知识点41 函数的最值及判别

合集下载

函数值域、最值的知识与求函数值域、最值的11种方法总结

，最小值是
y
1
，最大值为
y
1
。而
y
sin
x
，x
0,
2
的值域为
0,1
，但
0
不是
y
sin
x
，
x
0,
2
的最小值，1
也不是
y
sin
x
，
x
0,
2
的
最大值。
三、求函数值域和最值的 11 种方法
1、图象法对某些给出函数的图象的函数，可以利用其图象直接“读取”出
函数的值域。如右图所示，可知函数的最小值为 0，最大值为“ ”，
1 y2
∵ | sin x |1 ，∴ 2 y 1 ，两边平方得 3y2 1 ，
1 y2
∴
3 y 3
3 3
，∴原函数的值域为
3, 3
3 3
。
7、结合函数的单调性求值域
通过确定函数在定义域内或定义域内的某个子区间上的单调性来求函数的最大、最小值
等，进而得到函数的值域。
常见的结合单调性求值域的函数如： y ax b dx e （ a,b,c, d ,e 都为常数且 ad 0 ）。①当 ad 0 ，即 a 、d 同号时，可以直接利用函数的单调性求最值；②当 ad 0 ，即 a 、 d 异号时，则需要用换元法求值域。
x
二、函数最值
1. 最值的概念
函数 y f x 的最值指的是函数 y f x 的最大值和最小值。
（1）最大值
一般地，设函数 y f x 的定义域为 I ，若存在实数 M 满足：对任意的 x I ，都有
f x M ；同时，存在 x0 I ，使得 f x0 M ，则称 M 为 y f x 的最大值。

函数极值与最值的区别

函数极值与最值的区别摘要：1.极值与最值的概念区分2.极值的局部性质3.最值的全局性质4.极值与最值的联系5.实际应用举例正文：在数学领域，函数的极值和最值是两个密切相关但又有所区别的概念。

许多人常常会将它们混淆，但实际上它们有着明确的定义和性质。

本文将详细探讨函数极值与最值的区别，并通过实例帮助大家更好地理解这两个概念。

首先，我们来区分一下极值和最值。

极值是指函数在某个局部区域内的最大值或最小值，它是一个局部性质。

最值则是指函数在整个定义域内的最大值或最小值，它是一个全局性质。

简而言之，极值关注的是局部表现，而最值关注的是全局表现。

接下来，我们来了解极值的局部性质。

在数学中，极值点通常是指函数在该点处可导且导数为零的点，或者是不可导的点。

在极值点附近，函数的值会在某个方向上单调递增或递减。

也就是说，极值点是函数在局部区域内最大或最小的点。

需要注意的是，极值并不一定是最值，因为最值还包括端点值和不可导点的值。

然后，我们来了解最值的全局性质。

最值通常出现在极值点、不可导点和端点（如果可取到）处。

在这些点上，函数的值要么是最大值，要么是最小值。

最值是函数在整个定义域内的最大值或最小值，具有唯一性。

也就是说，一个函数只有一个最大值和一个最小值。

此外，我们还需要注意到极值与最值之间的联系。

在许多情况下，极值点处的值会等于或接近最值。

然而，这并不是绝对的，因为极值仅仅是在局部区域内的最大或最小值，而最值则是全局范围内的最大或最小值。

因此，在寻找函数的极值时，我们需要关注局部性质，而在寻找最值时，我们需要关注全局性质。

最后，我们通过一个实际应用举例来进一步说明极值与最值的区别。

假设我们有一个函数f(x) = x^2 - 2x + 1。

我们可以求出该函数的导数f"(x) = 2x - 2，并令其等于零，得到极值点x = 1。

在这个例子中，极值点处的值f(1) = 0确实是全局最值之一（另一个全局最值是f(x) = 1，对应于x = 0或x = 2）。

求函数的最大值和最小值方法归纳总结

函数的最大值与最小值常见方法1、配方法利用平方数恒大于或等于0，将所给的函数配成若干个平方以及一些常数的代数和的形式，然后再求最值例如：配成(x±m)2±n的形式（m，n为常数）对于三角函数，可以配成类似sinα±k的形式（k为常数）2、判别式法利用实系数一元二次方程有实根，则它的判别式∆≥0，从而可以确定系数中参数的范围，进而求得最值。

