刚体的基本运动

齿轮传动
带传动
传动比的定义
1 i12 2
第四节 定轴轮系的传动比
二、齿轮传动的传动比
vA vB
O1 O2
1
r1
vA
2
r2
vB
内啮合齿轮
外啮合齿轮
vA vB
1r1 2 r2
2 πr Z t
r2 2π r2 / t Z 2 r1 2π r1 / t Z1
1 n1 r2 z2 被动齿轮齿数 i12 2 n2 r z1 主动齿轮齿数 1
tan at / an / 2
第三节 定轴转动刚体内各点的速度和加速度
定轴转动刚体上点的加速度分布规律
A
at
aA
B θ
an aB
O

2 a an at2 R 2 4
tan at / an / 2
θ
例题：鼓轮绕轴转动，半径 R 0.2m ，转动方程为 t 4t 不可伸长的绳索缠绕在鼓轮上，绳索的另一端悬挂重物A。试 求当 t 1s 时，轮缘上的点M和重物A的速度和加速度。
3 3
第六章 刚体的基本运动
第三节 定轴转动刚体内各点的速度 和加速度
第三节 定轴转动刚体内各点的速度和加速度
一、定轴转动刚体内各点的速度
M
s
v


R M0
定轴转动刚体上点的运动方程. s R 速度
v
v s R R
定轴转动刚体内任一点速度的大小等于该点 的转动半径与刚体角速度的乘积 定轴转动刚体上点的速度分布规律
2
[解]
vM
（1）求鼓轮的角速度和角加速度
d 2t 4 2 1 4 2 rad/s dt d 2
dt 2 rad/s
M O α ω
当 t 1s 时，有：



（2）求轮缘上点M的速度和加速度
vM R 0.2 2 0.4 m/s
三、带轮传动的传动比 v1 v2
1r 1 2 r 2
传动比:
O1
v1
v2
1
r1 O2
2
r2
1 r2 i12 2 r1
本 章 结 束
（b为常数）的规律变化。已知 t 5s 时，轮缘上点的速度 为 v 20 m/s，试求当 t 10s时，轮缘上点的速度和加速度的大小。
b rad/s 2 5t
63.4 rad/s
3.85rad/s2
解：2、计算轮缘上点的速度和加速度
v R 0.5 63.4 m/s 31.7 m/s
ω
aM
a a
t M 2 n M
2
0.42 0.82 0.8944 m/s2
2 tan 2 2 0.5 an 2
at
A
26.57
第三节 定轴转动刚体内各点的速度和加速度
例题：半径 R 0.5m 的飞轮由静止开始转动，角加速度
at v (π2l0 / 16) sin(πt/4 )
an v / v / l (π l0 / 16) cos2 (πt/4 )
2
2
2
2

[解]
v s (l0 π/4) cos(πt / 4)
a aAt
n A
vA
n aM
aBn v B vM aBt
πl 0 vM v A 4
v 1 0.4 3 2 t 2 3 l 0.4 4.06 rad/s 2 2 vt 2 1 0.4 3 2 [1 ] 1 l 0.4 3
（b为常数）的规律变化。已知 t 5s 时，轮缘上点的速度 为 v 20 m/s，试求当 t 10s时，轮缘上点的速度和加速度的大小。
b rad/s 2 5t
解：1、求飞轮的角速度、角加速度
d b dt 5t


0
b d dt 0 5t
t
b ln
5t 5
2
例题 杆套OA 在套筒B中绕轴O转动，套筒B在竖直滑道中 v 运动。已知套筒B以匀速 1m/s 向上运动，滑道与轴O的水 l 平距离 400 mm ，运动初始时 0 。试求 30 时，杆的 角速度和角加速度。
解：由几何关系得
vt tan l
得杆绕轴转动的转动方程
tan 1
2 2 2
at v
(π2l0 / 16) sin(πt/4 )
an v 2 /
aMt
t 0 0
v2 / l (π 2l0 2 /16) cos 2 (πt/4)
at 0
π l0 v an l 16
aM at an
2
2
π 2l 0 16
vt l
求导，得到杆的角速度和角加速度分别为

v 2 vt l 1 l
1

v vt v 2 l l l vt 1 l
2

2

v 2 t l vt 1 l
代入 v 20 m/s ，得： b 57.7
5t rad/s 则有： 57.7 ln 5

57.7 rad/s2 5t
当 t 10s 时， 63.4 rad/s
3.85rad/s2
第三节 定轴转动刚体内各点的速度和加速度
例题：半径 R 0.5m 的飞轮由静止开始转动，角加速度
d 匀速转动 0 dt
const 0 0 t
例题
荡木AB用两条等长的钢索平行吊起。
0 sin
πt 4
O 已知 O1 A O2 B l 、 1O2 AB ；钢索的摆动规律
计算 t=0s 时荡木中点M点的速度和加速度。
O1 O2

