数学培优竞赛新方法(九年级)-第21讲 辅助圆
初中数学竞赛平面几何讲座---巧添辅助-- 妙解竞赛题
初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆例1如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A.求证：BD＝2CD.ABGC DFE 图1例 2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°, AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB ＝____.例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P . 求证：△ABC 的面积S ＝43AP ·BD .A图3BP QD HC ABCDPO图22 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.A EDCB图4图5例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N . 求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2.EANCD B FM 12345图6例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.同步练习题1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD.2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a . 求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数.(1)(2)图8ABCA'B'C'cb a'c'b'3. 如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2.4. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D . 求证：AC 2＝AB ·AE .6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1.F DAB EC图10C图11初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题答案在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝ ∠A .求证：BD ＝2CD .分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系. 容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能 直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆 于F ,则可得EB ＝EF ,从而获取.证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA ＝∠ABC ＝∠AFC ,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF .作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝ ∠BCD ＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2. 则sin ∠AOB ＝____.ABGCD FE图1ABCDPO 图2分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615 . 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证： △ABC 的面积S ＝43AP ·BD . 分析：因S △ABC ＝43BC 2＝43AC ·BC ,只 须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ . 又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .从而,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD . 于是,S ＝43AC ·BC ＝43AP ·BD . A图3BPQDHC2 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在 半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即可找到AC 与 p 、q 的关系.解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE . 显然A 、B 、C 在⊙D 上. ∵AB ∥CD ,∴BC ＝AE . 从而,BC ＝AE ＝q .在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝22AE CE -＝224q p -. 2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围. 解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9), 对称轴为x ＝1,与x 轴交于两点B (－2,0)、 C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、A EDCB图4图5Q (1＋22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有3＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论. 证明：如图6,∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, 又∠3＝∠4,∠1＝∠5, ∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交 BA 的延长线于E .则AE ＝AF ＝AN . 由割线定理有 BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF ) ＝(AB ＋AN )(AB －AN ) ＝AB 2－AN 2, 即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连 结CG .因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、G 四点共圆.EA N D BFM 12345图6由切割线定理,有 EF 2＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2,即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆 例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇ C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、 b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示. ∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇,∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD .∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB .有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '',即 DC c '＝a a '＝DB b '.故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab .又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a . 从而,由托勒密定理,得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD , 即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.练习题(1)(2)图8ABCA'B'C'ca b a'c'b'A BCDa b b c图91. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而AC AB ＝DEBD＝DCBD.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数. (提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝21∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.) 4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2. (提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点 G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.) 5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2＝AB ·AE . (提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3 于F ,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF ,从而AE ＝AF ,由相交弦定理即得结论.)6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)FDAEC图10图11。
初中数学九年级培优教程整理(全)
【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）A. a 2 1B. 12C. 8D. 27初中数学九年级培优目录第1 讲二次根式的性质和运算(P2 --- 7)第2 讲二次根式的化简与求值(P7 --- 12)第3 讲一元二次方程的解法(P13 --- 16)第4 讲根的判别式及根与系数的关系(P16 --- 22)第5 讲一元二次方程的应用(P23 --- 26)第6 讲一元二次方程的整数根(P27 --- 30)第7 讲旋转和旋转变换（一）(P30 --- 38)第8 讲旋转和旋转变换（二）(P38 --- 46)第9 讲圆的基本性质(P47--- 51)第10 讲圆心角和圆周角(P52 --- 61)第11 讲直线与圆的位置关系（P62 --- 69）第12 讲圆内等积证明及变换((P70 --- 76)第13 讲弧长和扇形面积(P76 --- 78)第14 讲概率初步(P78 --- 85)第15 讲二次函数的图像和性质(P85 --- 91)第16 讲二次函数的解析式和综合应用(P92 --- 98)第17 讲二次函数的应用(P99 --- 108)第18 讲相似三角形的性质(P109 --- 117)第19 讲相似三角形的判定(P118---- 124)第20 讲相似三角形的综合应用(P124 ---- 130)考点·方法·破译第1 讲二次根式的性质和运算1. 了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2. 掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3. 会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏析【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C、D 含开方数4、9，故选 A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）A. 10B. 8C. 6D. 2⑵①a2b2 ；②x；③5x2 xy ；④27 abc ，最简二次根式是（）A ．①,②B ．③,④C．①,③ D ．①,④【例２】( 黔东南) 方程4x 8x y m 0 ，当y＞0 时，m 的取值范围是（）A ．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0 的结论. 由题意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化为y ＝2－m，则2－m＞0，故选 C.【变式题组】2．（宁波）若实数x、y 满足x 2 ( y 3) 20 ，则xy 的值是.3．（荆门）若x 1 1 x (x y)2 ，则x－y 的值为（）A ．－ 1B ．1 C．2 D．34．（鄂州）使代数式x 3有意义的x 的取值范围是（）x 4A ．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3 且x≠45. （怀化） a 2 b 3 (c 4) 0 ，则a－b－c＝.【例３】下列二次根式中，与24 是同类二次根式的是（）A ．18 B．30 C．48 D．54【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样.A ．18 3 2 ；B ．30 不能化简； C. 48 4 3 ；D．54 3 6 ，而24 2 6 .故本题应选 D.【变式题组】6. 如果最简二次根式3a 8 与17 2a 是同类二次根式，则a＝．7. 在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A ． 3 和18B ． 3 和13C．a2 b和ab2 D ． a 1 和 a 18. 已知最简二次根式 b a 3b 和2b a 2 是同类二次根式，则a＝，b＝. 【例４】下列计算正确的是（）A ． 5 3 2B ．8 2 4C．27 3 3 D．(1 2)(1 2) 122 a(a＞0)【解法指导】正确运用二次根式的性质①( a) 2a(a≥0) ；② a 2 a0(a 0) ；③ab a b( a≥0, b≥0) ；④b b(b≥0, a＞0)a aa(a＜0)进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算. A 、 B 中的项不能合并.D.(1 2)(1 2) 1 ( 2) 2【变式题组】1..故本题应选 C.9. （聊城）下列计算正确的是（）A ．2 3 4 2 6 5B ．8 4 2C．27 3 3 D．( 3)2 310. 计算：( 15 4) 2007(4 15) 200711．(2 3 3 2) 2 (2 3 3 2) 212. ( 济宁) 已知 a 为实数，那么a2 ＝（）A ．aB ．－a C．－1 D．013. 已知a＞b＞0，a＋b＝6 ab ，则a ba b的值为（）2 1A ．B ．2 C． 2 D．2 2【例５】已知xy＞0，化简二次根式xy的正确结果为（）x2A ．yB ．y C．y D．y【解法指导】先要判断出y＜0，再根据xy＞0 知x＜0. 故原式xyx【变式题组】y . 选D. 14. 已知a、b、c 为△ ABC三边的长，则化简 a b c ( a b c) 2的结果是.15. 