特殊的平行四边形同步教学讲义
特殊的平行四边形单元精编讲义
第十八章 四边形第一节 平行四边形一 、课标导航二 ．核心纲要1． 平行四边形的定义两组对边分别平行四边形叫做平行四边形．平行四边形ABCD 记作“□ABCD ”． 2．平行四边形的性质 (1)边：对边平行且相等． (2)角：对角相等，邻角互补． (3)对角线：对角线互相平分．(4)对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点． (5)面积＝底×高． 3．平行四边形的判定(1)边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等四边形是平行四边形；③一组对边平行四边形且相等的四边形是平行四边形； (2)角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (3)对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 4．三角形的中位线(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；(2)定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．ABCD5．平行四边形中的面积关系(1)12ABC ABD DBC ADC ABCDS S S S S ∆∆∆∆====Å； (2)123412ABCDS S S S S ====Å；(3)12312ABCDS S S S =+=Å； (4)132412ABCDS S S S S +=+=Å；(5)1423S S S S =或S 1S 3＝S 2S 4．6．已知三点确定平行四边形的方法已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，那么，以A 、B 、C 为顶点，可在平面上画出平行四边形的个数是3个，其作法分别为过三角形ABC 的三个顶点作对边的平行线，交点即为平行四边形的第四个顶点，如图所示．本节重点讲解：一个图形，四个性质，五个判定，五个面积关系． 三、全能突破ABCDES S S 4321S A BCDPS 13S 24S S ABCDABCDEF基础演练1．在平行四边形中，一定有( )．A ．两条对角线相等B ．两条对角线垂直C ．两条对角线互相平分D ．一条对角线平分一组对角2．在□ABCD 中，∠A ＝145°，则∠B ，∠C 的度数分别是( )．A ．30°，150°B ．35°，145°C ．40°，140°D ．45°，135°3．如图18－1－1所示，在周长是10cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC ，BD 相交于点O ，点E 在AD 边上，且OE ⊥BD ，则△ABE 的周长是( )．A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm4．□ABCD 的周长是28cm ，AC 与BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△OBC 的周长大4cm ，那么AB 等于( )．A ．8cmB ．9cmC ．10cmD ．11cm5．如图18－1－2所示，在□ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，若AE ＝2，AE ∶ED ＝2∶1，则□ABCD 的周长是( )．A ．10B ．12C ．9D ．156．下列命题：(1)一组对边平行，一组邻角互补的四边形是平行四边形；(2)一组对边相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，其中，错误的有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．47．如图18－1－3所示，点D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，若△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长为( )．A ．5B ．10C ．20D ．408．若平行四边形相邻两边为a ＝3，b ＝5，它们与对边的距离分别为a h 和b h ，那么a h ∶b h 等于( )．A ．5∶3B ．3∶5C ．10∶3D ．3∶10能力提升9．如图18－1－4所示，E 是□ABCD 内任一点，若ABCD S 四边形＝6，则图中阴影部分的面积为( )．A ．2B ．3C ．4D ．510．国家级历史文化名名城――金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛(如图18－1－5所示)，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB ∥EF ∥DC ，BC ∥GH ∥AD ，那么下列说法中错误的是( )．A ．红花、绿花种植面积一定相等B ．紫花、橙花种植面积一定相等C ．红花、蓝花种植面积一定相等D ．蓝花、黄花种植面积一定相等ABCDEF 图18－1－3图18－1－2图18－1－1OEDCBAABCDE11．平行四边形的两条对角线长分别是x ，y ，一边长为12，则x ，y 可能是下列各组中的( )．A ．8与14B ．10与14C ．18与20D ．10与3812．如图18－1－6所示，在ABCD Å中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于点G 、H ，试判断下列结论：①△ABE ≌△CDF ；②AG ＝GH ＝HC ；③EG ＝12BG ；④ABE AGE S S ∆∆=．其中正确的结论有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．若以A (－0.5，0)、B (2，0)、C (0，1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．如图18－1－7所示，□ABCD 的对角线BD 上有点E 、F ，若要使四边形AECF 是平行四边形，则要添加一个条件，可以添加的条件是＿＿＿＿＿．15．如图18－1－8所示，P 是平行四边形ABCD 内一点，且PAB S ∆＝5，PAD S ∆＝2，则阴影部分的面积为＿＿＿＿．16．如图18－1－9所示，平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 边于点M ，而MD 平分∠AMC ，若∠MDC ＝45°，则∠BAD ＝＿＿＿＿＿，∠ABC ＝＿＿＿＿．17．已知，如图18－1－10所示，在□ABCD 中，延长DA 到点E ，延长BC 到点F ，使得AE ＝CF ，连接EF ，分别交AB 、CD 于点M 、N ，连接DM 、BN ．(1)求证：△AEM ≌△CFN ．(2)求证：四边形BMDN 是平行四边形．18．如图18－1－11所示，在ABCD Å中，分别以AD 、BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF ，连接BE 、DF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．图18－1－4HFGEABC D红绿橙紫蓝黄H G FEABCD图18－1－6图18－1－5图18－1－7图18－1－8图18－1－9D CBACABCDE FM图18－1－10ABC DMNE F图18－1－11ABCDEF19．如图18－1－12所示，在□ABCD 中，AB ＞BC ，∠A 与∠D 的平分线交于点E ，∠B 与∠C 的平分线交于F 点，连接EF ．(1)延长DE 交AB 于M 点，则图中与线段EM 一定相等的线段有哪几条？说明理由(不再另外添加字母和辅助线)．(2)EF 、BC 与AB 之间有怎样的数量关系？为什么？(3)如果将条件“AB ＞BC ”改为“AB ＜BC ”，其他条件不变EF 、BC 与AB 的关系又如何？直接写出结论．20．如图18－1－13所示，已知点C 是线段AB 上的点，△ACD 与△BCE 都是等边三角形，F 、G 、M 、N 分别是线段AC 、CE 、CD 、CB 的中点，求证：FG ＝MN ．21．如图8－1－14所示，ABCD Å内一点E 满足ED ⊥AD 于点D ，且∠EBC ＝∠EDC ，∠ECB ＝45°，找出图中一条与EB 相等的线段，并加以证明．FEMMFEAB CDABCD图18－1－12N M FGED BC A图18－1－13图18－1－14DC B AE中考链接22．(2012·黑龙江)如图18－1－15所示，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝30°，则∠PFE 的度数是( )．A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°23．(2012·武汉)在面积为15的ABCD Å中，过点A 作AE 垂直直线BC 于点E ，作AF 垂直直线CD 于点F ，若AB ＝5，BC ＝6，则CE ＋CF 的值为( )．