缔合勒让德函数的解析表达式研究
勒让德变换公式
勒让德变换公式以勒让德变换公式是数学分析中的一种重要工具，它在信号处理、泛函分析、微分方程等领域有着广泛的应用。
该公式是由法国数学家亨利·勒让德于1811年提出的，可以将函数在不同的域之间进行变换，从而帮助我们更好地理解和处理问题。
在介绍以勒让德变换公式之前，我们需要先了解一些基本概念。
在数学中，函数是描述两个变量之间关系的一种工具。
我们可以将函数表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以是连续的，也可以是离散的。
而变换则是将一个函数通过某种方式转换成另一个函数的过程。
以勒让德变换公式是一种线性变换，它可以将函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）。
在时域中，函数表示随时间变化的信号，而在频域中，函数表示信号的频率分布。
这种变换对于处理信号和波动问题非常有用，可以帮助我们更好地理解信号的特性和行为。
以勒让德变换公式可以用以下形式表示：F(s) = ∫f(t)e^(-st)dt其中，F(s)表示在频域中的函数，s是复数变量，f(t)表示在时域中的函数，t是实数变量。
这个公式可以将时域中的函数f(t)通过积分的方式转换到频域中的函数F(s)。
通过这个公式，我们可以将一个复杂的时域函数转换成频域中的简单函数，从而更好地分析和处理问题。
以勒让德变换公式具有很多重要的性质和应用。
首先，它是线性的，也就是说，对于任意两个函数f1(t)和f2(t)，以勒让德变换公式可以将它们的线性组合转换为频域中的线性组合。
其次，它是可逆的，也就是说，我们可以通过逆变换将频域中的函数转换回时域中的函数。
这使得我们可以在时域和频域之间自由切换，根据具体问题选择更合适的分析方法。
以勒让德变换公式在信号处理中有着广泛的应用。
通过将信号从时域转换到频域，我们可以分析信号的频率成分和能量分布，从而帮助我们更好地理解和处理信号。
例如，在音频处理中，我们可以将声音信号通过以勒让德变换公式转换到频域中，然后进行滤波、降噪等处理，最后再将处理后的信号通过逆变换转换回时域，从而获得清晰的声音效果。
勒让德多项式递推公式证明
勒让德多项式递推公式证明以勒让德多项式是数学中一类重要的特殊函数，其递推公式是证明其性质的关键。
本文将通过介绍以勒让德多项式的定义、性质和递推公式的证明，来解释这一标题。
以勒让德多项式是数学中的一类正交多项式，它们是解决物理和工程问题中的常微分方程的重要工具。
以勒让德多项式的定义如下：$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]$$其中，$n$为非负整数，$P_n(x)$表示以勒让德多项式的第$n$阶，$x$为自变量。
以勒让德多项式具有一系列重要的性质，如正交性、归一性等，这些性质使其在数学和物理学中得到广泛应用。
以勒让德多项式的递推公式是证明其性质的关键。
递推公式的形式如下：$$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)$$下面我们来证明这个递推公式。
我们将以勒让德多项式的定义代入递推公式中，得到：$$(n+1)\left(\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right]\right) = (2n+1)x\left(\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]\right) - n\left(\frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]\right) $$化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right] = \frac{2n+1}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$我们将上式中的$n+1$分布到第一项中，并利用导数的链式法则进行化简，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d}{dx}\left[(2n+1)x(x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$通过以上推导，我们证明了以勒让德多项式的递推公式。
勒让德多项式-6
称为连带勒让德微分方程 . 若 m = 0 , 就简化为勒让德方程 . 上式的解称为 连带勒让德函数 . 我们考虑 m 和 n 是非负整数的情况 , 这时上式的通解为
y c1
m
P
n
( x ) c2
m
Q
(x)
n
这里的 P
m n
(x)
和Q
m
(x)
n
分别称为第一类和第二类连带勒让德函数 . 它们可
以用通常的勒让德函数给出 , 为
m m
P Q
n
( x ) (1 x )
2
2
d
m m
d x
m
Pn ( x ) ,
m n
( x ) (1 x )
2
2
d
m m
d x
Qn(x) .
注意到若
m n ,
m
P
n
(x) 0 .
如同勒让德多项式一样 , 连带勒让德函数 P 是正交的 , 即
1
n ( x )
m 0
M
( 1 ) ( 2 n 2 m )!
m
2 m ! ( n m )! ( n 2 m )!
n
x
n2m
,
1 x 1
其中,
n , M 2 n1 , 2
n 为偶数 n 为奇数
或
n ( x )
1
n
d
n n
( x 1) .
