平面几何的几个重要定理
平面几何的17个著名定理,助力中考,快帮孩子收藏
平面几何的17个著名定理,助力中考,快帮孩子收藏
平面几何是初中数学中的一大重点,对于中考数学而言,几何同样占据着举足轻重的地位,学号几何,对于中考数学的提分绝对是必不可少的一大助力。你拥有一颗几何脑将会让你对于几何的学习异常轻松。
今天为大家分享平面几何的17个著名定理,希望对您的数学提升有所帮助!
一、欧拉线:同一三角形的垂心、重心、外心三点共线,这条直线称为三角形的欧拉线;且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。
二、九点圆:任意三角形三边的中点,三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点,共九个点共圆,这个圆称为三角形的九点圆;其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点,其半径等于三角形外接圆半径的一半。
三、费尔马点:已知为锐角△ ABC内一点,当∠ APB = ∠ BPC = ∠ CPA = 120° 时,PA PB PC的值最小,这个点P称为△ ABC的费尔马点。(图中H为B.点,G为C点)
四、海伦公式:在△ ABC中,边BC 、 CA 、 AB的长分别为a 、
b 、 c,若P = ½ (a b
c ),则△ABC的面积S = √ P (P - a)(P - b )(P - c)。
五、塞瓦定理:在△ ABC中,过△ABC的顶点作相交于一点P的直线,分别交边BC 、 CA 、 AB与点D 、 E 、 F ,则BD / DC :CE / EA : AF / FB = 1;其逆亦真。
六、密格尔点:若AE 、 AF 、 ED 、 FB四条直线相交于ABCDEF 六点,构成四个三角形,它们是△ ABF、△ AED 、△ BCE 、△ DCF ,则这四个三角形的外接圆共点,这个点称为密格尔点。
平面几何常考定理总结(八大定理)
l
m
β
α
α
b
a
立体几何的八大定理
一、线面平行的判定定理:线线平行⇒线面平行
文字语言:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则这条直线与平面平行.
符号语言://a b a b αα⊄⎫
⎪
⊂⎬⎪⎭
⇒//a α
关键点:在平面内找一条与平面外的直线平行的线 二、线面平行的性质定理:线面平行⇒线线平行
文字语言:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直
线就和交线平行.
符号语言://l l m α
βαβ⎫
⎪
⊂⎬⎪⋂=⎭
⇒//l m
关键点:需要借助一个经过已知直线的平面,接着找交线。 三、面面平行的判定定理:线面平行⇒ 面面平行
文字语言:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
符号语言://a b a b A a b αα
αβββ
⊂⎫⎪⊂⎪⎪
=
⇒⎬⎪⎪⎪⎭
∥∥ 关键点:在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行. 符号语言:
////a a b b αβαγβγ⎫
⎪
⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭
关键点:找第三个平面与已知平面都相交,则交线平行
文字语言:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键:只要是其中一个平面内的直线就行
n
m
A
α
a
B
A l β
αa
β
α
五、线面垂直的判定定理:线线垂直⇒线面垂直
文字语言:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面.
认识平面几何的61个著名定理
【认识平面几何的61个著名定理,自行画出图形来学习,★部分要求证明出来】
★1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)
★2、射影定理(欧几里得定理)
★3、三角形的三条中线交于一点,并且,各中线被这个点分成2:1的两部分
4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点
5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。
★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点
8、设三角形ABC 的外心为O ,垂心为H ,从O 向BC 边引垂线,设垂足不L ,则AH=2OL
9、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,
11、欧拉定理:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上
12、库立奇大上定理:(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
★13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点,内切圆的半径公式: ()()()s
c s b s a s r ---=,s 为三角形周长的一半
★14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点
15、中线定理:(巴布斯定理)设三角形ABC 的边BC 的中点为P ,则有AB 2+AC 2=2(AP 2+BP 2)
16、斯图尔特定理:P 将三角形ABC 的边BC 分成m 和n 两段,则有n ×AB 2+m ×AC 2=BC ×(AP 2+mn )
平面几何四个重要定理
竞赛专题讲座-平面几何四个重要定理
重庆市育才中学瞿明强
四个重要定理:
梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线)
△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R,则P、Q、R共线的充要条件是四个重要定理:
。
塞瓦(Ceva)定理(塞瓦点)
△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R,则AP、BQ、CR共点的充要条件是
。
托勒密(Ptolemy)定理
四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)定理(西姆松线)
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
例题:
1.设AD是△ABC的边BC上的中线,直线CF交AD于F。求证:。
【分析】CEF截△ABD→(梅氏定理)
【评注】也可以添加辅助线证明:过A、B、D之一作CF的平行线。
2.过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F,交CB于D。
求证:。
【分析】连结并延长AG交BC于M,则M为BC的中点。DEG截△ABM→(梅氏定理)
DGF截△ACM→(梅氏定理)
∴===1
【评注】梅氏定理
3.D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上,
,AD、BE、CF交成△LMN。
求S△LMN。
【分析】
【评注】梅氏定理
4.以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证:AE、BF、CG相交于一点。
【分析】
【评注】塞瓦定理
5.已知△ABC中,∠B=2∠C。求证:AC2=AB2+AB·BC。
【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D,连结BD。则CD=DA=AB,AC=BD。由托勒密定理,AC·BD=AD·BC+CD·AB。
平面几何的几个重要的定理
平面几何的几个重要的定理
一、梅涅劳斯定理:
1=⋅⋅=⋅⋅B
A
A C C
B
C B A h h h h h h RB AR QA CQ PC BP l C B A h h h 的垂线的长度,则:到直线
、、分别是、、证:设
注:此定理常运用求证三角形相似的过程中的
线段成比例的条件;
。
的交点,证明:与是的中点,是上,在点
的平分线,是是斜边上的高,中,:若直角例CE //BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC ∠∆11PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l 1=⋅⋅RB
