精品解析：湖北省潜江市积玉口中学2019届九年级10月联考数学试题(解析版)

潜江市积玉口上学期九年级
十月联考数学试卷
一、选择题
1.下列方程是一元二次方程的是（ ） A. 2
21x y += B. 223x x -= C. 2
2
1
5x x +
= D. a 20x =
【答案】B 【解析】 【分析】
根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可． 【详解】A 、是二元二次方程，不是一元二次方程，故此选项错误； B 、是一元二次方程，故此选项正确；
C 、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误；
D 、当a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选B ．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.若关于x 的一元二次方程x 2
﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ） A. 1 B. ﹣3
C. 3
D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
设方程的另一个解为x 1，根据两根之和等于﹣b
a
，即可得出关于x 1的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设方程的另一个解为x 1，
根据题意得：﹣1+x 1=2， 解得：x 1=3， 故选C ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a
是解题的关键．
3.下列对二次函数y=x 2
﹣x 的图象的描述，正确的是（ ）
A. 开口向下
B. 对称轴是y 轴
C. 经过原点
D. 在对称轴右侧部分是下降的
【答案】C 【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案. 【详解】A 、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A 不正确；
B 、∵﹣
1
22
b a =，∴抛物线的对称轴为直线x=12，选项B 不正确；
C 、当x=0时，y=x 2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C 正确；
D 、∵a ＞0，抛物线的对称轴为直线x=12
， ∴当x ＞
1
2
时，y 随x 值的增大而增大，选项D 不正确， 故选C ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax 2
+bx+c （a≠0），对称轴直线x=-
2b
a
，当a ＞0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向上，当a ＜0时，抛物线y=ax 2
+bx+c （a≠0）的开口向下，
c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.
4.已知关于x 的方程210ax bx ++=的两根为11x =，22x =，则方程a （x+1）2+b （x+1）+1=0的两根之和为( ) A. １
B. －１
C. ０
D. ３
【答案】A
【解析】
【分析】
利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．
【详解】设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4，
∴at2+bt+1=0，
由题意可知：t1=1，t2=2，
∴t1+t2=3，
∴x3+x4+2=3
故答案为：1
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
5.将抛物线y=1
2
x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）
A. y=1
2
（x﹣8）2+5 B. y=
1
2
（x﹣4）2+5 C. y=
1
2
（x﹣8）2+3 D. y=
1
2
（x﹣4）2+3
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．
【详解】y=1
2
x2﹣6x+21
=1
2
（x2﹣12x）+21
=1
2
[（x﹣6）2﹣36]+21
=1
2
（x﹣6）2+3，
故y=1
2
（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，
得到新抛物线的解析式为：y=1
2
（x﹣4）2+3．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记函数图象平移的规律并正确配方将原式变形是解题关键．
6.若关于x的方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A. k＞﹣1且k≠0
B. k＞﹣1
C. k＜﹣1
D. k＜1且k≠0
【答案】A
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的概念及一元二次方程根的判别式计算即可.
【详解】根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
所以k＞﹣1且k≠0．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
7.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）
A. 2%
B. 4.4%
C. 20%
D. 44%
【答案】C
【解析】
分析：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
详解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x 1=0.2=20%，x 2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%． 故选C ．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.已知一次函数y=
b a
x+c 的图象如图，则二次函数y=ax 2
+bx+c 在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
由一次函数的
图象判断出
b
a
<0, c>0，再判断二次函数的图象特征，进而求解. 【详解】由一次函数的图象可得：b a <0, c>0，所以二次函数y=ax 2
+bx+c 图象的对称轴=2b a
-
>0,与y 轴的交点在正半轴，符合题意的只有A.故选A.
【点睛】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，解题的关键是根据一次函数的图象判断出b
a
<0, c>0.
