创意平板折叠桌论文
创意平板折叠桌的模型分析与优化设计
在研 究 折叠 桌确 切 圆 的半径 时 ， 宽 为 ５ ０ ｅ ｍ，厚 度 为３ ｅ ａ ｒ ，每根 木 条 的宽 我 们 假 设 两 种 情况 ，即 圆与 已知 平板 内 组 最 外 侧 的 两 根 木条 上 ，并 且 沿 木 条 有 ． ５ ｅ ｍ，折叠 后 桌子 的高 度为 ５ ３ ｃ ｍ，且 切 和 圆与 已知 平板 近似 外 接 ，但 这 两 种 空 槽 以保 证 滑 动 的 自由度 。使 两 者 只 需 为２ 连 接 桌腿 木 条 的钢 筋 固 定 在桌 腿 最 外 侧 情 况 圆 的半 径 均 不符 合 已知 设 计 要 求 ， 提 起 木 板 的 两 侧 ，便 可 以在 重 力 的作 用 木 条 的 中心位 置 。确 定 了其 所 需木 板 的 通 过建 立 合 适 的 方 程 ，我 们 在 圆环 的 内 下 达 到 自动 升 起 的 效 果 ，桌 子 外 形 由直 最 优 尺 寸 ，钢 筋 的位 置 和 每 根 桌腿 的开 侧 寻找 到 最 佳 的 半 径 变化 范 围 ，并 在 合 纹 曲 面构 成 ，造 型 美 观 ，相 互 对 称 的 木
Ｎ１ ３ Ｎ １ ４ ｌ Ｎ１ ５ Ｎ １ ６ Ｎ １ ７ Ｎ１ ８ Ｎ １ ９ Ｉ Ｎ ２ ０
Ｎ ｌ Ｏ １ ４
Ｎ ２ｌ
Ｎ １ ｌ １ ４ ． Ｏ ６
长度 Ｊ ｌ ３ ． ８ ８ ｌ ３ ． ３ ４ ｌ ２ ． ４ １ １ １ ． Ｏ ９ ９ ． ３ ２ ７ ． ０ ４ ４ ． １ ３ ０ ． ３ ｇ ０ ２ ５
侧 的木 条 ，钢 筋 两端 分 别 固定 在 桌腿 各
本文对 一 长方形 平板 ：长为 １ ２ ０ ｅ ｍ，
条宛如下垂 的桌布。在设计折叠桌时如 槽 长 度 ；对 桌 脚边 缘 线 进 行 数 学 描述 ，
创意折叠桌的优化设计
Ａ Ｂ Ｏ Ｅ 中 ， 由 三 角 函 数 关 系 得 ， ｓ ｉ ｎ ：竺
Ｓ
由 此 可推 出 竖坐 标 表 达 式 为 １ ０
圆具有强烈的对称性 。现 以桌面所在 的平面为 ＸＯＹ平面， 垂直纸 面向前 为 ｘ轴 正方 向， 水平 向 左 为 Ｙ 轴 正 方 向 ， 以垂 直 平 面 ＸＯＹ 为 ｚ 轴 ， 竖 直 向 下为 正 方 向 ， 建立空间直角坐标系。其中， ＸＯＹ 平 面 如 下 图所 示 ：
．
而 在
Ｃ
开 槽 长度
图１ ｘ ｏ Ｙ 平 面 几何 关 系 图
Ｚ
Ｎ
桌腿 的根数 每根木条的宽度
铺平 时木 条的 铰链 到 Ｘ 轴 的距离 桌 子长 度的 一半
ｂ
ｐ
ｑ
Ｓ
Ｃ
１
第一根木条的铰链与钢筋间的距离 非第一根木条的铰链与钢筋间的距离 第—根木条与桌面间的夹角
一
关键词： 折叠桌 ； 非线性规划； 优 化 设 计
Hale Waihona Puke Ｉ． 模型假设 － Ｊ
・ 桌子折 叠后 ， 最边缘木条 的长度忽略不计 ・将木条抽 象为线段 ， 不计木条 的厚度 ・ 折叠后 的桌面为理想 圆， 光滑平整 ， 且桌面上的木条间无间隙 ・钢筋与开槽 内壁之 间无摩擦 Ⅱ． 符 号 说 明
厂
／Ｉ
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符 号
ｒ
创意平板折叠桌的设计
张鸿锋等 ：创 意平板折叠桌的设计
第３ ０卷
计 加工 参数 （ 如 平板 尺寸 、钢筋 位置 、开 槽长度 等 ） ． 对 于 桌高７ ０ ｏ ｍ，桌 面 直径 ８ ０ ｃ ｍ的
情 形 ，确定 最优设 计加 工参 数 ．
问题三 ：要求开发一种折叠桌设计软件 ，根据客户任意设定 的折叠桌高度 、桌面边
出相应 的设 计加 工参 数 ，画 出至少 ８张动 态变 化过 程 的示 意 图．
注 ：题 目和折叠桌的外形可到全国大学生数学建模竞赛官方网站 ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ｗ ｗ ｗ ． ｍ ｃ ｍ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ 下载
１ 模 型 的假 设
为 了方 便研 究 ，在不 改变题 目要 求 的前提 下 ．我们对 模 型作 以下 假设 ：
数 和平 板 材料 的形 状 尺 寸 ，使 其 既 满 足 客 户 期 望 又 满 足 产 品 的设 计 指 标 ．
关键 词 ：折叠 桌 ；加工参数 ；解析几何 ；多 目标规划 ；多 目标进 化算 法
中 图分 类 号 ：０ ２ ９ 文 献 标 志 码 ：Ａ
０ 引 言
现代 生活 中 ，人们 对家 具 的要求 不仅 只 限于它 原 始 的功 能 ，更 注 重 家具 的审 美价 值 与时 代精 神 ．平板 折 叠桌 因其存 放 方便 、造 型美观 的特点 ，深受 人们 的喜爱 ，折 叠 桌在
缘 线 的形状 大小 和桌脚 边缘 线 的大致 形状 ，给 出所需 平 板材 料 的形状 尺 寸和 切实 可行 的 最 优设 计加 工参 数 ，使 得 生产 的折 叠桌 尽 可能 接近 客户 所期 望 的形状 ．要求 给 出这一 软 件 设计 的数 学模 型 ，并根 据所 建立 的模 型 给 出几个 自己设 计 的创 意平 板 折叠 桌．要求 给
平板折叠桌设计问题
5.51 27.2 0
25.1 29.6 21.9
li ci
利用 MATLAB 软件编程，可以求得 10 根木条桌腿的底端坐标，见下表 2： 表2 1 x y z 27.20 22.50 53.00 2 20.53 21.25 50.06 3 18.26 18.75 46.96 4 17.40 16.25 44.30 各桌腿底端坐标 5 17.18 13.75 42.09 6 17.28 11.25 40.32 7 17.50 8.75 38.92 8 17.74 6.25 37.88 单位：cm 9 17.95 3.75 37.15 10 18.09 1.25 36.72