例如：求y=x 2−2x−32x2+2x+1的最大值和最小值去分母并整理得：(2y−1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0（注意判断2y-1是否为0）根据判别式∆解关于x的二次方程求最值。

3、不等式法利用不等式取等号，可得到一个最值问题的解例如：已知x、y是实数，且满足x2+xy+y2=3，求u=x2−xy+y2的最大值与最小值。

将两个式子相减再除以2，得xy=3−u2，带入条件得(x+y)2=9−u2、(x−y)2=3u−32可以得到1≤u≤9三角函数不等式法例如：|cos x|≤1，|sin x|≤14、换元法把复杂的目标函数变形为较简单的函数形式，或将不易求得最值的函数形式化成容求得的最值的形式。

例如：已知α∈[0，π2]，求y=√5−4sinα+sinα的最小值和最大值。

通过变量代换，把y表示成二次函数的形式：设x=√5−4sinα，因0≤sinα≤1，所以1≤x≤√5，且sinα=5−x24，于是可以配成y=x+5−x24=−14(x−2)2+94（1≤x≤√5）5、构造法根据欲求最值的函数的特征，构造反映函数关系的几何图形，然后借助于图形可较容易地求得最大值和最小值。

例如：求函数f(x)=√x4−3x2−6x+13−√x4−x2+1的最大值，及此时x的值。

将原式整理成：f(x)=√(x−3)2+(x2−2)2−√x2+(x2−1)2后，可以发现√(x−3)2+(x2−2)2表示点P（x，x2）到点A（3,2）的距离，√x2+(x2−1)2表示点P（x，x2）到点B（0,1）的距离，再用图像法来解题。

极值判别法知识点总结

极值判别法知识点总结极值判别法是数学分析中的一种重要的方法，用于求解函数的最大值和最小值问题。

在高等数学、微积分等课程中，极值判别法是一个重要的内容，对于理解函数的性质和求解实际问题都具有重要意义。

下面将对极值判别法的相关知识点进行总结。

一、极值的概念在解析几何中，极值通常指的是函数的最大值和最小值。

设函数f(x)在区间(a,b)上有定义，在点x0处取得了极值的情况，分别称x0为函数f(x)的极大值点和极小值点。

如果在x0处左极限和右极限都存在，且f(x)在x0处取得了极大值或极小值，则称f(x)在x0处有极值，x0为极值点。

如果f(x0)是f(x)在区间(a,b)上的最大值，则称f(x0)是f(x)在(a,b)上的最大值，简称最大值；如果f(x0)是f(x)在区间(a,b)上的最小值，则称f(x0)是f(x)在(a,b)上的最小值，简称最小值。

二、函数的极值判别法1.必要条件与充分条件如果函数f(x)在点x0处可导，并且取得了极值，则f'(x0)=0。

这是函数极值的一个必要条件。

但是，对于函数的充分条件来说，如果函数f(x)在某点x0可导并且f'(x0)=0，那么极值不一定存在，即可以是极值也可能不是极值点。

所以f'(x0)=0只是极值的一个必要条件，而不是充分条件。

2.李松法求极值设函数f(x)在区间(a,b)上可导，x0为开区间(a,b)上的驻点，则有：（1）若x0为极大值点，且f"(x0)存在，则f"(x0)<0；（2）若x0为极小值点，且f"(x0)存在，则f"(x0)>0。

3.二阶导数判别法设函数f(x)在点x0处二阶可导，如果满足以下条件：（1）f'(x0)=0；（2）f"(x0)>0，那么f(x)在x0处取得极小值；（3）f"(x0)<0，那么f(x)在x0处取得极大值。

函数的最大值与最小值

(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最大值. 2 p1 解: f ( x) p x(1 x) [2 (2 p) x].
2 . 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p 2 p 2 p ) 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p 2 p p 2 p 故所求最大值是4( ) . 2 p
x1 (0,2), 所以当 x 2 时, S ( x )max 3 2 3 32 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为( 2 2 9
2 3
3 32 3 . 9
3
例2:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值. 解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.
1 1 2 2 例3:证明不等式: ln x ( x 1) 1 (1 x )3 ( x 0). x 2 3 1 1 2 2 3 f ( x ) ln x ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 0). 证 :设 x 2 3 1 1 2 3 2x 1 则 f ( x ) 2 ( x 1) 2( x 1) ( x 1) 2 , x x x