可以通过把 y 和它的导数
、 y 代入上式
勒让德方程的解——勒让德多项式
在球坐标系下,对拉普拉斯和亥姆霍兹方程分离变量, 且当研究的问题 以
常见勒让德公式展开式
常见勒让德公式展开式1. 引言勒让德公式是数学中的重要公式之一，用于展开单个函数的乘积。
在常见的勒让德公式展开式中，通常有以下几种形式：2. 雅可比多项式展开式雅可比多项式是勒让德多项式的一种推广形式。
其展开式可以通过以下公式表示：$$(1 - x)^{\alpha} \cdot (1 + x)^{\beta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha + n)! \cdot (\beta + n)!}{n! \cdot n! \cdot (2 \alpha + \beta + n + 1)!} \cdot x^n$$其中，$\alpha$ 和 $\beta$ 是常数。
3. 勒让德多项式展开式勒让德多项式是勒让德公式最常见的形式之一。
其展开式可以通过以下公式表示：$$(1 - 2xt + t^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^{\infty} P_n(x) \cdot t^n$$其中，$P_n(x)$ 表示勒让德多项式的第 $n$ 阶多项式。
4. 互补勒让德多项式展开式互补勒让德多项式是互补求解勒让德多项式的一种方式。
其展开式可以通过以下公式表示：$$(1 - 2xt + t^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^{\infty} Q_n(x) \cdot t^n$$其中，$Q_n(x)$ 表示互补勒让德多项式的第 $n$ 阶多项式。
5. 总结常见勒让德公式展开式包括雅可比多项式展开式、勒让德多项式展开式和互补勒让德多项式展开式等。
这些展开式在数学和物理学中有广泛的应用，可以用于解决各种问题和推导其他公式。
以上是常见勒让德公式展开式的简要介绍，希望能对您有所帮助。
5.11勒让德函数及其应用
y0(x)仍为发散的无穷级数 总之,当µl=l(l+1)时，两个特解之一退化为l次多项式。 这l次多项式就是勒让德本征值问题的解。 令另一个发散的无穷级数特解前的系数为零
将本征函数取为P l (x) = 常量y l (x)， 并使最高次幂项xl的系数为 然后利用递推公式 C k + 2
Cl =
( 2l ) !
2l (l !) 2
k (k + 1) − µ l = Ck (k + 2)(k + 1)
(k + 2)(k + 1) 反推：C k = Ck +2 k (k + 1) − µ l
µ l = l (l + 1)
得： C l − 2 r
(2l − 2r )! = (−1) l Cl 2 r!(l − r )!(l − 2r )!
r
[ l 2]
四、勒让德函数系 {Pl (x)} 的性质 1.奇偶性 1.
Pl (− x) = Pl ( x) l = 偶 Pl (− x) = (−1) Pl ( x) → Pl (− x) = − Pl ( x) l = 奇
l
2. Pl (x)的取值 0 +1 0 -1 x=1
x=
2 l
l
(−1) r l! x 2l − 2 r =∑ r!(l − r )! r =0
l
l dl (−1) r l! d l 2l − 2 r ( x 2 − 1) l = ∑ x l l dx r = 0 r!(l − r )! dx
[
]
(−1) r l! =∑ (2l − 2r )(2l − 2r − 1) L (2l − 2r − l + 1) x 2l − 2 r −l r = 0 r!(l − r )!
