难点06利用导数研究函数的单调性,最值与极值2017年高考二轮核心考点数学(附解析)

2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第二篇 难点6 利用导数研究函数的单调性、最值与极值【热点考法】利用导数研究函数的单调性、最值与极值是理念高考考查的重点和难点，考查形式为选择题填空题或解答题，主要考查利用导数研究函数的单调性、最值与极值进而研究函数的图像与性质，再利用函数图像、最值等性质解不等式恒成立问题，证明不等式，难度为容易题、中档题或难题，分值为12至17分. 【热点考向】考向一 利用导数研究函数的单调性 【解决法宝】函数的单调性问题（1）利用导数判定函数的单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导，若()0f x '>，则()f x 为增函数；若/()0f x <，则()f x 为减函数.（2）用导数函数求单调区间方法：求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论；(3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题：先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加.例1【2017届山西省太原市高三模拟考试（一）】已知函数()()12f x lnx ax a R x=++∈在2x =处的切线经过点()4,2ln2-（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若不等式2211lnx m x x>--恒成立，求实数m 的取值范围. 【分析】(1)对函数进行求导，结合导函数与切线的关系求得 实数a 的值，确定函数的解析式之后即可讨论函数的单调性.(2)分离系数后讨论m 的取值范围即可，构造新函数后求导，讨论新函数的值域，注意讨论值域时利用反证法假设存在实数b 满足()0g x b >> ，由得出的矛盾知假设不成立，即函数的最小值开区间处为0 .【解析】（1）由题意得()221,0f x a x x x=+->' ∴()324f a '=+， ∴()f x 在2x =处的切线方程为()()()222y f f x '-=- 即32214y a x ln ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， ∵点()4,22ln -在该切线上，∴1a =-，∴()()22212110x f x x x x--=--=≤' 函数()f x 在()0,+∞单调递减；考向二 利用导数求函数的极值 【解决法宝】函数的极值问题①求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0时，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点去极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；②已知极值，求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；③已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围.例2【辽宁省沈阳市大东区2017届高三质量监测】已知，函数.（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）设，且有两个极值点，其中，若恒成立，求的取值范围.【分析】（Ⅰ）首先注意到函数的定义域，求函数的导数()22231x x f x x -+'= ，在定义域内求()0f x '> 和()0f x '< 的区间；（Ⅱ）首先求()1ln (0)g x x a x x x=--> ，根据导数()0g x '= ，得到210x ax ++= ，得到根与系数的关系，其中211x x =，并代入求()()12g x g x - ，并求函数()()111h x g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小值，即得到t 的取值范围.（Ⅱ）由已知得()1ln g x x a x x=-+， ()0,x ∈+∞， ()222111a x ax g x x x x+='+=++， 令()'0g x =，得210x ax ++=，∵()g x 有两个极值点12,x x ，∴2121240{010a x x a x x ->+=->⋅=>，∴()211221{a x x a x x <-==-+， 又∵12x x <，∴()10,1x ∈， ∴()()()12111111111111ln ln g x g x g x g x a x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=-+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111111111122ln 22ln x a x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()1122ln h x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()0,1x ∈, ∵()()()222211ln 1111'2121ln x x x h x x x x x x x x +-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当()0,1x ∈时，恒有()'0h x <，∴()h x 在()0,1x ∈上单调递减，∴()()10h x h >=， 故()()120g x g x ->，又∵()()12g x g x t ->恒成立，∴0t ≤. 考向三 利用导数求函数的最值 【解决法宝】函数最问题①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；②对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式()f x ≤（≥）()g a （x 是自变量，a 是参数）恒成立问题，()g a ≥max ()f x （≤min ()f x ），转化为求函数的最值问题，注意函数最值的区别于联系.例3【辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试数学理试题】已知函数()()()222(0)x f x x e a x x =-++>.（1）若()f x 是()0,+∞的单调递增函数，求实数a 的取值范围； （2）当10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：函数()f x 有最小值，并求函数()f x 最小值的取值范围. 【分析】（1）函数单调递增等价于导函数()00+f x '≥∞在（，）上恒成立，再利用变量分离转化为求对应函数最值问题： ()124x x e a x -≥+ 的最大值，最后根据导数求对应函数最值，即得实数a 的取值范围；(2)实质证明函数()f x 当10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时先减后增，也即函数有极小值点，并在此极小值点处取最小值，此时要用零点存在定理说明极值点存在.求出函数极小值表达式，即最小值表达式，利用导数研究最小值表达式单调性，并根据极小值点范围确定最小值取值范围.【解析】（Ⅰ） ()()224xxf x e x e ax a +-+'=+∵函数)f x （在区间0+∞（，）上单调递增， ()00+f x ≥'∴∞在（，）上恒成立. ∴()2240x x e x e ax a +-++≥，∴()124xx e a x -≥+， 令()()124x x e g x x -=+，()()()()()()()2222221242102424x x x xe x x x e e x x e g x x x ⎡⎤-----+--⎣⎦==<++'， ∴()()104g x g <=，∴14a ≥. （Ⅱ）()'20xf x x e a ⎡⎤⋅+⎣⎦'=> ∴()=0+y f x '∞在（，）上单调递增 ()0=410f a '-<又 ()1=60f a '> ∴()0,1=0t f t '∈存在（）使∴0t x ∈（，）时， ()0f x '<， t +x ∞∈（，）时， ()0f x '> x=t 当时， ()()()2min ==-2+2t f x f t t e a t ⋅+（）()()=-1+220tf t e t a t '⋅+=且有（） ，∴()()1=22t e t a t -+．