A．11B．11C．112+或112-D．112+或12+24．(2012·鞍山)如图18－1－16所示，点G 、E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边AD 、DC 和BC 上，DG ＝DC ，CE ＝CF ，点P 是射线GC 上一点，连接FP 、EP ．求证：FP ＝EP ． 巅峰突破25．如图18－1－17所示，等腰Rt △ABD 中，AB ＝AD ，点M 为边AD 上一动点，点E 在DA 的延长线上，且AM ＝AE ，以BE 为直角边，向外作等腰Rt △BEG ，MG 交AB 于点N ，连NE 、DN ．(1)求证：∠BEN ＝∠BGN ． (2)求NG ∶AB 的值．(3)当M 在AD 上运动时，探究四边形BDNG 的形状，并证明之．26．如图18－1－18所示，四边形ABCD 中，∠C ＝∠DAB ，∠CDA ＝∠CBA ，连接BD ，延长DA 到H ，使AH ＝AD ，连接BH ，BC ＝3，CD ＝4，DB ＝6，求BH 的长．图18－1－15ABP F CD图18－1－16PF EGAB C D图18－1－17EA M DNBG图18－1－18HACDB第二节 矩形、菱形、正方形一、课标导航：二、核心纲要： 1.矩形：（1）定义：有一个角是直角的的平行四边形叫矩形. （2）性质：①边：对边平行且相等 ②角：四个角都是直角③对角线：对角线互相平分且相等④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形. （3）判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形. ②对角线相等的平行四边形是矩形. ③有三个角是直角的四边形是矩形. （4）其他判定（需要证明）：①对于平行四边形，若存在一点到两对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形.若平行四边形ABCD 中，2222PB PD PC PA +=+,则平行四边形ABCD 是矩形，证明方法如下右图所示，将△PAB 平移至△DMC ，证明D C ⊥PM ；②对角线相互平分且相等的四边形是矩形；③对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形.2.菱形：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（2）性质：①边：对边平行且四边相等；②角：邻角互补，对角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角；④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形；⑤菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半.（3）菱形的判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.3.正方形：（1）定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. （2）性质：①边：对边平行，四条边都相等；②角：四个角都是直角；③对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形；（3）判定：①有一组邻边相等的的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. （4）其他判定（需要证明）①对角线互相垂直的矩形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.④四边均相等，对角线相等的四边形是正方形；⑤四边相等，有三个角是直角的的四边形是正方形； ⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.（5）平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系（如下图所示）4.直角三角形斜边中线等于斜边的一半.5.对角线互相垂直的四边形的性质：①面积是对角线乘积的一半：BD AC S ABCD ∙=21四边形; ②对边平方和相等：2222AD BC CD AB +=+.本节重点讲解：两个特殊性质，三个定义，三个性质，三个判定.平行四边形正方形菱形矩形B三、 全能突破1.如图18-2-1所示，在△ABC 中，AB=AC ，B E ⊥AC ，D 是AB 中点，且DE=BE=21AB ，则∠C 的度数是（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°2.如图18-2-2所示，菱形花坛ABCD 的边长为6m ，∠A =120°,其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）A ．12mB ．20mC ．22mD ．24m 3.菱形的周长为20cm ，两邻角的比为1:3，则菱形面积为（ ） A ．25cm 2B ．16cm 2C ．2225cm 2D ．216cm 2 4.如图18-2-3所示，平移△ABC 到△BDE 的位置，且点D 在边AB 的延长线上，连接EC 、CD ，若AB=BC ，那么在以下四个结论：①四边形ABEC 是平行四边形；②四边形BDEC 是菱形；③AC ⊥DC ；④DC 平分∠BDE ，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个18-2-318-2-218-2-1BA5.如图18-2-4所示，在矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，F 是CD 上的点，已知ABCD ADF ABE S S S 矩形31==∆∆，则CEF AEF S S ∆∆:的值等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56.如图18-2-5所示，点E 、F 分别是菱形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠D=60°, ∠FAD=45°,则∠CFE = 度.7.如图18-2-6所示，正方形ABCD 的边长为1，E 为AD 中点，P 为CE 中点，F 为BP 中点，则F 到BD 的距离等于 .18-2-618-2-518-2-4B8.如图18-2-7所示，四边形ABCD 是矩形，∠EDC=∠CAB, ∠DEC=90°. (1)求证：A C ∥DE .（2）过点B 做BF ⊥AC 于点F ，连接EF ，试判断四边形BCEF 的形状，并说明理由.18-2-79.如图18-2-8所示，矩形ABCD 的面积为36cm 2，E,F,G 分别为AB,BC,CD 中点，H 为AD 上任意一点，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．18cm 2B ．16cm 2C ．20cm 2D ．24cm 210.如图18-2-9所示，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个矩形色块图的面积为（ ）A ．142B ．143C ．144D ．14511.从菱形的一个钝角顶点向它的两条边做垂线，这两条垂线分别垂直平分对边，则该菱形的钝角等于（ ）A ．135°B ．150°C ．110°D ．145°12.如图18-2-10所示，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，若PM+PB 的最小值是3，则AB 的长为（ ）A ．3B ．3C ．6D ．3218-2-1018-2-918-2-8E A13.如图18-2-11所示，两个边长相等的正方形ABCD 和OEFG ，若将正方形OEFG 绕点O 按逆时针方向旋转150°，则两个正方形的重叠部分四边形OMCN 的面积（ ）A ．不变B ．先增大再减小C ．先减小再增大D ．不断增大14.矩形的周长为p ，对角线长为d ，则此矩形的长与宽的差可表示为（ ） A ．22821p d - B ．22821p d + C ．22621p d - D ．22621p d +15.如图18-2-12所示，在□ABCD 中，∠ADC=78°,AF ⊥BC 于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE=2AB ,则∠AED= .18-2-1318-2-1218-2-11BA16.（1）如图18-2-13所示，菱形ABCD 的对角线的长度分别为4,5，P 是对角线AC 上的一点，P E ∥BC 交AB 于点E ,PF ∥CD 交AD 于点F ，则图中阴影部分的面积是 .（2）如图18-2-14所示，在矩形ABCD 中，AB =5cm ，BC=3cm ,EF ∥GH ∥BC ,点P,Q 是EF 上的任意两点，R 为BC 的中点，则图中阴影部分的面积是 .17.如图18-2-15所示，在直线l 上平放有3个面积相等的矩形，其高分别为2m ，3m ，6m ，先做一平行于l 的直线m ，使截得的三部分阴影面积之和恰好等于一个矩形的面积，则l ，m 之间的距离为 .18.