第 1 根木条底端的坐标：
第 2 根木条底端的坐标：
l2 a -a = 2 1 sinθ1 sinα θ= 2 θ+α 1 x = Lθcos 2 2+ a 2 2 ， ， 2.5 y 2 = 25 - 2.5 2 z = L θ + sin 3 2 2 2
综上所述：第 i 根木条桌腿的开槽长度为：
第 i 根木条桌腿的长度： Li = 60 - a i ；
图1 桌脚边缘线的数学描述，即在所建立的空间直角坐标系中， 求得每根木条桌 腿底端的坐标。把相邻两根木条理想化，看成两根同平面的线，相交的夹角 α 用 正弦定理求得，再求第 i 根木条桌腿与水平面的夹角 θi ，见图 1 右。由桌腿长和 桌面部分的长度求得 x 坐标，由桌面圆求得 y 坐标，由高度求得 z 坐标。 h-3 θ1 = arcsin L1 x = L1θ cos + a1 1 1 2.5 y1 = 25 2 z = h 1
创意平板折叠桌-2014年数学建模国家一等奖优秀论文 (3)
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以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
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）日期： 2014 年 9 月 15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌摘要目前住宅空间的紧张导致越来越多的折叠家具的出现。
某公司设计制作了一款折叠桌以满足市场需要。
以此折叠桌为背景提出了三个问题，本文运用几何知识、非线性约束优化模型等方法成功解决了这三个问题，得到了折叠桌动态过程的描述方程以及在给定条件下怎样选择最优设计加工参数，并针对任意形状的桌面边缘线等给出了我们的设计。
数学建模——创意折叠桌
创意平板折叠桌摘要本文针对给出创意平板折叠桌的桌子高度和桌面直径，为得出最优设计加工参数以及最优选材等问题建立数学模型并求解。
针对问题一，定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，利用弦长公式计算出除最外围木条其余圆周内木条的长度，将所求的木条长度导入到Matlab软件中使用cubic方式拟合曲线，求出最外围木条的长度。
为描述动态变化过程，引用等效替代的思想，建立模型，用桌腿与桌子高度间的夹角变换客观明确的表现出折叠过程中的动态变化。
根据以上数据求出折叠桌的设计加工参数以及桌脚边缘线。
针对问题二，在不影响到外形美观度的基础上，先以用材最少为目标函数，用稳定性好和加工方便为约束条件，建立优化模型，使用Lingo软件编程求出部分参数最优解，根据求出的最优解系统计算汇总得出所求创意平板折叠桌的最优设计加工参数。
针对问题三，此问是要建立设计加工参数的通解，需要考虑不同的桌面形状，建立不同的模型，在输入数据时先判断属于哪个桌面形状，任意给出折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，利用建立的模型求解其设计加工参数，绘制动态变化过程示意图。
关键词：创意平板折叠桌；拟合；最优化模型；空间几何一、问题重述创意平板折叠桌在外型新颖、造型美观的基础上，还要全面考虑折叠桌制作的稳固性、加工时长以及用材量。
在已知桌高和桌面直径的条件下，建立数学模型，快速且精确的算出最优的设计加工参数。
就已知折叠桌桌高以及桌面直径的情况下，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）根据所给的已知条件，建立数学模型，来描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。
（2）在造型美观的前提下，考虑稳固性，加工方便，用材等影响因素，在已知桌高和桌面直径的情况下，建立数学模型，确定最优设计加工方案。
（3）根据任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近所期望的形状。
创意平板折叠桌(二等奖)
三 模型假设
1.木条宽的中点在桌面圆的圆周上； 2.木条与木条之间契合紧密，没有缝隙； 3.长方形木板与桌面圆的半径相等； 4.折叠桌桌面的厚度忽略不计；
四 符号说明
l ：每根木条的长度； d ：最外侧木条与桌面连接点到垂直于木条直径的距离； w ：木条的宽度； q ：最外侧木条与水平面的夹角； h ：折叠桌的高度； s ：开槽的长度； c ：最外侧木条钢筋固定点到桌面衔接点的距离； r ：圆形桌面的半径；
2
会有一定的难度；太小，木条易折断。要使用材最少，只需长方形平板的长最小即可。 以平板长度最小为目标函数，以题目所给要求为约束条件，具体如下：最外侧两根 木条之间的距离大于或等于圆形桌面的直径；折叠桌还原为平摊状态时，钢筋恰好处于 开槽内，不至于将开槽拉穿；最外侧木条与水平面的夹角 q 满足一定的函数关系。建立 优化模型，利用lingo软件求解，即可得到平板尺寸，钢筋位置的最优设计加工参数。运 用所得结果，用同问题一相似的方法得到木条开槽长度方程，代入每根木条的 x 坐标， 即可得到每根木条的开槽长度。 针对问题三， 题目要要求设计相应的算法，此算法的输入信息包括顾客所给的折 叠桌的高度， 桌面边缘线的形状大小， 桌脚边缘线的大致形状， 输出值为最优设计参数。 以生产的折叠桌应尽量接近实际形状为目标函数， 以顾客设定的折叠桌的高度和桌面边 缘线形状的大小，桌脚边缘线的大致形状为约束条件。建立非线性规划模型，即折叠桌 设计软件的数学模型。 自己设计创意平板折叠桌时，由于折叠桌的高度，桌面边缘线和桌脚边缘线的观测 值已知，利用所建立的设计软件数学模型，用lingo软件求解，即可得到折叠桌的设计 加工参数，且绘制出动态变化示意图。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写） ：
