外接球与内切球 PPT
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正方体内切球、外接球、棱切球、图例演示
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积：V 4R3
3
2、球的表面积
S 4πR2
练习一：
(1)球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原 来的——8 倍.
(2)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变 为原来的——2倍。
(3)若球半径变为原来的2倍，则表面积变
为原来的——4倍。
(4)若两球表面积之比为1:2，则其体积之 比是——1: 2—。2
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得 R 3a
2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
D A11
C B O
C1
B1
C B O
C1
练习一
1.球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,
这个球的体积为＿32＿3＿ cm3.
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 个球的体积之比_1_:_2__2_: 3__3_.
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
B1
正方体的外接球
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C
O
C1
正方体的外接球直径是体对角线
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球
O的表面积。
略 解 ：RtB1D1D中 :
半径是R的球的体积：V 4R3
3
2、球的表面积
S 4πR2
练习一：
(1)球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原 来的——8 倍.
(2)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变 为原来的——2倍。
(3)若球半径变为原来的2倍，则表面积变
为原来的——4倍。
(4)若两球表面积之比为1:2，则其体积之 比是——1: 2—。2
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得 R 3a
2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
D A11
C B O
C1
B1
C B O
C1
练习一
1.球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,
这个球的体积为＿32＿3＿ cm3.
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 个球的体积之比_1_:_2__2_: 3__3_.
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
B1
正方体的外接球
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C
O
C1
正方体的外接球直径是体对角线
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球
O的表面积。
略 解 ：RtB1D1D中 :
球的内切和外接问题课件
内切与外接问题的解题思路与方法
01
认真审题，明确题目中 的已知条件和所求目标 。
02
分析几何体的结构特征 ，确定内切或外接关系 。
03
合理利用内切或外接的 性质和定理，建立方程 或不等式求解。
04
对于复杂问题，可以采 用数形结合、分类讨论 等数学思想方法。
05
典型例题解析
简单几何体的内切与外接问题
判断一个球是否是多面体的内切球。
利用内切球的性质解决一些与多面体相关的问题，如求解多面体的体积、表面积等 。
外接球的定义与性质
定义
外接球是指一个球完全包含一个多面体，且与多面体的各个 顶点都相切。
性质
外接球的半径等于多面体外接圆半径，也等于从多面体中心 到任意一个顶点的距离。
外接球的计算方法
直接法
，也希望教师能够增加一些互动环节，提高课堂的趣味性。
对未来学习的建议与展望
加强基础知识的巩固
建议学生在课后加强对基础知识的学习和巩固，为后续的学习打下 坚实的基础。
增加实践环节
希望教师能够增加一些实践环节，如小组讨论、案例分析等，帮助 学生更好地应用所学知识解决实际问题。
拓展相关领域的学习