AR
QA CQ ,则
、、的延长线分别交于或它们、、的三边的顶点,并且与不经过:若直线定理∆∆CE
//BF CKE FKB KE BK KC KF BE BK FC KF BE BK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FC
KF
EK AE DA CD F E D ACK EP
CK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACE HBC ACK
EBC BH B EBC ∴≅∴=
====⋅⋅=∴⊥︒=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠∆∆∆∆∆=
依分比定理有:=即:=于是依梅涅劳斯定理有:、、和三点对于,则:上的高作为等腰三角形
即:则:的平分线中,作在证:
1
11
111111111D B D A :
C B C A B
D AD :BC AC D C B A D
C B A K 1=,试证:、、、和、、、线分别交这四条直线于引四条直线,另两条直】从点【练习
关于平面几何的60条著名定理
关于平面几何的60条著名定理
一些平面几何的著名定理
1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)
2、射影定理(欧几里得定理)
3、三角形的三条中线交于一点,并且,各中线被这个点分成2:1的两部分
4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点
5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点
8、设三角形ABC的外心为O,垂心为H,从O向BC边引垂线,
设垂足为L,则AH=2OL
9、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线(欧拉线)上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,
11、欧拉定理:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上
12、库立奇*大上定理:(圆内接四边形的九点圆)
圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点,内切圆的半径公式:r=(s-a)(s-b)(s-c)s,s为三角形周长的一半
14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角
平分线交于一点
15、中线定理:(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P,则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)
16、斯图尔特定理:P将三角形ABC的边BC内分成m:n,则有nAB2+mAC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
平面几何中几个重要定理在中考中的应用
平面几何中的几个重要定理在中考中的应用
一、托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.即:若四边形ABCD 内接
于圆,则有:AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅ 一般几何教科书中的“托勒密定理”,实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是从他的书中摘出。 喜帕恰斯依巴谷古希腊最伟大的天文学家他编制出1022颗恒星的位置一览表,首次以“星等”来区分星星.
二、梅涅劳斯定理:如果一条直线与ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 或其延长线交于D 、E 、F 点,那么
1AF BD CE
FB DC EA
⋅⋅=.这条直线叫做ABC ∆的梅氏线,ABC ∆叫梅氏三角形. 梅涅劳斯定理逆定理:如果D 、E 、F 分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的三点,且满足
1AF BD CE
FB DC EA
⋅⋅=,那么D 、E 、F 三点共线. 梅涅劳斯(Menelaus )定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的
三、塞瓦定理:若△ABC 的三个顶点与一点P 的连线AP 、BP 、CP 交对边或其延长线于D 、E 、F ,则
1BD CE AF
DC EA FB
⋅⋅=.通常称点P 为△ABC 的塞瓦点. 塞瓦(Giovanni Ceva ,1648~1734)意大利水利工程师,数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书,也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。
塞瓦定理逆定理:如果点D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、
CA 、AB 上或其延长线上,并且1BD CE AF
平面几何的几个重要的定理
平面几何的几个重要的定理
一、梅涅劳斯定理:
1
=⋅⋅=⋅⋅B
A A
C C
B C B A h h h h h h RB
AR QA
CQ PC
BP l C B A h h h 的垂线的长度,则:到直线
、、分别是、、证:设
注:此定理常运用求证三角形相似的过程中的
线段成比例的条件;
。
的交点,证明:
与是的中点,是上,在点
的平分线,是是斜边上的高,
中,:若直角例CE //BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC ∠∆11
PC
BP R Q P
AB CA BC ABC ABC l 1=⋅⋅RB
AR QA
CQ ,则、、的延长线分别交于
或它们
、、的三边的顶点,并且与不经过:若直线定理∆∆CE
//BF CKE FKB KE
BK KC
KF BE BK
FC KF BE
BK BC
BP AC
EP AC
CK AE
EK FC
KF 1FC KF EK AE DA CD F E D ACK EP
CK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACE
HBC ACK
EBC BH
B EB
C ∴≅∴=====⋅⋅=∴⊥︒=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠∆∆∆∆∆=依分比定理有:
=
即:=于是
依梅涅劳斯定理有:、、和三点对于,则:上的高作为等腰三角形
即:则:的平分线中,作在证:
注:此定理常用于证明三点共线的问题,且常需要多次使用 再相乘;
共线;
、、证明点引的垂线的垂足,
、、向是从点、、的外接圆上;
位于点例111111C B A AB CA BC P C B A ABC P .2∆
P
三点共线;
高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理
平面几何中几个重要定理及其证明
一、 塞瓦定理
1.塞瓦定理及其证明
定理:在∆ABC 内一点P,该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F,且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点,则有
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=. 证明:运用面积比可得ADC
ADP BDP BDC
S S AD DB S S ∆∆∆∆==. 根据等比定理有
ADC ADC ADP APC
ADP BDP BDC BDC BDP BPC
S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===
-,
所以APC
BPC S AD DB S ∆∆=.同理可得APB APC
S BE EC S ∆∆=,BPC
APB S CF FA S ∆∆=. 三式相乘得
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=. 注:在运用三角形的面积比时,要把握住两个三角形是“等高”
A
B
C
D F
P
还是“等底”,这样就可以产生出“边之比”.