折叠桌 数学建模论文
创意平板折叠桌的优化设计摘要本文主要讨论了平板折叠桌的动态变化过程及最优加工参数的设计问题。
在问题一中，本文将折叠桌的动态变化过程简化为杆件的定轴转动，先利用空间解析几何与平面几何的知识计算出各桌脚的长度及开槽深度，从而计算出各桌脚的位置与高度的函数关系来描述了折叠桌的动态变化过程，并使用MATLAB 画出三维动态图形，进一步直观地展示了其动态变化过程。
最后据构建的模型给出了最优加工参数，并用参数方程的形式描述了理想的桌脚边缘线，且与实际桌脚边缘的连线进行了对比。
在问题二中，本文从结构的稳固性、节省材料和加工方便几个角度出发，考虑了几何约束、运动约束、静力学平衡约束，而从建立了一个关于重心位置与材料用量的多目标优化模型（MOP）。
此模型为非线性规划模型，在求解时，本文利用MATLAB 采用图像法确定模型的可行域，而从得出木板尺寸与钢筋位置最佳选择。
对于题目中桌高70cm、桌面直径80cm 的情形，文中给出了最优加工参数，板长为170cm，钢筋位于最外侧木条上距桌面中心线53cm 处，各桌腿长度及其滑槽长度见文中表格。
在问题三中，首先根据客户给出的桌面边缘线和桌脚边缘线对应点之间的距离作为桌腿木条的长度，然后根据问题一中计算出的运动约束关系计算出实际桌脚边缘的坐标，计算出实际桌脚边缘线与客户提供的桌脚边缘线之间距离的平方和作为目标函数，得到使其取最小值的钢筋位置，验证问题二中约束条件，进而计算出其他设计参数。
最后，本文设计出了两种创意平板折叠桌，并给出了相应的加工参数及动态变化过程示意图。
关键词：MOP 非线性规划平板折叠桌一、问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。
桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。
桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。
试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。
创意平板折叠桌优化设计
１ 给定设计要求的平板折叠桌优化设计
设计要求 ： 长方形平 板 尺 寸 为 １ ２ ０ ｃ ｍ×５ ０ ｃ ｍ×
收稿日期 ： ２ ０ １ ５ ０ ３ ２ ６ 作者简介 ： 刘睿 （ ， 女， 陕西西安人 ， 讲师 ， 从事数学建模方面的研究 。 １ ９ ８ ４－ ）
６ ６
西安航空学院学报 故直纹面的方程为 ：
图 １ 直角坐标系
（ ） 确定θ 的取值范围 ２ 由对称性 ， 只考虑一 、 四象限中的木条（ 即右侧 ， 设 最 外 侧 木 条 钢 筋 到 桌 沿 的 距 离 为 Ｌ（ 木板 ） ０． ， 桌面半 径 为 Ｒ（ ， 选 取 任 意 一 根 木 条， ３ ｍ） ０． ２ ５ ｍ） 即令 狔 ＝ 狔 犚 狔０ 犚）。 假设最外端木条向下旋 ０（
（ 西安航空学院 理学院 ， 陕西 西安 ７ ） １ ０ ０ ４ ９
摘 要： 研究创意平板折叠桌的优化设计方案 。 首先 ， 针对给定折叠桌的平 板 尺 寸 、 木条高度与折叠后桌高的情况， 对折叠桌动态变化过程 、 桌脚边缘线 、 开槽长度等问题进行研究 。 其次 ， 在已 知 桌 子 高 度 和 桌 面 直 径 的 情 况 下 ， 按照 讨论长方形平板 材 料 和 折 叠 桌 的 最 优 设 计 加 工 参 数 。 最 后 ， 将此种优化设计方案推广到一般 折叠桌的设计要求 ， 情况 。 关键词 ： 直纹曲面 ； 最优化模型 ； 优化设计 中图分类号 ： （ ） Ｏ ２ ２ １． ２ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ８ ９ ２ ３ ３ ２ ０ １ ５ ０ ３ ０ ０ ６ ５ ０ ７
其单位方向向量为 ： 犿 ） 犪， 犫， 犮 ＝（ → 狘犿狘 该木条的直线参数方程为 ：
→
狓 －犔 ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ θ 狕－犔 θ 烄 ＝ 犮 烅 犪 烆 狔 ＝狔 ０
创意平板折叠桌论文
创意平板折叠桌论文摘要随着科技的发展，平板电脑成为了许多人的首选电子设备。
为了提高平板电脑的使用便利性，我们设计了一款创意平板折叠桌。
该桌子可以方便地将平板电脑与桌面结合，提供了更加舒适的使用体验。
本文将介绍该平板折叠桌的设计原理、结构和功能，并讨论了其应用前景和市场潜力。
一、引言随着移动互联网的快速发展，平板电脑在近年来迅速普及。
平板电脑具有轻便、便携、功能强大等特点，使得它成为了许多人的首选电子设备。
然而，使用平板电脑时，人们常常会面临一个问题：没有合适的桌面。
在使用平板电脑时，往往需要将它靠在其他物品上，如书籍或枕头，这样容易导致整体不稳固、高度不合适等问题。
因此，设计一种能够方便地将平板电脑与桌面结合的平板折叠桌成为了迫切的需求。
二、设计原理基于以上需求，我们设计了一款创意平板折叠桌。
