《初等数论》习题解答2010修改版闵嗣鹤

2
2
2
(ii) 当 q 为奇数时，若 b 0 则令 s q 1,t a bs a q 1b ，则有
2
2
2 / 63
《初等数论》习题解答（修改版）（茂名学院 WeiXLI）
b t a bs a q 1b a q 1 b 0 t b
2
2
2
2
若 b 0 ，则令 s q 1,t a bs a q 1b ，则同样有 t b 综上所述，存在性
r1 b
(a,b) rn
d | a bq1 r1 ， d | b r1q2 r2 ，┄, d | rn2 rn1qn rn (a,b) ,
即 d 是 (a,b) 的因数。
3 / 63
《初等数论》习题解答（修改版）（茂名学院 WeiXLI）
反过来 (a,b) | a 且 (a,b) | b ，若 d |(a,b), 则 d | a, d | b ，所以 (a,b) 的因数都是 a,b 的公因
证明： a1, a2 , an 都是 m 的倍数。 存在 n 个整数 p1, p2, pn 使 a1 p1m, a2 p2m, , an pnm 又 q1, q2, , qn 是任意 n 个整数 q1a1 q2a2 qnan q1 p1m q2 p2m qn pnm ( p1q1 q2 p2 qn pn )m 即 q1a1 q2a2 qnan 是 m 的整数 2．证明 3 | n(n 1)(2n 1) 证明 n( n 1 ) ( 2n 1) n n( 1n)( 2n 1 )
1 / 63
证： a,b 不全为 0
《初等数论》习题解答（修改版）（茂名学院 WeiXLI）
在整数集合 S ax by | x, y Z 中存在正整数，因而有形如 ax by 的最小整数
ax0 by0 x, y Z ，由带余除法有 ax by (ax0 by0 )q r, 0 r ax0 by0
则 r (x x0q)a ( y y0q)b S ，由 ax0 by0 是 S 中的最小整数知 r 0
ax0 by0 | ax by ax0 by0 | ax by （ x, y 为任意整数） ax0 by0 | a, ax0 by0 | b
ax0 by0 | (a,b). 又有 (a,b) | a ， (a,b) | b
数，从而 a,b 的公因数与 (a,b) 的因数相同。
2．证明：见本书 P2，P3 第 3 题证明。
3．应用§1 习题 4 证明任意两整数的最大公因数存在，并说明其求法，试用你的所说的求
法及辗转相除法实际算出（76501，9719）．
解：有§1 习题 4 知：
a,b Z,b 0,s,t Z, 使 a bs t,| t | b 。， 2
),
t1
b 2 , t1
b 2
§2 最大公因数与辗转相除法
1．证明推论 4.1
推论 4.1 a，b 的公因数与（a，b）的因数相同．
证：设 d 是 a，b 的任一公因数， d |a， d |b
由带余除法
a bq1 r1,b r1q2 r2 , , rn2 rn1qn rn , rn1 rnqn1, 0 rn1 rn rn1
(a,b) (b, a bs) (a bs,b (a bs)s1)
2
2
2，
得证．
下证唯一性
当 b 为奇数时，设 a bs t bs1 t1则 t t1 b(s1 s) b
而
t
b 2
, t1
b 2
t t1
Байду номын сангаас
t
t1
b
矛盾 故 s s1,t t1
当 b 为偶数时， s,t 不唯一，举例如下：此时 b 为整数 2
3 b 2
b 1 b 2
b
2
(
b 2
则 a 必在此序列的某两项之间
2
22 2
即存在一个整数 q ，使 q b a q 1 b 成立
2
2
(i) 当 q 为偶数时，若 b 0. 则令 s q ,t a bs a q b ，则有
2
2
0 a bs t a q b a q b q b t b
2
22
2
若 b 0 则令 s q ,t a bs a q b ，则同样有 t b
(a,b) | ax0 by0 故 ax0 by0 (a,b) 4．若 a，b 是任意二整数，且 b 0 ，证明：存在两个整数 s，t 使得
a bs t, | t | | b | 2
成立，并且当 b 是奇数时，s，t 是唯一存在的．当 b 是偶数时结果如何？
证：作序列
3b
b b 3b
, , b , , 0, , b , ,
s1 , t1
，使
b
s1t
t1,|
t1
|
|t| 2
b 22
,
, 如此类推知：
sn ,tn ,tn2 tn1sn tn ;
sn1, tn1, tn1 tnsn1 tn1;
且
|
tn
|
|
tn1 2
|
|
tn2 22
|
|t| |b| 2n 2n1
而 b 是一个有限数，n N, 使 tn1 0
(a,b) (b,t) (t,t1) (t1,t2) (tn,tn1) (tn, 0) tn ，存在其求法为：
《初等数论》习题解答（修改版）（茂名学院 WeiXLI）
第一章 整数的可除性
§1 整除的概念·带余除法 1．证明定理 3
定 理 3 若 a1，a2， ，an 都 是 m 得 倍 数 ， q1，q2， ，qn 是 任 意 n 个 整 数 ， 则 q1a1 q2a2 qnan 是 m 得 倍 数 ．
n( n 1 ) (n 2 ) n( 1n) n( 1 ) 又 n(n 1)(n 2) ， (n 1)n(n 2) 是连续的三个整数 故 3| n(n 1)(n 2), 3| (n 1)n(n 1) 3| n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1) 从而可知 3 | n(n 1)(2n 1) 3．若 ax0 by0 是形如 ax by（x，y 是任意整数，a，b 是两不全为零的整数）的数中最小 整数，则 (ax0 by0 ) | (ax by) ．