观察下列分母有理化的计算：并利用这一规律计算：1 12 1 ，2 13 213 2 ，4 34 3 ，算果中找出规律，(1 1L1) ( 2006 1) .2 13 2 2006 200516．已知，则0＜x＜1，则( x 1)2 4 ( x1) 2 4 .x x1 1 b 5 1 5 1【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：，其中 a ，b .a b b a(a b) 2 22⑵已知 x3 2 ， 32y3 2 ，那么代数式 32xy (x y)2 xy (x y)2值为 .【解法指导 】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋ y 的值，再代入求值 .ab a( a b) b 2(a b)2a b 5 1 5 1 【解】⑴原式＝，当 a， b时， ab ＝ 1，a ＋ b ＝ 5 ,原式＝ 5 .ab(a b)ab (a b)ab22⑵由题意得： xy ＝ 1， x ＋ y ＝ 10, 原式＝ .【变式题组 】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋ b)2＋ (a － b)(2a ＋ b)－ 3a 2，其中 a2 3 , b3 2 .a2a 2a 418．（黄石）已知 a 是 43 的小数部分，那么代数式 ( 22) (a ) 的值为 .a 4a 4 a2a a【例７ 】已知实数 x 、y 满足 ( x x22008)( yy22008) 2008，则 3x 2－2y 2＋ 3x － 3y － 2007 的值为（ ）A ．－ 2008B ．2008C ．－ 1D ． 1【解法指导 】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出 a 、b 的关系，再代入求值 .解: ∵ ( x x 22008)( y y22008) 2008，∴ ( xx22008)2008 yy 2008 ，( yy22008)yy22008 xx220082008xx22008 ，由以上两式可得 x ＝ y.选 D.∴ ( x x22008) 2008, 解得 x 2＝2008，所以 3x 2－ 2y 2＋ 3x － 3y － 2007＝ 3x 2－ 2x 2＋ 3x － 3x － 2007＝x 2－ 2007＝ 1，故 【变式题组 】19．若 a ＞0， b ＞ 0，且a( ab) 3 b( a5 b ) ，求 2a3bab的值 .演练巩固 · 反馈提高a b ab01. 若 m40 4 ，则估计 m 的值所在的范围是（）A ． 1＜ m ＜ 2B ． 2＜ m ＜ 3C ． 3＜m ＜ 4D ． 4＜m ＜ 502．（绵阳）已知12 n 是正整数，则实数 n 的最大值为（）A ． 12B ．11C ． 8D ． 303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（）1 A.7 B. 3C.2D. 204．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）1 100 101 1 100992 2A.2 B. 6 C. 8 D. 1005．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.12B.x233 C.D.2a 2b06．（常德）设 a ＝ 20， b ＝ (－ 3)2, c 9 , d ( 1) 1 2, 则 a 、b 、 c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（）A ．c ＜ a ＜ d ＜bB ． b ＜ d ＜ a ＜ cC ． a ＜ c ＜ d ＜bD ． b ＜ c ＜ a ＜ d07．（十堰）下列运算正确的是（） A ． 32 5 B ． 32 6C ． ( 3 1)23 1D ．52325 308．如果把式子 (1 a)1 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）1 aA ．1 a B ． a 1C ．a 1D ．1 a09．（徐州）如果式子(x 1)2x 2 化简的结果为 2x － 3，则 x 的取值范围是（）A ． x ≤ 1B ．x ≥ 2C ． 1≤ x ≤ 2D ． x ＞ 010．（怀化）函数 yx 中自变量的取值范围是.x 211．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算 a ※ b ＝3 2 5 .那么 12※ 4＝ .3 2a21 a 112．（荆州）先化简，再求值：232，其中 a 3 .a2a 1 a a13．（广州）先化简，再求值：( a培优升级3)( a3) a(a 6) ，其中 a51 .201．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x － 2 和 5x ＋ 6，则这个数是 .02．已知 a 、b 是正整数，且满足 2(15 15 ) a b是整数，则这样的有序数对（ a ，b ）共有 对.03．（全国）设 a5 1 ，则aa42a 3a 2a 23.04．（全国）设 x2 aa1, a 是 x 的小数部分 , b 是 x 的小数部 , 则 a 3 ＋b 3＋ 3ab ＝ .2 105．（重庆）已知yx22 x222 ，则 x ＋y ＝ .5x 4 4 5x06．（全国）已知 a2 1 ， a 2 2 6 ， a 6 2 ，那么 a 、b 、c 的大小关系是（）A ． a ＜ b ＜ cB ．b ＜ a ＜ cC ． c ＜ b ＜ aD ．c ＜ a ＜ b35207．（武汉）已知 yx 1 4 x （ x ， y 均为实数），则 y 的最大值与最小值的差为（）A ． 6 3B ．3C ． 5 3D ． 6308．（全国）已知非零实数a 、b 满足 2a 4 b 2(a 3)b 24 2a ，则 a ＋ b 等于（）A ．－ 1B ． 0C ．1D ． 209．（全国） 23 2 2 17 12 2 等于（）A ． 5 4 2B ． 4 2 1C ． 5D ． 110. 已知 x2 xy y 0( x 0, y0) ，则3x xy y的值为（ ）1 1 A ．B ．325x 2 3 C ．D ．343 xy4 y11.已知 a b 2 a 1 4 b 2 3 c 3 1c 5 ，求 a ＋ b ＋ c 的值 . 212. 已知 913 与 913 的小数部分分别是 a 和 b ，求 ab － 3a ＋ 4b ＋ 8 的值 .考点·方法·破译第 2 讲 二次根式的化简与求值1. 会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2. 会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值 .3. 会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典· 考题· 赏析【例１ 】（河北）已知x1 2 ，那么x x 的值等于xx3x 12x9 x 1【解法指导 】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用 1x表示或化简变形 .x解：两边平方得，x1 2 4 ， xx1 2 ，两边同乘以 x 得， xx21 2 x ，∵ x 23x 1 5 x ， x29 x 1 11x ，22∴原式 = 1 1 511【变式题组 】5 11 =5111. 若 a1 14 （0＜ a ＜1），则 a a a2. 设x1aa ，则 4x x 2的值为（）A. a1aB.1 aaC. a1 aD ．不能确定【例２ 】（全国）满足等式x y y x2003x2003y 2003xy＝ 2003 的正整数对（ x, y ）的个数是（） A ． 1B ． 2C ． 3D ．4【解法指导 】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解 .解：可化为xy( x y) 2003( x y) 2003( xy 2003) 0 ，∴ (xy 2003)( x y2003) 0∵xy2003 0 ，∴ xy2003 0，则 xy ＝2003，且 2003 是质数，∴正整数对（ x, y ）的个数有 2 对，应选 B. 【变式题组 】3．若 a ＞ 0， b ＞ 0，且 a( a 4 b ) 3 b( a 2 b ) ，求 2a 3b ab 的值 .【例３ 】（四川）已知：xa1 (0 aa 1) ，求代数式a b abx2x 6 x 3 x 2 2x 2 4x 的值 . xx2 x x 2x24x【解法指导 】视 x － 2，x 2-4 x 为整体，把xa约.1 平方，移项用含 a 的代数式表示 x － 2，x 2-4 x ，注意 0＜a ＜1 的制 a解：平方得，x a1 2 ，∴ x 2 aa 1 ， x2a4x 4 a21 2 ，a2x4x a1 2 ，a( x 3)(x 2)x( x 2) x 2x 24x∴化简原式＝g x x 3 x 2 x 24xa 1 ( 1 a)＝ (a 1 )2 a a a 2 2 a a 1 ( 1 a) a a【变式题组 】2， 4．（武汉）已知 xx 31 232 1，求代数式x 3 ( 52 x 4 x 2x 2) 的值.5．（五羊杯）已知 m 12 ， n 12 ，且 (7 m 2 14m a)(3n 26n 7) 8 ，则 a 的值等于（）A ．－ 5B ． 5C ．－ 9D ．9【例４ 】（全国）如图，点 A 、C 都在函数 y等边三角形，则点 D 的坐标为.3 3 ( xx0) 的图像上，点 B 、D 都在 x 轴上，且使得△ OAB 、△ BCD 都是 【解法指导 】解：如图，分别过点 A 、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为E 、F. 设OE=a ，BF=b ，则 AE= 3 a ，CF = 3 b ，所以，点 A 、C 的坐标为（ a, 3 a ）、（ 2a ＋ b, 3 b ），所以3a23 3ya 3 ，解得，3b (2 a b) 3 3因此，点 D 的坐标为（ 2 6 ,0） 【变式题组 】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.b63ACOE BF Dx在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如52 2 ，3 3 3一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 15 5 3 3 33 5 3 ； （一）3 2 2 3 33 36 ； （二）3223 13 3 11 3 13 1 ；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化，2还可以用以下方法化简：2 3 1 3 13 123 13 3 13 1 1 3 13 13 1；（四）（ 1）请你用不同的方法化简2；53①参照（三）试得：2=；（要有简化过程） 5 3②参照（四）试得： 2 =；（要有简化过程）53 （ 2）化简：1 1 1L1 3 153752n 12 n 1【例５ 】（五羊杯）设 a 、b 、c 、d 为正实数， a ＜ b ， c ＜ d ，bc ＞ ad ，有一个三角形的三边长分别为a2c 2 ， b2d 2，(b a)2(d c)2，求此三角形的面积 .【解法指导 】虽然不能用面积公式求三角形面积 ( 为什么 ?) ，a2边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.c 2的几何意义是以 a 、c 为直角边的直角三角形的斜解：如图，作长方形 ABCD ，使 AB ＝ b － a ， AD ＝c ，延长 DA 至 E ，使 DE ＝d ，延长 DC 至 F ，使 DF ＝ b ，连结 EF 、FB 、EB ， 则BF ＝a2c2， EF ＝b2d2，BE=(b a)2(d c)2，从而D知△ BEF 就是题设的三角形， 而 S △ BEF ＝S 长方形 ABCD ＋ S △ BCF ＋ S △ ABE baCF － S △ DEF ＝ ( b － a) c ＋ 1 2( d －1 1c)( b － a) － bd ＝ ( bc －ad)d 22A cE【变式题组 】7． ( 北京 ) 已知 a 、b 均为正数，且 a ＋b ＝ 2，求 U ＝a24b21演练巩固 · 反馈提高3 2 3 2xy x 2y2 01. 已知 x， y32，那么代数式32xy x2值为y202. 设 a7 1，则 3a312a26a 12 ＝（）A ． 24B ． 25C ． 4 7 10D ． 4 7 1203．（天津）计算 ( 3 1)20012( 3 1)20002( 3 1)1999200104．（北京）若有理数 x 、 y 、z 满足xy 11 z 2( x y z) ，则 2( x yz)205．（北京）正数 m 、 n 满足 m 4 mn 2 m 4 n4n 3 0 ，则m 2 m 2 n n 8200206．（河南）若 x3 1 ，则 x3(2 3) x2(1 2 3) x 3 5 的值是（）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 807. 已知实数 a 满足 2000a a 2001 a ，那么 a 20002的值是（）A ． 1999B ． 2000C ． 2001D ． 200208. 设 a1003 997 ， b 1001 999 ， c 2 1000 ，则 a 、b 、c 之间的大小关系是（）A ． a ＜ b ＜ cB ． c ＜ b ＜ aC ． c ＜ a ＜ bD ． a ＜ c ＜ b09. 已知 1 ( x 1)2x ，化简 x21 x x21 x44B3 32003培优升级01．（信利）已知 x1 3 ，那么1x 21 1 x 24 x 202．已知 a 4a 1 5 ，则 6 2 a03．（江苏）已知( xx22002)( yy22002) 2002 ，则 x 23xy 4 y26 x 6 y 5804．（全国）7x 29x 13 7x 25x 13 7x ，则 x ＝05．已知 x3 2 ， y3 2 ，那么 yx32 3 2 x2y206．（武汉）如果a b20022 ， ab2002 2 ， b3c3b3c ，那么 a 3b3c 的值为（）A ． 2002 2002B ． 2001C ． 1D ． 007．（绍兴）当 x12002 2时，代数式 (4 x32005 x2001)的值是（ ）A ． 0B ．－ 1C ． 1D ． 2200308．（全国）设 a 、b 、c 为有理数，且等式a b 2 c 35 26 成立，则 2a 999b 1001c 的值是（）A ． 1999B ． 2000C ． 2001D ．不能确定09．计算：（ 1）6 4 3 3 2( 63)( 32)（ 2）10 14 15 21 10141521（ 3）1 1 1L13 35 3 3 5 7 5 5 749 47 47 49（ 4）3 2 2 5 2 6 7 2 12 9 2 20 11 2 30 13 2 4215 2 5617 2 722210.已知实数 a 、 b 满足条件a bb1 ，化简代数式a (1 1)g a b( a b 1)2，将结果表示成不含 b 的形式 .11.已知 x1 a 2(a a0) ，化简：x 2 x 2x 2 x 212.已知自然数 x 、y 、z 满足等式x 2 6 y z 0 ，求 x ＋ y ＋z 的值 .考点·方法·破译第 3 讲 一元二次方程的解法1. 掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3. 会应用一元二次方程解实际应用题。
中考复习讲义：三种构造辅助圆解题的模型
