安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》第五章--定积分及其应用第四节

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安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第五章--定积分及其应用第五节

解两曲线的交点
x y2
(0,0) (1,1)
选 x 为积分变量 x [0,1] 面积元素 dA ( x x 2 )dx
y x
2
2 3 x 1 2 A 0 ( x x )dx x . 3 0 3 3
1 2
3
1
例 2
计算由曲线 y 2 2 x 和直线 y x 4 所围
y
P
解直线 OP方程为
r y x h
r
o
h
x
取积分变量为x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x , x dx ] ，
以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的体积为
r dV x dx h
圆锥体的体积
2
y
P
r
o
h
x
V
h
0
r r x hr 2 x dx 2 . 3 h 3 0 h
从而 [ a, b] 时间段内投资流量总量的现值将是

b a
e rt f (t )dt ．
例 10 如果投资流量为 f (t ) 10000元／年，年利率为 7％，如果连续投资了５年，计算其现值应是多少？
解因为投资流量 f (t ) 10000，从而投资流量总量的现值 A 为

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第一章--函数与极限第二节

Qd 800 100p .
用于描述一般商品的需求函数有线性类型的：
Qd a bp (a 0, b 0) ，
其中 a 为市场最大需求量（见图 1-25）.
除了这种线性的需求曲线外，还有其它类型的需求曲线，它们的特征大多为在第一象限内向右下方倾斜的曲线（见图 1-26）.
常用的需求函数类型还有
b (1) Qd ， (a 0, b 0) ； a p
b (2) Qd a ， (a 0, b 0, P 0) ； p
(3) Qd aebp ， (a 0, b 0)
将一种商品的供给量仅看成是商品价格的函数，这就是供给函数：
Qs Qs ( p) ，
式中， p 为市场价格， Qs 为商品的需求量．
2.总收益函数
总收益单位产品平均售价销售量
记销售量为 x ，平均售价为 p ，总收益为 R ，则
R R( x) xp ．
而平均收益即为单位产品平均售价．
3.总利润函数
总利润为总收益与总成本之差，若记总利润为 L ，则
L L( x) R( x) C( x) ．
显见，当 R( x) C ( x) 时为盈利，当 R( x) C ( x) 时为亏损．例如，若总成本函数为 C ( x) ax b(a, b 0) ，产品的销售价格为 p ，则总利润函数为

定积分应用

当 dx 很小时
dA 可用高为 f (x) g(x)
底为 dx 的矩形面积
近似表示即
dA [ f (x) g(x)]dx
b
故 A [ f (x) g(x)]dx
a
y f (x)
y g(x)
x x dx
a
b
例1
求两曲线来自百度文库
y

2 x2 1
y x2
所围成的图形的面积
（续）绕 y 轴旋转的旋转体体积 y
Vy

2a

0

x
2
2
dy
a2(t

2a

x
2
1
dy
0
sint)2 d[a(1

2a C
x o
cos t)]

B
x1( y)
x
x2( y)
A
2a x
2
a2(t sint)2 d[a(1 cos t)] 0
a3 2 (t sint )2 sintdt 63a3 . 0
分的分析方法。
重点
微元法，面积，旋转体的体积
难点微元法，参数方程确定的曲线所围的
面积，定积分在物理方面的应用。
基本要求
①正确理解和掌握微元法的基本思想，并会灵活运用它。 ②会用直角坐标、极坐标、参数方程所给出的三种求积公式求出一些常见图形的面积。

高等数学第五章定积分及其应用

⾼等数学第五章定积分及其应⽤

第五章定积分及其应⽤

第⼀节定积分概念

1、内容分布图⽰

★曲边梯形★曲边梯形的⾯积★变速直线运动的路程★变⼒沿直线所作功★定积分的定义★定积分存在定理★定积分的⼏何意义

★定积分的物理意义★例1 ★定积分的近似计算★例2

★内容⼩结★课堂练习

★习题5-1 ★返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1利⽤定积分的定义计算积分

dx x 2?.