如图18-2-16所示，线段AB 的长为220cm ，点D 在线段AB 上，△ACD 是边长为10cm 的等边三角形，过点D 作与CD 垂直的射线DP ，过DP 上一动点G (不与D 重合)作矩形CDGH ，记矩形CDGH 的对角线交点为O ，连接OB ，则线段BO 的最小值为 .lm 18-2-1618-2-1518-2-1419. 如图18-2-17所示，在四边形ABCD中，∠ABC=135°, ∠BCD=120°,AB=6,BC=5-3,CD=6,求AD 的长.20. 如图18-2-18所示，在R t △ABC 中，∠C=90°,AC=3,BC=4,点P 为AB 边上任一点，过点P 分别作PF ⊥AC 于点E ,PF ⊥BC 于点F ，求线段EF 的最小值.21. 如图18-2-19所示，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果AB=4,AO=26,求AC 的值.18-2-1718-2-1818-2-1922.已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作菱形ADEF （A,D,E,F 按逆时针排列），使∠DAF=60°连接CF .（1） 如图18-2-20(a)所示，当点D 在边BC 上时，求证：①BD=CF ，②AC=CF+CD . （2）如图18-2-20（b ）所示，当点D 在边BC 的延长线上且其它条件不变时，结论上AC=CF+CD .是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由.（3）如图18-2-20（c ）所示，当点D 在边CB 的延长线上且其它条件不变时，补全图形，并直接写出A C 、CF 、CD 之间存在的数量关系.18-2-20(c)(b)(a)23.（2012·威海）如图，在ABCD 中，AE ，CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线。
特殊的平行四边形同步讲义
平行四边形的性质与判定（讲义）一、知识点睛1. 平行四边形的定义：________________________________．2. 平行四边形的性质边：______________________________________________； 角：______________________________________________； 对角线：__________________________________________． 3. 平行四边形的判定⎧⎨⎩；．①____________________________________________边②____________________________________________角：______________________________________________． 对角线：__________________________________________． 4. 夹在平行线之间的______________________________相等．二、精讲精练1. 已知□ABCD 的周长是100，且AB :BC =4:1，则AB 的长为___________．2. 在□ABCD 中，已知AB ，BC ，CD 三条边的长度分别为3x +，4x -，16，则这个平行四边形的周长为___________．3. 如图，在□ABCD 中，∠A 的平分线AE 交CD 于点E ，若AB =5，BC =3，则EC 的长为（ ） A ．1B ．1.5C ．2D ．3BCEDAABDEF第3题图 第5题图4. 在□ABCD 中，∠A :∠B :∠C :∠D 的值可以是（ ）A ．1:2:3:4B ．1:2:2:1C ．1:1:2:2D ．2:1:2:15. 如图，在□ABCD 中，已知∠B =110°，延长AD 至点F ，延长CD 至点E ，连接EF ，则∠E +∠F =（ ） A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°6. 在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若△ABO 的周长为15，AB =6，则AC +BD =____________．7. 在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BD ，交AD 于点E ，连接BE ，则△ABE 的周长为____________．8. 若□ABCD 的周长为32，且5AB =3BC ，则对角线AC 的取值范围是___________________．9. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，已知AD =12，AB =13，BD ⊥AD ，求BC ，CD ，OB 的长以及□ABCD 的面积．ABCD O10. 如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，延长BD 至点C ，使AC=AB ，连接AD ，CE ．（1）求证：△BAD ≌△ACE ；（2）若∠B =30°，∠ADC =45°，BD =10，求□ABDE 的面积．A BCD E11. 下列说法：①如果一个四边形任意相邻的两个内角都互补，那么这个四边形是平行四边形；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③如果AC ，BD 是四边形ABCD 的对角线，且AC 平分BD ，那么四边形ABCD 是平行四边形；④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形． 其中正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12. 已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①AB ∥CD ；②AB =CD ；③BC ∥AD ；④BC =AD ．从中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法共有（ ）种． A ．3B ．4C ．5D ．613. 已知四边形ABCD 是平行四边形，下列选项中，按照所给条件得到的四边形EFGH 不一定是平行四边形的是（ ）H A CDE FGBHA CDEF GBA ．EF ⊥BC ，GH ⊥ADB ．E ，F ，G ，H 分别是□ABCD 各边的中点FH A CDEG BHEF GA C DBC ．AF ，BH ，CH ，DF 分别是D ．EG ，FH 是过□ABCD□ABCD 各内角的角平分线 对角线交点的两条线段14. 如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，DC 的中点，则图中的平行四边形共有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个D ．6个ABCD E F15. 如图，AB ∥CD ，AB =CD ，点E ，F 在BC 上，且BE =CF ．试证明：以A ，F ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形．ABCDEF16.上的两17. 如图，在□ABCD 中，点E ，F 分别在CD ，AB 的延长线上，且AE =AD ，CF =CB ．求证：四边形AFCE 是平行四边形．ABCDEFO三、回顾与思考【参考答案】知识点睛1．两组对边分别平行的四边形．2．平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．平行线段．精讲精练1．402．503．C4．D5．D6．187．10cm8．416AC<<9．12BC=，13CD=，52OB=，□ABCD的面积为60．10．（1）证明略；（2）□ABDE的面积为1)．11．B12．B13．A14．B15．证明略．16．证明略．17．证明略．（提示：证明△ADE≌△CBF）平行四边形的性质与判定（随堂测试）1. 如图，在□ABCD 中，F 是BC 边的中点，连接DF 并延长，交AB 的延长线于点E ．求证：AB =BE ．FE DCBA【参考答案】1．证明略．（提示：先证明△CDF ≌△BEF ，得到CD =BE ，因为CD =AB ，所以AB =BE ）平行四边形的性质与判定（作业）1. 在□ABCD 中，若∠A :∠B =5:4，则∠C 的度数为（ ）A ．80°B ．120°C ．100°D ．110°2. 若□ABCD 的周长为40，△ABC 的周长为25，则对角线AC 的长为（ ） A ．5 B ．15 C ．6 D ．163. 已知平行四边形的一边长为10，则其两条对角线的长可能是（ ）A ．3，8B ．20，30C ．6，8D ．8，124. 已知四边形ABCD 的对角线相交于点O ，以下条件能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ） A ．AB ∥CD ，BC =AD B ．AB ∥CD ，AO =CO C ．