9.若二次函数2
y x mx =+的对称轴是x=4，则关于x 的方程29x mx +=的解为（ ） A. x 1=0，x 2=8 B. x 1=1，x 2=9
C. x 1=1，x 2=﹣9
D. x 1=﹣1，x 2=9
【答案】D
【解析】 【分析】
先根据二次函数y=x 2+mx 的对称轴是x=4求出m 的值，再把m 的值代入方程x 2
+mx=9，求出x 的值即可． 【详解】∵二次函数y=x 2
+mx 的对称轴是x=4，
∴-
2
m
=4， 解得m=-8，
∴关于x 的方程x 2+mx=9可化为x 2
-8x-9=0，即（x+1）（x-9）=0，解得x 1=-1，x 2=9．
故选D ．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．
10.如图，二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）
，与y 轴的交点B 在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc ＜0；②9a+3b+c ＞0；③若点M （1
2
，y 1），点N （
52
，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④﹣35＜a ＜﹣2
5．其中正确结论有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】D 【解析】 【分析】
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】①由开口可知：a ＜0， ∴对称轴x=−2b
a
＞0， ∴b ＞0，
由抛物线与y 轴的交点可知：c ＞0，
∴abc ＜0，故①正确；
②∵抛物线与x 轴交于点A （-1，0）， 对称轴为x=2，
∴抛物线与x 轴的另外一个交点为（5，0）， ∴x=3时，y ＞0，
∴9a+3b+c ＞0，故②正确； ③由于12＜2＜5
2
， 且（
52
，y 2）关于直线x=2的对称点的坐标为（3
2，y 2），
∵12＜32
， ∴y 1＜y 2，故③正确， ④∵−
2b
a
=2， ∴b=-4a ， ∵x=-1，y=0， ∴a-b+c=0， ∴c=-5a ， ∵2＜c ＜3， ∴2＜-5a ＜3， ∴-
35＜a ＜-2
5
，故④正确 故选：D ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
二、填空题
11.一元二次方程22x x 的根是__________．
【答案】0，2 【解析】 【分析】
移项后左边因式分解即可得． 【详解】22x x =
x 2-2x=0， x （x-2）=0， ∴x 1=0，x 2=2， 故答案为：0，2．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解．
12.已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在二次函数2
(1)1y x =-+的图象上，若121x x >>，则
1y __________2y ．（填“>”“<”“=”）
【答案】12y y > 【解析】
抛物线()2
y x 11=-+的对称轴为：x=1， ∴当x>1时，y 随x 的增大而增大. ∴若x 1>x 2>1 时，y 1>y 2 . 故答案为：>
13.在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x 人，则根据题意可列方程为__________________________. 【答案】x （x-1）=110 【解析】
试题解析：有x 个小朋友参加聚会,则每人送出(1)x -件礼物，
由题意得, (1)110.x x -= 故答案为：(1)110.x x -=
14.对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b=a 2+ab+b 2．若方程（x ◆2）-5=0的两根记为m 、n ，则m 2＋n 2
=______．
【答案】6 【解析】 【分析】
根据新定义可得出m 、n 为方程x 2
+2x-1=0的两个根，利用根与系数的关系可得出m+n=-2、mn=-1，将其代入m 2+n 2=（m+n ）2
-2mn 中即可得出结论． 【详解】∵（x ◆2）-5=x 2
+2x+4-5， ∴m 、n 为方程x 2
+2x-1=0的两个根，
∴m+n=-2，mn=-1，
∴m 2+n 2=（m+n ）2
-2mn=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a 、两根之积等于c
a
是解题的关键．
15.如果抛物线y=-x 2+（m-1）x+3经过点（2，1）
，则关于x 的方程2
2(2)10m x --=的实数根为________． 【答案】15
2
x = ,232x =
【解析】 【分析】
把点（2，1）代入函数解析式，计算m 的值，代入方程求解即可．
【详解】∵抛物线y=-x 2
+（m-1）x+3经过点（2，1），
∴-4+2m-2+3=1， 解得m=2．
把m=2代入2
2(2)10m x --=得，
24(2)10x --=，
解得，15
2
x =
,232x =
故答案为15
2
x = ,232x =．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，理解函数图象上的点的坐标满足函数关系式是解题的关键．
16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=ax 2
+bx （a ＞0）的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，
它的对称轴与抛物线y=ax 2
（a ＞0）交于点B ．若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是_____．
【答案】﹣2 【解析】
分析：根据正方形的性质结合题意，可得出点B 的坐标为（-2b a ，-2b a
），再利用二次函数图象上点的坐标
特征即可得出关于b 的方程，解之即可得出结论． 详解：∵四边形ABOC 是正方形， ∴点B 的坐标为（-2b a ，-2b
a
）．
∵抛物线y=ax 2
过点B ， ∴-
2b a =a （-2b a
）2
，
解得：b 1=0（舍去），b 2=-2． 故答案为：-2．
点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于b 的方程是解题的关键．
三、解答题
17.（1）2x2+5x+2=0（2）（x+1）（x-3）=2x-5
【答案】（1）x1＝－2，x2＝
1
2
-;（2）
1
22
x=+,
2
22
x=-
【解析】
【分析】
（1）先找出a，b，c，再求出判别式，用公式法解即可；
（2）去括号，移项，整理得x2-4x+2=0，再运用配方法求解即可. 【详解】（1）2x2+5x+2=0
在这里，a=2，b=5，c=2，
△=b2-4ac=52-4×2×2=9>0，
∴
59
4
x
-±
=，
∴x1＝－2，x2＝
1 2 -;
（2）（x+1）（x-3）=2x-5 整理得，x2-4x+2=0，
配方得，(x-2)2=2,
解得，
122
x=+,
222
x=-.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18.二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）写出它的开口方向，对称轴、顶点坐标和最值．
【答案】（1）y=﹣1
2
（x﹣3）2+5；（2）开口向下，对称轴为直线x=３，当x=３时函数的最大值为５；
【解析】
（1）设顶点式y=a（x-3）2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；（2）根据二次函数解析式，即可得到开口方向，对称轴、顶点坐标和最值.