鼓励学生拓展相关领域的学习，如学习其他几何体的内切与外接问题 、了解相关数学史等，以拓宽视野并加深对课程内容的理解。
性质
内切球的半径等于多面体的内切圆半 径，也等于多面体各个面上的内切圆 半径的最小值。
内切球的计算方法
直接法
通过已知条件直接求出内切球的半径。
间接法
利用体积关系求出内切球的半径。对于棱锥、棱柱等多面体，可以先求出其体 积和表面积，再利用体积和表面积的关系求出内切球的半径。
第39讲 内切球与外接球
正三 角形
正四 面体
1.又称“球的外切正方体”； 2.正方体的六个面都在球面上都与球面相切；
3.球的直径等于正方体的棱长； 2R a
4.长方体六个面都相切的球；
1.又称“球的内接三棱锥”； 2.三菱锥的四个顶点都在球面上； 3.外接球的球心到各个顶点的距离相等； 即 OP OA OB OC R 4.多面体外接球球心确定：①任作两个面的外心（直角三角形外心 为斜边中点）；②过两外接圆心分别做对应平面的垂线；③两垂线 必交于一点；即该点为外接球球心。
1.又称“等边三角形”，四心合一；
2. AO BO CO 2 ； OD OE OF 1
3.高 h AD 3 a ； 面积 S 3 a2
2
4
4.内切圆半径 r OD 3 a ，外接圆半径 R AO 3 a
6
3
1.斜高 DE 3 a ，正高 DM DE2 EM 2 6 a ；
为立体图形的内切球。但是要注意，不是所有立体图形都有内切球，例如长方体就没有。
其中，内切球半径的求法，正方体的内切球的直径就是棱长，即 a 2R ;
1、三棱锥模型：V
1 3
(S1
S2
S3
S4)r
r
S1
3V S2 S3
S4
2、多面体模型：V
1 3 (S1
S2
Sn )r
r
S1
3V S2 Sn
1、在三棱锥
中,
平面
，
，
，
,则此三棱锥外
接球的体积为__________
2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________
3、在三棱锥
中,
平面
正四 面体
1.又称“球的外切正方体”； 2.正方体的六个面都在球面上都与球面相切；
3.球的直径等于正方体的棱长； 2R a
4.长方体六个面都相切的球；
1.又称“球的内接三棱锥”； 2.三菱锥的四个顶点都在球面上； 3.外接球的球心到各个顶点的距离相等； 即 OP OA OB OC R 4.多面体外接球球心确定：①任作两个面的外心（直角三角形外心 为斜边中点）；②过两外接圆心分别做对应平面的垂线；③两垂线 必交于一点；即该点为外接球球心。
1.又称“等边三角形”，四心合一；
2. AO BO CO 2 ； OD OE OF 1
3.高 h AD 3 a ； 面积 S 3 a2
2
4
4.内切圆半径 r OD 3 a ，外接圆半径 R AO 3 a
6
3
1.斜高 DE 3 a ，正高 DM DE2 EM 2 6 a ；
为立体图形的内切球。但是要注意，不是所有立体图形都有内切球，例如长方体就没有。
其中，内切球半径的求法，正方体的内切球的直径就是棱长，即 a 2R ;
1、三棱锥模型：V
1 3
(S1
S2
S3
S4)r
r
S1
3V S2 S3
S4
2、多面体模型：V
1 3 (S1
S2
Sn )r
r
S1
3V S2 Sn
1、在三棱锥
中,
平面
，
，
，
,则此三棱锥外
接球的体积为__________
2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________
3、在三棱锥
中,
平面
外接球与内切球讲义
A. 4π
B. 12π
C. 16π
D.
32 3
π
·8· 惊叹数学的波澜壮阔之势 赏析数学的对称和谐之美！
领悟数学的高瞻远瞩之能 铸就数学的茅塞顿开之境！
学习数学 领悟数学 满分数学
7. (2021• 咸阳模拟 ) 在直三棱柱 ABC
- A1B1C1 中，AB = BC = 2，∠ABC =
π 2
，若该直三棱柱的外接球表面积
棱锥体积的最大值为
3
3 4
，则其外接球的半径为
(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D.
2 3
3 ，AC = 3，若该三
考点四 含二面角的外接球终极公式
双距离单交线公式：R2 =
m2 + n2 − 2mncosα sin2α
+
l2 4
如下图，若空间四边形 ABCD 中，二面角 C − AB − D 的平面角大小为 α，ABD 的外接球球心为 O1，ABC 的外
为 16π，则此直三棱柱的高为（ ）
A. 4
B. 3
C. 4 2
D. 2 2
图1
图2
8. (2021• 呼和浩特一模 ) 四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 上，且 AB = AC = BC = BD = CD = 4，AD =
2 6 ，则球 O 的表面积为（ ）
A.
70π 3
B.
