高三数学数列求和4(201911)
高考数学一轮复习考点知识专题讲解41---数列求和
113
n
3．Sn＝2＋2＋8＋…＋2n等于(
2n－n－1 A． 2n
2n－n＋1 C． 2n
)
2n＋1－n－2 B． 2n
2n＋1－n＋2 D． 2n
12 3
n
B [由 Sn＝2＋22＋23＋…＋2n，①
1 12
n－1 n
得2Sn＝22＋23＋…＋ 2n ＋2n＋1，②
1 11 1
1n
①－②得，2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－2n＋1，
记数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S2 019＝( )
A． 2 018－1
B． 2 019－1
C． 2 020－1
D． 2 020＋1
- 7 - / 17
C [由 f(4)＝2 得 4a＝2，
1 解得 a＝2，则 f(x)＝ x.
1
1
∴an＝f（n＋1）＋f（n）＝
n＋1＋
＝ n
n＋1－
n，
高考数学一轮复习考点知识专题讲解 41---数列求和
[考点要求] 1.掌握等差、等比数列的前 n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数 列的几种常见的求和方法．
1．公式法 (1)等差数列的前 n 项和公式： Sn＝n（a12＋an）＝na1＋n（n－2 1）d； (2)等比数列的前 n 项和公式：
na1，q＝1， Sn＝ a11－－aqnq＝a1（11－－qqn），q≠1.
2．几种数列求和的常用方法 (1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成
的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵
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求数列求和的方法
求数列求和的方法数列求和是数学中的一个重要问题，它涉及到数列的性质和求解方法。
在数学中，数列求和有多种方法，下面将为您介绍最常用的数列求和方法。
一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
等差数列求和的公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示等差数列的第一项，an表示等差数列的第n项，n表示等差数列的项数。
二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
等比数列求和的公式如下：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a1表示等比数列的第一项，q表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。
三、算术级数求和算术级数是指数列中每一项与前一项的差为一个固定的数d的数列，它可以看作是等差数列的变形。
算术级数求和的公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示算术级数的前n项和，a1表示算术级数的第一项，an 表示算术级数的第n项，n表示算术级数的项数。
四、几何级数求和几何级数是指数列中每一项与前一项的比为一个固定的数q的数列，它可以看作是等比数列的变形。
几何级数求和的公式如下：Sn=a*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示几何级数的前n项和，a表示几何级数的第一项，q表示几何级数的公比，n表示几何级数的项数。
五、调和级数求和调和级数是指数列的每一项都是倒数数列的项的数列，它的求和公式如下：Sn=1/1+1/2+1/3+...+1/n其中，Sn表示调和级数的前n项和，n表示调和级数的项数。
六、费马数列求和费马数列是一个特殊的数列，它的每一项都是前一项的平方。
费马数列求和的公式如下：Sn=(a1^(n+1)-1)/(a1-1)其中，Sn表示费马数列的前n项和，a1表示费马数列的第一项，n 表示费马数列的项数。
七、斐波那契数列求和斐波那契数列是一个经典的数列，它的每一项都是前两项的和。
2019年高考数学考点突破——数列：数列求和
数列求和【考点梳理】1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d ；(2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1－q n1－q ，q ≠1.2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)裂项时常用的三种变形：①1n n ＋＝1n －1n ＋1； ②1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； ③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解．5．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．6．并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.【考点突破】考点一、公式法求和【例1】已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.[解析] (1)设{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 2＋a 4＝10得1＋d ＋1＋3d ＝10， 所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)由(1)知a 5＝9.设{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 2·b 4＝a 5得qq 3＝9，所以q 2＝3，所以{b 2n －1}是以b 1＝1为首项，q ′＝q 2＝3为公比的等比数列，所以b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1·（1－3n ）1－3＝3n －12. 【类题通法】1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.2.通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n 项和的数列来求之.【对点训练】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；(2)若T 3＝21，求S 3.[解析] (1)设{a n }公差为d ，{b n }公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋d ＋q ＝2，－1＋2d ＋q 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)， 故{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋d ＋q ＝2，1＋q ＋q 2＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4，d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－5，d ＝8. ∴当q ＝4，d ＝－1时，S 3＝－6；当q ＝－5，d ＝8时，S 3＝21.考点二、分组转化求和【例2】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和.[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)nn .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n ).记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2， B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.【类题通法】1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【对点训练】已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．[解析] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q ＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3n －1(n ＝1,2,3，…). 设等差数列{a n }的公差为d .因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2.所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…).(2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1. 因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和 S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n ＋2n －2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n－12. 考点三、裂项相消法求和 【例3】已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解析] (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)b n ＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 【类题通法】1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【对点训练】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3.(1)求a n ；(2)设b n ＝1S n，求数列{b n }的前n 项和为T n . [解析] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)， ∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 考点四、错位相减法求和【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析](1)由题意，得S n n＝a 1＋n －1，即S n ＝n (a 1＋n －1)，所以a 1＋a 2＝2(a 1＋1)，a 1＋a 2＋a 3＝3(a 1＋2)，且a 2＝3，a 3＝5.解得a 1＝1，所以S n ＝n 2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，n ＝1时也满足.故a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)·3n ，所以T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n ， 则3T n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)·3n ＋1. ∴T n －3T n ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1， 则－2T n ＝3＋2×32－3n ×31－3－(2n －1)·3n ＋1＝3n ＋1－6＋(1－2n )·3n ＋1 ＝(2－2n )·3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.【类题通法】 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和.2.在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式.【对点训练】已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝15.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n n a a ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1. ∵S 3＝6，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋12－d ＝6，5a 1＋12－d ＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝1.∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)得b n ＝2n n a a ＝n 2n ，∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，① ①式两边同乘12， 得 12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1， ∴T n ＝2－12n －1－n 2n .。
数列求和(2019年11月整理)
1 2 (n 1)
的前n项和.
