隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
Fx = 2x,
均连续。 Fy = 2y, 均连续。
x0 = 0, y0 = 1. F(0,1) = 0,
Fy (0,1) = 2 ≠ 0,
理知方程x2 + y2 − 1 = 0在 (0,1)的 邻 依定 点 某 域内能唯一确定一个单值可导、 域内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时
y = 1的函数y = f (x)．
的函数， 把y看成x, z 的函数，对z求偏导数得
∂y ∂y 1 = fu ⋅ ( + 1) + fv ⋅ ( xy + xz ), ∂z ∂z
整理得
∂y 1 − fu − xy ⋅ fv . = ∂z fu + xz ⋅ fv
二、方程组的情形
F( x, y, u, v) = 0 G( x, y, u, v) = 0
′ Fz = ( z − f (u, v))z
= 1 − fu ⋅ ( x + y + z)′y − fv ⋅ ( xyz)′y = 1− fu − x y fv .
Fx fu + yz ⋅ fv ∂z 于是， 于是， ∂x = − F = 1 − f − xy ⋅ f . z u v
∂x = − Fy = − fu + xz ⋅ fv . fu + yz ⋅ fv Fx ∂y
何时唯一确定函数u = u( x, y), v = v( x, y)？
∂u = ? ∂x
∂u = ? ∂y
∂v ? = ∂x
∂v = ? ∂y
隐函数存在定理3 隐函数存在定理 3 设F( x, y, u, v)、G( x, y, u, v)在点P( x0 , y0 , u0 , v0 )的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数， 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且F( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0，G( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0，且偏导数所组成的 函数行列式（或称雅可比式） 函数行列式（或称雅可比式）
第六节隐函数的求导公式
2z ( Fx) ( Fx) z xy y Fz z Fz y
FxyFz FzyFx FxzFz FzzFx ( Fy)
Fz2
Fz2
Fz
FxzFz2 FzyFxFz FxzFyFz FzzFxFy . Fz3
z Fx x Fz
d 2 y FxxFy2 2FxyFxFy FyyFx2
(2 z) x( z ) (2 z)2 x
(2 z) x x 2
(2 z)2
z
(2 z)2 x2 .
(2 z)3
或方程两边对x求偏导得：2 x
2z
z x
4
z ， x
z x
2
x
z
.
方程两边对y求偏导得：2
y
2z
z y
4
z， y
z y
2
y
z
.
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例4、设z f ( x y z, xyz)，求 z，x，y . x y z
dx 2
Fy3 上 页 下 页 返 回
例3、设x2 y2 z2 4z，求 z 、z 及 2z . x y x2
解：令F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z，
则 Fx 2x，Fy 2 y，Fz 2z 4.
z x
Fx Fz
2
x
，z z y
Fy Fz
2
y
z
.
2z x 2
d d
y x
Fx Fy
3x2 3 y2
3ay 3ax
x2 ax
ay y2
d 2 y (2x ay)(ax y2 ) ( x2 ay)(a 2 yy)
dx2
(ax y2 )2
隐函数的求导公式
当Fz cos z xy 0时，有
例 5 设 z f ( x, y ) 是由方程
z z , . 求 x y .
sinz xyz 所确定的隐函数，
得恒等式F ( x, f ( x)) 0
F F dy 求其全导数 0 x y dx
由于F y 连续且F y ( x0 , y0 ) 0, 所以存在( x0 , y0 ) 的一个邻域，在此邻域 内F y 0
F Fx dy x 于是 F dx Fy y
Fx dy dx Fy
把复合函数 z f [ u( x , y ), x , y ] 中 中的u 及 y 看作不 的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对 x 的偏导数
3、复合高阶偏导数
复合一阶偏导： z f (u, v ) u u( x, y), v v( x, y)
z z u z v z z u z v ， x u x v x y u y v y
z x y 例 6 设 z f ( x y z , xyz )，求 ， ， . x y z
解 令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得 z z z f u (1 ) f v ( yz xy ), x x x
例１ 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点( 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0 的值. F ( x, y) x 2 y 2 1
85隐函数的求导公式
z x
c2x a 2z
,
z y
c2y b 2z
(z0)
在求Fx , Fy, Fz时, 将F(x, y, z)看作是 x, y, z的三个自变量的函数.