中考热点:三种构造辅助圆解题的模型一、问题导读“圆”是一个完美的图形，在初中数学中具有丰富内容，其中大部分是与角度相关性质，如在圆周角中能轻易找到，等角和直角并与圆心角联系也比较紧密，通过在图形中构造辅助圆往往能获得意想不到的效果，如果题目中出现了以下条件：三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆；同一侧有相等的角，或者需要构造出相等的角时，作辅助圆；若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．在这些情况下，借助圆去解决一些问题都是非常好的一个选择，下面举例说明这三种构造辅助圆解题的模型应用。
二、典例精析类型1 根据共端点等线段模型，根据圆的定义构造圆1.如图，已知OA＝OB＝OC，且∠AOB＝k∠BOC，则∠ACB是∠BAC的（）A．k/2倍 B．k倍 C．2k D．1/k【分析】由OA＝OB＝OC，得到A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，则∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，而∠AOB＝k∠BOC，即可得到∠ACB＝k∠BAC．【解答】∵OA＝OB＝OC，∴A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，如图，∴∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，而∠AOB＝k∠BOC，即2∠ACB＝k2∠BAC，∴∠ACB＝k∠BAC．故选：B．2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．【解答】如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴由勾股定理可求得AB＝10，由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴AF/AB=DF/BC，即4/10=DF/8，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：B．3.如图2所示,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC的度数为____度【解析】∵AB＝BC＝BD，得到A，C，D在以B为圆心的同一个圆上，∴∠ACD=1/2∠ABD, ∠DAC=1/2∠DBC,∵∠ABC=∠ABD +∠DBC =80°,∴∠ACD+∠DAC=1/2∠ABD+1/2∠DBC=1/2(∠ABD+∠DBC)= 1/2×80°=40°,∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣40°＝140°．故答案为：140．4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝度，∠DBC＝_____度．【解析】法一：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，∵∠BAC＝25°，∴∠BDC＝1/2∠BAC＝12.5°，∵∠CAD＝75°，∴∠DBC＝1/2∠CAD＝37.5°．故答案为：12.5，37.5．法二：∵AB＝AC＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∠ACB＝∠ABC，∠ADC＝∠ACD，∵∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，∴∠ACB＝（180°﹣25°）÷2＝77.5°，∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝100°，∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°，∴∠ADB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝52.5°﹣40°＝12.5°，∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝52.5°+77.5°＝130°，∴∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠BDC＝180°﹣130°﹣12.5°＝37.5°．∴∠BDC＝12.5°，∠DBC＝37.5°．类型2 直角模型，依据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外接圆解题5. 如图所示，矩形ABCG与矩形CDEF全等，点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使得∠APE为直角的点P的个数是_____个．【分析】∵∠APE的顶点P在线段BD上移动，且∠APE为直角，∴点P也在以AE为直径的⊙O的圆上运动；∴以AE为直径作⊙O，⊙O与BD的交点即为所求．【解答】∵点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，∠APE为直角，∴点P在以AE为直径的⊙O的圆上运动，∴点P就是⊙O与BD的交点，由图示知，BD与⊙O有2个交点．故答案为：2．【点评】本题主要考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角．解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想．6. 已知：如图，直尺的宽度为2，A、B两点在直尺的一条边上，AB＝6，C、D两点在直尺的另一条边上．若∠ACB＝∠ADB＝90°，则C、D两点之间的距离为_____．【分析】由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得A，B，C，D 在以AB为直径的圆上，C，D即是此圆与直尺的交点，设E为AB中点，可得EC是半径为3，然后作EF⊥CD交CD于F，根据垂径定理可得：CD＝2CF，然后由勾股定理求得CF的长，继而求得答案．【解答】设E为AB中点，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴A，B，C，D在以AB为直径的圆上，连接DE，CE，则CE＝DE＝1/2AB＝3，作EF⊥CD交CD于F，∴CD＝2CF，∵AB∥CD，∴EF＝2，在Rt△CFE和Rt△DFE中，CF＝√5，∴CD＝2√5．故答案为：2√5．【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等知识．此题拿度适中，解题的关键是由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，得到A，B，C，D 在以AB为直径的圆上．7. 已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．【分析】（1）根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段CP的长，只需根据勾股定理求得AB的长．（2）若PQ与AC不平行，则要使△CPQ成为直角三角形．只需保证∠CPQ＝90°．根据直径所对的圆周角是直角，则分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切；二是半圆和AB相交．首先求得相切时CQ的值，即可进一步求得相交时CQ 的范围．【解答】（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13；∵Q是BC的中点，∴CQ＝QB；又∵PQ∥AC，∴AP＝PB，即P是AB的中点，∴Rt△ABC中，CP＝13/2．（2）当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．以CQ为直径作半圆D，①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM，则DM⊥AB，且AC＝AM＝5，∴MB＝AB﹣AM＝13﹣5＝8；设CD＝x，则DM＝x，DB＝12﹣x；在Rt△DMB中，DB＝DM+MB，即（12﹣x）＝x+8，解之得x＝10/3，∴CQ＝2x＝20/3；即当CQ＝20/3且点P运动到切点M位置时，△CPQ为直角三角形．②当20/3＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形③当0＜CQ＜20/3时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形．∴当20/3≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．8.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax+bx-2过点A,B,顶点为C,点P(m,n)为抛物线上一点,其中n<0.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围.【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再利用x＝0得出y的值即可得出C点坐标．（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，进而得出m的取值范围；]解:(1) （1）∵抛物线y＝ax+bx﹣2（a≠0）过点A，B，∴a-b-2=0, 16a+4b-2=0，解得：a=1/2, b=-3/2，∴抛物线的解析式为：y＝1/2x﹣3/2x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，﹣2）；(2)∵A(-1,0),B(4,0),抛物线与y轴的交点D的坐标为(0,-2),如图，抛物线的对称轴与x轴的交点为M(3/2,0),∵AD=1+2=5,AB=(4+1) =25,BD=4+2=16+4=20,则AD+BD=AB,由勾股定理的逆定理,知△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,以M为圆心,以MA为半径作圆,则☉M经过点D,则☉M内抛物线上的所有的点都可以是P点,且使∠APB为钝角,根据抛物线及圆的对称性,☉M与抛物线的另一个交点坐标为(3,-2),则满足条件的m的取值范围为:-1<m<0或3<m<4.类型3 四点共圆模型(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆；(2)动点对定线段所张的角为定值.9. 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标________．【解析】当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的∠APB最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作CD⊥y轴，连接CP、CB．∵A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），10. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为_____．【分析】如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．注意点C有两个．【解答】设线段BA的中点为E，∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB＝10，E（﹣1，0）．（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP＝1/2AB＝5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5√2；以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA＝1/2∠BPA＝45°，即则点C即为所求．过点P作PF⊥y轴于点F，则OF＝PE＝5，PF＝1，在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝5√2，由勾股定理得：CF＝7，∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，∴点C坐标为（0，12）；（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）．综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．故答案为：（0，12）或（0，﹣12）．【点评】本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．11. 已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，D是边AB上一中点，将△CAD绕C逆时针向旋α得到△CEF，其点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．DF与AE交于点M；当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为______．【分析】先证明A、D、M、C四点共圆，得到∠CMF＝∠CAD＝45°，即可推出点M在以AC 为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题．【解答】∵CA＝CE，CD＝CF，∴∠CAE＝∠CEA，∠CDF＝∠CFD∵∠ACD＝∠ECF，∴∠ACE＝∠DCF，∵2∠CAE+∠ACE＝180°，2∠CDF+∠DCF＝180°，∴∠CAE＝∠CDF，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF＝∠CAD＝45°，∴∠CMD＝180°﹣∠CMF＝135°．（补充：不用四点共圆的方法：由△OAC∽△ODM，推出△AOD∽△COM，推出∠OCM＝∠OAD，即可证明∠CMF＝∠CDM+∠DCM＝∠CAO+∠OAD＝∠CAD＝45°）∵O是AC中点，连接OD、CM．∵AD＝DB，CA＝CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题．三、总结提升圆是我们初中阶段学习的唯一一个曲线图形，除了它本身的基本性质和计算常被考察到以外，还可以用作辅助线。
