高中数学点到直线的距离公开课教案

《点到直线的距离》教学设计

教材：人教A版高中《数学》必修2第三章第3.3.3节

【教学内容解析】

《点到直线的距离》是人教A版高中《数学》必修2中第三章第3.3.3节的内容. 它既是两点间距离公式的延续，又为导出两平行线间距离公式作了铺垫，具有承上启下的重要作用.

这一节课的任务是：给出已知点的坐标与已知直线的方程，求点到直线的距离，建立点到直线的距离公式.从课型来说，应该属于“问题教学”.以一个问题为载体，学生在教师的引导与帮助下，分析、研究问题，制定解决问题的策略，选择解决问题的方法.

本节课的教学重点是点到直线距离公式的探索与应用；难点是点到直线距离公式的推导.

本节课蕴含特殊到一般，转化与化归，数形结合，函数与方程等丰富的数学思想方法.

【教学目标设置】

1.探索并掌握点到直线的距离公式；学会点到直线距离公式的应用.

2.通过经历公式多种推导方案的设计及比较，领会特殊到一般，转化与化归，数形结合，函数与方程等丰富的数学思想方法.

3.在探索问题的过程中，在运算的比较与优化思考的过程中，感受数学的严谨与统一，感受数学的形式美与简洁美.

【学生学情分析】

学生已经学习了直线的倾斜角和斜率，两点间的距离公式，且具备了相关的几何知识和三角函数知识，如：交点、垂直、三角函数等. 学生对坐标法解决几何问题有初步的认识.

【教学策略分析】

本节课采用以引导发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式，结合多媒体辅助教学.通过合作交流，类比联想，归纳化归，总结提升，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题.

【教学过程】

一、回顾旧知 引出课题

回顾两点间的距离公式，同时，引出课题——点到直线的距离.

【设计意图】平面图形最基本的要素是点和线.在研究了两点间距离公式后，很自然地会去研究点线间的距离，当然还可以更深入地去探究两平行线间的距离.这三个距离公式是一脉相承的，因此，这样引入自然、贴切，符合学生的认知规律.

二、特例探路 巧作铺垫

引例：已知点(2,1)P ，直线l 的方程为290x y +-=，求点P 到直线l 的距离。

【教学方式】自主探究，引导发现，归纳启发.

【设计意图】从具体的例子出发求距离，相对来说，计算量更小，学生有更充裕的时间去发现解法的多样性，为后续求抽象的点线距离做好准备.

预计会出现以下几种解法.

方法1：直接法

如图1，过P 作PQ l ⊥于Q .

Step1. 求出直线PQ 的方程：230x y --=；

Step2. 联立直线,PQ l 的方程，求出交点Q 的坐标(3,3)；

Step3. 求出距离||5PQ =.

方法2：解三角形法

过P 点作x 轴的平行线与直线l 的交点为R ，如图2，在Rt PQR ∆中， Step1. 求出点P 到直线l 的水平距离||5PR =；

Step2. 在Rt PQR ∆中，1tan ||2l PRQ k ∠==

，5sin PRQ ∴∠=； Step3.故||sin 5PQ PR PRQ =∠=.

方法3：等面积法

如图3，在图2的基础上，过点P 作//PS y 轴交直线l 于点S .

Step1. 求出Rt SPR ∆

的三条边长：5||5,||,||22

PR PS RS ===； Step2.

利用等面积法求出斜边上的高||||||PR PS PQ RS

⋅=

=三、公式推导，殊途同归 问题一般化：已知点00(,)P x y ，直线l 的方程为220(0)Ax By C A B ++=+≠，如何用00,,,x y A ,B C 表示点P 到直线l 的距离？

【教学方式】类比引例方法，学生分组解决，上台展示结果，教师点评补充.

【设计意图】进行方案比较，在比较中，再次领会各种方案的思想方法，比较它们的优缺点，选择合适的方案执行. 并培养学生的观察能力、表达能力和归纳总结能力.

四、公式记忆，学以致用

教师引导学生验证当0A =或0B =的特殊情况，以及当点00(,)P x y 在直线l 上时，也符合一般的距离公式.

最后得到点到直线的距离公式d =

. 引导学生分析公式的结构特点，找到记忆公式的方法.

【设计意图】强化公式记忆，明确公式的适用范围.

例1．求点(1,2)P -到下列直线的距离.

（1）210y x =-+ （2）32x =

解：（1）直线方程化为一般式2100x y +-=，则

d ==

（2）方法1(几何法) 25|1|=33d =-- 方法2(公式法)

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d =

= 例2．已知点(1,3),(3,1),(1,0)A B C -，求ABC ∆的面积.