陈纪修《数学分析》配套题库【课后习题】(数列极限)
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第2章 数列极限【圣才出品】
“非常小的量”。根据数列极限的定义，可直接得到 小量。
2．数列极限的性质 （1）极限的惟一性
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是无穷
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收敛数列的极限必惟一。
（2）数列的有界性
收敛数列必有界。
注：此定理逆命题并不成立，即有界数列未必收敛，例如，{（－1）n}是有界数列，
（1）定义
，则{xnyn}与 都是无穷大量。
如∞±∞，（+∞）-（+∞），（+∞）+（-∞），0·∞，
等极限，其结果可以是无穷
小量，或非零极限，或无穷大量，也可以没有极限。我们称这种类型的极限为待定型。
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（2）如果数列{xn}满足 xnxn+1，n=1，2，3，…，则称{xn}为单调增加数列；若进一
。 ≤zn,，n>N，且
，则
。
3．数列极限的四则运算
设
，
（1）
（2）
（3）
，则 （α，β 是常数）；
； 。
三、无穷大量 1．无穷大量
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数学分析 第二版 上下册 课后答案 陈纪修
(3) f (x) = sin2 x + cos2 x , g(x) = 1。
解 （1）函数 f 和 g 不等同；
5
（2）函数 f 和 g 不等同；
（3）函数 f 和 g 等同。
7. (1) 设 f (x + 3) = 2x3 − 3x2 + 5x − 1,求 f (x) ；
(2)
设
f
⎜⎛ ⎝
x
x −
证（1）设T 是一个无限集，先取 a1 ∈T 。由于T 是无限集，必存在 a2 ∈T ， a2 ≠ a1 。再由T 是无限集，必存在 a3 ∈ T ， a3 ≠ a1 ， a3 ≠ a2 。这样的过
程可以无限进行下去，于是得到可列集 S = {a1, a2 , , an , }， S ⊂ T 。 （2）设 A = {a1, a2 , , an , }， B = {b1,b2 , ,bn , }，则 A ∪ B 可表示为
克／厘米３(图1.2.9)，上层煤油液体高度为5厘米，中层水液体高度
为4厘米，下层汞液体高度为2厘米，试求压强 P 与液体深度 x 之间
的函数关系。
⎧78.4x
x ∈[0,5]
解 P(x) = ⎪⎨98x − 98
x ∈(5,9] 。
⎪⎩1332.8x −11211.2 x ∈ (9,11]
13. 试求定义在[ 0, 1 ] 上的函数，它是[ 0, 1 ] 与[ 0, 1 ] 之间的一一对应，
国家精品课程 《数学分析》陈纪修
2006年国家精品课程 《数学分析》陈纪修 教材：《数学分析》（上、下册，第二版）陈纪修，於崇华，金路编著，高等教育出版社出版---------------------------------------------------------------------------数学分析录象目录第一章 集合与映射第一章 第一节 集合（1）（2）（3）第一章 第二节 映射与函数（1）（2）（3）第二章 数列极限第二章 第一节 实数系的连续性（1）（2）第二章 第二节 数列极限（1）（2）（3）（4）第二章 第三节 无穷大量（1）（2）第二章 第四节 收敛准则（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）第三章 函数极限与连续函数第三章 第一节 函数极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）第三章 第二节 