11
8.5 隐函数的求导公式
例
已知 ax22by22cz221,
求z,z及2z . x y xy
解 法二 推导法
1,
求z,z及2z . x y xy
法三 全微分法
将隐函数方程两边取全微分
dax22by22cz22d(1) 2 ax 2dx2 b2 ydy2 c2 zdz0
c2x c2y dza2zdxb2zdy
z x
z y
zf(x,)y
dz zdxzdy x y
10
8.5 隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
z Fy y Fz
例
已
知 ax22by22cz221,
求z,z及2z . x y xy
解 法一
公式法
令
F(x,y,z)ax22
y2 b2
z2 c2
1
则
Fx
2x a2
,
2y Fy b2 ,
2z Fz c2
duvvduv2udv
从而 z zF1 , z zF2 . x xF1yF2 y xF1yF2
18
8.5 隐函数的求导公式
法三 将方程两边求导(推导法).
对x求偏导: F u F v 0
u x v x
F( x , y) 0 zz
1 Fu Fv
F y Fv G y Gv
Gu Gv
高等数学隐函数的求导公式
3
隐函数的求导公式
隐函数存在定理1 设二元函数 F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内满足:
(1) 具有连续偏导数;
(2) F ( x0 , y0 ) 0; (3)Fy ( x0, y0 ) 0, 则方程 F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
9
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
z Fy y Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
求 z , z 及 2z . x y xy
解
令 F(x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
则
Fx
2x a2
,
2y Fy b2 ,
2z Fz c2
z2
c2[
x ( a2z2
c2 y b2z
)]
c4 xy a2b2z3
注 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意:
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
11
隐函数的求导公式
例
设有隐函数
F(
x z
,
y z
)
0
,其中F的偏导数连续,
求 z , z . x y
u y u v
22
隐函数的求导公式
特别
如果方程组
F ( x, G( x,
y, u, v ) y, u, v )
0 0
为
F ( x,u,v) G( x,u,v)
第五节 隐函数求导公式
24
隐函数的求导公式
u u v v F ( x , y , u, v ) 0 求 , , , . x y x y G ( x , y , u, v ) 0 F ( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0 将恒等式 G( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0
两边关于x求偏导, 由链导法则得:
F F u F v x u x v x 0
G G u G v 0 x u x v x
u v 解这个以 为未知量的线性方程组. , x x
dy Fx ( x , y ) 隐函数的求导公式 dx Fy ( x , y ) (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x , f ( x )) 0
两边关于x求导, 由全导数公式,得
4
隐函数的求导公式
F ( x , f ( x )) 0
dy Fx ( x , y ) Fy ( x, y ) 0 dx 所以存在 且Fy ( x0 , y0 ) 0， 由于Fy ( x, y)连续，
dz (1, 0, 1) dx 2dy
17
隐函数的求导公式
xyz x 2 y 2 z 2 2
法二 用全微分
yzdx xzdy xydz 2 xdx 2 ydy 2 zdz 0 2 x2 y2 z2 将点(1,0,1)代入上式, 得
dz (1, 0 , 1) dx 2dy
并有
Fy z Fx z . , Fz x Fz y
8
隐函数的求导公式
(证明从略)仅推导公式.
隐函数的求导公式
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2
第六节隐函数的求导公式
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若F( x, y )的二阶偏导数也都连续,则
Fx d2y Fx d y ( ) ( ) 2 d x x Fy y Fy d x
Fx Fy
x
y
x
x Fy Fx Fx F x F 2 ( 求二阶导数 y y d y x y 或 2 x 2 的通常方法 ) dx Fy dy dy ( Fxx Fxy )Fy Fx ( Fyx Fyy ) dx dx 2 d y F x Fy d x F 2 2 y Fxx Fy 2 Fxy FxFy Fyy Fx . 3 Fy 上页 下页 返回
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x y z x y z
x x
dy dz z xf ( x y ) y y( x ) 例5、 设 确定 ， 求 及 . y， z) 0 dx dx F ( x， z z( x )
解：将每个方程两边对 x求导得
z f xf (1 y )
2 FxFz Fx Fx z Fz Fzy z Fy Fz Fz z Fx Fy . 3 Fz 2 2 2 F F 2 F F F F F z Fx d y xx y xy x y yy x x Fz dx 2 Fy 3
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y
若F( x , y, z ) 的二阶偏导数也都连续,则
2 2 Fx x Fz 2Fx z Fx Fz Fz z Fx z . 2 3 x Fz 2 2 2 Fy y Fz 2Fy z Fy Fz Fz z Fy z . 2 3 y Fz 2
隐函数求导
f x gyhz f x gxhz f ygzhx . g y hz
七、 dy Ft f x Fx f t . dx Ft F y f t
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0,
dx x0
d2y dx 2
y xy y2
y
x y2
x y
1 y3
,
d2y dx2 x0 1.