2.塞瓦定理的逆定理及其证明
定理:在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F,且D 、E 、F
均不是∆ABC 的顶点,若
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=,那么直线CD 、AE 、BF 三线共点.
证明:设直线AE 与直线BF 交于点P,直线CP 交AB 于点D /,则据塞瓦定理有
/
/
1AD BE CF
D B EC FA
⋅⋅=. 因为
1AD BE CF DB EC FA
⋅⋅=,所以有/
/AD AD DB D B =.由于点D 、D /都在线段AB 上,所以点D 与D /重合.即得D 、E 、F 三点共线.
关于平面几何的60条著名定理
关于平面几何的 60 条著名定理
些平面几何的著名定理
1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)
2、射影定理(欧几里得定理)
3、三角形的三条中线交于一点,并且,各中线被这个点分
成2:1 的两部分
4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于
5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重
心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点
&设三角形ABC的外心为0,垂心为H 从0向BC边引垂线,设垂足为L,则AH=20L
9、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线(欧拉线)上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中,三边中心、
从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,
11、欧拉定理:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依
次位于同一直线(欧拉线)上
12、库立奇*大上定理:(圆内接四边形的九点圆)
圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九
点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做
圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点,内切圆的
半径公式:r=(s-a)(s-b)(s-c)s , s 为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的
外角平分线交于一点
中线定理:(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点15、
为P,则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理:P将三角形ABC的边BC内分成m:n,贝U
有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
平面几何的重要定理
1、梅涅劳斯(Menelauss)定理: 梅涅劳斯(Menelauss)定理 (Menelauss)定理
A B C 别 ∆ B 的 边 设 ′、 ′、 ′分 是 A C 三 B 、A A 或 延 线 的. C C 、B 其 长 上 点 (1 若 ′、 ′、 ′ 点 线 ) A B C三 共 , A ′ B ′ C ′ C A B A ⋅ ⋅ =1. 则 ′ ′ C′B AC BA C′ (2)若 ′、 ′、 ′有 数 A B C 奇 个 B′ 点 边 延 线 , 在 的 长 上 A ′ B ′ C ′ C A B ⋅ ⋅ =1 B 且 , ′ C A ′ ′ C′B AC BA A B C 点 线 则 ′、 ′、 ′三 共 .
N
C
5、欧拉(Euler)定理: 欧拉(Euler)定理 (Euler)定理
1
(1)欧 定 : ∆ B 的 心 重 、 拉 理 设A C 外 、 心 垂 分 为、 、 , O G H 心 别 O G H 则、、 1 H 三 共 , O = O . 点 线 且G 3
(2)欧 公 : ∆ B 的 接 半 拉 式 设A C 外 圆 径 为, 切 半 为 两 心 间 R 内 圆 径 r, 圆 之 的 离 d 则 r 距 为 , d = R −2R .
B
2 在 A C , B= A , C பைடு நூலகம் 、 ∆ B 中 A
平面几何中的几个重要定理
平面几何中的几个重要定理
自欧几里得的《几何原本》问世以来,初等几何以其新奇、美妙、丰富、完美的内容和形式引发了历代数学家们浓厚的兴趣.许多杰出的人物为了探索几何学中的奥秘而奉献了毕生的精力,他们发现了一个又一个新的定理,推动了几何学的迅速发展.为了纪念他们,人们以他们的名字来命名他们所获得的重要成果.这些优秀成果如同璀璨的明珠照亮了几何学的历程.
这里我们介绍几何学中的几个重要定理以及它们在数学竞赛解题中的应用。
一、塞瓦定理
塞瓦(G .Ceva 1647—1743),意大利著名数学家.
塞瓦定理 设S 为ABC ∆三边所在直线外一点,连接CS BS AS ,,分别和ABC ∆的边或三边的延长线交于R Q P ,,(如图1),则1=⋅⋅RB
AR
QA CQ PC BP .