【详解】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2+5，
将A（1，3）代入上式得3=a（1﹣3）2+5
，解得a=﹣1
2
，
∴抛物线的解析式为y=﹣1
2
（x﹣3）2+5，
（2）根据y=﹣1
2
（x﹣3）2+5，可得抛物线开口向下，对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，5），当x=3时
函数的最大值为5.
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
19.如图，在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x=1的抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点B的坐标为（-1，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D的坐标为（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（1+2，2）或（1﹣2，2）．
【解析】
（1）求出A、B坐标，利用待定点C的坐标为（0，3），点D（1，0），
（2）由点C的坐标为（0，3），点D（1，0），可知满足条件的点P的纵坐标为2，解方程-x2+2x+3=2即可得到点P的横坐标，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，
∴由题意可求点A的坐标为（3，0）．
将点A（3，0）和点B（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c，
得
093
01
b c
b c
=-++
⎧
⎨
=--+
⎩
，
解得
2
3
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线的解析式y=﹣x2+2x+3．
（2）如图，
∵点C的坐标为（0，3），点D（1，0），
∴满足条件的点P的纵坐标为2．
∴﹣x2+2x+3=2．
解得x1=1+2，x2=1﹣2，
∴点P的坐标为（1+2，2）或（1﹣2，2）．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20.为响应潜江市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，
其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m ，另外三边由36m 长的栅栏围成．设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB=xm ，面积为ym 2
（如图）．
（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为160m 2
，求x 的值．
【答案】（1）y= -2x 2+36x （9≤x ＜18）；（2）10.
【解析】 【分析】
（1）根据矩形的面积公式计算即可；
（2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意
【详解】（1）y=x （36-2x ）=-2x 2+36x （9≤x ＜18） （2）由题意：-2x 2
+36x=160，
解得x=10或8．
∵x=8时，36-16=20＜18，不符合题意， ∴x 的值为10．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.
21.己知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+3）x+k 2
=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．
（1）求k 的取值范围；
（2）若12
11
x x =﹣1，求k 的值． 【答案】（1）k ＞﹣3
4
；（2）k=3． 【解析】 【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k 的不等式，解之即可得出k 的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣2k ﹣3、x 1x 2=k 2
，结合
12
11x x +=﹣1即可得出关于k 的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k+3）x+k 2
=0有两个不相等的实数根， ∴△=（2k+3）2﹣4k 2
＞0，
解得：k ＞﹣
34
； （2）∵x 1、x 2是方程x 2+（2k+3）x+k 2
=0的实数根， ∴x 1+x 2=﹣2k ﹣3，x 1x 2=k 2
，
∴
122
121211
23x x k x x x x k +--+===﹣1， 解得：k 1=3，k 2=﹣1，
经检验，k 1=3，k 2=﹣1都是原分式方程的根， 又∵k ＞﹣3
4
， ∴k=3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合
12
11x x +=﹣1找出关于k 的分式方程．
22.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=x 2﹣2（k ﹣1）x+k 2
﹣
5
2
k （k 为常数）． （1）若抛物线在3x =时有最低点，求k 的值；(2)若抛物线经过点（1，k 2
），求k 的值； （3）若抛物线经过点（2k ，y 1）和点（2，y 2），且y 1＞y 2，求k 的取值范围． 【答案】（1）k ＝4；（2）k=2
3
；（3）k ＞1 【解析】 【分析】
（1）由抛物线解析式可得出当x=k-1时，抛物线有最低点，结合条件可求出k 的值； （2）把点坐标代入解析式即可；
（3）分别把点（2k ，y 1）和点（2，y 2）代入函数解析式，表示y 1、y 2利用条件构造关于k 的不等式
【详解】(1)由y=x 2﹣2（k ﹣1）x+k 2
﹣52k 得，y=[x-(k-1)]2-52
k-1 ∴抛物线有最低点， 即k ﹣1＝3， 解得，k ＝4；
（2）把点（1，k 2）代入抛物线y=x 2﹣2（k ﹣1）x+k 2
﹣5
2
k ，得 k 2=12﹣2（k ﹣1）+k 2﹣52
k 解得k=
23
（3）把点（2k ，y 1）代入抛物线y=x 2
﹣2（k ﹣1）x+k 2
﹣5
2
k ，得 y 1=（2k ）2﹣2（k ﹣1）•2k+k 2﹣
52
k=k 2+32k
把点（2，y 2）代入抛物线y=x 2﹣2（k ﹣1）x+k 2
﹣
5
2
k ，得 y 2=22﹣2（k ﹣1）×2+k 2﹣52
k=k 2﹣132k+8
∵y 1＞y 2
∴k 23
2k +
>k 2﹣132
k+8 解得k ＞1. 【点睛】本题二次函数综合题，考查二次函数图象性质．解答时注意用k 表示顶点．
23.如图，二次函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴交于两点，其中点A 坐标（-1，0 ），点C （0，5）、D （1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB面积．
【答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）15.