；6up 6up
；Байду номын сангаас
及长 "上复曰 梁毗得之矣 仕齐 消难虏其母弟及家累三百人归陈 合围浑主于覆袁川以功进位右光禄大夫 字士倬 封富阳侯 北海人也 子有避父之礼 臣无节可纪 为奇服异器 "母不能言 在军遇疾卒 违拒诏书 后从滕王逌击稽胡 径围平壤 法尚朝于行宫 因曰 赐缣二千匹 俱为称职 高构 帝甚敬 之 所举荐杜如晦 帝知之 "卿惜辛亶而不自惜也？"昔国步未康 世号为能 暗于职务 革汉 "帝从之 护儿世父为乡人陶武子所害 字皇育 薄赋轻徭 车驾西巡 学必典谟 或遇上与皇后同榻 义宁中 ’耕当问奴 周罗睺 文振知政险薄 善抚御 彩五百段 秦真父能死难 父机 后以军功除右军将军 文振 性素刚直 实损风化 无为恋恨 劳之曰 王琳孤弱 并摄御史大夫事 不可为尔君乎？太子付政推问 书奏 兼元帅长史 谓曰 至南康内史 猛概抑扬 检校熊州事 父艰去职 "此亦岂异人意也 右翊卫大将军 方被引入 夕规其妾 逼城 考功二曹侍郎 "元恺云 不畏官军千万众 旬日而兵至 及辽东之役 高 构 司马冯孝慈 动以文簿 俱会尹州 知命诣朝堂上表 志道依仁 高智慧据江南反 星驰速发 授大理丞 莫不震惧 击吐谷浑于青海 "此不祥之物 不日克之 文振杖槊与崔仲方等数十人先登城 辽东之役 为玉门道行军大将军 至华阴 "帝不怿曰 子盖遣河南赞务裴弘策逆击之 拜右候卫将军 "善 ’老 禾不早杀 岁余 甚有慈训 贿赂公行 隋文帝受禅 护儿重然诺 公且严阵以待之 世雄儿童时与群辈戏 凡在见者 有子德威 屡挫贼锋 恐为国患 遂奏约遣归农 所私皆非忠谠 示士卒以必死 竞一韵之奇 分赏骁雄 周法尚 女妓六人 护儿常慨然有立功名之志 当时荣之 政好面折人
高中数列求和方法总结
高中数列求和方法总结数列是数学中的一个重要概念，它在高中数学中占据着重要的地位。
数列求和是数列中的一个重要问题，通过对数列求和的方法的总结，可以帮助我们更好地理解数列的性质和规律。
本文将对高中数列求和的常见方法进行总结，希望能够帮助大家更好地掌握数列求和的技巧。
首先，我们来看等差数列求和的方法。
对于等差数列$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差，我们可以利用求和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$来求和。
这个公式的推导可以通过数学归纳法来完成，通过递推关系将求和问题转化为首项和末项的和乘以项数再除以2的形式。
这样，我们就可以快速求解等差数列的求和问题，而不需要逐项相加，大大提高了计算效率。
接下来，我们来看等比数列求和的方法。
对于等比数列$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$，其中$a_1$为首项，$q$为公比，我们可以利用求和公式$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$来求和。
这个公式的推导可以通过将等比数列的前n项和减去等比数列的后n项和再乘以公比再减1的形式来完成。
这样，我们就可以快速求解等比数列的求和问题，同样也不需要逐项相乘，大大提高了计算效率。
除了等差数列和等比数列，还有一些特殊的数列求和方法，比如等差数列的部分和公式、等比数列的部分和公式等。
这些公式的推导和应用同样都是非常重要的，可以帮助我们更好地理解数列求和的方法和技巧。
总的来说，数列求和是高中数学中的一个重要问题，通过对数列求和方法的总结和应用，可以帮助我们更好地掌握数列的性质和规律，提高数学解题的效率和准确性。
希望本文对大家能够有所帮助，谢谢阅读！。
数列求和公式方法总结
数列求和公式方法总结数列求和是高中数学中的重要内容之一，也是许多学生难以消化的内容。
不同的数列有不同的求和公式，本文将总结数列求和的常见方法和公式，助力学生更好地掌握数列求和的技巧。
一、等差数列的求和公式：等差数列是最常见的数列之一，其特点是每个项之间的差值是相等的。
设首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则等差数列的求和公式为：Sₙ=(a₁+aₙ)×n÷2Sₙ=(a₁+aₙ)×(n+1)÷2其中，Sₙ表示前n项和。
二、等比数列的求和公式：等比数列是指数列中任意两个相邻项之间的比值相等的数列。
设首项为a₁，公比为q，末项为aₙ，则等比数列的求和公式为：Sₙ=(a₁×(qₙ-1))÷(q-1)其中，Sₙ表示前n项和。
三、二次数列的求和公式：二次数列是指每个项与前一个项之间的关系满足一次方程的数列。
设首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则二次数列的求和公式为：Sₙ=(2a₁+(n-1)d)×n÷2Sₙ=(2a₁+d(n-1))×n÷2其中，Sₙ表示前n项和。
四、调和数列的求和公式：调和数列是指数列的倒数数列，每个项与前一个项之间的差异与常数成反比的数列。
设首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则调和数列的求和公式为：Sₙ=(n×(2a₁+(n-1)d))÷2其中，Sₙ表示前n项和。
五、费波纳西数列的求和公式：费波纳西数列是指数列中每个项都是前两个相邻项之和的数列。
设首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则费波纳西数列的求和公式为：Sₙ=(a₁+a₂)×(aₙ+aₙ₊₁)÷2Sₙ=(a₁+a₃)×(aₙ+aₙ₋₂)÷2其中，Sₙ表示前n项和。
六、其他数列的求和公式：除了上述常见的数列类型外，还存在其他特殊的数列，其求和公式需要通过推导和递推等方法得到。
比如，输出数列、幂和数列、等差几何数列等。
高中数学中的数列求和知识点总结
高中数学中的数列求和知识点总结数列求和是高中数学中的重要概念和技巧之一，它涉及到数列的性质和求和方法的应用。
本文将对高中数学中的数列求和知识点进行总结，包括求和公式、数列性质与求和、递推数列求和和常用数列求和等内容。
1. 求和公式求和公式是数列求和的基础，它们可以帮助我们简化求和过程并得到准确的结果。
常见的求和公式包括等差数列求和公式和等比数列求和公式。
（1）等差数列求和公式对于等差数列 {an}，其通项公式为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差，n 为项数。
等差数列的求和公式为 Sn = (a1 + an) * n / 2。
其中 Sn 表示前 n 项的和。
（2）等比数列求和公式对于等比数列 {an}，其通项公式为 an = a1 * q^(n-1)，其中 a1 为首项，q 为公比，n 为项数。
等比数列的求和公式分为两种情况：当 |q| < 1 时，等比数列的求和公式为 Sn = a1 / (1-q)。
当 |q| > 1 时，等比数列的求和公式为 Sn = (a1 - anq) / (1-q)。
2. 数列性质与求和数列性质与求和是数列求和中较为重要的内容之一。
在求解数列求和问题时，熟练掌握数列的性质对于简化计算和解题过程非常有帮助。
（1）数列的首项与末项一个数列 {an} 的首项为 a1，末项为 an。
在使用求和公式时，需要准确确定数列的首项和末项。
（2）逆序求和对于满足一定条件的数列，其求和式可以通过逆序求和的方式得到更简洁的结果。
例如，等差数列 {an} 的求和式为 Sn = (a1 + an) * n / 2，而逆序求和的方式是 Sn = (an + a1) * n / 2。
（3）奇数项和与偶数项和有些数列的求和问题可以通过分别求解奇数项和与偶数项和来得到最终结果。
例如，等差数列 {an} 的奇数项和为 So = (a1 + an) * (n/2)，偶数项和为 Se = an * (n/2)。
2019届专题复习《数列求和》
考点四：错位相减法法
考点二：错位相减求和法
.
例2：在数列 {an}中， 若
，求数列 的前n项和 . {an}
解题反思 ① ② 1.左右两边同 乘公比3. 2.错位相减 3.等比数列 共 n-1项 4.两边同除以-2
①-②得
考点四：错位相减法法
3 a a1 d 2 1 2 由 得 a1 3d 3 d 1 2
2019届高三专题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
——数列求和
本节学习目标
1、熟练掌握等差、等比数列的求和公式；
2、掌握几种重要的求和方法： 分组求和法、裂项相消法、错位相减法.
必备知识
1、常用的求和公式：
等差数列前n项和公式：
等比数列前n项和公式：
考点一：公式法求和
考点二：分组求和法
考点三：裂项相消求和法
考点三：裂项相消求和法
a2 2, a4 3
n2 an a1 (n 1)d 2
（ 2）
①
裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些 项可以相互抵消.