连续函数（1）（2）（3）（4）（5）第三章 第三节 无穷小量与无穷大量的阶（1）（2）（3）第三章 第四节 闭区间上的连续函数（1）（2）（3）第四章 微分第四章 第一节 微分和导数（1）第四章 第二节 导数的意义和性质（1）（2）第四章 第三节 导数四则运算和反函数求导法则（1）（2）第四章 第四节 复合函数求导法则及其应用（1）（2）（3）第四章 第五节 高阶导数和高阶微分（1）（2）（3）第五章 微分中值定理及其应用第五章 第一节 微分中值定理（1）（2）（3）（4）第五章 第二节 L’Hospital 法则（1）（2）第五章 第三节 Taylor 公式和插值多项式（1）（2）（3）第五章 第四节 函数的Taylor 公式及其应用（1）（2）（3）第五章 第五节 应用举例（1）（2）（3）第五章 第六节 方程的近似求解（1）第六章 不定积分第六章 第一节 不定积分的概念和运算法则（1）第六章 第二节 换元积分法和分部积分法（1）（2）（3）（4）第六章 第三节 有理函数的不定积分及其应用（1）（2）（3）（4）第七章 定积分第七章 第一节 定积分的概念和可积条件（1）（2）（3）（4）（5）第七章 第二节 定积分的基本性质（1）（2）第七章 第三节 微积分基本定理（1）（2）（3）（4）第七章 第四节 定积分在几何计算中的应用（1）（2）（3）（4）（5）第七章 第五节 微积分实际应用举例（1）（2）第七章 第六节 定积分的数值计算（1）第八章 反常积分第八章 第一节 反常积分的概念和计算（1）（2）第八章 第二节 反常积分的收敛判别法（1）（2）（3）第九章 数项级数第九章 第一节 数项级数的收敛性（1）（2）第九章 第二节 上极限与下极限（1）（2）第九章 第三节 正项级数（1）
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--11章
课
后 答
案
网
ww
充分性：用反证法。假设x不是点集S的聚点，则在x的某邻域 最多只有S的有限个点， 所以 S ∩ O ( x , δ ) − {x} 为有限集， O (x , δ ), δ > 0 中， 于是 d = inf{| y − x | y ∈ S, y ≠ x} > 0 ，故不存在S中满足xk ≠ x的点列{xk}
（1）S = ⎨(−1) k
⎧
解 (1) S' = {± 1} 。 (2) S' = ∅ 。
以x为极限，产生矛盾。 7. 设 U 是 R 2 上的开集，是否 U 的每个点都是它的聚点。对于 R 2 中 的闭集又如何呢？ 解 开集 U 中的每个点 x 一定是它的内点，所以 x 的任意邻域都有 U 中的无限个点，所以 x 一定是 U 的聚点。 由于 S = {(0, 0)} 是 R 2 上的闭集，而 S 只有一个点，所以无聚点， 即闭集中的点不一定是它的聚点。 8. 证明 S ⊂ R n 的所有内点组成的点集 S 必是开集。 证 假 设 x ∈ S ， 则 ∃δ > 0 ， O ( x , δ ) ⊂ S 。 而 ∀y ∈ O ( x , δ ) ， 由 于
i =1
n
∑ ai 2 +
i =1
n
∑b
i =1
n
2
i
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--15章
aw .
co m
Khdaw团队一直秉承用心为大家服务的宗旨，以关注学生的学习生活为出发点，
第十五章
习
1+α
含参变量积分
含参变量的常义积分
题
15.1
1． 求下列极限： （1） lim ∫0
α →0
n→∞
（2） lim ∫0
1
dx ； 1+ x2 + α 2 dx
n
x⎞ ⎛ 1 + ⎜1 + ⎟ ⎝ n⎠
n →∞
f (ξ , y K ) − φ (ξ ) <
ww
成立
w. kh d
。
2
ε0
网
( f ( xn , y K ) − φ ( xn ) ) − ( f (ξ , y K ) − φ (ξ )) <
aw .
