0在（1，2）内近似解，设f （x ）=x 2–2，得f （1）<0，f（1.5）>0， f （1.25）<0，则方程的根在区间( )A ．（1.25，1.5）B ．（1，1.25）C ．（1, 1.5）D ．不能确定 10．已知定义在R .上的偶函数f (x )， 对任意x ∈R ，都有f (2-x ) =f (x +2)，且当[2,0]x ∈-时()21x f x -=-.若在a > 1时，关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1，2)B ．(232，2) C ．23(,2)-∞(2， +∞) D ．(2，+∞)11．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投人.若该高校2018年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投人的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg 20.30≈）（ ）A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年 12．若函数()22f x x x a =--有4个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．01a <≤B ．10a -<<C ．0a =或1a >D ．01a <<二、填空题13．当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()2log a f x x x =-的图像在x 轴下方，那么实数a 的取值范围是________.14．已知函数()2,0lg ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则方程()()22520f x f x -+=⎡⎤⎣⎦实根的个数是__________．15．已知函数()21f x ax =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是________.16．函数()22|cos |cos 3x x f x =+-在区间[0,2]π内的零点个数是_____. 17．若关于x 的方程2220x x m ---=有三个不相等的实数根，则实数m 的值为_______.18．关于x 的方程()2310xx x e b -+-=恰好有3个实数根，则实数b 的取值范围是__________.19．已知函数22()1()x x f x x e a x e a R =++∈有四个零点，则实数a 的取值范围是________．20．某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费P (万元)与仓库到停车库的距离x (公里)成反比，而每月库存货物的运费K (万元)与仓库到停车库的距离x (公里)成正比.如果在距停车库18公里处建仓库，这两项费用P 和K 分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x = ________ 公里.三、解答题21．已知a R ∈，函数21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若函数()()22log g x f x x =+只有一个零点，求实数a 的取值范围；22．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：[)[)3221805040,120,1443120080000,144,5002x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元.（1）当[]200,300x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则月处理量x 为多少吨时可使亏损量最小？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？23．为了在“双11”购物狂欢节降价促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定：①若一次购物付款总额不超过200元，则不予优惠；②若一次购物付款总额超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③若一次购物付款总额超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500的部分给予7折优惠.（1）若一次性购买x 元商品，实际付款数为()f x ，求()f x 的解析式；（2）小丽和她妈妈两人先后各去超市购物一次，分别付款为178元和432元.假如她俩一同去超市一次性购买上述同样的商品，则应付款为多少元？24．某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式35,07819,7k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，143L =. （1）求k 的值，并将该产品每日的利润L 万元表示为日产量x 吨的函数；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.25．如图所示，已知1(,)A x m 、2(,2)B x m +、3(,4)C x m +（其中2m ≥）是指数函数()2x f x =图像上的三点．(1)当2m =时，求123()f x x x ++的值；(2)设ABC ∆的面积为S ，求S 关于m 的函数()S m 及其最大值.26．某服装厂品牌服装的年固定成本100万元，每生产1万件需另投入27万元，设服装厂一年内共生产该品牌服装x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为R （x ）万元.且()()()2211080103108010000103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩ （1）写出年利润y （万元）关于年产量x （万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入－年总成本）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】设()()1lg 2h x g x x x =+=+-，可知函数()h x 的零点为1b -，令()0f x =，可得出102x x =-，令()0h x =可得出lg 2x x =-，在同一平面直角坐标系中作出函数10x y =、lg y x =、y x =、2y x =-的图象，利用函数10x y =、lg y x =的图象关于直线y x =的对称，并求出直线y x =、2y x =-的交点坐标，进而可求得+a b 的值.【详解】设()()1lg 2h x g x x x =+=+-，由于函数()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ，则函数()h x 的零点为1b -.令()0f x =，可得102x x =-，令()0h x =，可得出lg 2x x =-，在同一平面直角坐标系中作出函数10xy =、lg y x =、y x =、2y x =-的图象，如下图所示：由于函数10xy =、lg y x =的图象关于直线y x =的对称， 直线2y x =-与直线y x =垂直，设直线2y x =-与函数10x y =的交点为点A ，直线2y x =-与函数lg y x =的图象的交点为点B ，易知点A 、B 关于直线y x =对称，直线2y x =-与直线y x =的交点为点()1,1C ，且C 为线段AB 的中点，所以12a b +-=，因此，3a b +=.故选：C.【点睛】易错点点睛：本题考查函数零点之和，解题的关键在于利用函数10xy =、lg y x =互为反函数，这两个函数的图象关于直线y x =对称，结合对称性来求解. 2．A解析：A【分析】分别求出函数223y x x =--和()ln 1y x =-的零点，然后作出函数223y x x =--与函数()ln 1y x =-的图象，结合函数()f x 恰有两个零点，可得出实数λ的取值范围.【详解】解方程2230x x --=，解得11x =-，23x =，解方程()ln 10x -=，解得2x =.作出函数223y x x =--与函数()ln 1y x =-的图象如下图所示：要使得函数()()223,ln 1,x x x f x x x λλ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩恰有两个零点，则12λ-≤<或3λ≥. 因此，实数λ的取值范围是[)[)1,23,-+∞.故选：A.【点睛】 方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3．C解析：C【分析】函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，借助函数的零点，结合函数的图象采用数形结合思想逐一判断即可.【详解】由图象可得﹣2≤g （x ）≤2，﹣2≤f （x ）≤2，①由于满足方程f [g （x ）]＝0 的g （x ）有三个不同值，由于每个值g （x ）对应了2个x 值，故满足f [g （x ）]＝0的x 值有6个，即方程f [g （x ）]＝0有且仅有6个根，故①正确；②由于满足方程f [f （x ）]＝0的f （x ）有3个不同的值，从图中可知，一个f （x ）等于0，一个f （x ）∈（﹣2，﹣1），一个f （x ）∈（1，2），而当f （x ）＝0对应了3个不同的x 值；当f （x ）∈（﹣2，﹣1）时，只对应一个x 值；当f （x ）∈（1，2）时，也只对应一个x 值.故满足方程f [f （x ）]＝0的x 值共有5个，故②正确；③由于满足方程g [g （x ）]＝0 的g （x ）值有2个，而结合图象可得，每个g （x ）值对应2个不同的x 值，故满足方程g [g （x ）]＝0 的x 值有4个，即方程g [g （x ）]＝0有且仅有4个根，故③不正确；④由于满足方程g [f （x ）]＝0的f （x ）有2个不同的值，从图中可知，每一个值f （x ）， 一个f （x ）的值在（﹣2，﹣1）上，令一个f （x ）的值在（0，1）上，当f （x ）的值在（﹣2，﹣1）上时，原方程有一个解，f （x ）的值在（0，1）上，原方程有3个解. 故满足方程g [f （x ）]＝0的x 值有4个，故④正确；故选：C .【点睛】由于函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决，此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决. 4．A解析：A【分析】函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，画两个函数的图象，观察图象即得结果.【详解】函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，分别画出()y f x =与()h x k =的图象，如图所示，5(1)2f -=，观察图象可得，当522k <≤时，两图象有3个交点，即函数()()F x f x k =-恰有3个零点.故选：A.【点睛】 方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.5．A解析：A【分析】先由条件①②，得到函数()f x 是周期为4的周期函数；根据③求出函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，根据④得到()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到，作出()()4f x 的图象，结合图象，即可求出结果. 【详解】因为函数()f x 是偶函数，由()()220f x f x +--=得()()()222f x f x f x +=-=-，即()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数；若[]2,0x ∈-，则[]0,2x ∈；因为当[]0,2x ∈时，()f x x =，所以[]0,2x -∈时，()f x x -=-，因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x x f x -=-=，即()f x x =-，[]2,0x ∈-， 则函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩， 因为()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，所以函数()()()48f x f x =，*n N ∈，故()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到， 作出()()4f x 的图象如图：易知过()1,0M -的直线l 斜率存在，设过点()1,0-的直线l 的方程为()1y k x =+， 则要使直线l 与()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则0MA k k <<， 因为7,24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以20871114MA k -==+，故8011k <<. 故选：A.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，根据条件，由函数基本性质，得到()()4f x 的图象，再由函数交点个数，利用数形结合的方法，即可求解.6．D解析：D【分析】可设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将(5,5)-代入可得n ，可得抛物线的方程，再令3.5x =，求得y ，计算70.5y --，可得所求值．【详解】解：如右图，设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将点(5,5)-代入抛物线的方程可得，255n =-，解得5n =-，即抛物线的方程为25x y =-，令 3.5x =，可得23.55y =-，解得 2.45y =-，则通过隧道的车辆限制高度为7 2.450.5 4.05--=（米)．故选：D ．