AB ∥CD ，∠DAC =∠CAB D ．AB =CD ，∠B =∠C5. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AD ，HN ∥AB ，则图中的平行四边形共有（ ） A ．12个B ．9个C ．7个D ．5个 NHFE D C BA 第5题图 第7题图6. 已知平行四边形的周长为56，两邻边长之比为3:1，则这个平行四边形较长的边长为____________．7. 如图，在□ABCD 中，CE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AD 于点F ．若∠B =60°，则∠ECF =___________．8. 若□ABCD 的周长为22，AC ，BD 相交于点O ，△AOD 的周长比△AOB 的周长小3，则AD =_________，AB =_________．9. 如图，在□ABCD 中，O 是AC ，BD 的交点，E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．OG HF E DC BA10. 如图，在□ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，且AE =CG ，BF =DH ，求证：四边形EFGH 是平行四边形．GHFEDC BAF EDC BA【参考答案】1．C 2．A3．B4．B 5．B6．217．60°8．4，79．证明略． 10．证明略．每日一练（八）1. 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PE ∥AB 交BC 于点E ，PF ∥BC 交AC于点F ，PG ∥AC 交AB 于点G ，试判断PE ，PF ，PG 的和与△ABC 的边长a 之间的关系，并说明的理由．GFEPCBA【参考答案】1．PE PF PG a ++=，理由略．（提示：延长EP 交AC 于点H ，可证△PFH 为等边三角形，PE CF=，PF FH=，PG AH =，所以P E P F P G C F F H ++=++==）特殊平行四边形的性质与判定（讲义）一、知识点睛1. 菱形的定义：_____________________________________．菱形的性质边：_____________________________________________； 对角线：_________________________________________； 面积：___________________________________________． 菱形的判定边：_____________________________________________； 对角线：_________________________________________． 2. 矩形的定义：_____________________________________．矩形的性质角：_____________________________________________； 对角线：_________________________________________． 矩形的判定角：_____________________________________________； 对角线：_________________________________________． 3. 正方形的定义边：_____________________________________________； 角：_____________________________________________． 正方形的性质：___________________________________ _________________________________________________． 正方形的判定⎧⎨⎩；．①_______________________________________对角线②_______________________________________ 二、精讲精练1. 在菱形ABCD 中，O 是两条对角线的交点，已知BD =6，AC =8，则菱形ABCD 的面积是_________，周长是_________．2. 如图，P 是菱形ABCD 的对角线上一点，PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．若PF =3cm ，则PE 的长为___________．PFED CBA3. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AB 于点E ．若∠ADC =130°，则∠AOE 的大小为（ ） A ．75°B ．65°C ．55°D ．50°4. 若菱形的一个内角是60°，边长是8，则菱形的两条对角线的长分别为_______________．5. 已知菱形ABCD 的边长为6，∠A =60°，如果P 为菱形ABCD 内一点，且PB =PD=AP 的长为____________．6. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC =16cm ，BD =12cm ，求AB 以及菱形的高DH 的长．HODCBA7. 如图，在□ABCD 中，AE ，CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形的是（ ） A ．AE =AF B ．EF ⊥ACC ．∠B =60°D ．AC 是∠EAF 的平分线8. E ，F ，连接BE ，DF ．证明：四边形BEDF 是菱形．OFE DCBAE O DC BA9. 矩形和菱形一定都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线互相平分且相等10. 矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过顶点D 作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于点E ，若BO =2，则DE 的长为_____________．11. 如图，在矩形ABCD 中，已知AB =6，BC =8，P 为AD 边上任一点，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE PF =____________．12. 如图，在□ABCD 中，各内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形．HG FEDCBA13. 如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 上的点，且AE =BF =CG =DH ．求证：四边形EFGH 是矩形．O HGF EDC BAO P F E D C B A14. 下列关于正方形性质的描述：①两组对边平行，四条边相等； ②四个角相等，且都等于90°；③对角线互相垂直、平分且相等，每一条对角线都平分一组对角； ④若正方形对角线的长为2，则它的面积为2． 其中说法正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，则图中的等腰三角形共有（ ） A ．4个B ．6个C ．8个D ．10个ODC BA第15题图 第16题图16. 如图，在正方形ABCD 中，延长AB 至点E ，使BE =AC ，则∠E =___________．17. 如图，AC 为正方形ABCD 的对角线，E 为AC 上一点，连接EB ，ED ．当∠BED =126°时，∠EDA 的度数为（ ） A ．54°B ．27°C ．36°D ．18°18. 下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②矩形的对角线垂直且互相平分；③对角线相等的四边形是矩形；④对角线相等的菱形是正方形；⑤有一个角是直角的平行四边形是正方形；⑥对角相等的菱形是正方形． 其中正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个ECBA D EDCB A19. 如图，在正方形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别在它的四条边上，且AE =BF =CG =DH ，则四边形EFGH 是什么特殊四边形？你是如何判断的？HGFE D CBA20. 如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）试判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD :AB =________时，四边形MENF 是正方形（只写结论，不需证明）．三、回顾与思考【参考答案】知识点睛1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．2．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．3．有一组邻边相等的矩形叫做正方形；有一个角是直角的菱形叫做正方形．