2013年高考数学复习要点梳理教学案2.4函数的图象精品(教师版)新人教版
高考高三数学总复习教案:函数的图象
第二章函数与导数第5课时函数的图象(对应学生用书(文)、(理)15~17页)考情分析考点新知1图象是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径,是研究函数性质的一种常用方法,是数形结合的基础和依据,预测在今后的高考中还将加大对函数图象考查的力度.2主要考查形式有:知图选式、知式选图、图象变换以及自觉地运用图象解题,因此要注意识图读图能力的提高以及数形结合思想的灵活运用.①掌握基本函数图象的特征,能熟练运用基本函数的图象解决问题.2掌握图象的作法:描点法和图象变换法1.(必修1P53复习14)函数y=f(x)与y=f(—x)的图象关于________对称.答案:y轴2.(必修1P64练习6)函数y=2—x的图象是________.(填序号)答案:13.(必修1P30练习3改编)函数y=f(x)的图象如图所示,则(1)f(0)=________,f(—1)=________,f(4)=________.(2)若—1<x1≤x2<2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是________________.答案:(1)45 6 (2)f(x1)≥f(x2)4.(原创)函数y=错误!的图象关于________对称.答案:(—2,1)解析:由y=错误!=1—错误!,知y=错误!的图象可以由y=—错误!的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位而得.由于函数y=—错误!的图象关于原点对称,所以y=错误!的图象关于(—2,1)对称.5.(必修1P36习题9改编)某同学从A地跑步到B地,随路程的增加速度减小.若以y表示该同学离B地的距离,x表示出发后的时间,则下列图象中较符合该同学走法的是____________.(填序号)答案:3解析:由于y表示该同学离B地的距离,所以答案在13中选,又随路程的增加速度减小,一半的时间内所走的路程要大于总路程的一半,故选3.1.基本初等函数及其图象(1)一次函数y=ax+b(a≠0)(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)(3)反比例函数y=错误!(k≠0)(4)指数函数y=a x(a>0,a≠1)(5)对数函数y=log a x(a>0,a≠1)2.图象变换(1)平移变换(2)对称变换(3)翻折变换[备课札记]题型1利用描点法画函数图象例1画出下列函数的图象.(1)y=2x—1,x∈Z,|x|≤2;(2)y=2x2—4x—3(0≤x<3);(3)y=错误!(lgx+|lgx|).解:(1)(2)(3)解析:(1)∵ x∈Z,|x|≤2,∴x=±2、±1、0,图象由五个孤立点组成,如(1)图所示.(2)∵ y=2x2—4x—3=2(x—1)2—5(0≤x<3),∴图象为抛物线上的一段弧,如(2)图所示.(3)∵ y=错误!(lgx+|lgx|)=错误!∴图象由两部分组成,如图(3)所示.错误!画出下列函数的图象:(1)y=x2—2x错误!;(2)f(x)=错误!;(3)y=x|2—x|.解:(1)∵ 错误!>1,∴x<—1或x>1,图象是两段曲线,如图1.(2)f错误!=错误!,图象如图2.,1),2)(3)∵ y=x|2—x|=错误!,∴图象由两部分组成,如图3.3题型2利用图象的平移变换作函数图象例2(1)已知函数y=f(x)的图象如图所示,请根据已知图象作出下列函数的图象:1y=f(x+1);2y=f(x)+2;(2)作出函数y=2—x—3+1的图象.解:(1)将函数y=f(x)的图象向左平移一个单位得到y=f(x+1)的图象(如图1所示),将函数y=f(x)的图象向上平移两个单位得到y=f(x)+2的图象(如图2所示).(2)由于y=错误!错误!+1,只需将函数y=错误!错误!的图象向左平移3个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=2—x—3+1的图象,如图3.3错误!作下列函数的图象.(1)y=错误!;(2)y=log错误![3(x+1)].解:(1)由y=3+错误!,将函数y=错误!的图象向右平移2个单位,再向上平移3个单位,得到函数y=错误!的图象,如图.(2)由y=log错误!3+log错误!(x+1)=log错误!(x+1)—1,将函数y=log错误!x的图象向左平移1个单位,再向下平移1个单位,得到函数y=log错误![3(x+1)]的图象,图略.题型3函数图象的应用例3当m为何值时,方程x2—4|x|+5—m=0有四个不相等的实数根?解:方程x2—4|x|+5—m=0变形为x2—4|x|+5=m,设y1=x2—4|x|+5=错误!y2=m,在同一坐标系下分别作出函数y1和y2的图象,如图所示.由两个函数图象的交点可以知道,当两函数图象有四个不同交点,即方程有四个不同的实数根,满足条件的m取值范围是1<m<5.错误!已知函数y=错误!的图象与函数y=kx—2的图象恰有两个交点,求实数k的取值范围.解:y=错误!=错误!,在同一直角坐标系下画出两函数的图象,当x>1时,有两交点的实数k的取值范围为1<k<4;当x<1时,有两交点的实数k的取值范围为0<k<1,所以实数k的取值范围是0<k<1或1<k<4.1.(2013·福建)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是________.(填序号)答案:1解析:f(x)=ln(x2+1),x∈R,当x=0时,f(0)=ln1=0,即f(x)过点(0,0).又f(—x)=ln[(—x)2+1]=ln(x2+1)=f(x),即f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,所以选1.2.(2013·徐州期初)已知直线y=a与函数f(x)=2x及g(x)=3·2x的图象分别相交于A、B两点,则A、B两点之间的距离为________.答案:log23解析:由题意知A(log2a,a),B(log2错误!,a),所以A、B之间的距离AB=|x A—x B|=log23.3.(2013·安徽)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可以找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,x n,使得错误!=错误!=…=错误!,则n的取值集合是________.答案:错误!解析:由题意,函数y=f(x)上的任一点坐标为(x,f(x)),故错误!表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率.若错误!=错误!=…=错误!,则曲线上存在n个点与原点连线的斜率相等,即过原点的直线与曲线y=f(x)有n个交点,数形结合可得n的取值可为2,3,4.4.(2013·新课标Ⅰ)已知函数f(x)=错误!若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是________.答案:[—2,0]解析:作出函数y=|f(x)|的图象,当|f(x)|≥ax时,必有k≤a≤0,其中k是y=x2—2x(x≤0)在原点处的切线斜率,显然k=—2.所以a的取值范围是[—2,0].1.函数y=错误!的图象大致为________.(填序号)答案:1解析:由e x—e—x≠0,得定义域为{x|x≠0},排除3、4.又y=错误!=错误!=1+错误!,所以当x >0时函数为减函数,故应为1.2.对实数a和b,定义运算“”:a b=错误!设函数f(x)=(x2—2)(x—1),x∈R.若函数y=f(x)—c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是________.答案:(—2,—1]∪(1,2]解析:由题意,f(x)=错误!作出图象,数形结合知,c∈(—2,—1]∪(1,2].3.设函数f(x)(x∈R)满足f(—x)=f(x),f(x)=f(2—x),且当x∈[0,1]时f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(πx)|,则函数h(x)=g(x)—f(x)在错误!上的零点个数为________.答案:6解析:因为当x∈[0,1]时f(x)=x3,所以当x∈[1,2]时,(2—x)∈[0,1],f(x)=f(2—x)=(2—x)3.当x∈错误!时,g(x)=xcos(πx);当x∈错误!时,g(x)=—xcos(πx),注意到函数f(x)、g(x)都是偶函数,且f(0)=g(0), f(1)=g(1),g错误!=g错误!=0,作出函数f(x)、g(x)的大致图象,函数h(x)除了0、1这两个零点之外,分别在区间错误!,错误!,错误!,错误!上各有一个零点,所以共有6个零点.4.已知函数f(x)=ax3—3ax,g(x)=bx2+clnx,且g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为2y—1=0.(1)求g(x)的解析式;(2)设函数G(x)=错误!若方程G(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.解:(1)g′(x)=2bx+错误!.由条件,得错误!即错误!∴b=错误!,c=—1,∴g(x)=错误!x2—lnx.(2)G(x)=错误!当x>0时,G(x)=g(x)=错误!x2—lnx,g′(x)=x—错误!=错误!.令g′(x)=0,得x=1,且当x∈(0,1),g′(x)<0,x∈(1,+∞),g′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上有极小值,即最小值为g(1)=错误!.当x≤0时,G(x)=f(x)=ax3—3ax,f′(x)=3ax2—3a=3a(x+1)(x—1).令f′(x)=0,得x=—1.1若a=0,方程G(x)=a2不可能有四个解;2若a<0时,当x∈(—∞,—1),f′(x)<0,当x∈(—1,0),f′(x)>0,∴f(x)在(—∞,0]上有极小值,即最小值为f(—1)=2a.又f(0)=0,∴G(x)的图象如图1所示,从图象可以看出方程G(x)=a2不可能有四个解;,1),2)3若a>0时,当x∈(—∞,—1),f′(x)>0,当x∈(—1,0),f′(x)<0,∴f(x)在(—∞,0]上有极大值,即最大值为f(—1)=2a.又f(0)=0,∴G(x)的图象如图2所示.从图象可以看出方程G(x)=a2若有四个解,必须错误!<a2<2a,∴错误!<a<2.综上所述,满足条件的实数a的取值范围是错误!.1.作图的前提要能熟练掌握几种基本初等函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数图象等.2.掌握几种图象的变换的方法技巧,如平移变换、伸缩变换、对称变换、周期变换、翻折变换等,能帮助我们简化作图过程.3.利用函数图象可以解决一些形如f(x)=g(x)的方程解的个数问题,解题中要注意对方程适当变形,选择适当的函数作图.错误!。
2013届高考数学理科一轮复习课件(第11讲_函数的图象)(精品课件在线)
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【解析】由已知 y=f(x),x∈[-3,3]的图象如下,
由图可知,当 x>0 时,x·f(x)>0,可得 0<x<2; 当 x<0 时,由 x·f(x)>0,可得-2<x<0, 不等式的解集为(-2,0)∪(0,2).
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一 函数图象的作法
【例 1】作出下列函数的图象: (1)y=3log3|x|; (2)y=|log2(x-1)|; (3)y=x2+-1x.
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2 对称变换:y f x与y f x的图象关于⑨ ___ 对称;y f x与y f x的图象关于⑩ ______ 对称; y f x与y f x的图象关于⑪_____ 对称;y f x 的图象可将函数y f x的图象在⑫_______________, 其余部分不变;y f | x |的图象可将函数y f x的
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【分析】 对于(1)可先在其定义域内化简,再画图象;而 对于(2)和(3)可根据其特点,找出对应的基本函数,通过 图象变换画出图象.
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【解析】 (1)由|x|>0,得函数的定义域为{x∈R|x≠0},
且 y=3log3|x|=|x|=x-x
x>0 , x<0
则其图象如图甲.
角函数以及常用函数:y ax b y x a .(图象略)
cx d
x
2.函数图象的基本作法有两种:① ____ 和② ____.
1描点法作图的基本步骤是:③ ______、④ ______、
⑤ ______.画函数图象时有时也可利用函数的性质如 ⑥ _________________以及图象上的特殊点、线 (如对称轴、渐近线等).
