一种新的自适应模型的水平集图像分割方法

一种新的自适应模型的水平集图像分割方法谢意1, 杨玲2XIE Yi1, YANG Ling 21.成都信息工程学院电子工程学院,成都 6102252.成都信息工程学院网络工程学院,成都 610225of Electronic Engineering, Chengdu University of Information Technology, Chengdu 610225, China2.College of Networks Engineering, Chengdu University of Information Technology, Chengdu 610225, ChinaE-mailNew level set method of image segmentation based on the adaptive modelAbstract：Level-set has been Widely used in image segmentation. Firstly, introduce the traditional level-set based on the model of C-V and GAC, And then a new method has been presented to segment images, which combined with the advantages of the C-V model and the GAC model meanwhile selectively consider the local information in the illegibility area according to the characteristics of image. Finally, a real example is used todemonstrate the method is effectiveness and feasibility on segmenting the noisy blurry boundary and intensity inhomogeneity images.Key words: level-set; energy function; image segmentation; PDE 摘要: 水平集广泛应用于图像分割。

首先给出了基于传统C-V和GAC模型的水平集方法，在此基础上介绍了一种结合C-V模型和GAC模型并根据图像特征选择性融入图像局部信息的自适应模型的水平集分割方法。

通过实例分析证明了该方法对分割弱边缘和灰度渐进的图像具有一定的有效性，并且抗噪声性能较好。

关键词：水平集; 能量函数; 图像分割; 偏微分方程文献标识码 A 中图分类号:TP391. 411引言图像分割和目标轮廓的提取对于图像理解，图像分析，模式识别，计算机视觉等具有非常重要的意义。

Osher等提出的水平集(Level Set)方法[1]是求解隐式表达偏微分方程的一种具体实现方式，将曲线演化的问题转化为偏微分方程数值求解的问题，由于其能够自动处理拓扑变化的优点,在图像分割中得到了广泛的应用。

在传统水平集方法的基础上，许多学者对算法进行改进以适应各种情况。

例如变分水平集分割图像能够在能量函数中加入图像或者轮廓信息等，所以鲁棒性更强。

该方法[2-4]首先建立一个能量模型，该能量模型的内部和外部能量都使用水平集函数表示，然后利用变分法使这个能量函数极小化，由此得出水平及演化的偏微分方程(Partial Differential Equation,PDE)。

Caselles 和Malladi等将水平集方法引入图像分割的领域创立了几何活动轮廓(Geometric active contour)模型[5]，但GAC模型无法检测弱边缘，且抗噪性能较差。

为此Caselles又提出了基于图像边缘特征的测地活动轮廓(Geodesic active contour)模型[6]。

之后Chan和Vese 提出了C-V模型的水平集分割方法，该方法依赖的同质区域的全局信息，但由于该模型丢失了一些边缘和局部信息，使得在分割强度不均匀的图像时难以达到令人满意的效果。

本文在总结了各种方法的优缺点基础上，结合传统的GAC模型和C-V模型，根据图像特征自动判别是否加入图像局部信息，重新定义速度函数，以提高分割效果，即当曲线演化到图像灰度渐变的区域，自动加入局部信息，该方法大大减小了对待分割图片特征的依赖，以获得更佳理想的分割效果。

2水平集模型水平集方法是将闭合曲线隐含的表达为高一维的曲面函数的水平集，通过水平集函数曲线的演化来隐含地求解曲线的演化。

主要包括三个要素：超曲面的数据表示，控制曲面演化的一系列PDE以及相应的数值解法。

假定给定的平面上一条闭合曲线)(t C ,水平集方法是把运动的C 作为零水平集嵌入到高一维的光滑函数φ中。

水平集函数),,(t y x φ满足的条件是：当点(x,y)在曲线)(t C 内部，),,(t y x φ<0；当点(x,y)在曲线)(t C 外部，),,(t y x φ>0；当(x,y)在曲线)(t C 上，),,(t y x φ=0。

如图(1)在演化的过程中，曲线上的点都满足方程：),,(t y x φ=0 (1)，两边对时间t 求导：0=++dtdy dt dx y x t φφφ (2)。

如果曲线上各个点沿着曲线的法线方向运动，即沿着梯度的方向运动，我们定义速度函数：n dt dy dt dx y x F ⋅=],[),((3)，其中n 为单位法向量，可表示为φφ∇∇-=，],[y x φφφ=∇ (4)，为φ在二维平面上的梯度。