初中数学竞赛专题选讲 辅助圆(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.22）辅助圆一、内容提要1.经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以作一个圆，并且只能作一个圆.2.经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定理：①到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义).②一组对角互补的四边形顶点在同一圆上.③一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆.④同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.推论：同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径).3.画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有：①同弧所对的圆周角相等.②圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.③圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系.④圆中成比例线段定理：相交弦定理，切割线定理.4.证明型如ab+cd=m2常用切割线定理二、例题例1.已知：点O是△ABC的外心，BE，CD是高.求证：AO⊥DE证明：延长AO交△ABC的外接圆于F，连接BF.∵O是△ABC的外心∴AF是△ABC外接圆的直径，∠ABF=Rt∠.∵BE，CD是高，∠BDC=∠CEB=Rt∠.∴B，C，E，D四点共圆(同斜边的直角三角形顶点共圆)∴∠ADE=∠ECB=∠F.∴∠AGD=∠ABF=Rt∠，即AO⊥DE.例2.正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内的一点，且∠OPB=45 ，PA ∶PB=5∶14，则PB=____cm. 解：∵∠OPB=∠OAB=45∴ABOP 四点共圆(同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆) ∴∠APB=∠AOB=Rt ∠.在Rt △APB 中，设PA 为5x ，则PB 是14x. ∴(5x)2+(14x)2=1989. 解得x=3, 14x.＝42. ∴PB=42 (cm).例3.已知：平行四边形ABCD 中，CE ⊥AB 于E ，AF ⊥BC 于F. 求证：AB ×AE+CB ×CF=AC 2. 证明：作BG ⊥AC 交AC 于G. ∵CE ⊥AB ， AF ⊥BC.∴A ，F ，B ，G 和B ，E ，C ，G 分别共圆. (对角互补的四边形顶点共圆)根据切割线定理，得 AB ×AE=AG ×AC CB ×CF=CG ×AC∴AB ×AE+CB ×CF=AC(AG+CG)=AC 2.例4.已知：AD 是Rt △ABC 斜边的高，角平分线BE 交AD 于F. 求证：AE 2=AB 2－BE ×BF.分析：根据同角的余角相等，可证AE=AF. 由射影定理AB 2=BD ×BC.故只要证AE ×AF ＝BD ×BC －BE ×BF 创造应用切割线定理的条件，作△ABC 的 外接圆并延长BE 交圆于G ，得 F 、D 、C 、G 四点共圆 . ∴ BD ×BC=BF ×BG .∴右边= BF ×BG .－ BE ×BF=BF(BG －BE)=BF ×EGC从而转为要证AE ×AF= BF ×BG . 即AFEGBF AE 只要证△AEG ∽△BFA ……(证明由同学自已完成)例5已知：从⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA ，PB 切点A 和B ，在AB 上任取一点C ，经过点C 作OC 的垂线交PA 于M ，交PB 于N.求证：OM=ON. 证明：连结OA ，OB .∵A ，B 是切点 ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB. 又∵OC ⊥MN.∴A ，M ，C ，O 和B ，N ，O ，C(辅助圆可以不画)根据同弧所对的圆周角相等，得 ∠OAC=∠OMC ， ∠ONC=∠OBC. ∵OA=OB ， ∴∠OAC=∠OBC. ∴∠OMC=∠ONC ， ∴OM=ON.。
中考培优竞赛专题经典讲义 第21讲 动态圆问题
第20讲动态圆问题圆的动态问题一般都会涉及到相切问题，在某个情境下，相切的情况一般为某个临界情况，即最极端的情况，经常可用来解决范围与最值的问题.【例题讲解】例题1、如图，平面直角坐标系中，OA的圆心在x轴上，半径为1，直线l为y＝2x－2，若⊙A沿x轴向右运动，当⊙A与l有公共点时，点A移动的最大距离是.ylAO x答案：5.例题2、如图，在平面直角坐标系中，直线l:y＝－2x＋b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化，已知⊙M的圆心坐标为（3，2），半径为2，当b＝时，直线l与⊙M相切.y=-2x+byMO x答案：10±25.例题3、如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，－1），半径为l.若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点△E，则ABE面积的最大值是.yBA OxD CE答案：2＋5 . 2B【巩固练习】1、如图，直线 l :y ＝－12x ＋1 与坐标轴交于 AB 两点，点 M （m ，0）是 x 轴上一动点，一点 M 为圆心，2 个单位长度为半径作 OM ，当 OM 与直线 l 相切时，m 的值为.yPAOA BMOBx第1题第2题2、如图，⊙0 的半径为 3cm ， 为⊙0 外一点，OB 交⊙0 于点 A ，AB ＝OA ，动点 P 从点 A 出发，以 πcm /s 的速度在⊙0 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停止，当动点 P 运动的时间为 s 时，BP 与 ⊙0 相切。
3、如图，已知⊙0 是以数轴的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆，∠AOB ＝45°，点 P 在数轴上运动，若 过点 P 且与 0A 平行的直线与⊙0 有公共点，设 OP ＝x ，则 x 的取值范围是 .ACADOP BAOB PO 1O 2DBC第3题P第4题第5题4、如图，AB 为⊙0 的直径，C 为⊙0 上的一动点（不与 A 、B 重合），过点 C 作弦 CD ⊥AB ，∠OCD 的 平分线交⊙O 于 P ，则当 C 在⊙0 上运动时，下列说法正确的是（ ）A .点 P 的位置始终随点 C 的运动而变化B .点 P 的位置无法确定C .PA ＝OAD .OP ⊥AB5、如图，⊙O 1 的半径为 1，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 2 为正方形 ABCD 的中心，0102 垂直 AB 与 P 点，0102＝8.若将⊙01 绕点 P 按顺时针方向旋转 360°，在旋转过程中，⊙01 与正方形 ABCD 的边只有一个 公共点的情况一共出现（ ）A .3 次B .5 次C .6 次D .7 次6、如图，△AOB 中，∠0＝90°，AO ＝8cm ，BO ＝6cm ，点 C 从 A 点出发，在边 AO 上以 2cm /s 的速度向 O 点运动，与此同时，点 D 从点 B 出发，在边 BO 上以 1.5cm /s 的速度向 O 点运动，过 OC 的中点 E 作 CD 的垂线 EF ，则当点 C 运动了 s 时，以 C 点为圆心，1.5cm 为半径的圆与直线 EF 相切.ABDFC E O7、如图，已知⊙0的半径为6cm，射线PM经过点0，OP＝10cm，射线PN与⊙0相切于点Q，A，B 两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为ts.（1）求PQ的长；（2）当t为何值时，直线AB与⊙0相切？NQBP AO M8、如图，已知直线l:y＝2x＋3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点。
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十一讲数形结合(含答案)
第二十一讲数形结合趣题引路】你曾听说过蚂蚁回家的故事吗?事情是这样的：图21-1, D是三角形ABC的边AB上一点，其上有一只小蚂蚁，它首先从D点沿平行于BC的方向爬行到AC边上的E点：再从E点沿平行于方向爬到BC 边上的F 点；再从F点沿平行于AC的方向爬行到AB边上的G点……，这样每从一边爬到期一边算爬一次，那么这只蚂蚁是否可经有限次回到原岀发点D?如果可经最少“次回到D点，那么“的值等于多少? 加上什么条件就可以求得蚂蚁回家的总路线的长？B F K C图21-1解析（1）若D是中点，则”=3；（2）若£＞不是AB中点，可证明6次后蚂蚁回到岀发点D,如图21-1；因蚂蚁行疋路线都是与△ ABC 各边平行的，所以AD _AE _BF _BG CH _CK _ AM ・ AD _ AM ・ AD + BD AM +BM即AB _ AB ~BD=~EC=~FC=~GA=~AH=~BK=~BM ' =BD_ =而'；.BD=BM,即M 与D 重合，“=6.当第（1）种情况时，蚂蚁回家的总路线长是AABC齐边和的一半，只要知道△ABC各边长即可求解：当第（2）种情况时，只要知道△ABC各边长和AD、DG或AE、EH等即可求解.请读者计算一下. 点评：数与形是一个不可分割的整体，数体现形的大小，形状，而形又是抽象的数量关系形象化.数形结合能使我们容易把握问题的实质.知识延伸】例求函数y = Jx，+1 + +4的最小值•解析构造如图21-2所示的两个直角三角形，即RtA PAC. RtA PBD,使AC=1, BD=2, PC=x, PD=4-x,求最小值可转化为：在厶上求一点P,使PA+PB最小.取点A关于厶的对称点水，连结AB,则与厶的交点即为所求P点，故PA-iPB的最小值即是线段在中，«B=后+平=5,故函数y的最小值为5.点评：此题若用代数方法来解很麻烦，通过对函数形式观察，发现：VZTT可以看成是以x、1为直角边的三角形的斜边，J（4-x『+4可以看成是以（4-x）, 2为直角边的斜边，此题可归纳为求两个直角()三角形斜边的和的最小值，于是可构造图形来解决.图 21 — 2好题妙解】佳题新题品味例1在直径为的半圆内，划岀一块三角形区域，使三角形的一边为AB,顶点C 在半圆周上，英 他两边分别为6和8.现在建造一个内接于A ABC 的矩形水池DEFN,其中，DE 在上，如图21-3的 设计方案是使AC=8, BC=6.(1) 求A ABC 中AB 边上的髙力：(2) 设DN=x.当x 取何值时，水池的而枳最大？(3) 实际施工时，发现AB上距B 点1.85m 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边 上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避 开大树?故大树位于欲修建的水池边上，应重新设汁方案.Vx=2.4时，DE=5, •••AD=3.2・图 21—3解析(1)运用勾股上理和面积公式可求得A=4.8；h _ r)N NF(2) •:\CNPs\CAB 、••• s =乂 h AB 则S 層=X •吕-(4.8 -x)=总(F - 4.8A ) 故当x=2.4时，最大:(3)当S 饥枷最大，x=2.4时，F 为BC 中点.在RtA FEB 中，EF=2・4, BF=3・由圆的对称性知，满足题设条件的另外设计方案是将最大而积的水池建在使AC=6, BC=8,且C点在半圆周上的△ ABC中.点评：本例应用二次函数的性质求解，并综合了相似三角形，圆等几何知识.题目设计新颖，有较强的创新特色.2 x2 +xy + ^- = 25,—+ z2 =9, 试求xy+2yz+3xz 的值.z2 + xz + x2 = 16.图21-4OR=Xf则'LPQR = S、gpR ++ SHOQR ・V 1 vBP_x3x4=-x.x sinl50+5z. +-.z.x-sinl20,xy -F 2yx+3xz = 24>/3 ・点评：此题条件复杂，若想通过代数方法求解，势必十分困难，通过观察，利用余弦泄理构造图形却使问题变得较容易.例3已知方程|x| = ar + l有一负根而没有正根，求实数"的取值范围.解析：如图21-5.方程|.Y|= UX +1的根就是函数V, = |x|和儿=仮+ 1的图象交点的横坐标.方程只有负根而没有正根，就是过点（0, 1）的直线+ l只与直线y = -x（A<0）相交而不与直线y = x（虫0）相交.在同一坐标系中作出= |x|与比=or + l的图象，观察图象知，- -丄< 0, •••“》1・例2正数卫w z满足解析如图21-4,构造直角三角形P0R,由条件可知：'PQR内有一点，使O Q=z, 0P=y图21-5过关检测】A级1.函数——(</>0),无论x取任何实数，函数总有意义的条件是_______________________or + bx + c2.已知边长为“的正方形，内接一个边长为b的正方形，求ilE：h<a<^.3・已知心b、x、y都是正数，且a2+h2=x2 + y2=ax + by = \9求证：a2 + y2 =/r+x2 = 1 ,且肋= 小・1.已知正数心b、c. A、B. C满足：“+A=b+B=c+C=10・求证："・B+b・C+c4<100・2.已知正数心b,且a+b=\,求证：(t/ + 2)2+(Z; + 2)2>^.2第二十一讲数形结合A 级构造方程A>0即得结论3・构造出以1为直径的圆内接四边形ABCDM 图41,使AB=a,AD = 6,fiC=y,DC=x f 由托勒密定理知 ax +6y = AC • BD = 1,而 BD = I ,/. 4C = 1即圆的直径./.四边形4BCD 为矩形•故可得 a«=x,&=y,-/. a 2 4- y 2 =62 +x 3 = 1,且 aZ> = xy.2.提示:如图43,构造点P （ -2, -2〉卫（56）,则不磚式左边是PQ\Q 是线段佔上的点的中点为 C,则可求得PC =悟,由PQNPC 可得结论.L b 2 -4O € >0.2.提示二如图40,由题意可得 x + y = a= y(a 2~b2)。
圆的培优专题
圆的培优专题1——与圆有关的角度计算一运用辅助圆求角度1、如图，△ABC内有一点D，DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20︒，∠DAC＝30︒，则∠BDC＝.2、如图，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，若∠C＝100︒，则∠BAD＝.3、如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20︒，∠BDC＝30︒，则∠BAD＝.第1题第2题第3题解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！4、如图，□ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若∠D＝60︒，则∠AEC＝.5、如图，O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70︒，则∠DAO＋∠DCO＝.6、如图，四边形ABCD中，∠ACB＝∠ADB＝90︒，∠ADC＝25︒，则∠ABC＝.第4题第5题第6题解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD共圆.第10题 第11题 第12题第7题 第8题 第9题二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，则∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ . 9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，则∠ABC ＝ .解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50︒，则∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝2，弦AC ＝3，则∠BOC ＝ . 12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC CD =，∠P ＝30︒，则∠BDC ＝ . （设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题）解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算1、如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，若∠BED＝30︒，⊙O的半径为4，则弦AB的长是.2、如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA＝5，AB＝6，则BC＝.