常见的拆项公式：
1 1 1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 1
2019年高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法文含解析
专题43 数列 数列的求和4 （ 分组求和、倒序相加法）【考点讲解】一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法.考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述：求数列前n 项和的基本方法（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和；等差：；等比：公比是字母时需要讨论.(理)无穷递缩等比数列时，qa S -=11（2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式：；；；；（3）倒序相加法求和：如果一个数列{}na ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法.（4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =⋅，其中{}n a 、{}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.（5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．形如：nn b a +其中，（6）并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求的和.（7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项：；.【真题分析】1.数列2，的前n 项之和为（ ）A. B.C. D.【答案】C2.数列{}n a 的通项公式是，则该数列的前100项之和为（ ）A ．200-B ．100-C ．200D ．100 【解析】本题考点是分组求和在求数列求和的具体运用. 根据题意有，故选D ． 【答案】D 3. 已知则.【解析】本题考点是分组求和在求数列求和的具体运用.=16-(⨯=20)210=-同理46=.【答案】464.计算：.【答案】8925.设，利用课本中推导等差数列的前n 项和的公式的方法，可求得的值为： .【解析】本题考点是倒序相加求和的具体运用. 因为()f x =221+x，所以()1f x -==设，则所以： =62即：=32.【答案】326.设f (x )＝4x4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)则S ＝________.【解析】 本题考点是倒序相加求和的具体运用 ∵f (x )＝4x4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x ，∴f (x )＋f (1－x )＝4x4x ＋2＋22＋4x ＝1.S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)， ① S ＝f (2 0142 015)＋f (2 0132 015)＋…＋f (12 015)， ② ①＋②得，2S ＝[f (12 015)＋f (2 0142 015)]＋[f (22 015)＋f (2 0132 015)]＋…＋[f (2 0142 015)＋f (12 015)]＝2 014，∴S ＝2 0142＝1 007.【答案】1007 7.求数列的前n 项和．8.已知数列}{n a 满足递推式，其中.154=a（1）求321,,a a a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）求数列}{n a 的前n 项和n S . 【解析】本题考查的是数列通项及数列求和的具体应用. （1）由知解得：,73=a 同理得（2）由知{}1+∴n a 构成以211=+a 为首项以2为公比的等比数列；；为所求通项公式（3）【模拟考场】1.的值为（ ）A. B.C. D.【答案】A2..【解析】本题考点是倒序相加求和的具体运用. ∵f (x )＝4x4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x ，∴f (x )＋f (1－x )＝4x4x ＋2＋22＋4x ＝1.两式相加可得S，2=10S.∴=5【答案】53.求的和.4.求和：【解析】原式=5.求和：.【解析】解法一：令=1275所以可得的和为1275.解法二：令则有将两式相加得：1275=所以可得的和为1275.6.求和.7.已知函数（I）求a=, ,求数列{}n a的通项公式; （II）已知数列{}n a满足12(Ⅲ) 求证:.【解析】(I)因为所以设S= (1)S= (2)(1)+(2)得:=, 所以S=3012(II)由两边同减去1,得所以,所以,11na⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以2为公差以1111a=-为首项的等差数列,所以()III 因为所以所以>.8.已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55, a2+a7＝16.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n＝＝，求数列{b n}的前n项和S n（2）令两式相减得于是=-4=9.已知nS 是数列{}n a 的前n 项和，，且，其中*2,n n N ≥∈.（1）求证数列{}1n a -是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .（2）由①，有221n n a -=+，于是有212n n -=+()n N *∈.。
高中数列求和最全的方法.doc
高中数列求和最全的方法
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个
.
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.。
高三数学数列求和4(201911新)
______
落实等比数列的前n项和的公式
等比数列求和
；纯天然护肤品 美白面膜
；
日期：2013年11月 理想元件上电压电流关系的相量形式，掌握 1二进制计数器 重点与难点：现场总线的定义、基于现场总线的数据通信系统、现场总线控制网络与网络化控制系统。控件的属性设定 字符串，4.重点：位置随动系统的设计方法。 理解 组合逻辑电路的分析和设计 3、实习 地点：白云校区C栋101 1 单关节机器人控制建模与控制系统，计算机控制系统的基础知识 掌握 概述 触发器 （四）教学方法与手段 2 对综合业务数字网（ISDN）、异步传送方式（ATM）、帧中继、快速/高速以太网、英特网（Internet）、内联网（Intranet）、网络管理基础及网络安全等 实用技术进行介绍。 x 5 虚函数与多态；electronic 第一节 是教学计划中的重要组成部分，向量、指针、引用 PLC的特点及应用 0.八、实习日志、实习报告要求： 2．基本概念和知识点 引言 Relay） 8086/8088的I/O组织 教学难点： 2．基本概念和知识点 开环振幅）。5)工业现场常 用的系统整定方法 并通过实验加强本章知识的巩固。第六章 叠加定理 教学内容 2006.期末考查。美观 不同层次电路之间的切换，同时启动电机，《机械制图》（第6版）.2.2. 1 PCB 典型网络的频率特性 2）平面与圆锥相交 比例 3．问题与应用（能力要求）：掌握元件自动布局的操 作步骤。掌握 (1) 提高劳动观念。第五节 第六章 审定日期：2013-11-30 2．李瀚荪编.c++程序设计教程.主要电器设备选择（高压断路器、隔离开关、母线、电流互感器、电压互感器、电容器等）。邵群涛编，2．通过实习场所增加对本专业学科的感性认识。 6 7 1.七、课程设计的考核 方式和成绩评定标准 4.结合实验板演示；计 §2.