2013届高考数学第一轮复习精品学案第3讲:函数的基本性质
2013年普通高考数学科一轮复习函数的基本性质一.课标要求1.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;2.结合具体函数,了解奇偶性的含义;二.命题走向从近几年来看,函数性质是高考命题的主线索,不论是何种函数,必须与函数性质相关联,因此在复习中,针对不同的函数类别及综合情况,归纳出一定的复习线索。
预测2013年高考的出题思路是:通过研究函数的定义域、值域,进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。
预测明年的对本讲的考察是:(1)考察函数性质的选择题1个或1个填空题,还可能结合导数出研究函数性质的大题;(2)以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质,以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。
三.要点精讲1.奇偶性(1)定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。
注意:○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;○2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;○2确定f(-x)与f(x)的关系;○3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数。
(3)简单性质:①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;②设()f x,()g x的定义域分别是12,D D,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇2.单调性(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数);注意:○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2)(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。
2013届高考数学
2013高考数学二轮复习精品资料专题03 数列教学案(教师版) 【知识网络构建】【重点知识整合】 一、等差数列与等比数列 1.S n 与a n 的关系在数列{a n }中,S n =a 1+a 2+…+a n ,从而a n =⎩⎨⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2.2.等差数列性质如果数列{a n }是公差为d 的等差数列,则 (1)a n =a 1+(n -1)d ,S n =na 1+n n -12d =n a 1+a n 2.(2)对正整数m ,n ,p ,q ,a m +a n =a p +a q ⇔m +n =p +q ,a m +a n =2a p ⇔m +n =2p .3.等比数列性质如果数列{a n }是公比为q 的等比数列,则(1)a n =a 1q n -1,S n =⎩⎨⎧a 11-q n 1-q =a 1-a n q 1-q ,q ≠1,na 1,q =1.(2)对正整数m ,n ,p ,q ,a m a n =a p a q ⇔m +n =p +q ,a m a n =a 2p ⇔m +n =2p . 4.等差、等比数列S n 的性质若等差数列的前n 项和为S n ,则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…为等差数列;等比数列的前n 项和为S n ,则在公比不等于-1时,S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…成等比数列.5.等差、等比数列单调性等差数列的单调性由公差d 的范围确定,等比数列的单调性由首项和公比的范围确定.二、数列求和及数列应用 1.常用公式等差数列的前n 项和,等比数列的前n 项和, 1+2+3+…+n =n n +12,12+22+32+…+n 2=n n +12n +16,13+23+…+n 3=⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n +122.3.数学求和的基本方法公式法、分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法. 4.数列的应用等差数列模型、等比数列模型、递推数列模型. 【高频考点突破】考点一 等差数列和等比数列的基本运算例1、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ·已知a 2=6,6a 1+a 3=30,求a n 和S n · 解:设{a n }的公比为q ,由题设得⎩⎨⎧ a 1q =6,6a 1+a 1q 2=30.解得⎩⎨⎧a 1=3,q =2,或⎩⎨⎧a 1=2,q =3.当a 1=3时,q =2时,a n =3×2n -1,S n =3×(2n -1); 当a 1=2,q =3时,a n =2×3n -1,S n =3n -1.【变式探究】S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 2=S 6, a 4=1,则a 5=________.考点二 等差、等比数列的判定和证明数列{a n }是等差或等比数列的证明方法: (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法: ①利用定义,证明a n +1-a n (n ∈N *)为常数; ②利用中项性质,即证明2a n =a n -1+a n +1(n ≥2). (2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法: ①利用定义,证明a n +1a n(n ∈N *)为一常数; ②利用等比中项,即证明a 2n =a n -1a n +1(n ≥2).例2、已知数列{a n }和{b n }满足a 1=m ,a n +1=λa n +n ,b n =a n -2n 3+49.(1)当m =1时,求证:对于任意的实数λ,数列{a n }一定不是等差数列; (2)当λ=-12时,试判断数列{b n }是否为等比数列.(2)当λ=-12时,a n +1=-12a n +n ,b n =a n -2n 3+49.b n +1=a n +1-2n +13+49考点三 等差、等比数列的性质例3、等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >|a 1|”是“S n 的最小值为S 1,且S n 无最大值”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件考点四数列求和数列求和的方法技巧:(1)转化法:有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并.(2)错位相减法:这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和,其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法:利用通项变形,将通项分裂成两项的差,通过相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和.例4、等比数列{a n}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足:b n=a n+(-1)n ln a n,求数列{b n}的前2n项和S2n·【变式探究】等比数列{a n}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a23=9a2a6.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列{1bn}的前n项和.解:(1)设数列{a n}的公比为q.由a23=9a2a6得a23=9a24,所以q2=1 9 .由条件可知q>0,故q=1 3 .考点五数列与函数、不等式例5、设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=nban-1an-1+n-1(n≥2).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1.②当b≠1时,c n+11-b=1b(c n-1+11-b),且c1+11-b=1b+11-b=1b1-b,{c n+11-b}是首项为1b1-b,公比为1b的等比数列,∴c n+11-b=1b1-b·(1b)n-1,由nan+11-b=11-b b n得a n=n1-b b n1-b n,∴a n=⎩⎨⎧1, b =1n 1-b b n1-bn,b ≠1.【难点探究】难点一 等差数列的通项、求和的性质例1、(1)已知{a n }为等差数列,其公差为-2,且a 7是a 3与a 9的等比中项,S n为{a n }的前n 项和,n ∈N *,则S 10的值为( )A .-110B .-90C .90D .110(2)设数列{a n }是公差不为0的等差数列,a 1=2且a 1,a 5,a 13成等比数列,则数列{a n }的前n 项和S n =( )A.n 24+7n 4B.n 23+5n3 C.n 22+3n4D .n 2+n【点评】 在等差数列问题中其最基本的量是其首项和公差,在解题时根据已知条件求出这两个量,其他的问题也就随之解决了,这就是解决等差数列问题的基本方法,其中蕴含着方程思想的运用.难点二 等比数列的通项、求和的性质例2 (1)已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *)且a 2+a 4+a 6=9,则log 13(a 5+a 7+a 9)的值是( )A .-5B .-15C .5 D.15(2)已知各项均为正数的等比数列{a n },a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 1·a 2·…·a 9=________.【点评】 等比数列中有关系式a na m=q n -m (m ,n ∈N *),其中q 为公比,这个关系式可以看做推广的等比数列的通项公式,即a n =a m q n -m (m ,n ∈N *),当m =1时就是等比数列的通项公式.难点三 等差、等比数列的综合问题例3 、成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式; (2)数列{b n }的前n 项和为S n ,求证:数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n +54是等比数列.【分析】 (1)由条件可以先求得数列{b n }的第三项,进而借助等比数列的通项公式求出b n ,(2)充分结合等比数列的定义不难证明.【解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a -d ,a ,a +d . 依题意,得a -d +a +a +d =15.解得a =5. 所以{b n }中的b 3,b 4,b 5依次为7-d,10,18+d .依题意,有(7-d )(18+d )=100,解得d =2或d =-13(舍去). 故{b n }的第3项为5,公比为2. 由b 3=b 1·22,即5=b 1·22,解得b 1=54.所以{b n }是以54为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为b n =54·2n -1=5·2n -3.(2)证明:由(1)得数列{b n }的前n 项和S n =541-2n 1-2=5·2n -2-54,即S n +54=5·2n -2.所以S 1+54=52,S n +1+54S n +54=5·2n -15·2n -2=2.因此⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n +54是以52为首项,公比为2的等比数列.难点四 数列求和及其应用例4、在数1和100之间插入n 个实数,使得这n +2个数构成递增的等比数列,将这n +2个数的乘积记作T n ,再令a n =lg T n ,n ≥1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =tan a n ·tan a n +1,求数列{b n }的前n 项和S n .【点评】本题考查等比数列的性质、三角函数等知识.本题两问中的方法都是值得注意的,在第一问中采用的是倒序相乘法,这类似数列求和中的倒序相加法;第二问采用的裂项相消法和两角差的正切公式结合在一起,这在近年来的高考试题中是不多见的,这与我们平时见到的裂项相消法有较大的不同,但基本思想是把不能使用公式直接求和的问题转化为可以逐项相消的问题,基本思想就是裂项.难点五数列应用题的解法例5、某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2010年1月的产值都为a万元,甲企业每个月的产值比前一个月的产值增加的数值相等,乙企业每个月的产值比前一个月的产值增加的百分数相等,到2011年1月两个企业的产值又相等.(1)到2010年7月,试比较甲、乙两个企业的产值的大小,并说明理由;(2)甲企业为了提高产能,决定用3.2万元买一台仪器.从2011年2月1日投放使用,从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为n+4910元(n∈N*),求前n天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费),并求日平均耗资最小时使用了多少天?(2)设一共用了n 天,则n 天的平均耗资为P (n ),则P (n )=3.2×104+⎝ ⎛⎭⎪⎫5+n +4910n2n=3.2×104n+n 20+9.92, 当且仅当3.2×104n=n 20时P (n )取得最小值,此时n =800,故日平均耗资最小时使用了800天.【点评】 本题考查等比数列模型、等差数列模型的实际应用,并与基本不等式进行交汇.数列在实际问题中有着极为广泛的应用,数列的应用问题在高考中虽然不是主流,但并不排除在高考中考查数列实际应用问题的可能。
高考数学一轮复习 专题11 函数的图象教学案 理-人教版高三全册数学教学案
专题11 函数与方程1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题.1.描点法作图方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.2.图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y =f (x )――→关于x 轴对称y =-f (x ); ②y =f (x )――→关于y 轴对称y =f (-x ); ③y =f (x )――→关于原点对称y =-f (-x );④y =a x(a >0且a ≠1)――→关于y =x 对称y =log a x (a >0且a ≠1). ⑤y =f (x )――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y =|f (x )|. ⑥y =f (x )――→保留y 轴右边图象,并作其关于y 轴对称的图象y =f (|x |). (3)伸缩变换12①y =f (x ) ――→a >1,横坐标缩短为原来的f(1, a )倍,纵坐标不变0<a <1,横坐标伸长为原来的f(1, a )倍,纵坐标不变 y =f (ax ).②y =f (x )――→a >1,纵坐标伸长为原来的a 倍,横坐标不变0<a <1,纵坐标缩短为原来的a 倍,横坐标不变 y =af (x ).高频考点一 作函数的图象 例1、作出下列函数的图象:(1)y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |;(2)y =|log 2(x +1)|;(3)y =2x -1x -1; (4)y =x 2-2|x |-1.(3)∵y =2+1x -1,故函数图象可由y =1x图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位即得,如图③.(4)∵y =⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x -1,x ≥0,x 2+2x -1,x <0,且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,得图象如图④. 【方法规律】画函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 【变式探究】 分别画出下列函数的图象: (1)y =|lg x |;(2)y =sin |x |.解 (1)∵y =|lg x |=⎩⎪⎨⎪⎧lg x ,x ≥1,-lg x ,0<x <1.∴函数y =|lg x |的图象,如图①.学—(2)当x ≥0时,y =sin|x |与y =sin x 的图象完全相同,又y =sin|x |为偶函数,图象关于y 轴对称,其图象如图②. 高频考点二 识图与辨图例2、(1)(2016·全国Ⅰ卷)函数y =2x 2-e |x |在[-2,2]的图象大致为( )(2)(2015·全国Ⅱ卷)如图,长方形ABCD 的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP =x .将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则y =f (x )的图象大致为( )(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4时,f (x )=tan x +4+tan 2x ,图象不会是直线段,从而排除A ,C.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,3π4时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4=1+5,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=22.∵22<1+5,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4,从而排除D ,故选B. 答案 (1)D (2)B【方法规律】(1)抓住函数的性质,定性分析①从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.②从函数的单调性,判断图象的变化趋势;③从周期性,判断图象的循环往复.④从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(2)抓住函数的特征,定量计算从函数的特征点,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 【训练2】(1)函数y =log 2(|x |+1)的图象大致是( )(2)已知a 是常数,函数f (x )=13x 3+12(1-a )x 2-ax +2的导函数y =f ′(x )的图象如图所示,则函数g (x )=|a x-2|的图象可能是( )解析 (1)y =log 2(|x |+1)是偶函数,当x ≥0时,y =log 2(x +1)是增函数,且过点(0,0),(1,1),只有选项B 满足.(2)由f (x )=13x 3+12(1-a )x 2-ax +2,得f ′(x )=x 2+(1-a )x -a ,根据y =f ′(x )的图象知-1-a2>0,∴a >1. 则函数g (x )=|a x-2|的图象是由函数y =a x的图象向下平移2个单位,然后将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到的,故选D. 答案 (1)B (2)D高频考点三 函数图象的应用例3、(1)若方程x2-|x|+a =1有四个不同的实数解,则a 的取值X 围是.(2)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧sinπx,0≤x≤1,log2015x ,x>1.若a ,b ,c 互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a +b +c 的取值X 围是( ) A .(1,2015) B .(1,2016) C .[2,2 016]D .(2,2016)答案 (1)(1,54) (2)D解析 (1)方程解的个数可转化为函数y =x2-|x|的图象与直线y =1-a 交点的个数,如图:易知-14<1-a<0,∴1<a<54.学——【感悟提升】(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系.(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标;不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合,体现了数形结合思想.【变式探究】 已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |,x >0,2|x |,x ≤0,则函数y =2f 2(x )-3f (x )+1的零点个数是________.1.【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为(A )(B )(C )(D )【答案】D2.【2016年高考理数】设函数33,()2,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =,则()f x 的最大值为______________; ②若()f x 无最大值,则实数a 的取值X 围是________. 【答案】2,(,1)-∞-.【解析】如图,作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象,它们的交点是(1,2),(0,0),(1,2)A O B --,由2'()33g x x =-,知1x =是函数()g x 的极小值点, ①当0a =时,33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩,由图象可知()f x 的最大值是(1)2f -=;②由图象知当1a ≥-时,()f x 有最大值(1)2f -=;只有当1a <-时,332a a a -<-,()f x 无最大值,所以所求的取值X 围是(,1)-∞-.3.【2016高考某某理数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >,若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值X 围是________________. 【答案】()3,+∞【解析】画出函数图象如下图所示:由图所示,要()f x b =有三个不同的根,需要红色部分图像在深蓝色图像的下方,即2224,30m m m m m m m >-⋅+->,解得3m >。
