奇偶分析
第十三讲(奇偶分析)
第十三讲 构造与论证之奇偶分析一、奇偶数运算规律1、加减法中：看奇数个数奇数个数是奇数个，结果为奇；反之为偶2、乘法中：有偶则偶乘数中只要有一个偶数，则结果为偶；若要乘积结果是奇数，则乘数必须都是奇数。
3、有限个数，无论怎样填加减号，结果的奇偶性不变。
如：你能每两个数之间填“+”或“-”，使等式成立吗？5 4 3 2 1=2答案：不能。
左边有3个奇数，无论怎么填加减号，结果都是奇数，不可能得2。
二、构造与论证1、判断不能（80%的论证题都是不能）思路一：直接论证不能思路二：当直接论证不好说清楚时，不妨尝试反证法。
第一步：假设反面结论成立第二步：根据假设得到一个结论第三步：根据题目条件得到一个相反的结论第四步：由两个结论矛盾，得到假设不成立，即证明了正面结论。
2、判断能注意：证明出可能性后，一定要构造出一个例子才完整。
三、例题讲解连环画 任意改变某一个三位数的各个数字的顺序得到一个新的数，求出所有使得新数和原数相加等于999的数。
分析：同学们遇到这类数论的题，可以多借用数字谜的形式帮自己直观地找到更多的条件。
□□□+ □□□9 9 9从个位分析开始，可知每位上都没有进位，也就是每位上的两个数相加都等于9。
这个时候很多同学去尝试发现根本不可能。
但怎么说明好呢？直接论证不清楚就用反证法试试！证明：设原数为abc,设改变其各位数字顺序后得到的新数为a′b′c′假设原数与新数之和为999，因为每位都不会进位，则有a+a′=9，b+b′=9,c+c′=9又因为a′,b′,c′是a,b,c调换顺序得到的，所以a+b+c=a′+b′+c′所以a+a′+b+b′+c+c′=9+9+9=27即2（a+b+c）=27矛盾，所以假设不成立。
所以没有这样的数。
例1：在a、b、c三个数中，有一个是2003，一个是2005，问（a-1）（b-2）（c-3）是奇数还是偶数？方法一：∵ a,b,c中有两个奇数∴ a,c中至少有一个是奇数∴ a-1，c-3中至少有一个是偶数又∵ 偶数×整数=偶数，∴ （a-1）（b-2）（c-3）是偶数。
七年级奇偶性分析知识点
七年级奇偶性分析知识点奇偶性是初中数学中比较重要的知识点之一，对于初学者来说，掌握奇偶性分析方法可以有效提高解题能力。
本文将针对七年级学生的奇偶性分析知识点进行讲解。
1. 奇偶性的定义奇数是指不能被2整除的整数，例如1、3、5、7等。
偶数是指能被2整除的整数，例如0、2、4、6等。
通过对奇数和偶数的定义，我们可以将所有整数分为奇数和偶数两类。
2. 奇偶性的性质(1) 奇数加偶数等于奇数，偶数加偶数等于偶数。
例如：3 + 6 = 9，9是奇数；4 + 6 = 10，10是偶数。
(2) 奇数乘偶数等于偶数，奇数乘奇数等于奇数，偶数乘偶数等于偶数。
例如：3 × 4 = 12，12是偶数；3 × 5 = 15，15是奇数；4 × 6 = 24，24是偶数。
(3) 任何数和偶数的倍数具有相同的奇偶性。
例如：5、7、9和20、22、24具有相同的奇偶性，因为它们和2的倍数具有相同的奇偶性。
(4) 任何数和一起的奇数的和与偶数的和具有相同的奇偶性。
例如：3 + 7 = 10，10是偶数；2 + 4 + 6 = 12，12是偶数。
3. 奇偶性在运算中的应用(1) 奇偶性在加减法中的应用在加减法中，我们可以通过判断加减数的奇偶性来判断其和的奇偶性。
例如：2 + 3 = 5，5是奇数；3 - 1 = 2，2是偶数。
(2) 奇偶性在乘法中的应用在乘法中，我们可以通过判断相乘数的奇偶性来判断其积的奇偶性。
例如：2 × 6 = 12，12是偶数；3 × 5 = 15，15是奇数。
(3) 奇偶性在除法中的应用在除法中，我们需要注意，偶数不能与奇数相除，但奇数可以与偶数相除。
当奇数与偶数相除时，得到的商为奇数。
例如：8 ÷ 4 = 2，2是偶数；7 ÷ 2 = 3余1，3是奇数。
4. 奇偶性在解题中的应用(1) 整除关系对于一个数x，若x能够整除2n，则x为偶数；若x不能整除2n，则x为奇数。
高中数学函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析
函数奇偶性知识点归纳考点分析及经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；3、可逆性：是偶函数；奇函数；4、等价性：；；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ） 偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数。
()f x x ()()f x f x -=()f x ()f x x ()()f x f x -=-()f x x )()(x f x f =-⇔)(x f )()(x f x f -=-⇔)(x f )()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f y y y即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ） 奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
小学数学-奇偶性分析
练一练
1，最少去掉几条线，右图就没有奇点了？ A、3 B、2 C、1
2，最少去掉几条线，右图就可以一笔画成了？ A、0 B、1 C、2
3，添加1条线，使右图能一笔画成。
你能不重复的走遍每座桥么？
A
A 岛
C 岛
D 岛
C
D
B 岛
C
岛看成点，桥看成线 路口看成点，路看成线
1，在一个公园里，有4个小岛，它们之间共有6座桥，如果游客 想一次不重复地走完所有的桥，应该从哪个岛出发？ A、岛A或岛B B、岛D C、岛B或岛C D、岛C或岛D
5882-3474=
The end
谢谢大家！
＋ 偶数 ＝ 偶数
……
4＋2＝6
奇数 ＋ 奇数 ＝ 偶数 5＋3＝8
奇数 ＋ 偶数
……
＝ 奇数
3＋2＝5
练一练
1，4735－2457的结果是奇数，还是偶数？
A、奇数
B、偶数
2，豆豆和乐乐都有奇数块糖果。那么，他俩糖
果的总数可能是多少？
A、40
B、45 C、87 D、99
奇偶分析的捣蛋鬼大法：
偶数±偶数＝偶数 4 ＋ 2＝ 6 4 － 2＝ 2
2，下面是某个小区的平面图，你能不重复的走完所有街道呢? A、能 B、不能
05
减法的万能计算法
减法的万能计算法 ：
口诀：1，后位上小下大少写1。 2，后位上下相等隔位看。 3，后位上大下小写原数。
计算： 758-579=
943-348=
7946-4285=
7888-2649=
3984-3889=
奇偶性简单应用
987654321
9876543210
大毛的日程安排表：
奇偶分析
奇偶分析法
【知识要点】
通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，…是奇数，0，±2，±4，±6，…是偶数．
用整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表示为2k的形式，其中k 是整数．
奇数和偶数有以下基本性质：
性质1奇数≠偶数．
性质2奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．
性质3奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．