第1题第2题第3题3、如图，⊙O的半径为25，弦AB⊥CD，垂足为P，AB＝8，CD＝6，则OP＝.4、如图，在⊙O内，如果OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60︒，则⊙O的半径为.5、如图，正△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，∠DCA＝15︒，CD＝10，则BC＝.第4题第5题第6题6、如图，⊙O的直径AB＝4，C为AB的中点，E为OB上一点，∠AEC＝60︒，CE的延长线交⊙O于点D，则CD＝7、如图，A地测得台风中心在城正西方向300千米的B处，并以每小时107千米的速度沿北偏东60︒的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.问：A地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求出受影响的时间？圆的培优专题3——圆与全等三角形1、如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6， ACB的平分线交⊙O于D，求CD的长.2、如图，AB是⊙O的直径，C是半圆的中点，M、D分别是CB及AB延长线上一点，且MA＝MD，若CM＝2，求BD的长.3、如图，AB为⊙O的直径，点N是半圆的中点，点C为AN上一点，NC＝3.求BC－AC的值.=，点M为BC上一点，CE⊥AM于E，4、如图，点A、B、C为⊙O上三点，AC BCAE＝5，ME＝3，求BM的长.5、如图，在⊙O中，P为BAC的中点，PD⊥CD，CD交⊙O于A，若AC＝3，AD＝1，求AB的长.6、如图，AB是O的直径，MN是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，AB＝10，MN＝8.求BF－AE的值.圆的培优专题4——圆与勾股定理1、如图，⊙O是△BCN的外接圆，弦AC⊥BC，点N是AB的中点，∠BNC＝60︒，求BNBC的值.2、如图，⊙O的弦AC⊥BD，且AC＝BD，若AD＝22，求⊙O半径.3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为CB延长线上一点，且∠CAD＝45︒，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F.（1）求证：CE＝EF；（2）若DF＝2，EF＝4，求AC.=.4、如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，AC CE（1）求证：AF＝CF；（2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求EF的长5、如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD. （1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝42，ON＝1，求⊙O的半径.圆的培优专题5——圆中两垂直弦的问题1、在⊙O中，弦AB⊥CD于E，求证：∠AOD＋∠BOC＝180︒.2、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若⊙O的半径为R，求证：AC2＋BD2＝4R2. 证：∵AB⊥CD，则∠CAB＋∠ACD＝90︒3、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若点M为AC的中点，求证ME⊥BD.4、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若ON⊥BD于N，求证：ON ＝12 AC.5、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若AC＝BD，ON⊥BD于N，OM⊥AC于M. （1）求证：ME//ON；（2）求证：四边形OMEN为菱形.圆的培优专题6——圆与内角（外角）平分线一圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形1、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB＝90︒.求证：CA＋CB＝2CD.2、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CD 平分∠ACB ，∠ACB ＝120︒，求CA+CBCD 的值.3、如图，过O 、M (1,1)的动圆⊙1O 交y 轴、x 轴于点A 、B ，求OA ＋OB 的值.二 圆中的外角问题往往与线段的差有关4、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CP 平分△ABC 的外角∠ACQ ，∠ACB ＝90︒. 求证：（1）PA PB =；（2）AC －BC 2PC.5、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CP 平分△ABC 的外角∠ACQ ，∠ACB ＝120︒. 求BC －AC PC 的值.6、如图，A (4,0)，B (0,4)，⊙1O 经过A 、B 、O 三点，点 这P 为OA 上动点（异于O 、A ）. 求PB －PA PO的值.圆的培优专题7——与切线有关的角度计算一 切线与一个圆1、如图，AD 切⊙O 于A ，BC 为直径，若∠ACB ＝20︒，则∠CAD ＝ .2、如图，AP 切⊙O 于P ，PB 过圆心，B 在⊙O 上，若∠ABP ＝35︒，则∠APB ＝ .3、如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，C 为ACB 上一点，若∠BCA ＝50︒，则∠APB ＝ .第6题4、如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，C 为AB 上一点， 若∠BCA ＝150︒，则∠APB ＝ .5、如图，点O 是△ABC 的内切圆的的圆心，若 ∠BAC ＝80︒，则∠BOC ＝ .6、如图，PA 切⊙O 于A ，若PA ＝AB ，PD 平分∠APB 交AB 于D ，则∠ADP ＝ . （设元，列方程）二 切线与两个圆7、如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 、AC 分别切小圆于D 、E ，小圆的DE 的度数为110︒， 则大圆的BC 的度数为 .8、如图，⊙O 1和⊙O 2交于A 、B 两点，且点O 1在⊙O 2上，若∠D ＝110︒，则∠C ＝ 9、如图，⊙O 1和⊙O 2外切于D ，AB 过点D ，若∠AO 2D ＝100︒，C 为优弧BD 上任一点， 则∠DCB ＝ .圆的培优专题8——与切线有关的长度计算1、如图，在⊙O 的内接△ACB 中，∠ABC ＝30︒，AC 的延长线与过点D 的切线BD 交于 点D ，若⊙O 的半径为1，BD //OC ，则CD ＝ .2、如图△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，过点A 的切线与OC 的延长线交于D ，∠BAC ＝75︒， CD ＝3，则AD ＝ .∠75︒第5题第7题 第8题 第9题∠ABC ＝45︒，则 CDDB的值为 .4、如图，AB 为⊙O 的直径，弦DC 交AB 于E ，过C 作⊙O 的切线交DB 的延长线于M ， 若AB ＝4，∠ADC ＝45︒，∠M ＝75︒，则CD ＝ .5、如图，等边△ABC 内接于⊙O ，BD 切⊙O 于B ，AD ⊥BD 于D ，AD 交⊙O 于E ，⊙O 的半径为1，则AE ＝ .6、如图，△ABC 中，∠C ＝90︒，BC ＝5，⊙O 与ABC 的三边相切于D 、E 、F ，若⊙O 的 半径为2，则△ABC 的周长为 .7、如图，△ABC 中，∠C ＝90︒，AC ＝12，BC ＝16，点O 在AB 上，⊙O 与BC 相切于D ， 连接AD ，则BD ＝ . （示：过D 作DE ⊥AB ，设CD ＝DE ＝x ，BD ＝10）解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程.圆的培优专题9——圆的切线与垂径定理1、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AE 的中点，CD ⊥BE 于D. （1）判断DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若DC ＝3，⊙O 的半径为5，求DE 的长.第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题第7题2、如图，AB为⊙O的直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F.（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE＝3，⊙O的半径为5，求DF的长.3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于E，DA平分∠BDE. （1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AE＝2，DE＝1，求CD的长.4、如图，AE是⊙O的直径，DF切⊙O于B，AD⊥DF于D，EF⊥DF于F.（1）求证：EF＋AD＝AE；（2）若EF＝1，DF＝4，求四边形ADFE的周长.圆的培优专题10——圆的切线与勾股定理1、如图，已知点A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC＝BC，AC＝12 OB.（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝45︒，OC＝2，求弦CD的长.2、如图，PA、PB切⊙O于A、B，点M在PB上，且OM//AP，MN⊥AP于N.r=，PA＝9，求OM的长.（1）求证：OM＝AN；（2）若⊙O的半径33、如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连接CE交AB于F.（1）求证：DE＝DF；（2）连接AE，若OF＝1，BF＝3，求DE的长.4、如图，正方形ABCO的顶点分别在y轴、x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切于F，已知A(0,8)，求圆心M的坐标.圆的培优专题11——圆的切线与全等三角形1、如图，BD为⊙O的直径，A为BC的中点，AD交BC于E，过D作⊙O的切线，交BC的延长线于F. （1）求证：DF＝EF；（2）若AE＝2，DE＝4，求DB的长.2、如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 的一点，OC ⊥AD ，CF ⊥DB 于F. （1）求证：CF 为⊙O 的切线；（2）若BF ＝1，DB ＝3，求⊙O 的半径.3、如图，以⊙O 的弦AB 为边向圆外作正方形ABCD. （1）求证：OC ＝OD ； （2）过D 作DM 切⊙O 于M ，若AB ＝2，DM ＝22O 的半径.4、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90︒，以BC 为直径的⊙O 交AB 于D. （1）求证：AD ＝BD ；（2）弦CE 交BD 于M ，若3ABCBCM S S=，求BD CE.圆的培优专题12——圆的切线与等腰三角形1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于D，与边AC交于E，过D作DF⊥AC于F.（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若DE＝5，AB＝5，求AE的长.2、如图，在△ABC中，AB＝AC，以边AB为直径作⊙O，交BC于D，过D作DE⊥AE.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OC，若∠CAB＝120︒，求DEOC的值.3、如图，AB ＝AC ，点O 在AB 上，⊙O 过点B ，分别交BC 于D 、AB 于E ，DF AC. （1）证：DF 为⊙O 的切线；（2）若AC 切⊙O 于G ，⊙O 的半径为3，CF ＝1，求AC.4、如图，CD 是⊙O 的弦，A 为CD 的中点，E 为CD 延长线上一点，EG 切⊙O 于G. （1）求证：KG ＝GE ；（2）若AC //EG ，DK CK ＝ 35 ，AK ＝210O 的半径.圆的培优专题13——圆与三角形的内心=，点M为BC上一点，且CM＝AC.1、如图，AB是⊙O的直径，AC CE（1）求证：M为△ABE的内心；（2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求△BEM的面积.2、如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC点M是△ABC的内心. （1）求证：BC2DM；（2）若DM＝52AB＝8，求OM的长.3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是BC的中点，DE AB于E，I是△ABD的内心，DI的延长线交⊙O于N.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝4，CE＝2，求⊙O的半径和IN的长.4、如图，在△ABC中，AB＝AC，I是△ABC的内心，⊙O交AB于E，BE为⊙O的直径. （1）求证：AI与⊙O相切；（2）若BC＝6，AB＝5，求⊙O的半径.圆的培优专题14——圆中动态问题1、如图，点P是等边△ABC外接圆BC上的一个动点，求证PA＝PB＋PC.2、已知弦AD⊥BD，且AB＝2，点C在圆上，CD＝1，直线AD、BC交于点E. （1）如图1，若点E在⊙O外，求∠AEB的度数；（2）如图2，若C、D两点在⊙O上运动，CD的长度不变，点E在⊙O内，求∠AEB的度数.图－1图－23、已知直线l经过⊙O的圆心O，且交⊙O于A、B，点C在⊙O上，且∠AOC＝30︒，点P是直线l上一个动点（与O不重合），直线CP与⊙O交于Q，且QP＝QO.（1）如图1，当点P在线段AO上时，求∠OCP的度数；（2）如图2，当点P在线段OA的延长线上时，求∠OCP的度数；（3）如图3，当点P在线段OB的延长上时，求∠OCP的度数.图－1图－2图－3圆的培优专题15——聚焦圆中无图多解题圆是中考数学考查的一个热点，题型较全，选择、填空、作图、计算与证明经常出现，常与三角形、四边形、相似形、二次函数等知识一起考查。
中考数学备考课件：辅助圆问题 (共19张PPT)
BM C
∴△ABM≌△BCN(SAS)
∴ BAM CBN
∵ ABP CBN 90o ∴ ABP BAM 90o ∴ APB 90o ∴点 P 在以 AB 为直径的圆上
运动,设圆心为 O,连接 OC 交⊙O 于 P,此时 PC 最小 ∵ AB 4 ∴ OP OB 2
A
D
O
N
P B MC
解:∵ AB AC AD 2
E
∴点 B,C,D 在以点 A 为圆心, 半径为 2 的圆上延长 BA 交 D ⊙A 于 E,连接 DE
∵AB∥CD ∴ EBD BDC
A
B
C
∵ DE DE , BC BC ∴ EAD 2EBD ,
BAC 2BDC
∴ EAD BAC
E
A
B
∴ ED BC 1
小值为 BC sin B 3 3
∴DE 长的最小值为
3 2
PC
3 2
3
3
9 2
.