高考数学统考一轮复习第2章函数第8节函数的图象教师用书教案理新人教版
函数的图象[考试要求] 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题.1.利用描点法作函数的图象描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线,具体为:(1)①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等).(2)列表(找特殊点:如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等).(3)描点、连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换提醒:“左加右减”只针对x本身,与x的系数无关,“上加下减”指的是在f(x)整体上加减.(2)对称变换(3)伸缩变换(4)翻转变换[常用结论]1.函数图象自身的轴对称(1)f (-x )=f (x )⇔函数y =f (x )的图象关于y 轴对称;(2)函数y =f (x )的图象关于x =a 对称⇔f (a +x )=f (a -x )⇔f (x )=f (2a -x )⇔f (-x )=f (2a +x );(3)若函数y =f (x )的定义域为R ,且有f (a +x )=f (b -x ),则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b 2对称.2.函数图象自身的中心对称(1)f (-x )=-f (x )⇔函数y =f (x )的图象关于原点对称;(2)函数y =f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a +x )=-f (a -x )⇔f (x )=-f (2a -x )⇔f (-x )=-f (2a +x );(3)函数y =f (x )的图象关于点(a ,b )成中心对称⇔f (a +x )=2b -f (a -x )⇔f (x )=2b -f (2a -x ).3.两个函数图象之间的对称关系(1)函数y =f (a +x )与y =f (b -x )的图象关于直线x =b -a2对称(由a +x =b -x 得对称轴方程);(2)函数y =f (x )与y =f (2a -x )的图象关于直线x =a 对称; (3)函数y =f (x )与y =2b -f (-x )的图象关于点(0,b )对称; (4)函数y =f (x )与y =2b -f (2a -x )的图象关于点(a ,b )对称.一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y =f (1-x )的图象,可由y =f (-x )的图象向左平移1个单位得到. ( ) (2)若函数y =f (x )满足f (1+x )=f (1-x ),则函数f (x )的图象关于直线x =1对称.( ) (3)当x ∈(0,+∞)时,函数y =f (|x |)的图象与y =|f (x )|的图象相同. ( ) (4)函数y =f (x )与y =-f (x )的图象关于原点对称. ( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 二、教材习题衍生1.李明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.则与以上事件吻合最好的图象是( )A BC DC [距学校的距离应逐渐减小,由于李明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,后段比前段下降得快.]2.下列图象是函数y =⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x <0,x -1,x ≥0的图象的是( )A BC D[答案] C3.函数f (x )=1x-x 的图象关于( )A .y 轴对称B .直线y =-x 对称C .坐标原点对称D .直线y =x 对称C [∵f (x )=1x -x 是奇函数,∴图象关于原点对称.]4.函数y =21-x 的大致图象为( )A B C DA [y =21-x =⎝⎛⎭⎫12x -1,因为0<12<1,所以y =⎝⎛⎭⎫12x -1为减函数,取x =0,则y =2,故选A .]考点一 作函数的图象作函数图象的两种常用方法[典例1] 作出下列函数的图象. (1)y =⎝⎛⎭⎫12|x |;(2)y =|log 2(x +1)|; (3)y =2x -1x -1;(4)y =x 2-2|x |-1.[解] (1)先作出y =⎝⎛⎭⎫12x的图象,保留y =⎝⎛⎭⎫12x图象中x ≥0的部分,再作出y =⎝⎛⎭⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分,即得y =⎝⎛⎭⎫12|x |的图象,如图①实线部分.图① 图②(2)将函数y =log 2x 的图象向左平移一个单位,再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去,即可得到函数y =|log 2(x +1)|的图象,如图②.(3)∵y =2x -1x -1=2+1x -1,故函数图象可由y =1x 图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图③.图③ 图④(4)∵y =⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x -1,x ≥0,x 2+2x -1,x <0,且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,得图象如图④.点评:画函数的图象一定要注意函数的定义域,对于图象无限趋近的渐近线也应用虚线画出.[跟进训练]作出下列函数的图象.(1)y =3|x |;(2)y =|log 2x -1|;(3)y =|x -2|·(x +1).[解] (1)先作出函数y =3x (x ≥0)的图象,再作出x ≥0时图象关于y 轴对称的图象,即得y =3|x |的图象,如图所示:(2)先作出y =log 2x 的图象,再将其图象向下平移一个单位,保留x 轴上方的部分,将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方,即得y =|log 2x -1|的图象,如图所示:(3)y =|x -2|·(x +1)=⎩⎪⎨⎪⎧(x -2)(x +1),x ≥2,-(x -2)(x +1),x <2,=⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x -122-94,x ≥2,-⎝⎛⎭⎫x -122+94,x <2,分段画出其图象如图所示:考点二 函数图象的辨识辨析函数图象的入手点(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的奇偶性,判断图象的对称性. (3)从函数的特征点,排除不合要求的图象. (4)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(5)从函数的周期性,判断图象的循环往复.[典例2] (1)(2019·全国卷Ⅲ)函数y =2x 32x +2-x在[-6,6]的图象大致为( )A B C D(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y =f (x )的图象如图所示,则y =-f (2-x )的图象为( )A BC D(1)B (2)B [(1)设f (x )=2x 32x +2-x (x ∈[-6,6]),则f (-x )=2(-x )32-x +2x=-f (x ),∴f (x )为奇函数,排除选项C ;当x =4时,y =2×4324+2-4=21128+1>7,因此排除A 、D ,故选B .(2)法一:(图象变换法)作出与函数y =f (x )的图象关于y 轴对称的图形得到函数y =f (-x )的图象,再把得到的图象向右平移2个单位,得到函数y =f (2-x )的图象,再作出与此图象关于x 轴对称的图形,得到y =-f (2-x )的图象,故选B .法二:(特殊值验证)当x =0时,-f (2-x )=-f (2)=-1; 当x =1时,-f (2-x )=-f (1)=-1. 观察各选项可知,应选B .]点评:在识图时,先判断奇偶性,再用特殊值排除.[跟进训练]1.(2020·淄博模拟)函数f(x)=ln(x2+2)-e x-1的图象可能是()A B C DA[当x→+∞时,f(x)→-∞,故排除D;易知f(x)在R上连续,故排除B;且f(0)=ln 2-e-1>0,故排除C,故选A.]2.已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是()图①图②A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|)C[因为题图②中的图象是在题图①的基础上,去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得来的,所以题图②中的图象对应的函数可能是y=f(-|x|).故选C.]考点三函数图象的应用研究函数的性质根据函数的图象研究函数性质的方法(1)观察函数图象是否连续,左右范围以及最高点和最低点,确定定义域、值域.(2)观察函数图象是否关于原点或y轴对称,确定函数的奇偶性.(3)根据函数图象上升和下降的情况,确定单调性.A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)D .f (x )是奇函数,递增区间是(-∞,0)(2)对a ,b ∈R ,记max{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≥b ,b ,a <b ,函数f (x )=max{|x +1|,|x -2|}(x ∈R )的最小值是________.(1)C (2)32 [(1)将函数f (x )=x |x |-2x 去掉绝对值得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x ≥0,-x 2-2x ,x <0,画出函数f (x )的图象,如图,观察图象可知,函数f (x )的图象关于原点对称,故函数f (x )为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.(2)函数f (x )=max{|x +1|,|x -2|}(x ∈R )的图象如图所示,由图象可得,其最小值为32.]利用图象解不等式利用函数图象研究不等式当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时,可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题,利用图象法求解.若函数为抽象函数,可根据题目画出大致图象,再结合图象求解.A .(-1,1)B .(-∞,-1)∪(1,+∞)C .(0,1)D .(-∞,0)∪(1,+∞)D [f (x )>0⇔2x >x +1,在同一平面直角坐标系中画出h (x )=2x ,g (x )=x +1的图象,如图所示,两图象交点坐标为A (0,1)和B (1,2),观察图象可知不等式f (x )>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞),故选D .]研究方程根的个数(求参数的取值范围)利用函数图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象研究方程的根,方程f (x )=0的根就是f (x )的图象与x 轴交点的横坐标,方程f (x )=g (x )的根是函数y =f (x )与函数y =g (x )图象的交点的横坐标.根,则实数k 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )=x |x -4|,若直线y =a 与函数f (x )的图象有三个交点A ,B ,C ,它们的横坐标分别为x 1,x 2,x 3,则x 1+x 2+x 3的取值范围是________.(1)⎝⎛⎭⎫12,1 (2)(8,6+22) [(1)先作出函数f (x )=|x -2|+1的图象,如图所示,当直线g (x )=kx 与直线AB 平行时斜率为1,当直线g (x )=kx 过A 点时斜率为12,故f (x )=g (x )有两个不相等的实根时,k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12,1.(2)f (x )=x |x -4|=⎩⎪⎨⎪⎧(x -2)2-4,x ≥4,-(x -2)2+4,x <4,其图象如图所示.由图象可得x 1+x 2=4,4<x 3<2+22, 所以8<x 1+x 2+x 3<6+2 2.][跟进训练] 1.已知函数f (x )=2x x -1,则下列结论正确的是( ) A .函数f (x )的图象关于点(1,2)中心对称B .函数f (x )在(-∞,1)上是增函数C .函数f (x )的图象上至少存在两点A ,B ,使得直线AB ∥x 轴D .函数f (x )的图象关于直线x =1对称A [因为y =2xx -1=2(x -1)+2x -1=2x -1+2,所以该函数图象可以由y =2x 的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,所以函数f (x )的图象关于点(1,2)中心对称,A 正确,D 错误;易知函数f (x )在(-∞,1)上单调递减,故B 错误;易知函数f (x )的图象是由y =2x的图象平移得到的,所以不存在两点A ,B 使得直线AB ∥x 轴,C 错误.故选A .] 2.如图,函数f (x )的图象为折线ACB ,则不等式f (x )≥log 2(x +1)的解集是( )A .{x |-1<x ≤0}B .{x |-1≤x ≤1}C .{x |-1<x ≤1}D .{x |-1<x ≤2}C [令g (x )=y =log 2(x +1),作出函数g (x )图象如图所示.由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =2,y =log 2(x +1),得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1.所以结合图象知不等式f (x )≥log 2(x +1)的解集为{x |-1<x ≤1}.] 3.已知函数f (x )=若关于x 的方程f (x )=k 有两个不等的实数根,则实数k 的取值范围是________.(0,1][作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图所示,由图可知k∈(0,1].]。
2013高考数学一轮复习 2-7函数图象 课件 理
1 3.函数y=1- 的图象是( x-1
).
-1 解析 将y= 的图象向右平移1个单位,再向上平移一个单 x 1 位,即可得到函数y=1- 的图象. x-1 答案 B
1 4.(2011· 陕西)函数y=x3的图象是(
).
解析 该题考查幂函数的图象与性质,解决此类问题首先是考虑 函数的性质,尤其是奇偶性和单调性,再与函数y=x比较即可. 1 1 1 由(-x) 3 =-x 3 知函数是奇函数.同时由当0<x<1时,x 3 >x, 1 当x>1时,x <x,知只有B选项符合. 3 答案 B
作出图象如图所示. (1)递增区间为[1,2]和[3,+∞), 递减区间为(-∞,1]和[2,3]. (2)由图象可知,y=f(x)与y =m图象, 有四个不同的交点,则0<m<1, ∴集合M={m|0<m<1}.
(1)从图象的左右分布,分析函数的定义域;从图象 的上下分布,分析函数的值域;从图象的最高点、最低点,分 析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性; 从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等. (2)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,比如判 断方程是否有解,有多少个解?数形结合是常用的思想方法.
【训练2】 (2010· 山东)函数y=2x-x2的图象大致是(
).
解析
当x>0时,2x=x2有两根x=2,4;当x<0时,根据图象
法易得到y=2x与y=x2有一个交点,则y=2x-x2在R上有3个零 点,故排除B、C;当x→-∞时,2x→0.而x2→+∞,故y=2x -x2<0,故选A. 答案 A
第7讲 函数图象
【2013年高考会这样考】 1.考查函数图象的识辨. 2.考查函数图象的变换. 3.利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数. 【复习指导】 函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具,是数形结 合的基础,是高考考查的热点,复习时,应重点掌握几种基本初 等函数的图象,并在审题、识图上多下功夫,学会分析“数”与 “形”的结合点,把几种常见题型的解法技巧理解透彻.
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第3课时 函数的奇偶性和周期性
第二章
第3课时
高考调研
高三数学(新课标版· 理)
(2)∵f(x)为奇函数,且在[0,1]上为增函数, ∴f(x)在[-1,0]上也是增函数, ∴f(x)在(-1,1)上为增函数, 1 f(x)+f(x-2)<0, 1 1 ⇔f(x)<-f(x- )=f( -x), 2 2
第二章
第3课时
高考调研
高三数学(新课标版· 理)
1+x =(x-1) 1-x
即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
第二章
第3课时
高考调研
高三数学(新课标版· 理)
(3)∵f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}, 其定义域关于原点对称,并且有 1 1 1 1 f(-x)= -x +2= 1 +2 a -1 -1 ax ax 1 = x+ 1-a 2 1-ax-1 1 =- +2 1-ax
第二章
第3课时
高考调研
高三数学(新课标版· 理)
题型二
奇偶性的应用
例2 (1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R,x>0时, f(x)=x+1,f(x)的解析式为___________________________. (2)f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且x∈[0,1]时f(x)为增 1 函数,则不等式f(x)+f(x-2)<0的解集为__________. (3)函数f(x+1)为偶函数,则函数f(x)的图像的对称轴方程 为__________.