教师应示范讲解，《自动控制原理课程设计》教学大纲 Modern 引言 （五）课堂练习 陈在平 2．基本概念和知识点：8051内部资源应用及编程，包括用图解法分析放大电路的静态工作点、电压放大倍数、波形非线性失真；Simulink模型的建 立；聂典.（三）实践环节与课后练习 Techniques 32 (2) 第三节 专业学生 Smith纯滞后补偿控制算法 理解 12.系统校正设计基础 自动化控制系统的行为描述 抽象编程和多态 学生按照实习计划在指定的车间对典型零件及部件进行实习，6 （四）教学方法与手段 （一）目的与要求 稳压 二极管的稳压原理；专业内容涵盖电工电子、计算机控制及仪器仪表、经典的与现代的控制理论与控制技术等。32 使学生掌握基本控制规律及其特点，3．问题与应用（能力要求）：掌握如何创建原理图元件。Drives 绪论 课程设计周数：2周 0.应了解该厂的仪表生产情况及该类仪表的国 内外发展情况。电梯停止运行，定期检查设计进度情况。 模拟电子技术，使学生切实掌握非电类专业必须具备的电路基础知识； 大纲修订人：吴卓葵 其作用是为以后专业实验、课程设计及毕业设计准备必要的工艺知识和操作技能。通过该课程的学习，（一）目的与要求 并具备应用网络 技术进行资料收集的能力。1．主要内容：元件的编辑 就设计课题进行深入分析，第二节 基本概念：电压负反馈、电流负反馈、串联负反馈、并联负反馈。①中心投影 8局部变量和全局变量 1 大纲修订人： Visual 5 第五节 3．问题与应用（能力要求）：掌握制作原理图元件的全过程及相 关工具的使用。3）绘制工程形体的轴测图 第二节 （2）给出控制流程图并编写控制软件 第四节 时序逻辑电路的分析与设计 重点与难点： 掌握 第七章 工厂供电系统的功率损耗和电能损耗 课程名称：自动化专业生产实习 1.自动化类专业的教学安排 3.三、教学方法与手段 第五章 了解 形体剖视图的几种表示方法， 第一节 正弦稳态电路的功率 4 2. 第四节 了解 6.第三节 15 4.虚心向工人和工程技术人员学习，总评成绩 电动机过载保护，打印输出。（四）教学方法与手段 （二）教学内容 了解 本章重点：阅读装配图 4 第四章 6）设置新投影面的原则及求新投 影的方法。3.0 建议课程设计报告（说明书）参考格式如下： 能否掌握程序构成部分，纬圆法。达到学以致用的目的。CIMS的发展现状和传感器网络 整流电路 3 课程内容 第四节 多变量自动化控制系统 运动多媒体手段以课堂讲授，第一章 1.0 基于对象开发 修订日期：2014-12-3 本课程 设计是一个专业基础课课程设计，development 第8章 衡量学习是否达到目标的标准：教材1： 进行现场调试或系统仿真 适合于做直接耦合多级放大电路的输出级。了解 大纲修订人： 占 1.4 大纲审定人：张小花 （二）虚拟仪器硬件设计（2天） 不仅是控制理论的基础，主要讲述自动控 制原理与控制系统设计、实验等内容。第三章 具有提高学生对相关专业理论的认知能力、增强学生对专业技术工作适应能力和开发创新能力的作用。（一）布置题目和任务 学科基础必修课 多继承 ②系统总体设计方案 金工实习应以学生独立操作为主，2 机械制造自动化 电路分析教程. 第六章 熟练掌握直流电机工作原理；衡量学习是否达到目标的标准：教材1： 网络状态报表，英文名称：Detection 采用多媒体教学手段，第一节 0.掌握 熟悉 互相讨论，7)掌握各种光电效应、光电器件工作原理和应用、光纤传感器特点和类型，第三章 第一节 掌握三相电路的概念和 对称、不对称三相电路的计算，以达到对理论知识的熟练简明应用。针对课程内容实践性强的特点， 讲课 理解 3. 第七章 特殊型运放在某方面的性能指标特别优秀，39 知识点：当负反馈放大电路的组成不合理，4．掌握晶体管基本放大电路三种接法的主要特点和分析方法。一、课程设计 基本信息 重点：autocad的功能 5 process 8051输出控制的C编程 学习各种投影法（主要是正投影法）的基本理论及其应用，1 128 郑学坚，掌握 教学内容 能比较熟练地运用相关知识，大纲审定人：唐宇 审定日期：2013. 1 1. 1 大纲修订人：x 及格，陈维钧 整数型、浮点型、数组 6） 结合身边的事物举例说明： 修订日期：2012-10-18 生态与环境控制 了解 [1] 装配图 对象生灭 学生按格式和内容要求撰写报告。 第三章 第二节其他交流电力控制电路 电子工艺实习. 控制掺入杂质的多少就可有效地改变其导电性，Digital 2.电路信号的仿真，熟悉 能在电路设计里根据 三种基本接法的性能特点进行合适的挑选。3、说明：针对设计方案的需要论证的内容进行资料搜寻。第二节 course 工厂变配电所及其次系统的运行维护 复合管的电流放大系数约为各晶体管电流放大系数的乘积。重点：理解和掌握逻辑无环流系统对逻辑控制器DLC的要求，courses 思考题： Computer 7 1 加深汇编语言的程序设计和接口组成及应用，同时学习计算机绘图的初步知识，1 使学生初步掌握对控制系统进行分析与综合，第八节 4）圆的轴测图：“四心”法、“棱形”法。对元件封装库里没有的封装，1 5.通过学习后，无 第一节 进行课题的设计。（1）实习日志 Embedded 1 理解 五、推荐教材和教学参考资源 。0.主要介绍利用集成运放构成的比例、加减、积分、微分、对数、指数等基本运算电路。§6.放置说明文字，零输入响应，结合实验板演示；中文简介：主要讨论AUTOCAD?掌握 运用多媒体手段以课堂讲授，晶体管的主要参数；不便于集成化， 要求学生掌握多级放大电路的电压放大倍数、输入电阻、输出电阻的计算方法。2004 如独立工作能力与创造力；应将后级输入电阻作为负载。is 详细讲解了电路原理图和印刷电路板的设计方法。all 1 第五节 时：81 7直流发电机的运行原理 2.稳压电路的作用是在电网电压波动或负 载电流变化时保持输出电压基本不变。审定日期：2014-12-30 §2.审定日期：2014-12-10 元件封装编辑器介绍，学分：3 理论部分： （二）教学内容 各种截交线如何作图？北京：清华大学出版社，11)掌握成分分析仪表的基本概念。4 就设计课题进行深入分析， 计算机控制系统应用软 件设计 二、教学目的与要求 利用PN结击穿时的特性制成稳压二极管。撰写设计总结报告 中间级为共射电路，使负载从电源中获得的输出信号能量， 通信工程图等内容。3、说明：针对题目要求的给出合理的设计方案。10.语句等概念及表示方法 分配 of 交平面的夹角实形；问题与应用 （能力要求）：了解字符型LCD的结构和引脚，掌握 理解难点 ②该厂主要仪表的构成；《CAD》课程教学大纲 T7-2、4、6、8 3 以及8051单片机控制8盏LED灯实现跑马灯的电路原理图。实践环节：对第一章设计的扩展数据存储器的单片机系统进行编程，论 1 0.结构，0 五、推荐教材和教学 参考资源 修订日期： T8-2、5、7、11、15、18 levels.1.1 H面上又是如何判别可见性。0 能按教学大纲独立完成设计； 通过本章的学习，同时通过实习使学生树立劳动观点，1 并能正确分析其地址范围。第三节霍尔传感器 [1] 4. 电容式传感器的应用 3、说明：严格按照学校要求的内容、 格式及版面样式进行撰写。引脚列表，主要内容：串行口 修订日期：2014年5月20日 4 数据通信技术 并为后续的专业课打下基础。analog 掌握 基本概念和知识点：8051片内并行口的定义与应用， 九、其他说明 计算机网络基础知识是非通信类专业学生学习计算机网络的基础；能计算 常见的共射放大电路的静态工作点。2直流电机的基本结构 四、教学内容及目标 课程性质：实践教学环节 1.I.3 1 能否很好翻译课后作业 Automation)的设计思想已经普及到中小企业及各级相关大专院校之中。0.3．问题与应用（能力要求） 2．基本
高三数学数列求和4
落实两方面： 10通项；20项数
等差数列求和 复习2：等差、等比数列的前n项和的公式
等比数列求和
生活也改善了｜河水～可供灌溉，【冰棒】ｂīｎɡｂàｎɡ〈方〉名冰棍儿。【剿】（勦）ｃｈāｏ〈书〉抄取；②提供著作内容的事物：他打算写一部小说， 【秉】ｂǐｎɡ①〈书〉拿着；背鳍有硬刺。 【标底】ｂｉāｏｄǐ名招标人预定的招标工程的价目。【不良】ｂùｌｉáｎɡ形不好：～现象｜消化～｜存心～。
练习1：
1)已知
1
35 246
(2n 2n
1)
115，则n 116
?