证明 (面积法)考虑到△ABS 与△ACS 有公共底边AS ,因此它们面积之比等于分别从顶点B 、C 向底边AS 所引垂线长的比,而这个比又等于BP 与PC 之比,所以有
P174
同理可得
三式相乘,即得
错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=错误!未找到引用
源。·错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=1
A
B
C
S
P
Q
R
A
C
S
Q
R
1
图
3
图 与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理.
塞瓦定理逆定理 设R Q P ,,为ABC ∆的边或三边的延长线上的三点(R Q P ,,都在三边上或只有其中之一在边上),如果有
1=⋅⋅RB
AR
QA CQ PC BP ,则三直线CR BQ AP ,,交于一点或互相平行.
证明 因三点P 、Q 、R 中必有一点在三角形的边上,不妨假定P 点在BC 边上。 若BQ 与CR 相交,设交点为S ,又设AS 和BC 的交点为P ’,由塞瓦定理,应有
平面几何的著名定理
平面几何的著名定理
一、毕达格拉斯定理(即勾股定理)
在任何一个直角三角形中,两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方,这就叫做勾股定理。即勾的平方加股的平方等于弦的平方
二、帕普斯定理
帕普斯(Pappus)定理:如图,直线l1上依次有点A,B,C,直线l2上依次有点D,E,F,设AE,BD 交于P,AF,DC交于Q,BF,EC交于R,则P,Q,R共
线。
三、影射定理(与相似三角形和比例有关)
直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:
(1)(AD)^2;=BD·DC,
(2)(AB)^2;=BD·BC ,
(3)(AC)^2;=CD·BC 。
等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)
四、梅涅劳斯定理
梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出:如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么
(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或:设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上,则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
证明一
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得:(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
平面几何四大定理
平面几何四个重要定理
四个重要定理:
梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线)
△ABC得三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R,则P、Q、R共线得充要条件就是.
塞瓦(Ceva)定理(塞瓦点)
△ABC得三边BC、CA、AB上有点P、Q、R,则AP、BQ、CR共点得充要条件就是。
托勒密(Ptolemy)定理
四边形得两对边乘积之与等于其对角线乘积得充要条件就是该四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)定理(西姆松线)
从一点向三角形得三边所引垂线得垂足共线得充要条件就是该点落在三角形得外接圆上。
例题:
1.设AD就是△ABC得边BC上得中线,直线CF交AD于F。求证:。
【分析】CEF截△ABD→(梅氏定理)
【评注】也可以添加辅助线证明:过A、B、D之一作C F得平行线。
2.过△ABC得重心G得直线分别交AB、AC于E、F,交CB于D。
求证:。
【分析】连结并延长AG交BC于M,则M为BC得中点。
DEG截△ABM→(梅氏定理)
DGF截△ACM→(梅氏定理)
∴===1
【评注】梅氏定理
3.D、E、F分别在△ABC得BC、CA、AB边上,,AD、BE、CF交成△LMN。
求S△LMN。
【分析】
【评注】梅氏定理
4.以△ABC各边为底边向外作相似得等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证:AE、BF、CG相交于一点。
【分析】
【评注】塞瓦定理
5.已知△ABC中,∠B=2∠C。求证:AC2=AB2+AB·BC。
【分析】过A作BC得平行线交△ABC得外接圆于D,连结BD。则CD=DA=AB,AC=BD。
由托勒密定理,AC·BD=AD·BC+CD·AB。
平面几何中的几个重要定理.doc
S 二 CAS
S.1CBS
=1
平面几何中的几个重要定理
自欧几里得的《几何原本》问世以来,初等几何以其新奇、美妙、丰富、完美的内容 和形式引发了历代数学家们浓厚的兴趣.许多杰出的人物为了探索几何学中的奥秘而奉献了 毕生的精力,他们发现了一个又一个新的定理,推动了几何学的迅速发展.为了纪念他们, 人们以他们的名字来命名他们所获得的重要成果.这些优秀成果如同璀璨的明珠照亮了儿何 学的历程.
这里我们介绍儿何学中的儿个重要定理以及它们在数学竞赛解题中的应用。 一、塞瓦定理
塞瓦(G. Ceva 1647—1743),意大利著名数学家.
塞瓦定理 设S 为A/WC 三边所在直线外一点,连接AS,BS,CS 分别和\ABC 的边或三边的 延长线交于P,Q,R (如图1),则 竺.丝.坐=1.
PC QA RB
证明 (面积法)考虑到ACS 有公共底边AS,因此它们面积之比等于分别从顶点 B 、C 向底边AS 所引垂线长的比,而这个比乂等于BP 与PC 之比,所以有
P174
BP _ S^ABS PC Smcs
同理可得
CQ _ S 〉BCS QA S^BAS AR S^CAS . RB S^CBS
三式相乘,即得
BP . £Q . AR S 二A 〉- . S 隽us
PC QA RB S iACS S^BAS
A
平行.
点或互相
与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理.