80π 3
C. 30π
接球球心为 O2，E 为公共弦 AB 中点，则 ∠O1EO2 = α，O1E = m，O2E = n，AE =
l 2
，OA = R，由于 O、O1、E、O2
四点共球，且 OE = 2R =
正四面体内切球和外接球(好用).ppt.ppt
连结oaobocop那么abcabcabcabc1在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球钢球恰与棱锥的四个面都接触过棱锥的一条侧棱和高作截面正确的截面图形是3自球面上一点p作球的两两垂直的三条弦papbpc球的半径为r则pa
正方体的内切球
正方体的外接球
几个切点？切点在什么位置？
求棱长为a的正四面体的高.
A
[题组冲关] 3．假如某爱国实业家在20世纪初需要了解全国各地商业信
息，可采用的最快捷的方式是
(
)
A．乘坐飞机赴各地了解 B．通过无线电报输送讯息 C．通过互联网 D．乘坐火车赴各地了解
解析：本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信 息“20世纪初”“最快捷的方式”，因此应选B，火车速度
远不及电报快。20世纪30年代民航飞机才在中国出现，
(2)1924年国民党“一大”召开，标志着第 一
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应 时 代潮流 图说历史 主旨句归纳 (1)20世纪初，孙中山提出“民族、民权、 民生”三民主义，成为以后辛亥革命 的
指导思想。 (2)三民主义没有明确提出反帝要求，也 没 有提出废除封建土地制度，是一个 不彻 底的资产阶级革命纲领。
报先后发明。
(3)近代以来，交通、通讯工具的进步，推 动了经济与社会的发展。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应 时 代潮流 图说历史 主旨句归纳 (1)1911年，革命党人发动武昌起义，辛亥
革命
爆发，随后建立了中华民国，颁布了《中 华
民国临时约法》；辛亥革命是中国近代化
进 程的里程碑。
制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D
三项表述都有错误。 答案：A
正方体的内切球
正方体的外接球
几个切点？切点在什么位置？
求棱长为a的正四面体的高.
A
[题组冲关] 3．假如某爱国实业家在20世纪初需要了解全国各地商业信
息，可采用的最快捷的方式是
(
)
A．乘坐飞机赴各地了解 B．通过无线电报输送讯息 C．通过互联网 D．乘坐火车赴各地了解
解析：本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信 息“20世纪初”“最快捷的方式”，因此应选B，火车速度
远不及电报快。20世纪30年代民航飞机才在中国出现，
(2)1924年国民党“一大”召开，标志着第 一
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应 时 代潮流 图说历史 主旨句归纳 (1)20世纪初，孙中山提出“民族、民权、 民生”三民主义，成为以后辛亥革命 的
指导思想。 (2)三民主义没有明确提出反帝要求，也 没 有提出废除封建土地制度，是一个 不彻 底的资产阶级革命纲领。
报先后发明。
(3)近代以来，交通、通讯工具的进步，推 动了经济与社会的发展。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应 时 代潮流 图说历史 主旨句归纳 (1)1911年，革命党人发动武昌起义，辛亥
革命
爆发，随后建立了中华民国，颁布了《中 华
民国临时约法》；辛亥革命是中国近代化
进 程的里程碑。
制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D
三项表述都有错误。 答案：A
正方体的内切、外接、棱切球
举例
若正方体的边长为2，则内切球的半 径为1。
球心位置
• 球心位置：正方体的内切球的球心位于正 方体的中心。
02
正方体的外接球
定义与性质
定义
正方体的外接球是指能够完全容纳正方体的球。
性质
外接球的直径等于正方体的对角线长度，且球心位于正方体中心。
半径计算
半径公式
外接球的半径R可以通过正方体的边长a 计算得出，公式为 $R = frac{sqrt{3}}{2}a$。
正方体的内切、外接、 棱切球
目录 CONTENT
• 正方体的内切球 • 正方体的外接球 • 正方体的棱切球 • 正方体与球的关系总结
01
正方体的内切球
定义与性质
定义
内切球是与正方体的所有面都相切的球。
性质