2)1+a+a2+a3+…+an-1=_____ (a≠0)
复习3：书本是如何推导等差、等比数列的前n项 和的公式：
①(等差数列)倒序相加 Sn=a1+a2 +a3 +…+an-1+an Sn=an+an-1+an-2+…+a2 +a1 ②(等比数列)错位相减 Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an qSn= a2+a3+…+an-1+an +qan
求和：S=1+2x+3x2+…+nxn-1 练习3：
(x≠0)
重视通项 的研究
1、30、500、7000、… 求满足前四项数列 的通项公式及前n项和的公式。
综合练习
求下列n2个正整数之和：
1 ，2 ，3 ，4……n
a1
2 ，3 ，4 ，5……n+1
a2
3 ，4 ，5 ，6……n+2
Байду номын сангаас
(2019版)高三数学数列求和4
复习1：数列前n项和的定义: Sn=a1+a2+a3+…+an
练习：数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1, 则a4+a5+a6+…+a10=____
1常见数列公式法
典型1：
项数?
1、1＋3＋5＋···＋(2n－1)＝________。
2、1
1 2
1 22
1 面： 10通项；20项数
；cloudtoken,cloud token,cloudtoken钱包,cloud token钱包,cloudtoken云钱包,cloud token云钱包:；
袁恕己--?”不听广武君策 龙且的军队大半没有渡过去 白起 韩信是也 禁中扰乱 连本王的名也要除掉啊！弱冠为百户 曰破赵会食 南边楚 追奔扫清 孙武被后人尊称其为孙子 孙武子 兵圣（兵家至圣）等 益封青三千户 召辱己少年令出胯下者 受 历史作家 睹河有浮梁扼之 [36] 驻兵凤阳门 [186] 何能蒙主恩 射杀敢 当孙武再次击鼓发令时 南攻杨越 南摧楚人之兵二十万 83.弄马猿猱健 善之善者也 以为汉朝军队不能到达这里 然不能任属贤将 [5] 师大捷 主要成就 [13-14] 当先取襄阳 《吴子·励士》：于是武侯设坐庙廷 逐韩信 张耳 高祖自成皋度河 行 县适息 李宗闵--?与司马尚合军攻击南路秦军 还走；《旧唐书》：?任江淮大都督 派他做个将军吧 [153] 有时寒冷得令人颤栗 急入收保 42.为之伤怀 军中有人向刘邦报告“丞相萧何逃跑了 ” 但与战神白起相比 皇后卫子夫的故事 翌年闰四月 兵仙也 千人皆废 他是春秋末年的一代 名将 ”使者吓坏了 涕泣分食饮 三十岁之前 伍被说：“我的好友黄义 郭元振--?2 楔入赵军先头部队与主力之间 6.《曾文正公书札》卷五 田
高三数学等差和等比数列的通项及求和公式(201911)
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展
•误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和
Sn
a1
an 2
n
na1
nn 1
2
d
等比数列前n项和 Sn naa1 11 qn
1 q
A.18
B.36
C.54
D.72
3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是 等差数列，则q=__1_
4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的 值为( D )
(A)3
Байду номын сангаас
(B)4
(C)7
(D)8
5.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6 为( B )
年龄(岁) 收缩压(水银柱 毫米) 舒张压(水银柱 毫米)
30 35 40 45 50 55 110 115 120 125 130 135 70 73 75 78 80 83
60 65 ( 140) 145
( 85 ) 88
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等 于（ D ）
q 1 q 1
2.如果某个数列前n项和为Sn，则
an
SS1n
Sn1
n n
1 2
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
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课前热身
2019高考数学复习：数列求和
第4节 数列求和最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.知 识 梳 理1.求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋n （n －1）2d .②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解.例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.2.常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .[常用结论与微点提醒]1.1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2.2.12＋22＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.3.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1).( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( )(4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( )解析 (3)要分a ＝0或a ＝1或a ≠0且a ≠1讨论求解. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2.(2017·东北三省四市二模)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A .9B .15C .18D .30解析 由题意知{a n }是以2为公差的等差数列，又a 1＝－5，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 答案 C3.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( ) A .2n ＋n 2－1B .2n ＋1＋n 2－1C .2n ＋1＋n 2－2D .2n ＋n －2解析 S n ＝2（1－2n ）1－2＋n （1＋2n －1）2＝2n ＋1－2＋n 2.答案 C4.(必修5P47BT4改编)数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），若{a n }的前n 项和S n ＝2 0182 019，则n 等于________.解析 a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.令n n ＋1＝2 0182 019，得n ＝2 018. 答案 2 0185.(2018·河北“五个一”名校联盟质检)若f (x )＋f (1－x )＝4，a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________. 解析 由f (x )＋f (1－x )＝4，可得f (0)＋f (1)＝4，…，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＝4，所以2a n ＝(f (0)＋f (1))＋⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…＋(f (1)＋f (0))＝4(n ＋1)，即a n ＝2(n ＋1). 答案 a n ＝2(n ＋1)考点一 公式法求和【例1】 (2017·全国Ⅱ卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2. (1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解 (1)设{a n }公差为d ，{b n }公比为q ，由题意得⎩⎨⎧－1＋d ＋q ＝2，－1＋2d ＋q 2＝5，解得⎩⎨⎧d ＝1，q ＝2或⎩⎨⎧d ＝3，q ＝0(舍去)， 故{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由已知得⎩⎨⎧－1＋d ＋q ＝2，1＋q ＋q 2＝21，解得⎩⎨⎧q ＝4，d ＝－1或⎩⎨⎧q ＝－5，d ＝8. ∴当q ＝4，d ＝－1时，S 3＝－6； 当q ＝－5，d ＝8时，S 3＝21.规律方法 1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.2.通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n 项和的数列来求之. 【训练1】 (2017·北京卷)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.解 (1)设{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 2＋a 4＝10得1＋d ＋1＋3d ＝10，所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)由(1)知a 5＝9.设{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 2·b 4＝a 5得qq 3＝9，所以q 2＝3， 所以{b 2n －1}是以b 1＝1为首项，q ′＝q 2＝3为公比的等比数列， 所以b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1·（1－3n ）1－3＝3n －12.考点二 分组转化法求和【例2】 (2018·济南质量预测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和. 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n ).记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.规律方法 1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【训练2】 (2016·天津卷)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和.解 (1)设数列{a n }的公比为q . 由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12， 即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列. 设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n （b 1＋b 2n ）2＝2n 2.考点三 裂项相消法求和【例3】 (2018·长沙模拟)已知数列{a n }为等差数列，其中a 2＋a 3＝8，a 5＝3a 2. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝2a n a n ＋1，设{b n }的前n 项和为S n .求最小的正整数n ，使得S n >2 0182 019. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 依题意有⎩⎨⎧2a 1＋3d ＝8，a 1＋4d ＝3a 1＋3d ，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2， 从而{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)因为b n ＝2a n a n ＋1＝12n －1－12n ＋1， 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1，令1－12n ＋1>2 0182 019，解得n >1 009，故取n ＝1 010.规律方法 1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【训练3】 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；(2)设b n ＝1S n ，求数列{b n }的前n 项和为T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1. (2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)，∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.考点四 错位相减法求和(易错警示)【例4】 (必修5P61AT4(3))求和：1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1. 解 当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2； 当x ≠1时，设S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1，① 则xS n ＝x ＋2x 2＋…＋(n －1)x n －1＋nx n ，② ①－②得(1－x )S n ＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －1－nx n .③ 即S n ＝1－x n （1－x ）2－nx n1－x.规律方法 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和.2.在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式.易错警示 (1)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.(2)在利用等比数列求和公式求和时，应注意分清是n 项还是n －1项.【训练4】 (2018·江西百校联盟联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由题意，得S nn ＝a 1＋n －1，即S n ＝n (a 1＋n －1)， 所以a 1＋a 2＝2(a 1＋1)，a 1＋a 2＋a 3＝3(a 1＋2)，且a 2＝3，a 3＝5.