该桌子的设计原理是通过折叠结构实现平板电脑与桌面的结合，从而提供更加舒适的使用体验。
该桌子可以根据用户的需求自由调节高度和角度，使得用户可以根据自己的身体结构和使用习惯来调整桌面的角度和高度，以获得最佳的视觉和使用体验。
三、结构和功能该平板折叠桌由以下几个部分组成：桌面、支撑架和折叠连接件。
桌面可以通过折叠方式来固定平板电脑，支撑架可以调节桌面的高度和角度，折叠连接件则用于连接桌面和支撑架。
具体来说，桌面采用轻量化材料制作，如铝合金或塑料。
它具有平坦且稳固的表面，能够轻松放置平板电脑并固定住。
支撑架则由调节杆和支架组成，调节杆可以通过拉伸或扭转来调节桌面高度和角度，支架则用于支持桌面。
折叠连接件通常采用特殊的接头设计，使得桌面和支撑架可以在需要时轻松连接和分离。
该平板折叠桌的主要功能包括以下方面：1.提供稳定的桌面支撑，避免平板电脑在使用时滑动或翻倒。
2.可调节的高度和角度，使得用户可以根据自身需要和习惯来调整桌面的角度和高度。
3.折叠结构，便于携带和存储，方便用户在不同场合使用。
4.扩展功能，如增加键盘支架、充电口等，使得用户能够更加便捷地使用平板电脑。
创意平板折叠桌设计
5
1 0 −1 50 0 y 0 −50 −100 x
0 −20 z
z
−40 100 50 0 0 y −50 −100 0 y −50 −50 0 x 50
0 −20 −40 −60 50 0 y −50 −50 0 x 50
图 3: 折叠桌的动态变化过程 效横坐标的不同将导致相同位置木条的在展开后的最终位置不同。 设一共有 n = 2r/d 根木条，第 i 根木条的等效横坐标为 xi , i = 1, 2, · · · , n，长 √ 度为 ai = l − r2 − xi2 , i = 1, 2, · · · , n。这时，最外的木条的长度就不能认为是平板 长度的一半，如图5所示，设铰接线为 WZ ，则该最外木条的等效横坐标就与点 S √ 相同，所以长度应该为 a1 = l − WT = l − 于图5中的线段 WT= √ wi =
开槽长度 (cm)
3.5.2 桌脚边缘线的数学描述 由式 (4) 和式 (5) 就能够得到桌脚边缘线的参数方程 x(t) = t √ √ √ l sin θ l 2 − t2 − (l − 2 − t2 ) cos arcsin cos θ < r r r2 − t2 2 2 w ( t ) y(t) = √ √ √ l l sin θ 2 − t2 − (l − 2 − t2 ) cos(π − arcsin θ ) cos ⩾ r r r2 − t2 2 2w(t) z(t) = −(l − √ l sin θ r2 − t2 ) √ √ 2 r2 − t2 + l2 /4 − r2 − t2 l cos θ √ w(t) = r2 − t2 +
显然，各木条的开槽长度就等于桌子在展开过程中 si 的最大值。由式 (8) 可以看 出，对确定的 i，后三项都是常数，只有 wi 随 θ 的变化而变化。而 wi 对 θ 是单调 增函数，所以 si 对 θ 是单调增函数，θ 越大，si 越大。所以只需要确定出桌子展开 后的 θ，就能得到每一根木条的开槽长度。
折叠桌 作文500字
折叠桌作文500字
折叠桌，真是方便！一拉一折，轻轻松松就能收起来，家里来
客人了也不愁没地方坐。
放在阳台上，还能当个小茶几，喝喝茶，
聊聊天，多惬意啊！
别看它平时不起眼，关键时刻可是大有用处。
有次家里突然来
了好多亲戚，椅子都不够用了。
幸亏有这个折叠桌，一下子多出了
好几个座位，大家都夸这桌子好。
折叠桌的设计也挺有创意的，有的还带有小轮子，移动起来特
别方便。
就算是在户外野餐，也能轻松应对。
铺上桌布，放上食物，就是一个完美的小餐桌了。
其实，折叠桌不仅实用，还挺时尚的。
放在客厅里，跟家居风
格挺搭的。
有时候我还会在上面放几本书，当个临时的小书架，真
是物尽其用啊！
折叠桌真是家里的好帮手，简单实用又不失时尚感。
有了它，
生活都变得更加方便了！。
创意平板折叠桌设计毕业论文
-8-
图 1 三维空间坐标平面 为了描述折叠的动态效果，将第一条桌腿与 Z 轴的夹角定义为 ，表示折叠的程度， 的变化范围 为 ， [900,00] 如图 3 所示。
涉密论文按学校规定处理。
作者签名： 导师签名：
日期： 年 月 日 日期： 年 月 日
注意事项
1.设计（论文）的内容包括： 1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作） 2）原创性声明 3）中文摘要（300 字左右）、关键词 4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入） 6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论 7）参考文献 8）致谢 9）附录（对论文支持必要时） 2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于 1 万字（不包括图纸、 程序清单等），文科类论文正文字数不少于 1.2 万字。 3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。 4.文字、图表要求： 1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错 别字，不准请他人代写 2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所 有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工 程字书写，不准用徒手画 3）毕业论文须用 A4 单面打印，论文 50 页以上的双面打印 4）图表应绘制于无格子的页面上 5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档 5.装订顺序 1）设计（论文） 2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装 订
