2_组合计数 刘汝佳 黑书课件
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动态规划(二) 刘汝佳 黑书 课件 经典
定理
定理 定理(F.Yao): 若w满足四边形不等式, 则d也 满足四边形形不等式, 即 d[i,j]+d[i',j']<=d[i',j]+d[i,j'], i<=i'<=j<=j' 证明: 对长度i=j'-i归纳, 显然l<=1时正确. i=i' 或j=j'时(同一行或同一列), 等式显然成立
– 情形 i'=j, 退化为反三角不等式 情形1: – 情形 i'<j 情形2:
情形1. 反三角不等式
i'=j时, d[i,j]+d[i',j']<=d[i',j]+d[i,j']退化为 d[i,j]+d[j,j']<=d[i,j'] 设k为让d[i,j']取最小值的决策(有多个时取最 大的一个k, 后同). 若k<=j, 则k是计算d[i,j]考虑过的合法决策 合法决策 d[i,j]<=w[i,j]+d[i,k-1]+d[k,j] 两边加上d[j,j'], 得 d[i,j]+d[j,j']<=w[i,j]+d[i,k-1]+d[k,j]+d[j,j']
决策单调性
进一步地, d的凸性可以推出决策的单调性 设k[i,j]为让d[I,j]取最小值的决策, 下面证明 k[i,j]<=k[i,j+1]<=k[i+1,j+1], i<=j 即: k在同行同列上都是递增的 证明: i=j时显然成立. 由对称性, 只需证明 k[i,j]<=k[i,j+1]. 记dk[I,j]=d[I,k-1]+d[k,j]+w[I,j], 则只需要证明对于所有的i<k<=k'<=j, 有 dk'[i,j]<=dk[i,j] dk'[i,j+1]<=dk[i,j+1]
1.2.2组合(4)
1. 排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合中常 见的问题有：选派问题、抽样问题、图形问题、集合 问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的 定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步.
2. 理解组合数的性质
3. 解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分 类）和间接法（排除法）.
小 结:
1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.
（1）有序与无序的区别 （2）同是从n个元素中取m个元素，但是组合 一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序.
2.理解组合数的的定义与公式
m （1） Cn m An n(n 1)(n 2)(n m 1) m Am m!
n! （2）C m !(n m)!
m n
例11. 证明下列等式 ：
3、组合数公式:
我们规定：Cn0 1.
m n! An n(n 1)(n 2)(n m 1) m m Cn Cn m Am m! m !(n m)!
1C 4、组合数性质:（） n C n (2)C n 1 C n C n
m m m
nm
m 1
例1.计算与求值
5050 _______
=511
C C C
例2.
1 2 3 n 1 1 求证： 1 2! 3! 4! n! n! 证明：因为 n! (n 1)! (n 1) (n 1)!
1 1 (n 1) (n 1)! n! n!
1 1 1 1 1 1 1 左边= 1 2! 2! 3! 3! 4! (n 1)! n!
课堂练习：
10. 某电视台邀请了6位同学的父母共12人，请这12位 家长中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰 有一对是夫妻，那么不同选择方法的种数是( C ) (A)60 (B)120 (C)240 (D)270
2. 理解组合数的性质
3. 解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分 类）和间接法（排除法）.
小 结:
1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.
（1）有序与无序的区别 （2）同是从n个元素中取m个元素，但是组合 一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序.
2.理解组合数的的定义与公式
m （1） Cn m An n(n 1)(n 2)(n m 1) m Am m!
n! （2）C m !(n m)!
m n
例11. 证明下列等式 ：
3、组合数公式:
我们规定：Cn0 1.
m n! An n(n 1)(n 2)(n m 1) m m Cn Cn m Am m! m !(n m)!
1C 4、组合数性质:（） n C n (2)C n 1 C n C n
m m m
nm
m 1
例1.计算与求值
5050 _______
=511
C C C
例2.
1 2 3 n 1 1 求证： 1 2! 3! 4! n! n! 证明：因为 n! (n 1)! (n 1) (n 1)!
1 1 (n 1) (n 1)! n! n!
1 1 1 1 1 1 1 左边= 1 2! 2! 3! 3! 4! (n 1)! n!
课堂练习：
10. 某电视台邀请了6位同学的父母共12人，请这12位 家长中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰 有一对是夫妻，那么不同选择方法的种数是( C ) (A)60 (B)120 (C)240 (D)270
高中数学第一章计数原理1.2.2组合与组合数公式2课件新人教A版选修2_3
解析答案
(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少
种不同的取法.