【解析】
【分析】
（1）由A、C、D三点在抛物线上，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积=1
2 MN•OB.
【详解】（1）∵A（﹣1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴
5
8
a b c
c
a b c
=-+
⎧
⎪
=
⎨
⎪=++
⎩
，
解方程组，得
1
4
5
a
b
c
=-
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
故抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积=1
2 MN•OB．
∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣5）（x+1）=﹣（x﹣2）2+9，
∴M（2，9），B（5，0），
由B、C两点的坐标易求得直线BC的解析式为：y=﹣x+5，当x=2时，y=﹣2+5=3，则N（2，3），
则MN=9﹣3=6，
则S△MCB=1
2
×6×5=15．
【点睛】本题考查了解二次函数综合题的方法：先运用待定系数法求出二次函数的解析式，确定各特殊点的坐标，得到有关线段的长，求出三角形的面积.
24.某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润为10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元． (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属于第几档次产品？
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 【答案】(1) 第3档次；(2) 第5档次 【解析】
试题分析：（1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品；
（2）设烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．
试题解析：（1）（14﹣10）÷2+1=3（档次）． 答：此批次蛋糕属第3档次产品．
（2）设烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据题意得：（2x+8）×（76+4﹣4x ）=1080，整理得：x 2﹣16x+55=0，解得：x 1=5，x 2=11（舍去）．
答：该烘焙店生产的是第5档次的产品． 考点：一元二次方程应用．
25.如图，已知二次函数2
3y ax bx =++的图象与x 轴分别交于A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C.
（1）求此二次函数解析式；
（2）点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Ｐ，使得ＰC+ＰA 最短？若Ｐ点存在，求出Ｐ点的坐标；若Ｐ点不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x 2
﹣4x+3；（2）△BCD 为直角三角形；（3）存在．P （2，1）．
【解析】 【分析】
（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由BC 2+BD 2=CD 2可证出△BCD 为直角三角形；
（3）由（1）知该抛物线的对称轴为x ＝2，点A 关于对称轴x=2的对称点为点B ，连接BC ，则直线BC 与对称轴x=2的交点即为点P ．求出BC 所在直线解析式，求出x=2时y 的值，进而得出答案.
【详解】（1）将A （1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：
309330a b a b ++=⎧⎨
++=⎩
，解得：1
4a b =⎧⎨=-⎩， ∴此二次函数解析式为y=x 2
﹣4x+3． （2）△BCD
直角三角形，理由如下：
∵y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2
﹣1，
∴顶点D 的坐标为（2，﹣1）． 当x=0时，y=x 2
﹣4x+3=3， ∴点C 的坐标为（0，3）． ∵点B 的坐标为（3，0）， ∴BC=22(30)(03)-+-=32， BD=22(23)(10)=2-+--， CD=22(20)(13)-+--=25．
∵BC 2+BD 2=20=CD 2
，
∴∠CBD=90°，
∴△BCD 为直角三角形．
(3)存在．
由（1）知该抛物线的对称轴为x ＝2，
点A 关于对称轴x=2的对称点为点B ，连接BC ，则直线BC 与对称轴x=2的交点即为点P ． 令直线BC 的解析式为y=kx+b ，代入点C （0，3）和点Ｂ（3，0）， 得3
30b k b =⎧⎨
+=⎩
，
解得3,1b k ==-．
所以直线BC 的解析式为y=-x+3． 当x=2时，y=-2+3=1， 所以点P （2，1）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二
次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC 2+BD 2=CD 2；（3）作出点A 关于
对称轴x=2的对称点为点B ，连接BC ，则直线BC 与对称轴x=2的交点即为点P ．。