(+)
2.定轴转动 刚体内或延伸部分始终存在一根固定不动的直线，各 点（除转轴上各点外）的轨迹为大小不同的圆周。
3.一般平面运动
既非平动也非定轴转动，各点轨迹为形状 不同的平面曲线。
第六章 刚体的简单运动
本章我们将要学习的内容
刚体的平行移动
刚体绕定轴转动
定轴轮系的传动比
第六章 刚体的简单运动
第一节 刚体的平行移动
第一节 刚体的平行移动 一、定义
刚体运动时，若其上任两点的连线始终保持与它 的初始位置平行，则称为刚体的平行移动，简称 为平移或平动。
B B'
A A'
二、刚体的平移两种类型
筛体
v

直线平移
曲线平移
三、刚体的平移的特性
速度和加速度
z
rA rB BA
drA d (rB BA) dt dt
at R 0.5 3.85m/s2 1.924m/s2 an R 2 0.5 63.42 m/s2 2010m/s 2
2 a at2 an 1.9242 20102 m/s 2 2010 m/s 2
第四节 定轴轮系的传动比
第四节 定轴轮系的传动比 一、 传动比的定义
由于矢量 BA 是常矢量， 因此有
y
v A v B a A aB
x
从而有结论： 1. 平移刚体上各点的轨迹形状相同； 2. 在每一瞬时，平移刚体上各点的速度、加速度均相等。
第六章 刚体的简单运动
第二节 刚体绕定轴转动
一、定义
刚体运动时，若其上或其延拓部分上有一直线始终 保持不动，则称刚体绕定轴转动。保持不动的直线 称为转轴或轴线。
2
3

2
解： 当 30时，得
l tan 30 0.4 3 t v 3
得杆的角速度和角加速度分别为
v 1 l 0.4 1.875 rad/s 2 2 vt 1 1 1 0.4 3 l 0.4 3
A
t 4t 例题：鼓轮绕轴转动，半径 R 0.2m ，转动方程为 不 可伸长的绳索缠绕在鼓轮上，绳索的另一端悬挂重物A。试求 t 1s时，轮缘上的点M和重物A的速度和加速度。 当
2
[解]
vM
（2）求轮缘上点M的速度和加速度
at
aM O α

an
M
t aM R 0.2 (2) 0.4 m/s 2 n aM R 2 0.2 22 0.8 m/s 2
第三节 定轴转动刚体内各点的速度和加速度
二、定轴转动刚体内各点的加速度
M
s
an
切向加速度 at v R R
v
at
a

R M0

法向加速度
an v 2 / R ( R ) 2 / R R 2
2 a an at2 ( R ) 2 ( R 2 ) 2 R 2 4
un的矢量表示


k
d ω k k dt
dω d α k k dt dt
五、几种特殊的运动
匀变速转动
const
0 t
1 2 0 0t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
刚体的平面运动
刚体平面运动的概念与特征
刚体平面运动定义：刚体上任意一点到某固定平面的
距离始终不变。刚体上各点的运动轨迹均为平面曲线。
刚体平面运动的简化：简化为一个平面图形的运动。
平面II截取的位置不同，图形S可不相同。因此，图形S的大小 和形状，可根据需要加以延伸或收缩。
刚体平面运动的三种类型： 平面平动，定轴转动，一般平面运动 1.平面平动 刚体上任意一条直线在运动中始终平行。各点的轨 迹都相同（各点的速度、加速度都相同）。
二、定轴转动刚体的转动方程
z
f (t )
从z 轴的正向往负向看去， 逆时针转向为正，反之为 负。 单位: rad
三、转动刚体的角速 度和角加速度
z
角速度:
角加速度
rad/s
rad/s2
在工程中，可以用转速 n 来表示角速度:
2πn / 60 πn / 30
O
s
A
M
B
O1
O2
n A
[解]
物体的运动是平移 v M v A v B aM a A a B

O s
a
(+)
vA
n aM
A
M
aBn v 如图建立自然坐标系： B vM B s l l0 sin(πt / 4) aBt
aAt
aMt
v s (l0 π/4) cos(πt / 4)