2 注意 lim y n = y 0 ，取足够大的 K 使得 −δ < yK − y0 < 0 ，从而
δ 2 = min ⎨ , y0 − y1 ⎬ ， ∃y2 ∈ ( y0 − δ 2 , y0 ) ， ∃x2 ∈ [a, b] ， f ( x2 , y2 ) − φ ( x2 ) ≥ ε 0 ；
⎧1 ⎩2
由此得到两列数列 {xn }, {y n } 。由于 {xn }, {y n } 有界，由 Bolzano, y n }，为叙述方便，仍记这两个 Weierstrass 定理，存在收敛子列 {xn }{
陈纪修《数学分析》(第2版)配套模拟试题及详解
陈纪修《数学分析》（第2版）配套模拟试题及详解
一、判断题（3分×4＝12分）
1．两个周期函数的和一定是周期函数．（）
【答案】×
【解析】可举反例如：
令F（x）＝f（x）＋g（x），则f（x）周期为2π，g（x）周期为有理数．
可以证明F（x）不是周期函数，用反证法，设F（x）有周期T（>0）．
若T=r为有理数，则
F（0）＝1，而，故F（0）≠F（0＋r），矛盾．若T为无理数．则由可得再由也得矛盾．
2．若函数f（x，y）在点（x，Y0）处的方向导数存在，则函数在该点一定可微．（）【答案】×
3．收敛．（）
【答案】√
【解析】因为
由柯西判别法的极限形式可知瑕积分收敛．
4．拉格朗日中值定理的“中值”是指f（x）在[a，b]上的函数值的平均值．（）【答案】×
二、填空题（3分×4＝12分）
1．由方程所确定的隐函数，在点
处的全微分______．
【答案】
2．向量函数，f在一点a连续的充要条件是：f的每个分量函数
______连续。
【答案】都在点a
3．若则，f（z）=＿＿＿＿．
【答案】
4．若是某二元函数的全微分，则m= ．【答案】1
三、选择题（7×3分＝21分）
1．若是xOy平面上方的抛物线且，则曲面积分的物理意义为（）．
A．表示面密度为1的曲面的质量
B．表示面密度为1的曲面对z轴的转动惯量
C．表示面密度为的曲面对z轴的转动惯量
D．表示体密度为1的流体过曲面指定侧的流量
【答案】B
2．若f（x）在x0的某邻域内有三阶导数，且导数连续，则（）．A．f（x）在x0没有极值
B．当f'''（x0）≠0时，f（x）在x0取到极值
复旦大学数学系陈纪修数学分析(第二版)习题答案ex2-3,4
求极限 lim n→∞
⎡12 n⎢
⎣
+
32
+
52
+"+ n3
(2n
+ 1)2
−
4 3
⎤ ⎥ ⎦
。
解（1） lim 12 + 32 + 52 + " + (2n + 1)2 = lim (2n + 1)2 = 4 。
n→∞
n3
n→∞ n3 − (n − 1)3 3
21
（2）lim n→∞
n⎢⎡12 ⎣
an
=
a
，证明
lim
n→∞
( an
+
λan−1
+
λ2an−2 +"+λna0 ) =
a 1− λ
。
证
记k
=
λ−1 ，则 an
+
λan−1
+"+
λn a0
=
k nan
+
k n−1an−1 kn
+"+
a0
，利用
Stolz
定理，
lim
n→∞
(
a
n
+
λan−1
+
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--9章
1
4 n +3 4n+4 ⎤ ⎡ ⎛ 1 ⎞ 4n+2 478 ⎛1⎞ ⎛1⎞ 。 7 + 3 + 6 ⎥ = 30 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∑⎢ ⎜ ⎟ 4095 8 8 8 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n =0 ⎣ ⎢ ⎥ ⎦ ∞
∞
4. 设 xn = ∫0 x 2 (1 − x) n dx ，求级数 ∑ x n 的和。