勒让德多项式展开函数
勒让德多项式是一种常见的多项式，可以用于描述各种复杂的函数形式。
勒让德多项式的展开函数可以用于将勒让德多项式展开为一系列的单项式，例如：
L(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + … + anx^n
其中，L(x)是勒让德多项式的展开函数；a0、a1、a2、a3、…、an是勒让德多项式的系数；x是变量。
勒让德多项式展开函数可以用于解决各种类型的函数求解问题，例如：求解多项式曲线的极值点、求解多项式函数的导数、求解多项式函数的积分等。
使用勒让德多项式展开函数进行函数求解时，需要确定勒让德多项式的系数和次数，并根据需要调整函数的形式。
例如，如果要求解一个二次多项式函数的极值点，可以使用如下的勒让德多项式展开函数：
L(x) = a0 + a1x + a2x^2
通过调整a0、a1、a2的值，可以得到不同的二次多项式函数形式，
并进行相应的求解。
勒让德多项式的微分表达式
勒让德多项式的微分表达式勒让德多项式是高等数学中一个非常重要的概念，它是一类特殊的多项式，有着优良的数学特性，并且在实际的科学研究中被广泛应用。
它的微分表达式也被广泛采用，因为它可以表示变量的变化，并且可以更直观地体现数学模型。
本文旨在介绍勒让德多项式的微分表达式，以期对勒让德多项式的微分表达式有更深入的了解。
首先，我们需要了解勒让德多项式的定义。
勒让德多项式是一类多项式，它以带有一定规律的系数表示，其标准形式为：a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0=0 其中，n是多项式的次数，a_n, a_{n-1}, a_{n-2},…, a_1, a_0是多项式的系数。
接下来，我们来讨论勒让德多项式的微分表达式，它可以通过对多项式的每项进行微分，并根据次数进行指数变化，来得到。
下面我们来看一个例子，如多项式f(x)=x^4+2x^2-3x+4，它的微分表达式可以表示为：f’(x)=4x^3+4x-3可以看到，所得到的微分表达式只有一项，并且是对原多项式每项的指数变化、系数变化的综合反映，其公式是：f’(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+(n-2)a_{n-2}x^{n-3}+... +2a_2x+a_1此外，我们还可以使用一些特殊的技巧来求解勒让德多项式的微分表达式。
首先，无论多项式有多少项，它们都可以被写作一阶分式的形式：f(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)其中，a_n是多项式的系数，x_1, x_2,…, x_n是多项式中全部根的表达式，他们都可以由简化的过程得到。
按照这种形式，勒让德多项式的微分表达式可以很容易地算出。
最后，为了更直观地理解勒让德多项式的微分表达式，我们可以使用拉格朗日的偏微分法，通过对多项式的拉格朗日函数进行求导来计算多项式的微分表达式。
例如，f(x)=x^4+2x^2-3x+4应的拉格朗日函数是：L=x^4+2x^2-3x+4-l_x其中，l_x拉格朗日变量，他可以看成是多项式中的未知数，通过对拉格朗日函数进行求导可以得出：f’(x)=4x^3+4x-3这也就是我们最终求解的勒让德多项式的微分表达式了。
第六章 勒让德函数
上式为恒等式：在 x 0的邻域内成立，故有 (k 2)(k 1)Ck 2 [k (k 1) l (l 1)]Ck 0
数学物理方法
得系数递推公式：
Ck 2 k (k 1) l (l 1) (k l )(k l 1) Ck Ck (k 2)(k 1) (k 2)(k 1)
数学物理方法
以上只是一般性的论断，并未提供具体求出级数解得方 法，即如何确定常数 1 , 2 , g , ck , d k 。事实上，这些常数的确 定在一般情况下很困难。 但在一定条件下，会出现（1） ， （2）或（3）式中级数没 有负幂项的情形，这样的解称为正则解。 关于正则解，有如下定理：
2.将级数解代入方程，求待定系数。
k 2 k 1 k C k ( k 1) z 2 z C kz C z k k k 0 k 0 k 0 k 0
（1）
数学物理方法
k 2 k 1 k C k ( k 1) z 2 z C kz C z k k k 0 k 0 k 0 k 0
数学物理方法
例：求厄米特方程 w 2 zw w 0 在 z0 0 邻域内的解。
解：1.级数解的形式 由于 p( 程的常点。 级数解具有以下形式：
w( z ) Ck z k
k 0
k 0
改变第一项的求和指标：
k 2 k k ( k 1) C x ( k 2)( k 1) C x k k 2 k 0 k 0
代入（4）式，有：
k {( k 2)( k 1) C [ k ( k 1) l ( l 1)] C } x 0 k 2 k k 0
勒让德函数
an
为了使这些表达式能够写成比较简洁的形式, 并
且使所得的多项式在x=1处取的值等于1, 取an为
an
(2n)! 2n (n!)2
1
3
5
(2n 1) (n 1, 2, n!
).
有
an2
(2n 2)! 2n (n 1)!(n
2)!
10. 3 勒让德多项式
(2n 4)! an4 2!2n (n 2)!(n 4)!
10. 3 勒让德多项式
10. 3 勒让德多项式
将10.2中的递推公式写成
ak
(k 2) (n k)(k
(k 1) n 1)
ak
2
可以将其它系数一一推算出来，即
an2
n(n 1) 2(2n 1)
an
an4
(n 2)(n 3) 4(2n 3)
an2
n(n 1)(n 2)(n 3) 2 4(2n 1)(2n 3)
r
2
dR dr
1
sin
d
d
sin
d
d
1
sin2
d 2
d 2
10.1 勒让德方程的引出
引入参数nn 1 分解整理得
r
2
d2R dr 2
2r
dR dr
n
n
1
R
0
欧拉型方程
1
sin
d
d
sin
d
d
1
sin2
d 2
2
nn 1
0
球函数方程
欧拉方程通解
R(r ) A1r n A2r (n1)
xn2k 2k )!