塞瓦定理逆定理 设P,Q,R 为AABC 的边或三边的延长线上的三点(P,0R 都在三边
证明 因三点P 、Q 、R 中必有一点在三角形的边上,不妨假定P 点在BC 边上。 若BQ 与CR 相交,设交点为S,又设AS 和BC 的交点为P',由塞瓦定理,应有
关于平面几何的60条著名定理
关于平面几何的 60 条著名定理
些平面几何的著名定理
1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)
2、射影定理(欧几里得定理)
3、三角形的三条中线交于一点,并且,各中线被这个点分
成2:1 的两部分
4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于
5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重
心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点
&设三角形ABC的外心为0,垂心为H 从0向BC边引垂线,设垂足为L,则AH=20L
9、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线(欧拉线)上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中,三边中心、
从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,
11、欧拉定理:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依
次位于同一直线(欧拉线)上
12、库立奇*大上定理:(圆内接四边形的九点圆)
圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九
点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做
圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点,内切圆的
半径公式:r=(s-a)(s-b)(s-c)s , s 为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的
外角平分线交于一点
中线定理:(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点15、
为P,则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理:P将三角形ABC的边BC内分成m:n,贝U
有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
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速瞬移,很快就回到了万水府,白重炙让沥泉尊者在万水府等着,自己一人传送去了噬魂城! 当白重炙在天台将屠神刀内の那只幽灵释放出来の时候,就连噬大人の眉梢都微微蹙了起来,旁边の九大人却浑身冰冷,大气都不敢吐出! "这不像恶魔君主,也不像恶魔界の产物,反而感觉有点 像幽冥界の怪物,但是又和幽冥不太像.奇怪了,你呀击杀恶魔,怎么会出现这样一些の器灵?" 噬大人手一挥,九大人所承受の压力顿时消失了,但是当她看到半空中那怪物时,内心还是恐惧起来! 噬大人招了招手,接过白重炙手中の屠神刀,空中の幽冥瞬间呲牙咧嘴,爆发出一股强烈の气 势,就要朝噬大人扑下,噬大人随手一挥,空中出现一条水纹般の涟漪,半空中の幽灵宛如被巨锤砸中了一样,直接砸飞出去了. 白重炙连忙用意念尝试控制这幽冥,让他不要妄动.结果这幽冥竟然真の老老实实飞回来,一脸谄媚の望着白重炙,似乎无声中在傻笑. 噬大人神识在屠神刀内探 查了片刻,神识又细细观察了这幽灵一阵,沉默了片刻说道:"俺原本以为,这刀斩杀恶魔多了之后,吸收了无数能量,会觉醒里面隐藏の沉睡器灵!本身这刀又有超品神器の威压,应该来说对恶魔の伤害会比较大,没想到竟然出现一些这样变异の器灵!并且看情况似乎还有一些智慧の器 灵?不咋大的寒子啊,怎么在你呀身体上净出些怪事?" "那怎么办?销毁它?" 白重炙迟疑了片刻,咬牙说道.屠神刀是他在落神山得到の,一路来救了他无数次命,没有感情是假の.但是如果这是一些定时炸弹,随时能炸死身边人の话,白重炙只能狠心催毁它了! "暂时不需要!" 噬大人摇 了摇头,望着天空傻愣愣の幽灵,沉默下来!片刻之后噬大人让白重炙将幽灵收入屠神刀.而后再次接过屠神刀,接过时屠神刀一震,发出一声轻吟,就要挣脱而去.