解 (间接法)如图，从 10 个点中取 4 个点的取法有 C410种，
除去4点共面的取法种数可以得到结果.
从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面.
有 4C46 ＝60(种)，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面 情况，
第一章 §1.2 排列与组合
1.2.2 组 合(二)
学习目标
1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题. 2.能解决有限制条件的组合问题.
题型探究
达标检测
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 简单的组合应用题 例1 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛， 在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； 解 第一步：选 3 名男运动员，有 C36种选法； 第二步：选 2 名女运动员，有 C24种选法，故共有 C36·C24＝120(种)选法.
解析答案
类型二 与几何有关的组合应用题 例2 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线.以这些 点为顶点，可构成多少个不同的三角形？
反思与感悟 解析答案
跟踪训练2 (1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点， 使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？ 解 (直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上， 除点A外都有5个点， 从中取出 3 点必与点 A 共面共有 3C35种取法； 含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种 取法. 根据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有 3C35 ＋3＝33(种).
解析答案
(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少
种不同的取法.
解 (间接法)如图，从 10 个点中取 4 个点的取法有 C410种，
除去4点共面的取法种数可以得到结果.
从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面.
有 4C46 ＝60(种)，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面 情况，
第一章 §1.2 排列与组合
1.2.2 组 合(二)
学习目标
1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题. 2.能解决有限制条件的组合问题.
题型探究
达标检测
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 简单的组合应用题 例1 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛， 在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； 解 第一步：选 3 名男运动员，有 C36种选法； 第二步：选 2 名女运动员，有 C24种选法，故共有 C36·C24＝120(种)选法.
解析答案
类型二 与几何有关的组合应用题 例2 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线.以这些 点为顶点，可构成多少个不同的三角形？
反思与感悟 解析答案
跟踪训练2 (1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点， 使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？ 解 (直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上， 除点A外都有5个点， 从中取出 3 点必与点 A 共面共有 3C35种取法； 含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种 取法. 根据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有 3C35 ＋3＝33(种).
解析答案
高中数学第一章计数原理1.2.2组合与组合数公式课件新人教A版选修 (2)
C62
×
C24
=
65 21
×
43 21
=90(种),
解答简单的组合问题的思路是什么?
((1)弄清楚做的这件事是什么; (2)分析这件事是否需分类或分步完成; (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果)
变式训练 3 1:某车间有 11 名工人,其中有 5 名钳工,4 名车工, 另外 2 名既能当车工又能当钳工,现要在这 11 名工人中选派 4 名钳工,4 名车工修理一台机床,有多少种选派方法? 解:称既能当车工又能当钳工的 2 人为“多面手”. 第 1 类:选派的 4 名钳工中无“多面手”, 此时有选派方法 C54 · C64 =75(种); 第 2 类:选派的 4 名钳工中有 1 名“多面手”.此时有选派方法 C12 · C35 · C54 =100(种); 第 3 类:选派的 4 名钳工中有 2 名“多面手”,此时有选派方法 C22 · C52 · C44 =10(种); 由分类加法计数原理,不同的选派方法共有 75+100+10=185(种).
解:(1)因为集合 A 的任一含 3 个元素的子集与元素顺序无 关,故它是组合问题. (2)因为一种火车票与起点、终点顺序有关.如:甲→乙和 乙→甲的车票不同,故它是排列问题. (3)从 7 本不同的书中,取出 5 本给某个同学,在每种取法 中取出的 5 本并不考虑书的顺序,故它是组合问题. (4)因为一种分工方法就是从 5 种不同的工作中,每次取出 3 种,按一定顺序分给 3 人去干,故它是排列问题. (5)因为 3 本书是相同的,把 3 本书无论分给哪三人不需考 虑顺序,故它是组合问题. 所以组合问题有(1),(3),(5).排列问题有(2),(4).
计数原理
1.2.2 组合与组合数公式
高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修2_3
的两位数的方法．
A．①③
B．②④
C．①②
D．①②④
C [①②取出元素与顺序无关，③④取出元素与顺序有关．]
2．若C2n＝28，则n＝( A．9 C．7
) B．8 D．6
B [C2n＝n×n2－1＝28，解得n＝8.]
3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相 等，则车票票价的种数是________．
思考2：如何理解组合与组合数这两个概念？
[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样， “组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个 不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具 体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素 a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫 一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.
1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借 助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直 观地写出组合做到不重复不遗漏．
2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐 步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交 换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层 及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．
[解] (1)原式＝140××39××28××17－73× ×62× ×51·(3×2×1)＝210－210＝0.
n≥5－n， n＋1≥9－n， (2)由9－n≥0， 5－n≥0， n∈N*，
得n＝4或5.