例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
解 令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y , x
解 令 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的 函数 y f ( x)．
函数的一阶和二阶导数为
导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并
有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x 0的值.
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
并有
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
例 3 设 x2 y2 z2 4z 0，求x2z2 .
解 令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
则
Fx ( x, y)
第五节隐函数的求导公式
第五节隐函数的求导公式隐函数是指在一些方程中以一个变量表示另一个变量的函数，其中一个变量通常被称为自变量，另一个变量被称为因变量。
求解隐函数的导数是微积分中的重要内容，因为它可以帮助我们找到函数的变化率和切线方程等信息。
本文将介绍隐函数的求导公式。
隐函数求导的关键在于使用链式法则。
链式法则是微积分中的一个基本原理，它描述了复合函数的导数与原函数导数的关系。
在隐函数的情况下，我们可以将因变量视为自变量的函数，并运用链式法则进行导数的计算。
设有一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中y是x的函数。
我们希望求解dy/dx，即隐函数的导数。
首先我们将隐函数方程两边对x求导，得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0由于我们求解的是dy/dx，我们可以将这个方程改写为：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这就是隐函数的求导公式，它告诉我们如何通过对隐函数方程进行求导来获得隐函数的导数。
这个求导公式的推导并不复杂，但需要注意一些细节。
首先，我们要确保F(x, y)在求导过程中对x和y都是可导的。
换句话说，F(x, y)的偏导数存在且连续。
其次，我们要注意分母dF/dy不能为零，否则求导公式将无法成立。
以下是几个例子，以帮助理解隐函数的求导公式：例子1：设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们希望求解dy/dx。
首先对这个方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -2x / (2y) = -x / y这个例子告诉我们，对于圆的方程，求得的导数是-x/y。
例子2：设有一个隐函数方程e^x + ln(y) = 1，我们希望求解dy/dx。
e^x + 1/y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -e^x / (1/y) = -y * e^x这个例子告诉我们，对于指数和对数的方程，求得的导数是-y*e^x。
例子3：设有一个隐函数方程x^3 + 2y^2 = 5，我们希望求解dy/dx。
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
首先，要明确的是，隐函数求导的前提是要把隐函数表达式转化成显函数表达式，然后就可以采用求导的方法来求隐函数的导数。
1、把隐函数的表达式按照给定的变量进行分离，然后求函数
f(x,y,z) = 0 中每个变量的变化对隐函数求导的影响：
f/x= 0
f/y= 0
f/z= 0
2、通过计算得出每个变量对隐函数的影响，然后把这些变量的变化量组合起来，用如下公式求得隐函数的导数：
f/y = x·f/x + y·f/y + z·f/z
3、根据变换后的隐函数的表达式，求出其导数，多元隐函数的求导公式如下：
f/x = x·f/x1 + y·f/x2 + ... + z·f/xn
上式中，x1, x2, ..., xn 分别表示各个变量，而f/x1, f/x2,…, f/xn 表示每个变量对隐函数的影响。
4、求解一元隐函数的导数，采用如下公式：