于是有：φφφ∇-=⋅F dt dy dt dx y x ],[],[ (5)，从而(2)式可以写成：φφ∇=F t (6)，该式即为水平集方程。

于是，求解曲线演化的问题就是求解如下的偏微分方程：φφ∇=F t (7)，初始条件为：)0,,()0,,(=±==t y x d t y x φ (8)，其中d 为点x 到初始曲线C 的距离。

C-V 模型的水平集C-V 模型是Chan 和Vese [3]提出的一种基于简化Mumford-Shah 模型的水平集方法,称为无边缘活动轮廓模型，该模型是变分水平集模型的典型应用，该模型假设图像),(0y x u 由两个同质区域组成，曲线C 将图像),(0y x u 分为两个部分：曲线C 内部区域(inside(C))和曲线C 的外部区域图(1)水平集原理(outside(C)), 这两个区域的灰度平均值分别为21,c c 。

C-V 模型的能量函数为：dxdy c y x u dxdy c y x u C inside Area v C Length C c c F C outside C inside 2)(2022)(10121),(),())(()(),,(⎰⎰-+-+⋅+⋅=λλμ(9) 式中:21,,,λλνμ是各能量项的系数，0,0,0,021>>≥≥λλνμ，μ是一个尺度系数，)(C L 为曲线C 的长度；)((C inside Area 为曲线C 内部区域的面积。

Chan [7]指出只有当曲线C 为两个同质区域分界线时，能量函数),,(21C c c F 才达到最小值。

将C 看作是φ的零水平集，则由(9)式变分可得),(y x φ所满足的Euler-Lagrange 方程为：[][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---∇∇⋅∇⋅=∂∂22022101),(),()(c y x u c y x u v t λλφφμφδφ(10)),(),,0(0y x y x φφ=(11) 0)(=∂∂∇n φφφδ (12)dxdy y x H dxdy y x H y x u c ⎰⎰ΩΩ=)],([)],([),(01φφ (13)， dxdy y x H dxdy y x H y x u c })],([1{)]},([1){,(02⎰⎰ΩΩ--=φφ(14)式中：Ω是图像函数和水平集函数的定义域；H(x)是Heaviside 函数，其形式为：))arctan(21(21)(εϕπϕε+=H (15)；)(x δ为Dirac 函数，其形式为：))((ϕϕδεεH '=(16)；n 为φ零水平集的法线方向。

由以上方程可以知道，C-V 模型中),(0y x u 是全图像的范围，该模型利用了同质区域的全局信息，通过极小化能量函数),,(21C c c F 来控制曲线的运动，这保证了该方法计算的全局优化的特点，但是不足之处在于：该模型仅仅利用了图像的区域信息而没有利用图像的边缘信息，在实际分割中可能会出现图像边缘定位不准确的缺陷，特别是对于灰度不均匀的图像。

GAC 模型的水平集Geometric active contour (GAC) 测地线活动轮廓模型，即极小化如下的“能量”泛函：ds s C I g s C E C L ⎰∇=)(0)))((())((λ(17) 其中：λ为一非零常数，s 为曲线的弧长参数，)(s C 表示一条与图像分割目标有关的活动轮廓，)(C L 表示封闭曲线)(s C 的欧几里德弧长，I ∇为待处理图像的梯度模，g 可取任意单调递减的函数。

我们假设极小化如下的能量函数[8][9]：{}Ω-=-=⎰Ωd x G x H G H I E im 22)()(),(φφφ (18)根据文献[10]提出的变分水平集方法，得出变分GAC 模型的曲线演化偏微分方程：)(φφδφλφφ∇∇⋅⋅+-∇=div E dt d im(19)λ取正实数。

其中：1I ，2I 分别为曲线内部和外部区域的均值；+-=∇)(2G H E im φδφφ )(22211I I φφββ∇⋅-∇⋅ (20)dx x G x H I x I ⎰Ω--=)]()()[)((121φδβε (21)dx x G x H I x I ⎰Ω--=)]()()[)((222φδβε(22)系数1β和2β侧重于模糊像素。

GAC 模型不足之处在于，该模型仅仅利用图像的边缘信息，但实际某些图片的边缘并非都是理想的阶梯边缘，因此难以分割出边缘模糊图像中的同质区域，并且当目标物有较深的凹陷边界时，GAC 模型可能使得演化曲线停止于某一局部极小值的状态。

本文针对边缘模糊，深凹陷边界以及灰度渐变的图像的分割问题，提出了结合传统的GAC 模型和C-V 模型，结合两种方法的优势，当曲线演化到图像灰度渐变的区域自动加入局部信息的分割方法。

在仿真实验中，选用了需要深度凹陷，含有噪音，灰度渐变的典型图像作为测试样本，对几种分割算法进行了比较和分析。