当n＝4时，原式＝C14＋C55＝5， 当n＝5时，原式＝C05＋C46＝16.
2020学年高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2.1组合与组合数公式课件新人教A版选修2_3
◎典题试解
不等式 C2n－n<5 的解集为________． 解析 由 C2n－n<5，得n（n2－1）－n<5，∴n2－3n
－10<0.解得－2<n<5.由题设条件知 n≥2，且 n∈N*，∴ n＝2，3，4.故原不等式的解集为{2，3，4}．
答案 {2，3，4}
公 阶乘
n！
式 式 Cnm＝_m__！__（__n_－__m__）__！__
性质 Cnm＝__C_nn_－_m_，Cmn＋1＝C__nm_＋__C_nm_－_1__
备注 ①n，m∈N*，且 m≤n；②规定：C0n＝1
核心要点探究
知识点一 组合的定义
探究1：通过下列问题的探究，明确排列与组合的关 系：
现从中抽取4件检查． (1)都不是次品的取法有多少种？ (2)至少有1件次品的取法有多少种？ (3)不都是次品的取法有多少种？
【自主解答】 (1)都不是次品的取法有 C490种． (2)解法一 至少有 1 件次品的取法有 C110C390＋C210C290 ＋C310C190＋C410种． 解法二 至少有 1 件次品的取法有 C4100－C490种． (3)解法一 不都是次品的取法有 C490＋C110C390＋C210 C290＋C310C190种． 解法二 不都是次品的取法有 C4100－C410种．
②由33nn≥ ≤3n8＋－2n1， ，得129≤n≤221，所以 n＝10.
n∈N*，
n∈N*，
所
以原
式
＝
C 2380 ＋
C
30 31
＝
C
2 30
＋
C
1 31
＝
30×29 2×1
＋
31
2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 第2课时 组合(二)优质课件 新人教A
• 『规律总结』 要注意从不同类型的几何问题 合问题，寻找一个组合的模型加以处理．
• 处理几何中的计数问题时要抓住“对应关系” 三点对应一个三角形，不共面四点可以确定一 ．可借助于图形思考问题，要善于利用几何的 特征解题．避免重复或遗漏．
• 〔跟踪练习3〕 • 空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个
解法二(间接法)：从 8 位家长中选出 4 位家长有 C48种选法， 仅来自于 2 个家庭不符合条件，其选法有 C24种，所以满足题意的 64(种)．
• 『规律总结』 常见的限制条件及解题方法
• (1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素， 特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．
• (2)含有“至多、至少”等限制语句：要分清限 包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间
[解析] (1)即从 7 名学生中选出三名代表，共有选法 C37＝3 (2)至少有一名女生的不同选法共有 C13C24＋C23C14＋C33＝31 种 种． (3)男、女生都要有的不同的选法共有 C37－C34－C33＝30 种， 30 种．
• 『规律总结』 解简单的组合应用题时，要先 是组合问题，若取出的元素只是组成一组，与 是组合问题；若取出的元素排成一列，与顺序 列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才 数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计 用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．
词“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用两 解决．
[解析] (1)从余下的 34 名学生中选取 2 名，有 C234＝561(种 ∴不同的选法有 561 种． (2)从 34 名可选学生中选取 3 名，有 C334种． 或者 C335－C234＝C334＝5984 种． ∴不同的选法有 5984 种． (3)从 20 名男生中选取 1 名，从 15 名女生中选取 2 名，有 C ∴不同的选法有 2100 种．
2_组合计数
结论 两个循环合并成一个 结论:
分析
情况二: a和b属于同一个循环
– 设为(a,a1,a2,…ai,b,b1,b2,…,bm), 乘以(a,b)后变 为(a,a1,a2,…,ai)(b,b1,b2,…,bm) – 可以这样理解: 乘以(a,b)是自身的逆操作
结论 一个循环拆为了两个 结论:
分析
彩票
大街上到处在卖彩票，一元钱一张。购买 撕开它上面的锡箔，你会看到一个漂亮的 图案。图案有n种，如果你收集到所有n种 彩票，就可以得大奖。请问，在平均情况 下，需要买多少张彩票才能得到大奖呢？
分析
已经有k个图案, s=k/n, 拿到一个新的需要
– 1次的概率: 1-s – 2次的概率: s*(1-s) – t次的概率: st-1*(1-s)
传球游戏
n个人围成一圈, 每个人编号为1~n. 有n个球, 编号也为1~n. 一开始每人手里拿一个球 基本操作为对传, 即a手里的球和b手里的球 交换. 每个时间单位, 一个人可以不做任何 动作, 或者与另外一人对传 目标: 每个人拿到和自己编号相同的球 问题1: 至少需要多少次对传? 问题2: 至少需要多少时间?