y'= (dy/dx)·(dx/dy)
5、对于多元隐函数的导数，采用如下公式求解：
f/x=x(x1,x2,…,xn)·f/x1 + y(x1,x2,…,xn)·f/x2 +…
+z(x1,x2,…。
隐函数的求导公式
§8.5 隐函数的求导公式一、二元方程所确定的隐函数的情形由二元方程F x y(,)=0可确定一个一元的隐函数y f x=(),将之代入原方程,得到一个恒等式F x f x[,()]≡0对恒等式两边关于变量x求导,左边是多元复合函数,它对变量x的导数为F F dy dxx y+右边的导数自然为0,于是有F F dy dxx y+=0解出dydx,得到隐函数的导数dydxFFxy=-。
由多元复合函数的求导定理可知,当F x y(,)=0在(,)x y具有一阶连续偏导数,而y f x=()在x可导时,才可求出复合函数F x f x[,()]的导数,若Fy≠0时,才有dydxFFxy=-这一求导方法,实际上就是以往的直接求导数。
二、由三元方程所确定的二元隐函数的偏导数既然二元方程F x y(,)=0可以确定一个一元的隐函数y f x=(),那么三元方程F x y z(,,)=0便可确定一个二元的隐函数z f x y=(,)。
下面,我们介绍用直接求导法求此函数的偏导数。
对F x y z(,,)=0两边关于变量x求偏导,并注意z是x y,的函数,有F Fzxx z+⋅=∂∂解出∂∂zx ,得到二元隐函数的偏导数 ∂∂z xF F x z=-。
类似地，可得到F F z yy z +⋅=∂∂0,∂∂z yF F y z =-。
【例1】设x y z z 22240++-=, 求 ∂∂22zx 。
解: 将方程x y z z 22240++-=中的z 视为x y ,的隐函数,对x 求偏导数有2240x z z xz x+⋅-⋅=∂∂∂∂∂∂z xx z =-2再一次对x 求偏导数,仍然将z 视为x y ,的隐函数有∂∂∂∂222202z xz x z xz =--⋅--()()()=--⋅--()()2222z x x zz=-+-()()22223z x z也可以用下述方法来求二阶偏导数对422=⋅-⋅+xz xz z x ∂∂∂∂两边关于x 求偏导数,注意到x zz ∂∂,均为x y ,的函数,有2224022222+⋅+⋅-⋅=()∂∂∂∂∂∂z xz z xz x∂∂∂∂2222231222z xz xzz x z =+-=-+-()()()三、由两个函数方程所确定的隐函数的导数设有函数方程组F x y u vG x y u v (,,,)(,,,)==⎧⎨⎩00由此联立的方程组可消去一个变量v ,这样便得到由三个变量所构成的函数方程H x y u (,,)=0,而三元函数方程可确定一个二元隐函数 u u x y =(,),将之代入方程组的其中一个,得到另一个三元方程F x y u x y v (,,(,),)=0,于是,我们也可将变量v表示成x y ,的隐函数v v x y =(,)。
隐函数求导公式
多元函数微分法及其应用
第五节 隐函数求导公式
第五节
隐函数的求导公式
一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、内容小节
返回
一、一个方程的情形
设二元方程 F ( x , y ) 0 一元隐函数 y y( x ) 则有恒等式 F x , y ( x ) 0
F F dy 上式对 x 求全导数 0 x y dx
则二元方程F ( x , y ) 0 在P0点的邻域内总能唯一 确定一个一元隐函数 y y( x ) ，且有
设 F ( x , y ) 0 满足以下三个条件：
i ii
y y( x ) 单值连续，且 y0 y( x0 ) ； y y( x ) 具有连续导数；
一元隐函数 导数公式
z 例 2 设z z( x , y )由方程 x y z yf ( ) y
2 2 2
z z 确定，其中f 可微，求 ， . x y
例 3 设 x y z 4z 0 ，求
2
2
2
z x
2
2
.
二、方程组的情形
F ( x , y , u, v ) 0 若方程组 ，确定两个二元函数 G ( x , y , u, v ) 0 u u( x , y ) ，均可偏导，求 u x ， uy ， vx ， vy . v v ( x , y )
F dy 解得 x F dx y F 要求 y 0
隐函数存在定理1
i F ( x , y )在点P0 ( x0 , y0 )某邻域内有连续偏导数 ； ii F ( x0 , y0 ) 0 ； iii Fy ( x0 , y0 ) 0 .