4.3 问题分析 4.3.1 桌脚直纹曲面
根据折叠桌的动态变化过程的视频材料分析，给 定长方形平板尺寸、高度和钢筋位置时，当折叠角度 变化的情况下，桌腿桌脚边缘线的变换规律，最外最 长的桌脚作为支撑点着地，其余桌脚悬空，距离中心 越近的桌脚悬空和旋转的角度越大；由于连接桌腿木 条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置固定 （30cm 处），为了能够形成折叠角度，只要设计合适
数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究
数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究随着的和进步，能够有效节省空间的创意平板折叠桌应运而生，它不仅可以满足人们对空间的需求,而且能够有效节省空间.那么,如何进行创意平板折叠桌数学模型的优化设计呢？XX数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究篇一：XXXX本文针对创意平板折叠桌的设计问题，应用几何思想,通过建立桌面半径和长度、钢筋位置相应的数学模型，描述了折叠桌的动态变化过程。
同时，对折叠桌的设计加工参数等进行了数学描述。
最后通过Lingo和Maｔlab软件编程给出了最优加工参数。
折叠桌；非线性规划模型;几何思想；Lingo和Matlaｂ软件XX随着的不断进步,城市化进程的,高楼大厦密集,城市道路八达，但是与此同时，用地紧张、生存空间拥挤等问题也接踵而来,**行**业都开始广泛关注空间的有效利用,尽可能地节省空间。
空间对于人们的生活环境在功能性和实用性上有着举足轻重的作用,它是蕴含丰富、用之不竭的宝贵**。
当然，一块木板变成一张桌子,通过对折叠桌的动态变化过程的分析与研究（如图１所示），我们需要解决以下三个问题:问题1:建立模型描述此折叠桌的动态变化过程,在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述.问题2:对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数:平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
问题3：根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。
XX1模型准备XX1．1问题分析通过观察折叠桌的动态变化过程，我们发现折叠桌的变化是一个复杂的过程,由平板到立体折叠桌的过程中主要与折叠桌的条数、木条的长度、桌面距离地面的高度、**木条折叠的角度、开槽长度、**木条折叠角度变化的范围、钢筋位置等有关。
同时,又要考虑到加工过程所造成的误差，模型建立过程理想化部分对折叠过程中的影响,以及折叠桌轻巧方便、美观**、加工方便、用材最少、稳固性好、功能性强的特点.分析折叠桌结构可以发现:在折叠桌打开的过程中，随着最外侧的桌腿与地面夹角的不断变化,每根桌腿与地面之间的角度也都发生了改变，通过它们之间的变化关系,可以写出相关方程式并建立非线性规划数学模型对折叠桌的动态变化过程加以描述。
创意平板折叠桌(二等奖)
二 问题分析
针对问题一，要描述折叠桌的动态变化过程，只需描述桌脚的运动方程。以桌面圆 心为坐标轴的原点，以垂直于木条方向为x轴，平行于木条方向为y轴，垂直于桌面为z 轴，建立三维直角坐标系。折叠桌从平摊状态变成一个稳定的桌子的过程中，每根木条 都在竖直平面内做圆周运动，且最外侧木条与水平面的夹角 q 从0逐渐增大，直到达到 稳定。在变化的过程中，桌脚的坐标 (x , y, z ) 随之发生变化，由此可得到 x , y, z 与 x , q 的函 数表达式，即桌脚的运动方程。 每根木条的宽为2.5 cm，长方形平板的宽为50 cm，不考虑木条与木条之间的间隙， 则每侧共有20根木条，这20根木条的桌脚构成了桌脚边缘线，在变化时，桌脚的坐标 (x , y, z ) 也发生变化，则桌脚边缘线也随之发生变化。现研究折叠桌达到稳定状态时的桌 脚边缘线，可以求出此状态下 q 的值，代入到桌脚运动方程中，可以得到 x , y, z 与 q 的函 数关系表达式，即稳定状态下桌脚边缘线的数学描述。 当木板平摊时， q = 0 ，此时钢筋在木条开槽的顶端。 q 在发生变化时，钢筋从木 条开槽的顶端向底端移动，当桌子处于稳定状态时，钢筋到达木条开槽的底端， q 达到 最大值。 在此过程中， 钢筋与木条交接点到木条与桌面圆交接点的距离 l1 由小到大变化， 最大值与最小值的差值即为钢筋所走的距离，即木条开槽的长度。由以上分析得到木条 开槽长度方程，代入每根木条的 x 坐标，即可得到每根木条的开槽长度。 针对问题二，给定折叠桌的桌高为70cm，桌面直径为80cm，在保证折叠桌稳固性 好，加工方便，用材最少的前提下，确定平板尺寸，钢筋位置，开槽长度的最优设计加 工参数。要使折叠桌稳固性好，只需要使最外侧两根木条桌脚之间的距离大于或等于圆 形桌面的直径即可。为使加工方便，要求木条宽度的选择不能太大或太小，太大，开槽
一种自定义桌面形状平板折叠桌