性质4奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．性质5若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．
性质6如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．
性质7如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．
性质8两个整数的和与差的奇偶性相同．
性质9 奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数.。
奇偶性的相关分析方法
奇偶性的相关分析方法什么是奇偶性？在数学中，奇数是无法被2整除的整数，而偶数则是可以被2整除的整数。
奇偶性在数学中非常重要，因为它在很多问题的解决中起到了至关重要的作用。
本文将介绍奇偶性的相关分析方法，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、奇偶性的一些基本性质首先，奇偶性具有很多基本性质。
例如，两个偶数相加得到的结果仍然是偶数，两个奇数相加得到的结果仍然是奇数。
而且，一个奇数和一个偶数相加得到的结果一定是奇数。
另外，任何整数都可以表示为奇数或偶数的和。
二、奇偶性在数论中的应用奇偶性在数论中非常重要，因为它可以用于解决一些重要的问题。
例如，在质数的研究中，我们可以证明一个数是否为质数，只需要检查它是不是偶数，然后只需要用奇数去除它，如果有一个奇数能够整除它，那么它一定不是质数。
因此，这就可以大大减少判断是否为质数的时间。
另外，在奇数幂的研究中，奇偶性也得到了广泛的应用。
例如，我们可以证明一个正整数的k次方是奇数的充分必要条件是该正整数本身是奇数。
三、奇偶性在离散数学中的应用在离散数学中，奇偶性也是一个非常重要的概念。
例如，在图论中，我们可以用奇偶性来判断一个图是否是欧拉图。
欧拉图是指一个无向图中，如果存在一条路径，经过每个顶点正好一次，那么这个图就是欧拉图。
我们可以证明，一个无向图是欧拉图的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数。
另外，在组合数学中，奇偶性也得到了广泛的应用。
例如，在计算到一个组合问题的方案数时，我们可以通过考虑各种组合的奇偶性来方便地确定方案数是否是偶数。
四、奇偶性在计算机科学中的应用奇偶性在计算机科学中也得到了广泛的应用。
例如，在计算机的二进制表示中，一个二进制数是否是偶数只需要检查最后一位是否是0。
如果是0，那么它是偶数；如果是1，那么它是奇数。
另外，在计算机算法的设计中，奇偶性也是一个非常重要的概念。
例如，在某些加密算法的设计中，我们可以用奇偶性来抵御攻击者对密钥的猜测。
综上所述，奇偶性是一个非常重要的概念，在数学、离散数学、计算机科学等领域都具有广泛的应用。
1.奇偶分析
专题：奇偶分析知识纵横：整数可以分为奇数和偶数，一个整数要么是奇数，要么是偶数，是奇数就不是偶数，是偶数就不能是奇数，因此奇偶性是一个整数的固有属性，即奇数不等于偶数。
运用奇偶分析解题，常常要用到奇数和偶数的基本性质：()()()()()都有相同的奇偶性。
是整数，则设有相同的奇偶性；与是整数，则若是偶数。
，偶数与任意整数之积若干个奇数之积是奇数偶数；数，若干个偶数的和是，偶数个奇数的和是偶奇数个奇数的和是奇数偶数；偶数奇数；偶数偶数偶数；奇数奇数奇数偶数；奇数b a b a b a b a b a a a a a a n -+-+-=±=±=±≠,,,,5,,4321例1： ，求这三个质数。
三个质数之和是86例2：中有几个整数。
是三个任意整数，问如果2,2,2,,c a c b b a c b a +++例3：正整数是多少？些和中最小的”号，然后相加，问这”或“之前任意添上“，，，，在-+1998321例4：()()()()是一个偶数。
求证：的任一排列为，，，，设9321.,,,93219321921----a a a a a a a例5：的倍数。
是求证：，，并且或都是已知4011,,,,11433221321n x x x x x x x x x x x x x x n n n n =+++++-+-例6：是什么数。
若按奇偶分类，则19993211999321++++例7：数的数共有多少个？个数中，十位数字为奇这9595,,3,2,12222例8：是多少。
两整数平方差的的个数个自然数，能够表示成共，，，，9898321例9：说明理由。
解；如果没有，？如果有，求出方程的和的整数解是否有满足方程y x y x 199822=-例10：的值。
，求满足已知三个质数a c c b b a abc c b a c b a -+-+-=+++99,,例11：各是多少。
最小质数，那么满足上述条件的都是质数，且已知q p q p pq q p ,401,,>-+例12：几盏是开的。
函数的奇偶性与对称性分析
函数的奇偶性与对称性分析在数学领域中，函数的奇偶性以及对称性是重要的概念。
通过分析函数的奇偶性和对称性，我们可以推导出函数的性质和特点，进而解决一些相关的问题。
本文将介绍函数的奇偶性和对称性，并讨论它们对函数图像、奇偶函数的性质以及对称轴的位置等方面的影响。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的性质，即在自变量取相反数时，函数的值是否相等。
如果函数满足$f(-x) = f(x)$，则称该函数为偶函数；如果函数满足$f(-x) = -f(x)$，则称该函数为奇函数。
1. 奇函数的性质奇函数具有以下性质：- 奇函数在原点处对称，即图像关于原点对称。
- 当函数的定义域包含原点时，奇函数的值为零$f(0)=0$。
- 奇函数的图像在第一象限和第三象限中对称，即对于任意$x>0$，有$f(x)=-f(-x)$。
2. 偶函数的性质偶函数具有以下性质：- 偶函数在y轴上对称，即图像关于y轴对称。
- 当函数的定义域包含原点时，偶函数的值为零$f(0)=0$。
- 偶函数的图像在第一象限和第二象限中对称，即对于任意$x>0$，有$f(x)=f(-x)$。
二、函数的对称性函数的对称性是指函数的图像相对于某个轴线或点具有对称关系。
1. 关于y轴的对称性如果函数满足$f(-x) = f(x)$，则函数的图像关于y轴对称。
在坐标系中，可以通过将x坐标取相反数，观察函数值是否相等来判断函数是否关于y轴对称。
2. 关于x轴的对称性如果函数满足$f(x) = f(-x)$，则函数的图像关于x轴对称。
在坐标系中，可以通过将y坐标取相反数，观察函数值是否相等来判断函数是否关于x轴对称。
3. 关于原点的对称性如果函数满足$f(-x) = -f(x)$，则函数的图像关于原点对称。
在坐标系中，可以通过将x和y坐标取相反数，观察函数值是否相等来判断函数是否关于原点对称。
三、函数图像的绘制1. 偶函数的图像对于偶函数，可以仅绘制一侧的图像，然后通过关于y轴的对称性得到整个图像。
奇偶分析
奇偶分析我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。
被2除余1的属于一类，被2整除的属于另一类。
前一类中的数叫做奇数，后一类中的数叫做偶数。
关于奇偶数有一些特殊性质，比如，奇数≠偶数，奇数个奇数之和是奇数等。
灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题。