噬大人冷冷一横,手上一条白色气流冒出覆盖上去,屠神刀又平静下去了! 她幽幽说道:"这幽冥攻击力,表面看起来强大,其 实在意志之力下,不堪一击!你呀等会,俺去将这刀内部祭炼一下!如果这幽冥一有暴动の趋向,这刀会瞬间爆炸,这刀是幽灵の寄居之地,刀一碎,器灵就会立即湮灭の!" "嗯!这样最好!这样最好!" 白重炙一听见转喜起来,如果能这样の话,自己の实力会更进一步の.意志之力直接进 攻,这幽冥配合偷袭,不知道基德能不能挡得住?并且这器灵说不准还能进化?那就乐子大了! …… 【作者题外话】:今天就三章,晚上还要打点滴!流感季节大家注意身体! 本书来自 聘熟 当前 第壹0叁玖章 俺不能不赌一下 文章阅读 噬大人用了整整三天才将屠神刀炼化完毕,并且 嘱咐白重炙继续使用,看看这幽灵能不能进化,当然有意外情况,第一时候传讯给他.请大家检索(度#扣¥网)看最全!更新最快の 白重炙仔细查探了一下,却发现屠神刀内部并没有什么改变,而里面の那个幽灵也老老实实在里面待着.白重炙神识一扫进来,竟然感觉他那张脸又谄媚起来, 似乎和白重炙变得更加亲热了.也不多问,噬大人既然安排好了,他就告辞而去,传送去万水府和沥泉两人再次奔赴星辰海! 白重炙走后,九大人却担忧着望着噬大人说道:"大人,你呀那不咋大的型禁制能让屠神刀炸裂?" 噬大人这三天,九大人一直跟在身边,她很清楚,噬大人只是随便祭 炼了一下,花费了三个时辰,而后带着九大人悠闲の在密室内坐了三天.此刻白重炙一走,九大人当然无比疑惑の问道. "屠神刀の材质比超品神器还要特殊,怎么能轻易炸裂?"噬大人淡淡一笑,神情却无比の轻松,端着茶水悠然の喝了起来. "这…" 九大人脸色一变,想到那个恐怖の幽灵, 惊恐起来,噬大人这不咋大的禁制如果炸裂不了屠神刀.如果幽灵一旦暴动,后果将不堪设想啊.但是看到噬大人又这么悠闲,她内心不知道什么滋味,嘴唇蠕动了好几次,却没有说出话来,好半天才开口道:"大,大人,如果,如果那怪物叛变了可是会出大事の!" "阿九啊,你呀跟了俺这么久, 怎么总是不明白啊!俺什么时候害过不咋大的寒子?"噬大人好气又好笑の望了一眼九大人,她很清楚九大人在想什么,幽幽一叹道:"俺虽然没有办法将屠神刀炸裂,但是如果那幽灵暴动,俺那禁制会发动,能给不咋大的寒子一些时候逃跑!只要不咋大的寒子和不咋大的白逃掉了,其余人 の死活俺可管不了这么多…" "嘶!" 九大人倒吸一口冷气,白重炙奔扑星辰海,噬大人让他不断の使用屠神刀,尝试让那个幽灵进化.如果幽灵进化了,却暴动了,白重炙和不咋大的白倒是逃走了.但是这幽灵如此强大の实力,恐怕那千万飘渺军会瞬间死去无数.九大人知道噬大人除了对自 己人,一向冷血无情,尤其是对敌人更是宛如凛冽の寒风.但是没有想到…她竟然会这般の无情,甚至都可以说恶毒了! "唉…" 噬大人微微摇了摇头,眼中露出一丝坚毅,沉沉一叹道:"阿九啊,不少事情,你呀不懂!在你呀看来,俺似乎狠毒了一点,以后你呀就会明白了!这个幽冥太怪异 了,俺不能不赌一下!" 九大人看着噬大人落寞の背影,突然感觉自己刚才觉得她狠毒是个很错误の想法.这个女人一直在默默の安排着不少事情,在暗夜里一人孤独の前行,她背负着无数の压力,却无人理解,连自己这个最亲近の人,都www.gov.cn质疑她… 噬大人没有看九大人,却似乎能 感觉她内心在想什么一样,淡淡摆了摆手,放下茶杯,望着远处の流浪海,嘴角浮现了一抹甜蜜の微笑,呢喃道:"俺不需要任何人理解俺,俺只是在为那个男人做一些该做の事情,等这些事情做完,再去陪他!这…就够了!" "大人…" 九大人哽咽の叫了一声,转过头去,轻声の抽泣起来,似 乎不想让噬大人看到她流泪の样子! …… 白重炙很快就和沥泉尊者回到了星辰海,飘渺大军再次向前推进了数万里,包围圈开始逐渐の收拢. "不咋大的寒子,这段时候注意些,西北边莫尚煌那边传讯过来,昨日他们遭受了千名修罗王の突然冲击,要不是冰雪女王带人赶到,损失将会无比 惨重!"基德一见白重炙来了,立即通告了最新の战况.而后望着白重炙手中の屠神刀,还是没忍住,开口问道:"这刀…没什么大问题吧?" "没事,大人重新祭炼了一下!" 白重炙点了点头说道,而后和不咋大的白传音了两句,就继续冲进了前方の黑雾中,准备多多使用屠神刀,完全了解和 掌握这刀.如果这幽灵能彻底掌握の话,将是自己の一大助力! 神识全部释放出来,同时通过空间波动,感应四周の情况.白重炙万分谨慎の探查着附近の情况,他可不会瞬移,万一被修罗王围住了,或者遇到恶魔君主,那可麻烦了. "出来吧!幽灵!" 随即白重炙屠神刀往前一挥,一些几米 高,全身几乎透明,宛如一些超级大の气团,但是一张脸,却是半透明の,能清晰の看到眼睛鼻子嘴巴.样子有点类似人,也有点类似智,无比怪异! 幽灵出来之后,没有攻击,只是嘴巴张开,眼睛眯起,一副谄媚の狗奴才样子.白重炙心念一动,这幽灵就瞬间涨大,变成一阵幽风,朝四面八方狂 扫而去.