【点睛】利用坐标法思想，建立适当的直角坐标系，得到抛物线的方程，从而解决问题. 7．C解析：C【分析】先根据图象，求出sin ϕ的值，再根据公式即可计算出v 的值．【详解】 解：332sin 1.00041(2010)ϕ--==+⨯92 1.00048.7210v ⋅∴⨯=，即8.721560 1.0004=⋅ 8.721560 1.0004340148.009v ⨯⨯∴=≈米/小时340/km h ≈， 故该时刻高铁的速度约为340/km h ．故选：C ．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了三角函数的实际应用，也考查了学生的计算能力，关键在于将生活中的数据转化为数学公式中的数据，属于中档题．8．D解析：D【分析】作出函数()f x 的图象，由函数()f x 的图象与直线y a =的交点得123,,x x x 的范围与关系，从而可求得123a x x x ++的取值范围． 【详解】函数()y f x a =-的零点就是函数()y f x =的图象与直线y a =的交点的横坐标，作出函数()y f x =的图象，作出直线y a =，如图，由图可知122x x +=-，由241x =得12x =（12 x=-舍去），∴312x<≤，234x a=，∴23123334224(2,0]xax x xx x++=-+=-+∈-．故选：D．【点睛】本题考查函数的零点，解题关键是掌握转化与化归思想，函数零点转化为函数图象与直线的交点，由数形结合思想确定零点的性质，得出结论．9．A解析：A【分析】根据零点存在定理,结合条件,即可得出结论.【详解】已知(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f<><,所以(1,25)(1.5)0f f⋅<,可得方程的根落在区间(1.25,1.5)内,故选A.【点睛】该题考查的是有关判断函数零点所在区间的问题，涉及到的知识点有二分法，函数零点存在性定理，属于简单题目.10．B解析：B【分析】由函数的奇偶性和周期性作()f x的图象，将方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，从而得log(22)3log(62)3aa+<⎧⎨+>⎩，进而可求出实数a的取值范围.【详解】依题意函数()f x的图象关于y轴及直线2x=对称，所以()f x的周期为4，作出[]2,0x∈-时()f x的图象，由()f x的奇偶性和周期性作出()f x的图象，关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个不同的实数根，可转化为函数()f x 与log (2)a y x =+的图象有三个不同的交点，由数形结合可知log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，解得2322a <<， 故选:B ．【点睛】本题考查了数形结合的思想，考查了函数的奇偶性和周期性，考查了函数的零点与方程的根，考查了对数不等式的求解，属于中档题.画出函数的图象是本题的关键.11．C解析：C【分析】由题意知，2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300 1.12n ⨯万元，然后解不等式1300 1.122000n ⨯>，将指数式化为对数式，得出n 的取值范围，即可得出答案.【详解】若2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300 1.12n ⨯万元，由1300 1.122000n ⨯>可得1.3 1.122n ⨯>，lg1.3lg1.12lg 2n ∴+>，所以0.050.19n ⨯>， 得 3.8n >，则正整数n 的最小值为4，所以第4年，即2022年全年投入的科研经费开始超过2000万元，故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，解题的关键就是列出指数不等式，考查函数思想的应用与计算能力，属于中等题. 12．D解析：D【分析】令0f x ，可得22x x a -=，作出()22g x x x =-的图象，令直线y a =与()g x 的图象有4个交点，可求出实数a 的取值范围.【详解】令0f x ，则22x x a -=，构造函数()22g x x x =-，作出()g x 的图象，如下图，()g x 在()0,2上的最大值为()1121g =-=，当01a <<时，直线y a =与()g x 的图象有4个交点，所以函数()f x 有4个零点，实数a 的取值范围为01a <<.故选：D.【点睛】本题考查函数的零点，注意利用数形结合方法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、填空题13．【解析】由题意得当时函数的图象在轴下方当时且所以不满足题意；当时函数为单调递增函数所以要使得函数的图象在轴下方则即即解得所以实数的取值范围是 解析：1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由题意得，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()2log a f x x x =-的图象在x 轴下方， 当1a >，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，20x >且log 0a x <，所以()2log 0a f x x x =->，不满足题意；当01a <<，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()2log a f x x x =-为单调递增函数， 所以()122max 11()()log 22a f x f <=-， 要使得函数()2log a f x x x =-的图象在x 轴下方，则()max 0f x ≤，即1221()log 02a -≤， 即1122411()log 22a a ≤⇒≥，解得116a ≥，所以实数a 的取值范围是1[,1)16.14．【分析】解方程可得或然后分和解方程或由此可得出结论【详解】解方程可得或当时由可得解得由可得解得（舍）；当时由可得则解得或由可得则解得或综上所述方程实根的个数是故答案为：【点睛】方法点睛：判定函数的零 解析：5【分析】解方程()()22520f x f x -+=⎡⎤⎣⎦可得()2f x =或()12f x =，然后分0x ≤和0x >解方程()2f x =或()12f x =，由此可得出结论. 【详解】解方程()()22520f x f x -+=⎡⎤⎣⎦可得()2f x =或()12f x =.当0x ≤时，由()2f x =可得22x -=，解得1x =-，由()12f x =可得122x -=，解得1x =（舍）；当0x >时，由()2f x =可得lg 2x =，则lg 2x =±，解得100x =或1100x =，由()12f x =可得1lg 2x =，则1lg 2x =±，解得x =或x = 综上所述，方程()()22520f x f x -+=⎡⎤⎣⎦实根的个数是5.故答案为：5.【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.15．【分析】由函数有两个零点等价于且再求解即可【详解】解：令两边平方整理可得又由已知有且则解得或又方程有两不等实根则解得即综上可得实数a 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了二次方程的解的个数问题重点 解析：11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由函数()21f x ax =+有两个零点等价于240a a ->且2244(4)0a a a ∆=-->，再求解即可.【详解】21ax =-，两边平方整理可得22(4)210a a x ax --+=，又由已知有210ax -≥且2(4)0a a -≠，则240a a ->，解得14a >或0a <， 又方程22(4)210a a x ax --+=有两不等实根， 则2244(4)0a a a ∆=-->，解得103a <<， 即1143a <<， 综上可得实数a 的取值范围是11,43⎛⎫⎪⎝⎭， 故答案为：11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了二次方程的解的个数问题，重点考查了运算能力，属中档题.16．4【分析】根据角的范围确定余弦函数的符号去掉绝对值作函数图象利用数形结合求解函数的零点个数即可【详解】令则设则当时当时画出函数的图象易知函数的图象与直线有4个不同的交点故答案为：4【点睛】本题考查三 解析：4【分析】根据角的范围确定余弦函数的符号，去掉绝对值，作函数图象，利用数形结合求解函数的零点个数即可.【详解】令()0f x =，则22|cos |cos 3x x +=， 设()2|cos |cos g x x x =+， 则当30,,222x πππ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，()3cos g x x =， 当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos g x x =-， 画出函数()y g x =的图象，，易知函数()y g x =的图象与直线23y =有4个不同的交点， 故答案为：4【点睛】 本题考查三角函数的求值，函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.17．3【解析】令则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点画出函数的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则答案：3解析：3【解析】令()222f x x x =--，则由题意可得函数()y f x =与函数y m =的图象有三个公共点．画出函数()222f x x x =--的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则3m =．答案：318．【分析】将方程转化为两个函数与的交点问题通过求导分析函数的单调性和极值画出的图形则问题即可迎刃而解【详解】由题意有：设∴问题转化为与有三个交点∴对进行分析可知：∴令有：或者当有：当有：或者∴在单调递解析：50,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将方程转化为两个函数2()(31)x f x x x e =-+与()g x b =的交点问题，通过求导分析函数()f x 的单调性和极值，画出()f x 的图形，则问题即可迎刃而解.【详解】由题意有：设2()(31)x f x x x e =-+，()g x b =，∴问题转化为()f x 与()g x 有三个交点∴对()f x 进行分析可知：2()(3123)x f x x x x e '=-++-2(2)x x x e =--(2)(1)x x x e =-+∴令()0f x '=有：1x =-或者2x =，当()0f x '<有：12x -<<，当()0f x '>有：1x <-或者2x >∴()f x 在(,1)-∞-单调递增，在(1,2)-单调递减，在(2,)+∞单调递增；∴()f x 有极大值5(1)f e'-=，极小值2(2)f e '=-， 又∵当x →-∞时，()0f x →，∴()f x 的图像如下图，故答案为：50,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题通过求方程中参数的范围，考查了学生运用导数工具处理函数中交点个数问题，也考验了学生用导数作复合函数图像的能力，以及用数形结合思想处理函数交点个数引起的参量的范围问题，对学生要求较高，为中等难度题目. 19．【分析】由题意可得有四个不等实根设求得导数和单调性可得极值画出图象即可得到所求范围【详解】函数有四个零点由不为零点即即有有四个不等实根设①当时令在区间上单调递增且使得则函数在区间上单调递减在区间上单 解析：1a e e -<--【分析】 由题意可得1(||)||x x a x e x e -=+有四个不等实根，设1()(||)||x xg x x e x e =+，求得导数和单调性，可得极值，画出图象，即可得到所求范围．【详解】 函数22()1()x x f x x e a x e a R =++∈有四个零点由(0)1f =，0x =不为零点即()0f x =即有1x xa x e x e -=+有四个不等实根 设1()x xg x x e x e =+ ①当0x >时，1()x x g x xe xe =+，()2222(1)11()(1)x x x xx x e x g x x e x e x e +-+'=+-= 令22()1x h x x e =-，222()220x x h x xe x e '=+>()h x ∴在区间(0,)+∞上单调递增，且2(0)10,(1)10h h e =-<=->∴0(0,1)x ∈，使得()0220010x h x x e =-=()0g x '∴<⇒00x x <<，0()0g x x x '>⇒>则函数()g x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增，且()min 0()2g x g x ==②当0x <时，1()xx g x xe xe =--导数为()2222(1)11()(1)x x x x x x e x g x x e x e x e +-+'=-++= 令22()1x x x e ϕ=-，2()2(1)xx x x e ϕ'=-+ ()010x x ϕ'>⇒-<<，()01x x ϕ'<⇒<-所以函数()x ϕ在区间(),1-∞-上单调递减，在区间(1,0)-上单调递增()min 21()110x eϕϕ=-=->，即22()01x x x e ϕ->=在区间(,0)-∞上成立 即()010g x x '>⇒-<<，()01g x x '<⇒<- 则函数()g x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间(1,0)-上单调递增且1x =-时，()g x 取得极小值1e e -+画出函数()g x 的图象，可得1a e e -->+即1a e e -<--时，1(||)||x xa x e x e -=+有四个不等实根，即函数()f x 有四个零点 故答案为：1a e e -<--【点睛】本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用数形结合思想方法和导数判断单调性、极值，考查运算能力，属于中档题．