用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析，善于运用奇偶分析，往往有意想不到的效果。
例1 下表中有15个数，选出5个数，使它们的和等于30，你能做到吗？为什么？分析与解：如果一个一个去找、去试、去算，那就太费事了。
因为无论你选择哪5个数，它们的和总不等于30，而且你还不敢马上断言这是做不到的。
最简单的方法是利用奇偶数的性质来解，因为奇数个奇数之和仍是奇数，表中15个数全是奇数，所以要想从中找出5个使它们的和为偶数，是不可能的。
例2 小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。
小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。
试问，小丽所加得的和数能否为2000？解：不能。
由于每一张上的两数之和都为奇数，而25个奇数之和为奇数，故不可能为2000。
说明：“相邻两个自然数的和一定是奇数”，这条性质几乎是显然的，但在解题过程中，能有意识地运用它却不容易做到，这要靠同学们多练习、多总结。
例3 有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。
试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。
解：不能。
如果可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2倍，是个偶数。
所以这98个号码数的总和是个偶数，但是这98个数的总和为1+2+…+98=99×49，是个奇数，矛盾！所以不能按要求排成。
例 4 如右图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
奇偶分析
n
n
为偶数，不妨设 i 2ki i ' , i 2li i ' 其中 i ' ， i ' 为奇数，取
c min{k1 , k2 , , kn , l1 , l2 , ln } ，在（1）式两端同时除以 2c ，则至少一个 i ， i 变成
( Ai Ai 1 ) 2 ( xi xi 1 ) 2 ( yi yi 1 ) 2 常数
记 i xi 1 xi , i yi yi 1 , xn 1 x1 , yn 1 y1 则 i i 0 ，（1）若所有 i i
解：假设这样的排列存在，则排完之后共占了3972个位置，按从左到右为其编号。 对于每个 i (1 i 1986) ，设两个i在排列中所对应的号码分别为 ai 和 bi （ bi ai ）， 据题意，有：
bi ai i 1, 即 bi ai 2ai 1 i ，对该式进行求和，得到：
bi a i 201 ， bi 为偶数。∵
a
i 1
100
i
201 b1 201 b2 201 bk a k 1 a100 10080
∴ 201k 2b1 bk 2 4 6 200 10080 ， ∴ 201k 2 bi 0mod 4 ，即 4 | k 。
a1 , a 2 , a 9 是正整数，任意改变这 9 个数的顺序后记为 b1 , b2 , , b9 ，求证： A a1 b1 a 2 b2 a 9 b9 为偶数。
证明：（解法一）若 A 为奇数，那么 a1 b1 , a 9 b9 全部为奇数。所以 a1 , b1 , a 9 , b9 的奇偶性相反，所以 a1 , a 2 , a 9 中奇数的个数等于偶数的个数，矛盾。 （解法二）若 a1 b1 , a 9 b9 全部为奇数，由于 a1 b1 a 9 b9 0 ， 奇数个奇数数和等于 0 ，矛盾。 5.
五年级上册第6讲 奇偶分析
规律二：
偶＋偶﹦偶
偶 偶﹣偶﹦
奇＋偶﹦奇
奇 奇﹣偶﹦
奇＋奇﹦偶
偶﹣偶﹦偶
两个数的和与差奇偶性相同
规律三：
奇×奇﹦ 奇 偶×偶﹦ 偶 奇×偶﹦ 偶
所有乘积的奇偶性是由是否存在偶数决定的。
【典型例题】 奇数个奇数的和差是奇数 偶数个奇数的和差是偶数
例1：判断下列各算式结果的奇偶性： （1）32387＋209486＋3024＋39485＋209777＋5933＋59289＋875798 （ 奇)数
（1）因为1×2,2×3，3×4，…99×100的结果都是偶数，而无论多少个偶 数的和都是偶数，所以（1）题的结果是偶数。
（2）因为1×3,3×5，5×7，…99×101的结果都是奇数， 99÷2=49个……1个 奇数个数： 49+1=50个
因为50是偶数，所以和是偶数。
【典型例题】
例5： （1）有2015个自然数的和是偶数，那么它们的乘积是奇数还是偶数？（偶 ）数 （2）有2016个自然数的和是奇数，那么它们的乘积是奇数还是偶数？（ 偶 ）数
（2）25465＋23523﹣12535＋41245﹣68544＋35366﹣11198 （ 偶）数
（3）48735×73527×98321×84729 （奇 ）数 （偶 ）数
（4）1287×9475×7384×7583×791×7839
（5）阿呆心里想了2个自然数，他告诉阿瓜这两个数相加的和为38795，请阿瓜猜猜这 2个数的差可能是：（A ） A、83 B、642 C、3456 D、12468 阿瓜想来很久还是愁眉不展，你能帮帮他吗？
1．⑴从第一个圆中，任意取出两个数相加，和是＝（ ）。（奇数，偶数） 偶数 ⑵从第二个圆中，任意取出两个数相加，和是＝（ ） 。（奇数，偶数） 偶数 ⑶任意写出两个偶数，它们的和是＝（ ）， 。（奇数，偶数） 偶数 ⑷任意写出两个奇数，它们的和是＝（ ）， 。（奇数，偶数） 偶数 结论：偶数＋偶数＝（ ），奇数＋奇数＝（ ）。 偶数 偶数 ⑸从第一个圆和第二个圆中分别取出一个数相加，和是＝（ ） 。（奇数，偶数） 奇数 结论：偶数＋奇数＝（ ），偶数－奇数＝（ ）。 奇数 奇数
奇偶分析法
第六节奇偶分析法内容讲解整数按能否被2整除分为奇数和偶数两大类，除奇偶数的最基本性质以处，•我们还应掌握以下性质：①设a，b为整数，则a与a n的奇偶性相同：a+b，a-b的奇偶性相同．②若m为整数，a为奇数，则m±a的奇偶性与m相反．若m为整数，b为偶数，•则m±b的奇偶性与m 相同．③若m是整数，a为奇数，则ma的奇偶性与m相同．例题剖析例1下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12•个整数中至少有几个偶数？□＋□＝□，□－□＝□，□×□＝□，□÷□＝□．分析：由于本题所涉及的奇数与偶数的和（差）或积（商），故可应用奇偶数的基本性质求解．解：根据条件和奇偶数的基本性质知，加法和减法中至少有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有两个偶数，故这12个整数中至少有6个偶数．评注：在解此题时，要注意将和与差，积与商并在一起共同研究．例2 在1，2，3，…，2007，2008的每一个数前，任意添上一个正号或负号，•试判断它们的代数和是奇数还是偶数？分析：由于任意添“＋”或“－”号，形式多样，因此不可能一一尝试再作解答，但可从1+2=3，2-1=1；3+4=7，4-3=1…．•可见两个整数之与这两个整数之差的奇偶性质是相同的，于是我们可以从这条性质入手．解：因为两个整数之和与两个整数之差的奇偶性相同，所以在给出的数字前面添上正号或负号不改变其奇偶性．而1+2+…＋2007+2008=2008(12008)2=1004×2009为偶数．所以已知数字作为变换后的代数和仍为偶数．