高等数学知识点汇总

高等数学知识点高等数学知识点汇总通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。

下面小编给大家介绍高等数学知识点汇总，赶紧来看看吧!高等数学知识点汇总第一章函数与极限知识点1：函数的概念、函数定义域的求法知识点2：函数的分类、特殊类型的函数知识点3：函数的基本性质知识点4：数列极限的概念与性质知识点5：函数极限的概念与性质知识点6：证明极限式与证明极限不存在的方法知识点7：无穷小与无穷大的概念与关系知识点8：极限的四则运算法则知识点9：复合函数的极限运算法则知识点10：极限存在的两个准则知识点11：两个重要极限知识点12：无穷小的比较知识点13：函数连续性的概念及判断知识点14：函数间断点的求法及分类知识点15：闭区间上连续函数的性质第二章导数与微分知识点16：导数的概念知识点17：导数的几何意义、平面曲线的切线与法线方程的求法知识点18：复合函数的求导知识点19：反函数的求导知识点20：隐函数及参数方程的求导知识点21：微分的概念及运算知识点22：一元函数微分形式的不变性知识点23：导数的物理意义知识点24：按定义求导的题目类型知识点25：可导、可微与连续三个概念之间的关系知识点26：奇偶函数与周期函数的导数的性质知识点27：用求导公式与法则求导数知识点28：函数的高阶导数第三章微分中值定理与导数的应用知识点29：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用知识点30：柯西中值定理的应用知识点31：有关中值定理证明题的典型实例知识点32：洛必达法则求极限知识点33：求极限的方法总结知识点34：函数的零点（方程的根）存在性与唯一性的证明知识点35：函数的零点（方程的根）个数的讨论知识点36：不等式的证明方法总结知识点37：泰勒公式的求法知识点38：泰勒公式的应用知识点39：函数的单调性及判别知识点40：函数的极值及判别知识点41：函数的最值及判别知识点42：渐近线的分类与求法知识点43：曲线的凸凹性和拐点知识点44：曲率、曲率圆及曲率半径（数学一、二）知识点45：弧微分知识点46：导数在经济领域的应用（数学三）第四章不定积分知识点47：不定积分的概念与性质知识点48：不定积分的换元积分法知识点49：不定积分的分部积分法知识点50：有理函数与三角有理式的不定积分知识点51：不定积分计算技巧的典型实例第五章定积分知识点52：定积分的概念与基本性质知识点53：变上限的积分及其导数知识点54：奇偶函数与周期函数的积分性质知识点55：涉及定积分证明题型的典型实例知识点56：用牛顿-莱布尼兹定理计算定积分知识点57：定积分的换元积分法知识点58：定积分的分部积分法知识点59：定积分的特殊计算方法的典型实例知识点60：无穷限的.反常积分的概念与计算知识点61：无界函数的反常积分的概念与计算第六章定积分的应用知识点62：用定积分求平面图形的面积知识点63：用定积分求特殊立体的体积知识点64：用定积分求弧长知识点65：定积分的物理应用（数一、二）知识点66：连续函数的平均值（数一、二）第七章空间解析几何与向量代数知识点67：空间直角坐标系及相关概念（数一）知识点68：向量的属性、向量的长度与夹角（数一）知识点69：向量的各类运算及其运算法则（数一）知识点70：用向量解决的几何问题（数一）知识点71：平面的法向量与平面方程（数一）知识点72：直线的方向向量与直线方程（数一）知识点73：两个平面间的关系（数一）知识点74