20．3【分析】由条件设将条件代入可解得的值可以得到两项费用之和的表达式利用均值不等式可求得答案【详解】设由和分别为万元和万元即时可得则两项费用之和为：所以当且仅当即时取得等号故答案为：3【点睛】本题考查 解析：3【分析】 由条件设,n P K mx x==，将条件4,144P K ==代入，可解得,m n 的值，可以得到两项费用之和的表达式，利用均值不等式可求得答案.【详解】 设,n P K mx x==,由P 和K 分别为4万元和144万元. 即18x =时4P =，144K =，可得，72,8n m ==. 则两项费用之和为：()7280y P K x x x =+=+>. 所以727282848x x x x+≥⋅=，当且仅当728x x =，即3x =时取得等号. 故答案为：3【点睛】本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式求最值，属于中档题．三、解答题21．（1）1(,)(0,)4-∞-+∞；（2）1{}[0,)4-+∞. 【分析】（1）当5a =时，得到21()log (5)f x x =+，根据()0f x >，得出不等式151x +>，即可求解；（2）化简()221log ()g x a x x=+⋅（其中0x >），根据函数()g x 只有一个零点，得到方程210ax x +-=在(0,)+∞上只有一个解，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）当5a =时，21()log (5)f x x =+，由()0f x >，即21log (5)0x +>，可得151x +>，解得14x <-或0x >， 即不等式()0f x >的解集为1(,)(0,)4-∞-+∞. （2）由()()22222112log log ()2log log ()g x f x x a x a x x x=+=++=+⋅（其中0x >），因为函数()()22log g x f x x =+只有一个零点，即()0g x =只有一个根， 即21()1a x x +⋅=在(0,)+∞上只有一个解，即210ax x +-=在(0,)+∞上只有一个解，①当0a =时，方程10x -=，解得1x =，复合题意；②当0a ≠时，设函数21y ax x =+-当0a >时，此时函数21y ax x =+-与x 轴的正半轴，只有一个交点，复合题意； 当0a <时，要使得函数21y ax x =+-与x 轴的正半轴只有一个交点， 则满足102140a a ⎧->⎪⎨⎪∆=+=⎩，解得14a =- ， 综上可得，实数a 的取值范围是1{}[0,)4-+∞.【点睛】根据函数的零点求参数的范围的求解策略：转化：把已知函数的零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况； 列式：根据函数零点的存在性定理或结合函数的图象、性质列出方程（组）或不等式（组）；结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围；22．（1）不能获利，当月处理量为300吨时可使亏损最小；（2）每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.【分析】（1）设项目获利为S ，根据二次函数知识可知，当[]200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利：当300x =时，S 取得最大值-5000；（2）根据题意可知，[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩，分段求出最小值，比较可得答案.【详解】（1）当[]200,300x ∈时，该项目获利为S ，则()2221112002008000040080000400222S x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=-- ⎪⎝⎭， 当[]200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利：当300x =时，S 取得最大值-5000，故当月处理量为300吨时可使亏损最小，为5000元；（2）由题意知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩ 当[)120,144x ∈时，()211202403y x x =-+，所以当120x =时，y x 取得最小值240， 当[)144,500x ∈时，1800002002002002y x x x =+-≥=， 当且仅当1800002x x =时等号成立，即400x =时，y x取得最小值200， ∵200240∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.23．（1）()()()(),02000.9,2005000.7100,500x x f x x x x x ⎧≤≤⎪=<≤⎨⎪+>⎩；（2）560.6元.【分析】（1）根据题意分段写出()f x 的表达式，最后写成分段函数形式；（2）根据实际付款各计算出所购商品标价，相加后利用()f x 计算，【详解】解（1）当0200x ≤≤时，()f x x =当200500x <≤时，()0.9f x x =当500x >时，()()0.95000.75000.7100f x x x =⨯+-=+()()()(),02000.9,2005000.7100,500x x f x x x x x ⎧≤≤⎪∴=<≤⎨⎪+>⎩（2）当0200x ≤≤时，()0200f x ≤≤，当200500x <≤时，()180450f x <≤，当500x >时，()450f x >又知小丽实际付款为178元，所以小丽购买了178元的商品，小丽妈妈实际付款为432元，则小丽妈妈购买的商品价格总额应大于200小于等于500，所以，由0.9432x =得480x =，则小丽和她妈妈购买的商品价格总额为178480658+=元，若一次性购买这些商品，则应付款为()6580.7658100560.6f =⨯+=元答：若小丽和她妈妈一次性购买先前分两次买的商品，则应付款为560.6元.．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，解题方法是根据所给函数模型写出函数解析式，然后由函数解析式进行计算求解．考查学生应用能力．24．（1）8k ，822(07)816(7)x x L x xx ⎧++<<⎪=-⎨⎪-⎩（2）当日产量为6吨时，日利润达到最大10万元．【分析】（1）利用每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =，可求k 的值；（2）利用分段函数，分别求出相应的最值，即可得出函数的最大值．【详解】解：由题意，每日利润L 与日产量x 的函数关系式为22(07)816(7)k x x L x xx ⎧++<<⎪=-⎨⎪-⎩ （1）当2x =时，143L =，即：14222283k ⨯++=- 8k ∴=所以822(07)816(7)x x L x xx ⎧++<<⎪=-⎨⎪-⎩ （2）当7x 时，16L x =-为单调递减函数，故当7x =时，9max L =当07x <<时，888222(8)182(8)18888L x x x x x x ⎡⎤=++=-++=--+-⎣-+⎢⎥-⎦1810≤-= 当且仅当82(8)(07)8x x x-=<<-， 即6x =时，10max L =综合上述情况，当日产量为6吨时，日利润达到最大10万元．【点睛】本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，确定函数的解析式是关键，属于中档题． 25．（1）48；（2）24log 3 【分析】（1）根据指数运算法则求解，（2）作辅助线，将所求三角形面积转化为一个大直角三角形面积减去一个小直角三角形面积以及一个直角梯形面积，利用坐标表示面积，最后根据二次函数性质求最值.【详解】（1）()()()123312123222224x x x x x x f x x x m m m ++++===++，∴ 当2m =时，()12348f x x x ++=；(2)过C 作直线l 垂直于x 轴，分别过,A B 作11,AA BB 垂直于直线l ，垂足分别为11,A B ，则1111ABC AAC BB C AA B B S S S S ∆∆∆=--梯形 ()()()31323231111422222x x x x x x x x =-⨯--⨯--+-⨯ ()()()()21322222log 2log log 4x x x m m m =-+=+-++()2222224log log 144m m m m m +⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭即S 关于m 的函数为：()224log 14S m m m ⎛⎫=+⎪+⎝⎭，[)2,m ∈+∞ 令24v m m =+，因为24v m m =+在[)2,+∞上是增函数，∴12v ≥ 再令41t v =+，则41t v =+在[)12,+∞上是减函数，∴413t <≤；。
新教材高一数学试卷(附答案)
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.已知集合{1,2,4}A =，集合,,xB zz x A y A y ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭∣，则集合B 中元素的个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.72.设集合{1,2,4}A =,{240}B x x x m =-+=∣.若{}1A B ⋂=,则B =( ) A.{1,3}-B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}3.设全集I 是实数集R ,{|2M x x =>或2}x <-与{13}N x x =<<∣都是I 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为( )A.{2}x x <∣B.{}|21-≤<x xC.{12}<≤∣x xD.{22}-≤≤∣x x4.若正实数x ,y 满足35x y xy +=，则43x y +的最小值为( ) A.245B.275C.5D.65.已知,,a b c ∈R ，则下列说法中错误的是( ) A.22a b ac bc ⇒≥> B.a bc c>，0c a b <⇒< C.33a b >，110ab a b>⇒< D.22a b >，110ab a b>⇒<6.函数()f x =M ，()g x =N ，则M N ⋂=( ) A.[1,)-+∞B.11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭7.下列四个函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A.()3f x x =-B.2()3f x x x =-C.()||f x x =-D.1()1f x x =-+ 8.函数2441()2x f x x -+=的大致图象是( )A. B.C. D.9.函数422y x x =-的大致图象是( )A. B.C. D.10.函数()f x =( )A.[2,2]-B.(2,3)-C.[2,1)(1,2]-⋃D.(2,1)(1,2)-⋃11.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表：A.20 3mB.18 3mC.15 3mD.14 3m二、填空题12.已知集合{25}A x x =-∣，{621}B x m x m =--∣，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是_______.13.设2()21f x x ax =-+，[0,2]x ∈，当3a =时，()f x 的最小值是__________，若()f x 的最小值为1，则a 的取值范围为_____________.14.已知y f x =（）是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则0x <时，f x （）的解析式为___________________.15.已知集合{}2|20P x x x =--≤，{|012}Q x x =<-≤，则()P Q ⋂=R __________. 16.若幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，则(16)f =_______.17.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()22f x x ax a =-++，其中a ∈R . （1）当1a =时，(1)f -=_________；（2）若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围为______________.18.已知偶函数()f x 的部分图象如图所示，且(3)0f =，则不等式()0f x <的解集为_________.三、解答题19.已知函数()221()2m m f x m m x +-=+⋅，m 为何值时，函数()f x 是（1）正比例函数?（2）反比例函数?（3）幂函数?20.已知函数2()8f x x kx =--在定义域[5,10]内是单调函数.（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使函数()f x 的最小值为7？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.21.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知()||g x x =，若对任意的t ∈R ，m ∈R ，不等式22(2)(2)()f t t f t k g m -+-<恒成立，求实数k 的取值范围?22.已知函数()f x 是定义在(2,2)-上的奇函数，满足1(1)5f =，当20x -<≤时，有2()4ax b f x x +=+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并利用定义证明； （3）解不等式(21)()0f x f x -+<.参考答案1.答案：B解析：因为{1,2,4}A =，所以集合11,,1,,,2,424x B zz x A y A y ⎧⎫⎧⎫==∈∈=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣, 所以集合B 中元素的个数为5.