评注：此题通过对一些具体的数字的研究推出一般性结论，是由于已知数为有限整数．例3已知x，y是质数，z是奇质数，且x（x+y）=z+8，求y（x+z）的值．分析：此题的关键是从x（x+y）=z+8求出x，y，z的值．解：由已知条件和质数，奇偶数性质知：（z+8）为奇数，所以x和（x+y）•为奇数，于是y为偶数，又y为质数，故y=2．则x，z应满足x（x+2）=z+8，即z=x2+2x-8=（x-2）（x+4）．由于z是奇质数，所以必有x-2=1，x+4=z，即x=3，z=7．故y（x+z）=2（3+7）=20．评注：奇偶分析法在解不定方程方面的应用也推广，大家仔细体会．例4 能否把1，1，2，2，…，30，30这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个30之间夹着三十个数？试说明理由．分析：我们知道30对数共60个，我们可将之分成奇，偶两类数加以讨论，•以便求解．解：假设能按要求排成一行，于是60个数被安排在60个位置上，为了方便起见，给他们所在的位置依次编上号，具体研究一个个对象较为困难，不妨把所有数分成奇数、偶数两大类进行．（1）先考察偶数，设一个偶数m，两个m之间有m个数，这说明若有一个m在奇数位置，则另一个m必在偶数位置，反之亦然．于是15对偶数分别占据了15个奇数位，15•个偶数位；（2）再研究一个奇数n，两个奇数n之间夹着n个数．只要一个n占据奇数位，则另一个n 也占据着奇数位，即成对占据奇数位．设有k对奇数占据奇数位，因60个位置中有30个奇数位．•于是这些奇数位应被15个偶数和2k个奇数占据，则30=15+2k，即2k=15，这显然是不可能成立的，•所以不能按要求排成一行．评注：此题巧妙地利用了奇偶数的基本性质解决问题，可见数的奇偶性的作用．例5 在6张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1～6这6个整数，•然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．分析：从正面入手比较困难，我们不妨从反面去思考，即设这6个数两两都不相等，利用│a i-b i│与a i-b i（i=1，2，3，4，5，6）的奇偶性相同，引入字母进行推理证明．解：设6张卡片正面写的数是a1，a2，a3，a4，a5，a6，反面写的数对应为b1，b2，b3，b4，b5，b6，则这6张卡片为│a1-b1│，│a2-b2│，│a3-b3│，│a4-b4│，│a5-b5│，│a6-b6│．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值，于是│a1-b1│+│a2-b2│+│a3-b3│+│a4-•b4│+│a5-b5│+│a6-b6│=0+1+2+3+4+5=15是个奇数另一方面，│a i-b i│与a i-b i（i=1，2，…，6）的奇偶性相同，所以│a1-b1│+│a2-b2│+│a3-b3│+│a4-b4│+│a5-b5│+│a6-b6│与（a1-b1）+（a2-b2）+（a3-b3）+（a4-b4）+（a5-b5）+（a6-b6）=（a1+a2+…+a6）-（b1+b2+…+b6）=（1+2+…+6）-（1+2+…+6）=0的奇偶性相同，是个偶数．这与（*）矛盾，故│a1-b1│，│a2-b2│，…，│a6-b6│这6个数中至少有两个是相同的．评注：一些非常规数字问题需要恰当地数学化，以便计算或推理，•引入字母是数学化的常用方式方法，另外赋值法也是数学化的常用方式方法．巩固练习1．填空题（1）已知a，b，c分别是2007，2008，2009中的一个数，则（a-1）×（b-2）×（c-•3）•是________数（奇、偶数）；（2）三个相邻偶数之积是一个六位数，这个六位数的首位数字是8，末位数字是2，则这三个偶数是________；（3）将1到100这100个自然数任意排成一行，•其中所有相邻两数的和中，•至少有________个偶数，至多有_______个偶数．2．选择题（1）若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是（ •）（A）185 （B）183 （C）181 （D）179（2）两个十位数1111111111和9999999999的乘积有（）个数字是奇数．（A）7 （B）8 （C）9 （D）10（3）设x和y为两个自然数，它们的和与差相乘的积是偶数，则（x+y）与（x-y）（）（A）同为偶数（B）同为奇数（C）x+y是偶数，x-y是奇数（D）x+y是奇数，x-y是偶数3．一串数排成一行，它们的规律是：头两个数都是1，从第三个数开始，•每一个数都是前两个数之和，问这串数的前2008个数中有多少个偶数？4．设有n盏亮着的拉线开关灯，规定每次必须拉动n-1个拉线开关，试问：•能否把所有的灯都关闭？证明你的结论或给出一种关灯的办法．5．试说明：只用2×2及3×3的两种瓷砖不能恰好铺盖23×23的正方形地面．答案:1．（1）偶；（2）94，96，98；（3）0，98．2．（1）C；（2）D；（3）A3．由条件和要求，可以先写出这一串数的奇偶数，然后寻找规律：1，1，2，3，5，•8，13，21，34，55，89，…即规律为奇奇偶奇奇偶…．•即两个奇数一个偶数且三个数一循环，而偶数恰在3，6，9，12…这些序号上，即只有序号为3的倍数的数是偶数．•因2008=3×669+1，故这串数的前2008个数中有669个偶数．4．从简单情况研究，当n=1时，显然不行；当n=2时，1号灯不动，2号关上；2•号灯不动，1号关上，可行．当n=3时，每盏灯拉动奇数次时才能关上，3个奇数的和仍为奇数，•而n-1=2，即按规定总拉动开关的次数是偶数，故不能把灯全关闭，由此猜测，当n为偶数时可以；当n为奇数是不行．5．将23×23的正方形地面中第1，4，7，10，13，16，19，22列中的小方格全涂成黑色，剩下的小方格涂成白色，于是白色的小方格总数为15×23是一个奇数，又因每块2×2砖总能盖住二黑格和二白格或四白格．每块3×3砖总能盖住三黑格和六白格，•故无论多少2×2及3×3砖盖住的白格数总是一个偶数，不可能盖住15×23个白格，所以只用2×2及3×3砖不能盖住23×23的地面．。
数的性质 奇偶分析 奇偶分析
奇偶分析
主要学习内容
01 数的奇偶性 02 典型例题分析
一、数的奇偶性
一个自然数，要么是奇数，要么是偶数。这是自然数自身的 特性，称为数的奇偶性。利用自然数的奇偶性可以分析和解决很 多有趣的问题，我们把这种方法叫作奇偶分析法。
二、典型例题分析
【例1】 能不能在下式：1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10的每 个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立？ 解：在一个只有自然数加减法运算的式子中，如果把式子中减法 运算改成加法运算，那么所得结果的奇偶性不变。因此无论在给 出的式子每个方框中怎样添加减号，所得结果的奇偶性与在每个 方框中都填入加号所得结果的奇偶性一样。但是，每个方框中都 填入加号所得结果是45，是个奇数。而式子的右边是10，是个偶 数。也就是说从奇偶性上判断，要使题中式子成立是不可能的。
二、典型例题分析
【例2】桌上有7个杯子，开口全部向上，现在允许每次同时翻动其中6个， 能否经过若干次翻动使得所以杯子杯口全部向下？若可以，请指出最少 需要多少次，并给出具体的翻法。若不可以，请说明理由。 解：不可以。采用反证法。假设可以经过若干次翻动使得所有杯子杯口 全部向下，下面计算所有杯子被翻动的次数之和：