已知f(x)的定义域为(-1,1), 其定义域关于原点对称,
第二章
第3课时
高考调研
高三数学(新课标版· 理)
又f(-x)=(-x-1) =-(x+1)
1-x 1+x 1+x21-x 1+x 1+x1-x2 1-x 1+x =f(x), 1-x
2013届高考数学一轮复习教案专题一函数图象与性质的综合应用
专题一 函数图象与性质的综合应用1.函数的性质(1)函数的性质是高考的必考内容,它是函数知识的核心部分.函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性与最大值、最小值等,在历年的高考试题中函数的性质都占有非常重要的地位.(2)考查函数的定义域、值域的题型,一般是通过具体的问题(实际应用题与几何问题)找出函数的关系式,再研究函数的定义域与值域. (3)中档题常考题型利用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、求二次函数的最值问题,同时也考查考生能否用运动变化的观点观察问题、分析问题、解决问题.(4)函数的最值问题在高考试题中几乎年年出现,它是高考中的重要题型之一,特别是函数在经济生活中的应用问题,大多数都是最值问题,所以要掌握求函数最值的 几种常用方法与技巧,灵活、准确地列出函数模型. 2.函数的图象(1)函数图象是高考的必考内容,其中作图、识图、用图也是学生必须掌握的内容. (2)作图一般有两种方法:描点法、图象变换法.特别是图象变换法,有平移变换、伸缩变换和对称变换,要记住它们的变换规律.(3)识图时,要留意它们的变化趋势,与坐标轴的交点及一些特殊点,特别是对称性、周期性等特点,应引起足够的重视. (4)用图,主要是数形结合思想的应用.题型一 函数求值问题例1 设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2+t ),x <0,2×(t +1)x,x ≥0 且f (1)=6,则f (f (-2))的值为________.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-cos (πx ), x >0,f (x +1)+1, x ≤0,则f ⎝⎛⎭⎫43+f ⎝⎛⎭⎫-43的值等于 ( ) A.-2 B.1 C.2 D.3题型二 函数与不等式问题例2 设奇函数f (x )在(0,+∞)上为单调递增函数,且f (2)=0,则不等式f (-x )-f (x )x ≥0的解集为( )A.[-2,0]∪[2,+∞)B.(-∞,-2]∪(0,2]C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.[-2,0)∪(0,2]设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ,x >0,log 2(-x ),x <0,若f (m )<f (-m ),则实数m 的取值范围是 ( )A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)题型三 函数的图象问题例3 函数f (x )=1+log 2x 与g (x )=21-x 在同一直角坐标系下的图象大致是 ( )探究提高 本题的难点是在坐标系中并没有标出图象对应的函数解析式,需要我们根据图象的特征确定与其相应的函数解析式,并判断另一个图象是否与函数解析式对应.破解此类问题可从函数图象上的本质——点的集合入手,结合函数的单调性、奇偶性、周期性等性质,通过一些特殊点(常用函数图象与两坐标轴的交点)排除干扰项即可找到答案.(2011·安徽)函数f (x )=ax m (1-x )n 在区间[0,1]上的图象如图所示,则m ,n的值可能是( )A.m =1,n =1B.m =1,n =2C.m =2,n =1D.m =3,n =1题型四 函数的最值与不等式恒成立问题例4 (2011·天津滨海新区五所重点学校联考)定义在R 上的增函数y =f (x )对任意x ,y ∈R 都有f (x +y )=f (x )+f (y ).(1)求f (0);(2)求证:f (x )为奇函数;(3)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)<0对任意x ∈R 恒成立,求实数k 的取值范围.探究提高 对于恒成立问题,若能转化为a >f (x ) (或a <f (x ))恒成立,则a 必须大于f (x )的最大值(或小于f (x )的最小值).因此恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解.若不能分离参数,可以将参数看成常数直接求解.已知f (x )=log a x (a >0且a ≠1),如果对于任意的x ∈[13,2]都有|f (x )|≤1成立,试求a 的取值范围. 题型五 以形助数数形结合问题例5 已知不等式x 2-log a x <0,当x ∈⎝⎛⎭⎫0,12时恒成立,求实数a 的取值范围. 探究提高 本题是函数与不等式的综合题,运用数形结合的思想及函数的思想,抓住函数图象的本质特征是解决本题的关键所在.已知a >0且a ≠1,f (x )=x 2-a x ,当x ∈(-1,1)时均有f (x )<12,则实数a的取值范围是_____________________________________________________________.3.作图用图要规范试题:(12分)已知函数f (x )=|x 2-4x +3| (1)求函数f (x )的单调区间,并指出其增减性;(2)若关于x 的方程f (x )-a =x 至少有三个不相等的实数根,求实数a 的取值范围. 审题视角 (1)化简f (x )并作出f (x )的图象,由图象确定单调区间.(2)方程f (x )-a =x 的根的个数等价于y =f (x )与y =x -a 的交点的个数,所以可以借助图象进行分析. 规范解答解 f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(x -2)2-1, x ∈(-∞,1]∪[3,+∞),-(x -2)2+1, x ∈(1,3), 作出图象如图所示. [2分](1)递增区间为[1,2],[3,+∞), 递减区间为(-∞,1],[2,3].[4分] (2)原方程变形为 |x 2-4x +3|=x +a ,于是,设y =x +a ,在同一坐标系下再作出y =x +a 的图象.如图.则当直线y =x +a 过点(1,0)时,a =-1;[6分]当直线y =x +a 与抛物线y =-x 2+4x -3相切时,由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +a y =-x 2+4x -3⇒x 2-3x +a +3=0. [8分] 由Δ=9-4(3+a )=0,得a =-34.[10分] 由图象知当a ∈⎣⎡⎦⎤-1,-34时方程至少有三个不等实根.[12分]批阅笔记 (1)函数图象形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等),为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,因此常用函数的图象研究函数的性质. (2)有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解. (3)方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解.(4)本题比较突出的问题,是作图不规范.由于作图不规范,导致第(2)问的思路出现错误.方法与技巧1.利用复合函数求函数值是一类重要问题,解题关键是利用已知的函数值,通过解析式的变化特点进行代入求值,有时也可以利用周期性来解题.2.抽象函数奇偶性的判断关键在于构造f (-x ),使之与f (x )产生等量关系,即比较f (-x )与±f (x )是否相等,此时赋值比较多的是-1、1、0等.3.作图、识图和用图是函数图象中的基本问题.作图的基本途径:求出函数的定义域;尽量求出值域;变换(化简、平移、对称、伸缩等)出图象的形状;描点作图.识图就是从图形中发现或捕捉所需信息,从而使问题得到解决.用图就是根据需要,作出函数的图形,使问题求解得到依据,使函数、方程、不等式中的许多问题化归为函数图象问题. 失误与防范1.函数求值问题一定要关注自变量的取值范围,尤其是分段函数,以防代错解析式.2.对于抽象函数不等式向具体不等式转化的过程中,一定要注意单调区间,需将自变量转化到同一个单调区间上去.3.识图要抓性质特征,关键点;作图要规范,一般从基本图形通过平移、对称等变换来作图.答案题型分类·深度剖析 例1 12 变式训练1 D 例2 D变式训练2 C 例3 C 变式训练3 B例4 (1)解 令x =y =0, 得f (0+0)=f (0)+f (0),即f (0)=0. (2)证明 令y =-x , 得f (x -x )=f (x )+f (-x ), 又f (0)=0,则有0=f (x )+f (-x ), 即f (-x )=-f (x )对任意x ∈R 成立, 所以f (x )是奇函数.(3)解 方法一 因为f (x )在R 上是增函数,又由(2)知f (x )是奇函数. f (k ·3x )<-f (3x -9x -2)=f (-3x +9x +2),所以k ·3x <-3x +9x +2, 32x -(1+k )·3x +2>0对任意x ∈R 成立.令t =3x >0,问题等价于t 2-(1+k )t +2>0对任意t >0恒成立.令f (t )=t 2-(1+k )t +2,其对称轴为x =1+k 2,当1+k 2<0即k <-1时,f (0)=2>0,符合题意;当1+k2≥0即k ≥-1时,对任意t >0,f (t )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1+k 2≥0,Δ=(1+k )2-4×2<0,解得-1≤k <-1+2 2.综上所述,当k <-1+22时,f (k ·3x )+f (3x -9x -2)<0对任意x ∈R 恒成立. 方法二 由k ·3x <-3x +9x +2, 得k <3x +23x -1.u =3x +23x -1≥22-1,3x =2时,取“=”,即u 的最小值为22-1,要使对x ∈R 不等式k <3x +23x -1恒成立,只要使k <22-1.变式训练4 解 ∵f (x )=loga x , 则y =|f (x )|的图象如右图.由图示,可使x ∈[13,2]时恒有|f (x )|≤1,只需|f (13)|≤1,即-1≤log a 13≤1,即log a a -1≤log a 13≤log a a ,亦当a >1时,得a -1≤13≤a ,即a ≥3;当0<a <1时,得a -1≥13≥a ,得0<a ≤13.综上所述,a 的取值范围是(0,13]∪[3,+∞).例5 解 由x 2-log a x <0, 得x 2<log a x . 设f (x )=x 2, g (x )=log a x . 由题意知,当x ∈⎝⎛⎭⎫0,12时,函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方, 如图,可知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12,即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,⎝⎛⎭⎫122≤log a 12,解得116≤a <1. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116,1. 变式训练5 ⎣⎡⎭⎫12,1∪(1,2]高╗考+试∴题╓库。
2013年高考数学一轮复习2.8函数与方程精品教学案(教师版)新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案2.8 函数与方程(新课标人教版,教师版)【考纲解读】1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.函数与方程是历年来高考重点内容之一,选择题、填空题与解答题都有可能出现,还常与二次函数等知识相联系,以考查函数与方程知识的同时,又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查函数与方程,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1.函数的零点:(1)一般地,如果函数y=f(x)在实数a 处的值等于0,即()0f a =,则a 叫做这个函数的零点. (2)对于任意函数,只要它的图象是连续不间断的,其函数的零点具有下列性质: 当它通过零点(不是偶次零点)时函数值变号;相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 2.二分法(1)对于区间[a,b]上连续的,且()()0f a f b ⋅<的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而得到零点近似值的方法,叫做二分法.(2)用二分法求函数零点的近似值.第一步:确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ⋅<,给定精确度; 第二步:求区间(,)a b 的中点1x ; 第三步:计算;①若f(x 1)=0,则x 1就是函数的零点, ②若f(a) ·f(x 1)<0,则令b=x 1, ③若f(x 1)·f(b)<0,则令a= x 1.第四步:判断是否达到精确度ε,即若||a b ε-<,则得到零点近似值a (或b ),否则重复第二、三、四步.【例题精析】考点 求函数的零点例. (2012年高考北京卷文科5)函数xx x f )21()(21-=的零点个数为( ) (A )0 (B )1(C )2 (D )3(2012年高考湖北卷文科3) 函数f(x)=xcos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A 2 B 3 C 4 D 5例. 函数3()233f x x x =+-的零点所在的区间为( ) A.(-1,0) B.( 0,1) C.(1,2) D.(2,3)1. (2010年高考天津卷文科4)函数f (x )=2xe x +-的零点所在的一个区间是 ( ) (A)(-2,-1) (B) (-1,0) (C) (0,1) (D) (1,2)2.(2010年高考福建卷文科7)函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩(的零点个数为 ( )A.3B.2C.1D.03.(2010年高考上海卷文科17)若0x 是方程式 lg 2x x +=的解,则0x 属于区间 ( ) (A )(0,1). (B )(1,1.25). (C )(1.25,1.75) (D )(1.75,2)4. (北京市西城区2012年4月高三第一次模拟) 已知函数122,09,(),20.x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 则()f x 的零点是_____.5. (2009年高考山东卷理科第14题)若函数f(x) =x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点,则实数a 的取值范围是 .6.(山东省济南市2012年2月高三定时练习)函数x x x f lg cos )(-=零点的个数为 .1.(2011年高考海南卷文科10)在下列区间中,函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为( ) A.1(,0)4-B.1(0,)4C. 11(,)42D.13(,)242. (2010年高考浙江卷文科9)已知x 是函数f(x)=2x+11x-的一个零点.若1x ∈(1,0x ), 2x ∈(0x ,+∞),则( )(A )f(1x )<0,f(2x )<0 (B )f(1x )<0,f(2x )>0 (C )f(1x )>0,f(2x )<0 (D )f(1x )>0,f(2x )>0 【答案】B【解析】考察了数形结合的思想,以及函数零点的概念和零点的判断,属中档题.3. (2012年高考湖南卷文科9)设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是f(x)的导函数,当[]0,x π∈时,0<f(x)<1;当x ∈(0,π) 且x ≠2π时 ,()()02x f x π'->,则函数y=f(x)-sinx 在[-2π,2π] 上的零点个数为( ) A .2 B .4 C. 5 D. 84. (2011年高考山东卷文科16)已知函数f x ()=log (0a 1).a x x b a +-≠>,且当2<a <3<b <4时,函数f x ()的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .5.(2011年高考辽宁卷文科16)已知函数f (x )=e x-2x+a 有零点,则a 的取值范围是___________。
(湖北专用)高考数学一轮复习 第二章函数2.4一次函数、二次函数教学案 理 新人教A版