正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；对角线垂直且相等的平行四边形是正方形．精讲精练1．24，202．3cm3．B4．8，5．6．AB的长为10cm，DH的长为485cm．7．C8．证明略．9．C 10．411．24 512．证明略．（提示：证明三个角是直角）13．证明略．（提示：证明OE OG OF OH===）14．D15．C16．22.5°17．D18．A19．四边形EFGH是正方形，理由略．（提示：证明Rt△AEH≌Rt△BFE≌Rt△CGF≌Rt△DHG）20．（1）证明略；（2）四边形MENF是菱形，证明略；（3）当AD:AB=2:1时，四边形MENF是正方形．特殊平行四边形的性质与判定（随堂测试）2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（）A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D．当∠DAB=90°时，四边形ABCD是正方形D CBA3.如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形AEDF是正方形．F EODCBA【参考答案】1．D 2．证明略．特殊平行四边形的性质与判定（作业）1. 已知菱形的周长为40，两对角线之比为3:4，则两对角线的长分别为（ ）A ．12，16B ．6，8C ．24，32D ．48，642. 添加下列条件，不能判定□ABCD 是菱形的是（ ）A ．AB =BCB ．AC ⊥BD C ．BD 平分∠ABCD ．AC =BD3. 下列关于矩形的说法正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分 4. 下列命题正确的是（ ）A ．一组邻边相等的平行四边形是正方形B ．一组邻边垂直，一组对边相等的四边形是正方形C ．对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形D ．四条边都相等的四边形是正方形5. 已知菱形两对角线的长分别为12，16，则该菱形的面积为__________，周长为__________．6. 如图，在菱形ABCD 中，已知∠ABC =60°，E 是AD 的中点，EP ⊥AD ，交BD于点P ．若BD =12cm ，则EP 的长为______．EPDCBAEDCB A第6题图第9题图7.已知矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，且∠AOB=60°．若BD=10cm，则AD=__________．8.已知正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，OE⊥BC于点E．若OE=2，则正方形ABCD的面积为____________．9.如图，E为正方形ABCD内一点，且△BCE为等边三角形，则∠BAE的度数为_________．10.如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC．P为CE上任一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ PR=____________．11.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？12.QREPDC BA【参考答案】1．A2．D3．D4．C5．96，406．2cm7．cm8．169．75°10．211．重叠的部分ABCD是菱形，理由略．12．证明略．提示：（1）证明△ABD≌△CBD；（2）先证明四边形MPND是矩形，然后再证明PM PN．每日一练（九）1. 如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠B =∠EAF =60°．求证：△AEF 是等边三角形．FEDCBA2. 如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且△AEF 是等边三角形．若△AEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等，求∠BAD 的度数．FED CBA【参考答案】1．证明略．（提示：连接AC ，证明△ABE ≌△ACF ，则AE =AF ，进而得证） 2．100°．梯形及多边形（讲义）一、知识点睛1. 梯形的定义：_____________________________________．等腰梯形ACDB 直角梯形DACBCADB2. 等腰梯形的性质边：_____________________________________________；角：_____________________________________________； 对角线：_________________________________________． 3. 梯形的中位线：___________________________________．FEDBA 4. 梯形中位线定理：___________________________________________________________________________________． 5. 四边形中的中点6. 中心对称图形：_____________________________________________________________________________________． 7. 中心对称图形上的______________都被___________平分． 8. n 边形的内角和等于______________；外角和等于______． 9. 平面图形的镶嵌：_________________________________________________ _________________________________________________．二、精讲精练1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则下列结论不一定正确的是（ ） A ．AC =BDB ．∠OBC =∠OCB C ．S △AOB =S △DOCD ．∠BCD =∠BDCODC BA第1题图 第4题图2. 在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥CD 于点D ．若AB =1，AD =2，DC =4，则BC 的长为____________．3. 若等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（ ）A ．120°B ．60°C ．45°D ．135°4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =30°，∠BCD =60°，若AD =4，AB=BC 的长为____________．5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =50°，∠C =80°．若AD =2，BC =5，则CD 的长为____________．DCBADC BA第5题图 第6题图6. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，AC ⊥BD ．若AD =3，BC =7，则梯形ABCD 的面积为____________．7. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若AC =BC +AD ，则∠ACB =____________．DCB A60°30°D CB A8. 如图，DE 是△ABC 的中位线，M ，N 分别是BD ，CE 的中点．若MN =6，则BC =____________．N M E D CBAPF E D CBA第8题图 第10题图9. 若梯形中位线的长是梯形高的2倍，且梯形的面积为18cm 2，则这个梯形的高为（ ） A．B ．6cmC．D ．3cm10. 如图，在梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于点P ，且点P 恰好在梯形的中位线EF 上．若EF =3，则梯形ABCD 的周长为（ ） A ．9B ．10.5C ．12D ．1511. 顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是_____________；顺次连接对角线__________的四边形的各边中点，所得的四边形是矩形；顺次连接对角线__________的四边形的各边中点，所得的四边形是菱形；顺次连接对角线___________的四边形的各边中点，所得的四边形是正方形．12. 如图，已知四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 互相垂直，四边形A 1B 1C 1D 1是中点四边形．若AC =3，BD =4，则四边形A 1B 1C 1D 1的面积为___________．D 1C 1B 1A 1DCB AHGF E O DC B A第12题图 第13题图 13. 