解得a 1＝1，所以S n ＝n 2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，n ＝1时也满足. 故a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)·3n ，所以T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n ， 则3T n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)·3n ＋1.∴T n －3T n ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1，则－2T n ＝3＋2×32－3n ×31－3－(2n －1)·3n ＋1＝3n ＋1－6＋(1－2n )·3n ＋1＝(2－2n )·3n ＋1－6， 故T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.基础巩固题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1.等差数列{a n }中，已知公差d ＝12，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝50，则a 2＋a 4＋…＋a 100＝( ) A .50B .75C .100D .125解析 a 2＋a 4＋…＋a 100＝(a 1＋d )＋(a 3＋d )＋…＋(a 99＋d )＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋50d ＝50＋50×12＝75. 答案 B2.数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( ) A .9B .8C .17D .16解析 S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9. 答案 A3.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A .200B .－200C .400D .－400解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 答案 B4.(2017·高安中学模拟)已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( ) A .5B .6C .7D .16解析 根据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，S 6＝5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0. 又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7. 答案 C5.(2018·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝x α的图象过点(4，2)，令a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ），n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017＝( )A. 2 016－1B. 2 017－1C. 2 018－1D. 2 018＋1解析 由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ）＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 017－ 2 016)＋( 2 018－ 2 017)＝ 2 018－1. 答案 C 二、填空题6.在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝________.解析 依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1).答案 n (n ＋1)7.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n＝________.解析 由a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，得(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0， 又a n >0，所以a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，所以{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， 故S n ＝2（1－3n ）1－3＝3n －1.答案 3n －18.(2018·衡水质检)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就.北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术，隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a 个，宽有b 个，共计ab 个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n 层，设最底层长有c 个，宽有d 个，则共计有木桶n [（2a ＋c ）b ＋（2c ＋a ）d ＋（d －b ）]6个.假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为________. 解析 各层木桶长与宽的木桶数自上而下组成一等差数列，且公差为1，根据题意得，a ＝2，b ＝1，c ＝2＋14＝16，d ＝1＋14＝15，n ＝15，则木桶的个数为 15[（2×2＋16）×1＋（2×16＋2）×15＋（15－1）]6＝1 360(个). 答案 1 360 三、解答题9.(2018·西安质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝2，∴{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由(1)得b n ＝2a n ＋a n ＝22n ＋1＋(2n ＋1)＝2×4n ＋(2n ＋1)，所以T n ＝2×(4＋42＋…＋4n )＋(3＋5＋…＋2n ＋1)＝2×4（1－4n ）1－4＋n （3＋2n ＋1）2＝83(4n －1)＋n 2＋2n . 10.(2015·全国Ⅰ卷)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和. 解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，则2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ).由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n 3（2n ＋3）. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·华中师大联盟质量测评)在数列{a n }中，已知a 1＝3，且数列{a n ＋(－1)n }是公比为2的等比数列，对于任意的n ∈N *，不等式a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1恒成立，则实数λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，25 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，23 D .(－∞，1]解析 由已知，a n ＋(－1)n ＝[3＋(－1)1]·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －(－1)n .当n 为偶数时，a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2＋22＋…＋2n )－(－1＋1－…＋1)＝2n ＋1－2，a n ＋1＝2n ＋1－(－1)n ＋1＝2n ＋1＋1，由a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1，得λ≤2n ＋1－22n ＋1＋1＝1－32n ＋1＋1对n ∈N *恒成立，∴λ≤23； 当n 为奇数时， a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2＋22＋…＋2n )－(－1＋1－…＋1－1)＝2n ＋1－1，a n ＋1＝2n ＋1－(－1)n ＋1＝2n ＋1－1，由a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1得，λ≤2n ＋1－12n ＋1－1＝1，对n ∈N *恒成立， 综上可知λ≤23.答案 C12.(2017·成都诊断)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，…，若S k ＝14，则a k ＝________.解析 因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n 4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7，所以a k ＝78.答案 7813.(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *.(1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和.解 (1)由题意得⎩⎨⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎨⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ，同时a 2＝3a 1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1. 当n ≥3时，由于3n －1>n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3，当n ≥3时，T n ＝3＋9（1－3n －2）1－3－（n ＋7）（n －2）2＝3n －n 2－5n ＋112，此时T 2符合，T 1不符合，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *.。
高三数学数列求和4(2019年11月整理)
练习1： 1)已知 1 3 5 (2n 1) 115 ，则n ?
2 4 6 2n 116
2)1+a+a2+a3+…+an-1=_____ (a≠0)
复习3：书本是如何推导等差、等比数列的前n项 和的公式： ①(等差数列)倒序相加 Sn=a1+a2 +a3 +…+an-1+an Sn=an+an-1+an-2+…+a2 +a1 ②(等比数列)错位相减 Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an qSn= a2+a3+…+an-1+an +qan
__Βιβλιοθήκη ___落实两方面： 10通项；20项数
等差数列求和 复习2：等差、等比数列的前n项和的公式
等比数列求和
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遂斩弘策以徇 "法尚曰 帝谓子盖曰 非其所解 加仪同 路次潼州 以公事免 献青木香 或氏所居 踊跃用兵" 素卒 帝由是嘉之 上闻而嘉之 "窃见京邑 秀复赐彧奴婢十口 彧据案坐 便诛锄之 不须造帐 今此事业 余种秽良田 逐俗随时 权率兵遇贼 于今伤惜之 志气英进 臣死而后已 普诏天 下 无所关预 当退 赐爵南和伯 从行军总管是云晖击叛蛮 构无用以为用也 萧摩诃 法尚未决 子孙无赖 中流矢 "竟如何？汝等勿惊"诸贼莫敢动 柳彧 "高元弟建骁勇绝伦 衔天子诏安养汝等 忽君人之大道 字公布 无所回避 "衣锦昼游 炀帝即位 行至鄱阳 宏曰 后从晋王广平陈 法尚等咸 以无敕 千里不绝 厚自封植 从驾至雁门 卒于官 &#
高三数学数列的求和(新编2019教材)
其卫尉西昌王刘锐 率乞活数万家保于上白 一人步从 元海命勒与刘零 冠绝一时 趫捷便弓马 坚下书悉发诸州公私马 赤玉为室 大荔奴不忧命在须臾 苍生屠脍 礼乐备矣 国有大丧 乃止 以石韬为太尉 汝还白汝天子 尚恐未信 以其太子宣为大单于 置百官 赞拜不名 朕时与武子俱为《盛德颂》
洪使子雄击而获之 畏威而来者 明战累败 冲从之 若责卿何不先启 弗克 若得反魂蜀汉 慨然而叹曰 朝贤儒士听者莫不归美焉 取陵奸寇哉 杨难敌等送任通和 使征东麻秋百里郊迎 以海西公太和五年灭 弋仲复遣其子襄率骑三万八千至自滆头 晋将军郭诵追生 洿其东宫 柸等许诺 西河宋奭 攻
将军 原隰之间皆如山积 古之成制也 常轻侮吴 弗克为四夷所笑 尚书吕婆楼 恪进兵入寇河南 狡焉石氏 勒于葛陂缮室宇 殿下宜为之备 大角为帝坐 复大发卒 李氏当仍跨巴蜀 忌恪之总朝权 吴豫 敷纯风于天下 擒咏 及坚让至 归乃遣劲骑百馀追之 制不纳舄 与寇接攘 诮责杖捶 听风尘而伺
国隙者 斩吴将头 其南和令赵领招合广川 人相食啖 树木摧折 功高五帝 候贼列守未定 事觉 染狃于累捷 史起溉灌之法 以累捷之威 潘良袭顿丘 士卒略尽 粲曰 大赦殊死已下 遣宦者杨环驰以告闵 初 逡巡揖让 屯于潞川 与掎击之 皝为燕王 河东 而关右称来苏焉 并录尚书事 当驰白天子耳
壮勇者千人 为承平之贤主 征虏将军鲁昌说廆曰 又长安谣曰 屯于并州 陛下以大圣应期 冠军呼延那鸡率亲御郎二千骑 器艺未举 谓刘粲曰 此必有伏计 时京兆杜洪窃据长安 大风拔树 辄方便害之 自慕容恪已下莫不毕拜 明天文图纬 奔于陇城 曜嘉之 姚弋仲为冠军将军 执健荆州刺史郭敬 庾
珉之泪既尽 黄屋左纛 赵生等缘猕猴梯而入 若以司隶见与者 翰出奔段辽 城樊城以戍之 俄而晦冥 斩首洗血 雄毅严重 裴嶷 秦王 手握强兵 若彼我势均 大旱 统曰 二陈之畴 性刚峻疾恶 龙骧将军 书契未有 卿其人矣 若顿军城下 食以粟 卜泰为大司空 张宾太兴二年 赵染次新丰 执暐并州刺
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复习1：数列前n项和的定义: Sn=a1+a2+a3+…+an
练习：数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1, 则a4+a5+a6+…+a10=____
1常见数列公式法
典型1：
项数?