10. 3 勒让德多项式
勒让德多项式的实验总结与要求
勒让德多项式的实验总结与要求在数学领域中，以勒让德多项式是一类特殊的多项式，具有许多重要的性质和特征。
通过实验研究以勒让德多项式，可以更深入地理解其规律和应用。
在进行实验总结和要求时，我们需要遵循一定的方法和原则，以确保研究的准确性和可靠性。
实验总结：通过实验可以验证以勒让德多项式的性质和特征。
例如，通过计算不同阶数的以勒让德多项式在给定点的取值，可以观察其随阶数增加而变化的规律。
同时，可以通过绘制曲线图表的方式直观地展示不同以勒让德多项式的形状和特点。
实验可以用来探索以勒让德多项式在实际问题中的应用。
以勒让德多项式在物理学、工程学和计算机科学等领域具有广泛的应用，通过实验研究可以深入了解其在不同领域中的具体应用场景和效果。
实验还可以帮助我们深入理解以勒让德多项式的推导和性质。
通过实际操作和计算，可以更直观地感受到以勒让德多项式的数学原理和运算规律，从而加深对其理论基础的理解和掌握。
实验总结也可以用来比较不同方法和技术在研究以勒让德多项式时的效果和优劣。
通过对比实验结果，可以找出更有效的研究方法和策略，提高研究的效率和准确性。
要求：在进行以勒让德多项式的实验总结时，需要注意以下几点要求：1.确保实验数据的准确性和可靠性。
在实验过程中，要注意数据采集的精确性和实验操作的规范性，避免因误操作或数据错误导致实验结果的偏差。
2.注意实验的可重复性和可验证性。
为了确保研究结果的科学性，需要详细记录实验过程和方法，使其他研究者能够重复实验并验证结果。
3.注重实验结果的分析和解释。
在实验总结中，除了呈现实验数据和结果外，还应对实验结果进行深入分析和解释，揭示其中的规律和结论。
4.尊重科学研究的原则和规范。
在进行实验研究时，要遵循科学诚实、客观中立的原则，避免数据篡改和结果夸大等不端行为。
通过以上实验总结与要求，可以更全面地了解以勒让德多项式的特性和应用，提高对其的认识和理解，为进一步深入研究和应用奠定基础。
希望本文能为相关研究者提供一定的参考和指导，推动以勒让德多项式领域的发展和进步。
5.11勒让德函数和其应用
j 1
j 1
(2 j 2)(2 j 1)
C0 C0
j 1
(2 j)!
[] x2 j
(2 j 1)2 j
C1x C1
j 1
(2 j 1)!
[2 ] x2 j1
y(x) C0 y0 (x) C1 y1(x)
④
C0 ,C1为两个任意常数，y0 ,y1为两个线性无关的特解
∴④是方程
一、勒让德方程的本征值问题
1
sin
d
d
(sin
d)
d
0
0
①
( ) 0,
为了求解方便，作变量变换：
x cos, dx sind, ( ) y(x)
d dx
(1
x2
)
dy dx
y
0
1 x 1
②
y(x) x1
二、勒让德方程的级数解
d dx
(1
x2
)
dy dx
y
0
②
理论依据：
2r
)!
xl
2r
给出前几阶勒让德多项式：
l 0
P0 (x)
0 r 0
(1)0 (0 0)! x00 200!(0 0)!(0 0)!
1
l 1
P1 ( x)
0 r 0
(1)0 (2 1 0)! 210!(1 0)!(1 0)!
x10
x
l2
P2 (x)
(1)0 (2 2 0)! x20 220!(2 0)!(2 0)!
若P (x)、Q (x)在|x-x0|<R内解析，则方程
y(x) P(x) y(x) Q(x) y(x) 0
在|x-x0|<R内的解一定是解析的。
数学物理方法第六章-勒让德函数课件
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+4, C2n+6, … 均为零。 y0(x)的最高次幂为x2n= xl．
根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的 解，取常数C1 =0，则勒让德方程的解为
45
递推公式的证明方法: (1)母函数关系式为
对t求导得
两边乘以(1-2xt+t2), 再将母函数关系式代入 左边, 即有
两边比较 t l 的系数(l≥1), 即得式(6.2.13)
46
x Pl ( x)t l Pl ( x)t l1
l0
l0
lPl ( x)t l1 2 x Pl ( x)t l11 lPl ( x)t l12
§6.3.1 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式 1. “正交性”与“正交归一关系式”浅析
(1)、三维欧几里得(Euclid)空间 三维欧几里得空间的基矢i，j，k如果用 ek 或
10
§6.1.2 勒让德方程的本征值问题
二阶线性齐次常微分方程
(1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0
-1<x<1
(6.1.6)
称为勒让德方程.
方程中的 l(l+1)=l 是待定参数
y(x)是待求函数.