循环
n阶循环
a1 (a1a 2 L a n ) = a 2 a2 a3 L L a n 1 an an a1
每个置换都可以写若干互不相交的循环 的乘积， 例如
1 3 2 5 3 1 4 4 5 2 = ( 13 )( 25 )( 4 )
表示是唯一的. 置换的循环节数是上述表 示中循环的个数, 上例的循环节数是3
分析
由于每次递归不是减1，就是减pi，因此任 意时刻P函数的参数都是x减去整数个1和整 数个pi 由于递推边界都是不大于4的非负实数，令 让r(i)表示满足x-i-j*pi≤4的j的最小值，则有 r(i)=[(x-i-4)/pi]，且任意一个递推边界都可 以表示成P(x-i-r(i)*pi)
高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合(二)课件新人教B版选修2_3
第一章——
1.2.2 组合(二)
[学习目标] 1.理解组合的两个性质，并能解决简单组合数问题. 2.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[知识链接] 1.满足什么条件的两个组合是相同的组合？ 答 如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如 何，就是相同的组合，否则就是两个不相同的组合(即使只 有一个元素不同).
组合数，用符号 Cmn 表示.其公式为
Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
n！ ＝ m！n－m！
(n，m∈N＋，m≤n).特别地 C0n＝Cnn＝1.
2.组合数性质 (1)Cmn ＝Cnn－m. (2)Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
3.组合应用题的解法 (1)无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、 转化；三、求值；四、作答. (2)有限制条件的组合应用题的解法 常用解法有：直接法、间接法.可将条件视为特殊元素或特殊 位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同 一位置选取的元素个数的多少分类.
③“1、1、4 型”，有 C46A33＝90 种方法. 所以一共有90＋360＋90＝540种方法.
规律方法 “分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须 除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分 配，也可以分组后再分配.
2 4
种拿法，问题转化
为：“4个球，2个盒子，每盒必放球，有几种放法？”，
1.2.2 组合(二)
[学习目标] 1.理解组合的两个性质，并能解决简单组合数问题. 2.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[知识链接] 1.满足什么条件的两个组合是相同的组合？ 答 如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如 何，就是相同的组合，否则就是两个不相同的组合(即使只 有一个元素不同).
组合数，用符号 Cmn 表示.其公式为
Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
n！ ＝ m！n－m！
(n，m∈N＋，m≤n).特别地 C0n＝Cnn＝1.
2.组合数性质 (1)Cmn ＝Cnn－m. (2)Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
3.组合应用题的解法 (1)无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、 转化；三、求值；四、作答. (2)有限制条件的组合应用题的解法 常用解法有：直接法、间接法.可将条件视为特殊元素或特殊 位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同 一位置选取的元素个数的多少分类.
③“1、1、4 型”，有 C46A33＝90 种方法. 所以一共有90＋360＋90＝540种方法.
规律方法 “分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须 除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分 配，也可以分组后再分配.