类型二 定点 定长模型 方法与技巧 常见图形中共顶点的多条线段相等,可考虑利用到 定点的距离等于定长推导共圆,再利用圆有关性质 解决问题.
3.如图,在四边形 ABCD 中, AB AC AD 2 , BC 1,AB∥CD.求 BD 的长.
由勾股定理,得 OC OB2 BC2 2 5
∴ PC OC OP 2 5 2
∴PC 长的最小值为 2 5 2 .
2.如图,在 Rt△ ABC 中, ACB 90o , AB 5,
cos
B
4 5
,⊙A
与边
BC
交于点
C,过
A
作
DE∥BC,
交⊙A 于点 D,E,点 F 在 DC 上,连接 EF,过 A 作
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十一讲 数形结合(含答案)
第二十一讲 数形结合趣题引路】你曾听说过蚂蚁回家的故事吗?事情是这样的：图21－1，D 是三角形ABC 的边AB 上一点，其上有一只小蚂蚁，它首先从D 点沿平行于BC 的方向爬行到AC 边上的E 点；再从E 点沿平行于AB 方向爬到BC 边上的F 点；再从F 点沿平行于AC 的方向爬行到AB 边上的G 点……，这样每从一边爬到另一边算爬一次，那么这只蚂蚁是否可经有限次回到原出发点D ? 如果可经最少n 次回到D 点，那么n 的值等于多少?加上什么条件就可以求得蚂蚁回家的总路线的长?AB CDE F GH K (M)图21－1解析（1）若D 是AB 中点，则n ＝3；（2）若D 不是AB 中点，可证明6次后蚂蚁回到出发点D ，如图21－1；因蚂蚁行走路线都是与△ABC 各边平行的，所以AD AE BF BG CH CK AM BD EC FC GA AH BK BM ======，∴AD AM BD BM =．∴AD BD AM BM BD BM ++=．即AB AB BD BM =． ∴BD ＝BM ，即M 与D 重合，n ＝6．当第（1）种情况时，蚂蚁回家的总路线长是△ABC 各边和的一半，只要知道△ABC 各边长即可求解； 当第（2）种情况时，只要知道△ABC 各边长和AD 、DG 或AE 、EH 等即可求解．请读者计算一下． 点评：数与形是一个不可分割的整体，数体现形的大小，形状，而形又是抽象的数量关系形象化．数形结合能使我们容易把握问题的实质．知识延伸】例求函数y =的最小值．解析 构造如图21－2所示的两个直角三角形，即 Rt △P AC ，Rt △PBD ，使AC ＝1， BD ＝2，PC ＝x ，PD ＝4-x ，求最小值可转化为：在L 上求一点P ，使P A ＋PB 最小．取点A 关于L 的对称点A'，连结A'B ，则A'B 与L 的交点即为所求P 点，故P A ＋PB 的最小值即是线段A'B 在Rt △A'EB中，A'B ＝5，故函数y 的最小值为5．点评x 、1为直4-x ），2为直角边的斜边，此题可归纳为求两个直角三角形斜边的和的最小值，于是可构造图形来解决．A'PLABCD E图21－2好题妙解】佳题新题品味例1 在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆周上，其他两边分别为6和8．现在建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN ，其中，DE 在AB 上，如图21－3的设计方案是使AC ＝8，BC ＝6．（1）求△ABC 中AB 边上的高h ；（2）设DN ＝x ，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大?（3）实际施工时，发现AB 上距B 点1.85m 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上? 如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树?NFE D CBA图21－3解析（1）运用勾股定理和面积公式可求得h ＝4.8；（2）∵△CNP ∽△CAB ，∴h DN NF h AB -=．∴()104.84.8x NF -=． 则()()210104.8 4.84.8 4.8DEFN S x x x x -=⋅⋅-=-．故当x ＝2.4时，DEFN S 最大； （3）当DEFN S 最大，x ＝2.4时，F 为BC 中点．在Rt △FEB 中，EF ＝2.4，BF ＝3．∴ 1.8EB ===．∵BM ＝1.85，∴BM >EB ．故大树位于欲修建的水池边上，应重新设计方案．∵x ＝2.4时，DE ＝5，∴AD ＝3.2．由圆的对称性知，满足题设条件的另外设计方案是将最大面积的水池建在使AC ＝6，BC ＝8，且C 点在半圆周上的△ABC 中．点评：本例应用二次函数的性质求解，并综合了相似三角形，圆等几何知识．题目设计新颖，有较强的创新特色．例2 正数x ，y ，z 满足22222225,39,316.y x xy y z z xz x ⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪++=⎪⎩试求xy ＋2yz ＋3xz 的值．R Q图21－4解析 如图21－4，构造一直角三角形PQR ，由条件可知：△PQR 内有一点，使OQ ＝z ，OP，OR ＝x ，则PQR OPR OPQ OQR S S S S =++△△△△．即111134=+sin12022223xz z x ⨯⨯⨯⋅+⋅⋅⋅，∴+ ∴xy ＋2yx ＋3xz ＝点评：此题条件复杂，若想通过代数方法求解，势必十分困难，通过观察，利用余弦定理构造图形却使问题变得较容易．例3 已知方程1x ax =+有一负根而没有正根，求实数a 的取值范围．解析：如图21－5，方程1x ax =+的根就是函数1y x =和21y ax =+的图象交点的横坐标．方程只有负根而没有正根，就是过点（0，1）的直线11y x =+只与直线()0y x x =-≤相交而不与直线()0y x x =≥相交．在同一坐标系中作出1y x =与21y ax =+的图象，观察图象知，110a-≤-<，∴1a ≥．图21－5过关检测】A 级1．函数()210y a ax bx c =>++，无论x 取任何实数，函数总有意义的条件是________．2．已知边长为a 的正方形，内接一个边长为b 的正方形，求证：b a <．3．已知a 、b 、x 、y 都是正数，且22221a b x y ax by +=+=+=，求证：22221a y b x +=+=，且ab ＝xy ．B 级1．已知正数a 、b 、c 、A 、B 、C 满足：a ＋A ＝b ＋B ＝c ＋C ＝10．求证：a·B ＋b·C ＋c·A <100．2．已知正数a 、b ，且a ＋b ＝1，求证：()()2225222a b +++≥．。
【九年级数学几何培优竞赛专题】专题1 巧构圆,妙解题【含答案】
第一章 圆专题1巧构圆，妙解题知识解读在处理平面几何中的许多问题时，常常需要借助圆的性质，问题才能解决.而有时候我们需要的圆并不存在，这就需要我们能利用已知的条件，借助图形的特点把实际存在的圆找出来，从而运用圆中的性质来解决问题，往往有事半功倍的效果，使问题获得巧解或简解，这是我们解题必须要掌握的技巧. 作辅助圆的常用依据有以下几种：①圆的定义：若几个点到某个固定点的距离相等，则这几个点在同一个圆上； ②有公共斜边的两个直角三角形的顶点在同一个圆上；③对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上，简记为：对角互补，四点共圆；④若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，则这两个三角形有公共的外接圆，简记为：同旁张等角，四点共圆.培优学案典例示范例1将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转(0120)αα<<得到线段AD ，连接CD . (1)连接BD .①如图1-1-1①，若α=80°，则∠BDC 的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC 的大小是否改变？若不变，求出∠BDC 的度数；若改变，请说明理由；(2)如图1-1-1②，以AB 为斜边作Rt △ABE ，使得∠B =∠ACD ，连接CE ，DE .若∠CED =90°，求α的值.图1-1-1②①EDCBADBA【提示】(1)①∠BDC =∠ADC -∠ADB ，利用“等边对等角及三角形内角和为180°”可求出∠BDC 为30°； ②由题意知，AB =AC =AD ，则点B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，利用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可快速求出∠BDC 仍然为30°；(2)过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM ，证明“点A ，C ，D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上”.跟踪训练如图1-1-2，菱形ABCD 中，∠B =60°，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上.若∠EAF =60°，求证：△AEF 是等边三角形.角相等”获证.图1-1-2BFEDC A例2 (1)如图1-1-3①，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的任意一点，∠AEF =90°，且EF 交正方形外角平分线CF 于点F .求证：AE =EF ；(2)若把(1)中的条件“点E 是BC 边上的任意一点”，改为“点E 是BC 边延长线上的一点”，其余条件不变，如图1-1-3②，那么结论AE =EF 是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.①②图1-1-3A B E CFDFDCEBA【提示】连接AC ，AF ，显然∠ACF =∠AEF =90°，所以A ，E ，C ，F 四点在以AF 为直径的圆上. (1)如图1-1-4①，当点E 在BC 边上，则∠AFE =∠ACE =45°，于是△AEF 是等腰直角三角形，AE =EF 获证；(2)如图1-1-4②，当点E 在BC 边的延长线上，则∠F AE =∠FCE =45°，于是△AEF 是等腰直角三角形，AE=EF 获证.F图1-1-4②①【拓展】本题将“正方形”改为“正三角形”，“∠AEF =90°”相应改为“∠AEF =60°”，仍然可以运用构造“辅助圆”的思路.还可进一步拓展为“正n 边形”，360180AEF =-∠，仍然可延续这种思路，读者可自己完成.跟踪训练已知，将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF )如图1-1-5①摆放，点E ，A ，D ，B 在一条直线上，且D 是AB的中点.将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角(090)αα<<，在旋转过程中，直线DE ，AC 相交于点M ，直线DF ，BC 相交于点N ，分别过点M ，N 作直线AB 的垂线，垂足为G ，H . (1)如图1-1-5②，当α=30°时，求证：AG =DH ； (2)如图1-1-5③，当α=60°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； (3)当090α<<时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图1-1-5④说明理由.③④图1-1-5②①HGEAF D C (N )BFE DCBA【提示】本题除了常规解法外，还可考虑构造“辅助圆”.例3 已知，在△ABC 中，AB =AC ，过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ，直线a 交BC 边于点P (点P 不与点B ，点C 重合)，△BMN 的边MN 始终在直线a 上(点M 在点N 的上方)，且BM =BN ，连接CN . (1)当∠BAC =∠MBN =90°时.