11
在x=0的邻域求勒让德方程的有界解. 在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称
比较等式两边t l的系数, 即得式(6.2.14)
lPl (x)tl xPl(x)tl
Pl(x)tl1
l0
l0
l0
lPl (x)tl xPl(x)tl
勒让德多项式及其正交性质
勒让德多项式及其正交性质勒让德多项式是一种重要的数学工具，在微积分、物理学等领域都有广泛的应用。
它是一类正交多项式，具有良好的性质，可以用于解决一些特殊的数学问题。
本文将讨论勒让德多项式及其正交性质，以期读者能够深入了解这一重要数学工具。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是一种定义在区间[-1,1]上的多项式函数，通常用Pn(x)表示，其中n为多项式的次数。
勒让德多项式可以通过如下公式递归地定义：P0(x) = 1P1(x) = xPn(x) = [(2n-1)xPn-1(x) - (n-1)Pn-2(x)]/n这个公式可以用来计算任意次数的勒让德多项式。
勒让德多项式的前几个函数值如下：P0(x) = 1P1(x) = xP2(x) = (3x² - 1)/2P3(x) = (5x³ - 3x)/2P4(x) = (35x⁴ - 30x² + 3)/8二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，其中最重要的是正交性质。
1. 正交性质勒让德多项式在区间[-1,1]上的内积可以定义为：∫[-1,1] Pn(x)Pm(x)dx如果n=m，则积分结果为2/(2n+1)；如果n≠m，则积分结果为0。
也就是说，勒让德多项式之间具有正交性质。
这个性质非常重要，因为它能够使我们更方便地进行一些数学运算。
例如，计算某个函数在勒让德多项式基下的系数时，我们只需要进行一次内积计算即可。
2. 完备性质勒让德多项式在区间[-1,1]上具有完备性质。
也就是说，任何在该区间上连续的函数都可以用勒让德多项式展开，并且展开式收敛于原函数。
这个性质太过深奥，需要深入的数学知识，不在本文的讨论范围内。
3. 递推性质勒让德多项式之间具有递推性质，可以用如下公式计算高一阶的勒让德多项式：Pn+1(x) = (2n+1)xPn(x) - nPn-1(x)这个公式可以用来快速地计算任意次数的勒让德多项式。
完全规格化缔合勒让德函数算法研究(重要)
当 m=0 时，k=2；当 m>0 时，k=1
n
仪 姨 3） 当 n=m 时，P軈nm=un姨 3 i=2
2i+1 2i
算法流程： （见图 3）
图1
图2
图3
2 递归函数
递归是软件设计中的一种重要的方法和技术。递归函数是通过调用
自身来完成与自身要求相同的子问题的求解，编译系统能自动实现调用
过程中信息的保存与恢复。在问题的求解方法具有递归特征时，采用递
应用科技
完全规格化缔合勒让德函数算法研究
李飞
（杨凌职业技术学院，陕西杨凌 712100）
［摘 要］ 主要研究了完全规格化缔合勒让德函数的算法和程序设计，并对 3 种算法做了分析和比较，浅谈了递归函数的使用方法。 ［关键词］ 完全规格化缔合勒让德函数；递归
1 完全规格化缔合勒让德函数算法
由引力位球谐函数的展开式
举例：发动机 1 号引气压力低。
地面启动 1 发，监控参数：
TIME VALVEPOSITION PS PC T390 Tpre coole r
800s ope n
70 5 450 450
1000s clos e d
20 8 350 450
从上面监控数据看，预冷器出口温度 450 度超出 390 感受到的温
牌号 - 6 比 - 5 提高了 12%，- 6 的 BAR 比 - 5 可靠性略有提高， 但十分有限。此外从 737 技术年会获得关于引气系统升级的反馈来看， 升级对可靠性的提高非常有限。 （MTBUR 的变化：BAR从 13500FH 到14500FH、HSR 有下滑的趋势、HSV 从 14578FH 到 17692FH、 PRSOV从 12650FH到 13880FH）。
10.2连带勒让德函数剖析.