2 4
种拿法，问题转化
为：“4个球，2个盒子，每盒必放球，有几种放法？”，
跃峰奥数PPT6组合计数1-2(要素列之无序到有序)
ai1=a2， …
含有数有点公a2不式的自的m元然方子，法集一—的些—个同利数学用为难要：以素C理列mn1解计1 ，。数这。共里nC介mn1绍1个一种直接推导组合
ai1=an，
含有an的m元子集的个数为：C
m 1 n 1
，
但每个子集含有m个元素，被计对算每m一次个，类所，以再从C mn整体mn 上C mn考11虑。其它要素的取值【1】，它
【题感】这是一个比较简单的组合计数问题，因为题中直接给出了要素 列（a1，a2，···，a9）。
为计数有序数组的个数，可先不考虑顺序，只计算合乎要求的组合数 （拟对象），然后将组合中的元素排序（无序到有序）。
从条件看，属于“全范围型”，没有必要用完所有条件，只需适当选取部 分（i，j，k），找到相应的t，即可得到对a1，a2，···，a9的限定，将计数 转化为简单不定方程的解数讨论■。【】 跃峰奥数PPT经典原创
组合计数（要素列）
计数最基本的思想是，确定计数对象包含哪些变化因 素，我们称之为要素列。
能使计数对象被确定的一些元素称为它的“要素”。 计数对象={要素1，要素2，…，要素r} ■【】 跃峰奥数PPT经典原创
组合计数（要素列）
利用“要素列”计数，通常包括三个步骤：
考虑X={a1，a2，…，an}的m元子集，其m个元素看成m个“要素”【1】；
要素1，要素2， … ， 要素m
A={ ai1， ai2， …， aim }，
固定第一个要素ai1【1】，考察其取值，可分为n类【1】。
ai1=a1，
含有我a1们的知m元道子，集组的合个数数公为式：通C常mn1是1 ，借助排列数公式推导的，过程
【拟对象逼近（无序）】考察满足题给条件（允许有重复元素）的组合{a1，a2， ···，a9}，不妨设a1≤a2≤…≤a9。
高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2第2课时组合的综合应用a23a高二23数学
[解] (1)根据分步乘法计数原理得到：C26C24C22＝90种．
探
究 释
(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C
2 6
C
2 4
C
2 2
种方法，这个过程
疑 难
可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二
课
时
步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A
3 3
种方法．根据分步乘法
分 层
课
作
堂 小 结
层 作
堂
业
小 结
题．(难点)
·
提 素 养
返 首 页
第二页，共三十四页。
·
合 作 探 究
释
疑
难 合作 探究 释疑 难
课 时 分
层
课
作
堂
业
小
结
·
提 素 养
返 首 页
第三页，共三十四页。
·
合 作
组合(zǔhé)数的两个性质
探
究
释
【例1】 计算：(1)C34＋C35＋C36＋…＋C310；
疑
难
(2)(C91800＋C91700)÷A3101.
第二十九页，共三十四页。
·
合
4．高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从
作
探
究 中选出3名同学参加活动．
释
疑
(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？
难
课
时
(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？
分
层
课 堂
(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？
作 业
小
·
高中数学第1章计数原理3组合课件选修23高二选修23数学课件
12/8/2021
第十四页，共三十七页。
②由排列数和组合数公式，原方程可化为 3·（（x－x－7）3）！！·4！＝5·（（xx－－46））！！， 则3（4x！－3）＝x－5 6，即为(x－3)(x－6)＝40. 所以 x2－9x－22＝0， 解之可得 x＝11 或 x＝－2(舍去)． 所以方程的根为 x＝11.
12/8/2021
第二十四页，共三十七页。
3.现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名． (1)现要从中选 2 名去参加会议有多少种不同的选法？ (2)选出 2 名男教师或 2 名女教师参加会议，有多少种不同的选 法？ 解：(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数，就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的组合数，即 C120＝120××19＝45.
4．组合数的性质 (1)Cmn ＝_C__nn_－_m_ (规定 C0n＝1)． (2)Cmn＋1＝__C__mn __＋__C_nm_－_1_．
12/8/2021
第四页，共三十七页。
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)从 a1，a2，a3 三个不同元素中任取两个元素组成一个组合， 所有组合的个数为 C23.( √ ) (2)从 1，3，5，7 中任取两个数相乘可得 C24个积．( √) (3)C35＝5×4×3＝60.( × ) (4)C22001167＝C12017＝2017.( √ )
第二十页，共三十七页。
【解】 (1)是无限制条件的组合问题． 适合题意的方法总数为 C163＝1716(种)． (2)是有限制条件的组合问题． 第一步：选出女生，有 C53种； 第二步：选出男生，有 C83种． 根据分步计数原理，适合题意的选法有 C53C38＝560(种)．