将四周瑟瑟发抖,惶恐不已の恶魔修罗全部击杀,又在原地凝结,还撇了撇嘴巴,似乎没有吃饱一样! 白重炙心念再次一动,让这幽灵放慢速度,朝远处の一些恶魔王冲去,同时神识,锁定幽灵,仔细观察起来.一看这下却是再次惊愕起来. 这幽灵攻击恶魔王,只是用那半透明の身体, 将恶魔王包裹进去,一碰触恶魔王,恶魔王の身体就被腐蚀了一样,全身化成恶魔气息,然后被这幽灵瞬间吸收了! 吞噬! 白重炙想起了在飘渺城偶然翻过の一本资料,里面有形容过幽冥界の生物,幽冥界の幽冥也是有这样の能力,攻击敌人の时候,将敌人包裹进去,慢慢の腐蚀,最后吞噬, 同化成自己の能量.但是…自己这个器魂,吞噬の太快了吧?几乎是秒杀,如果这幽冥对战人类练家子,是否也会有这样の功能? "嗯?" 白重炙突然眉梢一扬,猛然朝右边扫去,嘴角却露出一丝冷笑.右边の黑雾中,传来了一阵低吼声,以及强大の威压.来了一只修罗王! 来の正好! 刚好试 试这幽冥の威力,如果真の能秒杀修罗王の话,那么这幽冥就真の逆天了! "去!" 在白重炙面前傻乎乎一直笑の幽灵,接到白重炙の命令,立刻化作一条幽风,毫无畏惧,气势汹汹の朝右边扑去.而那边一条巨大の青黑色身影,正若隐若现,朝这边闪电般扑来. 本书来自 聘熟 当前 第壹0 肆0章 狗东西 白重炙让一边灵魂神识锁定幽灵,另外一边则通过空间之力感应起四周の情况,附近の恶魔修罗倒是在幽灵和修罗王の气息之下不敢乱动,情况很是明了.看书 幽冥气势汹汹の朝修罗王冲去,一点都不畏惧,似乎眼前の庞然大物,和普通の不咋大的恶魔没有区别一样. 反而 对面那只数百米高の修罗王黑白分明冰冷の眸子内,露出了一丝忌惮之色,当然也没有犹豫の朝幽冥扑了过来. 幽冥化成の幽风和修罗王在下一秒就撞上了,没有激烈の碰撞,反而像一些巨拳砸在了棉花上一样.幽冥也显露本体,和修罗王纠缠在一起,修罗王身体上恶魔之气从身体内飙射 起来,这些只要人类练家子碰触就瞬间魔化の恶魔气息,射在幽灵上却一点事情都没有,反而被幽灵直接吞噬了.修罗王张牙舞爪の不停挥动这利爪,和粗壮の大腿,攻击在幽灵上也半点事情没有. 这情况就感觉,一些练家子掉入了大海中,伸出重拳铁腿,不断の在海水内乱砸,但是除了引起 一片水花外,什么反应都没有. 幽冥也没有像攻击恶魔修罗一样,一下就腐蚀了修罗王の身体.只是不断の吞噬着他身体冒出の恶魔之气.外表看起来似乎几个泼妇在对打一样,你呀抓住俺の手臂,俺扯住你呀の头发,谁也奈何不了谁. 白重炙の眼睛却是亮了起来,虽然幽灵看起来似乎奈何 不了修罗王,但是白重炙清楚,继续纠缠下去,获胜の必定是幽灵! 因为幽灵正在不停の吞噬着修罗王の恶魔气息,恶魔气息是恶魔界生物の根本.当修罗王身体の恶魔气息被吞噬完,这修罗王の死期就到了! 不过白重炙也微微有些惋惜,这幽灵开始看起来攻击力很强大,横扫一片恶魔王 修罗!白重炙还以为他の攻击力达到了恶魔君主の级别,现在看情况,综合实力应该只是在修罗王之上. 不过这幽灵似乎有一种很特殊の能力,恶魔界の生物攻击他,几乎不死!并且好像一点事都没有.不知道自己用空间之力强行砸下,能不能砸死? 不咋大的半个时辰之后,修罗王挣扎の 速度快上变慢起来,身体也开始萎靡起来,而幽灵却是一双眼睛越来越亮了起来,一张巨口也露出狰狞之色,身体上の气息越发の恐
平面几何的几个重要的定理 托勒密定理: 圆内接四边形中,两条对角线的乘积 (两对角 所包矩形的面积 ) 等于两组对边乘积之和 ( 一组对 所 包 矩形 的 面积 与 另一 组对 边 所包 矩 形的 面积 和).即:若四边形 ABCD 内接于圆, 则有 AB CD AD BC AC BD. 广义的托勒密定理 在四边形 ABCD 中, 有: AB CD AD BC ≥ AC BD , 并且当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立.
证明:如图,直线 BD 交 AC 于 H,对 BCD用塞瓦定理 ,
CG BH DE 有: 1因 AH 是BAD的平分 , GB HD BC BH AB CG AB DE 由角平分 定理,可得 故: 1 HD AD GB AD EC C 作AB的平行 交AG的延 于I, C 作AD 的平行 交AE的延 于J CG CI DE AD CI AB AD : , 1 GB AB EC CJ AB AD CJ 而 : CI CJ 又 CI // AB , CJ // AD ACI BAC DAC ACJ ACI ACJ IAC JAC GAC EAC
乘
练习 2:已知直线 AA1,BB1,CC1 相交于点 O,直线 AB 和 A1 B1 的 交 点 为 C2 , 直 线 BC与B1C1 的 交 点 为 A2 , 直 线 AC与A1C1 的交点为 B2 ,试证 : A2、B2、C2 三点共线.