内切球的直径等于正方体的边长。
半径计算
半径公式
内切球的半径r = a/2，其中a为正方 体的边长。
VS
举例说明
若正方体的边长为4，则外接球的半径为 4$sqrt{3}$。
球心位置
球心位置
正方体的外接球的球心位于正方体的 中心，即各棱的中点。
证明方法
通过正方体的几何特性，可以证明球 心位于正方体中心是唯一能使球完全 容纳正方体的位置。
03
正方体的棱切球
定义与性质
定义
棱切球是与正方体的各棱都相切的球。
04
正方体与球的关系总结
正方体与内切球的关系总结
内切球
内切球是正方体各面中心到正方体中心的连线段所围成的球，其半径等于正方体边长的 一半。
总结
内切球与正方体的各个面相切，其半径等于正方体边长的一半。
正方体与外接球的关系总结
若正方体的边长为2，则内切球的半 径为1。
球心位置
• 球心位置：正方体的内切球的球心位于正 方体的中心。
02
正方体的外接球
定义与性质
定义
正方体的外接球是指能够完全容纳正方体的球。
性质
外接球的直径等于正方体的对角线长度，且球心位于正方体中心。
半径计算
半径公式
外接球的半径R可以通过正方体的边长a 计算得出，公式为 $R = frac{sqrt{3}}{2}a$。
正方体的内切、外接、 棱切球
目录 CONTENT
• 正方体的内切球 • 正方体的外接球 • 正方体的棱切球 • 正方体与球的关系总结
01
正方体的内切球
定义与性质
定义
内切球是与正方体的所有面都相切的球。
性质
内切球的直径等于正方体的边长。
半径计算
半径公式
内切球的半径r = a/2，其中a为正方 体的边长。
VS
举例说明
若正方体的边长为4，则外接球的半径为 4$sqrt{3}$。
球心位置
球心位置
正方体的外接球的球心位于正方体的 中心，即各棱的中点。
证明方法
通过正方体的几何特性，可以证明球 心位于正方体中心是唯一能使球完全 容纳正方体的位置。
03
正方体的棱切球
定义与性质
定义
棱切球是与正方体的各棱都相切的球。
04
正方体与球的关系总结
正方体与内切球的关系总结
内切球
内切球是正方体各面中心到正方体中心的连线段所围成的球，其半径等于正方体边长的 一半。
总结
内切球与正方体的各个面相切，其半径等于正方体边长的一半。
正方体与外接球的关系总结
第8讲 外接球与内切球(解析版)
O1E 2 2 O2E sin2
O1E cos
O1E 2
O1B 2
第四步：设 O2E =m，O1E =n，AB =l,两个面的二面角为
由第三步可得 R2
=
m2
n2 2mn cos sin2
+
l2 4
5 / 46
（3）秒杀公式：
R2
=
m2
n2 2mn sin2
cos
+
l2 4
（4）图示过程
A． 4 2 3
【答案】B
B． 8 2 3
C． 16 2 3
【解析】如图，取 BC 中点 O1 ，连 BC1 交 B1C 于点 O ，
D． 8
11 / 46
AC AB ，O1 为 RtABC 的外接圆圆心，
AB
3
，
AC
1 ， BC
2
， ABC
外接圆半径为
BC 2
1,
OO1 //CC1 //AA1 ， AA1 平面 ABC ，OO1 平面 ABC ，
的表面积为（ ）
A． 4 3
B． 4
C．12
D． 6
【答案】C
【解析】正三棱锥 S ABC 中， SA 2 ， AB 2 2 ,
所以 SA2 SB2 AB2 ,
故 SA SB ,
同理可得 SA SC , SB SC , 以 SA, SB, SC 为棱构造正方体，
则该棱锥外接球即为该正方体的外接球， 如图，
二．内切球的半径---等体积法
1. 推导过程
以三棱锥P-ABC为例
VPABC
1 3
பைடு நூலகம்
S
底面h
1 3
相关主题
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②有一个面是直角三角形，且一条棱垂直该面的三棱锥的外接球 可以补成长方体的外接球
③对棱两两相等的三棱锥的外接球可以补成长方体的外接球（所有 的棱为长方体的面对角线）
④有一侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球可以补成直三棱柱。
Eg1(1)(2011.辽高考宁)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点，
本例(3)中，改为∠BAC＝60°，其他条件不变，如何求？若 ∠BAC＝90°呢？
解析：若∠BAC＝60°，如图，设 O1，O2 分 别为上、下底面的中心，且球心 O 为 O1O2 的中 点，得 AD＝ 23×2＝ 3，AO2＝23AD＝233，OO2 ＝1.设球的半径为 R，则 R2＝AO2＝AO22＋OO22＝43＋1＝73.