故选B. 2.答案：C 解析：{1}A B ⋂=，1B ∴∈，21410m ∴-⨯+=，解得3m =，{}2430{1,3}B x x x ∴=-+==∣.故选C.3.答案：C解析：因为，{22}M x x =-∣，所以阴影部分表示的集合为(){12}I N M x x ⋂=<∣.故选C. 4.答案：B解析：35x y xy +=，13155y x∴+=,131********43(43)32555555255x y x y x y y x y x⎛⎫∴+=+⋅+=++++ ⎪⎝⎭,当且仅当4956x yy =时等号成立. 43x y ∴+的最小值为275.故选B. 5.答案：D解析：对于A ，20c ≥，则由a b >可得22ac bc ≥，故A 中说法正确； 对于B ，由a b c c>，得0a b a bc c c --=>，当0c <时，有0a b -<，则a b <，故B 中说法正确； 对于C ，33a b >，0ab >，33a b ∴>两边同乘331a b，得到3311b a >，11a b ∴<，故C 中说法正确；对于D ，22a b >，0ab >，22a b ∴>两边同乘221a b ，得到2211b a >，不一定有11a b<，故D 中说法错误.故选D. 6.答案：B解析：要使函数()f x =120x ->，解得12x <，所以1|2M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，要使函数()g x =10x +≥，解得1x ≥-，所以{|1}N x x =≥-， 因此1|12M N x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭，故选B.7.答案：D解析：对于A ，()3f x x =-为一次函数，在区间(0,)+∞上单调递减，不符合题意；对于B ，2()3f x x x =-为二次函数，在区间30,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，不符合题意；对于C ，,0,()||,0x x f x x x x -≥⎧=-=⎨<⎩在区间(0,)+∞上单调递减，不符合题意；对于D ，1()1f x x =-+在区间(0,)+∞上单调递增，符合题意.故选D.8.答案：D解析：易知函数2441()2x f x x -+=是偶函数，排除选项B ，C ；当2x =时，15(2)032f -=<，对应点在第四象限，故排除A.故选D. 9.答案：B解析：42()2f x x x =-的定义域为R ，4242()()2()2()f x x x x x f x -=---=-=, 所以函数为偶函数，故排除C 、D ， 当1x =时，(1)121f =-=-，故选B. 10.答案：C解析：要使函数有意义，须满足240,10,x x ⎧-⎨-≠≥⎩解得22x -≤≤，且1x ≠，故函数()f x 的定义域为[2,1)(1,2]-⋃.故选C. 11.答案：C解析：设用水量为3m x ，水费为y 元，（1）当012x ≤≤时，3y x =，令354x =，可得18x =（舍去）；（2）当1218x <≤时，1236(12)636y x x =⨯+-=-，令63654x -=，可得15x =；（3）当18x >时，123669(18)990y x x =⨯+⨯+-=-，令99054x -=，可得16x =（舍去）.故选C.12.答案：{34}m m ∣解析：A B ⊆,216,62, 215,m m m m ->-⎧⎪∴--⎨⎪-⎩解得5,4, 3,m m m >-⎧⎪⎨⎪⎩即34m .故实数m 的取值范围是{34}m m ∣. 13.答案：-7；(,0]-∞解析：当3a =时，2()61f x x x =-+在2[]0,x ∈上单调递减，max ()(2)7f x f ∴==-.由函数的解析式知(0)1f =，若()f x 的最小值为1，则()f x 在[0,2]x ∈上单调递增， 而2()21f x x ax =-+的图象开口向上，对称轴为直线x a =， 0a ∴≤，即a 的取值范围是(,0]-∞.14.答案：2()2f x x x =--解析：当0x <时，0x ->，则22()()2()2f x x x x x -=---=+，又()f x 是R 上的奇函数，2()(),()2f x f x f x x x ∴-=-∴-=+，即2()2f x x x =--.故0x <时，f x （）的解析式为2()2f x x x =--. 15.答案：{|23}x x <≤解析：由题意得{}2|20{|12}P x x x x x =--≤=-≤≤，{|012}{|13}Q x x x x =<-≤=<≤， {|1P x x ∴=<-R C 或2}x >， (){|23}P Q x x ∴⋂=<≤R C .故答案为{|23}x x <≤. 16.答案：4 解析：17.答案：（1）-2 （2）(,2][2,)-∞-⋃+∞解析：（1）1a =，∴当0x >时，2()23f x x x =-+.又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)(1)(123)2f f ∴-=-=--+=-.（2）由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(0)0f =，当0x >时，函数()f x 的图象的对称轴方程为x a =， 若()f x 的值域是R ，则当0x >时，2()22f x x ax a =-++必须满足： 20,44(2)0a a a >⎧⎨∆=-+≥⎩或0,(0)20,a f a ≤⎧⎨=+≤⎩解得2a ≥或2a ≤-，即a 的取值范围是(,2][2,)-∞-⋃+∞. 18.答案：(3,3)-解析：由题中函数()f x 在[0,)+∞上的图象可知，在区间[0,3)上，()0f x <，在区间[3,)+∞上，()0f x ≥，又()f x 为偶函数，所以在区间(3,0]-上，()0f x <，在区间(,3]-∞-上，()0f x ≥. 综上可得，不等式()0f x <的解集为(3,3)-.21. 19.答案：（1）若函数()f x 为正比例函数， 则2211,20,m m m m ⎧+-=⎨+≠⎩ 1m ∴=.（2）若函数()f x 为反比例函数，则2211,20,m m m m ⎧+-=-⎨+≠⎩1m ∴=-.（3）若函数()f x 为幂函数，则221m m +=，1m ∴=- 解析：20.答案：（1）由题意可知函数2()8f x x kx =--的图象的对称轴方程为2kx =， 因为函数2()8f x x kx =--在定义域[5,10]内是单调函数， 所以52k ≤或102k≥，即10k ≤或20k ≥， 所以实数k 的取值范围是(,10][20,)-∞⋃+∞.（2）当10k ≤时，函数2()8f x x kx =--在区间[5,10]上单调递增， 因此函数在区间[5,10]上的最小值是(5)1757f k =-=，解得2k =； 当20k ≥时，函数2()8f x x kx =--在区间[5,10]上单调递减， 因此函数在区间[5,10]上的最小值是(10)92107f k =-=，解得172k =（舍去）. 综上，存在2k =，使函数()f x 的最小值为7. 解析：答案：（1）因为12()2x x bf x a+-+=+是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f =，(1)(1)f f -=-，即201ba-+=+，211222b b a a --+-+=-++， 解得2b =，1a =，已知函数的奇偶性，先用特殊值确定参数的值，再验证.此时122()21x x f x +-+=+，111222222222()()021212121x x x x x x x x f x f x -+++--+-+⋅--+-+=+=+=++++，符合题意，所以122()21x x f x +-+=+.（2）因为()||g x x =，所以min ()0g x =，因为对任意的t ∈R ，m ∈R ，不等式()()2222()f t t f t k g m -+-<恒成立， 所以对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，所以对任意的t ∈R ，不等式()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+恒成立，又1224()22121x x xf x +-+==-+++， 所以易知()f x 在R 上单调递减，所以对任意的t ∈R ，2222t t t k ->-+，即2320t t k -->， 所以4120k ∆=+<，解得13k <-.解析：22.答案：（1）因为函数()f x 是定义在(2,2)-上的奇函数， 所以(0)0f =，即04b=，解得0b =. 因为1(1)5f =，所以1(1)55a f -=-=-，所以1a =，所以当20x -<≤时，2()4xf x x =+. 当[0,2)x ∈时，(2,0]x -∈-， 则22()()44x xf x f x x x -=--=-=++. 综上所述，2()(22)4xf x x x =-<<+. （2）函数()f x 在(2,2)-上为增函数.证明如下： 任取12,(2,2)x x ∈-，且12x x <， 则()()1212221244x x f x f x x x -=-++ ()()2212121222124444x x x x x x x x +--=++()()()()1221212212444x x x x x x xx ---=++()()()()21122212444x x x x xx --=++，因为1222x x -<<<，所以210x x ->，1240x x -<， 所以()()()()211222124044x x x x x x --<++，即()()12f x f x <， 故2()4xf x x =+在(2,2)-上为增函数. （3）因为函数()f x 是定义在(2,2)-上的奇函数，所以(21)()0f x f x -+<等价于()(21)(12)f x f x f x <--=-， 由（2）知2()4xf x x =+在(2,2)-上为增函数， 则12,22,2212,x x x x <-⎧⎪-<<⎨⎪-<-<⎩解得1123x -<<，故原不等式的解集为11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.。
2023-2024学年佛山市石门中学高一数学上学期11月考试卷附答案解析
2023-2024学年佛山市石门中学高一数学上学期11月考试卷2023.10（考试满分：150分考试时间：120分钟）第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共50．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|24B x y x ==-，则()RA B ⋂=ð（）A.()3,+∞ B.[)2,+∞ C.[)2,3 D.(],2-∞2.设a ，R b ∈，则“0a b <<”是11a b>的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知正数a ，b 满足1a b +=，则63a ab b++最小值为（）A.25B.1926+ C.26D.194.已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为A.2- B.12C.1D.25.不等式20x ax b --<的解集为{}23x x <<，则210bx ax -->的解集为（）A.1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭B.1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C.{}32x x -<<- D.{}23x x <<6.已知不等式2201x m x ++>-对一切(1)x ∈+∞，恒成立，则实数m 的取值范围是A.6m >- B.6m <- C.8m >- D.8m <-7.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＞”和“＜”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知,a b 为非零实数，且a b >；则下列结论正确的是（）A.b aa b> B.22ab a b > C.22a b > D.2211ab a b>8.已知函数()21f x -的定义域为[]1,4，则函数()f x 的定义域为（）A.[]1,4 B.()1,4 C.[]1,7 D.()1,79.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A.()f x x =，()2g x x = B.()2f x x =，()2(1)g x x =+C.()2f x x =()g x x = D.()11f x x x =+-，()21g x x =-10.函数2(5)2,2()2(1)3,2a x x f x x a x a x --≥⎧=⎨-++<⎩，若对任意12,x x R ∈，且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（）A.[1,4]B.(1,5)C.[1,5)D.[1,4)二、多选题（本大题共5小题，共25．在每小题有多项符合题目要求）11.已知集合()(){}221110A x a x a x =-+++=中有且仅有一个元素，那么a 的值为（）A.1-B.1C.53D.012.若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A.11a b< B.11b b a a +>+ C.11a b b a+>+ D.11a b a b+>+13.下列说法正确的有（）A.命题“()3,x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“()3,x ∀∈-+∞，29x >”B.“21x >”是“1x >”的充分不必要条件C.“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正根和一负根”的充要条件D.已知正数x ，y 满足11x y +=，则14y x+的最小值为914.已知()32f x x =-，()22g x x x =-，设()()()()()()(),,g x f x g x F x f x f x g x ⎧⎪=⎨<⎪⎩ ，则关于()F x 的说法正确的是（）A.