人教版高二数学选修2-3第一章计数原理《组合二》
人教版高二数学选修2-3第一章计数原理《组合二》第一章计数原理§1.2.2 组合（二）班级：高二（）班学号：姓名：学习目标：1．复习组合的定义、组合数及组合数的公式；2．组合数的性质。
学习重点：组合的定义、组合数及组合数的公式，组合数的性质；学习难点：解组合的应用题．学习过程：评价：复习﹒交流﹒评价组合数的两个性质：性质1：性质2：新知﹒巩固﹒展示例1．一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球：（1）共有多少种不同的取法？（2）其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？（3）其中不含红球，共有多少种不同的取法？例2．在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：（1）共有多少种不同的抽法？（2）恰有一件是次品，共有多少种不同的抽法？（3）至少有一件是次品，共有多少种不同的抽法？a)b)有次品的抽法有多少种？3．从1 ，3 ，5 ，7 ，9中任取三个数字，从2 ，4 ，6 ，8 中任取两个数字，可以组成多少；c)无重复数字的五位数？d)万位，百位和个位数字是奇数的无重复数字的五位数？e)和不等的加法算式？4．有6名女生，4名男生，从中选出3名女生和2名男生：（1）组成班委会，有多少种不同的选法？（2）选出的5名学生分别担任班委会中的5种不同的工作，有多少种不同的选法？（3）女生担任班长，学习委员和文娱委员，男生担任宣传委员和体育委员，有多少种不同的选法？5.4个不同的小球放入3个分别标有1~3号的盒子中，f)不许有空盒子的放法有多少种？g)允许有空盒子的放法有多少种？6.将6名应届大学毕业生分配到3个公司，a)3个人分到甲公司，2个人分到乙公司，1个人分到丙公司，有多少种不同的分配方案？b)一个公司去3个人，另一个公司去2个人，剩下的一个公司去1个人，有多少种不同的分配方案？B组：7.设北京故宫博物院某日接待游客10000人，如果从这些游客中任意选出10名幸运游客，一共有多少种不同的选择（保留4位有效数字）？若把10份不同的纪念品发给选出的幸运游客每人一份，又有多少种不同的选择？纠错﹒归纳﹒整理评价：组合数的两个性质：性质1：性质2：。
高中数学第一章计数原理3组合课件选修23高二选修23数学课件
第十二页，共三十三页。
D 当堂检测
ANGTANGJIANCE
首页
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
X 新知导学
INZHIDAOXUE
D 答疑解惑
AYIJIEHUO
思维辨析
变式训练 1给出下列问题:
(1)从a,b,c,d四名学生中选出2名学生完成一件工作,有多少种不同的选法?
§3 组合(zǔhé)
12/9/2021
第一页，共三十三页。
首页
学 习 目 标
思 维 脉 络
1.理解并掌握组合、组
合数的概念,掌握组合
与排列之间的联系与
区别.
2.熟练掌握组合数公
式及组合数的两个性
质,并运用于计算之中.
3.能够运用排列组合
公式及计算原理解决
一些简单的应用问题,
提高学生的数学应用
能力和分析问题、解决
名师点拨1.“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是一个具体的事
件(shìjiàn),不是一个数;而“组合数”是符合条件的所有组合的个数,它是一个
数.
2.利用排列数公式和组合数公式进行计算,证明时,要正确地选用
公式,同时注意A
, C 中 m≤n 这个隐含条件.在利用组合数公式计
算、化简时,要灵活运用组合数的性质,一般地,计算C 时,若 m 比较
2.两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如
何,都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有(zhǐyǒu)一个元
素不同)时,就是不同的组合.
3.组合与排列的异同:组合与排列的相同点是,“从n个不同元素中任取出m
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变式训练 1给出下列问题:
(1)从a,b,c,d四名学生中选出2名学生完成一件工作,有多少种不同的选法?
§3 组合(zǔhé)
12/9/2021
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学 习 目 标
思 维 脉 络
1.理解并掌握组合、组
合数的概念,掌握组合
与排列之间的联系与
区别.
2.熟练掌握组合数公
式及组合数的两个性
质,并运用于计算之中.
3.能够运用排列组合
公式及计算原理解决
一些简单的应用问题,
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名师点拨1.“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是一个具体的事
件(shìjiàn),不是一个数;而“组合数”是符合条件的所有组合的个数,它是一个
数.
2.利用排列数公式和组合数公式进行计算,证明时,要正确地选用
公式,同时注意A
, C 中 m≤n 这个隐含条件.在利用组合数公式计
算、化简时,要灵活运用组合数的性质,一般地,计算C 时,若 m 比较
2.两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如
何,都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有(zhǐyǒu)一个元
素不同)时,就是不同的组合.