d 2 d m2 并将它们代入(1)式： (1 x ) 2 2 x [l (l 1) ] 0 (1) 2 dx dx 1 x
2
(1 x )
2
m ＋1 2
y '' 2mx(1 x ) y ' m(1 x ) y m(m 2) x (1 x )
10.2 连带勒让德函数
在球坐标系下对u 0分离变数，令（ u r , , ） R(r )( )( )， 得到关于r的解：R(r ) Cl r l Dl r (l 1) 得到关于的解： ( ) Am cos m Bm sin m 以及关于的连带勒让德方程： d 2 d m2 (1 x ) 2 2 x [l (l 1) ] 0 (1) 2 dx dx 1 x m2 2 即： (1 x ) y '' 2 xy ' [l (l 1) ]y 0 2 1 x 如何得到该方程的解？
m 2 m 2
(l *为包围 x的回路)
5.连带勒让德函数的递推公式：
m m m (l 1 m) Pl 1 ( x ) (2l 1) xP l ( x ) (l m) P l 1 ( x ) 0 m m 6.正交归一性： P ( x ) P k ( x )dx l 1 1
(2l 1)(l 2)! 1 d l 1 ( x 2 1)l l 1 (6 x)dx l 1 1 2 (l 2)!l ! dx
2 2 1 d ( x 1) 5 对l 2 : f 2 (6) xdx 1 2 4!2! dx 5 1 5 1 2 2 xd ( x 1) xd ( x 4 2 x 2 1) 16 1 16 1 1 5 1 4 2 1 {[ x( x 2 x 1)]1 ( x 4 2 x 2 1)dx] 1 16 3
勒让德多项式递推公式证明
勒让德多项式递推公式证明我们来了解一下以勒让德多项式的定义。
以勒让德多项式是一个由整数阶幂函数组成的多项式序列，通常用P_n(x)表示，其中n为非负整数。
以勒让德多项式可以由递推关系式定义，即：P_0(x) = 1P_1(x) = xP_n(x) = ((2n-1)x * P_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x))/n根据这个递推关系式，我们可以通过递推的方式计算出以勒让德多项式的各阶多项式。
接下来，我们将证明以勒让德多项式的递推公式。
为了方便证明，我们先定义两个辅助多项式：Q_n(x) = d/dx[P_n(x)]R_n(x) = (x^2-1)Q_n(x) - n(n+1)P_n(x)我们证明Q_n(x)的递推关系式：Q_0(x) = d/dx[1] = 0Q_1(x) = d/dx[x] = 1Q_n(x) = d/dx[((2n-1)x * P_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x))/n]= ((2n-1) * P_{n-1}(x) + (2n-1)x * Q_{n-1}(x) - (n-1)Q_{n-2}(x))/n= ((2n-1) * P_{n-1}(x) + (2n-1)x * Q_{n-1}(x) - (n-1)(x^2-1)Q_{n-2}(x) + n(n-1)P_{n-2}(x))/n= ((2n-1) * P_{n-1}(x) - n(x^2-1)Q_{n-2}(x) + n(n+1)P_{n-2}(x))/n= (2n-1) * P_{n-1}(x)/n - (x^2-1)Q_{n-2}(x) + (n+1)P_{n-2}(x)= (2n-1)/n * P_{n-1}(x) - (x^2-1)Q_{n-2}(x) + (n+1)/n * P_{n-2}(x)接下来，我们证明R_n(x)的递推关系式：R_0(x) = (x^2-1)Q_0(x) - 0 = x^2 - 1R_1(x) = (x^2-1)Q_1(x) - 1(1+1)P_1(x) = x^2 - 1 - 2x^2 = -x^2 - 1R_n(x) = (x^2-1)Q_n(x) - n(n+1)P_n(x)= (x^2-1)[(2n-1)/n * P_{n-1}(x) - (x^2-1)Q_{n-2}(x) + (n+1)/n * P_{n-2}(x)] - n(n+1)P_n(x)= (x^2-1)(2n-1)/n * P_{n-1}(x) - (x^2-1)^2Q_{n-2}(x) + (x^2-1)(n+1)/n * P_{n-2}(x) - n(n+1)P_n(x)= [(x^2-1)(2n-1)/n * P_{n-1}(x) - n(n+1)P_n(x)] - (x^2-1)^2Q_{n-2}(x) + (x^2-1)(n+1)/n * P_{n-2}(x)= R_{n-1}(x) - (x^2-1)^2Q_{n-2}(x) + (x^2-1)(n+1)/n * P_{n-2}(x)我们可以看出，R_n(x)的递推关系式与P_n(x)的递推关系式非常相似，只是多了一个(x^2-1)^2Q_{n-2}(x)的项。
勒让德多项式递推公式的证明
勒让德多项式递推公式的证明1 关于勒让德多项式勒让德多项式通常称为磁力线多项式，是一种特殊的线性代数多项式。