：两条直线间的关系（数一）知识点75：直线与平面的关系（数一）知识点76：点到平面的距离的计算（数一）知识点77：点到直线的距离的计算（数一）知识点78：旋转曲面（数一）知识点79：柱面（数一）知识点80：二次曲面（数一）知识点81：空间曲线的方程及其在坐标面上的投影（数一）第八章多元函数微分法及其应用知识点82：多元函数的概念和几何意义知识点83：二元函数的极限知识点84：二元函数的连续性知识点85：偏导数的概念与常规计算知识点86：高阶偏导数知识点87：多元函数可微与全微分知识点88：连续，可偏导，可微的关系知识点89：多元复合函数的求导法则知识点90：多元函数的微分形式不变性知识点91：多元隐函数的求导知识点92：多元函数的极值问题知识点93：条件极值问题、拉格朗日乘数法知识点94：多元函数的最值问题知识点95：方向导数（数一、二）知识点96：数量场的梯度（数一、二）知识点97：空间曲线的切线与法平面（数一、二）知识点98：空间曲面的切平面与法线（数一、二）知识点99：二元函数的二阶泰勒公式（数一）第九章重积分知识点100：重积分的概念与性质知识点101：直角坐标下二重积分的定限与计算知识点102：极坐标下二重积分的定限与计算知识点103：直角坐标下三重积分的定限与计算知识点104：柱面坐标下三重积分的定限与计算知识点105：球面坐标下三重积分的定限与计算知识点106：重积分积分次序的交换知识点107：利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性求重积分的技巧第十章曲线积分与曲面积分知识点108：第一类曲线积分的概念与计算知识点109：第二类曲线积分的概念与计算知识点110：两类曲线积分之间的联系知识点111：二元函数全微分求积知识点112：格林公式及其应用知识点113：曲线积分与路径无关的条件知识点114：第一类曲面积分的概念与计算知识点115：第二类曲面积分的概念与计算知识点116：两类曲面积分之间的联系知识点117：高斯公式及其应用知识点118：通量与散度知识点119：斯托克斯公式及其应用知识点120：环流量与旋度知识点121：涉及重积分与曲线曲面积分的证明题总结第十一章无穷级数知识点122：级数的概念及性质（数一、三）知识点123：级数收敛的概念与判别法（数一、三）知识点124：正项级数的审敛法（数一、三）知识点125：交错级数、莱布尼兹判别法（数一、三）知识点126：函数项级数与幂级数的概念（数一、三）知识点127：函数的幂级数展开（数一、三）知识点128：阿贝尔判别法（数一、三）知识点129：幂级数的收敛域（数一、三）知识点130：幂级数的和函数（数一、三）知识点131：绝对收敛与条件收敛（数一、三）知识点132：傅里叶级数的展开式的求法（数一）知识点133：傅里叶级数的周期延拓（数一）知识点134：傅里叶级数的奇偶延拓（数一）第十二章微分方程知识点135：微分方程的基本概念知识点136：可分离变量的微分方程知识点137：齐次微分方程知识点138：一阶线性微分方程知识点139：全微分方程知识点140：伯努利方程知识点141：用变量替换解微分方程举例知识点142：含变限积分的方程知识点143：可降阶的高阶微分方程知识点144：线性微分方程解的性质和结构知识点145：二阶常系数齐次线性方程知识点146：n阶常系数齐次线性方程知识点147：二阶常系数非齐次线性方程知识点148：欧拉方程（数学一）知识点149：差分方程（数学三）知识点150：微分方程应用题的典型实例。