隐函数的求导公式
① 在点
② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ; ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ,
的某邻域内具有连续偏导数 ;
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数 Fx z , x Fz
Fy z y Fz
②
§ 2.8 隐函数的求导公式
注意 J 0, 从方程组②解得
x 1 v u 1 1y , x J 0 y J v v
x u x v 1 , ①式两边对 同理 求导, 可得 u x v y x ② u 1 x y u y , v v 1 x 0 v v x y J u u y x J
G G
§ 2.8 隐函数的求导公式
u 1 ( F , G ) x J ( x, v )
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v ) u v 0, G ) Fx Fu v Fv 1 (F x x y J ( u , y ) Gx Gu u Gv v 0 x x
§ 2.8 隐函数的求导公式
解法2 微分法. 对方程两边求微分:
x y d( ) 0 F1 d( ) F2 z z z d x xd z zd y y d z F1 ( ) )0 F ( 2 2 2 z z dy F1d x F2 xF1 y F2 d z z z2 z d y) dz (F1d x F2 x F1 y F2
第二章 函数微分学 § 2.8 隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式一个方程的情形方程组的情形一个方程的情形问题 如何确定方程(,)0F x y =隐含函数()y f x =？ 隐函数存在定理1 设函数(,)F x y 的某一邻域内具有 唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =，连续的偏导数, 且00(,)0F x y =,00(,)0y F x y ≠， 则方程(,)0F x y =在点()00,P x y 的某一邻域内恒能它满足条件()00y f x =，并有d d x y F y x F =-. 隐函数的求导公式简单推导 将方程(,)0F x y =所确定的函数()y f x = 代入该方程得()(,)0F x f x =，利用复合求导法则在 两边求导得:d 0d x y y F F x+⋅=， 即d d x y F y x F =-.若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则还可求隐函数d d x yF y x F =-. 的二阶导数 : 2d 2d yx =()F x x F y ∂-∂()F x y F y ∂+-∂d d y x ⋅2d 2d yx =()F x x F y ∂-∂()F x y F y ∂+-∂d d y x ⋅ 2F F F F x x y y x x F y -=-()2F F F F F x y y y y x x F y F y --- 2223F F F F F F F x x y x y x y y y x F y-+=-例 验证方程2210x y +-=在点(0,1)的某邻域内能唯证 一确定一个有连续导数、当0x =时1y =的隐函数， 并求这函数的一阶和二阶导数在0x =的值.令22(,)1F x y x y =+-，则F x 2x =，F y 2y =，(0,1)F x 0=，(0,1)F y 2=0≠，依定理知方程2210x y +-=在点(0,1)的某邻域内能唯一确定满足条件的隐函数，且d d x y F y x F =-x y =-， d 0d 0y x x ==，2d 2d y x 2y xy y '-=()2xy x yy --=-13y=-， 2d 2d 0y xx =1=-.d d x yF yx F =-x y =-隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点()000,,P x y z 的的某一邻域内具有连续的偏导数,且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点()000,,P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(),z f x y =，它满足条件()000,z f x y =，并有x z F zx F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂.例 设22240x y z z ++-=，求22z x∂∂.当2z ≠时，得x zF z x F ∂=-∂2x z =-. 令222(,,)4F x y z x y z z =++-，则解F x 2x =，F z 24z =-.再一次对求偏导数，得22z x ∂∂(2)2(2)zz x x z ∂-+∂=- (2)22(2)xz x z z -+⋅-=- 22(2)3(2)z x z -+=-zx∂=∂2x z =-方程组的情形隐函数存在定理3 设函数(,,,)F x y u v 、(,,,)G x y u v 在点()0000,,,P x y u v 的某一邻域内具有对各个自变量的且0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v =，偏导数所组成的函数行列式()(),,u vu vF G F F J G G u v ∂==∂在 点()0000,,,P x y u v 不等于0，则方程组(,,,)0F x y u v =、(,,,)0G x y u v =在点()0000,,,P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(),u u x y =、(),v v x y =，它们 满足条件()000,u u x y =、()000,v v x y =，并有()(),1,x v x v u v u v F F G G F G u F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂，()(),1,u x ux u v uvF FG G F G v F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂，()(),1,yv y v u v uv F F G G F G u F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂，()(),1,uy u y u v uvF FG G F G v F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂.例 设0xu yv -=，1yu xv +=，求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，v y∂∂. 解方法1： x v x vu v u v F F G G u F F xG G ∂=-∂ 22u y v x xu yv x y x y y x -+=-=--+u x u x u v u v F F G G v F F xG G ∂=-∂ 22x u y v yu xv x y x y y x-=-=-+yvy v u v u v F F G G u F F yG G ∂=-∂ 22v y u x xv yu x y x y y x ---=-=-+22x v y u xu yv x y x y y x -+=-=--+ uyu y u v u v F F G G v F F yG G ∂=-∂方法2： 在方程组两边取微分, 有d d d d 0d d d d 0x u u x y v v y y u u y x v v x +--=⎧⎨+++=⎩， 把d u 、d v 看成未知的, 解得d u 1[()d ()d ]22xu yv x xv yu y x y=-++-+d d u u x y x y ∂∂=+∂∂即有22u xu yv x x y ∂+=-∂+,22u xv yu y x y ∂-=∂+. 同理, 我们还可以求出d v ,解得 22v yu xv x x y ∂-=∂+,22v xu yv y x y ∂+=-∂+.。
隐函数的求导公式
2
方程确定了一个二元函数z = f (x, y), 方程两边对x 求导：(y看作常数)
2 x 2 z z 2 0 2 a c x
z c2 x 2 x a z
方程两边对y求导: ( x看作常数)
2 y 2 z z 2 0 2 b c y
z c2 y 2 y b z
F ( x, y ) 0
的求导法.