2.4 一次函数、二次函数考纲要求1.理解并掌握一次函数、二次函数的定义、图象及性质. 2.会求二次函数在闭区间上的最值.3.能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题. 4.结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.__________ ______________________________ __________ (-∞,+∞)(-∞,+∞)________上是减函数; ________上是增函数;(1)一般式:f (x )=______________;(2)顶点式:若二次函数的顶点坐标为(h ,k ),则其解析式为:f (x )=______________; (3)两根式:若相应一元二次方程的两根为x 1,x 2,则其解析式为f (x )=______________.1.在同一坐标系内,函数y =x a(a <0)和y =ax +1a的图象可能是如图中的( ).2.“a <0”是“方程ax 2+1=0有一个负数根”的( ). A .必要不充分条件 B .充分必要条件C .充分不必要条件D .既不充分也不必要条件3.函数f (x )=4x 2-mx +5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f (1)的取值范围是__________.4.已知函数f (x )=x 2-2x +2的定义域和值域均为[1,b ],则b =__________.5.如果函数f (x )=x 2+(a +2)x +b (x ∈[a ,b ])的图象关于直线x =1对称,则函数f (x )的最小值为__________.一、一次函数的概念与性质的应用【例1-1】已知f (x )是一次函数,且满足3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17,则函数f (x )=__________.【例1-2】已知函数y =(2m -1)x +1-3m ,m 为何值时, (1)这个函数为正比例函数; (2)这个函数为一次函数;(3)函数值y 随x 的增大而减小. 方法提炼一次函数y =kx +b 中斜率k 与截距b 的认识:一次函数y =kx +b 中的k 满足k ≠0这一条件,当k =0时,函数y =b ,它不再是一次函数,通常称为常数函数,它的图象是一条与x 轴平行或重合的直线.请做演练巩固提升3二、求二次函数的解析式【例2】已知二次函数f (x )同时满足条件: (1)f (1+x )=f (1-x ); (2)f (x )的最大值为15;(3)f (x )=0的两根立方和等于17. 求f (x )的解析式. 方法提炼在求二次函数解析式时,要灵活地选择二次函数解析式的表达形式: (1)已知三个点的坐标,应选择一般形式;(2)已知顶点坐标或对称轴或最值,应选择顶点式; (3)已知函数图象与x 轴的交点坐标,应选择两根式. 提醒:求二次函数的解析式时,如果选用的形式不当,引入的系数过多,会加大运算量,易出错.请做演练巩固提升2三、二次函数的综合应用【例3-1】设函数f (x )=x |x |+bx +c ,给出下列四个命题: ①c =0时,f (x )是奇函数;②b =0,c >0时,方程f (x )=0只有一个实根; ③f (x )的图象关于(0,c )对称; ④方程f (x )=0至多有两个实根. 其中正确的命题是( ).A .①④B .①③C .①②③D .②④【例3-2】 (2012北京高考)已知f (x )=m (x -2m )·(x +m +3),g (x )=2x-2.若∀x ∈R ,f (x )<0或g (x )<0,则m 的取值范围是__________.方法提炼1.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与各系数间的关系: (1)a 与抛物线的开口方向有关; (2)c 与抛物线在y 轴上的截距有关;(3)-b2a 与抛物线的对称轴有关;(4)b 2-4ac 与抛物线与x 轴交点的个数有关.2.关于不等式ax 2+bx +c >0(<0)在R 上的恒成立问题:解集为R ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a =b =0,c >0.⎝⎛⎭⎪⎫解集为R ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0,Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a =b =0,c <0. 请做演练巩固提升5分类讨论思想在二次函数中的应用【典例】(12分)设a 为实数,函数f (x )=2x 2+(x -a )·|x -a |. (1)若f (0)≥1,求a 的取值范围; (2)求f (x )的最小值;(3)设函数h (x )=f (x ),x ∈(a ,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集.分析:(1)求a 的取值范围,是寻求关于a 的不等式,解不等式即可.(2)求f (x )的最小值,由于f (x )可化为分段函数,分段函数的最值分段求,然后综合在一起.(3)对a 讨论时,要找到恰当的分类标准.规范解答:(1)因为f (0)=-a |-a |≥1,所以-a >0,即a <0,由a 2≥1知a ≤-1,因此,a 的取值范围为(-∞,-1].(3分) (2)记f (x )的最小值为g (a ),则有 f (x )=2x 2+(x -a )|x -a |=⎩⎪⎨⎪⎧ 3⎝⎛⎭⎪⎫x -a 32+2a 23,x >a ,x +a 2-2a 2,x ≤a .①②分当a ≥0时,f (-a )=-2a 2,由①②知f (x )≥-2a 2,此时g (a )=-2a 2.当a <0时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3=23a 2,若x >a ,则由①知f (x )≥23a 2.若x ≤a ,由②知f (x )≥2a 2>23a 2.此时g (a )=23a 2,综上,得g (a )=⎩⎪⎨⎪⎧-2a 2,a ≥02a23,a <0.(9分)(3)①当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-62∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22,+∞时,解集为(a ,+∞); ②当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫-22,22时,解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a +3-2a 23,+∞;③当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-62,-22时,解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ,a -3-2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a +3-2a 23,+∞.(12分)答题指导:1.分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一,本题充分体现了分类讨论的思想方法.2.在解答本题时有两点容易造成失分:一是求实数a 的值时,讨论的过程中没注意a 自身的取值范围,易出错;二是求函数最值时,分类讨论的结果不能写在一起,不能得出最后的结论.3.解决函数问题时,以下几点容易造成失分:(1)含绝对值问题,去绝对值符号,易出现计算错误;(2)分段函数求最值时要分段求,最后写在一起时,没有比较大小或不会比较出大小关系;(3)解一元二次不等式时,不能与二次函数、一元二次方程联系在一起,思路受阻.4.对于二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)给定了定义域为一个区间[k 1,k 2]时,利用配方法求函数的最值4ac -b24a是极其危险的,一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况,有时要讨论下列四种情况:①-b 2a <k 1;②k 1≤-b 2a <k 1+k 22;③k 1+k 22≤-b 2a <k 2;④-b 2a≥k 2.对于这种情况,也可以利用导数法求函数在闭区间的最值方法求最值.1.一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象大致是( ).2.若二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x ,f (0)=1,则f (x )=( ).A .x 2+xB .x 2-x +1C .x 2+x -1D .x 2-x -13.已知一次函数f (x )满足f [f (x )]=3x +2,则f (x )=__________.4.(2012重庆高考)若f (x )=(x +a )(x -4)为偶函数,则实数a =__________.5.(2013湖北襄阳四校期中考试)在R 上定义运算:⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d =ad -bc ,若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1 a -2a +1 x ≥1对任意实数x 恒成立,则实数a 的最大值为__________.参考答案基础梳理自测 知识梳理1.R R R ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac -b 24a ,+∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,4ac -b 24a 增函数 减函数 ⎝⎛⎦⎥⎤-∞,-b 2a⎣⎢⎡⎭⎪⎫-b 2a ,+∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-b 2a ⎣⎢⎡⎭⎪⎫-b 2a ,+∞ 非奇非偶函数 奇函数 非奇非偶函数 偶函数 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 2a ,4ac -b 24a 原点 y 轴 x =-b 2a2. (1)ax 2+bx +c (a ≠0) (2)a (x -h )2+k (a ≠0) (3)a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)基础自测 1.B 2.B3.[25,+∞) 解析:由题意知m8≤-2,∴m ≤-16,∴f (1)=9-m ≥25.4.2 解析:∵f (x )=(x -1)2+1, ∴f (x )在[1,b ]上是增函数, f (x )max =f (b ),∴f (b )=b ,即b 2-2b +2=b . ∴b 2-3b +2=0.∴b =2或b =1(舍).5.5 解析:由题意知-a +22=1,解得a =-4,∴b =6.则f (x )=x 2-2x +6=(x -1)2+5, 当x ∈[-4,6]时,f (x )min =5. 考点探究突破【例1-1】 2x +7 解析:设f (x )=kx +b (k ≠0),则 3f (x +1)-2f (x -1)=3[k (x +1)+b ]-2[k (x -1)+b ] =3k (x +1)+3b -2k (x -1)-2b =kx +5k +b ,由题意得,kx +5k +b =2x +17, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k =2,5k +b =17,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =2,b =7. ∴f (x )=2x +7.【例1-2】 解:(1)当⎩⎪⎨⎪⎧2m -1≠0,1-3m =0,即m =13时,函数为正比例函数.(2)当2m -1≠0,即m ≠12时,函数为一次函数.(3)当2m -1<0,即m <12时,函数为减函数,y 随x 的增大而减小.【例2】 解:依条件,设 f (x )=a (x -1)2+15(a <0),即f (x )=ax 2-2ax +a +15.令f (x )=0,即ax 2-2ax +a +15=0,∴x 1+x 2=2,x 1x 2=1+15a.而x 13+x 23=(x 1+x 2)3-3x 1x 2(x 1+x 2)=23-3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1+15a =2-90a,∴2-90a=17,则a =-6.∴f (x )=-6x 2+12x +9.【例3-1】 C 解析:c =0时,f (-x )=-x |-x |+b (-x )=-x |x |-bx =-f (x ),故f (x )是奇函数,排除D ;b =0,c >0时,f (x )=x |x |+c =0,∴x ≥0时,x 2+c =0无解,x <0时,f (x )=-x 2+c =0,∴x =-c ,只有一个实数根,排除A ,B ,故选C.【例3-2】 (-4,0) 解析:由题意可知,m ≥0时不能保证对∀x ∈R ,f (x )<0或g (x )<0成立.(1)当m =-1时,f (x )=-(x +2)2,g (x )=2x-2,画出图象①,显然满足条件;(2)当-1<m <0时,2m >-(m +3),要使其满足条件,则需⎩⎪⎨⎪⎧ -1<m <0,2m <1,解得-1<m<0,如图②;(3)当m <-1时,-(m +3)>2m ,要使其满足条件,则需⎩⎪⎨⎪⎧m <-1,-(m +3)<1,解得-4<m<-1,如图②.综上可知,m 的取值范围为(-4,0). 演练巩固提升 1.C2.B 解析:令f (x )=ax 2+bx +1(a ≠0), ∵f (x +1)-f (x )=2x , ∴2ax +(a +b )=2x . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a =2,a +b =0,得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-1. ∴f (x )=x 2-x +1,故选B.3.3x +3-1或-3x -3-1 解析:令f (x )=ax +b ,则f [f (x )]=af (x )+b =a (ax +b )+b =3x +2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2=3,ab +b =2,∴⎩⎨⎧a =3,b =3-1或⎩⎨⎧a =-3,b =-3-1.∴f (x )=3x +3-1或f (x )=-3x -3-1.4.4 解析:f (x )=x 2+(a -4)x -4a .因为f (x )为偶函数,所以f (-x )=x 2+(4-a )x -4a =x 2+(a -4)x -4a ,a -4=4-a ,a =4.5.32解析:由题意知:x (x -1)-(a +1)(a -2)≥1在R 上恒成立,即x 2-x -(a +1)(a -2)-1≥0在R 上恒成立.由题意知:Δ≤0,解得-12≤a ≤32.故实数a 的最大值为32.。
2013届高三数学复习教案第二章《函数》(新人教版必修1)1
第二章 函数第一教时教材:映射目的:要求学生了解映射和一一映射的概念,为今后在此基础上对函数概念的理解打下基础。
过程:一、复习:以前遇到过的有关“对应”的例子1︒ 看电影时,电影票与座位之间存在者一一对应的关系。
2︒ 对任意实数a ,数轴上都有唯一的一点A 与此相对应。
3︒ 坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y )和它对应。
4︒ 任意一个三角形,都有唯一的确定的面积与此相对应。
二、提出课题:一种特殊的对应:映射(1) (2) (3) (4) 引导观察,分析以上三个实例。
注意讲清以下几点:1.先讲清对应法则:然后,根据法则,对于集合A 中的每一个元素,在集合B 中都有一个(或几个)元素与此相对应。
2.对应的形式:一对多(如①)、多对一(如③)、一对一(如②、④) 3.映射的概念(定义):强调:两个“一”即“任一”、“唯一”。
4.注意映射是有方向性的。
5.符号:f : A B 集合A 到集合B 的映射。
6.讲解:象与原象定义。
再举例:1︒A ={1,2,3,4} B ={3,4,5,6,7,8,9} 法则:乘2加1 是映射2︒A =N + B ={0,1} 法则:B 中的元素x 除以2得的余数 是映射 3︒A =Z B =N * 法则:求绝对值 不是映射(A 中没有象)4︒A ={0,1,2,4} B ={0,1,4,9,64} 法则:f :a b =(a -1)2 是映射三、一一映射观察上面的例图(2) 得出两个特点:1︒对于集合A 中的不同元素,在集合B 中有不同的象(单射) 2︒集合B 中的每一个元素都是集合A 中的每一个元素的象 (满射) 即集合B 中的每一个元素都有原象。
结论:(见P 48) 从而得出一一映射的定义。
例一:A ={a ,b ,c ,d } B ={m ,n ,p ,q } 它是一一映射 例二:P 48例三:看上面的图例(2)、(3)、(4)及例1︒、2︒、4︒ 辨析为什么不是一一映射。
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第二十七教时教材:函数的应用举例一目的:让学生熟悉借助“几何图形”和“计算利润”两种常见类型的应用问题。
过程:一、应用问题的解答绝大部分是通过建立模型(常常是函数模型)并借助图象和性质来进行研究的,研究结果再应用于实践。
1.数学模型来源于实践,是实际问题的抽象和概括,因此首先必须对实际问题要有深刻的理解。
2.其次,应不断培养自己的抽象概括能力和坚实的数学基础。
3.最后,当然需要有较强的运算能力。
二、例一(课本P90)有一块半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,下底AB是⊙O的直径,上底CD的端点在圆周上。
写出这个梯形周长y与腰长x间的函数式,并写出它的定义域。
分析:关键是用半径R与由对称性:CD=AB-2AE 因此只要求AE解:设腰长AD=BC=x 作DE⊥AB 垂足为E 连结BD则∠ADB=90︒由此:Rt△ADE∽Rt△ABDAB⋅RxAE22=∴RxRAEABCD222-=-=∴周长RxRxRxRxRy42)2(2222++-=-++=∵ABCD是圆内接梯形∴0,0,0>>>CDAEAD{}RxxRxRRxx20|222<<⇒>->>《课课练》P98 3 —此题作为作业例二如图,已知⊙O的半径为R,由直径AB的端点B作圆的切线,从圆周上任一点P引该切线的垂线,垂足为M,连AP设AP=x1.写出AP+2PM关于x的函数关系式2.求此函数的最值解:1.过P作PD⊥AB于D,连PB 设AD=a则aRx⋅=22Rxa22=RxRPM222-=∴R x Rx PM AP x f 42)(2++-=+= )20(R x ≤≤2.417)2(1)(2R R x R x f +--= 当2R x =时R x f 417)(max = 当R x 2=时R x f 2)(min = 例三 《教学与测试》34课 例一 (P69) 距离船只方向100海里处有一船只B ,以每小时20北偏西60︒角的方向行驶,A 船只以每小时15向正北方向行驶,两船同时出发,问几小时后两船相 解:设t 小时后A 行驶到点C ,B 行驶到点D ,则 过D 作DE ⊥BC 于E DE=BDsin60︒=103t BE=BDcos60︒=10t∴EC=BC+BE=100-5tCD=()()22225100310t t CE DE -+=+=1000010003252+-t t∴t =1320时CD 最小,最小值为200133,即两船行驶1320小时相距最近。