讲解注意：

例2的近似值．

⽤矩形法和梯形法计算积分

-1

dx e

讲解注意：

第⼆节定积分的性质

1、内容分布图⽰

★性质1-4

★性质5及其推论★例1★性质6★例2★例3

★性质7

★例4★函数的平均值★例5

★内容⼩结★课堂练习

★习题5-2★

2、讲解注意：

例1⽐较积分值dx e x ?-2

和

dx x ?-2

的⼤⼩.

讲解注意：

例2估计积分

dx x

3sin 31

的值.

讲解注意：

例3估计积分dx x

ππ/2

sin 的值.

讲解注意：

例4设)(x f 可导1)(lim =+∞→x f x 求且,,dt t f t

t x x x ?++∞

→2

)(3sin lim .

讲解注意：

例5计算纯电阻电路中正弦交流电t I i m ωsin =在⼀个周期上的()功率的平均值简称平均功率.

讲解注意：

第三节微积分基本公式

1、内容分布图⽰

★引例

★积分上限函数

★积分上限函数的导数

★例1-2★例3★例4★例5

★例6

★例7-8 ★例9★例10★例11

★例12

★例13★例14

★内容⼩结★课堂练习

★习题5-3★返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

国防高等数学第五章定积分及其应用

(1)由分割写出微元。根据具体问题选取一个积分变量,如选 x为积分变量,并确定它的变化区间［a,b］,任取［a,b］的一个子区间［x,x+dx］(称为区间微元),求出对应于这个区间微元上部分量ΔU的近似值,
ΔU≈dU=f(x)dx
第五节定积分的应用
二平面图形的面积
设函数y=f(x)在区间a,b上连续,求由连续曲线 y=f(x)及直线x=a,x=b,x轴所围成的平面图形面积 A(a<b),如图5－13和图5－14所示。
图5－12
第四节广义积分
第四节广义积分
二无界函数的广义积分
第四节广义积分
第五节定积分的应用
一定积分的微元法
定积分的应用问题中,一般总可按“分割、近似求和、取极限”三个步骤来进行,最终把所求的量表示为定积分的形式。在应用学科中广泛采用的方法是将所求量U（总量）表示为定积分的方法,即微元法,
第一节定积分的概念与性质
第二节
微积分基本定理
第三节
定积分的换元积分法与分部积分法
第四节
广义积分
第五节定积分的应用
第一节定积分的概念与性质
一定积分问题举例
例5－1 求曲边梯形的面积。曲边梯形：设函数y=f(x)在区间a,b上非负、连续。由曲线y=f(x)及直线x=a、x=b、x轴所围成的平面图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边。如图5-1所示。由于曲边梯形的高度f(x)在区间a,b上是变动的,故不能利用矩形面积公式直接计算.为了计算曲边梯形的面积,我们采用如下做法。如图5-2所示。

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第三章--中值定理与导数的应用第三节

代入 Pn ( x ) 中得
三、泰勒中值定理
泰勒 (Taylor) 中值定理如果函数 f ( x ) 在含有 x0 的某个开区间 ( a , b ) 内具有直到 ( n 1) 阶的导数,则当 x 在( a , b ) 内时, f ( x ) 可以表示为 ( x x 0 ) 的一个 n 次多项式与一个余项 Rn ( x ) 之和:
n
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n1 (在x0与x之间) n 1!
拉格朗日形式的余项
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 ) n 1 n 1! Rn ( x ) 及 lim 0 n x x0 ( x x ) 0 M ( x x0 ) n 1 n 1!
n
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
(1 ) (1 ) Rn ( x0 ) Rn Rn n ( n 1)(1 x0 ) ( n 1)(1 x0 )n 0 ( 2 ) Rn n( n 1)( 2 x0 )n1 ( 2在x0与1之间)
1 1 1 f ( 2 ) f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 1 ) 48 48
令