一种自定义桌面形状平板折叠桌摘要：本文设计一种可以自定义桌面形状的平板折叠桌，并对折叠桌的加工参数进行设计并计算，通过受力分析，对桌面平板折叠桌的稳定性进行评价。
关键词：平板折叠桌；加工参数基金项目：本文系重庆交通大学大学生创新创业计划项目成果，项目代码201510618019。
随着人们物质生活水平提高，实用性不再是人们对商品的唯一要求，人们对生活质量的要求越来越多的往个性独立自主的方向房展，本文提出一种自定义桌面形状的平板折叠桌。
考虑稳固性好，加工方便，用材最少时的最优设计加工参数，建立多目标优化模型。
考虑实用性，将产品稳固性作为优先考虑优化目标，将其分解为三个单目标优化问题。
考虑稳固性，运用工程力学的方法从竖直和水平方向对桌腿进行受力分析，可以确定约束条件；在此约束条件下用微元法使得凹槽总长度最短，确定钢筋的位置，借助桌脚边缘拟合模型，得到最优设计加工参数。
对单木条来说，凹槽的长度由钢筋打孔的位置唯一确定，下面简单说明：桌腿与地面角度，在地面摩擦系数确定时是唯一确定的，假设为，圆桌半径设为r，钢筋打孔位置为桌腿Ow中的某一点，q是圆桌面边缘上的某一条桌腿Q的切割位置。
由上图可知，平板状态时，钢筋位置在p'处，是桌腿Q 上凹槽的近桌点；折叠成桌时，桌腿Q凹槽的近桌点在p''，桌腿Q上凹槽的远桌点应与钢筋位置p重合，因而凹槽长度为。
有了上面的结论，接下来只需要确定钢筋打孔位置p的坐标，或是p在桌腿Ow上的区间，就可以得到凹槽的长度。
RL为最短的桌腿，以为半径做圆，该圆必须与桌腿Ow 至少有一个交点才能保证凹槽开在桌腿RL的长度范围限度内，平板时钢筋打孔位置不能穿过桌面，所以钢筋打孔位置应在桌腿Ow上R点以外，所以如上图所示，钢筋打孔位置的有效区间为ab段。
用余弦定理不难求得a，b点的坐标：对用材最少的目标优化，建立在稳定性最优且凹槽总长度最短的前提下，在稳定性最优时，唯一确定一个角度，在桌面高度H一定的情形下，可唯一确定木板的长度，故稳定性最优的同时也确定用材最少。
创意平板折叠桌优化设计
创意平板折叠桌优化设计刘睿;张蒙;张政【摘要】This paper studies the optimization design scheme of creative flat folding table .At first ,if the plate size ,wood height and table height after folding are given ,we study dynamic change process ,edge‐line of table‐foot and slot length of the table .Then ,when the height and diameter of table are given ,we study the optimal design of machining parameters of the flat‐plate and table .At last ,the optimization de‐sign scheme is generalized .%研究创意平板折叠桌的优化设计方案。
首先，针对给定折叠桌的平板尺寸、木条高度与折叠后桌高的情况，对折叠桌动态变化过程、桌脚边缘线、开槽长度等问题进行研究。
其次，在已知桌子高度和桌面直径的情况下，按照折叠桌的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。
最后，将此种优化设计方案推广到一般情况。
【期刊名称】《西安航空技术高等专科学校学报》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】7页(P65-71)【关键词】直纹曲面;最优化模型;优化设计【作者】刘睿;张蒙;张政【作者单位】西安航空学院理学院，陕西西安710049;西安航空学院理学院，陕西西安710049;西安航空学院理学院，陕西西安710049【正文语种】中文【中图分类】O221.2创意平板折叠桌，其桌腿由若干根木条组成，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。
创意折叠桌优化设计
创意折叠桌优化设计摘要：创意折叠桌因其外形美观，节省空间，受到了人们的一致认可。
本文利用空间几何知识对其设计原理进行分析，并以人力、物力两方面的消耗为优化条件，以整体稳定性、相对桌腿不相交两个方面为约束条件，建立多目标优化模型，得出最优加工参数。
从而达到节省材料的目的。
关键词：空间几何勾股定理多元线性规划1 引言国外注重针对折叠思想的理论研宄，俄国学者G.S.Altshuller及其同事于1946年提出运用发明问题解决理论指导折叠家具的设计, 有助于设计出符合消费者需求并且具有市场竞争力的产品[1]。
在我国对于折叠结构的研究涉及到各科领域,主要是研宄其几何性能、力学性能和荷载强度等方面。
张福昌及张寒凝[2]于2002年初歩论述了折叠的概念、折叠家具的优点和类型。
张煌[3]于2009年从现代设计方法以及美学、技术和工艺的角度揭示了折叠设计与人性化设计思想绿色设计原则之间的内在联系.林舒瑶及徐燕君[4]于2014年利用现代装饰理论探索如何使折叠家具在满足折叠结构的基础上附加其他的功能,以期达到家具产品在空间中的高效使用。
2 几何动态模型的建立与求解2.1模型建立首先通过空间几何知识将折叠桌抽象为简单的数学图形，将整个动态过程简化为初末两个静态过程，分析这两个过程中的几何原理及几何关系，进而算出桌腿木条开槽的长度。
由此，我们从“钢筋条在每个桌腿上的位置(铰链点到钢筋条距离)”、“每个桌腿与桌平面夹角的”、“桌腿末端水平面至桌面的距离”以及“第条桌腿的垂直投影长度”四个方面描述桌腿的变化过程。