二、典型例题分析
【例3】在4×4的方格中填写1至16这16个数，将其中任意3个格子中的 数同时加1或减1称为一次操作。问能否经过若干次的这样的操作使得 16个方格中的数都是0。
解：不能。若最后16个方格中的数都为0，总和为0，是3的倍数，而 每次3个格同时加1或减1，加或减的都为3，所以刚开始16个数之和一 定得是3的倍数才行，而1+⋯+16=136，不是3的倍数，所以不能。
一方面，每个杯子从杯口向上变成杯口向下，需要翻动奇数次，一共 有7个杯子，7个奇数之和一定还是奇数，因此所有杯子被翻动的次数之 和是奇数；
第13讲 奇偶分析
第13讲奇偶分析法把全体整数按被2除的余数分为两类：被2除余数为0整数的称为偶数，一般表示为2k(k为整数)，被2除余数为1整数的称为奇数，一般表示为2k+1(k为整数)．由于既不会有一个整数同时出现在奇数类和偶数类，也不会有一个整数既不在奇数类又在偶数类，因此，我们可以把对整数问题的研究转化为对奇数和偶数的研究．这种利用奇偶数分析问题的方法就可以使一些看起来比较困难的题目变得简单易解了.奇偶分析利用了奇数与偶数的一些性质：1、奇数不等于偶数；2、在自然数数列中，奇数与偶数是相间排列的；3、奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数；奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意个偶数的和是偶数；4、奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=4的倍数，偶数×整数=偶数；5、两个整数的和与这两个整数的差具有相同的奇偶性6、奇数的平方被4除余1，偶数平方为4的倍数；奇偶分析也常表现为染色，把一个图形染成黑白两色，往往可视为其中一色为奇数，另一色为偶数；也可视为用+1与-1(或1与0)标号，……总之，在分成两类对问题进行讨论时，常常可以看成是在进行奇偶分析．A类例题例1⑴证明：平面上的格点中，任取五点，必有两点，其连线中点是格点．⑵至多可以取出多少个格点，使这些点中任取三点为顶点的三角形面积都不是整数．例2设a1，a2，…，a64是1，2，…，63，64的任意一种排列．令b1=|a1－a2|，b2=|a3－a4|，…，b32=|a63－a64|；c1=|b1－b2|，c2=|b3－b4|，…，c16=|b31－b32|；d1=|c1－c2|，d2=|c3－c4|，…，d8=|c15－c16|；………这样一直作下去，最后得到一个整数x．求证：x为偶数．情景再现1．将某个17位数的数字顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加．证明：得到的和中至少有一个数字是偶数．2．若a，b，c都是整数，且a与b同为奇数或同为偶数，c为奇数，求证：找不到整数n，使an2+bn+c=0．B类例题例3有n×n(n＞3)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个，先将表内n个两两既不同行又不同列的方格中的数的乘积称为一个基本项．试证明：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除(即总能表示成4k的形式，其中k∈Z)．例4设P(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n是整系数多项式，如果P(0)与P(1)都是奇数，证明P(x)无整数根．例5在12，22，32，…，19892这1989个连续的完全平方数的每个数前都添“+”或“-”号，使其代数和为最小的非负数，并写出算式．情景再现3．在国际象棋的棋盘上，放有8枚棋子，已知其中任意两枚不同行，也不同列．证明：黑格中的棋子数为偶数．4．在整个平面上有一个无限大的方格棋盘，上面摆好了一些棋子，它们恰好组成一个3k n的矩形．按下述规则进行游戏：每一枚棋子都可以越过(沿水平方向或竖直方向)相邻的棋子而放入这枚棋子的相邻的空格里，并把相邻的这枚棋子从棋盘上取走．证明：不论怎样走，棋盘上都不会只剩下1枚棋子．5．设a1，a2，a3，a4，a5和b是满足关系式a21+a22+a23+a24+a25＝b2的整数，证明：所有这些数不可能全是奇数．6．设x1，x2，…，x n是一组数，它们之间每一个都取+1或-1，并且x1x2x3x4+ x2x3x4x5+…+x n-3x n-2x n-1x n+x n-2x n-1x n x1+x n-1x n x1x2+x n x1x2x3=0．求证：n是4的倍数．C类例题例6设E={1，2，3，…，200}，G={a1，a2，…，a100}是E的真子集，且G具有下列两条性质：1）对于任何1≤i＜j≤100，恒有a i+a j≠201；2）a1+a2+…+a100=10080．例7 设有一个顶点都是格点的100边形，它的边都与x轴或y轴平行，例8 能否把1，1，2，2，3，3，4，4，…1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986之间夹着1986个数？请你证明你的结论．(1986年中国数学奥林匹克) 链接 本题有一般性的结论，这就是下述竞赛题：求所有具有下述性质的n ∈N *，能够把2n 个数1，1，2，2，3，3，…，n ，n 排成一行，使得当k =1，2，…，n 时，在两个k 之间恰有k 个数．(1982年前苏联数学竞赛题)解：设n ∈N *，a 1，a 2，…，a 2n 是满足要求的排列．设数k 排在第m k 及m k +k +1位，故这2n 个数的数位和(即{a i }的下标和)为k =1∑n (m k +m k +k +1)=2k =1∑nm k +12n (n +3)． 但这2n 个数的位的和又等于1+2+…+2n =n (2n +1)．∴ 2k =1∑n m k = n (2n +1)－12n (n +3)= 12n (3n －1)． 于是14n (3n －1)为整数，但n 与3n －1奇偶性不同，故当n =4l 或3n －1=4l '时，即n =4l 或n =4l '－1时14n (3n －1)为整数． ∴ 当n ≡1，2(mod 4)时，不存在满足要求的排列．当n ≡0(mod 4)时，可把这1~4l 这些数如下排列：l =1时：2，3，4，2，1，3，1，4．l =2时：4，6，1，7，1，4，8，5，6，2，3，7，2，5，3，8．一般的：4l－4，...，2l，4l－2，2l－3，...，1，4l－1，1， (2)－3，2l，…，4l－4，4l，4l－3，…2l+1，4l－2，2l－2，…，2，2l－1，4l－1，2，…2l－2，2l+1，…4l－3，2l－1，4l．当n≡－1(mod 4)时，可把这4l－1个数如下排列：l=1时：2，3，1，2，1，3；l=2时：4，6，1，7，1，4，3，5，6，2，3，7，2，5．一般的，4l－4，...，2l，4l－2，2l－3，...，1，4l－1，1， (2)－3，2l，…，4l－4，2l－1，4l－3，…2l+1，4l－2，2l－2，…，2，2l －1，4l－1，2，…2l－2，2l+1，…4l－3．其中，“…”表示一个公差为2或－2的等差数列．情景再现7．在圆周上按任意顺序写上4个1与5个0，然后进行下面的运算：在相邻的相同数字之间写上0，而在不同的相邻数字之间写上1，并擦掉原来的数字．