最大值为3，最小值为1-B.最大值为727-，无最小值C.单调递增区间为(,27-∞和(3，单调递减区间为()27,1和)3,+∞D.单调递增区间为(),0∞-和(3，单调递减区间为()0,1和)3,+∞15.函数()2121f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的可能取值为（）A.0B.1C.2D.3第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共6小题，共30）16.已知命题[]:1,4,4ap x x x∃∈+>是假命题，则实数a 的取值范围是___________.17.已知0x >，0y >，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为______．18.设,0,5a b a b >+=,1++3a b +________．19.若函数()f x ，()g x 满足14()22f x f x x x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，且()()6f x g x x +=+，则(1)(1)f g +-=________．20.函数223y x x =--的单调递增区间为_______________．21.已知()f x 是一次函数，且满足3(1)()29f x f x x +-=+，则函数()f x 的解析式为______四、解答题（本大题共4小题，共45．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）22.已知集合{|522}A x x x x =-<<-，集合{|231}B x m x m =+≤≤+．（1）当4m =-时，求()R A B ⋃ð；（2）当B 为非空集合时，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．23.某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工P （万元）与精加工的蔬菜量x （吨）有如下关系：21,082038,81410x x P x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨+⎪<≤⎪⎩设该农业合作社将x （吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为y （万元）．（1）写出y 关于x 的函数表达式；（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．24.已知函数()4()11f x x x =>-（1）判断函数()f x 在()1+∞，上的单调性，并用定义证明；（2）若(2)(21)f a f a -+>+，求实数a 的取值范围．25.已知函数2()32,()f x ax x a =++∈R ．（1）若函数()0f x >的解集为{}1x b x <<，其中1b <，求实数a ，b 的值；（2）当3a <时，求关于x 的不等式()(6)1f x a x >+-的解集．【答案】1.A【分析】利用一元二次不等式的解法、函数定义域的求法以及集合的补集、交集运算进行求解.【详解】因为{}2|230A x x x =--≤，所以{}|13A x x =-≤≤，所以{R |1A x x =<-ð或}3x >，因为{|24B x y x ==-，所以{}|2B x x =≥，所以(){}R |3A B x x => ð，故B ，C ，D 错误.故选：A.2.A【分析】利用不等式的性质，充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】因为11b a a b ab--=，所以当0a b <<时，0,0ab b a >->，所以110b a a b ab --=>即11a b>，当11a b >时，取1,1a b ==-，得不到0a b <<，所以0a b <<是11a b>充分不必要条件，故选:A.3.A【分析】先进行化简得3964ab b aa b =+++，再利用乘“1”法即可得到答案.【详解】因为正数a ，b 满足1a b +=，所以()63349349946a b a b a b a b a ab ab ab b b a a b ++++++⎛⎫===+=++ ⎪⎝⎭94941313225b a b aa b a b =++≥+⋅=，当且仅当94b a a b =，联立1a b +=，即32,55a b ==时等号成立，故选：A.4.A【分析】先分离，再根据基本不等式求最值，即得结果.【详解】2411142·42t t y t t t t t-+==+-≥-=-，当且仅当1t t =，即1t =时，等号成立.选A.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.5.A【分析】分析可知关于x 的方程20x ax b --=的两根分别为2、3，利用韦达定理可求得a 、b 的值，然后利用二次不等式的解法解所求不等式，即可得解.【详解】由题意可知，关于x 的方程20x ax b --=的两根分别为2、3，则2323a b +=⎧⎨⨯=-⎩，可得56a b =⎧⎨=-⎩，故所求不等式为26510x x --->，即()()31210x x ++<，解得1123x -<<-.故选：A.6.A【详解】不等式即：21221111m x x x x ⎛⎫>--=--++ ⎪--⎝⎭恒成立，则max 221m x x ⎛⎫>-- ⎪-⎝⎭结合1x >可得：10x ->，由均值不等式的结论有：()11211211611x x x x ⎛⎫⎛⎫--++≤--⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，当且仅当2x =时等号成立，据此可得实数m 的取值范围是6m >-.本题选择A 选项.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .7.D【分析】根据各项不等式，利用作差法、特殊值，结合不等式性质判断正误即可.【详解】A ：22b a b a a b ab--=，若0a b >>有220,0b a ab -<>，故b a a b <，A 错误；B ：22()ab a b ab b a -=-，若0a b >>有0b a -<，又0ab >，故22ab a b <，B 错误；C ：若1-2a b =>=，则22a b <，C 错误；D ：222111110()a b ab a b ab b a ab -⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，故2211ab a b>，D 正确.故选：D 8.C【分析】已知抽象复合函数定义域求原函数定义域.【详解】令21t x =-，则1[1,4]2t x +=∈，故17t ≤≤，所以()f x 的定义域为[]1,7.故选：C 9.C【分析】逐一判断四个选项中两个函数的定义域和对应关系是否相同即可得正确选项.【详解】对于A ：()f x x =定义域为R ，()2g x x =的定义域为{}|0x x ≥，定义域不同不是同一函数，故选项A 不正确；对于B ：()2f x x =与()2(1)g x x =+对应关系不一致，不是同一函数，故选项B 不正确；对于C ：()2f x x x ==定义域为R ，()g x x =定义域为R ，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以是同一函数，故选项C 正确；对于D ：由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩可得1x ≥，所以()11f x x x =+-{}|1x x ≥，由210x -≥可得1x ≥或1x ≤-，所以()21g x x =-定义域为{|1x x ≤-或}1x ≥，定义域不同不是同一函数，故选项D 不正确；故选：C.10.A【分析】若对任意12,x x R ∈，且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则可判断函数()f x 在R 上单调递减，进而根据分段函数的单调性列出不等式组，求解可得答案.【详解】 对任意12,x x R ∈，且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-成立，∴函数()f x 在R 上单调递减，则()()50124413252a a a a a ⎧-<⎪+≥⎨⎪-++≥--⎩，解得：14a ≤≤.故选：A【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义，分段函数的单调性求参数范围，解题的关键是能够由定义判断出函数()f x 在R 上为减函数.11.BC【分析】根据题意分类讨论求解即可.【详解】因为集合()(){}221110A x a x a x =-+++=中有且仅有一个元素，所以当210a -=，即1a =±时，若1a =，则{}12102A x x ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭符合题意，若1a =-，则{}10A x ===∅不符合题意；当210a -≠，即1a ≠±时，则()()2221413250a a a a ∆=+--=-++=，解得1a =-（舍）或53a =.所以a 的值可能为1，53.故选：BC 12.AC【分析】根据不等式的性质判断A ，C ；利用作差法比较大小判断B ，D.【详解】解：对于A ，因为0a b >>，所以11a b<，故A 正确；对于B ，()()()()111111b a a b b b b a a a a a a a +-++--==+++，由于0a b >>，所以()0,10b a a a -<+>，则101b b a a +-<+，即11b b a a +<+，故B 错误；对于C ，因为0a b >>，所以11b a >，所以11a b b a+>+，故C 正确；对于D ，()()()11111b a ab a b a b a b a b a b a b ab ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于0a b >>，则0,0a b ab ->>，但ab 与1的大小不确定，故D 错误.故选：AC .13.ACD 【解析】【分析】由存在性命题的否定判断A ；由211x x >⇔<-或1x >可判断B ；由一元二次方程的根的分布判断C ；由均值不等式及1的变形确定D 选项.【详解】由含量词命题的否定知，“()3,x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“()3,x ∀∈-+∞，29x >”，故A 正确；因为21x >成立推不出1x >，所以“21x >”是“1x >”的充分不必要条件错误，故B 错误；因为方程220x x m -+=有一正根和一负根等价于20200m -⨯+<，即0m <，故C 正确；因为11x y +=，所以1111144545·49y x y xy xy x y x xy xy ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当=14xy xy ，即当==13,32x y 时，等号成立，故D 正确.故选：ACD 14.【答案】BC 【解析】【分析】在同一坐标系中由()f x 与()g x 的图象得出函数()F x 的图象，结合图象即可得出()F x 的性质，判断各选项．【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，当()()f x g x <时，()()F x f x =，表示()f x 的图象在()g x 的图象下方就留下()f x 的图象，当()()f x g x 时，()()F x g x =，表示()g x 的图象在()f x 的图象下方就留下()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，故A 错误，当0x <时，由2322x x x +=-，得27x =+舍)或27x =，此时()F x 的最大值为：77-，无最小值，故B 正确，0x >时，由2322x x x -=-，解得：3x=3舍去），故F ()x 在(27-∞，，(3，递增，在()27，和)3,+∞递减故C 正确，D 错误，故选：BC ．15.CD 【解析】【分析】由题设有2210ax x ++≠在x ∈R 上恒成立，列不等式组求参数范围.【详解】由题设2210ax x ++≠在x ∈R 上恒成立，所以01Δ440a a a ≠⎧⇒>⎨=-<⎩，故A 、B 不符合，C 、D 符合.故选：CD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共6小题，共30）16.(,0]-∞【分析】将问题等价转化为[1,4]x ∀∈，4ax x+≤恒成立，利用二次函数的性质即可求解.【详解】命题[]:1,4,4ap x x x∃∈+>是假命题，即命题[1,4]x ∀∈，4ax x+≤是真命题，也即24a x x ≤-+在[1,4]上恒成立，令22()4(2)4f x x x x =-+=--+，因为[1,4]x ∈，所以当4x =时函数取最小值，即min ()(4)0f x f ==，所以0a ≤，故答案为：(,0]-∞.17.18【解析】【分析】等式280x y xy +-=变形为281y x +=，则28()(x y x y y x+=++根据基本不等式即可得到答案．【详解】解：已知0x >，0y >，且280x y xy +-=．28x y xy +=，即：281y x +=．则282828()(101018x y x yx y x y y x y x y x+=++=++⋅= ，当且仅当28x yy x=，212x y ==时取等号，所以x y +的最小值为18．故答案为：18．18.32【详解】由222ab a b ≤+两边同时加上22a b +得222()2()a b a b +≤+两边同时开方即得：222()a b a b ++（0,0a b >>且当且仅当a b =时取“=”），1++3a b +2(13)2932a b ≤+++=⨯=（当且仅当13a b +=+,即73,22a b ==时，“=”成立）故填：.考点：基本不等式.【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式222ab a b ≤+转化为222()a b a b +≤+（a>0,b>0且当且仅当a=b 时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.19.9【分析】根据方程组法求解函数()f x 的解析式，代入求出(1)f ，(1)f -，再利用(1)f -代入求出(1)g -.