为研究方便，以最外侧桌腿为参照，分析桌腿的初末态，得到第条桌腿其变化规律随最外侧桌腿的变化规律如下:①钢筋条在第条桌腿上的位置：2.2模型求解根据以上公式，可计算出第条桌腿上从铰链点到钢筋条的距离，同时也就得到了钢筋条终点位置距离第条桌腿末端的距离，开槽长度。
结果得出钢筋条终点位置距离桌腿末端的距离范围为(8.2,26.1),开槽长度范围为(0,17.9)。
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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：数模教练组日期：2014 年9 月12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌摘要本文对创意平板折叠桌的折叠过程进行研究，用数学模型描述折叠桌的相关设计参数及其动态变化，用非线性优化模型确定最优设计参数，并给出折叠桌设计的程序。
问题一中，要求桌腿开槽的长度和桌脚边缘线。
在整个变化过程中所有桌腿都由钢筋相连，且各桌腿与桌面连接点的相对位置不变。
根据几何关系，由折叠后钢筋的位置及每根桌腿的长度即可计算每个桌脚边缘的位置。
求出桌脚边缘的参数方程即可描绘桌脚边缘线。
在折叠过程中，以桌高为参数，就可以描绘动态变化过程。
分析发现，铺展时钢筋位于开槽的顶部，折叠时则位于底部。
因此可由初末两个状态的钢筋与桌脚边缘距离之差计算开槽长度。
结果是，从外到内桌脚槽宽依次为：0, 8.4, 11.5, 14.1, 16.2, 17.9, 19.3, 20.3, 21.0, 21.3 （单位：cm）。
问题二只给定了桌面面积与桌高，需自主确定桌腿长与钢筋位置。
本文从三个方面来决定桌子具体形状：是否节约材料、稳固性、加工难易。
分析发现桌腿越长用材越多，但稳固性越好。
而开槽长度越短则加工越容易。
由力学分析得桌子受压后不会变形的前提是最中间桌腿与桌面的夹角小于90度，即向内“凹”。
为求得最优方案，本文采用非线性规划的方法，利用桌面面积和底面积建立目标函数，根据几何关系寻找约束条件，考虑实际赋予桌面与桌脚接触面积权值。
用Lingo软件求得最优解。
结果是桌脚接触面为正方形时达到最优。
桌腿长度确定后，通过考察不同钢筋位置所形成的开槽长度来确定合适的钢筋位置。
其中，槽长须为正且不超过相应的桌腿长。
据此可以确定一个范围，再根据槽长越短加工越易的原则确定最优钢筋位置。
问题三由用户自由选择桌高、桌面形状与桌角线大致形状。
本文提供一种简单的思路使得能够尽量满足客户的任意组合。
确定桌子形状后参照第二问的标准确定桌腿长与钢筋位置。
本文的程序利用第一问描述的几何关系描绘图案并计算加工参数。
在最后本文设计了椭圆型桌面及心形桌面的桌子并描绘折叠过程的示意图。
关键字：数学模型非线性规划加工参数边缘线设计优化一、问题的重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。
桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。
桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。
附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。
试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为50 1 3 20c c m cm m ⨯⨯，每根木条宽2.5cm ，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm 。
试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。
2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。
对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
对于桌高70cm ，桌面直径80cm 的情形，确定最优设计加工参数。
3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。
你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。
要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
二、问题分析第一问所有参数都已给定，该问就变成了纯几何分析问题。
首先注意到几个特征：桌腿的长度不变，桌腿与桌面连接处不变，同侧所有桌腿由不可弯曲的钢筋连接，平铺时所有桌脚成一条直线。
对于桌子折叠时的静止状态，每一根桌腿可看作是最外侧桌腿沿钢筋平行旋转而成。
建立空间直角坐标系，根据桌腿与桌面及钢筋接触的两点可确定桌腿的直线方程，再由每根桌腿的长度即可确定桌脚的坐标，依次连接即成桌脚线。
对于桌腿开槽长度，分析发现桌子平铺时钢筋位于槽靠近桌面的顶端，而折叠时位于靠近桌脚的顶端。
由此，计算两个状态下钢筋与桌脚距离之差即可得每根桌腿开槽长度。
对于桌子折叠的过程，取桌面离地面高度为变量，每确定一个桌高即用上述方法进行分析计算。
由此可得到桌子在折叠过程中各参数的变化。
问题二给定了桌面面积与桌高，需要确定的是腿长与钢筋位置。
由此可确定第二问是一个求最优解的问题。
制作桌子要考虑三方面因素：是否节省材料、稳固性、加工难易。