如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为AD ，BD ，BC ，CA 的中点．要使四边形EFGH 是菱形，则应满足的条件是（ ） A ．AC ⊥BD B ．AC =BD C ．AB =CD D ．AD =BC14. 下列图形：①等腰梯形；②菱形；③平行四边形；④正方形；⑤直角梯形；⑥矩形．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是_______________．（填写序号）15. 下列说法正确的是（ ）A ．各边相等的多边形是正多边形B ．各角相等的多边形是正多边形C ．正多边形边数增加时，每个内角度数随着增加D ．正五边形既是中心对称图形，又是轴对称图形16. 如图，在一个足够大的操场上的点M 处，小明沿直线向前走10米后，向左转30°，再沿直线向前走10米，又向左转30°，……，如此继续下去．则小明第一次回到出发点M 处时，一共走了_________米．N MFE DBA第16题图 第18题图17. 多边形的内角中，锐角最多有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18. 如图，以正六边形ABCDEF 的边AB 为边，在六边形内作正方形ABMN ，连接MC ，则∠BCM 的大小为___________． 19. 边长为2的正六边形的面积为___________．20. 如图，已知六边形ABCDEF 的每个内角都是120°，且AB =1，BC =CD =7，DE =3，则这个六边形的周长为___________．AB C D EF第20题图 第21题图21. 如图是由3个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种多边形是_____边形．22. 如果要用正三角形和正方形两种图案进行密铺，那么至少需要（ ）A ．3个正三角形，2个正方形B ．2个正三角形，3个正方形C ．2个正三角形，2个正方形D ．3个正三角形，3个正方形三、回顾与思考【参考答案】知识点睛1．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．2．等腰梯形两腰相等；等腰梯形在同一底上的两角相等；等腰梯形的两条对角线相等．3．连接梯形两腰中点的线段．4．梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半．6．在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．7．每一对对应点所连成的线段，对称中心．8．(n-2)·180°；360°．9．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．精讲精练1．D 23．B4．12 5．3 6．257．60°8．8 9．D10．C11．平行四边形；互相垂直；相等；互相垂直且相等．12．3 13．C 14．②④⑥15．C 16．120 17．C18．75°19．20．3221．正六22．A梯形及多边形（随堂测试）4. 已知等腰梯形的周长为80cm ，中位线长与腰长相等，则该等腰梯形的中位线的长度为____________．5. 顺次连接任意四边形ABCD 各边中点，所得四边形EFGH 是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH 一定是平行四边形；②当四边形ABCD 是矩形时，中点四边形EFGH 也是矩形； ③当中点四边形EFGH 是菱形时，四边形ABCD 是矩形； ④当四边形ABCD 是正方形时，中点四边形EFGH 也是正方形． 其中正确的是_______________．（填写序号）HFA BCDE G【参考答案】1．20cm 2．①④梯形及多边形（作业）1. 如图，在矩形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．若AB =2，AD =4，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．32. 下列图形：①等边三角形；②矩形；③等腰梯形；④直角梯形；⑤角；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ） A．1个B ．2个C ．3个D ．4个G E3. 下列美丽的图案，是中心对称图形的是（ ）347 88A ．B ．C ．D ．4. 下列正多边形：①正六边形；②正五边形；③正方形；④正三角形．其中能够铺满地面的正多边形有（ ） A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种5. 已知等腰梯形的上底为6cm ，下底为8cm ，高为cm ，则其腰长为_____________．6. 若直角梯形的一腰长为18cm ，这条腰和一个底所成的角是30°，则其另一条腰长为____________．7. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AC =6cm ，BD =8cm ，则该梯形的面积为_____________．8. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，且AC ⊥BD ，AF 是梯形的高．若梯形的面积为49，则高AF 的长为____________．FDBAGFE D BA第8题图 第9题图O D C B A9. 如图，DE 是△ABC 的中位线，FG 是梯形BCED 的中位线，若DE =4cm ，则FG 的长为____________．10. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，四边形EFGH 为中点四边形，当AC =BD 时，四边形EFGH 是__________形；当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是____________形；当四边形EFGH 是正方形时，AC 与BD 满足的关系是_____________________．由此可见，中点四边形的形状与外围四边形的对角线有关．HDG F BE A第10题图 第12题图11. 若一个n 边形的各内角都相等，且内角的度数与跟它相邻的外角的度数之比为3:1，则这个多边形的边数为_______．12. 如图，小陈从点O 出发，沿直线向前走5米后，向右转20°，再沿直线向前走5米，又向右转20°，……，这样一直走下去．则他第一次回到出发点O 处时，一共走了_________米．13.如图，在正六边形ABCDEF 中，已知阴影部分的面积为12边形的边长为____________．F14. 用正六边形的地砖平面镶嵌，则围绕一点拼在一起的正六边形地砖的块数为____________．【参考答案】1．C2．B3．B4．C5．2cm6．9cm7．24cm28．79．6cm10．菱；矩；AC=BD且AC⊥BD．11．812．9013．4cm14．3每日一练（十）1. 如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 为一边，向外作等边三角形ACD 和等边三角形ABE ．已知∠BAC =30°，EF ⊥AB 于点F ，连接DF ．求证：（1）AC =EF ；（2）四边形ADFE 是平行四边形．EF BCDA2. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD于点M ，交AC 于点E ，AN 平分∠CAD ，交BC 于点N ．求证：四边形AMNE 是菱形．ENM D CBA【参考答案】1．证明略．提示：（1）在等边三角形ABE 中，EF ⊥AB 于点F ，所以F 为AB 中点，∠AEF =30°，易证△ACB ≌△EFA ，则AC =EF ．（2）∠DAF =∠DAC +∠BAC =90°，所以AD ∥EF ． 又AD =AC =EF ，所以四边形ADFE 是平行四边形． 2．证明略．提示：由已知，∠ABE =∠CBE ，∠BAD =∠C ， 因为∠AME =∠ABE +∠BAD ，∠AEM =∠CBE +∠C ， 所以∠AME =∠AEM ．又AN 平分∠CAD ，BE 平分∠ABC ，易证AN ，ME 互相垂直平分，进而得证．四边形证明（讲义）一、知识点睛））二、精讲精练1. 如图，在□ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接AE 并延长，交DC 的延长线于点F ．（1）求证：△ABE ≌△FCE ．（2）连接AC ，BF ，若∠AEC =2∠D ，求证：四边形ABFC 为矩形．FEDCBA2. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°．AG ∥CD ，交BC 于点G ，点E ，F分别为A G ，C D的中点，连接DE ，FG ．（1）求证：四边形DEGF 是平行四边形；（2）当点G 是BC 的中点时，求证：四边形DEGF 是菱形．A DFEB GC3. 如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若四边形DEBF 是菱形，求证：四边形AGBD 是矩形．