2020版高考数学二轮复习每日一题规范练(第二周)(文)(含解析)

每日一题 规范练(第二周)

星期一 2020年3月30日

[题目1] 已知等差数列{a n }的公差d ＝2，且a 2＋a 5＝2，{a n }的前n 项和为S n . (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若S m ，a 9，a 15成等比数列，求m 的值． 解：(1)因为a 2＋a 5＝2，且d ＝2， 所以2a 1＋5d ＝2a 1＋10＝2，则a 1＝－4. 所以a n ＝－4＋2(n －1)＝2n －6. (2)由(1)知，S m ＝

m （a 1＋a m ）

2

＝m 2

－5m ，

又a 9＝12，a 15＝24，

由S m ，a 9，a 15成等比数列，得a 2

9＝a 15·S m ， 所以m 2

－5m －6＝0(m ∈N *

)，则m ＝6.

星期二 2020年3月31日

[题目2] 已知x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－sin 2ωx (ω＞0)的两个相邻的零点．

(1)求f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π12的值；

(2)若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－7π12，0，都有f (x )－m ≤0，求实数m 的取值范围； (3)若关于x 的方程433f (x )－m ＝1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值

范围．

解：(1)f (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3－12(1－cos 2ωx )

＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤

12cos 2ωx ＋32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝

32⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32cos 2ωx ＋12sin 2ωx ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3. 由题意，f (x )的最小正周期T ＝2×π

2＝π，

所以2π

2ω

＝π，则ω＝1.

故f (x )＝

32sin ⎝

⎛

⎭⎪⎫2x ＋π3，

所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝32.

(2)由f (x )－m ≤0恒成立，得m ≥f (x )max . 因为－7π12≤x ≤0，所以－5π6≤2x ＋π3≤π

3，

所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤32，

所以f (x )max ＝

32×32＝34

. 所以m ≥34，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭

⎪⎫34，＋∞. (3)原方程化为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝m ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，

令y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.

当x ＝0时，y ＝2sin π3＝3；当x ＝π

12

时，y max ＝2.

结合函数图象，要将方程在x ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，

只需3≤m ＋1＜2，则3－1≤m ＜1. 故实数m 的取值范围是[3－1，1)．

星期三 2020年4月1日

[题目3] 如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将△AED ，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使得A ，C 两点重合于点M .

(1)求证：MD ⊥EF ； (2)求三棱锥M-EFD 的体积．

(1)证明：因为在正方形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥BC ， 所以在三棱锥MDEF 中，MD ⊥MF ，MD ⊥ME 且ME ∩MF ＝M ， 所以MD ⊥平面MEF ， 又EF ⊂平面MEF ，

所以MD ⊥EF .

(2)解：因为E 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点， 所以BE ＝BF ＝1，

所以S △MEF ＝S △BEF ＝12×1×1＝1

2.

由(1)知MD ⊥平面MEF ，且MD ＝CD ＝2.

所以V 棱锥M-EFD ＝V 棱锥D-MEF ＝13S △MEF ·DM ＝13×12×2＝1

3

.

星期四 2020年4月2日

[题目4] 卫生防疫涉及千家万户，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全，因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵，国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床试验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到统计数据如下：

现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为3

5.

(1)求2×2列联表中p ，q ，x ，y 的值； (2)能否有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？

(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．

附：K 2

＝n （ad －bc ）2

（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）

，n ＝a ＋b ＋c ＋d .

解：(1)由40＋p ＝5

，得p ＝60，

所以q ＝40，x ＝100，y ＝100.

(2)由K 2

＝n （ad －bc ）2

（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）

，

得K 2

＝200×（40×40－60×60）

2

100×100×100×100

＝8＜10.828，

所以没有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效．

(3)由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例3∶2抽取，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，分别用a ，b ，c 表示，2只已注射疫苗，分别用D ，E 表示，从这5只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况有(a ，b ，c )，(a ，b ，D )，(a ，b ，E )，(a ，c ，

D )，(a ，c ，

E )，(a ，D ，E )，(b ，c ，D )，(b ，c ，E )，(b ，D ，E )，(c ，D ，E )，共10种．

其中，至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有(a ，b ，c )，(a ，b ，D )，(a ，b ，

E )，(a ，c ，D )，(a ，c ，E )，(b ，c ，D )，(b ，c ，E )，共7种．

所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为7

10

.

星期五 2020年4月3日

[题目5] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为42，离心率为1

3

.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，左、右顶点分别为A 、B ，点M 、N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且F 1M ∥F 2N ，直线F 1M 的斜率为26，记直线AM 、BN 的斜率分别为k 1、

k 2，求3k 1＋2k 2的值．

解：(1)由题意，得2b ＝42，所以b ＝2 2.

又c a ＝13

，且a 2－c 2＝b 2

＝8. 所以a ＝3，c ＝1.

所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 2

8

＝1.

(2)由(1)可知，A (－3，0)，B (3，0)，F 1(－1，0)． 根据题意，直线F 1M 的方程为y ＝26(x ＋1)． 记直线F 1M 与椭圆的另一交点为M ′. 设M (x 1，y 1)(y 1＞0)，M ′(x 2，y 2)．

因为F 1M ∥F 2N ，根据对称性，得N (－x 2，－y 2)，

联立⎩⎨⎧8x 2＋9y 2

＝72，y ＝26（x ＋1），

消去y ，得14x 2

＋27x ＋9＝0.

由题设知x 1＞x 2， 所以x 1＝－37，x 2＝－3

2

.