分析发现最外侧桌脚越长越费材料，但由于增加了底面积而增加了稳固性。
另由力学分析得桌子在受压后不会恢复原状的必要条件是每侧最中间的桌腿与桌面的夹角小于90度，即向内“凹”。
这样桌子受压时外侧桌腿向外的趋势与中间桌腿向内的趋势可通过钢筋抵消，从而使桌子具备抗压能力。
钢筋的位置会影响桌腿开槽长度。
槽的长度又有限制条件，即须为正数且小于所在桌腿长。
其它的限制条件有：平铺时钢筋的位置须在最短桌腿范围内；折叠时以两侧中间向内的桌腿相碰为极限状态。
该问难点在于如何建立一个优化模型以求得最优解。
本文以材料总面积大小作为节省材料的评判标准，以桌脚与地面形成的底面积大小评判其稳固性。
以两者的加权差作为优化的目标函数。
考虑实际确定权值后利用Lingo计算出最优解。
考虑了前两个因素后考虑加工难易。
以开槽长短作为加工难易的标准。
考察不同钢筋位置时桌腿开槽长度，在约束范围内选取最优的槽长。
问题三需要满足客户提出的需求以设计桌子。
在设计时需要全面考虑所有限制因素，并选择最优方案。
沿用第一问的计算方法及第二问的优化模型，根据客户给出的桌面形状、桌高及桌角线形状计算桌腿长、钢筋位置以及桌腿开槽长度等加工参数。
应用前两问的程序，改动桌面边缘线的方程，输入客户给定的参数，即可绘图并得出最优的加工参数。
在最后本文给出了两例分别以椭圆形与心形作为桌面形状。
三、模型假设1.假设桌子的材料和钢筋足够坚固，能承受桌子上物体的压力不会断裂；2.计算时桌脚接触面为xoy平面，z轴穿过桌面中心，桌子关于y轴对称。
四、变量说明五、模型的建立与求解5.1问题一的求解如图1建立空间直角坐标系图1 桌子的坐标示意图最外侧四个桌脚均落在xoy 平面内，桌子的圆心在z 轴上，且整个桌子关于x y 、轴对称。
所有桌腿都平行于zoy 平面。
其侧视图为图2 折叠后的桌子侧面示意图设圆桌面边缘上任意点A （,,x y h ），钢筋固定点P (,,22b h x ),桌脚边缘点 B （00,,z x y ）。
桌面长度为2a ，则桌脚长度为l a y =-。
桌子折叠后，钢筋相对于每一根桌腿的位置就确定了，因此每一根桌脚必然经过A 、P 、B 三点。
可以利用几何关系求出所需加工参数。
过P 作桌面的垂线，垂足为(,,)2b F x h ，则2AFP π∠=。
则0sin PF AP θ=,0cos AF AP θ=， 其中2b AF y =-，2h PF =，AP =00cos sin b y θθ⎧-⎪=⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎪⎩ ()1 点A (,,x y h )满足22225x y z h⎧+=⎨=⎩ ()2 过B 作桌面的垂线，使垂足为G ，根据两个相似三角形的关系得到桌脚点的坐标00000()cos z 2()sin x x y y a y h a y θθ=⎧⎪=+-⎨⎪=--⎩ ()3由于x = ()4 则 000,,z x y 均可以用参数 x 来表示。
因为 a 已知，而b =所以折叠桌子的动态变化过程即是随着 h 变化，桌脚边缘线的变化过程。
由于桌子的高度为 53cm ，桌子厚度为 3cm ，则桌脚的高度为 50cm 。
由60,50,a cm h cm b ==，利用matlab 作图得图3 桌子折叠后桌子边缘线的坐标图当桌子平铺为一张木板时，每根桌腿的槽的上沿位于同一条直线，即M 点均在桌子长的14处。
故2aMB =，所以槽的宽度MN MB NB =-。
桌子折叠后后NB 的距离即为图1中PB 的长度。
图4 木板上的槽宽示意图利用两点间距离公式得2200h (z )()22N y B b-+-= ()52200h (z )()222a bN y M -+-=- ()6 利用matlab 作图，得到槽长关于x 的变化曲线图5 不同桌脚的槽的长度示意图由图可以看出两侧的桌脚槽长为零，越中间的桌脚槽长越长。
从一侧到中央的十根桌脚槽宽依次为：表1 各桌腿的开槽长度桌脚序号（从外到里）槽的长度(cm)第 1根 0 第2根 8.4015 第 3根 11.5360 第 4根 14.1148 第5根 16.2456 第 6根 17.9768 第7根19.33645.2最优化模型与问题二的求解：5.2.1 该问分两部走，首先确定最外侧桌腿长，其次确定钢筋位置。
折叠桌的最外侧桌腿长度决定了长方形木板的长，从而决定长方形木板的面积，面积越少，所用材料就越少，于是通过建立最外侧桌腿长与面积的关系反映用材量。
四个桌脚在地面围成长方形，根据物理常识，四个桌脚所围成的面越大，重心越不易落到接触面之外，桌子就越稳固。
以木板总面积与桌脚形成矩形面积之差为目标函数，根据几何关系得出约束条件，对腿长的选择进行优化。
长方形木板面积122sin θ=hS R()7 四个桌脚形成的面积222tan θ=hS R()8 圆桌面的面积23S R π= ()9当230.65S S ≤时，这样的桌子被称为独脚桌，不稳定[1] 所以230.65S S ≥ ()10图6 折叠后桌子的侧视图因为 OC=h ,CD=R , 而最内侧的桌脚最多碰地，所以CE CD OD ≤+, 即22sin hh R R θ<+ ()11则可建立有约束条件的优化模型1122min S S λλ=-23sin .0.65s t S S θ⎧>⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩对于厂商来说，节约成本很重要，所以取122313λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()12代入数据 70h cm =，40R cm =。