2015春八年级数学下册《6.4 多边形的内角和与外角和》课件4 (新版)北师大版
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北师大版数学八年级下册多边形的内角和与外角和课件
归纳总结
多边形的外角与外角和
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组 成的角叫做这个多边形的外角.
在多边形每个顶点处各取一个外角，它们的和 叫做这个多边形的外角和.
想一想 如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果
会怎样 ? 6×180°－ (6－2)×180° = 360° 8×180°－(8－2)×180° = 360°
Байду номын сангаас
典例精析
例1 在四边形 ABCD 中，∠A +∠C = 180°，那么 ∠B 与
∠D 有什么关系？
B
解：∵∠A +∠B +∠C +∠D
= (4 - 2)×180° = 360°，
C
A
∴∠B +∠D
= 360°－(∠A +∠C) = 180°.
D
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
想一想 正三角形 (等边三角形) 、正四边形 (正方形) 、正 五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度?
多边形内角和
0
1
1×180°=180°
1
2
2×180°=360°
2
3 ··· n-3
3
4 ··· n-2
3×180°=540° 4×180°=720°
······ (n - 2)×180°
总结归纳 多边形的内角和公式 定理 n 边形的内角和等于 (n - 2)×180° ( n 是大于或等于 3 的自然数). 按照 问题2 的方法二再试一试？
(2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个? 它们的和是多少? 小刚是这样思考的， 跑步方向改变的角分别是 ∠1 、∠2 、∠3 、∠4、 ∠5.
八年级数学下册 第6章 平行四边形 6.4 多边形的内角和与外角和课件
∴ ∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C） = 360°－ 180° =180°.
如果一个(yī ɡè)四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
第九页，共三十五页。
【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补， BE平分(píngfēn)∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证： △DCF为直角三角形．
2
2
第十六页，共三十五页。
二 多边形的外角和
小刚每跑完一圈，身体转过的角度(jiǎodù)之和是多少？
第十七页，共三十Байду номын сангаас页。
概念学习
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角
叫做(jiàozuò)这个多边形的外角. 如图，∠A的外角是∠1.
多边形所有外角的和叫做 B
(jiàozuò)这个多边形的外角和.
2
1A 5
E
C3
4 D
第十八页，共三十五页。
如图，在五边形的每个顶点(dǐngdiǎn)处 各取一个外角．
1A
B
5
2 C3
E 4
D
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
互补(hù bǔ) 问题2：五个外角加上它们分别(fēnbié)相邻的五个内角和是多少？
5×180°=900°
第十九页，共三十五页。
个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
每个内角(nèi jiǎo)的度 (n 2)180 ,
数是
n
每个外角(wài jiǎo)的度数3 6 0 .
是
n
练一练：(1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正
____六边形.
(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是
北师大版八年级数学下册6.4《多边形的内角和与外角和》课件
∴ 每个内角等于=720º÷6=120º
拓展 3、如图所示的模板,按规定AB,CD的延长线相 交成80°的角, 因交点不在板上, 不便测量，质 检员测得∠BAE=122º ，∠DCF=155º . 如果你是 质检员,如何知道模板是否合格?为什么? 解：∵五边形内角和为540°， ∴∠G=540º -122º -155º -180º
则根据题意， 得(n-2)×180º =3×360° 解得n=8 所以这个多边形是八边形.
习题 1、填空题
（1）如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这 12 。 个多边形的边数是_____ （2）一个多边形的每一个外角都是60º ，这个多边 六 边形，它的内角和为______. 720º 形是____
新课 (1)小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步 方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角． 1
5
2 4 3
新课
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它 们的和是多少？ 小刚是这样思考的：如图，跑步方向改变的角分别是 ∠1，∠2，∠3，∠4，∠5． ∵ ∠1+∠EAB =180º ， ∠2+∠ABC=180º ， ∠3+∠BCD=180º ， ∠4+∠CDE=180º ， ∠5+∠DEA = 180º ， ∴ ∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+ ∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900º . ∵ 五边形的内角和为(5-2)×180º =540º ， 即 ∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°， ∴ ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900º -540º =360º ．
八年级数学下册6.4.2多边形的内角和与外角和课件3新版北师大版
内角和
所有内角之和等于360度。
外角和
所有外角所有内角的度数总和。
2 公式