∞
案
网
（9） ∑ q e
n
k ikθ
1 − qe iθ = 1 − qe iθ
( )
n +1
，由 | q |< 1 ，得到
n
= lim
∑ q k e ikθ n→∞
k =0
课
利用 Euler 公式 e iθ = cosθ + i sin θ ，对上式两边取实部，得到
n =0
∑ q n cos nθ
∞
n→∞ n→∞
3. 证明： (1) lim ( x n + y n ) ≥ lim x n + lim y n ；
n→∞ n→∞ n→∞
(2) 若 lim x n 存在，则
n →∞
lim ( x n + y n )= lim x n + lim y n 。
n→∞
(数学分析习题答案)第二章
第二章 数列极限
P.27 习题
2．按N -ε定义证明：
（1）1
1lim
=+∞→n n
n
证明 因为 n n n n 11111
<+=-+，所以0>∀ε，取ε1=
N ，N n >∀，必有ε<<-+n n n 111. 故1
1lim =+∞→n n n
（2）
23
123lim 22=-+∞→n n n n 证明 因为 n n n n n n n n n n n n n 3
2525)1(232)12(232231232
22222<=<-++<-+=--+ )1(>n ，于是0>∀ε，取}3,1max{ε=N ，N n >∀，有 ε<<--+n n n n 3231232
2. 所以
23123lim 22=-+∞→n n n n
（3）0!lim =∞→n n n n
证明 因为
n n n n n n n n n n n n n n n
n 11211)1(!0!≤⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-==- ，于是0>∀ε，取ε1
=
N ，N n >∀，必有ε<≤-n n n n
10!. 所以0!lim =∞→n n n n
（4）
sin
lim =∞
→n
n π
证明 因为
n n
n
π
π
π
≤
=-s in
0s in
，于是0>∀ε，取
επ
=
N ，N n >∀，必有
ε
π
π
<≤
-n
n
0s in
. 所以
sin
lim =∞
→n
n π
（5）)1(0lim
>=∞→a a n
n
n
证明 因为1>a ，设)0(1>+=h h a ，于是
陈纪修《数学分析》配套题库【课后习题】(函数极限与连续函数)
……
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对亍
成立
……
亍是得到数列
收敛亍 但相应的函数值数列
丌可能是无穷大量，
由此产生矛盾，所以
成立．
12．证明
的充分必要条件是：对亍仸意正无穷大量 成立
证 明 ：（ 1 ） 必 要 性 ： 由
可知
因为数列 是正无穷大量，对亍上述
当 时，成立
（a 1，k 为仸意正整数）；
（k 为仸意正整数）．
解：（1）首先有
由
，即得到
（2）令 到
，则
且当
时，有
再利用（1）的结论，即得
5．讨论单侧极限： 在 x=0，1，2 三点；
在 x=0 点； （3）Dirichlet 函数
解：（1）
（ 3 ） 设 x0 为 仸 意 一 点 ． 取 有 理 数 点 列
，则
即
有
．取
，则当
时，有
，从而
这就说明了
（2）当
时，丌一定成立
．可举反例，如
则
但极限
丌存在．
10．写出下述命题的“否定命题”的分析表述： 是无穷小量；
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是正无穷大量；
复旦大学数学系陈纪修《数学分析》(第二版)习题答案ex2-1,2
第二章 数列极限
习 题 2.1 实数系的连续性
1. (1) 证明6不是有理数；
(2) 3+2是不是有理数?
