陈纪修《数学分析》配套题库【课后习题】(数列极限)

第2章数列极限
§1 实数系的连续性
1．（1）证明不是有理数；
（2）是不是有理数？
证明：（1）可用反证法若是有理数，则可写成既约分数．由可知m是偶数，设，于是有，从而得到n是偶数，这与是既约分数矛盾．（2）不是有理数．若是有理数，则可写成既约分数，于是
，即是有理数，这与（1）的结论矛盾．2．求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：
解：min A＝0；因为，有，所以max A不存在．；因为，使得，于是有
，所以min B不存在．
max C与min C都不存在，因为，所以max C与min C都不存在．
3．A，B是两个有界集，证明：
（1）A∪B是有界集；
（2）也是有界集．
证明：（1）设，有，有，则，有
．
（2）设，有，有，则，有
．
4．设数集S有上界，则数集有下界．且．
证明：设数集S的上确界为sup S，则对，有-x≤sup S，即；同时对，存在，使得，于是．所以-sup S为集合T的下确界，即．
5．证明有界数集的上、下确界惟一．
证明：设sup S既等于A，又等于B，且A<B．取，因为B为集合S的上确界，所以，使得，这与A为集合S的上确界矛盾，所以A＝B，即有界数集的上确界惟一．同理可证有界数集的下确界惟一．
6．对任何非空数集S，必有．当时，数集S有什么特点？
解：对于，有，所以．当时，数集S 是由一个实数构成的集合．
7．证明非空有下界的数集必有下确界．
证：参考定理2.1.1的证明．具体过程略．
8．设并且，证明：
（1）S没有最大数与最小数；
（2）S在Q内没有上确界与下确界．
证：（1）．取有理数r>0充分小，使得，于是．即，所以S没有最大数．同理可证S没有最小数．
（2）反证法．设S在Q内有上确界，记（m，n∈N+且m，n互质），则显然有．由于有理数平方不能等于3，所以只有两种可能：
（i），由（1）可知存在充分小的有理数r>0，使得，这
说明，与矛盾；
（ii），取有理数r>0充分小，使得，于是
，这说明也是S的上界，与矛盾．所以S没有上确界．
同理可证S没有下确界．
§2 数列极限
1．按定义证明下列数列是无穷小量：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）（8）．
证明：（1），取，当n>N时，成立
．
（2），取，当时，成立
．
（3），取，当时，成立；
取，当时，成立，则当时，成立．
（4），取，当n>N时，成立
．
（5）当n>11时，有．于是，取，当n>N时，成立．
（6）当n>5，有．于是，取，当n>N时，成立．
（7），取，当n>N时，成立
（8）首先有不等式，取，当n>N时，成立．
2．按定义证明下述极限：
证明：（1），取，当时，成立
（2），取，当时，成立
（3），取，当n>N时，成立
（4）令，则．当n>3时，有
所以，取，当时，成立
．
（5），取，当n>N时，若n是偶数，则成立；若z是奇数，则成立．
3．举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的：
（1）对任意给定的，存在正整数N，使当n>N时，成立；
（2）对任意给定的，存在无穷多个，使．
解：（1）例如，则满足条件，但不是无穷小量．
（2）例如则满足条件，但不是无穷小量．
4．设k是一正整数，证明：的充分必要条件是．
证明：设，则，成立，于是也成立，所以；
设，则，成立，取，则，成立，所以．
5．设，证明：．
证明：由可知，成立
，成立．于是
，成立．
6．设．且，证明：．
证明：首先有不等式．由，可知，成立，于是．
7．是无穷小量，是有界数列，证明也是无穷小量．
证明：设对一切．因为是无穷小量，所以，，成立．于是，成立，所以也是无穷小量．。