高中函数的图像与方程(含答案)

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

2

(x0)，(x0) (x0)无交点

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)

(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( × ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( √ )

(5)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( √ )

1．(教材改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B

解析 ∵f (－1)＝1

e －3<0，

f (0)＝1>0，

∴f (x )在(－1,0)内有零点，

又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．

2．(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋1

答案 A

解析 由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．

3．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B

解析 由f (x )＝0得|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x ， 作出函数y ＝|log 0.5x |和y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，

由图象知两函数图象有2个交点， 故函数f (x )有2个零点．

4．(2015·天津)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2－|x |，x ≤2，(x －2)2

，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 A

解析 当x >2时，g (x )＝x －1，f (x )＝(x －2)2；

当0≤x ≤2时，g (x )＝3－x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝3－x 2，f (x )＝2＋x .

由于函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数就是方程f (x )－g (x )＝0的根的个数．

x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋5＝0，其根为x ＝5＋52或x ＝5－5

2(舍去)；

当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝3－x ，无解；

当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x －1＝0，其根为x ＝－1－52或x ＝－1＋5

2(舍去)．

所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.

5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是． 答案 ⎝⎛⎭⎫

13，1

解析 ∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得 f (－1)f (1)<0，

∴(－3a ＋1)·(1－a )<0，解得13

∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫

13，1.

题型一 函数零点的确定

命题点1 函数零点所在的区间

例1 已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)

答案 C

解析 ∵f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2在(0，＋∞)是增函数， 又f (1)＝ln 1－⎝⎛⎭⎫12－1＝ln 1－2<0， f (2)＝ln 2－⎝⎛⎭⎫120<0， f (3)＝ln 3－⎝⎛⎭⎫121>0， ∴x 0∈(2,3)，故选C.

命题点2 函数零点个数的判断

例2 (1)函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2－2，x ≤0，

2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是．

(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( ) A ．多于4 B ．4 C ．3

D ．2

答案 (1)2 (2)B

解析 (1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1

x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，

f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2. (2)由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．

在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如图：

观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点． 命题点3 求函数的零点

例3 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{2－7，1,3} D ．{－2－7，1,3}

答案 D

解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，令g (x )＝x 2－3x －x ＋3＝0，得x 1＝3，x 2＝1. 当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x . 令g (x )＝－x 2－3x －x ＋3＝0， 得x 3＝－2－7，x 4＝－2＋7>0(舍)，

∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合是{－2－7，1,3}，故选D.

思维升华 (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．