接着进行同样的运算，如此继续．证明：不管这种运算进行多少次，都不可能得到9个0．8．设d1，d2，…，d k是正整数n的所有因数，这里，1=d1＜d2＜…＜d k＝n，k≥4，求所有满足d21+d22+d23+d24=n的正整数n．(1989年巴尔干数学竞赛)习题131．一天，某旅游者乘火车来到某个城市游玩，他玩了一天后于晚上回到来时的火车站，试证明：他总可以沿着他当天走过奇数次的街道回到火车站．2．将正方形ABCD分割成n2个相等的小方格(n是正整数)，把相对的项点A、C染成红色，把B、D染成蓝色，其它交点任意染红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格数目必是偶数．3．在黑板上写有若干个0、1和2，现在可以擦掉两个不同的数字，并用另一个数字代替它们(用2代替0与1，用1代替0与2，用0代替1与2)．证明如果这种做法，最后在黑板上只留下一个数字，那么，留下的数字与操作顺序无关．(1975年第9届全苏数学奥林匹克)4．在平面上画了一个由边长为1的正六边形组成的蜂窝形网格，如果沿网格线从一个网格点A用最短路程走到另一个网格点时共走的路程为100，试证：他走的全程的一半是走在同一个方向上．5．已知多项式x3+bx2+cx+d的系数都是整数，并且bd+cd是奇数，则这个多项式不能分解成为两个整系数多项式的乘积．6．是否存在整数a，b，c，d，使得对所有的整数x，等式x4+2x2+2000x+30＝(x2+ax+b)(x2+cx+d)成立．7．能否将1990×1990方格表中的每个小方格涂成黑色或白色，使得关于表的中心对称的方格涂有不同的颜色，并且任一行及任一列中黑格与白格都各占一半．8．在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些假币．已知每枚假币与真币的重量相差奇数克，而所给硬币重量和恰等于真币的重量，现有带指针标明整克数的双盘天平，证明只要称一次就可辨别指定的硬币是否是假币．9．从集{0，1，2，…，14}中选出不同的数，填入图中的10个小圆圈中，使得由线段连结的两个数的差的绝对值均不相等，这可能吗？证明你的结论．10．设正整数d不等于2、5、13，证明：在集合{2，5，13，d}中，可以找到两个不同元素的a，b，使ab-1不是完全平方数．11．设P0，P1，P2，…，P1993=P0为xy平面上不同的点，具有下列性质：⑴P i的坐标均为整数，i=0，1，2，3， (1992)⑵在线段P i P i+1上没有其他的点，坐标均为整数，i=0，1，2，3， (1992)求证：对某个i，0≤i≤1992，在线段P i P i+1上有一个点Q(q x，q y)使2q x，2q y，均为奇整数．12．设n≥2，a1，a2，…，a n都是正整数，且a k≤k（1≤k≤n）．试证明：当且仅当a1+a2+…+a n为偶数时，可适当选取“+”号与“-”号，使a1±a2±…±a n=0．11。
函数与方程的奇偶性与周期性分析
函数与方程的奇偶性与周期性分析在数学中，函数与方程的奇偶性与周期性是常见的性质，它们在解题和图像分析中起着重要的作用。
本文将从理论和实践两个方面来分析函数与方程的奇偶性与周期性。
一、函数的奇偶性分析函数的奇偶性是指函数在自变量取相对值时的响应，奇函数与偶函数是最常见的两种类型。
1. 奇函数奇函数的定义是，对于任意自变量x，都有f(-x) = -f(x)。
也就是说，当自变量取负值时，函数值与取正值时的函数值相反。
典型的奇函数有正弦函数sin(x)和正切函数tan(x)等。
奇函数的特点是关于坐标原点对称，即图像关于坐标原点对称。
这可以通过观察函数图像来确认。
2. 偶函数偶函数的定义是，对于任意自变量x，都有f(-x) = f(x)。
也就是说，当自变量取负值时，函数值与取正值时的函数值相等。
典型的偶函数有余弦函数cos(x)和正切函数cot(x)等。
偶函数的特点是关于y轴对称，即图像关于y轴对称。
同样，可以通过观察函数图像来确认。
二、方程的奇偶性分析方程的奇偶性是指方程的解在自变量取相对值时的性质，可以通过代入变量进行分析。
1. 奇方程奇方程的定义是，当方程中的自变量替换为相反数时，方程的解也会发生变化。
例如，方程f(x) = 0的解是x = a，那么方程f(-x) = 0的解就是x = -a。
所以，奇方程在自变量取相对值时的解具有对称性。
2. 偶方程偶方程的定义是，当方程中的自变量替换为相反数时，方程的解保持不变。
例如，方程f(x) = 0的解是x = a，那么方程f(-x) = 0的解也是x = a。
偶方程在自变量取相对值时的解不会发生变化。
三、函数与方程的周期性分析周期是函数与方程重复的规律性。
在函数图像中，它是指函数图像在横坐标上的重复出现。
1. 周期函数周期函数的定义是，存在一个正数T，使得对于任意自变量x，都有f(x+T) = f(x)。
周期函数以正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)最为代表。
初中七年级数学专题26 奇偶分析
专题26 奇偶分析阅读与思考整数可以分为奇数和偶数，一个整数要么是奇数，要么是偶数，因此奇偶性是一个整数的固有属性，即奇数≠偶数．由于奇偶性是整数的固有属性，因此可以说奇偶性是整数的一种不变性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析．运用奇偶分析解题，常常要用到奇数和偶数的基本性质： 1.奇数≠偶数.2.奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数，奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和是偶数.3.若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数.4.若a 是整数，则a 与a ，a -，n a （n 为自然数）有相同的奇偶性.5.设a ，b 是整数，则b a +，b a -，b a +，b a -都有相同的奇偶数.6.偶数的平方是4的倍数，奇数的平方是4的倍数加1.例题与求解【例1】 数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的排列规律是：前两个数是1，从第三个数开始，每一个数是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列的前2 004个数中共有____个偶数．(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：本例关键是发现斐波那契数列的各项奇偶性的规律.【例2】 如果a ，b ，c 都是正整数，且a ，b 是奇数，则c b a 2)1(3-+是( ).A ．只当c 为奇数时，其值为奇数B ．只当c 为偶数时，其值为奇数C ．只当c 为3的倍数时，其值为奇数D ．无论c 为任意正整数时，其值均为奇数（五城市联赛试题）解题思路：直接运用奇数偶数的性质作出选择．【例3】 能否找到自然数a 和b ，使222002b a +=.（“华罗庚金杯”邀请赛试题）解题思路：假设存在自然数a 和b ，使等式成立，则2002))((=-+b a b a ，从b a +，b a -的奇偶性展开推理．