函数的定义域与值域知识点及题型总结

函数的定义域与值域知识点及题型总结函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意：1) 分式的分母不为零；2) 偶次方根的被开方数大于或等于零；3) 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；4) 零次幂或负指数次幂的底数不为零；5) 三角函数中的正切$y=\tan x$的定义域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，其中$k\in Z$；6) 已知$f(x)$的定义域求解$f(g(x))$的定义域，或已知$f(g(x))$的定义域求解$f(x)$的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；7) 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域。

二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：1) 观察法；2) 配方法；3) 图像法；4) 基本不等式法；5) 换元法；6) 分离常数法；7) 判别式法；8) 单调性法；9) 有界性法；10) 导数法。

需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式。

题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解思路提示：对求函数定义域问题的思路是：1) 先列出使式子$f(x)$有意义的不等式或不等式组；2) 解不等式组；3) 将解集写成集合或区间的形式。

二、给出函数解析式求解定义域例 2.10 函数$y=\frac{\ln(x+1)-x}{-3x+4}$的定义域为（）。

A。

$(-4,-1)$ B。

$(-4,1)$ C。

$(-1,1)$ D。

$(-1,1]$分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解。

解：$x+1>0$，$-3x+4\neq 0$，即$x\neq\frac{4}{3}$。

解不等式$\ln(x+1)>x-4$，得$-1<x<1$。

故选C。

变式1 函数$y=x\ln(1-x)$的定义域为（）。

A。

函数的值域与最值知识点归纳

函数的值域与最值●知识点归纳一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合{|(),}y y f x x A =∈称为这个函数的值域。

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。

事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。

因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。

记作()max 0y f x =最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。

记作()min 0y f x = 注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ；② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。

二、基本函数的值域一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ；二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，；当]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0/{≠y y ；数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为}0/{>y y ；对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ；正、余弦:函数的值域][1,1-；正、余切函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。

函数的值域与最值知识梳理总结

函数的值域与最值知识梳理求函数的值域和求函数的最值实质上是同一问题，只是答题的方式有所差异，因此求函数值域的方法，也是求函数的最值的方法。

求函数值域（最值）的常用方法：(1)配方法：主要适用于可化为二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；(2)判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=的函数()y f x =．由0∆≥且()0a y ≠，求得y 的范围或最值(若求最值在求出y 的值后，要检验这个y 值在定义域内是否有相应的x 的值;若是求值域应判断()0a y =时的x 值是否在函数的定义域内)；(3)不等式法：利用基本不等式求值域（最值）时一定要注意等号成立的条件；(4)换元法：运用代数或三角代换将所给函数转化为容易确定值域（最值）的另一函数，从而求得原来函数的值域。

用换元法时一定要注意新变元的取值范围；(5)数形结合法：对于图形较容易画出的函数的值域（最值）问题可借助图象直观求出； (6)单调性法：利用函数的单调性确定函数值域（最值），特别是闭区间上函数的值域（最值）． (7)利用函数有界性.借助于某些函数(如三角函数、指数函数等)的有界性求另一些函数的值域.1 具体函数值域（最值）具体函数值域（最值）的求法主要是根据不同类型,采用适当的方法求解.在求值域的过程中应特别注意函数的定义域对函数值域的制约作用。

【例题1】求下列函数的值域：（1）232y x x =-+；（2）312x y x +=-；（3）y x =+（4）|1||4|y x x =-++；（5）22221x x y x x -+=++；（6）2211()212x x y x x -+=>-. 【分析】根据不同的类型采有不同的方法.【答案】（1）（配方法）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥Q ，∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞．（2）（法一）反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠，∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．（法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---，∵702x ≠-，∴7332x +≠-，∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．（3）换元法（代数换元法）：设0t =≥，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．（4）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞．（5）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ①①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥V ，∴15y ≤≤且2y ≠，∴原函数的值域为[1,5]．（6）2121(21)111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----，∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥=-，当且仅当112122x x -=-时，即12x =时等号成立．∴12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞．【点评】说明：形如y ax b =++2y ax b =+用代数换元法2 复合函数值域复合函数求值域是一个难点，对于复合函数求值域问题应注意握两点：一、复合函数的定义域；二、复合函数的单调性。

最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题

函数及基本性质一、函数的概念（1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．（2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）⑪3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑫111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑬x x f =)(，2)(x x g =；⑭()f x =()F x =⑮21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。

A ．⑪、⑫B ．⑫、⑬ C ．⑭D ．⑬、⑮ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()635-=x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ，131><x x 或 ④对数函数的真数大于零0,log )(>=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。

如：()212()log 25f x x x =-+⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．如：)2(log 22x y --=⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．如：()[]()x f x f 28,2，的定义域是的定义域为822≤≤x⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．例：求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。

求函数最值的方法总结

求函数最值的方法总结一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。

简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。

下面就是小编整理的求函数最值的方法总结，一起来看一下吧。

函数的最值问题既是历年高考重点考查的内容之一，也是中学数学的主要内容。

函数最值问题的概念性、综合性和灵活性较强，考题的知识涉及面较广，对于学生的分析和逻辑推理能力要求较高。

通过对函数最值问题的相关研究，结合自身的感触和学习的心得，总结归纳出了求解函数最值的几种常用的方法，并讨论了学习函数最值求解中应该注意的问题，这将有利于提高学生的数学建模能力和解题能力。