(1)
现在利用复合函数的链导法则给出隐函数
(1)的求导公式, 并指出: 隐函数存在的一个充分条件.
3
8.5 隐函数的求导公式
隐函数存在定理1 设二元函数F (x, y)在点 P (x0, y0)的某一邻域内满足:
(1) 具有连续偏导数; (2) F ( x0 , y0 ) 0; (3) Fy ( x0 , y0 ) 0, 则方程F (x, y) = 0在点P (x0, y0)的某一邻域内恒 能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y = f (x), 它满足条件y0 = f (x0), 并有
dy Fx ( x , y ) 隐函数的求导公式 dx Fy ( x , y ) (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x , f ( x )) 0
两边关于x求导, 由链导法则, 得
4
8.5 隐函数的求导公式
F ( x , f ( x )) 0
dy Fx ( x , y ) Fy ( x, y ) 0 dx 由于Fy ( x , y )连续, 且Fy ( x0 , y0 ) 0, 所以存在
设 F ( x , y , z ) xyz x 2 y 2 z 2 2 z F 2x 1, yz , x ( 1 , 0 , 1 ) x 2 x2 y2 z2 z F 2y 2, xz , 2 2 2 y ( 1 , 0 , 1 ) y 2 x y z F 2z dz (1,0, 1) dx 2dy . xy . z 2 x2 y2 z2
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等式两边对 x及y 求导，即得
F F z 0, x z x
F F z 0. y z y
由于 Fz 连续，且 Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0， 所以存在 ( x0 , y0 ,
z0 ) 的一个邻域，在这个邻域内 Fz 0，于是得
Fy z z Fx . ， x Fz y Fz
z xz z , y e xy
7.5.2 方程组的情形
F ( x , y , u, v ) 0 G ( x , y , u, v ) 0
定理7.8 (隐函数存在定理3) 设 F ( x , y, u, v )、 G ( x , y , u, v ) 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内有对各 个变量的连续偏导数，且 F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0, G ( x0 , y0 ,
证
z z Φu c a Φv b 0, x x
z cΦu . x aΦu bΦv
解出
类似地，有
z cΦv . y aΦu bΦv
cΦv z z cΦu c. b a b a aΦu bΦv x y aΦu bΦv
dy Fx . dx Fy
如果F ( x , y ) 的二阶偏导数也都连续，可得二阶 导数. 2 d y Fx Fx d y 2 x Fy y Fy d x dx
Fxx Fy Fyx Fx Fy2
解得
z u v cos v sin v v cos v u sin v v u v u u u . u x x x e e e z u cos v u sin v . 同理得 u y e
练习1
练习2
dy y 已知ln x y arctan ，求 . x dx
解 则
F ( x, y ) xy e e ,
x y
Fy x e y , Fx y e ,
x
Fy (0,0) 1 0,
依定理知, 方程xyex + ey = 0在点P0(0,0)的某一邻域
内能唯一确定一个有连续导数的隐函数y = y(x)，
其导数为
dy Fx y ex . y dx Fy xe
由隐函数存在定理3，即得所要证的结论.
(2) 将方程组所确定的反函数 u u( x , y ),
v v ( x , y )代入方程组，即得
x x[u( x , y ), v ( x , y )], x x[u( x , y ), v ( x , y )]. 两边分别对x求偏导数，得 x u x v 1 u x v x 0 y u y v . u x v x 由于J 0，得 u 1 y v 1 y , . x J v x J u 同理 u 1 x v 1 x , . y J v y J u
2z . 例4 设函数z=(x, y)由方程ez–xyz=0所确定,求 2 y
解 所给的方程两端对y求偏导数,得
z z e xz xy 0, y y
z
即
z 将 对y再求一次偏导数,有 y 2 z xz y (e z xz) xz(e z z y x ) 2 y (e z xy) 2 2 x 2 z (e z xy ) x 2 z 2 e z . z 3 (e xy )
能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函 它满足条件 z0 f ( x0 , y0 ) 并有 数 z f ( x , y )，
z Fx , x Fz
Fy z . y Fz
这个定理我们也不证，仅对求导公式作推导.