2013届高三数学复习教案第二章《函数》(新人教版必修1)6
第六教时(若时间不够,可将部分内容延至第七教时)教材: 函数图象;《教学与测试》第19课目的: 要求学生根据函数解析式作出它们的图象,并且能根据图象分析函数的性质;同时了解图象的简单变换(平移变换和对称变换)。
过程:一、复习:函数有哪三种表示方法? 今天主要研究函数的图象。
二、例一、画出下列函数的图象。
(《教学与测试》P 39) 1。
x y )1(-= {}3,2,1,0∈x 2。
x x y --=1解: 解:⎩⎨⎧-=--=1211x x x y )1()1(<≥x x注意:由于定义域从而导致 函数图象只是若干个孤立点。
3。
xx x y -+=)21(注意:先写成分段函数再作图。
解:定义域为 ⎪⎩⎪⎨⎧≠--≠021x x x 0<⇒x 且x ≠21-强调:定义域十分重要。
三、例二、根据所给定义域,画出函数222+-=x x y 的图象。
1。
R x ∈ 2。
]2,1(-∈x 3。
]2,1(-∈x 且x ∈Zx xx四、关于分段函数的图象例三、已知⎪⎩⎪⎨⎧--=123)(2πx x f()0()0(=>x x x 画出它的图象,并求f (1),f (-2)。
解:f (1)=3×12-2=1f (-2)=-1五、关于函数图象的变换1.平移变换 研究函数y =f (x )与y =f (x +a)+b的图象之间的关系例四、函数2)1(+=x y -2和1)21(2+-=x y 的图象分别是由2x y =函数的图象经过如何变化得到的。
1)将2x y =的图象沿 x 轴向左平移1个单位再沿y 轴向下平移2个单位得2)1(+=x y -2的图象;2)将2x y =的图象沿x 轴向右平移21个 单位再沿y 轴向上平移1个单位得函数1)21(2+-=x y 的图象。
小结:1。
将函数y =f (x )的图象向左(或向右)平移|k |个单位(k >0向左,k <0向右)得y =f (x +k )图象;2.将函数y =f (x )的图象向上(或向下)平移|k |个单位(k >0向上,k <0向下)得y =f (x ) +k 图象。
2013届高三数学复习教案第二章《函数》(新人教版必修1)10
第十教时教材:函数的奇偶性目的:要求学生掌握函数奇偶性的定义,并掌握判断函数奇偶性的基本方法。
过程:一、复习函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。
二、提出课题:函数的第二个性质――奇偶性1.依然观察 y=x 2与 y=x 3 的图象――从对称的角度.观察结果:y=x 2的图象关于轴对称y=x 3的图象关于原点对称3.继而,更深入分析这两种对称的特点:①当自变量取一对相反数时,y 取同一值.f(x)=y=x 2 f(-1)=f(1)=1 41)21()21(==-f f 即 f(-x)=f(x)再抽象出来:如果点 (x,y) 在函数y=x 2的图象上,则该点关于y 轴的对称点 (-x,y)也在函数y=x 2的图象上.②当自变量取一对相反数时,y 亦取相反数.f(x)=y=x 3 f(-1)=-f(1)=-1 81)21()21(-=-=-f f 即 f(-x)=f(x)再抽象出来:如果点 (x,y) 在函数y=x 3的图象上,则该点关于原点的对称点 (-x,-y)也在函数y=x 3的图象上.4.得出奇(偶)函数的定义(见P61 略)注意强调:①定义本身蕴涵着:函数的定义域必须是关于原点的对称区间――这是奇(偶)函数的必要条件――前提②"定义域内任一个":意味着不存在"某个区间上的"的奇(偶)函数――不研究③判断函数奇偶性最基本的方法:先看定义域,再用定义――f(-x)=f(x) ( 或f(-x)=-f(x) )三、例题:例一、(见P61-62 例四)例二、(见P62 例五)此题系函数奇偶性与单调性综合例题,比例典型.小结:一般函数的奇偶性有四种:奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数例:xy 1= y=2x (奇函数) y=-3x 2+1 y=2x 4+3x 2 (偶函数)y=0 (即奇且偶函数)y=2x+1 (非奇非偶函数)例三、判断下列函数的奇偶性:1.xx x x f -+-=11)1()( 解:定义域:1101101<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≠-x xx x 关于原点非对称区间 ∴此函数为非奇非偶函数2.2211)(x x x f --=解:定义域:⎩⎨⎧⎩⎨⎧≤≤--≤≥⇒≥-≥-1111010122x x x x x 或 ∴定义域为 x =±1 )(11)(22x f x x x f =--=- 且 f (±1) = 0∴此函数为即奇且偶函数3.⎩⎨⎧>-<+=)0()0()(22x x x x x x x f 解:显然定义域关于原点对称当 x>0时, -x<0 f (-x) = x 2-x = -(x -x 2)当 x<0时, -x>0 f (-x) = -x -x 2 = -(x 2+x)即:)()0()()0()()(22x f x x x x x x x f -=⎩⎨⎧>--<+-=-∴此函数为奇函数四、奇函数⇔图象关于原点对称偶函数⇔图象关于轴对称例四、(见P63 例六)略五、小结:1.定义2.图象特征3.判定方法六、作业:P63 练习P65 习题2. 3 7、8、9。
2013年高考数学复习要点梳理教学案2.3函数的性质精品(教师版)新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案2.3 函数的性质(新课标人教版,教师版)【考纲解读】1. 理解函数的单调性及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.3.会判断函数的单调性与奇偶性;掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用.4.理解函数的周期性与对称性.【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.函数的单调性与奇偶性是历年来高考必考内容之一,选择填空题、解答题中都可能出现,解答题一般以中、高档题的形式考查,常常与三角函数、不等式等知识相联系,以考查函数知识的同时,又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查函数的性质求解,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.增函数和减函数定义:如果对于属于函数定义域内某个区间上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说()f x 在这个区间上是增函数;当12x x <时,都有12()()f x f x >,那么就说()f x 在这个区间上是减函数.3.判断函数单调性的常用方法:(1)定义法(熟练利用定义法证明函数单调性的步骤).(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数.(3)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.(4)导数法:若当[,]x a b ∈时,'()0f x >,则()f x 在[,]a b 上递增;若当[,]x a b ∈时,'()0f x <,则()f x 在[,]a b 上递减.(5)利用函数图象判断函数单调性.(6)复合函数[()]y f g x =的单调性判断:如果()y f u =和()u g x =单调性相同,那么[()]y f g x =是增函数;如果()y f u =和()u g x =单调性相反,那么[()]y f g x =是减函数.4.熟记以下几个结论:与()f x 的单调性相同;(2)()f x -与()f x 的单调性相反;(3)1()f x 与()f x 的单调性相反. 5.如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数;如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.6.如果奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0;如果函数f(x)的定义域不关于原点对称,那么f(x)一定是非奇非偶函数;如果f(x)既是奇函数又是偶函数,那么f(x)的表达式是f(x)=0.7.奇偶函数的性质:(1)奇偶函数定义域关于原点对称.(2)奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于y 轴对称.(3)奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.8.利用定义判断函数奇偶性的步骤:(1)首先确定定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;(2)确定f(-x)与f(x)的关系;(3)下结论.9.周期函数的定义:如果存在一个非零常数T ,使得对于函数定义域内的任意x ,都有()()f x T f x +=,则称()f x 为周期函数,其中T 称为()f x 的周期.若T 中存在一个最小的正数,则称它为()f x 的最小正周期.【例题精析】考点一 函数的单调性例1. (2012年高考辽宁卷文科8)函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为( ) (A )(-1,1] (B )(0,1] (C.)[1,+∞) (D )(0,+∞)1. (2011年高考江苏卷2)函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________. 【答案】1(,)2-+∞【解析】因为210x +>,所以定义域为1(,)2-+∞,由复合函数的单调性知:函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是1(,)2-+∞. 考点二 函数的奇偶性例2. (2012年高考广东卷文科4) 下列函数为偶函数的是( )A .y=sinx B. y=3x C. y=x e2. (2012年高考天津卷文科6)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( )A.y=cos2x ,x ∈RB.y=log 2|x|,x ∈R 且x ≠0C.y=2x xe e y --=,x ∈R D.y=3x +1,x ∈R考点三 函数的周期性与对称性例3.(2009年高考山东卷文科第12题)已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<函数,所以在[0,2]上的函数值非负,故(1)0f >,所以(25)(25)(1)0f f f -=-=-<,(80)(0)0f f ==,(11)(3)0f f =>,所以(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.【名师点睛】本小题考查函数的奇偶性、单调性、对称性,利用函数性质比较函数值的大小.【变式训练】3. 如果函数f(x)=x 2+bx +c 对于任意实数t ,都有f (2-t )=f (2+t ),那么 ( )A .f (2)<f (1)<f (4)B .f (1)<f (2)<f (4)C .f (2)<f (4)<f (1)D .f (4)<f (2)<f (1)【易错专区】问题:求单调区间时,忽视定义域例. 函数()ln f x x x =的单调递减区间为 .1.(福建省泉州市2012届高三3月质量检查文科)下列函数中,既是偶函数,且在区间()+∞,0内是单调递增的函数是( )A . 21x y = B .x y cos = C . x y ln = D .xy 2=2.(辽宁省大连市2012年4月高三双基测试文科)下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( )A .1y x =-B .13log y x =-C .2x y =D .3y x x =+【答案】D【解析】由奇函数,排除B 、C,而1y x=-在定义域内不是单调函数,故选D. 3. (山东省实验中学2012年3月高三第四次诊断)已知定义在R 上函数()f x 是奇函数,对x R ∈都有(2)(2)f x f x +=--,则(2012)f =( ) A.2 B.-2 C.4 D.04. (2009年高考广东卷A 文科第8题)函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是( )A. )2,(-∞B.(0,3)C.(1,4)D. ),2(+∞【答案】D【解析】()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D.5.(北京市东城区2012年1月高三考试)对于函数()lg 21f x x =-+,有如下三个命题:①(2)f x +是偶函数;②()f x 在区间(),2-∞上是减函数,在区间()2,+∞上是增函数;③(2)()f x f x +-在区间()2,+∞上是增函数.其中正确命题的序号是 .(将你认为正确的命题序号都填上)【答案】①②6.(2009年高考江苏卷第3题)函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .【答案】(1,11)-【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+,由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-.亦可填写闭区间或半开半闭区间.【考题回放】1.(2012年高考陕西卷文科2)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )A 1y x =+B 2y x =-C 1y x= D ||y x x =2.(2010年高考山东卷文科5)设()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()22x f x x b =++(b 为常数),则(1)f -=( )(A )-3 (B )-1 (C )1 (D)33.(2011年高考安徽卷文科11)设()f x 是定义在R 上的奇函数,当x≤0时,()f x =22x x -,则(1)f = .【答案】-3【解析】2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-.4.(2012年高考重庆卷文科12)函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数,则实数a = .5. (2012年高考浙江卷文科16) 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )=x +1,则3f 2()=_______________。
2013届高考数学总复习教学案:函数的图象
第五节函数的图象[知识能否忆起]一、利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线,首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性);其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点);最后:描点,连线.二、利用基本函数的图象作图 1.平移变换(1)水平平移:y =f (x ±a )(a >0)的图象,可由y =f (x )的图象向左(+)或向右(-)平移a 个单位而得到.(2)竖直平移:y =f (x )±b (b >0)的图象,可由y =f (x )的图象向上(+)或向下(-)平移b 个单位而得到.2.对称变换(1)y =f (-x )与y =f (x )的图象关于y 轴对称. (2)y =-f (x )与y =f (x )的图象关于x 轴对称. (3)y =-f (-x )与y =f (x )的图象关于原点对称.(4)要得到y =|f (x )|的图象,可将y =f (x )的图象在x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到x 轴上方,其余部分不变.(5)要得到y =f (|x |)的图象,可将y =f (x ),x ≥0的部分作出,再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性,作出x <0时的图象.3.伸缩变换(1)y =Af (x )(A >0)的图象,可将y =f (x )图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍,横坐标不变而得到.(2)y =f (ax )(a >0)的图象,可将y =f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的1a 倍,纵坐标不变而得到.[小题能否全取]1.一次函数f (x )的图象过点A (0,1)和B (1,2),则下列各点在函数f (x )的图象上的是( ) A .(2,2)B .(-1,1)C .(3,2)D .(2,3)解析:选D 一次函数f (x )的图象过点A (0,1),B (1,2),则f (x )=x +1,代入验证D 满足条件.2.函数y =x |x |的图象大致是( )解析:选A 函数y =x |x |为奇函数,图象关于原点对称.3.(教材习题改编)在同一平面直角坐标系中,函数f (x )=ax 与g (x )=a x 的图象可能是下列四个图象中的( )解析:选B 因a >0且a ≠1,再对a 分类讨论. 4.(教材习题改编)为了得到函数y =2x-3的图象,只需把函数y =2x 的图象上所有的点向______平移______个单位长度.答案:右 35.若关于x 的方程|x |=a -x 只有一个解,则实数a 的取值范围是________. 解析:由题意a =|x |+x令y =|x |+x =⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x ≥0,0,x <0,图象如图所示,故要使a =|x |+x 只有一解则a >0.