文章主要通过举例说明的方式来阐述求解函数最值的几种常用解法，希望对培养学生数学学习能力，提高学生的解题能力有所帮助。

函数f（x）在区间I上的最大值和最小值问题，本质上是一个最优化的问题。

求解函数最大值与最小值的实际问题，包括三方面的工作：一是根据实际问题建立目标函数，通常总是选取待求的最优量为因变量：二是按上述的求解方法求出目标函数在相应区间上的最大值或最小值；三是对所求得的解进行相应实际背景的几何意义的解释。

同时一方面要深刻理解题意，提高阅读能力，要加强对常见的数学模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面要不断拓宽知识面，提高间接的生活阅历，如了解一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，培养实际问题数学化的意识和能力。

最值问题综合性强，几乎涉及高中数学各个分支，要学好各个数学分支知识，透彻地理解题意，能综合运用各种数学技能，熟练地掌握常用的解题方法，才能收到较好的效果。

（1）代数法。

代数法包括判别式法（主要是应用方程的思想来解决函数最值问题）配方法（解决二次函数可转化为求二次函数的最值问题）不等式法（基本不等式是求最值问题的重要工具，灵活运用不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值问题）④换元法（利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决，常用的换元法有代数换元法和三角换元法）。

浅谈中学数学中函数的最值

浅谈中学数学中函数的最值[内容摘要]：中学数学求函数的最值问题是中学数学重要内容之一，涉及的范围广分布在各个知识层面在中考和高考中也是重要考点,且经常把最值问题转化为求值域[关键词]：数形结合的水平最值问题建模水平各个知识层面，在中考和高考中也是重要考点，且经常把最值问题转化为求值域。

在实际生活中，最值问题往往与生活中的经济问题联系起来，能够达到节省材料，节约成本，提升利润等。

一、定义（1）函数的最小值：设函数y=f(x)定义域为I，如果存有实数M满足：①对于任意的x∈I，都f(x)≥M；②存有x0∈I，使得，f(x)=M,那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值。

（2）函数的最大值：设函数y=f(x)定义域为I，如果存有实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存有x0∈I，使得，f(x)=M,那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。

二、对最大（小）值的理解：(1)最值首先是一个函数值，即存有一个自变量x0，使f(x)等于最值，如f(x)=－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)=0 ；(2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)或（f(x)≥f(x）)，“任意”两字不可省；（3）使函数f(x)取得最值得自变量有时可能不止一个；（4）函数f(x)在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图像上最高点的纵坐标；最小值的几何意义为图像上的最低点的纵坐标。

三、函数的最值在实际应用中非常重要，如用料最省、利润最大、效率最高等都是最值得应用四、函数的最值与函数的值域是两个不同的概念，一般说来，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域，反之，一个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。

但是，在很多常见的函数中，函数的最值与值域的求法是相通的，常用的方法有观察法、定义法、不等式法、分离系数法、、判别式法、、配方法、图像法、换元法、有界性法、单调性求最值法、导数法、向量法等函数的最值最值问题是中学的难点，要想掌握除了具备扎实的基础知识，还必须具备一些水平：1、数形结合的水平。

高三数学函数的单调性及最值知识点总结

高三数学函数的单调性及最值知识点总结高三数学函数的单调性、最值知识点一单调性的定义：1、对于给定区间D上的函数fx，若对于任意x1，x2∈D，当x1fx2，则称fx是区间D上的减函数。

2、如果函数y=fx在区间上是增函数或减函数，就说函数y=fx在区间D上具有严格的单调性，区间D称为函数fx的单调区间。

如果函数y=fx在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数fx的单调增或减区间3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有fx≤M;②存在x0∈I，使得fx0=M;那么，称M是fx的最大值.最小值：一般地，设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有fx≥M;②存在x0∈I，使得fx0=M;那么，称M是fx的最小值判断函数fx在区间D上的单调性的方法：1定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1②作差fx1-fx2或作商，并变形;③判定fx1-fx2的符号，或比较与1的大小;④根据定义作出结论。

2复合法：利用基本函数的单调性的复合。

3图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。

高三数学函数的单调性、最值知识点二函数的单词性函数的单调性也叫函数的增减性.函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.单调性的单词区间若函数y=fx在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有严格的单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。