AB= 3 ， ASC BSC 30, 则
C 棱锥 S—ABC 的体积为（ ） A 3 3 B 2 3 C 3
D1
(2)(2012 课标全国)已知三棱锥 S—ABC 的所有顶点都在球 O的球面上， ABC是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥 的体积为
基
础
知
识
V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h＝13π(r21 ＋r22＋r1r2)h
① 圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角： r • 2
l
② 圆台的侧面展开图的扇环的圆心角： r2 r1 • 2
l
直棱柱 正棱锥
正棱台 球
S 侧＝Ch′
V＝Sh
S 侧＝12Ch′(h′为 斜高)
V＝13Sh
S 侧＝12(C＋
V＝13(S 上＋S 下＋
C′)h′
S上S下)h
S 球面＝4πR2
V＝43πR3
2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形； 它们的表面积等于侧面积与底面积之和．
3、常见多面体的外接球及内切球的问题
(1) 正四面体的外接球与内切球（两心在底面的高上重合）
设正四面体的棱长为 a,外接球的半径为 R,内切球的半径为 r,则 R= 6 a ， 4
r= 6 a , R : r 3:1 12
(2) 正棱锥的外接球与内切球 ① 所有正棱锥的外接球与内切球的球心都在底面的高上
② 求外接球的半径的方法是勾股定理： R2 r2 d 2 （R 为外接球的半径， r 为底面三角形的外接圆的半径，d 为球心到底面的距离。）
梳 理
大家有疑问的，可以询问和交流
聚
焦
考
向
透 析
感 悟 经 典 考 题可以互相讨Fra bibliotek下，但要小声点
课
时
规
范
训
练
Eg2(1)．(2013·辽宁高考)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶
点都在球 O 的球面上，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1
＝12，则球 O 的半径为
()
3 17 A. 2
B．2 10
13 C. 2
D．3 10
(2)如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是 边长为 a 的正方形，PD⊥底面 ABCD，且 PD＝a，PA ＝PC＝ 2a，若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大 半径是________．
(3)直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各点都在同一球面上，若 AB＝AC ＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________．
第2课时 空间几何体的表面积和体积
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
2πrl
πrl
π(r＋r′)l
【知识梳理】
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积
体积
圆柱
S 侧＝2πrh
V＝Sh＝πr2h
圆锥
S 侧＝πrl
V＝13Sh＝13πr2h＝13πr2 l2－r2
圆台
S 侧＝π(r1＋r2)l
③
求内切球的半径的方法是等体积法 V
1 3 s表面积r内切
(3) 侧棱长相等的三棱锥的外接球球心在底面的高上（求外接球与内切球
的半径方法同 2）
(4)正棱柱的外接球球心为上下底的中心连线段的中点,利用勾股定理 求外接球的半径，不是所有的正棱柱都有内切球 （5）直三棱柱外接球球心为上下底的三角形外心连线段的中点，,利 用勾股定理求外接球的半径 (6) 长 方 体 的 外 接 球 球 心 为 体 对 角 线 的 中 点 ， 直 径 为 体 对 角 线 长 4R2 a2 b2 c2 （其中 R 为球的半径，a,b,c 为长方体的长宽高） （7）①有公共顶点的三条棱两两垂直三棱锥的外接球可以补成长方 体的外接球
③对棱两两相等的三棱锥的外接球可以补成长方体的外接球（所有 的棱为长方体的面对角线）
④有一侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球可以补成直三棱柱。
Eg1(1)(2011.辽高考宁)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点，
本例(3)中，改为∠BAC＝60°，其他条件不变，如何求？若 ∠BAC＝90°呢？
解析：若∠BAC＝60°，如图，设 O1，O2 分 别为上、下底面的中心，且球心 O 为 O1O2 的中 点，得 AD＝ 23×2＝ 3，AO2＝23AD＝233，OO2 ＝1.设球的半径为 R，则 R2＝AO2＝AO22＋OO22＝43＋1＝73.