由于
F ( x , y , f ( x , y )) 0,
例5
u u v v 求 ， ， 和 . x y x y
解
设 xu yv 0 ， yu xv 1 ，
将所给方程的两边对 x 求导并移项
v u x x y x u, y u x v v . x x
J
x y y x
x e u cos v 例7 设 y e u sin v , z uv
z z 求 ， . x y
解 前两个方程两边对 x 求导，得
u u v u 1 e cos v x e sin v x 0 e u sin v u e u cos v v . x x u cos v v sin v u , u . x e x e
F [ x , y , u( x , y ), v ( x , y )] 0, G[ x , y , u( x , y ), v ( x , y )] 0,
等式两边对 x 求导，即得
u v Fx Fu x Fv x 0, G G u G v 0. x u v x x
Fy u 1 (F , G ) Gy y J ( y, v )
Fu v 1 (F ,G ) Gu y J ( u, y )
Fu
FvLeabharlann Gu GvFu Fv , Gu Gv
Fu Gu Fv . Gv
Fv Gv
Fy Gy
这个定理我们也不证，仅对求导公式作推导.
由于
2. F ( x , y , z ) 0
定理7.6 (隐函数存在定理2) 设函数F ( x , y , z ) 在点 P ( x0，y0，z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数， 且 F ( x0，y0，z0 ) 0，Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0， 则方程
F ( x，y，z ) 0 在点 P ( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒
2 Fxx Fy
Fxy Fy Fyy Fx Fx 2 F Fy y
2 Fyy Fx
2Fxy Fx Fy Fy3
.
例1 验证方程F(x，y) = xy ex + ey = 0在点P0(0,0) 的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的隐函数y = y(x)，并求其函数
u0 , v0 ) 0, 且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可
比式)
F ( F , G ) u J ( u , v ) G u
F v G v
在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 )不等于零，则方程组 F ( x , y, u, v ) 0、 G ( x , y , u, v ) 0 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内恒能唯 一确定一组单值连续且具有连续偏导数的
足条件 y0 f ( x0 )，并有 dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式
这个定理我们不证，仅对求导公式作推导.
将y f ( x )代入F ( x , y ) 0, 得恒等式
F ( x , f ( x )) 0,
等式两边对 x 求导，即得 F F d y 0, x y d x 由于 Fy 连续，且 Fy ( x0 , y0 ) 0， 所以存在 ( x0 , y0 ) 的一个邻域，在这个邻域内 Fy 0，于是得
例2
设x2+2y2+3z2+xy-z=0,求
z z , . x y
解 法一 设 F(x,y,z)=x2+2y2+3z2+xy-z，则
Fx 2 x y, F y 4 y x , Fz 6z 1,
Fx z 2x y , x Fz 6z 1 Fy z x 4y x Fz 6 z 1 .
(2) 求反函数u u( x , y ), v v( x , y )对x , y的偏导数.
例6
解
(1) 将方程组改写成下面的形式
F ( x , y , u, v ) x x( u, v ), G ( x , y , u, v ) y y( u, v ).
则按假设
(F ,G ) ( x, y) J 0. ( u, v ) ( u, v )
x y ,
2 2
在 J 0 的条件下，
u y x u u v x y v yu xv , xu yv v 2 , 2 2 2 x y x x x y x y x y y x y x
将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
u xv yu 2 , 2 y x y
2 xdx 4 ydy 6 zdz ydx xdy dz 0,
2x 2y dz dx dy. 4 2z 4 z
z z 可得 , . x y
例3 设 Φ( u, v ) 具有连续偏导数，证明由方程
Φ(cx az, cy bz) 0所确定的函数 f ( x , y )满足 z z z a b c. x y
v xu yv 2 . 2 y x y
例6 设函数x x( u, v ), y y( u, v )在点( u, v )的某
一邻域内连续且有连续偏导数，又 ( x, y) 0. ( u, v ) (1) 证明方程组 x x( u, v ), y y ( u, v ) 在点( x , y, u, v ) 的某一邻域内唯一确定一组连续且具 有连续偏导数的反函数 u u( x , y ), v v ( x , y ).
得
法二 求隐函数的一阶偏导数,可直接对方程两端求导. 方程两端对x求偏导数,得
z z 2 x 6 z y 0, x x
z 2x y , x 6z 1
类似可得
x 4y z . 6z 1 x