注:在单调性中有如下性质↑增函数↓减函数↑增函数+↑增函数= ↑增函数↑增函数-↓减函数=↑增函数↓减函数+↓减函数=↓减函数↓减函数-↑增函数=↓减函数用定义证明函数的单词性步骤1取值即取x1，x2是该区间崆的任意两个值且x1<x22作差变形即求fx1-fx2，通过因式分解，配方、有理化等方法3定号即根据给定的区间和x2-x1的符号确定fx1-fx2的符号4判断根据单词性的定义得出结论判断函数fx在区间D上的单调性的方法1定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1②作差fx1-fx2或作商，并变形;③判定fx1-fx2的符号，或比较与1的大小;④根据定义作出结论。

知识点41函数的最值及判别

知识点41函数的最值及判别函数的最值及判别是函数的重要概念之一，在数学中具有广泛的应用。

本文将详细介绍函数的最值以及判别的概念、性质、求解方法和相关的示例，以帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

函数的最值指的是函数在定义域内取得的最大值和最小值。

在函数图像中，最大值对应曲线的最高点，最小值对应曲线的最低点。

最大值和最小值都属于函数的值域，而值域就是函数在定义域内所有可能的输出值。

判别是指通过分析函数的一些特征来判断函数的最值。

判别函数最值的方法有很多，常见的包括函数的导数、函数的二次项系数等。

接下来我们将分别介绍函数的最值和判别的概念、性质、求解方法和相关的示例。

一、函数的最值概念和性质1.最大值和最小值的定义：函数f(x)在定义域D中有最大值M，当且仅当对于任意x∈D，都有f(x)≤M；函数f(x)在定义域D中有最小值m，当且仅当对于任意x∈D，都有f(x)≥m。

2.最值的存在性：如果函数f(x)在有限闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定存在最大值和最小值。

3.最值对应的自变量：函数f(x)的最大值和最小值对应的自变量分别是x1和x2，则有f(x1)是最大值，f(x2)是最小值。

二、最值的判别方法1.函数的导数：函数的导数是函数的变化率，它可以帮助我们判断函数的最大值和最小值。

通过求解函数的导数，并根据导函数的零点来确定函数的最值。

-当导函数f'(x)存在零点x0时，f(x)在x0处可能取得最值。

根据导数的正负性判断最值的类型：i.如果f'(x)>0，则f(x)在x0处取得最小值；ii. 如果f'(x)<0，则f(x)在x0处取得最大值。

-当导函数f'(x)不存在零点时，需要考虑函数的边界情况。

通过计算函数在定义域内的端点值，可以确定函数的最值。

2.函数的二次项系数：对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，其中a≠0。

函数的增减性与函数最值的判定与求解

添加项标题
利用单调性研究最值：在闭区间上连续的函数，如果在区间内单调递增或递减，则该函数在此区间内必存在最值点
添加项标题
实际应用举例
06
利用函数的增减性与最值解决实际问题的方法
验证解的正确性和可行性
Байду номын сангаас
利用最值点进行实际问题的求解
分析函数的增减性，确定最值点
确定问题中函数的表达式和定义域
数学建模中函数的增减性与最值的应用
首先确定函数的增减性
利用增减性判断函数的最值
结合函数图像确定最值位置
计算最值并得出结论
利用函数最值研究函数的增减性
函数最值与增减性的关系：函数的最值点是函数增减性变化的转折点
添加项标题
利用最值点判断增减性：在闭区间上连续的函数，如果在区间两端取到的函数值异号，则函数在此区间内必有最值点
添加项标题
利用导数研究增减性：通过求导数可以判断函数的增减性，导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减
增减函数的应用
增减函数在经济学中的应用
增减函数的定义和性质
增减函数在数学分析中的应用
增减函数在物理学中的应用
函数最值的判定
03
函数最值的定义与性质
函数最值的定义：函数在某点处取得最大值或最小值
函数最值的性质：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值
判定函数最值的方法
二次函数判别式法：对于二次函数，通过判别式判断最值
函数最值与增减性的关系
05
增减性对函数最值的影响
增减性与最值的关系可以通过导数来判断
单调递减函数的最值为极小值
单调递增函数的最值为极大值
增减性决定了函数最值的性质
函数最值与增减性的相互转化