3.组合与排列的异同:组合与排列的相同点是,“从n个不同元素中任取出m
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单色三角形
• 给定空间里的n个点，其中没有三点共线。 每两个点之间都用红色或黑色线段连接。 如果一个三角形的三条边同色，则称这个 三角形是单色三角形。 • 对于给定的红色线段的列表，希望能找出 单色三角形的个数。
分析
• 三角形只有单色和非单色两种 • 非单色三角形的个数等于由一个点连接两 条非同色线段的情况数的一半。 • 设第i个点连接的红色线段数为ri，由于每个 点只引出红色或黑色的线段，故黑色线段 数目为n-1-ri。由乘法原理，第i个点连接两 条非同色线段的情况数为ci=ri(n-1-ri)。每个 非单色三角形被算了两次, 因此答案为c(n,3) - sum{ci}/2
彩票
• 大街上到处在卖彩票，一元钱一张。购买 撕开它上面的锡箔，你会看到一个漂亮的 图案。图案有n种，如果你收集到所有n种 彩票，就可以得大奖。请问，在平均情况 下，需要买多少张彩票才能得到大奖呢？
分析
• 已经有k个图案, s=k/n, 拿到一个新的需要
– 1次的概率: 1-s – 2次的概率: s*(1-s) – t次的概率: st-1*(1-s)
• 一般简写a*b为ab
置换
• 用置换
1 a 1
2 a2
n an
• 表示1被a1取代, 2被a2取代…n被an取代. 其 中a1, a2, …an是1~n的一个排列
置换群
• 置换群的元素是置换, 运算是置换的连接
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1 2 4 1 2 3 4 3 1 2 4 4 3 2 1 3 1 2 4 2 4 3 1 2 4 3 1
• 假设确定其中k条独立边后其他边也会确定, 则答案为2k • 考虑两类边: 循环内边和循环间边.
分析
• 循环内顶点的关系
– 定了i1和ij之间的关系, ik与i(k+j-2) mod n+1之间的关 系也被确定下来了, 因此只需要确定i1和i2, i3, …, i(L-1)/2+1这(L-1)/2对顶点的关系
用AND算XOR
• 对于2n位二进制数A，分成两个n位数后进 行AND操作，返回n位数。记该操作为 ANDn(A)，同理可定义XORm(A) • 给定n，求满足m<n的条件下，最大的m值， 使得存在
– 编码映射g1，将2m位数映射为2n位数，和 – 解码映射g2，将n位数映射为m位数
• 使得XORm(A)=g2(ANDn(g1(A)))
• 期望: 概率加权和
– (1-s)*(1 + 2s + 3s2 + 4s3 + …) = (1-s)E – 而sE = s + 2s2 + 3s3 + … = E-(1+s+s2+…) – 移项得(1-s)E = 1+s+s2+…=1/(1-s) = n/(n-k)
分析
• 总结
– 已有0个图案: 拿1次就可以多搜集一个 – 已有1个图案: 平均拿n/(n-1)次就可多搜集一个 – 已有k个图案: 平均拿n/(n-k)次就可多搜集一个
分析
• 设一个N-1人组G所缺少的特征为M(G) • 结论: 任两个不同的G的M(G)都不同 • 反证法. 设M(G1)=M(G2)=M. 显然G1∪G2至 少包含N个人且他们都缺少特征M，故这些 人在一起无法将锁打开，矛盾 • 一共有C(M, N-1)个N-1人组, 因此 • 结论2: 总特征数tot >= C(M, N-1)
分析
• XORm(A): 有2m个象，每个都有2m个原象 • ANDn(A): 原象有3k的象有C(n,k)个 • 问题转化为：有2n个箱子，其中有C(n,i)个 容积为3i，求m(m<n)的最大值，使得2m个 大小为2m的物品可以被放入 • 算法：二分枚举m，算出每一种箱子可以放 多少物品，再乘以这种箱子的数量，检测 总和是否满足。需要高精度. 时间复杂度： O(nlogn)
– 循环长度为1, 次数为0, 显然 – 循环长度为2, 次数为1, 显然 – 循环长度大于等于3的时候呢?
分析
• 循环长度大于等于3, 次数为2. • 对于循环(a1,a2,…,an), 只需要乘以(a2,an), 就变成了(a1,an)(a2,a3,…,an-1), 再乘以(a3,an1), 就变成了(a2,an-1)(a3,a4,…an-2)…等等 • 因此只需要乘以(a2,an)(a3,an-1)(a4,an-2)…就 可以得到(a1,an)(a2,an-1)(a3,an-2)…再对换一 次就可以了
无聊的排序
• 你弟弟有一项家庭作业需要你帮助完成。 老师给了他一列数，需要他把这些数按升 序排列。你可以每次交换两个数的位置， 而一次交换的代价被定义成交换的两个数 的和。写一个程序，用最小的交换代价和 来帮助弟弟完成这项无聊的排序工作。
分析
• 从初始状态变为目标状态可以看作完成一 个置换. 把置换分解为s个不相交循环乘积 • 各循环是独立的, 所以依次完成各个循环 • 对于任意循环i, 设它的长度为ki, 容易证明 至少需要交换ki-1次, 即每次让一个元素到 达目标, 则前ki-1个元素到达目标后最后一 个元素也到达目标
• 所以总次数为: n(1+1/2+1/3+…+1/n)
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• 可以对任何实数x≥0定义一个函数P(x)：
1 P( x ) P( x 1) P( x pi)
0 x4 4 x
• 给定整数x(x≤30,000)，计算P(x) • P(4)=2, P(25)=4024, P(47)=14,355,865
同构计数
• 例：有顶点1、2、3、4和置换P：P(1)=2， P(2)=4，P(3)=3，P(4)=1 • 对于下图的四种竞赛图，在置换P下同构
1 2 1 2 1 2 1 2
3
4
3
4
3
4
பைடு நூலகம்
3
4
分析
• 先把置换它分解成为循环, 首先证明长度为 L的偶循环将导致无解
– 对于点i1, 记P(ik)=ik+1, 假设i1和iL/2+1的边方向为 i1->iL/2+1, 那么有i2->iL/2+2, i3->iL/2+3, …, iL/2+1->i1, 和假设矛盾!
