第3章 多维随机变量及其分布

P( X i, Y j ) P ( X i ) P (Y j | X i ) i 1, 2,3, 4；1 j i 1 1 4 i
Y
1 2
3 4
¼ 0 0 0
⅛ ⅛
0 0
1 12 1 12 1 12
1 16 1 16 1 16 1 16
即(X,Y)的联合概率分布为：
0
0.35
10
20
0 1 2
0.04 0.025
1 2
试写出关于X 和Y的边缘概率分布； 求P X 2 | Y 20的值。
0.025 0.15 0.04 0.020 0.10 0.25
1 2 0 X 解： 1由题意可得： P 0.415 0.215 0.370 10 20 0 Y P 0.395 0.290 0.315
i
j
ij
…
pi1
pi2
… … … …
p2j
pij
… … … …
为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。 可以用如右表格表示：
6
分布律的性质
1 pij 0，i, j 1, 2,

2

p
i 1 j 1


ij
1
例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。 解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4； X j取不大于i的正整数。 2 3 1 4
例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的 弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而 它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。
2
定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}； y 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义 X e ,Y e 在S上的随机变量，由它们构成的 向量(X,Y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。 e x S 定义：设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y， 二元函数 y
因为P x1 X x2 , y1 Y y2 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) 0
5
二维离散型随机变量
定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。
FX ( x) F ( x, ) FY ( y ) F ( , y )
事实上，
FX ( x) P( X x) P( X x, Y ) F ( x, )
即在分布函数F ( x, y)中令y ， 就能得到FX ( x)
同理得：FY ( y) P(Y y) F (, y)
f ( x, y ) 0 , 其他
则称(X,Y)在G上服从均匀分布。 2 现设(X,Y)为在有界区域 x y x上均匀分布，其概 fY ( y ) 率密度为 f ( x, y) 6, x 2 y x 求边缘概率密度 f X ( x)， 0, 其他 解： x
f X ( x)
0
7
二维连续型随机变量
定义：对于二维随机变量 X , Y 的分布函数F x, y , 如果存在非负函数f x, y ，使对于任意x, y， 有F ( x, y )
y

x
f (u, v)dudv
称 X , Y 为连续型的二维随机变量 称f x, y 为二维随机变量 X , Y 的(联合)概率密度
2 P X 2 | Y 20
0.25 0.794 0.315
14
例2：(X,Y)的联合分布律为
已知：P(Y 1| X 1) 0.5 求：(1)a,b的值；
X
Y 1 2
-1
0
1
0.1 a 0.2 0.1 0.2 b
(2)X,Y的边缘分布律； (3) P( X 1| Y 1) 解： (1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4
11
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
注： 1 在几何上，z f ( x, y )表示空间一个曲面，介于它和xoy平面 的空间区域的体积为1
2 P(( X , Y ) G )等于以G为底，以曲面z f ( x, y )为顶面的柱体体积。 所以 X,Y 落在面积为零的区域的概率为零。
9
例：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：
Y y 1 X
离散型随机变量的联合概率分布：
设 X , Y 所有可能取值为
x1
p11 p21
y2 … yj … p12 … p1j …
p22
x2
…
x , y , i, j 1, 2, 称P X x , Y y p , Байду номын сангаас, j 1, 2,
i j
…
xi
…
x y 2 u v (1 e 2 x )(1 e y ), x 0, y 0 0 2e du 0 e dv, x 0, y 0 0, 其他 其他 0,
2 P(Y X )

0


y
2e(2 x y ) dxdy e y (e2 x | y )dy

13
例1：对一群体的吸烟及健康状况进行调查，引入随机变量 0, 健康 0, 不吸烟 X 和Y 如下：X 1, 一般 , Y 10, 一天吸烟不多于15支 2, 不健康 20, 一天吸烟多于15支 根据调查结果,得 X , Y 的联合概率分布如下：
Y
X

2 x2 6dy 6( x x ), 0 x 1 f ( x, y)dy 其他 0,
fY ( y)


y 6dx 6( y y ), f ( x, y)dx y 0,
0 y 1 其他
16
例4：设二维随机变量 X , Y 的概率密度为： f ( x, y ) 1 2 1 2 1 2
i 1

记为
j 1
记为
注意： 记号pi 中 表示pi 是由pij关于
j求和后得到的； 同样p j是由 pij 关于i求和后得到的；
X Y y1 x1 p11 x2 p21 … xi pi1
P Y y j p· 1
…
y2 … yj p12 … p 1j p22 … p 2j … pi2 … p ij p· 2 … … p.j
又P(Y 1| X 1) 0.2 ， b=0.3 0.2 1 a 0.1 0.3 a 2 0.3 a
1 Y -1 0 p j 0.2 0.3 0.5
(2) X
pi
2 1 0.4 0.6
2 0.4 3 P( X 1| Y 1) 5
15
例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机 变量(X,Y)具有概率密度 1 A , ( x, y ) G
2e (2 x y ) , x 0，y 0 f ( x, y ) 其他 0, 1 求分布函数F ( x, y)； 2 求P(Y X )的概率
解： y x 1 F ( x, y) f (u, v)dudv
y x (2u v ) dudv, x 0, y 0 0 0 2e 0, 其他
x ， y

( x 1 ) 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 1 exp 2 2 2 1 2 22 2(1 ) 1
其中 1， 2， 1， 2，都是常数，且 1 0， 2 0， 1 1； 我们称 X , Y 为服从参数为1， 2， 1， 2，的二维正态分布，记为： ( X , Y ) N ( ， ; 2， 2 ; )； 1 2 1 2 试求二维正态随机变量的边缘分布函数。
8
概率密度的性质：
1. f x, y 0
2.





f ( x, y)dxdy 1
3. 设G是xoy平面上的区域，点 X , Y 落在G内的概率为： P(( X , Y ) G) f ( x, y)dxdy
G
2 F ( x, y ) 4. 在F x, y 的连续点 x, y ,有 f ( x, y ) xy
第三章
多维随机变量及其分布
关键词： 二维随机变量 分布函数 分布律 边缘分布函数 边缘分布律 条件分布函数 条件分布律 随机变量的独立性 Z=X+Y的概率密度 M=max(X,Y)的概率密度 N=min(X,Y)的概率密度
概率密度 边缘概率密度 条件概率密度
§1 二维随机变量
问题的提出
例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。
F ( x, y ) P ( X x) (Y y )
记成
x, y
0
P( X x, Y y)
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。