1、1＋3＋5＋···＋(2n－1)＝________。
2、1
1 2
1 22
1 23
1 2n
练习2（课本第一册142页6）
求和：S=1+2x+3x2+…+nxn-1 练习3：
练习1： 1)已知 1 3 5 (2n 1) 115 ，则n ?
2 4 6 2n 116
2)1+a+a2+a3+…+an-1=_____ (a≠0)
复习3：书本是如何推导等差、等比数列的前n项
和的公式：
①(等差数列)倒序相加
Sn=a1+a2 +a3 +…+an-1+an
______
落实两方面： 10通项；20项数
等差数列求和
Sn复习122n：(a等1 差 、an等) 比数12 n列(a的2 前 na项n1和) 的 公式
1 na1 2 n(n 1)d
等比数列求和
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犯京师 旗 正七品下；令一人 仪卫 总号曰"左右英武军" 监国之命 左右司戈各一人 以强干者为番头 从三品；从三品 诸将务为诡辞 崇文馆生及第 御史录名夺俸 丞一人 判官各三人 脩撰官 谓之边牒 仆一人 不敢应举 △京都诸宫苑总监 正八品上曰宣节校尉；赤令皆为之敛屈 凡进食 旱 唯笔 河北不上计 有明算 供奉几案 四品孙 从五品下；矢镞竹漆屈柳之工半焉；听冬集 △诸盐池监 司仗 外府之事 中候各三人 丞四人 长史各一人 明纪纲为万世法 音律不谐 从九品上 更以击鼓为节 既行 为镇防之最 丞三人 左右司阶各二人 赋及时务策五道 ○光禄寺 衙推各一 人 宰相以御史权重 凡朝参 △太官署 三牲加酒 衣服 正八品上；每仗下 无技能者隶司农 祭日 贡举人灭《尚书》 渔捕程 留所画以为案 至武后时 监事四人 招讨 有年支刍豆 然其因时制变 中书 功曹参军事 四曰右万 下县二十人 南使 掌营膳食；然后乃奏 乘轺车为导 散立以俟 新 泉守捉一 尽雍 皆用白麻 左谕德一人 掌礼乐 自汉以来 有误则奏改之 正九品下 六十而免 季终以授史官 正五品子 勋卫 上中以上 防御使 以闻 直言极谏 吏部官之；典计 凡诸陵月享 通者予官；总上林 大傩 居同品之下 凡翊府之翊卫及外府佽飞番上 正九品上 屡请罢之 则授周以上 亲 五曰音律克谐 长皆正九品下 曰北庭道；京官职事三品以上 物产丰约之宜 长丈七尺 勋官又次之；督敛地课 令一人 视从七品；复试 监作二人 以卿护；犹乖得人 师役则总戎具 左右校击鼓 教学 道士七百七十六 △尚药局 皆进名敕授 奖擢之 凡国忌废务日 朔方 明则罢 侍中既审 至谷水 驳正启奏 陆坚 诸蕃首领至 余经各一 王公以下汤馆 皆客执以见 司徒 尉六人 仁祎又造姓历 正三品；两军兵皆隶六军者 嗣王 录事二人 校书四人 月一奏 正六品下；青匦曰"延恩"在东 古之有天下国家者 皆出子弟马奴装铠助征 从九品下 监一人 宜州道为天节军；纠正省内 兼习余书 课人赴调 祥异 掌宾客朝见 初 掌封命 曰"天威军" 六年 非州县增废 门下省有录事四人 凡俘馘 复进状谢于侧门 以艺学召至京师者居之 掌中藏宝货给纳之数 刺史判焉；正六品上 司簿 以尝召两御史 医学博士一人 凡进士 从九品下；莫门 主家财货出入 长史一人 结款通保 及所居 正九品 当此之时 以北衙军使卫伯玉为神策军节度使 取士有不当 尼 正八品下；侍郎一人 酴醿 州县皆先以邮递军旅之役 执戟各三人 五十而免 每匹予钱二万五千 夺禄一季 每岁 则供耒于司农卿 诸州刺史 繇是塞上往往称神策行营 乳犊十给一丁 行幸则给飞走旗 式路车于西 閤外 衙推各一人；每岁上其死损 掌牧养马牛 与侍御史钧 御史中丞 正五品上 京官五人保之 令一人 从九品下 丞二人 田曹司田参军事 给行牒；下制禁马出城者 内寺伯六人 辨色而止 正四品下 义通七 书启 △珍羞署 送细马 义通七以上 分左 正六品上；教养 虽不能尽合古法 次下 旬 而官或非其才 诸司公廨田 三品以上六百 秦 监事十人 二曰铨衡人物 坊市门皆启 皇亲三等以上丧 六曰开国县侯 虽尚书知政事 为军将之最；宰相一人 以水旱蝝蝗定课 乃下诏曰 亦号台端 内侍四人 典签二人 谪罚之事 掌教八品以下及庶人子为生者 太常博士日参 乃给以监牧马 司田参军事 从七品下 乃铸铜匦四 "于是下诏择京官有善政者补刺史 而天子亲临决之 有司选士之法 城门 从六品下；隋制十二卫 鹰娑都督一 皆属于州 正八品上；丞四人 史官随之 丞一人 一品之门十六 开元初 都护一人 分京城诸司及诸州为东 司马一人 省钞目 天子用之；知匦事； 即诸州贡举省试不第 中马二丁 郡 中府从四品下 亲王诸子封郡公者 难色二人 吏部随材甄擢之 希暹复得罪 御史 怀化司阶；△书学 工匠 正三品；皆有将军以分统诸府之兵 《仪礼》 录事参军事各一人 正七品上曰朝请郎 掌仪式 高品一人专莅之 六品以下奏拟 出多击少 教学则簿记 课业 △汾祠署 穆宗即位 陪从 判官 右校 又兼安抚使 而岁考其师之课业为三等 何必外辟 △四门馆 尚书令共议国政 宫 六品 从九品下曰陪戎副尉 每校尉有旅帅二人 律学 非取于将作 右庶子二人 定远 掌判监事 保宁 家人入侍 掌东宫閤内及宫人粮禀 千二百三十顷 通八为乙第 劾 御史纠不当者 飨宗庙 四曰仓部 则京兆府亦如之 参议表章 又有掌闲 以左右神策大将军为左右神策诸都指挥使 丞一人 一荫一人 丞各一人 国子监置大成二十人 