①如图1-1-6①，当θ=45时，∠ANC 的度数为 ； ②如图1-1-6②，当45θ≠时，①中的结论是否发生变化？说明理由；(2)如图1-1-6③，当∠BAC =∠MBN ≠90°时，请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系，不必证明.③②C【提示】由于在旋转过程中不变的关系是：∠BAC =∠MBN ，AB =AC ，BM =BN ，易知∠ABC =∠ACB =∠BMN =∠BNM .由∠ACB =∠BNM 可知A ，B ，N ，C 四个点在同一个圆上(如图1-1-7)，则∠ANC =∠ABC =1902BAC -∠，这样思考，所有问题都会迎刃而解.跟踪训练在△ABC 中，BA =BC ，∠BAC =α，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段P A 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ . (1)若α=60°且点P 与点M 重合(如图1-1-8①)，线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；(2)在图1-1-8②中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置(不与点B ，M 重合)时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ =QD ，请直接写出α的范围.①图1-1-8②DP BACMQQM (P )CB A例4如图1-1-9，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB＝30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．图1-1-9【提示】（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB＝30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．跟踪训练已知，如图1-1-10①，，∠MON＝60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB＝43，在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP＝BP，∠APB＝120°．（1）求AP的长；（2）求证：点P在∠MON的平分线上．（3）如图1-1-10②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，P A的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．图1-1-10例5已知，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b＝2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC＝90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC＝90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．、① ②③图1-1-11【提示】本题除了建立方程模型，将问题转化为方程是否有解的判断外，还可以通过构造辅助圆，将问题转化为直线与圆的位置关系来讨论．跟踪训练1.如图1-1-12，直线y＝﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC1m ．图1-1-12【提示】（1）①由直线y=-x+3写出OA=3，OB=3；由等腰直角三角形的边长关系，可得AB2；由PC⊥y轴，可得QC=1，BC=2；由对称知A'B=AB2，OA'=0A=3，然后用勾股定理求出A'C的长，也就可以求出△A'BC的周长；（2）②如果选用上一题的思路求∠BMC的正弦值，会陷入计算的麻烦，这里采用转化的思想，找到外接圆的半径，另外还应分类讨论。
数学培优竞赛新方法-第21讲 辅助圆
第21讲辅助圆知识纵横在处理平面几何中许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决。
而我们需要的圆并不存在（有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要的圆），这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有：1、利用圆的定义添补辅助线；2、作三角形的外接圆；3、运用四点共圆的判定方法：（1）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆。
（2）同底同侧张等角的三角形，个顶点共圆。
（3）若四边形ABCD 的对角线相交于P，且PD PB PC P A ∙=∙，则它的四个顶点共圆。
（4）若四边形ABCD 的一组对边AB、CD 的延长线相交于P，且PD PC PB P A ∙=∙,则它的四个顶点共圆。
例题求解【例1】如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD,E 是CB 的中点，AE=EC 。
6626,3+=∠=∠BD DBC BAC 则AB=。
【例2】如图，若PA=PB，AC ACB APB ,2∠=∠与PB 交于点D ，且,3,4==PD PB 则=∙DC AD ().A.6 B.7 C.12 D.16【例3】如图，在ABC ∆中，AC AB =，任意延长AC 到P ，再延长AB 到Q ，使BQ AP =，求证：ABC ∆的外心O 与A 、P 、Q 四点共圆。
【例4】如图，,,BC CD BC AB ⊥⊥垂足分别为B、C。
（1）4=AB 1=DC ，4=BC 时，在线段BC 上是否存在点P ,使PD AP ⊥？若存在，求线段BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）设a AB =,b DC =,c AD =，那么当a 、b 、c 之间满足什么关系时，在直线BC 上存在点P ，使PD AP ⊥?。
旋转与圆【例5】如图，已知正方形OABC 在直角坐标系xoy 中，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点O 在坐标原点。
等腰直角三角板OEF 的直角顶点O 在原点，E 、F 分别在OA 、OC 上，且4=OA ，2=OE 。
初中数学竞赛精品标准教程及练习66辅助圆
初中数学竞赛精品标准教程及练习66辅助圆辅助圆是数学竞赛中一个重要的几何概念，在初中数学竞赛中也有相应的考察。
辅助圆是指在解决一个几何问题时，引入一个与原图形相关的圆，通过利用圆的性质来简化问题或推导出解决问题的关键步骤。
在这篇文章中，我们将介绍一些常见的辅助圆构造和应用，并通过练习题来帮助读者更好地理解和应用辅助圆的方法。
一、辅助圆的定义和性质辅助圆有以下几个关键性质：1.辅助圆的圆心和半径与原图形的一些关键元素有关；2.通过辅助圆，我们可以推导出一些关键的几何关系；3.辅助圆一般是在原图形的内部或外部构造的。
二、辅助圆的常见构造和应用1.内切圆和外接圆辅助圆中最常见的是内切圆和外接圆的构造。
当我们在几何问题中遇到一个三角形时，我们可以构造三角形的内切圆和外接圆来帮助我们解决问题。
内切圆是指与三角形的三边都相切的圆，其圆心与三角形内心重合，半径为内切圆半径。
我们可以利用内切圆的性质来简化问题，比如求三角形的面积、周长和角度等。
外接圆是指与三角形的三个顶点都在同一圆上的圆，其圆心为三角形的外心，半径为外接圆半径。
通过外接圆的性质，我们可以简化问题，比如求三角形的面积、周长和角度等。
2.相切圆和割圆除了内切圆和外接圆，我们还可以构造其他的辅助圆来解决问题。
相切圆是指与图形的其中一边或一些点相切的圆，通过相切圆的性质，我们可以求出一些关键的几何关系。
割圆是指与图形相交于一点，并且与图形的一些边相切的圆，通过割圆的构造和性质，我们可以推导出一些几何关系。
3.切线圆和中位线圆除了上述常见的辅助圆外，还有一些其他类型的辅助圆。
切线圆是指与图形的一些边相切的圆，并且与图形的其他边都有公共点。
中位线圆是指与图形的一条中位线相切的圆，通过中位线圆的构造，我们可以得到一些关键的几何关系。
三、辅助圆的练习题1.【例题】在三角形ABC中，角BAC=60°，O为三角形的内心。
设OC与AB的交点为D，求证：BD=AB-BD。
巧作辅助圆解决问题PPT.docx
三、张角的度数为非90°的定值
例3如图5，已知半圆O的直径AB＝8，C为弧AB的中 点，P为弧BC上一动点，连接AP、CP，过点C作 CD⊥CP交AP于点D，则当点P从点B运动到点C时， 点D的运动路径长为 .
点评:张角的度数为非90°定值的问题有一定难度，而且 题型多样，涉及证明、计算、探究、画图等各种类型。
解决动态几何问题，应把握运动变化的全过程，动中觅 静，寻求其中的不变量、不变关系或特殊关系，从而发 现动点的运动路径或点与点、线与线、角与角之间的内 在联系，最终解决问题，本文所谈的构造辅助圆问题， 虽然不全是动态几何问题，但都要抓住动点到定点的距 离不变这一不变量，或几个点到同一个点的距离相等这 一特殊关系，或张角为直角或张角度数为非90°的定值 这一不变关系，以及同一线段所对的张角相等这一不变 关系，发现动点的运动路径为一个圆或一个圆弧，通过 构造辅助圆来解决问题。
例2如图3，在等腰R△ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，BC=22，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点
A、22-2 B、5-2
C、5-1
D、3-1
二、张角为直角
点评:本题中90°张角的顶点在动，但它所在 直角三角形的斜边不动，我们只要抓住“张角 为直角”这一特征，构造辅助圆，问题便能迎 刃而解。
在近几年中考试卷中，常出现这样一类
题目，从表面上看是一个三角形或四边形问 题，用三角形或四边形的知识来解决非常困 难，甚至根本无法解决，但我们可以从已知 条件中发现蛛丝马迹，也就是发现图形中的 隐含特征，从而通过构造辅助圆，借助圆的 知识来解决问题这样的问题一般具有以下特 征:
一、到定点的距离等于定长
ห้องสมุดไป่ตู้
点评:随着直线DE位置的变化，点M的位置也 在变化，但它一定在以点D为圆心，DA的长
初中数学辅助圆模型(含答案)
在中考数学中，有一类高频考题，明明图形中并未出现圆，但是可以用圆的相关知识来解决问题，这样的圆可以称为辅助圆，常见的模型有以下几种：
模型一
定点定长作圆型模型二
点圆最值模型三
线圆最值模型四
直径对直径模型五
定弦对定角（非90°)
模型六四点共圆昌辅助圆在解题中的应用
模型一定点定长作圆型mm 团曰平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上（如图CD).--------•• 恤、,/、、I \ A
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推广：如图＠，点E为定点，点F为线段BD上的动点（不与点B重合），将bi.BEF'l-廿EF折叠得到bi.B'EF,则点B的运动轨迹为以E为圆心，线段BE为半径的半圆弧．
巨辅助圆在解题中的应用
ffi]压]��I.如图，已知点o,点c,且线段OC=3,点A 、B是平面内的动点，且OA=2,BC=4, 请在平面内画出点A、B的运动轨迹．
解：如解图，点A的运动轨迹为00,点B的运动轨迹为0C.
B \11111/ 、/、，、，/ C
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中考复习策略梳理——巧构“辅助圆” 最全辅助圆解题技巧!
中考复习策略梳理——巧构“辅助圆”，最全辅助圆解题技巧!