答案:(0,+∞)1.作图一般有两种方法:直接作图法、图象变换法.其中图象变换法,包括平移变换、伸缩变换和对称变换,要记住它们的变换规律.[注意] 对于左、右平移变换,可熟记口诀:左加右减.但要注意加、减指的是自变量,否则不成立.2.一个函数的图象关于原点(y 轴)对称与两个函数的图象关于原点(y 轴)对称不同,前者是自身对称,且为奇(偶)函数,后者是两个不同的函数对称.典题导入[例1] 分别画出下列函数的图象: (1)y =|lg x |; (2)y =2x +2;(3)y =x 2-2|x |-1.[自主解答] (1)y =⎩⎪⎨⎪⎧lg x ,x ≥1,-lg x ,0<x <1.图象如图1.(2)将y =2x 的图象向左平移2个单位.图象如图2.(3)y =⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x -1,x ≥0,x 2+2x -1,x <0.图象如图3.由题悟法画函数图象的一般方法(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征直接作出.(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.以题试法1.作出下列函数的图象: (1)y =|x -x 2|; (2)y =x +2x -1.解:(1)y =⎩⎪⎨⎪⎧x -x 2,0≤x ≤1,-(x -x 2),x >1或x <0,即y =⎩⎨⎧-⎝⎛⎭⎫x -122+14,0≤x ≤1,⎝⎛⎭⎫x -122-14,x >1或x <0,其图象如图1所示(实线部分).(2)y =(x -1)+3x -1=1+3x -1,先作出y =3x 的图象,再将其向右平移1个单位,并向上平移1个单位即可得到y =x +2x -1的图象,如图2.典题导入[例2] (2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y =f (x )的图象如图所示,则y =-f (2-x )的图象为( )[自主解答] 法一:由y =f (x )的图象知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x (0≤x ≤1),1(1<x ≤2).当x ∈[0,2]时,2-x ∈[0,2],所以f (2-x )=⎩⎪⎨⎪⎧1(0≤x ≤1),2-x (1<x ≤2),故y =-f (2-x )=⎩⎪⎨⎪⎧-1(0≤x ≤1),x -2(1<x ≤2).法二:当x =0时,-f (2-x )=-f (2)=-1;当x =1时,-f (2-x )=-f (1)=-1.观察各选项,可知应选B.[答案] B由题悟法“看图说话”常用的方法(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题.(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题.(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.以题试法2.(1)如图,函数f (x )的图象是曲线OAB ,其中点O ,A ,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)的值等于________.(2)(2012·东城模拟)已知函数对任意的x ∈R 有f (x )+f (-x )=0,且当x >0时,f (x )=ln(x +1),则函数f (x )的图象大致为( )解析:(1)∵由图象知f (3)=1, ∴1f (3)=1.∴f ⎝⎛⎭⎫1f (3)=f (1)=2.(2)∵对∀x ∈R 有f (x )+f (-x )=0,∴f (x )是奇函数.f (0)=0,y =f (x )的图象关于原点对称,当x <0时,f (x )=-f (-x )=-ln(-x +1)=-ln(1-x ),由图象知符合上述条件的图象为D.答案:(1)2 (2)D典题导入[例3] (2011·新课标全国卷)已知函数y =f (x )的周期为2,当x ∈[-1,1]时f (x )=x 2,那么函数y =f (x )的图象与函数y =|lg x |的图象的交点共有( )A .10个B .9个C .8个D .1个[自主解答] 根据f (x )的性质及f (x )在[-1,1]上的解析式可作图如下:可验证当x =10时,y =|lg 10|=1;0<x <10时,|lg x |<1; x >10时|lg x |>1.结合图象知y =f (x )与y =|lg x |的图象交点共有10个. [答案] A若本例中f (x )变为f (x )=|x |,其他条件不变,试确定交点个数. 解:根据f (x )的性质及f (x )在[-1,1]上的解析式可作图如下:由图象知共10个交点.由题悟法1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f (x )=0的根就是函数f (x )图象与x 轴的交点的横坐标,方程f (x )=g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象的交点的横坐标.以题试法3.已知函数f (x )=2-x 2,g (x )=x .若f (x )*g (x )=min{f (x ),g (x )},那么f (x )*g (x )的最大值是________.(注意:min 表示最小值)解析:画出示意图(实线部分),f (x )*g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x 2(x ≤-2),x (-2<x <1),2-x 2(x ≥1),其最大值为1. 答案:11.函数f (x )=2x 3的图象( ) A .关于y 轴对称 B .关于x 轴对称 C .关于直线y =x 对称D .关于原点对称解析:选D 显然函数f (x )=2x 3是一个奇函数,所以其图象关于原点对称.2.函数y =⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x <0,2x -1,x ≥0的图象大致是( )解析:选B 当x <0时,函数的图象是抛物线;当x ≥0时,只需把y =2x 的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可,故大致图象为B.3.(2012·北京海淀二模)为了得到函数y =12log 2(x -1)的图象,可将函数y =log 2x 的图象上所有的点的( )A .纵坐标缩短到原来的12,横坐标不变,再向右平移1个单位长度B .纵坐标缩短到原来的12,横坐标不变,再向左平移1个单位长度C .横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移1个单位长度D .横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移1个单位长度解析:选A 本题考查图象的平移和伸缩.将y =log 2x 的图象横坐标不变,纵坐标缩短到原来的12,得y =12log 2x 的图象,再将y =12log 2x 的图象向右平移1个单位长度即可.4.(2011·陕西高考)设函数f (x )(x ∈R)满足f (-x )=f (x ),f (x +2)=f (x ),则y =f (x )的图象可能是( )解析:选B 表达式“f (x )=f (-x )”,说明函数是偶函数,表达式“f (x +2)=f (x )”,说明函数的周期是2,再结合选项图象不难看出正确选项为B.5. (2012·济南模拟)函数y =lg1|x +1|的大致图象为( )解析:选D 由题知该函数的图象是由函数y =-lg|x |的图象左移一个单位得到的,故其图象为选项D 中的图象.6.(2011·天津高考)对实数a 和b ,定义运算“⊗”:a ⊗b =⎩⎪⎨⎪⎧a ,a -b ≤1,b ,a -b >1.设函数f (x )=(x 2-2)⊗(x -x 2),x ∈R.若函数y =f (x )-c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是( )A.(]-∞,-2∪⎝⎛⎭⎫-1,32 B.(]-∞,-2∪⎝⎛⎭⎫-1,-34 C.⎝⎛⎭⎫-1,14∪⎝⎛⎭⎫14,+∞ D.⎝⎛⎭⎫-1,-34∪⎣⎡⎭⎫14,+∞ 解析:选B 由题意可知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2,x 2-2-x +x 2≤1,x -x 2,x 2-2-x +x 2>1 =⎩⎨⎧x 2-2,-1≤x ≤32,x -x 2,x <-1或x >32作出图象,由图象可知y =f (x )与y=c 有两个交点时,c ≤-2或-1<c <-34,即函数y =f (x )-c 的图象与x 轴恰有两个公共点时实数c 的取值范围是(-∞,-2]∪⎝⎛⎭⎫-1,-34.7.已知函数f (x )的图象如图所示,则函数g (x )=log 2f (x )的定义域是________.解析:当f (x )>0时,函数g (x )=log2f (x )有意义,由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2,8]. 答案:(2,8]8.函数f (x )=x +1x图象的对称中心为________.解析:f (x )=x +1x =1+1x ,把函数y =1x 的图象向上平移1个单位,即得函数f (x )的图象.由y =1x的对称中心为(0,0),可得平移后的f (x )图象的对称中心为(0,1). 答案:(0,1)9.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f (x )的解析式为________.解析:当-1≤x ≤0时,设解析式为y =kx +b ,则⎩⎪⎨⎪⎧ -k +b =0,b =1,得⎩⎪⎨⎪⎧k =1,b =1.∴y =x +1.当x >0时,设解析式为y =a (x -2)2-1, ∵图象过点(4,0),∴0=a (4-2)2-1,得a =14.答案:f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,-1≤x ≤0,14(x -2)2-1,x >010.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3-x 2,x ∈[-1,2],x -3,x ∈(2,5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象; (2)写出f (x )的单调递增区间;(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值. 解:(1)函数f (x )的图象如图所示. (2)由图象可知,函数f (x )的单调递增区间为[-1,0],[2,5]. (3)由图象知当x =2时,f (x )min =f (2)=-1, 当x =0时,f (x )max =f (0)=3.11.若直线y =2a 与函数y =|a x -1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点,求a 的取值范围.解:当0<a <1时,y =|a x -1|的图象如图1所示,由已知得0<2a <1,即0<a <12.当a >1时,y =|a x -1|的图象如图2所示, 由已知可得0<2a <1, 即0<a <12,但a >1,故a ∈∅.综上可知,a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0,12. 12.已知函数f (x )的图象与函数h (x )=x +1x +2的图象关于点A (0,1)对称.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若g (x )=f (x )+ax,g (x )在区间(0,2]上的值不小于6,求实数a 的取值范围.解:(1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ,y ),∵点(x ,y )关于点A (0,1)的对称点(-x,2-y )在h (x )的图象上,∴2-y =-x +1-x +2,∴y =x +1x,即f (x )=x +1x. (2)由题意g (x )=x +a +1x, 且g (x )=x +a +1x≥6,x ∈(0,2]. ∵x ∈(0,2],∴a +1≥x (6-x ),即a ≥-x 2+6x -1.令q (x )=-x 2+6x -1,x ∈(0,2],q (x )=-x 2+6x -1=-(x -3)2+8,∴x ∈(0,2]时,q (x )max =q (2)=7,故a 的取值范围为[7,+∞).1.(2013·威海质检)函数y =f (x )(x ∈R)的图象如图所示,下列说法正确的是( )①函数y =f (x )满足f (-x )=-f (x );②函数y =f (x )满足f (x +2)=f (-x );③函数y =f (x )满足f (-x )=f (x );④函数y =f (x )满足f (x +2)=f (x ).A .①③B .②④C .①②D .③④解析:选C 由图象可知,函数f (x )为奇函数且关于直线x =1对称,所以f (1+x )=f (1-x ),所以f [1+(x +1)]=f [1-(x +1)],即f (x +2)=f (-x ).故①②正确.2.若函数f (x )的图象经过变换T 后所得图象对应函数的值域与函数f (x )的值域相同,则称变换T 是函数f (x )的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换T ,其中变换T 不属于函数f (x )的同值变换的是( )A .f (x )=(x -1)2,变换T 将函数f (x )的图象关于y 轴对称B .f (x )=2x -1-1,变换T 将函数f (x )的图象关于x 轴对称 C .f (x )=2x +3,变换T 将函数f (x )的图象关于点(-1,1)对称D .f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +π3,变换T 将函数f (x )的图象关于点(-1,0)对称 解析:选B 对于A ,与f (x )=(x -1)2的图象关于y 轴对称的图象对应的函数解析式为g (x )=(-x -1)2=(x +1)2,易知两者的值域都为[0,+∞);对于B ,函数f (x )=2x -1-1的值域为(-1,+∞),与函数f (x )的图象关于x 轴对称的图象对应的函数解析式为g (x )=-2x -1+1,其值域为(-∞,1);对于C ,与f (x )=2x +3的图象关于点(-1,1)对称的图象对应的函数解析式为2-g (x )=2(-2-x )+3,即g (x )=2x +3,易知值域相同;对于D ,与f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +π3的图象关于点(-1,0)对称的图象对应的函数解析式为g (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x -π3+2,其值域为[-1,1],易知两函数的值域相同.3.已知函数y =f (x )的定义域为R ,并对一切实数x ,都满足f (2+x )=f (2-x ).(1)证明:函数y =f (x )的图象关于直线x =2对称;(2)若f (x )是偶函数,且x ∈[0,2]时,f (x )=2x -1,求x ∈[-4,0]时的f (x )的表达式. 解:(1)证明:设P (x 0,y 0)是函数y =f (x )图象上任一点,则y 0=f (x 0),点P 关于直线x =2的对称点为P ′(4-x 0,y 0).因为f (4-x 0)=f (2+(2-x 0))=f (2-(2-x 0))=f (x 0)=y 0,所以P ′也在y =f (x )的图象上,所以函数y =f (x )的图象关于直线x =2对称.(2)因为当x ∈[-2,0]时,-x ∈[0,2],所以f (-x )=-2x -1.又因为f (x )为偶函数,所以f (x )=f (-x )=-2x -1,x ∈[-2,0].当x ∈[-4,-2]时,4+x ∈[0,2],所以f (4+x )=2(4+x )-1=2x +7.而f (4+x )=f (-x )=f (x ),所以f (x )=2x +7,x ∈[-4,-2].所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +7,x ∈[-4,-2],-2x -1,x ∈[-2,0].1.设D ={(x ,y )|(x -y )(x +y )≤0},记“平面区域D 夹在直线y =-1与y =t (t ∈[-1,1])之间的部分的面积”为S ,则函数S =f (t )的图象的大致形状为( )解析:选C 如图平面区域D 为阴影部分,当t =-1时,S =0,排除D ;当t =-12时,S >14S max ,排除A 、B.2.(2012·深圳模拟)已知定义在区间[0,1]上的函数y =f (x )的图象如图所示,对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1、x 2,给出下列结论:①f (x 2)-f (x 1)>x 2-x 1;②x 2f (x 1)>x 1f (x 2);③f (x 1)+f (x 2)2<f ⎝⎛⎭⎫x 1+x 22.其中正确结论的序号是________.(把所有正确结论的序号都填上)解析:①错误,①即为f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>1,在(0,1)上不恒成立;由题图知,0<x 1<x 2<1时,f (x 1)x 1>f (x 2)x 2,②正确;图象是上凸的,③正确. 答案:②③。
2013版高考数学一轮复习 2.8函数的图象精品学案