AB= 3 ， ASC BSC 30, 则
C 棱锥 S—ABC 的体积为（ ） A 3 3 B 2 3 C 3
D1
(2)(2012 课标全国)已知三棱锥 S—ABC 的所有顶点都在球 O的球面上， ABC是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥 的体积为
基
础
知
识
V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h＝13π(r21 ＋r22＋r1r2)h
① 圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角： r • 2
l
② 圆台的侧面展开图的扇环的圆心角： r2 r1 • 2
l
直棱柱 正棱锥
正棱台 球
S 侧＝Ch′
V＝Sh
S 侧＝12Ch′(h′为 斜高)
V＝13Sh
S 侧＝12(C＋
V＝13(S 上＋S 下＋
C′)h′
S上S下)h
S 球面＝4πR2
V＝43πR3
2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形； 它们的表面积等于侧面积与底面积之和．
3、常见多面体的外接球及内切球的问题
(1) 正四面体的外接球与内切球（两心在底面的高上重合）
设正四面体的棱长为 a,外接球的半径为 R,内切球的半径为 r,则 R= 6 a ， 4
r= 6 a , R : r 3:1 12
(2) 正棱锥的外接球与内切球 ① 所有正棱锥的外接球与内切球的球心都在底面的高上
② 求外接球的半径的方法是勾股定理： R2 r2 d 2 （R 为外接球的半径， r 为底面三角形的外接圆的半径，d 为球心到底面的距离。）
梳 理
大家有疑问的，可以询问和交流
聚
焦
考
向
透 析
感 悟 经 典 考 题可以互相讨Fra bibliotek下，但要小声点
课
时
规
范
训
练
Eg2(1)．(2013·辽宁高考)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶
点都在球 O 的球面上，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1
＝12，则球 O 的半径为
()
3 17 A. 2
B．2 10
13 C. 2
D．3 10
(2)如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是 边长为 a 的正方形，PD⊥底面 ABCD，且 PD＝a，PA ＝PC＝ 2a，若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大 半径是________．
(3)直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各点都在同一球面上，若 AB＝AC ＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________．
第2课时 空间几何体的表面积和体积
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
2πrl
πrl
π(r＋r′)l
【知识梳理】
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积
体积
圆柱
S 侧＝2πrh
V＝Sh＝πr2h
圆锥
S 侧＝πrl
V＝13Sh＝13πr2h＝13πr2 l2－r2
圆台
S 侧＝π(r1＋r2)l
③
求内切球的半径的方法是等体积法 V
1 3 s表面积r内切
(3) 侧棱长相等的三棱锥的外接球球心在底面的高上（求外接球与内切球
的半径方法同 2）
(4)正棱柱的外接球球心为上下底的中心连线段的中点,利用勾股定理 求外接球的半径，不是所有的正棱柱都有内切球 （5）直三棱柱外接球球心为上下底的三角形外心连线段的中点，,利 用勾股定理求外接球的半径 (6) 长 方 体 的 外 接 球 球 心 为 体 对 角 线 的 中 点 ， 直 径 为 体 对 角 线 长 4R2 a2 b2 c2 （其中 R 为球的半径，a,b,c 为长方体的长宽高） （7）①有公共顶点的三条棱两两垂直三棱锥的外接球可以补成长方 体的外接球