f ( ) max ( f ( 2 ) , f ( 1 ) )
(0 1)
f ( ) 24

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第八章--无穷级数第一节

第一节
常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念二、收敛级数的基本性质三、小结思考题
一、常数项级数的概念
定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , ,称表达式
为常数项无穷级数, 其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和
称为级数的部分和.
则称无穷级数收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S S k .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和. 证: 设收敛级数 S u n , 若按某一规律加括弧, 例如
n 1
为原级数部分和则新级数的部分和序列序列 S n ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
2.当lim un 0 ,则级数发散;
n
3.按基本性质.
思考题：判断级数
的敛散性, 若收敛求其和。
解答：
1 3 5 2n 1 1 3 5 2n 1 2 3 n 2 3 4 n 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2n 1 1 1 2 3 n 1 n 1 2 2 2 2 2 2

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第一章--函数与极限第五节

令 t x,
1 x 1 t 1 t lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) x t t x t t 1 1 t 1 1 lim (1 ) (1 ) e. t t 1 t 1
1 x lim (1 ) e x x
lim x n 存在.
n
2 xn1 3 xn , x n1 3 x n ,
2 lim x n 1 lim( 3 x n ), n n
1 13 1 13 (舍去) 解得 A , A 2 2 1 13 lim x n . n 2
sin x x tan x ,
上式对于 x 0也成立. 2
sin x 即 cos x 1, x
当 0 x 时, 2

2 x x x 0 cos x 1 1 cos x 2 sin2 2( ) 2 , 2 2 2
x2 lim 0, x0 2
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设在某过程中趋于 0,
sin 1 lim 1; 某过程
0
2 0 lim (1 ) e .
某过程
1
思考题
一、填空题
1. sin x 0 ; lim _____ x x

《高等数学教学课件汇编》第四章5 定积分的应用

y
y2 2x
(8, 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有
Ad A 4 2 (y41 2y2)dy
o yx4 x
(2,2)
1 2
y2
4y
16y3
4218
a
6
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例3.
求椭圆
x2 a2
y2 b2
1
所围图形的面积
.
解: 利用对称性 , 有 dAydx
y b
a
x2 a2
y2 b2
1
所围图形绕
x
轴旋转而
转而成的旋转体的体积.
y
解: 利用直角坐标方程
b
yba2x2 ( axa) a
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2ba22
a(a2x2)dx
0
2ba22a2x13x30a
4 ab2
3
a
10
机动目录上页下页返回结束
定积分定义
b a
f
(
x)
dx
n
lim
0i1
f
(i)xi
机动目录上页下页返回结束
如何应用定积分解决问题 ?
第一步利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的
近似值

9安徽农业大学理学院汪宏喜《微积分》课件第九章常微分方程第一节

由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x 2 1 .
的速度行驶, 制动时引例2. 列车在平直路上以获得加速度求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) . 已知
s
t 0
0,
由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2 利用后两式可得因此所求运动规律为
第一节
微分方程的基本概念
引例微分方程的基本概念
小结
思考题
引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点（x,y）
处的切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x dx y x 1 2
由①得
① ② (C为任意常数)
dy dx
y( x0 ) y0 , y( x0 ) y1 , , y ( n1) ( x0 ) yn1
2x
d2y
引例1 通解:
特解:
y x 1 2 y x2 C 2 y x 1
引例2
20 s t 0 0 , s 0.2 t 2 C1t C2 2 s 0.2 t 20 t
F ( x, y, y,, y ( n ) ) 0
或
y ( n ) f ( x, y, y,, y ( n 1) ) ( n 阶显式微分方程)