2013版高考数学一轮复习精品学案:函数、导数及其应用第八节函数的图象【高考新动向】一、考纲点击1.在实际情境中,会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式的解的问题.3.会用数形结合思想、转化与化归思想解决数学问题.二、热点提示1.知式选图、知图选式解决函数的性质问题与作图是高考的热点.2.利用数形结合思想,借助相应函数的图象研究函数的性质(单调性、奇偶性、最值、值域、交点、零点)、方程与不等式的解等问题是命题的重点,也是求解的难点.3.题型以选择题、填空题为主,属中、高档题目.【考纲全景透析】1.六类基本初等函数的图象2.函数图象间的变换(1)平移变换:(2)对称变换:()f y =−−−−−→y x x 关于轴对称①=-f(x); ()=−−−−−→y y f x y 关于轴对称②=f(-x); ()y f y =−−−−−→x 关于原点对称③=-f(-x);④y=ax(a>0且a ≠1)=−−−−−→y x y 关于对称=logax(a>0且a ≠1) (3)翻折变换:()=−−−−−−−→x x y f x y 保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去①=|f(x)| ()=−−−−−−−−→y y y f x 保留轴右边图象,并作其关于轴对称的图象②y=f(|x|)(4)伸缩变换:,,()><<=−−−−−−−−−−−−→1a 1a 10a 1ay f x 横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变①y=f(ax) ,,()><<=−−−−−−−−−−−−→a 1a 0a 1a y f x 纵坐标伸长为原来的倍,横坐标不变纵坐标缩短为原来的倍,横坐标不变②y=af(x)【热点难点全析】 一、作函数的图象 1、相关链接(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的函数或解析几何中熟悉的曲线的局部(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或曲线的特征直接作出.(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.(3)描点法:当函数的表达式不适合用以上两种方法时,则可采用描点法,其一般步骤为:第一步:确定函数的定义域以限制图象的范围.第二步:化简函数表达式.第三步:讨论函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等).第四步:列表(尤其注意特殊点,如:零点、最高点、最低点及与坐标轴的交点).第五步:描点、连线.注:当函数表达式是高次、分式、指数、对数及三角函数式等较复杂的结构时,常借助于导数探究图象的变化趋势从而画出图象的大致形状.2、例题解析【例1】作出下列函数的图象(1)y=elnx;(2)y=|log2(x+1)|;(3)y=a|x|(0<a<1);(4);-=-2x1 yx1(5). =--321y x x3x3【方法诠释】对于(1)先求定义域,化简解析式,用直接法画图象;对于(2)、(3)和(4)可通过图象变换画出图象;对于(5)可借助于导数用描点法作出其大致图象.解析:(1)∵函数的定义域为{x|x>0}且y=elnx=x(x>0),∴其图象如图(1).(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图(2).(3)方法一:(),(),-⎧≥⎪=<<⎨=<⎪⎩xx xa x0y0a11a x0a,,所以只需作出函数y=ax(0<a<1)中x≥0的图象和()()=<<x1y0a1a中x<0的图象,合起来即得函数y=a|x|的图象.如图(3).方法二:作出y=ax(0<a<1)的图象,去掉y轴左边图象,保留y轴右边图象,并作关于y轴对称的图象,即得y=a|x|的图象,如图(3).(4)=+-1y2x1,故函数图象可由=1yx图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位而得,如图(4).(5)1,.3=--∴'=--322y x x3x y x2x3令y′=0,得x1=-1,x2=3,令y′>0,得单调增区间为(-∞,-1)和(3, +∞).令y′<0,得单调减区间为(-1,3),所以函数在x1=-1,x2=3处取得极值分别为53和-9,由此可得其图象大致如图(5).注:要准确作出函数的大致图象,需做到:(1)熟练掌握六类基本初等函数的图象;(2)掌握平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换以及导数法等常用的方法技巧.二、识图与辨图1、相关链接<一>知图选式的方法(1)从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域;(2)从图象的变化趋势,观察函数的单调性;(3)从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性;(4)从图象的循环往复,观察函数的周期性.利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项.<二>知式选图的方法:(1)从函数的定义域,判断图象左右的位置;从函数的值域,判断图象上下的位置;(2)从函数的单调性(有时可借助导数判断),判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复;(5)从函数的极值点判断函数图象的拐点.利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项.注:注意联系基本函数图象的模型,当选项无法排除时,代特殊值,或从某些量上也能寻找突破口.2、例题解析【例1】(1)(2012·南阳模拟)函数y=x+cosx的大致图象是( )(2)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )()()() (),,,,-=+=++≥⎧=⎨+<⎩⎧≥⎪=⎨<⎪⎩23xxA y x1B y x12x1x0C yx1x0e x0D ye x0【方法诠释】(1)对函数求导,利用排除法求解.(2)由f(x)的奇偶性作出其在(-2,0)上的图象.由图象判断其单调性,再逐个验证选项中函数在(-2,0)上的单调性是否与f(x)在(-2,0)上的单调性不同,从而作出判断.解析:(1)选. 由y=x+cosx,得y′=1-sinx,令y′=0,得sinx=1,()ππ∴=+∈x2k k Z2,即函数y=x+cosx有无穷多个极值点,从而排除选项,又x=0时,y=1,即图象应过(0,1)点,再排除,比较、与y轴交点纵坐标与π2的大小知应选.(2)选.由奇偶性知函数f(x)在(-2,0)上的图象如图所示:则知f(x)在(-2,0)上为单调减函数,而y=x2+1,y=|x|+1和,,-⎧≥⎪=⎨<⎪⎩xxe x0ye x0,作出其图象知在(-2,0)上均为减函数.又y=x3+1,x<0时,y′=3x2>0,故y=x3+1在(-2,0)上为增函数,与f(x)的单调性不同,故选.注:识图与辨图是一个比较综合的问题.解答该类问题的关键是要充分从解析式与图象中发现有价值的信息,最终使二者相吻合.三、函数图象的应用1、相关链接(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系.(2)利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标. (3)利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.2、例题解析【例】已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.(1)求实数m的值;(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数;(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间;(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集;(5)求集合M={m|使方程f(x)=m有三个不相等的实根}.【解题指南】求解本题先由f(4)=0,求得函数解析式,再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象,进而应用图象求解(3)(4)(5)三个小题.【规范解答】(1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即m=4;(2)∵f(x)=x|m-x|()(),,,.-≥⎧⎪=-=⎨--<⎪⎩x x4x4 x4xx x4x4∴函数f(x)的图象如图:由图象知f(x)有两个零点.(3)从图象上观察可知:f(x)的单调递减区间为[2,4];(4)从图象上观察可知:不等式f(x)>0的解集为:{x|0<x<4或x>4}.(5)由图象可知若y=f(x)与y=m的图象有三个不同的交点,则0<m<4,∴集合M={m|0<m<4}.注:利用函数的图象能直观地解决函数的性质问题、方程根的个数问题、函数的零点个数问题及不等式的解集与恒成立问题,但其关键是作出准确的函数图象,数形结合求解.否则若图象出现失误,将得到错误的结果.【高考零距离】1、(2012·天津高考文科·T14)已知函数2|1|=1x y x 的图像与函数=kx-2y 的图像有两个交点,则实数k 的取值范围是——————。
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2013年高考数学一轮复习精品教学案2.4 函数的图象(新课标人
教版,教师版)
【考纲解读】
1. 掌握函数图象的两种基本方法:描点法与图象变换法; 2.掌握图象变换的规律,能利用图象研究函数的性质.
【考点预测】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:
1.函数的图象是历年来高考必考内容之一,经常以选择填空题的形式出现,还常与三角函数等知识相联系,以考查函数知识的同时,又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力.
2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查函数的图象识图与用图,命题形式会更加灵活.
【要点梳理】
1.熟练基本函数的图象:一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、一些简单的幂函数、三角函数等.
2.图象变换:
(1)平移变换:熟记口决:左加右减,上加下减
()y f x =的图象向左平移(0)a a >个单位得到函数()y f x a =+的图象; ()y f x =的图象向右平移(0)b b >个单位得到函数()y f x b =-的图象; ()y f x =的图象向上(下)平移(0)h h >个单位得到函数()y f x h =±的图象.
(2)对称变换:
()y f x =-与()y f x =的图象关于y 轴对称; ()y f x =-与()y f x =的图象关于x 轴对称; ()y f x =--与()y f x =的图象关于原点对称;
(3)翻折变换:
①|()|y f x =的图象:先画出()y f x =的图象,然后保留x 轴上方部分,并把x 轴下方部分翻折到x 轴的上方即可.
②(||)y f x =的图象:先画出()y f x =的图象,然后保留y 轴右侧部分,并把y 轴右侧部分翻折到y 轴的左侧即可.
3.图象的画法:(1)列表、描点、连线;(2)图象变换法. 【例题精析】
考点一 图象变换
例1.(2012年高考湖北卷文科6)已知定义在区间(0,2)上的函数y=f(x)的图像如图所示,则y=-f(2-x)的图像为( )
【变式训练】
1.(2011年高考四川卷文科4)函数
1
()1
2
x
y=+的图像关于直线y=x对称的图像大致
是( )
考点二 识图
例2. (2012年高考山东卷文科10)函数cos622
x x
x
y -=
-的图象大致为( )
【变式训练】
2.(2011年高考山东卷文科10)函数2sin 2
x
y x =
-的图象大致是( )
【答案】C
【解析】因为'12cos 2y x =-,所以令'12cos 02y x =->,得1
cos 4x <,此时原函数是增函数;令'12cos 02y x =-<,得1
cos 4
x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象,
可得选C 正确.
考点三 用图
例3.(2012年高考北京卷文科5)函数x x x f )2
1()(2
1
-=的零点个数为 ( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3
【名师点睛】本题主要考查利用函数的图象来判断函数的零点个数,函数的图象还可以用来解决方程根的个数、两曲线的交点个数等问题,是高考的一个重点.
【变式训练】
3.(2011年高考山东卷文科16)已知函数f x ()=log (0a 1).a x x b a +-≠>,且当2<a <3<b <4时,函数f x ()的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .
(34)y x b b =-<<的图象上点的横坐标(5,6)x ∈,故所求的5n =.
【易错专区】
问题:不会合理的应用图象解决问题
例. (2009年高考山东卷理科第14题)若函数f(x)=x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点,则实数a 的取值范围是 .
1. (山东省威海市2012年3月高三第一次模拟)函数()()R x x f y ∈=的图象如右图所示,下列说法正确的是( )
①函数()x f y =满足()();x f x f -=- ②函数()x f y =满足
()();2x f x f -=+
③函数()x f y =满足()();x f x f =- ④函数()x f y =满足()().2x f x f =+ A.①③
B.②④
C.①②
D.③④
2. (广东省六校2012年2月高三第三次联考理)函数21log 1x
y x
+=-的图像 ( )
A . 关于原点对称 B. 关于主线y x =-对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于直线y x =对称 【答案】A 【解析】设2
1()log 1x f x x +=-,则21()log 1x f x x --=+=()f x -,所以函数21log 1x
y x
+=-是 奇函数,其图象关于原点对称,故选A.
3.(2009年高考北京卷文理科第3题)为了得到函数3
lg 10
x y +=的图像,只需把函数lg y x =的图像上所有的点 ( )
A .向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
B .向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
C .向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
D .向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
4.(2010年高考四川卷文科2)函数y =log 2x 的图象大致是( )
5.(2009年高考山东卷)函数x x
x x
e e y e e
--+=-的图像大致为( ).
6.(天津市耀华中学2012届高三第二次月考文科)若定义在R 上的偶函数f(x)满足
f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f (x)=x ,则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是
( )
(A)0个 (B)2个 (C) 4个 (D)6个
1.(2010年高考山东卷文科11)函数22x y x =-的图像大致是( )
2.(2012年高考四川卷文科4)函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是( )
3
.(2012年高考山东卷文科12)设函数1()f x x
=,2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与
()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是
( )
(A)12120,0x x y y +>+> (B)12120,0x x y y +>+<
(C)12120,0x x y y +<+> (D)12120,0x x y y +<+<
4. (2012年高考湖南卷文科9)设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,
()f x '是f(x)的导函数,当[]0,x π∈时,0<f(x)<1;当x ∈(0,π) 且x ≠
2
π
时 ,
()()02
x f x π
'->,则函数y=f(x)-sinx 在[-2π,2π] 上的零点个数为 ( )
A .2
B .4 C.5 D. 8 【答案】B
【解析】由当x ∈(0,π) 且x ≠
2
π
时 ,()()02
x f x π
'-
>,知
5. (2011年高考陕西卷文科4)函数13
y x =的图像是 ( )
6. (2011年高考海南卷文科12)已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2()f x x =,那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有( )
A.10个
B.9个
C.8个
D.1个 【答案】A
【解析】画出图象,不难得出选项A 正确.
7.(2010年高考安徽卷文科6)设0abc >,二次函数2()f x ax bx c =++的图像可能是( )
8. (2011年高考天津卷文科8)对实数a 和b ,定义运算“⊗”: a b ⊗=,1,1
a a
b b a b -≤⎧⎨->⎩,设函
数2()(2)(1)f x x x =-⊗-,x R ∈.若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是( )
A.(1,1](2,)-⋃+∞
B.(2,1](1,2]--⋃
C. (,2)(1,2]-∞-⋃
D.[2,1]--
【答案】B
【解析】画出图象,容易得选项B 正确.
9.(2012年高考天津卷文科14)已知函数211x y x -=
-的图像与函数y kx =的图像恰有
两个交点,则实数k 的取值范围是 .。