【例4】 在6张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意写上1~6这6个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的.（北京市竞赛试题）解题思路：从反面入手，即设这6个数两两都不相等，利用i i b a -与i i i c b a -=1，2，3，4，5，6的奇偶性相同，引入字母进行推理证明.【例5】 表甲是一个英文字母电子显示盘，每一次操作可以使某一行4个字母同时改变，或者使某一列4个字母同时改变，改变的规则是：按照英文字母表的顺序，每个英文字母变成它下一个字母（即A 变成B ，B 变成C …最后字母Z 变成A ）.问：能否经过若干次操作，使表甲变成表乙？如果能，请写出变化过程，如不能，说明理由.S O B R K B D S T Z E P H E X G H O C N R T B S ADVXCFYA表甲 表乙（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：表甲与表乙看上去没有规律，似乎不太容易将表甲变为表乙（可以试一试），看是否能成功？如果是不能，就应找出不能的理由，解题的关键是如何将问题“数字化”，挖掘操作变化过程中的不变量或不变性.【例6】 设1x ，2x ，…nx 为＋1或－1，并且n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x 123654354324321---++++0321211112=+++---x x x x x x x x x x x x n n n n n n .证明n 能被4整除.解题思路：应用整数的奇偶性解题，常需变化角度去考察问题，从而化难为易．能力训练1．若按奇偶分类，则20113212011321++++ 是______数. 2．已知a 是质数，b 是奇数，且20012=+b a ，则=+b a _______.（江苏省竞赛试题）3．若质数m ，n 满足12975=+n m ，则n m +的值为____________.（河北省竞赛试题）4．在12，22，32，…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____________个.（全国初中数学联赛试题）5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么，满足要求的排法有( )种.A.2B.3C.4D.5 6．设a ，b 为整数，给出下列四个结论 （1）若b a 5+是偶数，则b a 3-是偶数 （2）若b a 5+是偶数，则b a 3-是奇数 （3）若b a 5+是奇数，则b a 3-是偶数 （4）若b a 5+是奇数，则b a 3-是奇数 其中正确结论的个数是 ( )．A.0B.2C.4D.1或3（“五羊杯”竞赛试题）7．如果a ，b ，c 是三个任意整数，那么2b a +，2c b +，2a c +( )．A.都不是整数B.至少有两个是整数C.至少有一个是整数D.都是正数（“T1杯”全国竞赛试题）8．将1 000到1 997这998个自然数任意排成一行，然后依次地求出三个相邻数的和，在这些和中，奇数的个数至多有( )．A.499个B.496个C.996个D.995个9．设1a ，2a ，…1999a 是1，2，3，…，1999的一个排列，求证：)1999()2()1(199921-++-+-a a a 为偶数.10．在黑板上记上数1，2，3，…，1 974，允许擦去任意两个数，且写上它们的和或差.重复这样的操作手续，直至在黑板上留下一个数为止.求证：这个数不可能为零．（数学奥林匹克竞赛试题）11．你能找到三个整数a，b，c，使得关系式bcc⋅b++acba成立吗？如果能找到，请举一例；如果ca+ba-⋅))(3388)((-)⋅+(=-+找不到，请说明理由.（“希望杯”邀请赛试题）12．设标有A，B，C，D，E，F，G记号的七盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关.现在A，C，E，G四盏灯开着，其余三盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关，即又从A到G，…，他这样拉动了1 999次开关后，问哪几盏是开的？。
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5．能否将1至25这25个自然数分成若干组，使得每一组中的最大数都等于组内其余各数的和？6．在象棋比赛中，胜者得1分，败者扣1分，若为平局，则双方各得0分。
今有若干个学生进行比赛，每两人都赛一局。
现知，其中有一位学生共得7分，另一位学生共得2 0分，试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。
7．在黑板上写上1，2，…，909，只要黑板上还有两个或两个以上的数就擦去其中的任意两个数a，b，并写上a-b（其中a≥b）。
问：最后黑板上剩下的是奇数还是偶数？8．设a1，a2，…，a64是自然数1，2，…，64的任一排列，令b1=a1-a2，b2=a3-a4，…，b32=a63-a64；c1=b1-b2，c2=b3-b4，…，c16=b31-b32；d1=c1-c2，d2=c3-c4，…，d8=c15-c16；……这样一直做下去，最后得到的一个整数是奇数还是偶数？答案：5.不能。
提示：仿例3。
6.证：设得7分的学生胜了x1局，败了y1局，得 20分的学生胜了x2局，败了y2局。
由得分情况知：x1-y1=7，x2-y2＝20。
如果比赛过程中无平局出现，那么由每人比赛的场次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶数。
另一方面，由x1-y1=7知x1+y2为奇数，由x2-y2=20知x2+y2为偶数，推知x1+y1+x2+y2为奇数。
这便出现矛盾，所以比赛过程中至少有一次平局。
7.奇数。
解：黑板上所有数的和S＝1+2+…＋909是一个奇数，每操作一次，总和S减少了a+b-（a-b）=2b，这是一个偶数，说明总和S的奇偶性不变。
由于开始时S是奇数，因此终止时S仍是一个奇数。
8.偶数。
解：我们知道，对于整数a与b，a+b与a-b的奇偶性相同，由此可知，上述计算的第二步中，32个数a1-a2，a3-a4，…，a63-a64，分别与下列32个数a1+a2，a3+a4，…，a63+a64，有相同的奇偶性，这就是说，在只考虑奇偶性时，可以用“和”代替“差”，这样可以把原来的计算过程改为第一步：a1，a2，a3，a4，…，a61，a62，a63，a64；第一步：a1+a2，a3+a4，…，a61+a62，a63+a64；第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64；……最后一步所得到的数是a1+a2+…+a63+a64。
由于a1，a2，…，a64是1，2，…，64的一个排列，因此它们的总和为1+2+…+64是一个偶数，故最后一个整数是偶数1．下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□□-□=□□×□=□□÷□=□2．任意取出1234个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？3．一串数排成一行，它们的规律是：前两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。