GFED CBA4. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，O 为AB 的中点，连接DO 并延长至点E ，使OE =DO ，连接AE ，BE ． （1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形AEBD 是正方形？请说明理由．OED CB A5. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，且AF =CE =AE ． （1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请说 明理由．FED CBA6. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．FEDCBA7. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AE =AF ． （1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ，交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM =OA ，连接EM ，FM ，则四边形AEMF 是什么特殊四边形？请证明你的结论．MOFED C B A8. 如图，在□ABCD 中，AB ⊥AC ，AB =1，BCAC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ． （1）求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形．（2）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出相应的图形，并写出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．F E ODCBAODCBA9. 如图，在△ABC 中，O 是AC 边上的一动点（不与点A ，C 重合），过点O作直线MN ∥BC ，直线MN 与∠BCA 的平分线相交于点E ，与∠DCA （△ABC 的外角）的平分线相交于点F ．（1）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请证明你的结论． （2）在（1）的条件下，∠ACB 的大小为多少时，四边形AECF 为正方形（不要求说明理由）？ABCD E F NMOABC D三、回顾与思考【参考答案】知识点睛精讲精练1．（1）证明略．（2）证明略．提示：由△ABE≌△FCE得，AB=FC，因为AB∥FC，所以四边形ABFC是平行四边形．又因为∠AEC=2∠D，所以AE=BE，则AF=BC．所以四边形ABFC是矩形．2．（1）证明略．提示：先证四边形AGCD是平行四边形，得到AG=CD，进而可得EG=DF，则四边形DEGF是平行四边形．（2）证明略．提示：连接DG，证明四边形ABGD是矩形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到DE=EG，从而得证．3．（1）证明略．提示：证明四边形DEBF是平行四边形．（2）证明略．提示：由AD∥BG，AG∥DB得，四边形AGBD是平行四边形，又因为四边形DEBF是菱形，所以DE=BE，从而得到AD⊥BD，所以四边形AGBD是矩形．4．（1）证明略．提示：由OE=DO，AO=BO得，四边形AEBD是平行四边形，又因为AB=AC，AD是△ABC的角平分线，所以AD⊥BC，进而得证．（2）当△ABC是等腰直角三角形，即AB=AC，∠BAC=90°时，四边形AEBD是正方形．5．（1）证明略．提示：先证AC∥EF，∠EAC=∠AEF，又AF=CE=AE，则∠EAF=∠AEC，AF∥CE．（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形，理由略．6．四边形ADCF是菱形，证明略．7．（1）证明略．提示：证明△ABE≌△ADF．（2）四边形AEMF是菱形，证明略．8．（1）证明略．提示：当旋转角为90°时，AB∥EF，又AF∥BE，所以四边形ABEF是平行四边形．（2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形，此时AC绕点O顺时针旋转的度数为45°，相应的图形略．9．（1）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明略．（2）当∠ACB=90°时，四边形AECF为正方形．四边形证明（随堂测试）6. 如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，连接DE ，BF ，BD ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ．（2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．FE D CBA【参考答案】1．（1）证明略．（2）四边形BFDE 是菱形，证明略．四边形证明（作业）1. 如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点．E 是CD 的中点，过点C 作CF ∥AB ，交AE 的延长线于点F ，连接BF ． （1）求证：DB =CF ；（2）若AC =BC ，试判断四边形CDBF 的形状，并证明你的结论．FEDCBA2. 如图，在矩形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，过点O 的直线分别交AB ，CD 的延长线于点E ，F ． （1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A ，E ，C ，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．FDC OEB A3. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 在边BC 上，且AB ∥DE ，AF ∥DC ，四边形AEFD 是平行四边形．（1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由．（2）当AB =DC 时，求证：平行四边形AEFD 是矩形．4. 如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，P ，Q 分别是BM ，DN 的中点．（1）求证：△MBA ≌△NDC ；（2）四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由．QPN MB CDA5. 如图，在△ABC 中，O 是AC 边上的一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，直线MN 与∠ACB 的平分线相交于点E ，与∠DCA （△ABC 的外角）的平分线相交于点F ． （1）求证：OE =OF ；（2）若CE =12，CF =5，求OC 的长；（3）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请证明你的结论．AB CDE F NMOABCD【参考答案】1．（1）证明略．提示：证明△ADE ≌△FCE ，则DB =DA =CF ． （2）四边形CDBF 是矩形，证明略．提示：先证四边形CDBF 是平行四边形，因为AC =BC ，D 是AB 的中点，所以∠BDC =90°，进而得证． 2．（1）证明略．（2）当EF ⊥AC 时，以A ，E ，C ，F 为顶点的四边形是菱形． 证明略．3．（1）BC =3AD ，理由略． （2）证明略．提示：当AB =DC 时，由等腰三角形三线合一易证∠AEF =90°． 4．（1）证明略．（2）四边形MPNQ 是菱形，理由略． 提示：由△MBA ≌△NDC 得，BM =DN ．连接MN ，则四边形AMNB ，四边形DMNC 均为矩形，可利用直角三角形中斜边中线等于斜边一半进行证明． 5．（1）证明略．提示：由角平分线+平行线，可以得到OE =OC ，OF =OC ．（2）132OC ．（3）当点O 运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形， 证明略．每日一练（十一）1. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是BC 的中点，AD =5，BC =12，CD =24，∠C =45°，P 是BC 边上一动点，设BP 的长为x ．（1）当x 的值为____________时，以P ，A ，D ，E 为顶点的四边形是直角梯形；（2）当x 的值为____________时，以P ，A ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形；（3）点P 在BC 边上运动的过程中，以P ，A ，D ，E 为顶点的四边形能否成为菱形？