【详解】由14()22f x f x x x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，可知()1()242f f x x x x -=-，联立可得()2f x x =，所以(1)2f =，(1)2f -=-又因为(1)(1)165f g -+-=-+=，所以(1)527g -=+=，所以(1)(1)9f g +-=.故答案为：9【点睛】求函数解析式常用方法：（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法；（2）换元法：已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；（3）方程法：已知关于()f x 与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭与()f x -的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出()f x ．20.()1,1-和()3,+∞【分析】作出函数223y x x =--的图象，利用数形结合可得结果.【详解】作出函数223y x x =--的图象如下图所示，由图象可知，函数223y x x =--的单调递增区间为()1,1-和()3,+∞．【点睛】判断函数单调性的一般方法：1．利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2．性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反；（3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）．2．导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减．4．定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）．【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函21.()3f x x =+【分析】由题意设(),,R f x ax b a b =+∈，根据3(1)()29f x f x x +-=+，可得到方程组，求得a,b ,即得答案.【详解】根据题意，设(),,R f x ax b a b =+∈，且0a ≠，()()11f x a x b ∴+=++，()()()()3131f x f x a x b ax b ⎡⎤∴+-=++-+⎣⎦()23229ax a b x =++=+,22329a a b =⎧∴⎨+=⎩，解得()1,3,3a b f x x ==∴=+，故答案为:()3f x x =+.22.（1）()R {|5A B x x ⋃=<-ð或2}x -≥（2）{|43}m m <-<-【解析】【分析】（1）分别求出集合,A B ，然后计算A B ⋃，最后()R A B ⋃ð；（2）由题意知集合B 是集合A 的真子集，建立不等式组求解即可.【小问1详解】∵{|522}A x x x x =-<<-，∴{|52}A x x =-<<-．当4m =-时，{|53}B x x =-≤≤-．∴{|52}A B x x =-≤<- ，所以，()R {|5A B x x ⋃=<-ð或2}x -≥．【小问2详解】∵B 为非空集合，x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，则集合B 是集合A 的真子集，∴23123512m m m m +≤+⎧⎪+>-⎨⎪+<-⎩，解得：243m m m ≤-⎧⎪>-⎨⎪<-⎩，∴m 的取值范围是{|43}m m <-<-．23.（1）212140820551281410x x x y x x ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪+≤⎪⎩，，＜；（2）精加工4吨时，总利润最大为185万元.【解析】【分析】（1）利用已知条件求出函数的解析式；（2）利用二次函数的性质，转化求解函数的最值．【详解】解：（1）由题意知，当0≤x ≤8时，y =0.6x +0.2（14-x ）-120x 2=-120x 2+25x +145，当8＜x ≤14时，y =0.6x +0.2（14-x ）-3810x +=110x +2，即y =212140820551281410x x x x x ，，＜⎧-++≤≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩（2）当0≤x ≤8时，y =-120x 2+25x +145=-120（x -4）2+185，所以当x =4时，y max =185．当8＜x ≤14时，y =110x +2，所以当x =14时，y max =175．因为185＞175，所以当x =4时，y max =185．答：当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为185万元．【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．24.（1）函数f (x )在()1+∞，上为减函数，证明见解析；（2）1,13⎛⎫⎪⎝⎭．【分析】（1）根据定义法证明函数单调性的步骤：取值，作差，变形，定号，下结论，即可证明；（2）利用（1）问函数单调性即可求解.【详解】解：（1）任取()12,1x x ∈+∞，，且12x x <，则121244()()11f x f x x x -=---()()()()2112414111x x x x ---=--()()()2112411x x x x -=--121x x << ，21120,10,10x x x x ∴->->->，12()()0,f x f x ∴->即12()()f x f x >，所以函数f (x )在()1+∞，上为减函数；（2）由（1）得21211221a a a a -+>⎧⎪+>⎨⎪-+<+⎩1101313a a a a ⎧⎪<⎪⇒>⇒<<⎨⎪⎪>⎩，所以实数a 的取值范围1,13⎛⎫⎪⎝⎭.25.（1）5a =-，25b =-（2）当0a =时，不等式的解集为{|1}<x x ；当3a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠；当0<<3a 时，不等式的解集为3{|x x a >或1}x <；当a<0时，不等式的解集为3{|1}x x a<<．【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，结合韦达定理列方程求解实数a ，b 的值即可；（2）化简不等式()()310ax x -->，由3a <再分类讨论求不等式的解集即可．【小问1详解】解：根据题意，2320ax x ++>的解集为{|1}x b x <<，则1，b 是方程2320ax x ++=的解，且a<0，则有3121b a b a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得：5a =-，25b =-；【小问2详解】解：不等式()(6)1f x a x >+-，即()2330ax a x -++>，则有()()310ax x -->，其中3a <，①当0a =时，不等式为()310x -->，则不等式的解集为{|1}<x x ；②当3a =时，不等式为()2310x ->，则不等式的解集为{|1}x x ≠，③当0<<3a 时，则31a<，不等式的解集为3{|x x a >或1}x <，④当a<0时，则31a <，不等式的解集为3{|1}x x a<<．综上，当0a =时，不等式的解集为{|1}<x x ；当3a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠；当0<<3a 时，不等式的解集为3{|x x a >或1}x <；当a<0时，不等式的解集为3{|1}x x a<<．。
2023-2024学年运城中学高一数学上学期10月调研考试卷附答案解析
2023-2024学年运城中学高一数学上学期10月调研考试卷考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：必修一第一、二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．下列各式中关系符号运用正确的是（）A ．{}10,1,2⊆B ．{}{}10,1,2∈C ．{}1,0,2∅∈D ．{}11,0,3-∈-2．集合{}N 13M x x =∈-≤<的真子集的个数是（）A ．7B ．8C ．6D ．43．命题p ：0x ∃>，2310x x ++<的否定是（）A ．0x ∀≤，2310x x ++≥B ．0x ∀>，2310x x ++≥C ．0x ∃>，2310x x ++≥D ．0x ∃≤，2310x x ++≥4．已知集合103x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，{}04B x x =∈≤≤N ，则()A B =R I ð（）A ．{}4B ．{}0,4C ．{}3,4D ．{}0,3,45．“关于x 的不等式2210ax ax -+>的解集为R ”的一个充分不必要条件是（）A ．01a ≤<B ．01a ≤≤C ．01a <<D ．0<<3a 6．已知一元二次不等式()20,,ax bx c a b c ++<∈R 的解集为{}13x x -<<，则12b c a -+的最小值为（）A ．-4B ．4C ．2D ．-27．已知关于x 的方程()222110x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x .若1x ，2x 满足221219x x +=，则实数k 的取值为（）A ．2-或4B ．4C ．2-D ．548．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中同时参加数、理、化三科竞赛的有7名，没有参加任何竞赛的学生共有10名，若该班学生共有51名，则只参与两科竞赛的同学有（）人A ．19B ．18C ．9D ．29二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知集合{}2,4,A a =，{}1,2,3B =，若{}1,2,3,4A B = ，则a 的取值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．410．二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下面结论中正确的是（）A ．20a b +=B ．420a b c ++>C ．0a b c -+=D ．当0y >时，14x -<<11．已知,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（）A．2a b+≥B ．()()2222a ba b +≥+C ．2b a a b +≥D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12．对于集合A ，B ，定义集合运算{}A B x x A x B -=∈∉且，则下列结论正确的有（）A ．()()A B B A -⋂-=∅B ．()()()()A B B A A B A B -⋃-=⋃-⋂C ．若A B =，则A B -=∅D ．若AB ，则B A -=∅三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知集合{}1A =-，{}1,0,1B =-，若A C B ⊆⊆，则符合条件的集合C 的个数为.14．若命题“03x ∃≤≤，22x x m ->”为真命题，则m 的取值范围为.15．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中真命题的序号是.①a b =是ac bc =的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“22a b =”是“a b =”的必要而不充分条件；④x ∃∈R ，21x <.16．已知0x >，0y >，满足2126x y x y +++=，存在实数m ，使得2m x y ≥+恒成立，则m 的最小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知全集{}55U x x =-≤≤，{}03A x x =<≤，{}21B x x =-≤≤，求：(1)A B ⋂；(2)()U B A ð.18．设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中a<0，q ：实数x 满足2680x x ++≤.(1)若3a =-，且p ，q均成立，求实数x 的取值范围；(2)若p 成立的一个充分不必要条件是q，求实数a 的取值范围.19．已知集合{}2320A x x x =-+=，(){}222210B x xa x a a =-++-+=(1)当{}2A B ⋂=时，求实数a 的值；(2)若A B A ⋃=时，求实数a 的取值范围.20．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3AB =米，2AD =米.(1)设DN 的长为()0x x >米，试用x 表示矩形AMPN 的面积；(2)当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小?并求出最小值.21．设函数2y ax bx c =++.(1)若0a >，22b a =--，3c =，求不等式1y ≤-的解集；(2)若22c a ==，当15x ≤≤时，不等式32y bx≥恒成立，求实数b 的取值范围.22．【问题】已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是{}12x x <<，求关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集.