如下所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…试问：这串数的前100个数（包括第100个数）中，有多少个偶数？4．能不能将1010写成10个连续自然数之和？如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。
答案：1.至少有6个偶数。
2.奇数。
解：1234÷2=617，所以在任取的1234个连续自然数中，奇数的个数是奇数，奇数个奇数之和是奇数，所以它们的总和是奇数。
3.33。
提示：这串数排列的规律是以“奇奇偶”循环。
4.不能。
如果1010能表示成10个连续自然数之和，那么中间2个数的和应当是1010÷5=202。
但中间 2个数是连续自然数，它们的和应是奇数，不能等于偶数202。
所以，1010不能写成10个连续自然数之和。
在8×8的棋盘的左下角放有9枚棋子，组成一个3×3的正方形（如左下图）。
规定每枚棋子可以跳过它身边的另一枚棋子到一个空着的方格，即可以以它旁边的棋子为中心作对称运动，可以横跳、竖跳或沿着斜线跳（如右下图的1号棋子可以跳到2，3，4号位置）。
问：这些棋子能否跳到棋盘的右上角（另一个3×3的正方形）？解：自左下角起，每一个方格可以用一组数（行标、列标）来表示，（自下而上）第i行、（自左而右）第j列的方格记为（i，j）。
问题的关键是考虑9枚棋子（所在方格）的列标的和S。
一方面，每跳一次，S增加0或偶数，因而S的奇偶性不变。
另一方面，右上角9个方格的列标的和比左下角9个方格的列标之和大3×（6+7+8）-3×（1+2+3）=45，这是一个奇数。
综合以上两方面可知9枚棋子不能跳至右上角的那个3×3的正方形里。
难度：中难度有一根团成一团的毛线，拿剪刀任意一刀，假设剪出偶数个断口．问：这根毛线被分成的段数是偶数还是奇数？解答:奇数．分成的线段数比断口数多1．难度：中难度用数字1，3，0可以组成多少个奇数和偶数?解答:因为偶数的个位是偶数，所以只有0可作个位数组成偶数；因为奇数的个位是奇数，所以只有1和3可作个位数组成奇数．偶数有：0，10，30，130，310共5个；奇数有：1，3，13，31，103，301共6个．注意0不可以作首位数．难度：高难度任意交换某个三位数的数字顺序得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？解答:不能．两数和为999，各位数相加时必定没有向上进位，又因为新三位数与原三位数只是三个数字的排列顺序不同，所以把两个三位数的个位、十位、百位数字加在一起一定是偶数，而9+9+9=27是奇数，矛盾．设标有A，B，C，D，E，F，G的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关。
现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯没亮。
小华从灯A开始顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关，他这样拉动了999次开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？解：一盏灯的开关被拉动奇数次后，将改变原来的状态，即亮的变成熄的，熄的变成亮的；而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变原来的状态。
由于999=7×142+5，因此，灯A，B，C，D，E各被拉动143次开关，灯F，G各被拉动142次开关。
所以，当小华拉动999次后B，E，G亮，而A，C，D，F熄。
有30枚2分硬币和8枚5分硬币，5角以内共有49种不同的币值，哪几种币值不能由上面38枚硬币组成？解：当币值为偶数时，可以用若干枚2分硬币组成；当币值为奇数时，除1分和3分这两种币值外，其余的都可以用1枚5分和若干枚2分硬币组成，所以5角以下的不同币值，只有1分和3分这两种币值不能由题目给出的硬币组成。
说明：将全体整数分为奇数与偶数两类，分而治之，逐一讨论，是解决整数问题的常用方法。
若偶数用2k表示，奇数用2k+1表示，则上述讨论可用数学式子更为直观地表示如下：当币值为偶数时，2k说明可用若干枚2分硬币表示；当币值为奇数时，2k+1=2（k-2）+5，其中k≥2。
当k=0，1时，2k+1=1，3。
1分和3分硬币不能由2分和5分硬币组成，而其他币值均可由2分和5分硬币组成。
现有足够多的苹果、梨、桔子三种水果，最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨和桔子三种水果），才能保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。
分析与解：当每堆都含有三种水果时，三种水果的奇偶情况如下表：可见，三种水果的奇偶情况共有8种可能，所以必须最少分成9堆，才能保证有两堆的三种水果的奇偶性完全相同，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。
某市五年级99名同学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是基础分15分，答对一道加5分，不答记1分，答错一道倒扣1分。
问：所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数？【分析】奇数，5*30+15=165 165-6N-4M=奇数减去偶数=奇数 99*奇数=奇数围棋盘上有19×19个交叉点，现在放满了黑子与白子，且黑子与白子相间地放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉点上放着白子（或黑子）。
问：能否把黑子全移到原来的白子的位置上，而白子也全移到原来黑子的位置上？【分析】不可以，因为不是白字多黑字一个，就是黑子多白字一个，不可能相等有20个1升的容器，分别盛有1，2，3，…，20立方厘米水。
允许由容器A向容器B倒进与B容器内相同的水（在A中的水不少于B中水的条件下）。
问：在若干次倒水以后能否使其中11个容器中各有11立方厘米的水？【分析】不可能，因为两个奇数相加等于偶数，两个偶数相加等于偶数，11是奇数，B是偶数，偶数不等于奇数有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。
试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。
【分析】不可以。
一名为98个数中有49个奇数，奇数加偶数等于奇数，奇数不是二的倍数。
小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。
小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。
试问，小丽所加得的和数能否为2000？【分析】不可能。
因为25个奇数相加的和是奇数，25个偶数相加是偶数，奇数加偶数=奇数偶分析数论问题的例题讲解2奇偶分析数论问题的例题讲解1全体自然数按照被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。
被2除余1的属于一类，称为奇数；被2除余0的属于另一类，称为偶数。
特别注意：因为能被整除，所以是偶数；最小的奇数是，最小的偶数是。