设多边形内角度数和为S，则S = (n-2) * 180度（n 为多边形边数）。
多边形内角和的计算公式
三角形
180度
四边形
360度
五边形
540度
n边形
(n-2) * 180度
多边形外角和的定义
1 定义
2 公式
一个多边形所有外角的度数总和。
设多边形外角度数和为S，则S = 360度。
多边形外角和的计算公式
三角形
360度
四边形
360度
五边形
360度
n边形
360度
示例与练习
1
练习一
一个五边形六个内角度数分别为110°，95°，85°，95°，105°，求五边形外角度数 和。
2
练习二
一个六边形六个内角度数为120度，求六边形内角和、外角和。
3
练习三
验证一个20边形的内角和等于3240度。
八年级数学下册6.4.2多 边形的内角和与外角和课 件3新版北师大版
掌握多边形的内角和与外角和计算方法是学好数学的关键，让我们一起探索 吧！
多边形简介
定义
有多个直线段组成的平面图形。
性质
• 每个内角小于180度 • 每个外角等于对应内角的补角
分类
• 三边形 • 四边形 • 五边形及以上
多边形的内角和与外角和
八年级数学下册《6.4多边形的内角和与外角和》课件4(新版)北师大版
初中数学课件
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温馨回顾
1、五边形的内角和是（___5_-_2_）__×__1_8_0_=__5．40°
2
2、如图，正六边形的内角 和是___7_2_0_°度，每个内角都
1
3
是___1_2_0度°，∠1，∠2，∠3，
∠4，∠5，∠6都是_____度，
那6么0°
6
4
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= 360°
∵n边形的外角和等于___3_6_0_°， ∴nn边•1形80的°内–3角60和°等于
=n•180°–2×180° =（n-2）•180°
例题赏析：
［例］一个多边形的内角和等于它 的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是 （n－2）·180°，外角和等于360°， 所以（n－2）·180°=3×360° 解得：n=8 答：这个多边形是八边形．
4、n边形的内角和与外角和的比是7：2， 则n的值是（） A.7B.8C.9D.10 5、如图，△ABC中，∠A=50°， 则∠1+∠2的大小为____．
C
1
A
2
B
1
1
1
2 4
5
3
3
4
2
2
3
猜想： 如果是六边形、八边形……n边
形，还有类似的结论吗？
动动脑：
问题：你能运用多边形内角和结论 推导出多边形外角和结论吗？ ∵n边形的每一个外角与它相邻的内角的和是__1_8__0，° ∴n边形的内角和加外角和等于__n__•1_8__0_°．
∵n边形的内角和等于_（__n_-_2_）__•_1_8_0，°
金戈铁骑整理制作
温馨回顾
1、五边形的内角和是（___5_-_2_）__×__1_8_0_=__5．40°
2
2、如图，正六边形的内角 和是___7_2_0_°度，每个内角都
1
3
是___1_2_0度°，∠1，∠2，∠3，
∠4，∠5，∠6都是_____度，
那6么0°
6
4
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= 360°
∵n边形的外角和等于___3_6_0_°， ∴nn边•1形80的°内–3角60和°等于
=n•180°–2×180° =（n-2）•180°
例题赏析：
［例］一个多边形的内角和等于它 的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是 （n－2）·180°，外角和等于360°， 所以（n－2）·180°=3×360° 解得：n=8 答：这个多边形是八边形．
4、n边形的内角和与外角和的比是7：2， 则n的值是（） A.7B.8C.9D.10 5、如图，△ABC中，∠A=50°， 则∠1+∠2的大小为____．
C
1
A
2
B
1
1
1
2 4
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3
3
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2
2
3
猜想： 如果是六边形、八边形……n边
形，还有类似的结论吗？
动动脑：
问题：你能运用多边形内角和结论 推导出多边形外角和结论吗？ ∵n边形的每一个外角与它相邻的内角的和是__1_8__0，° ∴n边形的内角和加外角和等于__n__•1_8__0_°．
∵n边形的内角和等于_（__n_-_2_）__•_1_8_0，°
八年级数学下册《6.4 多边形的内角和与外角和》课件4 (新版)北师大版
=（n-2）• 180 °
第九页，共13页。
例题(lìtí)赏 析： ［例］一个多边形的内角(nèi jiǎo)和等于它 的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是 （n－2）·180°，外角(wài jiǎo)和等于360°
， 所以（n－2）·180 °=3×360 ° 解得：n=8
方法.
1
1
1
2 4
5
3
4
2
2
3
猜想 如果是六边形、八边形……n边形 (cāixiǎng)：，还有类似的结论吗？
第七页，共13页。
动动脑：
问题：你能运用多边形内角和结论
(jiélùn)
推导出多边形外角和结论(jiélùn)
∵吗n？边形的每一个(yī ɡè)外角与它相邻的180内°角
的和是_____ ，
∵ n边形的每一个外角(wài jiǎo)与它相邻的内1角80的°
和是_____，
n • 180 °
∴ n边形的内角和加外角3(6w0à°i jiǎo)和等于 ________
．
∵ ∴
nnn边边•形形18的的0 外°内角角– (3和w60à等i°j于iǎo)和等于
______，
= n •180 ° – 2×180 °
∠2，∠3，∠4，∠5，∠6都是
_∠_61_0+_°_∠度2，+∠那3么+∠4+∠5+∠6=
6
360°
3
4
5
第三页，共13页。
情景(qíngjǐng)引入
问题：小明每从一条(yī tiáo)街道转到下一条(yī tiáo)街道时，身体转过的角是哪个角？跑完一圈身体转
北师大版八年级数学下册6.4多边形的内角和与外角和教学课件.ppt
A 方法1：如图，连接AC,
四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
B C
方法2：如图，在BC边上任取一点E，连接AE,DE， 所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为 180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3180°=360°.