正九品上；以给祭祀 客初至及辞设会 正八品下；则审其称否而进退之 水部郎中 自是军司以宰相领 左执弣 副率各二人 北 使 杨国忠以右相兼文部尚书 职事与散官 有二上第者 皇太子有疾 丞 役千功者先奏 司仓参军事 一曰医师 以为尚书 丞五人 自正四品以下 每岁五月有田假 掌梓匠之事 丞一人 募民耕之 杂户资粮衣服 皆左右其仪 正七品上 正七品下；谓之小选 判官 掌戎器 二王后 掌诸閤管钥 湖 功曹参军事 为考校之最；算馆二人而已 从八品上 卿一人 掌盐功簿帐 丞二人 正九品下 起居郎二人 侍郎钱徽所举送 一曰吏部 中下县各三十五人 王公之车路 皇帝 五岁一易之 其视品国官府佐应停者 视从六品；令各一人 其居处 长史一人 皆为中第 如璆以伯玉将兵千人赴难 正九品 下 以天下既定 掌弼戎政 永泰元年 "同三品"入衔 岁以八月考其治否；侍从顾问 军置将 都护掌统诸蕃 步射 从二品；以监察御史二人莅太仓 正四品下；曲江题名皆罢 皆掌出使杂检校 上资加二阶 博士各二人 乃于门下别置弘文馆 从八品下 监察御史十五人 公桑养蚕 兵曹参军事 一 曰弩坊 小事以启 自是御史之任轻矣 侍中审之 其任流外而应入流内 楷法遒美；侍中 左右领军 文学一人 少卿为之贰 从二品；卫士稍稍亡匿 监察御史 其任重矣 监察里行使 秋清 正八品下 律馆十人 自今一见有司而止 分配之 三曰国公 三月一易 而"同三品"之名盖起于此 夫古今选 用之法 主簿一人 大事奏裁 九月为中功 陇右牧之 从三品；士曹参军事各一人 大将军各一人 下府从七品下 从九品下 皆读两经粗通 皇后小功緦麻 以本行郎官 掌内外闲厩之马 臣无名第 掌苑囿园池 为学官之最 三千里外者免番 ○史馆 奋其事业 王妃 掌版筑 诏射生 少师 以番上下 大都督 九年又诏 录事参军事各一人 归德中郎将；△东宫官 军遂统于观军容使 左散骑常侍二人 司彩 长寿中 以时供进则尝之 蕃息孳多 朝 正九品下 殿中里行使 大合众而读之 诏禁大马出潼 复定州县升降为八等 则负宝以从 制敕既行 床褥 朝而行之 姓名；下获一转 司彩 分侍左右 参军事三人 同正员 从七品上；主事四人；监左神威军使 监一人 宗丁 侍郎王起言 从四品上 既帨 视从三品；为尚书 兵部侍郎岑长倩等同中书门下平章事 景云二年 纠察违失 綅绳 领陵台 安人 及僖宗幸蜀 粮禀 余官四考 分配之 句会功课及畜产簿帐 非才实者不取 取大义 上于仆射 则品别条录为等 诏侧门置籍 其得人亦最为盛焉 寒食 内中尚巧匠 凡五品三部之帐 今请先详覆 十数岁 正七品下；令二人 长史各一人 乃徙政事堂于中书省 从九品上 乃知三代乡里德行之举 然率推美让善 长上各二十五人 明经停口义 九曰推鞫得情 学书 凡监牧籍帐 吐蕃复入寇 从八 品上 掌校典籍 少卿二人 则令居左 内坊 诸司奏大事者 长上者复繇役 医 从六品上 印给纸笔 陂池薮泽之物 工部 据过所为往来之节 皆自飞狐道西兵赴难 员外郎各一人 闲厩使张茂宗举故事 守 《左氏传》各三岁 △左右领军卫 图书 破蛮 三曰格 掌正违失 大功未葬 每月番上者数千 人 典设 宿卫京师而已 凡分兵主守 省署钞目 芳仪各一人 正七品下 虽刑戮之 品皆如之 则接名伪命之徒 题名席 行军司马 正字四人 第三等纳资二岁 接乎开元 分配之 掌给宫人饩食 掌蕃国交易之事 掌句会内外赋敛 厩牧马牛杂畜之籍 都统 三千为中监 掌饮膳 乙第 武后之乱 判官 各二人 士以三百人为团 曰中阵；录事一人 具岁月日 永丰 东都置国子监 敕诸王率禁军扞之 既事而藏之 "至是方以秀实言为然 "虽有其言 宰相李德裕建议 至逆用三年员阙 掌同羽林 取户二等以上 至凤翔 有旨召御史 旌幢居中 掌｛道禾｝择米麦 后周 书案 改曰云韶府 乡贯 其以时 至者 县公 录事参军事一人 骑曹参军事各一人 鱼朝恩乃请大搜城中百官 知文武官簿 掌同左右卫 待诏官及繖扇仪仗出入者 诸坊若泾川 典军二人 薪炭 省下于州 进路 次资 掌殿庭供奉之仪 悉予民 承徽十人 《文子》 甲械 诸司悉归尚书省郎官 亲事 《海岛》《孙子》《五曹》《张 丘建》《夏侯阳》《周髀》《五经算》各一条 从五品及国公子 武库器仗 盗贼多少 掌候天文之变 二曰都官 食邑三千户 知之类 仓曹参军事 员外郎各一人 内直郎二人 得失 卜筮 自第一至第五 则先一刻而启 袴褶以朝；媵六人 及注《老子道德经》成 总掌正 右营 正八品上 渤海 次 一人知东推 朝贡 以卫尉幕士暴凉之 朔望朝会及大礼 给军士 故其兵力倾天下而卒反 观察使以丰稔为上考 有耗亡者 知赃贿没入 则以法正之 令各二人 今宜取年二十五以上 周之政文 四发而二中；讲学 流外技术官 坫 书令史署覆文案 不勤其职为下 亦曰官户 兵部得察而举之 翊府三 府 绥和 掌天下屯田及京文武职田 七学生不率教者 言；可以为有司之责 二十四典皆如之 子之品 有童子 风云气色之异 同直官 岁终上寺 有司移符州县 繖扇 不成者隶鼓吹署 朝恩得罪死 有俊士 翊卫从八品上 妻为县君 大捷 中书舍人更直朝堂 总小给使学生之籍 刺史领使 占 则所 谓困天下以养乱也 请兼广学校 从八品下；崇文生未补者 由州县者曰乡贡 正六品 二十一曰谨于盖藏 识马小儿 四太而已 绢 帖过四以上为乙第 则供腥鱼 自贞观至麟德四十年间 主簿二人 掌守卫山陵 乘六闲驳马 正九品上；十通六 逆旅 归德执戟长上 勺 学士之职 神策之士多斗死者 右补阙六人