分析
• 对于每一个工作人员T来说, 在其余M-1个人 中任选N-1个人在一起都会因为缺少某种特 征而无法开锁，而这缺少的特征必须是T所 具备的 • 由于这些缺少的特征各不相同, 所以T的磁 卡上至少需要有C(M-1,N-1)个特征
分析
• 构造法: 枚举M人选M-(N-1)人的组合, 给它 们赋于一个新的共同的特征 • 合法性: 对于每N-1个人, 不具备剩下M-(N-1) 拥有的公共特征, 因此打不开门; 由于这N-1 个人具备其他所有特征(其他特征在分配时 至少分配到了这N-1个人中的一个), 所以随 便再找一个就可以打开门 • 最优性: 由结论2, 这个方案是最优的
传球游戏
• n个人围成一圈, 每个人编号为1~n. 有n个球, 编号也为1~n. 一开始每人手里拿一个球 • 基本操作为对传, 即a手里的球和b手里的球 交换. 每个时间单位, 一个人可以不做任何 动作, 或者与另外一人对传 • 目标: 每个人拿到和自己编号相同的球 • 问题1: 至少需要多少次对传? • 问题2: 至少需要多少时间?
分析
• 用置换表示初始状态 • 每次对传相当于乘以一个对换 • 置换可以唯一地表示成若干循环的乘积, 因 此只考虑循环乘以对换(a, b)的结果
– a和b属于不同循环 – a个b属于同一个循环
分析
• 情况一: a和b属于不同循环
– 因为循环的任何一个元素都可写成第一个,不妨 设两个循环为(a, a1, a2, … an)和(b, b1, b2, …, b m) – 结果为(b,b1,b2,…,bm,a,a1,a2,…an)
• 结论: 两个循环合并成一个
分析
• 情况二: a和b属于同一个循环
– 设为(a,a1,a2,…ai,b,b1,b2,…,bm), 乘以(a,b)后变 为(a,a1,a2,…,ai)(b,b1,b2,…,bm) – 可以这样理解: 乘以(a,b)是自身的逆操作
• 结论: 一个循环拆为了两个
分析
• 问题1: 由于目标状态是(1)(2)…(n), 所以需 要不断的拆循环. 答案为n-c. 其中c为轮换 个数 • 问题2: 结论非常简单
分析
• 程序实现: 只需要记录每个循环节的长度ki 和它的最小元素ti, 不需要模拟交换 • 找循环最多访问每个元素一次, 时间复杂度 是线性的
同构计数
• 一个竞赛图是这样的有向图
– 任两个不同的点u、v之间有且只有一条边 – 不存在自环
• 用P表示对竞赛图顶点的一个置换。当任两 个不同顶点u、v间直接相连的边的方向与 顶点P(u)、P(v)间的一样时，称该图在置换 P下同构 • 对给定的置换P，我们想知道对多少种竞赛 图在置换P下同构
• 可以验证置换群满足群的四个条件
定理
• 设G是1…n的置换群, K是1…n的某个元素
– G中使K保持不变的置换集合, 记为Zk, 称为K不 动置换类 – K在G作用下的轨迹记为Ek, 也就是通过置换G 能变换到的元素集合
• 定理: |Ek| * |Zk| = |G| (证明略)
循环
• n阶循环
分析
• 特殊情况: 先让ti和全局最小值m交换, 让m 进入循环, 然后和所有元素交换一次后再和 ti交换,花费为sumi+ti+(ki+1)m • 例如1,8,9,7,6,目标状态为1,6,7,8,9, 分解为 (1)(8 6 9 7), 考虑第二个循环