条．
例6 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求 ∠BED的度数．
解：由题意得 ∠A ∠AED 5 2 180°=108°，
5 AB=AE,所以∠AEB= 1 (180°-∠A)=36°，
2 所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.
当堂练习
1.判断． (1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( ) (2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( ) (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( ) 2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形 的每一个内角等于_1_2_0_°__．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CDF+∠EBF=90°，
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF为直角三角形．
运用了整体思想
问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方 法求五边形和六边形内角和吗?
(n 2) 180 n
例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2倍，求这个多边形的边数. 解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n－2)•180°， 多边形外角和等于360°， ∴ (n－2)•180°=2× 360º. 解得 n=6. ∴这个多边形的边数为6.
四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
B C
方法2：如图，在BC边上任取一点E，连接AE,DE， 所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为 180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3180°=360°.
条．
例6 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求 ∠BED的度数．
解：由题意得 ∠A ∠AED 5 2 180°=108°，
5 AB=AE,所以∠AEB= 1 (180°-∠A)=36°，
2 所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.
当堂练习
1.判断． (1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( ) (2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( ) (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( ) 2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形 的每一个内角等于_1_2_0_°__．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CDF+∠EBF=90°，
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF为直角三角形．
运用了整体思想
问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方 法求五边形和六边形内角和吗?
(n 2) 180 n
例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2倍，求这个多边形的边数. 解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n－2)•180°， 多边形外角和等于360°， ∴ (n－2)•180°=2× 360º. 解得 n=6. ∴这个多边形的边数为6.
数学北师大版八年级下册6.4多边形的内角和与外角和教案课件(19张PPT)
敬
请
知识象一艘船
指
让它载着我们
驶向理想的……
导
探究活动二：三角形的外角和
D
1A
B
2 E
3
C
F
探究活动二：三角形的外角和 D
整体思路： 三角形的外角和
=3个平角-3个内角的和
1A
B
2 E
3 CF
推理过程: ∠1+∠2+∠3=3×180°-(3-2)×180°=360°
探究活动三：四边形的外角和
整体思路： 四边形的外角和
=4个平角-4个内角的和
整体思路： 五边形的外角和
=5个平角-5个内角的和
推理过程:
1A
B
2
5
E
如图,五边形ABCDE中
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
C3
4
D
=5×180°-(5-2)×180°
=360°
探究活动一：五边形的外角和
A
A′
1
B
5
E′
5
2
E
O3
D′
C 3
B′
4
D
C′
结论：
1， 2， 3， 4， 5的和等于360ْ
探索多边形的外角和
创设情境 导入新课
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。
合作交流 解读探究
多边形内角的一边与另一边的反向延长 线所组成的角叫做这个多边形的外角。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它
们的和叫做这个多边形的外角和。
A
1
6
B
5
2
E
C 3
4 D
八年级数学下册《6.4 多边形的内角和与外角和》课件1 (新版)北师大版
（n-2）×180°
第十一页，共14页。
那么(nà me)对于正多边形来说，又遇到怎样的问题 呢？
因为正多边形的每个角相等，所以知道 正多边形的边数，就可以(kěyǐ)求出每一个内 角的度数．
（n－2）×180°/ n