新课程改革以来，课标对“圆”这部分的要求大大降低了，但是很多题目往往都具有“圆”的问题背景，初中数学有些问题看似与圆无关，但如果我们根据题目中的已知条件构造辅助圆，往往能起到化隐为显，化难为易，化繁为简的解题效果，那么何时构造合适的“辅助圆”，使得解题举重若轻，柳暗花明呢？
图中无圆，心中有圆，用“圆”完美解题
对于平面几何问题，学生常常想到得是构造直线型辅助线来转化条件，从而利用三角形、四边形的知识来解决，辅助线的添加就被局限在直线型，但实际上，曲线形辅助线在一些特定条件下更利于条件的集中，辅助圆是曲线形辅助线的代表，圆会让图形的条件更丰富，更容易指向问题的深层结构。
有些几何问题，从表面上看，似乎与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果！
我们今天来学习构造辅助圆的问题：图中无圆，心中有圆，“圆”来很完美。
辅助圆解题补充：。
(完整word)九年级数学提升之辅助圆问题
九年级数学尖子生辅导提升辅助圆问题考点一：共顶点等线段问题1. 如图1，在直角梯形ABCD 中90,3,4,6DAB ABC AD AB BC ∠=∠=︒===，点E 是线段AB 上一动点，将EBC ∆沿CE 翻折到EB C '∆，连结,B D B A ''.当点E 在AB 上运动时，分别求,,B D B A B D B A ''''+的最小值.2. 在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．⑴ 若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；⑵ 在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ， 猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；3. 已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==，ABO DCO =∠∠．连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点．图1NMOPDCBA图2NM OPDCBA⑴ 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠°，则PMN △的形状是___________，此时ADBC=________； ⑵ 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO △∽△，并计算ADBC的值（用含α的式子表示）；考点二：定边对定角问题1. 已知90AOB ∠=︒，OM 是AOB ∠的平分线．将一个直角RPS 的直角顶点P 在射线OM 上移动，点P 不与点O 重合．如图，当直角RPS 的两边分别与射线OA 、OB 交于点C 、D 时，请判断PC 与PD 的数量关系，并证明你的结论；RBPCAD OG S M321G N SH ODACMPBR2. 如图，正方形ABCD边长为2，点E是正方形ABCD内一动点，90AEB∠=︒，连结DE，求DE的最小值.3. 如图，四边形ABCD是正方形，M是BC上一点，ME AM⊥交BCD∠的外角平分线于E，求证：AM EM=．AB CDEM4.如图, 45XOY∠=︒，一把直角三角形尺ABC的两个顶点,A B分别在,OX OY 上移动，10AB=，求点O到AB距离的最大值.5. 如图，正三角形ABCAD BC，点E是射线AD上一动点(不∆边长为2，射线//与点A重合)，AEC∆外接圆交EB于点F，求AF的最小值.6. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．⑴ 如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；⑵ 将三角板从⑴中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：① ∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；② 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．D考点三：四点共圆问题1. 如图，在四边形ABCD 中，AC 是BAD ∠的平分线，若180B D ∠+∠=︒，求证：BC CD =．2. 如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且AD=31AC ，AE=32AB ，BD ，CE 相交于点F 。
中考数学专题复习《构造辅助圆解题》知识点梳理及典例讲解课件
长的最小值为（ C ）
A. 2 5－3
C. 13－2
B.
5
2
D.
9
5
第2题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 如图，在△ABC中，BE，CD分别是边AC，AB上的高，且BC＝
10DE，BE＝6，则AE的长为（ B ）
A.
3
2
C. 2
∠CBD的度数为
38° .
典例1图
典例2 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，
则BD的长为
.
典例2图
典例3 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是边AD的中点，N是
边AB上的动点，将△AMN沿MN所在的直线折叠，得到△A'MN，连接
A'C，则A'C的长的最小值是
－1
.
典例3图
类型2 利用四点构造辅助圆
模型解读：
1. 如图①②，Rt△ABC和Rt△ABD有公共斜边，则A，B，C，D四点共
圆，即有公共斜边的两个直角三角形，无论直角顶点在斜边的同侧还是
异侧，都可得到四点共圆.
2. 如图③，AB为△ABC和△ABD的公共边，点C，D在AB的同侧，且
∠C＝∠D，则A，B，C，D四点共圆.
于点D，PE⊥AC于点E，连接DE，求DE长的最小值.
解：如图，连接PC，取CP的中点O，连接OE，OD，
过点O作OH⊥DE于点H.∵ △ABC是等边三角形，∴
∠ACB＝∠B＝60°，AB＝BC＝AC＝6.∵ PD⊥BC，
初三辅助圆专题--陆老师
方法归纳
见直角 找斜边（定长）
想直径
定外心 现“圆”形
典型例题
例3 在平面直角坐标系中，已知A(3,0),B(-1,0),点C是y轴上 一动点。当∠BCA=450 时,则点C的坐标为 .
变式1 上题中，当∠BCA=600 时,求点C的坐标.
典型例题
变式2 如图，在边长为 2 3 的等边△ABC中，动点D,E分别在BC, AC边上，且保持AE=CD，连结BE,AD,相交于点P,连结CP.
典型例题
应用：如图，在正方形ABCD中,AB=2,动点E从点
A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运
动，点E,F运动速度相同，当它们到
达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF,BE相
交于点P，则线段DP的最小值为
.
巩固练习
（1）如图，四边形ABCD中， AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，求BD 的长。
辅助圆/隐形圆 识别与使用
编辑：陆老师
1
01 圆相关的 知识点
02 共端点 等线模型
03 直角三角形 共斜边模型
04 典型例题
2
遇到“圆” 你会想到哪些知识点？
1、半径： 2、同弧、等弧： 3、内接四边形：。。。。。。。
“隐圆”题型知识储备
3
思维热身
牢记口诀: 定点定长走圆周，定线定角跑双弧。直角必有外接圆，对角互补也共圆。 破解策咯: 对于一个动点和一个定点之间的最值问题，若动点所在的角为直角，则其运动轨通常为圆。而连接动点所在的圆 的圆心与定点之间的距离加上或减去半径,就可以求出线段的最值。因此在这类题型中，最常做的是辅助圆，找出 这个圆所在的圆心，连接圆心与定点之间的连线，再求出圓心与定点之间的距离，减去或加上半径即可求出最值. “隐圆”问题的两个依据: ①圆上各点到定点(圆心0)的距离相等，都等于定长(半径R); ②到定点的距离等于定长的点都在同一-个圆上. 常考题型与解题方法: . 1.利用隐圆求几何最值; . 2.利用隐求圆变量的取值范围,实际可以转化为求最值,即求出变量的最大值与最小值,再进一步确定变量取值范围; 3.利用隐圆求弧长，角度等,针对有些平面几何问题，用常规方法求解难度极大，但若能够针对题目的本质特征,恰 当地画出隐藏的園,巧妙运用圆的有关知识找到解题捷径,往往可以化难为易,化繁为简则 始终有AB所对的∠C=90
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第21讲 辅助圆
知识纵横
在处理平面几何中许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解
决。
而我们需要的圆并不存在（有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设
涉及圆，但是此圆并不是我们需要的圆），这就需要我们利用已知条
件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法
有：
1、 利用圆的定义添补辅助线；
2、 作三角形的外接圆；
3、 运用四点共圆的判定方法：
（1） 若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆。
（2） 同底同侧张等角的三角形，个顶点共圆。
（3） 若四边形的对角线相交于P，且，则它的四个顶点共圆。
（4） 若四边形的一组对边AB、CD的延长线相交于P，且,则它的四个顶
点共圆。
例题求解
【例1】如图，四边形中 ，AB=AC=AD,E是CB的中点，AE=EC。
则AB= 。
（鄂州市中考题）
思路点拨 有共同端点且相等，可用圆的定义画出图中隐藏的圆，从
而可推导、为特殊角。
【例2】如图，若PA=PB，与交于点，且则( ).
A.6
B.7
C.12
D.16
（“TI”杯全国初中数学竞赛题）
思路点拨 作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应
用创设了条件。
【例3】如图，在中，，任意延长到，再延长到，使，求证：的外心
与、、四点共圆。
思路点拨 先作出的外心，连接、，将问题转化为证明角相等。
【例4】如图，垂足分别为B、C。
（1） ，时，在线段上是否存在点,使？若存在，求线段的长；若不存
在，请说明理由；
（2） 设,,，那么当、、之间满足什么关系时，在直线上存在点，使?
（南京市中考题）
思路点拨 对于（2），点P在以AD为直径的上，又点P在BC上，表明
与BC相交或相切。
旋转与圆
【例5】如图，已知正方形在直角坐标系中，点、分别在轴、轴的正半
轴上，点在坐标原点。
等腰直角三角板的直角顶点在原点，、分别在、上，且，。
将三角板绕O点逆时针旋转至的位置，连接、。
（1） 求证：;
（2） 若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得?
若存在，请求出此时E点的坐标；若不存在，请说明理由。
（潍坊市中考题）
【例6】如图，是外一点，PA切于，是的割线，于。
求证：.
（四川省联赛题）
分析 因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定与相似证明。
，
B、C、O、D共圆，这样连接OB，就得到多对相似三角形，以此达到证明
的目的。
学力训练
基础夯实
1、如图，已知矩形和矩形全等，点、、在同一条直线上，的顶点在线段上移动，使为直角的点的个数是 个。
（陕西省中考题）
第1题 第2题 第3题2、 如图，和的半径分别为1和2，连接，交于点P，=5.若将绕点P按顺时针方向旋转,则和共相切 次。
（鄂尔多斯中考题）3、 如图，已知，且，则是的 倍。
4、 如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米。
如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿方向以73千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）。
A.12秒 B.16秒 C.20秒 D.24秒
（2011年武汉市中考题）
5、 如图，矩形中，，,点是折线段上的一个动点（点与点不重合），点是点关于的对称点。
在点E运动的过程中，使为等腰三角形的点的位置共有（ ）。
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
（济南市中考题）
6、 如图，在中，弦于E点，弦于F，连接，与相交于点，则下列结论：
①弧弧;②;③;④。
其中正确的结论的个数有（ ）。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7、 如图，已知中，，，,是边上的动点（与点、不重合），是边上的动点（与点、不重合）。
（1） 当，且为的中点时，求线段的长；
（2） 当与不平行时，可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段的长的取值范围；若不可能，请说明理由。
（广州市中考题）
8、 如图，已知中，是高，是角平分线，且，。
求证：（1）；（2）。
（陕西省竞赛题）
能力拓展
9、 如图，正方形的中心，面积为1989，为正方形内一点，且,则的长
为 。
（北京市竞赛题）
10、 如图，在中，边上有100个不同的点、、...，记，则 。
11、 如图，在四边形中，，若，则 ； 。
（第20届江苏省竞赛题）
12、 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，点在的延长线上，且连接交半圆于点，过作交的延长线于点，则 .
（第19届江苏省竞赛题）
13、 如图，已知在凸五边形中，且求证：
（全国初中数学联赛题）
14、 如图，是外一点，和是的切线，、为切点，与交于点，过任作的弦。
求证：。
综合创新
15、 如图，、分别是的角平分线、高线，是的中点，的外接圆与交于点，证明：
（2011年四川省竞赛题）
16、 如图，在中，分别在边、上取点、，使得试确定的度数。
（北京市竞赛题）。