在研究上面的【问题】时，小明和小宁分别得到了下面的【解法一】和【解法二】：【解法一】由已知得方程20ax bx c ++=的两个根分别为1和2，且0a <，由韦达定理得12,3,2,12,b b a a c c a a ⎧+=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪⨯=⎪⎩所以不等式20cx bx a ++>转化为2230ax ax a -+>，整理得()()1210x x --<，解得112x <<，所以不等式20cx bx a ++>的解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【解法二】由已知20ax bx c ++>得2110c b a x x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，令1y x =，则112y <<，所以不等式20cx bx a ++>解集是112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.参考以上解法，解答下面的问题：(1)若关于x 的不等式0k x c x a x b ++<++的解集是{}2123x x x -<<-<<或，请写出关于x 的不等式1011kx cx ax bx ++<++的解集；（直接写出答案即可）(2)若实数m ，n 满足方程()()221411m m +++=，()()22214n n n +++=，且1mn ≠，求33n m -+的值.1．D【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断即可.【详解】对于A ：{}10,1,2∈，故A 错误；对于B ：{}{}10,1,2⊆或{}1{}0,1,2，故B 错误；对于C ：{}1,0,2∅⊆或∅{}1,0,2，故C 错误；对于D ：{}11,0,3-∈-，故D 正确；故选：D 2．A【分析】化简集合M ，判断其有三个元素，即可得出结果.【详解】由{}{}N 130,1,2M x x =∈-≤<=，集合有三个元素，则其真子集个数为3217-=.故选：A 3．B【分析】由特称命题的否定判断．【详解】由题意得0x ∃>，2310x x ++<的否定是0x ∀>，2310x x ++≥，故选：B 4．D【分析】化简集合,A B ，利用集合间的基本运算求解即可.【详解】由{}10133x A x x x x -⎧⎫=≤=≤<⎨⎬-⎩⎭，{}{}N 040,1,2,3,4B x x =∈≤≤=，得{1A x x =<R ð或}3x ≥，则(){}0,3,4A B =R I ð.故选：D5．C【分析】首先求出关于x 的不等式2210ax ax -+>的解集为R 的充要条件，即可判断.【详解】若关于x 的不等式2210ax ax -+>的解集为R ，当0a =时，10>，显然成立；当0a ≠时，则()20Δ240a a a >⎧⎪⎨=--<⎪⎩，解得01a <<；综上可得01a ≤<.即关于x 的不等式2210ax ax -+>的解集为R 的充要条件为01a ≤<，因为()0,1[)0,1，所以关于x 的不等式2210ax ax -+>的解集为R 的一个充分不必要条件可以是01a <<.故选：C 6．B【分析】分析可得0a >，利用韦达定理可得出2b a =-、3c a =-，再利用基本不等式可求得12b c a -+的最大值.【详解】因为一元二次不等式()20,,ax bx c a b c ++<∈R 的解集为{}13x x -<<，所以，01313a b a c a ⎧⎪>⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，则023a b a c a >⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以，111226424b c a a a a a a -+=-++=+≥，当且仅当()140a a a =>时，即当12a =时，等号成立.因此，12b c a -+的最小值为4.故选：B.7．C【分析】由韦达定理列式求解．【详解】由22(21)4(1)450∆=---=-+≥k k k 时，2121212,1x x k x x k +=-=-，222212(12)2(1)19x x k k +=---=，解得2k =-（4k =舍去）故选：C 8．A【分析】设只参加数理的有a 人，只参加数化的有b 人，只参加理化的有c 人，由题意画出Venn 图求解.【详解】解：设只参加数理的有a 人，只参加数化的有b 人，只参加理化的有c 人，由题意画出Venn 图，如图所示：则只参加数学竞赛的有：()267a b -++人，只参加物理竞赛的有()257a c -++人，只参加化学竞赛的有：()237b c -++人，所以参加竞赛的有()267a b -++()257a c +-++()()237760b c a b c a b c +-++++++=-++人，由题意得()605110a b c -++=-，解得19a b c ++=，所以只参与两科竞赛的同学有19人，故选：A 9．AC【分析】根据并集的概念及运算即可得到结果.【详解】∵集合{}{}2,4,,1,2,3A a B ==，{1,2,3,4}A B ⋃=，∴1a =，或3a =.故选：AC.10．ABC【分析】利用二次函数的图像和性质逐个选项判断即可.【详解】根据图像可得，12b a -=，2b a =-，A 正确；由对称性=1x -和3x =时，0y =，所以2x =时，0y >，即420a b c ++>，0a b c -+=，当0y >时，13x -<<，BC 正确，D 错误.故选：ABC11．BCD【分析】由基本不等式逐一判断．【详解】对于A ，当,a b 为负数时不成立，故A 错误，对于B ，()()22222()0a b a b a b +-+=-≥，则()()2222a b a b +≥+，故B 正确，对于C ，0ab >，则,b a a b 都为正数，2b aa b +≥，当且仅当b a a b =，即a b =时等号成立，故C 正确，对于D ，111224b a a b ab a b ab a b ⎛⎫⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1ab ab =和b aa b =同时成立，即1a b ==±时等号成立，故D 正确，故选：BCD 12．ABC【分析】由韦恩图分别表示集合A B -，A B ⋂，B A -，再对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】如图：若A ，B 不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合A B -，A B ⋂，B A -，若A ，B 具有包含关系，不妨设A 是B的真子集，对于A ，图1中，()()A B B A -⋂-=∅，图2中A B -=∅，所以()()A B B A -⋂-=∅，A 正确；对于B ，图1中，()()()()A B B A A B A B -⋃-=⋃-⋂成立，图2中，()()A B B A B A -⋃-=-，()()A B A B B A ⋃-⋂=-，所以()()()()A B B A A B A B -⋃-=⋃-⋂成立，故B 正确；对于C ，若A B =，则A B -=∅；故C 正确；对于D ，由图2可知，若A B ，则B A -≠∅，故D 错误；故选：ABC 13．4【分析】根据A C B ⊆⊆，列举出集合C 求解.【详解】解：因为集合{}1A =-，{}1,0,1B =-，且A C B ⊆⊆，所以集合{}{}{}{}1,1,0,1,1,1,0,1,C C C C =-=-=-=-共4个，故答案为：414．{}3m m <【分析】根据题意，将问题转化为能成立问题，求其最大值，即可得到结果.【详解】命题“03x ∃≤≤，22x x m ->”为真命题，即03x ∃≤≤，()2max 2m x x <-，设()()22211f x x x x =---=，[]0,3x ∈，当3x =时，()f x 取得最大值为()33f =，所以3m <，即m 的取值范围为{}3m m <.故答案为：{}3m m <15．②③④【分析】①②③利用充分条件和必要条件的定义判断；④举例判断.【详解】①当a b =时，ac bc =，当ac bc =，即()0a b c -=时，解得a b =或0c =，故a b =是ac bc =的充分不必要条件；②由一个无理数与一个有理数的和与差为无理数知：“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③当22a b =，即()()0a b a b -+=时，解得a b =或a b =-，所以“22a b =”是“a b =”的必要而不充分条件；④当0.1x =时，21x <，故正确；故答案为：②③④16．4【分析】由2182x y x y +≥+得8262x y x y ++≤+整理得到224x y ≤+≤，即可得m 的最小值为4.【详解】因为0x >，0y >，所以()2242xy x y ≤+，即()22824xy x y xy ≤++，得()282xy x y ≤+，所以21282x y x yxy x y ++=≥+，当且仅当2x y =时等号成立，由2126x y x y +++=得8262x y x y ++≤+，整理得()()226280x y x y +-++≤，即()()22240x y x y +-+-≤，所以224x y ≤+≤，又因为存在实数m ，使得2m x y ≥+恒成立，所以4m ≥，故答案为：417．(1){}01A B x x ⋂=<≤(2)(){}U 5135B A x x x ⋃=-≤≤<≤或ð【分析】（1）利用集合的交集运算求解；（2）利用集合的补集和并集运算求解.【详解】（1）解：因为{}03A x x =<≤，{}21B x x =-≤≤，所以{}01A B x x ⋂=<≤.（2）因为{|50U A x x =-≤≤ð或}35x <≤，所以B ⋃{|51U A x x =-≤≤ð或}35x <≤.18．(1){}43x x -≤<-(2)423a a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）代入3a =-，再根据二次不等式求解即可；（2）根据充分不必要条件的性质，结合区间端点的位置关系求解即可.【详解】（1）当3a =-时，由212270x x ++<，解得93x -<<-，而由2680x x ++≤，得42x -≤≤-，由于p ，q均成立，故43x -≤<-，即x 的取值范围是{}43x x -≤<-.（2）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<，因为a<0，所以3a a <，故p ：3a x a <<，因为q 是p 的充分不必要条件，所以2,34,a a -<⎧⎨<-⎩解得423a -<<-.故实数a 的取值范围是423a a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.19．(1)12a =(2){|0a a ≤或1a =或8}7a >【分析】（1）利用2B ∈，代入解方程，即可求出a ，再检验即可；（2）转化为子集问题，结合子集的定义得出B 的所有可能情况，分别讨论这些情况，即可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）{}{}23201,2A x x x =-+==，因为{}2A B ⋂=，所以2B ∈，即()22222210a a a -+⨯+-+=，解得1a =或12a =.当1a =时，{}1,2B =，{}1,2A B = ，不合题意；当12a =时，1,22B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2A B ⋂=，符合题意，综上，12a =；（2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，即B 可能为∅，{}1，{}2，{}1,2，当B =∅时，()()2224210a a a ∆=+--+<，即2780a a ->，解得0<a 或87a >，当集合B 中只有一个元素时，()()2224210a a a ∆=+--+=，解得0a =或87a =，当0a =时，{}{}22101B x x x =-+==，符合题意；当87a =时，117B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，不符合题意；当{}1,2B =时，由根与系数的关系可知2212321122a a a +=+=⎧⎨-+=⨯=⎩,又()()2224210a a a ∆=+--+>，解得1a =，所以综上所述，所求实数a 的取值范围是{|0a a ≤或1a =或8}7a >.20．(1)()232AMPN x S x +=(2)DN 的长为2米时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小值为24平方米.【分析】（1）设DN 的长为()0x x >米，则()2AN x =+米，由::DN AN DC AM =得到AM ，然后由AMPN S AN AM =⋅求解；（2）由()23212312x S x x x +==++，利用基本不等式求解.【详解】（1）解：设DN 的长为()0x x >米，则()2AN x =+米，∵::DN AN DC AM =，∴()32x AM x +=，∴()232AMPN x S AN AM x +=⋅=；（2）记矩形花坛AMPN 的面积为S ，则()232123121224x S x xx +==++≥=，当且仅当123x x =，即2x =时取等号，故DN 的长为2米时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小值为24平方米.21．(1)答案见解析(2){b b ≤【分析】（1）根据题意，分类讨论求解一元二次不等式，即可得到结果；（2）根据题意，将不等式化简，结合基本不等式，即可得到结果.【详解】（1）当0a >，22b a =--，3c =，则不等式1y ≤-，即()22240ax a x -++≤，当0a >，方程()22240ax a x -++=的两根为2a 和2，①当22a >，即01a <<时，不等式的解集为22x x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；②当22a =，即1a =时，不等式的解集为{}2x x =；③当0a >且22a <，即1a >时，不等式的解集为22x x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.综上所述：当01a <<时，不等式的解集为22x x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.