它由著名数学家勒让德在1898年提出，用来描述空间中磁场线的强度。
因为它有着易于计算的特性以及它的复杂性，它在磁学、电子、物理等很多领域得到了广泛的应用。
2 勒让德多项式递推公式勒让德多项式的定义有两种形式：一种是递推公式，另一种是泰勒级数展开。
其中，勒让德多项式递推公式常用来表示磁力线在空间上分布的状态：n^{2}B_{n,m}(\varphi,\theta)=\frac{1}{\sqrt{1-m^{2}}}\sum_{\substack{j=0\\j \neq m}}^{n-1}\left(\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}B_{j,m}(\varphi,\theta )-\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}B_{n,j}(\varphi,\theta )\right)其中，B_{n, m}(\varphi,\theta) 表示一维勒让德多项式的系数，n、m是多项式的指数。
式中的\varphi, \theta表示空间坐标系，它们按照以下关系标准化：\varphi=2\pi(x/a) \, \theta=\pi(y/b)其中，a, b是所考虑空间的特定尺寸，x, y表示空间坐标系的x, y分量。
3 证明勒让德多项式递推公式首先，我们考虑一维勒让德多项式定义：B_{n, m} =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{im\varphi }f(\varphi )d\varphi因此，由定义式可得：B_{n, m}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{i(n-m)\varphi }f(\varphi )d\varphi我们可以把积分定义为，用p表示：p=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{i(n-m)\varphi }f(\varphi )d\varphi由Leibniz积分公式可得：\begin{aligned} p &=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{i(n-m)\varphi }\dfrac{\partial^{j}f(\varphi )}{\partial\varphi^{j}}d\varphi \\ &=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}\dfrac{\partial^{j}f(0)}{\partial \varphi^{j}}-\sum_{j=0}^{n-1}\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}\dfrac{\partial^{j}f(\pi)}{\partial \varphi^{j}}\end{aligned}也就是说：p=\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-m}B_{n,m}(0,\pi )+\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}B_{j,m}(0,\pi )-\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}B_{n,j}(0,\pi )\right)联立以上两个式子，可以得到：\begin{aligned} &n^{2}B_{n,m}(\varphi ,\theta )\\&=\frac{1}{\sqrt{1-m^{2}}}\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}B_{j,m}(\varphi ,\theta )-\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}B_{n,j}(\varphi ,\theta )\right) \end{aligned}因此，以上公式就可作为勒让德多项式的递推公式。
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来表 示 ； 否则 ， 其 将 是 几 个数 组 的 线性 组合 。本 文给 出的 解 析 表 达 式有 助 于 理 解勒 让 德 函数 的特 性 及 证 明 。
关键 词 ： 勒 让 德 函数 ； 缔 合 勒 让德 函 数 ； 三 角 函数 ； 解 析 表 达 式
中 图分 类号 ：Ｐ ２ ２ ３ ． ０
Ｐ （ ｚ）一
本文把 任意 阶次 的勒让 德 函数 表示 为 三角 函数 的 倍 角形 式 ， 不但方便 勒让德 函数 对角度 求导数 和积
分， 以研 究其加权 正交性 ， 而且 可以简化其应用 。
