辽宁省部分重点中学2012届高三上学期期末联考数学文试题

辽宁省部分重点中学
2011—2012学年度高三上学期期末联考
数 学 试 题（文）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要示的。

1．已知集合2{|2,0},{|lg(2)},x M y y x N x y x x M
N ==>==-=
（ ）
A ．（1，2）
B ．(1,)+∞
C ．[)2,+∞
D ．[
)1,+∞ 2．已知向量(2,4),(,3)AB AC a ==，若AB AC ⊥，则a 的值为
（ ）
A ．6
B ．-6
C ．3
2
D ．32
-
3．已知i 是虚数单位，则3
1i i
+=
（ ） A ．-2i
B ．2i
C ．-i
D ．i
4．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成三棱锥
C —AB
D 的正视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为
（ ）
A ．
12
B C ．
14
D
5．设F 1和F 2为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点，若F 1，F 2，P （0，-2b ）是正
三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为
（ ）
A ．
32
B ．2
C ．
52
D ．3
6．设22:160,:60p x q x x -<+->，则q p ⌝⌝是的
（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2
A π
ϕ
><）的图象如图所示，为了得到
()sin 2g x x =的图象像，则只需将()f x 的图像
（ ）
A ．向左平移
6π
个长度单位 B ．向左平移12π
个长度单位
C ．向右平移6π
个长度单位
D ．向右平移12
π
个长度单位
8．在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
（a 为常数）所表示的平面区域的面
积等于2，则a 的值为
（ ）
A ．-5
B ．1
C ．2
D ．3
9．如果满足60,12,ABC AC BC k ABC
∠=︒==∆的恰有一个，那么k 的取值范围是 （ ）
A
．k =B ．012k <≤
C
．
12
k ≥
D
．012k k <≤=或
10．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()0,01f x f x x +-=≤≤当时，
21
(),()()4
f x x
g x k x ==-又，若方程()()
f x
g x =恰有两解，则k 的范围是 （ ）
A ．44{
,}115
- B ．44{1,
,}115
- C ．444
{,
,}3115
- D ．444
{1,,
,}3115
- 11．定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数
(),()ln(1)g x x h x x ==+，()cos ((,))2
x x x π
ϕπ=∈的“新驻点”分别为,,αβγ，那
么,,αβγ的大小关系是
（ ）
A ．γαβ<<
B ．βαγ<<
C ．αβγ<<
D ．αγβ<<
12．已知圆O 的半径为2，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，设.APO α∠=那
么2cot 2PAB S α∆⋅的最小值为
（ ）
A ．16-+
B ．12-+
C ．16-+
D ．12-+
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．抛物线2
14
y x =
的焦点坐标是 。

14．若按照右侧程序框图输出的结果为4，则输入的x 所有可能取值的和等于 。

15．棱长为1的正方体和它的外接球被一个平面所截，
截面是一个圆及其内接正三角形，那么球心到截面 的距离等于 。

16．设函数2
()1f x x =-，对任意33,24x ⎡⎤
∈-
-⎢⎥⎣
⎦， 2()4()(1)4()x
f m f x f x f m m
-≤-+恒成立，则
实数m 的取值范围是 。

三、解答题：本大题共6小题，满分70分。

解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：3577,26.a a a =+={}n a 的前n 项和为.n S （1）求;n n a S 及 （2）令*
()3
n n n a b n N =
∈，求数列{}n b 的前n 项和.n T
18．（本小题满分12分）
地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重
视。

某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从七年级和八年级各选取100名学同进行紧急避险常识知识竞赛。

下图1和图2分别是对七年级和八年级参加竞赛的学生成绩按[)40,50，[)50,60，[
)60,70,[70,80]分组，得到的频率分布直方图。

（1）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；（注：统计方法中，同一组数据用该组区间的中点值作为代表）
（2）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？
19．（本小题满分12分）
已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且AB=AA 1=2，
E 、
F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点。

（1）求证：1B F ⊥平面AEF ； （2）求三棱锥E —AB 1F 的体积。

20．（本小题满分12分）
已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，长轴长是，离心率是2
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点F 2的直线与椭圆相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点C ，使
CA CB ⋅为常数？若存在，求出定点C 的坐标；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分12分） 已知函数1()ln ()m
f x x mx m R x
-=-+
∈ （1）当m=2时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）当1
4
m ≤
时，讨论()f x 的单调性；
（3）设2()2.g x x x n =-+当1
12
m =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在2[1,2]x ∈，使
12()()f x g x ≥，求实数n 的取值范围。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，已知O M 和相交于A 、B 两点，AD 为M 的直径，直线BD 交O 于点C ，
点G 为弧BD 的中点，连结AG 分别交O 、BD 于点E 、F ，连结CE 。

（1）求证：AG ·EF=CE ·GD ；
（2）求证：2
2.GF EF AG CE
=
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度，已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角.6
πα= （1）写出直线l 的参数方程；
（2）设l 与圆2ρ=相交于两点A 、B ，求点P 到两点的距离之积。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+
（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围。