当1a =时，不等式的解集为{}2x x =；当1a >时，不等式的解集为22x x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）若22c a ==，不等式32y bx ≥即为：2240x bx -+≥，当15x ≤≤时，可变形为：22442x b x x x +≤=+，即min 42b x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，又2x x +≥=当且仅当2x x =，即x =∴min 42x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即b ≤∴实数b的取值范围是{b b ≤.22．(1)1111,,232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)-490【分析】（1）参考题中所给解法，通过变形将不等式中的x 变为1x 的形式，再令1y x =，解不等式即可.（2）由题意可得1m ，n 是方程是210170x x ++=的两个不等根，由韦达定理代入求解即可得出答案.【详解】（1）由0k x c x a x b ++<++得，11101111k c x xa b x x ⋅+⋅+<+⋅+⋅，令1y x =，因为()()2,12,3x ∈-- ，所以1111,,232y ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .所以不等式1011kxcx ax bx ++<++的解集为1111,,232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.（2）方程()()221411m m +++=，()()22214n n n +++=，化简为2171010m m ++=，210170n n ++=.即2110170m m ++=，210170n n ++=，又1mn ≠.故1m ，n 是方程是210170x x ++=的两个不等根，由韦达定理得110,117,n mn m ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩故2332211113490n n n m n n n n m m m m m m -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.。
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必修4试题A一、选择题：(每小题5分，共计60分) 1. 下列命题中正确的是（ ）A ．第一象限角必是锐角B ．终边相同的角相等C ．相等的角终边必相同D ．不相等的角其终边必不相同2.已知角α的终边过点()m m P 34，-，()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是（ ）A ．1或－1B ．52或 52-C ．1或52-D ．－1或523. 下列命题正确的是（ ）A 若→a ·→b =→a ·→c ，则→b =→c B 若|||b -=+，则→a ·→b =0 C 若→a //→b ，→b //→c ，则→a //→c D 若→a 与→b 是单位向量，则→a ·→b =1 4.计算下列几个式子，①35tan 25tan 335tan 25tan ++,②2(sin35︒cos25︒+sin55︒cos65︒), ③15tan 115tan 1-+ , ④6tan16tan2ππ-，结果为3的是（ ）A.①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④5. 函数y ＝cos(4π－2x )的单调递增区间是 （ ）A ．[k π＋8π，k π＋85π]B ．[k π－83π，k π＋8π]C ．[2k π＋8π，2k π＋85π]D ．[2k π－83π，2k π＋8π]（以上k ∈Z ）6. △ABC 中三个内角为A 、B 、C ，若关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B --=有一根为1，则△ABC 一定是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形7. 将函数)32sin()(π-=x x f 的图像左移3π，再将图像上各点横坐标压缩到原来的21，则所得到的图象的解析式为（ ） Ax y sin = B )34sin(π+=x yC )324sin(π-=x y D )3sin(π+=x y8. 化简10sin 1++10sin 1-，得到（ ） A －2sin5 B －2cos5 C 2sin5 D 2cos59. 函数f(x)=sin2x ·cos2x 是 ( )A 周期为π的偶函数B 周期为π的奇函数C 周期为2π的偶函数 D 周期为2π的奇函数. 10. 若|2|= ，2||= 且（b a -）⊥a ，则a 与b的夹角是 （ ）（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）π12511. 正方形ABCD 的边长为1，记→-AB ＝→a ，→-BC ＝→b ，→-AC ＝→c ，则下列结论错误．．的是 A ．(→a －→b )·→c ＝0 B ．(→a ＋→b －→c )·→a ＝0 C ．(|→a －→c | －|→b |)→a ＝→0 D ．|→a ＋→b ＋→c |＝2 12. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于（ ）A ．1B ．2524-C ．257D ．－257 二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）13. 已知曲线y =Asin(ωx ＋ϕ)＋k （A>0,ω>0,|ϕ|<π）在同一周期内的最高点的坐标为(8π, 4)，最低点的坐标为(85π, －2)，此曲线的函数表达式是 。
14. 设sin α－sin β=31，cos α+cos β=21, 则cos(α+β)= 。
15. 关于x 的方程a x x =+cos 3sin (0≤x ≤2π)有两相异根，则实数a 的取值范围是__________ ___ 16. 关于下列命题：①函数x y tan =在第一象限是增函数；②函数)4(2cos x y -=π是偶函数； ③函数)32sin(4π-=x y 的一个对称中心是（6π，0）；④函数)4sin(π+=x y 在闭区间]2,2[ππ-上是增函数; 写出所有正确的命题的题号： 。
三、解答题：17.（本小题12分）(1) 化简)24(cos 22sin cos sin 12xx xx-∙+π(2) cos40︒cos80︒cos160︒18. （本小题12分）已知434π<α<π，40π<β<，53)4cos(-=+απ，135)43sin(=β+π，求()βα+si n 的值.19. （本小题12分）已知向量)23sin 23(cosxx ，=a ，)2sin 2(cos xx -=，b ，)13(-=，c ，其中R ∈x ．（Ⅰ）当b a ⊥时，求x 值的集合； （Ⅱ）求||c a -的最大值．20. （本小题12分）已知函数y= 4cos 2x+43sinxcosx －2,（x ∈R ）。
（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值及其相对应的x 值；（3）写出函数的单调增区间；（4）写出函数的对称轴。
21. （本小题12分）设函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，给出下列三个论断：①()f x 的图象关于直线6x π=-对称;②()f x 的周期为π； ③()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称． 以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明．22. （本小题14分）设、是两个不共线的非零向量（R t ∈）（1）记),(31,,b a OC b t OB a OA +===那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？（2）若 1201||||夹角为与且==，那么实数x 为何值时||x -的值最小？（必修4） B一、填空题（1-8题每题5分 , 9-14题每题6分，共76分）1、比较大小： 0c o s (508)- 0cos(144)-2、函数tan 2y x =的定义域是3、函数y ＝cos(2x －4π)的单调递增区间是_________________ 4、若21tan =α，则ααααcos 3sin 2cos sin -+= 5、函数y =___________6、函数)23cos(3x y π+=的图象是把y=3cos3x 的图象平移而得，平移方法是______________7、函数x x y s i n3s i n3+-=的值域为______________________ 8、①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③相等向量一定共线；④共线向量一定相等；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量，其中正确的命题是 。
9、函数)sin(ϕω+=x A y (A ＞0,0＜ϕ＜π)在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为___________________10、函数2005sin(2004)2y x π=-是_______函数 (填：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数 ) 11、 关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π), (x ∈R )有下列命题：①y ＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； ② y ＝f(x)可改写为y ＝4cos(2x －6π)；③y ＝f(x)的图象关于点(－6π，0)对称；④ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝512π-对称；其中正确的序号为 。
12、直线y a = （a 为常数）与正切曲线tan y xω=（0ω>）相交的相邻两点间的距离是_______ 13、如下图，函数)656(3sin 2ππ≤≤=x x y 与函数y=2的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________________________14、如上图，函数f(x)=Asin(ωx ＋ϕ) (A>O ，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)+f (2)+…+f(2008)的值等于________ 二、解答题（共6大题，共84分） 15、(本题满分14分)（1）已知tan 3α=-，且α是第二象限的角,求αsin 和αcos ;（2）已知sin cos 2,tan ααπαπα-=求的值。
16、(本题满分14分)已知tan(3)3πα+=，试求sin(3)cos()sin()2cos()22sin()cos()ππαππααααπα-+-+--+--++的值．17、 (本题满分14分)已知sin ,cos αα是方程22255(21)0x t x t t -+++=的两根，且α为锐角。
⑴求t 的值；⑵求以11,sin cos αα为两根的一元二次方程。
18、(本题满分14分)求下列函数的值域：22()2cos 3sin 3[,]63f x x x x ππ=++∈19、（本题满分14分）A （3-6班做）已知函数()sin(),(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象，它与y 轴的交点为（30,2），它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为00(,3),(2,3)x x π+-. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）求这个函数的单调递增区间和对称中心. （3）该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?B （1-2班做）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋ϕ) (ω>0，0≤ϕ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (34π，0)对称，且在区间[0,2π]上是单调函数，求 ωϕ，的值。
20、（本小题满分14分）A （3-6班做）函数y ＝Asin(ωx+ϕ)(A ＞0,ω＞0)在x∈(0，7π)内取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y 有最大值3，当x ＝6π时，y 有最小值-3.（1）求此函数解析式；（2）写出该函数的单调递增区间；(3) 是否存在实数m ，满足不等式Asin(ϕ)＞Asin(ϕ )?若存在，求出m 值（或范围），若不存在，请说明理由。
B （1-2班做）某港口海水的深度y （米）是时间t （时）（240≤≤t ）的函数，记为：)(t f y = 已知某经长期观察，)(t f y =的曲线可近似地看成函数b t A y +=ωsin 的图象（1）根据以上数据，求出函数b t A t f y +==ωsin )(的振幅、最小正周期和表达式； （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。
某船吃水深度（船底离水面的距离）为5.6米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）A 参考答案一、选择题：（每小题5分共计60分） 二、填空题：（每小题4分，共计16分） 13、1)42sin(3++=πx y 14、7259-15、)2,3[∈a 16、③三、解答题：17. (1)2sinx (2) 81- 18.-656319.(1)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+Z k k x ,24|ππ(2) 3 20.(1)T=π (2)4),(6max =∈+=y Z k k y ππ(3))(],6,3[Z k k k ∈++-ππππ(4)对称轴26ππk x +=，（)Z k ∈21.由①②⇒③或由②③⇒①22. （1）t=21 （2）当21-=x 时，||x -的值最小。