证（1）反证法。若6是有理数，
则可写成既约分数n
m
=6。由，可知是偶数，设，于是有，从而得到是偶数，这与
226n m =m k m 2=2223k n =n n
m
是既约分数矛盾。 （2）3+2不是有理数。若3+2是有理数，则可写成既约分数
32+n m
=，于是222623n
m =++，252622−=n m ，即6是有理数，与
（1）的结论矛盾。
2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： ； A x x =≥{|}0 ⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧<
<=320|sin πx x B ； ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<∈=+m n n m m n C 并且N ,。
解 ；因为，有0min =A A x ∈∀A x ∈+1，x x >+1，所以不存在。
A max 12sin max ==π
B ；因为B x ∈∀，⎦⎤
⎜⎝⎛∈∃2,0πα，使得αsin =x ，于是有B ∈2
sin
α
，x <2
sin
α
，所以B min 不存在。
C max 与都不存在，因为C min C m n ∈∀
，有C m n ∈+1，C m n ∈++1
1， 1
1
1++<
<+m n m n m n ，所以与都不存在。 C max C min 3. A B ,是两个有界集，证明： (1) 是有界集；
A B ∪(2) 也是有界集。
S x y x A y B =+∈∈{|,}证 （1）设A x ∈∀，有1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则B A x ∪∈∀，有
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--10章
第十章 函数项级数
习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性
1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。
⑴ S n (x ) = , (i) x nx −e ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑵ S n (x ) = x , x nx −e ∈),0(+∞；
⑶ S n (x ) = sin n
x , (i)
x ∈),(+∞−∞， (ii) x ∈],[A A −()； 0>A ⑷ S n (x ) = arctan nx , (i)
x ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑸ S n (x ) =
221
n
x +
, x ∈),(+∞−∞； ⑹ S n (x ) = nx (1 - x )n , x ∈]1,0[；
⑺ S n (x ) =n x ln n x
, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈)；
),1(+∞ ⑻ S n (x ) = n
n
x x +1, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈；
),1(+∞ ⑼ S n (x ) = (sin x )n , x ∈],0[π；
⑽ S n (x ) = (sin x )n
1, (i) x ∈[0,]π， (ii) x ∈],[（0>δ）；
δπδ− ⑾ S n (x ) = n
n x ⎟⎠
⎞⎜⎝⎛+1, (i) x ∈),0(+∞， (ii)
x ∈],0(A ()； 0>A ⑿ S n (x ) = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛−+x n x n 1
, (i) x ∈),0(+∞, (ii)[)0,,>+∞∈δδx 。 解 （1）(i) ，
数学分析原理答案
数学分析原理答案
【篇一：数学分析教材和参考书】
：
《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编
高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月
参考书：
（1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，
邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月（2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著
科学出版社（1964）
（3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研
室译，人民教育出版社（1954）
（4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译
高等教育出版社（1958）
（5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译
高等教育出版社（1979）
（6）《数学分析》，陈传璋等编
高等教育出版社（1978）
（7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编，上海科学技术出版社（1983）
（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编，
高等教育出版社（1991）
（9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编，
北京大学出版社（1990）
（10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编
高等教育出版社（1999）
（11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社（2002）
（12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编，
江苏教育出版社（1998）
（13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编，
北京大学出版社（2003）
（14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编，