第十二页，共1 1080°；
例2
已知多边形的每一内角(nèi jiǎo)为150°，求这个多边形
有线段：
A
B
D
C
连结(lián jié)多边形不相邻的两个顶点 的线段叫做多边形的对角线．
第七页，共14页。
问题
(wèntí)5：四边形的内角(nèi jiǎo)和
D
A
B
C
第八页，共14页。
四边形的内角(nèi jiǎo)和
D A
B
C
结论(jiélùn)：四边形的内角和
∠为A3+6∠0Bo +∠C+∠D=360o
2.一个正方形瓷砖，截去一个角后：(1)还剩几个角？ (2)剩下(shènɡ xià)的多边形的内角和是多少度？
第十四页，共14页。
问题2：
你能说一说下面(xiàmian)所指的是多边形的什么？
顶点 (dǐngd iǎn)
边
内角 (nèi jiǎo) 第三页，共14页。
请大家细心地填一填，多边形的内角，边，外 角三者的关系(guān xì)表，你能发现什么规律 ？
3 4 5 67
n
3
4
5
67
n
6
8 10 12 14
2n
第四页，共14页。
4 多边形的内角(nèi jiǎo)和与 外角和
第一页，共14页。
探究新知
问题1：
第十一页，共14页。
那么(nà me)对于正多边形来说，又遇到怎样的问题 呢？
因为正多边形的每个角相等，所以知道 正多边形的边数，就可以(kěyǐ)求出每一个内 角的度数．
（n－2）×180°/ n
第十二页，共1 1080°；
例2
已知多边形的每一内角(nèi jiǎo)为150°，求这个多边形
有线段：
A
B
D
C
连结(lián jié)多边形不相邻的两个顶点 的线段叫做多边形的对角线．
第七页，共14页。
问题
(wèntí)5：四边形的内角(nèi jiǎo)和
D
A
B
C
第八页，共14页。
四边形的内角(nèi jiǎo)和
D A
B
C
结论(jiélùn)：四边形的内角和
∠为A3+6∠0Bo +∠C+∠D=360o
2.一个正方形瓷砖，截去一个角后：(1)还剩几个角？ (2)剩下(shènɡ xià)的多边形的内角和是多少度？
第十四页，共14页。
问题2：
你能说一说下面(xiàmian)所指的是多边形的什么？
顶点 (dǐngd iǎn)
边
内角 (nèi jiǎo) 第三页，共14页。
请大家细心地填一填，多边形的内角，边，外 角三者的关系(guān xì)表，你能发现什么规律 ？
3 4 5 67
n
3
4
5
67
n
6
8 10 12 14
2n
第四页，共14页。
4 多边形的内角(nèi jiǎo)和与 外角和
第一页，共14页。
探究新知
问题1：
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3
4
5
情景引入
问题：小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过 的角是哪个角？跑完一圈身体转过的角度之和是多少？
概念的理解： 多边形内角的一边与另一边的反向延长线 所组成的角叫做这个多边形的外角．
在每个顶点处取这个多边形的一个外角， 它们的和叫做这个一顶点 处按顺（逆）时针方向可作外角， n边形有n个外角.
∴ n 边形的外角和等于
n • 180 °– （n-2）• 180 ° = 360 ° 多边形的外角和与多边形的 边数无关，它恒等于360°．
议一议：
反过来，你能运用多边形外角和结论 推导出多边形内角和结论吗？ 180 ° ∵ n边形的每一个外角与它相邻的内角的和是_____ ， n • 180 ° ∴ n边形的内角和加外角和等于 ________ ． 360 ° ∵ n边形的外角和等于 ______ ， ∴ n 边形的内角和等于 n • 180 ° – 360 ° = n •180 ° – 2×180 °
=（n-2）• 180 °
例题赏析：
［例］一个多边形的内角和等于它
的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是 （n －2 ）· 180°，外角和等于360°，
所以（n－2）· 180 °=3×360 °
解得：n=8
答：这个多边形是八边形．
练习：
如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米 后向左转30 °，再沿直线前进10米，有向 左转30 ° ……照这样走下去，他第一次回 到出发地A点时，一共走了____米 ．
1 1 3 2 2 1 4 3 3 2 5 4
猜想：如果是六边形、八边形……n边 形，还有类似的结论吗？
动动脑： 问题：你能运用多边形内角和结论 推导出多边形外角和结论吗？
180° ∵ n边形的每一个外角与它相邻的内角的和是_____ ， n • 180 ° ∴ n边形的内角和加外角和等于 ________ ． n-2） • 180 ° ∵ n边形的内角和等于（ ___________ ，
温馨回顾
5-2） ×180=540 °． 1、五边形的内角和是（ ____ ______ _____
2
2、如图，正六边形的内 1 720° 度，每个内角 角和是______ 都是_____ 120°度，∠1，∠2， ∠3，∠4，∠5，∠6都是 6 60°度，那么 _____ ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= 360°
30º
30º 30º
●
A
分层测试
1、若一个多边形的边数增加1，则他 的外角和将如何变化？ 2、如果有一个多边形糖果盒，他的 内角和与外角和相等，你能判断出这 个糖果盒是几边形的吗？ 3、甘泉公园有一个正多边形花坛， 它的一个内角为120°，那么这个花 坛边数是____．
4、n边形的内角和与外角和的比是7：2， 则n的值是（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 5、如图， △ABC中， ∠A=50 °， 则∠1 +∠2的大小为____．
C
A
1 2
B
1 2 5 4 3
动动脑：
1
3 4 2 等边三角形 正方形 3 1 2 6 5
活动一
1 2 3
4 正六边形
问题：1)每个图形的各内角相等吗？分别是多少度？
2)每个图中的外角是哪些？它们相等吗？
3)每个图中外角和分别是多少？
动动手：
利用卡片上的多边形小组合作，探索多 边形的外角和是多少，说说你的方法.