由（Ⅰ）知()()1=()=22t e t a g t t -+在()0,t ∈+∞上单调递减，1(0)=,(1)=04g g ，且104a <<，∴()0,1t ∈．∴()()()()()()22min21==-2+2222t ttt t e t f x f t t e t e t -+--⋅+=⋅+（），()()2=102te f t t t ⋅---<'，∴()()()10f f t f <<， ()1e f t -<<-, ∴()f x 的最小值的取值范围是(),1e --．【热点集训】1.【广西陆川县中学2017届高三下学期知识竞赛】已知函数()cos xf x xe =（e 为自然对数的底数），当[],x ππ∈-时， ()y f x =的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B2.【2017届安徽省安庆市高三模拟考试（二模）】若函数在上有小于零的极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】,则，且所以3.【东北三省三校2017年高三第二次联合模拟】已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数， ()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，()()201f x xf x x -'+>，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为34-，则()1f =（ ） A. 0 B. 1 C. 38 D. 15【答案】C【解析】令()()()'2'g x f x xf x =+ ，则()'01g x x >- ,所以当1x > 时, ()'0g x > ; 当01x << 时, ()'0g x < , 所以函数()g x 在()0,1 内为减函数, 在()1,+∞ 内为增函数,且在1x = 时取得极小值,所以()'10g = , 故有()()21'10f f += , 又()3'4f x =-, 所以()318f =. 4.【2017届陕西省咸阳市高三二模】已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对任意x R ∈满足()()0f x f x +'<，则下列结论正确的是（ ） A. ()()2ln23ln3f f > B. ()()2ln23ln3f f < C. ()()2ln23ln3f f ≥ D. ()()2ln23ln3f f ≤ 【答案】A【解析】令()()()()()(),0,x xg x e f x g x e f x f x g x ⎡⎤==+<⎣'⎦'是定义在R 上的单调递减函数，且()()ln2ln3,ln2ln3,g g 所以()()2ln23ln3,f f >选A.5.【河北省曲周县第一中学2017届高三下学期第一次模拟考】已知函数()1ln f x x x x=-+，若()()1,,53a f b f c f π⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则（ ）A. c a b <<B. b c a <<C. a c b <<D. c b a << 【答案】D6.【云南省曲靖市第一中学2017届高三第六次月考】已知函数()21cos 2f x x t x =-．若其导函数()'f x 在R 上单调递增，则实数t 的取值范围为（ ） A. 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. []1,1- D. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】()'sin f x x t x =+令()()'sin g x f x x t x ==+，则()'1cos g x t x =+，即1cos 0t x +≥恒成立，只需10{10t t -≥+≥，解得11t -≤≤，故选C ．7.【海南省海南中学、文昌中学2017届高三下学期联考】已知函数()f x 满足()()33f x f x +=，当()0,3x ∈时()1ln ()3f x x ax a =->，当()6,3x ∈--时()f x 的最大值为19-，则实数a 的值等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D【解析】∵()()33f x f x +=，∴()()()6339f x f x f x +=+=，当()6,3x ∈--时，()60,3x +∈，∴()()()6ln 66f x x a x +=+-+，又∵()f x 的最大值为19-，∴()6f x +的最大值为1-，令()()ln 66y x a x =+-+，则11666a ax y a x x --='-=++，当166x a-<<-时， 0y '>，函数单调递增；当163x a-<<-时， 0y '<，函数单调递减， 故max 111ln 6666ln 11y a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+--+=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1a =，故选D.8.【河南省息县第一高级中学2017届高三下学期第三次阶段测】已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于点()1,0-中心对称，其导函数()f x '，当1x <-时，()()()()110x f x x f x '⎡⎤+++<⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为（ ）A. ()1,+∞B. (),1-∞-C. ()1,1-D. ()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】C9.【2017届广西省高三上学期教育质量诊断性联合考】已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，若不等式()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. ()2,eB. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 12ln3,3e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由于定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，则()f x 在(),0-∞上递增，又()ln 1ln 1ax x ax x --=--++，则()()()l n 1l n 121f a x x f ax x f -+++--≥ 可华化为：()()2ln 121f ax x f --≥，即()()ln 11f ax x f --≥对[]1,3x ∈恒成立，则1ln 11ax x -≤--≤，所以： ln x a x ≥且ln 2x a x+≤ 对[]1,3x ∈同时恒成立. 设()ln x g x x =， ()21ln xg x x -'=，则()g x 在[)1,e 上递增，在(],3e 上递减， ()()max 1g x g e e ∴==.设()ln 2x h x x += ， ()21ln 0xh x x -'-=< ， ()h x 在[]1,3 上递减， ()()min 2ln333h x h +== . 综上得：a 的取值范围是12ln3,3e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 10.【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】A【解析】关于 的方程，即：,令函数,若方程在在区间上有两个不等实根，即函数与在在区间有两个不相同的交点，,令可得，当时 ,函数是减函数,当时,，函数是增函数， 函数的最小值为：，.函数的最大值为：方程在关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是.，故选：A.11.【江西省百校联盟2017届高三2月联考】若函数存在唯一的极值点，且此极值大于0，则（）A. B. C. D. 或【答案】A12.【2017届重庆市高三上学期第一次诊断模拟】已知是函数的极小值点，则实数的取值范围是__________．【答案】或【解析】因为，所以令，可得函数的两个极值点分别为，由题意，即，解之得或，应填答案。