高等教育出版社（1993）
复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,asf播放格式，国家级精
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--11章
课
后 答
案
再证唯一性。假设 y ∈ ∩ Sk ，则 x − y ≤ diam Sk → 0 （ k → ∞ ） ，所以
k =1
网
k =1
k =1
∞
xk +1 − xk = lim 解 xk = ∑ 1 ∈ R ，则 lim k →∞ k →∞
i =1
k
i
{xk}不收敛。 13. 设 E, F ⊂ R n 为紧集，证明 E ∩ F 和 E ∪ F 为紧集。 证 因为 E, F ⊂ R n 为紧集， 所以 E, F 为有界闭集， 于是可知 E ∩ F 和 E ∪ F 也都是有界闭集，即紧集。
a显然有而且于是当时成立由于是任意正数所以成立等式于是当时成立邻域中任取一点x为有限集于是inf中的每个点x一定是它的内点所以x的任意邻域都有u中的无限个点所以x一定是u只有一个点所以无聚点即闭集中的点不一定是它的聚点
第十一章 Euclid 空间上的极限和连续
习题 11.1 Euclid 空间上的基本定理
i =1
n
∑ ai 2 +
i =1
n
∑b
i =1
n
2
i
。
令 ai = xi − yi , bi = yi − zi ，则有
| x − z |=
∑ ( xi − zi )2 =
i =1
陈纪修《数学分析》(第2版)(上册)课后习题(第1~4章)【圣才出品】
（3）｛x|0＜x＜1 且 x∈Q｝|．
（4）
．
5．证明下列集合等式： （1） （2）
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证明：（1）设
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，则 x∈A，且或 x∈B，或 x∈D．于是或有
，
或有
，即可得
，故
设 x∈D，即可得
，则或
，或
．于是 x∈A，且或 x∈B，或
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陈纪修《数学分析》（第 2 版）（上册）课后习题
Байду номын сангаас
第 1 章 集合与映射
§1 集 合
1．证明由 n 个元素组成的集合 证明：由 k 个元素组成的子集的个数可列式为
有 个子集．
2．证明：
（1）任意无限集必包含一个可列子集；
故
．
8．设 解：
，求
6 / 96
的函数表达式． ；
；
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．
9．证明：定义于（－∞，＋∞）上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数
之和．
证明：根据题意，
是偶函数，
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第2章数列极限
§1 实数系的连续性
1．（1）证明不是有理数；
（2）是不是有理数？
证明：（1）可用反证法若是有理数，则可写成既约分数．由可知m是偶数，设，于是有，从而得到n是偶数，这与是既约分数矛盾．（2）不是有理数．若是有理数，则可写成既约分数，于是
，即是有理数，这与（1）的结论矛盾．2．求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：
解：min A＝0；因为，有，所以max A不存在．；因为，使得，于是有
，所以min B不存在．
max C与min C都不存在，因为，所以max C与min C都不存在．
3．A，B是两个有界集，证明：
（1）A∪B是有界集；
（2）也是有界集．
证明：（1）设，有，有，则，有
．
（2）设，有，有，则，有
．
4．设数集S有上界，则数集有下界．且．
证明：设数集S的上确界为sup S，则对，有-x≤sup S，即；同时对，存在，使得，于是．所以-sup S为集合T的下确界，即．
5．证明有界数集的上、下确界惟一．
证明：设sup S既等于A，又等于B，且A 6．对任何非空数集S，必有．当时，数集S有什么特点？ 解：对于，有，所以．当时，数集S 是由一个实数构成的集合． 7．证明非空有下界的数集必有下确界． 证：参考定理2.1.1的证明．具体过程略． 8．设并且，证明： （1）S没有最大数与最小数； （2）S在Q内没有上确界与下确界． 证：（1）．取有理数r>0充分小，使得，于是．即，所以S没有最大数．同理可证S没有最小数． （2）反证法．设S在Q内有上确界，记（m，n∈N+且m，n互质），则显然有．由于有理数平方不能等于3，所以只有两种可能： （i），由（1）可知存在充分小的有理数r>0，使得，这 说明，与矛盾； （ii），取有理数r>0充分小，使得，于是 ，这说明也是S的上界，与矛盾．所以S没有上确界． 同理可证S没有下确界． §2 数列极限 1．按定义证明下列数列是无穷小量： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）； （7）（8）． 证明：（1），取，当n>N时，成立 ． （2），取，当时，成立 ． （3），取，当时，成立； 取，当时，成立，则当时，成立． （4），取，当n>N时，成立 ． （5）当n>11时，有．于是，取，当n>N时，成立． （6）当n>5，有．于是，取，当n>N时，成立． （7），取，当n>N时，成立 （8）首先有不等式，取，当n>N时，成立． 2．按定义证明下述极限： 证明：（1），取，当时，成立 （2），取，当时，成立 （3），取，当n>N时，成立 （4）令，则．当n>3时，有 所以，取，当时，成立 ． （5），取，当n>N时，若n是偶数，则成立；若z是奇数，则成立． 3．举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的： （1）对任意给定的，存在正整数N，使当n>N时，成立； （2）对任意给定的，存在无穷多个，使． 解：（1）例如，则满足条件，但不是无穷小量． （2）例如则满足条件，但不是无穷小量． 4．设k是一正整数，证明：的充分必要条件是． 证明：设，则，成立，于是也成立，所以； 设，则，成立，取，则，成立，所以． 5．设，证明：． 证明：由可知，成立 ，成立．于是 ，成立． 6．设．且，证明：． 证明：首先有不等式．由，可知，成立，于是． 7．是无穷小量，是有界数列，证明也是无穷小量． 证明：设对一切．因为是无穷小量，所以，，成立．于是，成立，所以也是无穷小量．