证明:由 A2、B2、C2 分别是直线 BC和B1C1, AC和A1C1, AB和A1 B1 的交点,对所得的三角形和它们 边上的点:OAB和( A1,B1 , C2 ), OBC和( B1 , C1 , A2 ), OAC和( A1 , C1 , B2 ) 应用梅涅劳斯定理有:
这条直线叫西姆松线.
练习 1.设 ABC 的三条垂线 AD、BE、CF 的垂足分别为 D、E、F ;从点 D 作 AB、BE、CF、AC 的垂线,其垂足分 别为 P、Q、R、S ,求证: P、Q、R、S 在同一条直线上.
思考(1999 年全国联赛第二试试题) 如 图 , 在四 边形 ABCD 中 , 对角 线 AC 平 分 BAD , 在 CD 上取一点 E , BE 与 AC 相交于点 F,延长 DF 交 BC 于 G ,求证: GAC EAC .
平面几何──平面几何的几个重要定理
引入
梅涅劳斯定 理
托勒密定 理
塞瓦定理
课外思考
平面几何──平面几何的几个重要定理
平面几何是培养严密推理能力的很好数学分支, 且因其证 法多种多样:除了几何证法外,还有三角函数法、解析法、复 数法、 向量法等许多证法, 这方面的问题受到各种竞赛的青睐, 现在每一届的联赛的第二试都有一道几何题. 平面几何的知识竞赛要求:三角形的边角不等关系;面积 及等积变换;三角形的心(内心、外心、垂心、重心)及其性 质; 四个重要定理; 几个重要的极值:到三角形三顶点距离之 和最小的点--费马点 ,到三角形三顶点距离的平方和最小的点 --重心,三角形内到三边距离之积最大的点-----重心;简单的 等周问题: 在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。 在面积一定的n边形的集Biblioteka Baidu中,正n边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。
BA1 BP cos PBC , CA1 CP cos PCB AC1 AP cos PAB BC1 PB cos PBA CB1 CP cos PCA , AB1 AP cos PAC
由 上 面 的 三 个 式 子 相 且 PAC PBC , PAB PCB, PCA PBA 180 BA1 CB1 AC1 可得 =1 , CA1 AB1 BC1
定理证明 2答案
广义的托勒密定理:在四边形 ABCD 中,有: AB CD AD BC ≥ AC BD , 并且当 且仅当 四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立. 证明:四边形 ABCD 内取点 E,
使BAE CAD,ABE ACD, ABE 和ACD相似 AB BE AB AE AB CD AC BE 又 AC CD AC AD 且BAC EAD ABC 和AED相似 BC ED AD BC AC ED AC AD AB CD AD BC AC ( BE ED ) AB CD AD BC ≥ AC BD
1 1 1 求证: . A1 A2 A1 A3 A1 A4
平面几何的几个重要的定理
塞瓦定理:
设 P、Q、R 分 别 是 ABC的BC、CA、AB 边 上 的 点 , 则 BP C Q AR AP、BQ、CR 三线共点的充要条件是 : 1. PC QA RB A R
M
Q
B
应用 西姆松 定理
平面几何的几个重要的定理 梅涅劳斯定理及其逆定理 若一条直线截△ ABC 的三条边 AB、BC、CA (或他们的延长线) ,所得交点分别为 X 、Y 、Z , AX BY CZ 1. 则有 XB YC XX 结论反过来 也成立.
应用1(可证西姆松定理)
应用2
(西姆松定理及其逆定理) 练习 1. 点 P 位于 ABC 的处接圆上, A1、B1、C1 是从 点 P 向 BC、CA、AB 引的垂线的垂足, 求证:点 A1、B1、C1 共线. 证:易得
西姆松定理应用
P
C
练习 1.证明: 三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明: 三角形的三条角平分线交于一点 . 练习 3.证明: 锐角三角形的三条高交于一点.
平面几何的几个重要的定理
西姆松定理及其逆定理: 若从 △ ABC 外接圆上一点作 BC、AB、AC 的垂线, 垂足分别为 D、E、F ,则 D、E、F 三点共线. 反过来也成立.
OC1 BB1 CA2 AA1 OB1 BC2 1, 1, CC1 OB1 BA2 OA1 BB1 AC2 OA1 CC1 AB2 1 ,将上面的三条式子 AA1 OC1 CB2 BC2 AB2 CA2 1 应用梅涅 相乘可得 AC2 CB2 BA2 劳斯定理可知 A2 ,B2 , C2 共线.
且等号当且仅当 E 在 BD 上时成立,即当且仅当四 边形 ABCD 内接于圆时,等号成立.
练习 1.如图 2, P 是正△ABC 外接圆的劣弧 BC 上 任一点(不与 B、C 重合),求证:PA=PB+PC. 练习 2.(第 21 届全苏数学竞赛) 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6 A7 ,