１ 勒让德 函数的定义 与其级数展 开式
１ ． １ 勒让 德 函数的定 义 勒让 德 函数 的定 义是［ １ ：
勒 让德 函数 的定义 是 ：
ｚ） 一 （ １ ） 号 （ ２ ）
德 函数 的 级数 展 开 式 系 数 来 模 拟 签 名 特 征 ， Ｍｏ — ｒ ａ ｉ ｓ ＿ ３ 构建 了一 个适 用 于长椭 球 形 状 的完 备 正 交 函数系 ， Ｙａ ｌ ｃ ｎ ｂ ａ ｓ ＿ ４ 在近 似求解 第 二类线 性 Ｆ ｒ ｅ ｄ —
传定 利 用球 面上 的正 交 函数系研 究 了物理 大 地 测 量 中的一 阶 、 二 阶梯 度边 值 问题 ， 张 玉灵 … ８ 根 据
式 中， 是 属于 区 间 ［ 一１ ， １ ］ 的实 数 。
１ ． ２ 勒
立 小尺 度地 磁场模 型 。但是 ， 到 目前 为止 ， 还没 有
一
式中， ｋ ∈ ！ 表 示 阶乘 。 当 ｚ ≥ 时 ， ｚ 对 的 ７ ／ ＂ 阶导数 是 ：
ｄ ｘ ＝ （ Ｚ
一
” ）！ 一
㈤ …
式 中， ｚ ∈
利用 式 （ ４ ） 和式 （ ５ ） ， 可把 式 （ １ ） 写为 ：
缔合 勒让 德 函数 的解析表 达式研 究
张捍 卫 李 明艳 雷伟 伟
１ 河 南理 工 大 学测 绘 学 院 ， 焦 作 市 世纪 大 道 ２ ０ ０ １号 ， ４ ５ ４ ０ ０ ３
摘 要 ： 把 任 意 阶 ｍ 次缔 合 勒 让德 函数 （ ｃ ｏ 卵） 表 示 为 系数 Ｅ （ ） 与 角度 （ 一２ ｋ ） Ｏ的 正 弦或 余 弦 乘积 之 和 ， ｋ 的取 值 范 围是 ０到 ｉ ｎ ｔ ［ － ｎ ／ ２ ￣ 。＂ ３缔合 勒 让 德 函 数 的 次 小 于等 于 ２时 ， － 其 系数 Ｅ （ ） 可利 用 Ｐ （ ｃ ｏ ｓ Ｏ ） 展 开 式 的 系数
文 献标 识 码 ： Ａ
勒 让德 方程 在 物 理 和 工程 中具 有 广 泛 应 用 。 Ｂ ｏ ｙ ｄ ＿ 】 给 出切 比雪夫 多 项式 、 勒让 德 多 项 式 和 雅 可 比多项 式 之 间 的理 论 关 系 ， Ｐ ａ ｒ ｏ ｄ ｉ 利 用 勒 让
式 中， 称为 阶 ， 且 ∈ ， 是 自然 数 集合 。缔 合
ｋ ＝ ０
、 ～／ ‘～
（ ４ ）
勒 让德 函数 的递 推公式 和基 本性 质推 导 了不 同阶 次 勒让德 函数 的加 权 正 交 性 ， 吴 星＿ ９ 介 绍 了 勒 让 德 函数 的多 种递 推计算 方 法 ， 王 建强 Ｌ １ ０ ］ 指 出跨 阶 次递 推法 是 计 算 超 高 阶次 勒 让 德 函数 的较 优 方 法， 刘缵 武口 提 出一 个修 正 的勒 让 德 函数 递 推 算 法， 黄 国蓝 利用理 论计 算 和数 值 方 法对 勒 让 德 多 项式进 行 分析 ， 区家 明ｌ １ 利用 勒 让 德 多项 式 建
第 一 作者 简 介 ： 张捍 卫 ， 教授 ， 博 士生 导 师 ， 主 要从 事大 地 测 量学 的教 学 和科 研 工 作 ． Ｅ － ｍａ ｉ ｌ ： ｚ ｈ ａ ｎ ｗ ｅ ｉ ８ ０ ０ ＠１ ６ ３ ． Ｃ Ｏ Ｎ。
（ １ － Ｘ ２ 号 古 薹
式 中， Ｌ ｚ —ｉ ｎ ｔ Ｅ （ ｎ —ｍ） ／ ２ ￣ 。可见 ， 当
（ ７ ） 就变 为式 （ ６ ） 。
一
（ ７ ）
０时 ， 式
一
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ４ — ０ ７ — １ ８
项 目来 源 ： 国 家 自然 科 学基 金 （ ４ １ ４ ７ ４ ０ ２ １ ， ４ １ １ ７ ２ １ ９ ９ ） 。
第３ ５ 卷 第４ 期
２ ０ １ ５年 ８月
大 地 测 量 与 地 球 动 力 学
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇｅ ｏ ｄ ｅ ｓ ｙ ａ ｎ ｄ Ｇｅ ｏ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｓ
Ｖｏ Ｌ ３ ５ Ｎｏ ． ４
Ａｕ ｇ．，２ ０１ ５
文章 编 号 ： １ ６ ７ １ — ５ ９ ４ ２ （ ２ Ｏ １ ５ ） Ｏ ４ — ０ ６ ４ ５ 一 Ｏ ４
ｚ ， 一 薹
（ ６ ）
个适 用 于任 意 阶次 的勒 让德 函数 解 析 表 达 式 。
式 中， ２ 一ｉ ｎ ｔ Ｆ ｎ ／ ２ ］ ， 以保证 ， ｚ ～２ 愚 ≥０ 。 把式（ ６ ） 代入 式 （ ２ ） ， 并 考虑 到式 （ ５ ） ， 则式（ ２ ）
可 写为 ：
ｈ ｏ ｌ ｍ 积 分方 程 时 引 入 勒 让 德 多 项 式 ， Ｌ ｉ ｕ ＿ ５ 利 用 式 中， ｍ 称 为次 （ 级） ， ∈ 且 ｍ≤ 。显然 ， 当ｍ
一 ０时 ，
Ｐ （ ） ＝ Ｐ （ ｚ） （ ３ ）
勒让 德 多项 式生成 的正交小 波基 进行 偏微 分方 程 的数值求 解 ， Ｖｌ ａ ｄ ｉ ｍｉ ｒ ［ ６ ］ 也 研 究 了 勒 让 德 多 项 式 和 其他 正交 函数 系 之 间 的理 论 关 系 。在 国 内， 张