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第十章--差分方程第三节

(2)
方程(1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程, 相应地，方程(2)称为一阶常系数线性齐次差分方程.
一、一阶常系数齐次线性差分方程
把方程（2）写作 yt 1 (a) yt ，假设在初始时刻，即 t 0 时，函数 yt 取任意常数 C .分别以 t 0,1,2, 代入上式，得
y1 ( a ) y0 C ( a ), y 2 ( a ) 2 y0 C ( a ) 2 ， yt ( a ) t y0 C ( a ) t ， t 0,1,2, 。
(其中 Q(t ) 是某个多项式).
将 y* (t ) Q(t )d t 和 y* (t 1) Q(t 1)d t 1 代入方程(1)并消去 d ,得
t
dQ(t 1) aQ(t ) Pm (t ) (3)
(I) 若 d 不是特征方程 a 0 的根，即 a d 0 ，由于 Pm (t ) 是 t 的 m 次多项式,要使(3)两边相等,可设 Q( t ) 也是 t 的一个 m 次多项式:
2. f ( t ) b 1 c o s t b 2 s in t 型
当 m （m 为整数），则一阶常系数非齐次线性差分方程(1)具有形如
y* B1 cost B2 sint
的特解,其中 B1 , B2 是待定的常数.
(6)

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第五章--定积分及其应用第一节

0
i Βιβλιοθήκη Baidu1
n
n
0 i 1
k a f ( x )dx.
b
性质3
b
假设a c b
c b
a f ( x )dx a f ( x )dx c
例若 a b c,
c b
f ( x )dx .
补充：不论 a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立.
a f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx
0
1
i 解将[0,1]n 等分，分点为 x i ，(i 1,2, , n ) n 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ，(i 1,2, , n ) n 取 i x i ，(i 1,2,, n )

i 1
n
f ( i )xi i xi xi2 xi ,
y
在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
o a
x1
x i 1 i xi
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， f (i ) 为高的小矩形面积为
f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为
A Ai f (i )xi
i 1 i 1 n n
[a , b] 上有界，定理2 设函数 f ( x ) 在区间

高数第五章定积分的应用

第五章定积分的应用

在本章中，我们将利用学过的定积分理论来解决一些实际问题.首先介绍建立定积分数学模型的方法——微分元素法；再利用这一方法求一些几何量(如面积、体积、弧长等)和一些物理量(如功、液体静压力、引力等)；并介绍定积分在经济学中的简单应用.

第一节微分元素法

实际问题中，哪些量可用定积分计算？如何建立这些量的定积分表达式？本节中我们将回答这两个问题.由定积分定义知，若（）f x 在区间,a b ⎡⎤⎣⎦上可积，则对于,a b ⎡⎤⎣⎦的任一划分：

1＜＜＜0n a x x x b == ，及1,i i x x -⎡⎤⎣⎦中任意点i ξ,有

d Δ0

()lim

()n

b i i a

λi f x x f ξx →==∑

⎰

，

(5-1-1)

这里()-=-= 11,2,,i i i Δx x x i n ,}{≤≤=1m ax i i n

λΔx . (5-1-1)式表明定积分的本质是一类特定和式

的极限，此极限值与,a b ⎡⎤⎣⎦的分法及点i ξ的取法无关，只与区间,a b ⎡⎤⎣⎦及函数（）f x 有关.基于此，我们可以将一些实际问题中有关量的计算归结为定积分来计算.例如，曲边梯形的面积、变速直线运动的位移等均可用定积分来表达.由上一章中分析曲边梯形面积用定积分来表示的过程，我们可概括地将此过程描述为“划分找近似，求和取极限”.也就是说，将所求量整体转化为部分之和，利用整体上变化的量在局部近似于不变这一辩证关系，局部上以“不变”代替“变”，这是利用定积分解决实际问题的基本思想.

根据定积分的定义，如果某一实际问题中所求量U 符合下列条件:

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第六章--多元函数微分学第七节

已知生产这两种产品时，每千件产品各需消耗某种原料 2000kg，现有该原料 12000kg，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大利润为多少？解：由题意知，约束条件为 2000x 2000y 12000，即 x y 6 .
此时问题转化为在 x y 6 的条件下求利润函数 L( x, y ) 的最大值.
将函数在D 内的所有驻点处的函数值、不可偏导点的函数值、在D 的边界上的最大值和最小值在一起比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.
例5 求二元函数 z f ( x , y ) x 2 y(4 x y ) 在直线 x y 6 ， x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值.
而 f ( x , y )在 D 内没有不可导点.
D 边界上的最值，再求 f ( x , y ) 在
在边界 x 0 和 y 0 上 f ( x , y ) 0 ,
在边界 x y 6 上，即 y 6 x
y
于是 f ( x, y ) x (6 x )(2) ,
2
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法要找函数 z f ( x , y )在条件 ( x , y ) 0下的可能极值点，先构造函数 F ( x , y ) f ( x , y ) ( x , y ) ，其中为某一常数，可由

高数第五章定积分及其应用(第129-163页,共35页张勇)

129

第五章定积分及其应用

§5.1 学习的要求

1. 理解定积分的概念及几何意义，了解可积的条件．

2. 掌握定积分的基本性质．

3. 理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法．

4. 熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式．

5. 掌握定积分的换元积分法和分部积分法

6. 理解无穷区间的广义积分，掌握其计算方法．

7. 熟练掌握定积分求平面图形面积和掌握平面图形绕坐标轴旋转所成的旋转体体积 8. 会用定积分求变力直线做功和不均匀细棒的质量．

§5.2内容提要

一、定积分的概念（一）定积分的概念

定义设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义，用任一组分点： 01....a x x =<<

,i n x x b <<<=把区间],[b a 分成n 个小区间),...3,2,1](,[1n i x x i i =-在每个小区

],[1i i x x -上任意取一点i ξi i i x x ≤≤-ξ1() 用函数值)(i f ξ与该区间的长度1--=∆i i i x x x 相乘,作和式i n

i i x f ∑=∆1

)(ξ 如果不论对区间],[b a 采取何种分法及i ξ如何

选取,当 {}0(max (1)i x x x i n ∆→∆=∆≤≤)时，和式的极限存在，则称函数)(x f 在

],[b a 上可积,此极限称为函数在区间],[b a 上的定积分(简称积分).记为dx x f b

)(⎰

，即

()()lim

i x f x dx f x ξ=∆→=∆∑⎰

微积分课件(定积分及其应用

动点由 (0,0) (0,0)
依逆时针方向画出叶形线.
34
11.狄卡儿叶形线
x
3at t3 1
y
3at 2 t3 1
x 3 y 3 3axy 0 (a 0)
y
0
x
曲线关于 y= x 对称
曲线有渐近线 x+y+a=0
.
35
12. 双纽线 FF 2a, 到F与F 距离之积为a2的点的轨迹 ( a2 )
分析
1. 曲线关于 y= x 对称
2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0
3. 令 y = t x, 得参数式
x
3at t3 1
y
3at 2 t3 1
(- t , t -1)
当 t , ( x, y) (0,0)
当 t 0, 也有( x, y) (0,0)
故在原点，曲线自身相交.
4. 当 t 由 , 动点由(0,0) (,-) 当 t 由 , 动点由( ,) (0,0) 当 t 由 ,
P
F (a,0)
0
r
F (a,0)
2a . x
. . . . .
.
.
曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 = , 3 , 5 , 7 36
. .
44 4 4
么么么么方面
• Sds绝对是假的

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》第五章--定积分及其应用第四节

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第五章--定积分及其应用第五节

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第一章--函数与极限第二节

定积分应用

高等数学第五章定积分及其应用

国防高等数学 第五章 定积分及其应用

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第三章--中值定理与导数的应用第三节

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第八章--无穷级数第一节

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第一章--函数与极限第五节

《高等数学教学课件汇编》第四章5 定积分的应用

9安徽农业大学理学院汪宏喜《微积分》课件第九章常微分方程第一节

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第十章--差分方程第三节

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第五章--定积分及其应用第一节

高数第五章 定积分的应用

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第六章--多元函数微分学第七节

高数第五章定积分及其应用(第129-163页,共35页张勇)

微积分课件(定积分及其应用

国防高等数学第五章定积分及其应用

高数第五章定积分的应用