请说明理由．EP D C BA EDCBA2. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，射线AM ∥BC ．点P 从点A 出发，沿射线AM运动，同时点Q 从点B 出发，沿射线BC 运动，设运动的时间为t （s ）． （1）连接PQ ，AQ ，PC ，当PQ 经过AC 的中点D 时，求证：四边形AQCP 是平行四边形．（2）若BC =6cm ，点P 运动的速度为1cm/s ，点Q 运动的速度为4cm/s ，填空：①当t 的值为_____________时，以A ，Q ，C ，P 为顶点的四边形是平行四边形；②当t 的值为_____________时，以A ，Q ，C ，P 为顶点的四边形是直角梯形．QBC DMPABCMA【参考答案】1．（1）3或8； （2）1或11；（3）能成为菱形，当x 的值为11时，以P ，A ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，理由略． 2．（1）证明略．提示：证明△ADP ≌△CDQ ，则AP =CQ ， 又AP ∥CQ ，所以四边形AQCP 是平行四边形．四边形综合应用（讲义）一、知识点睛1. 图形面积的处理方法①公式法 ②割补法 ③转化法平行四边形中有关面积的常用处理手段 ①三个“一半”S 2S 1A BCDPD CBA1212ABCD S S S ==□ 1212ABCD S S S ==□ ②平行转化S 1S 2Q A BCDPD12PBC ABCD S S =△□12PBC QBC S S S S ==△△2. 图形的平移在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．经过平移，对应点所连的线段_________________________；对应线段__________________，对应角_________________；平移会出现__________________． 应用：如图，已知点A ，B ，C ，在平面内确定一点M ，使以A ，B ，C ，M 为顶点的四边形是平行四边形．二、精讲精练1. 如图，在□ABCD 中，过对角线BD 上的一点P ，作EF ∥BC ，HG ∥AB ．若四边形AEPH 和四边形CFPG 的面积分别为S 1，S 2，则S 1，S 2的大小关系为（ ） A ．12S S = B ．12S S > C ．12S S <D ．不能确定A BCDE F G HPS 1S 2第1题图 第2题图2. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形的面积之和为14cm 2，四边形ABCD 的面积为11cm 2，则①②③④四个平行四边形的周长之和为（ ） A ．48cmB ．36cmC ．24cmD ．18cmABC DEF GH ①②③④⑤31M。
人教版八年级下册18.2 特殊平行四边形 讲义
【知识体系】【要点梳理】 要点一、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．宽＝长矩形 S类型一、矩形1、已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CN∥AB，DN 交AC 于点M ，MA ＝MC ．①求证：CD ＝AN ；②若∠AMD ＝2∠MCD，求证：四边形ADCN 是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD 和△CMN 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD ＝CN ，然后判定四边形ADCN 是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证； ②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD ＝MC ，然后证明AC ＝DN ，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证． 【答案与解析】 证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA， 在△A MD 和△CMN 中，∵DAC NCA MA MC AMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AMD≌△CMN（ASA ）， ∴AD＝CN ， 又∵AD∥CN，∴四边形ADCN 是平行四边形， ∴CD＝AN ；②∵∠AMD＝2∠MCD ，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC， ∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．2、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值． 【答案与解析】 解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6， 又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即， 解得：x ＝3 ∴ EF ＝3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．226810AC =+=222(8)4x x -=+【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1.类型二、菱形3、如图,在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连结DF ，则∠CDF 等于( ).A.80°B.70°C.65°D.60°【答案】D ； 【解析】解：连结BF ，由FE 是AB 的中垂线，知FB ＝FA ，于是∠FBA ＝∠FAB ＝＝40°.∴∠CFB ＝40°＋40°＝80°,由菱形ABCD 知，DC ＝CB ，∠DCF ＝∠BCF ，CF ＝CF ， 于是△DCF ≌△BCF ， 因此∠CFD ＝∠CFB ＝80°,在△CDF 中, ∠CDF ＝180°－40°－80°＝60°.222DC FC DF +=85DEF 1=DE AB 2S ⨯△12【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质.举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、正方形4、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E 点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE＝EF．根据正方形的性质推出AB＝BC，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B为直角的等腰直角三角形，得到BH＝BE，∠H＝45°，HA＝CE，根据CF平分∠DCE推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF即可得到答案．【答案与解析】探究：AE＝EF证明：∵△BHE为等腰直角三角形,∴∠H＝∠HEB＝45°，BH＝BE.又∵CF平分∠DCE，四边形ABCD为正方形，∴∠FCE＝12∠DCE＝45°，∴∠H＝∠FCE.由正方形ABCD知∠B＝90°，∠HAE＝90°＋∠DAE＝90°＋∠AEB,而AE⊥EF，∴∠FEC＝90°＋∠AEB，∴∠HAE＝∠FEC.由正方形ABCD知AB＝BC，∴BH－AB＝BE－BC，∴HA＝CE,∴△AHE≌△ECF （ASA）,∴AE＝EF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．(2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．(3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．【答案】四边形EFGH为平行四边形；形.正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角①邻边相等的矩形是正方形 ②对角线垂直的矩形是正方形 ③有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线相等的菱形是正方形类型一、矩形的判定1、如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（ ） A ．5cm B ．8cmC ．9cmD ．10cm【解析】D 举一反三【变式】如图，已知矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，记点C 的对应点为C ′，若∠ADC ′＝20°，则∠BDC 的度数为________．【答案与解析】55°【变式2】矩形的边长为10和15,其中一个内角平分线分长边为两部分,这两部分的长度分别为( ) A. 6和9 B. 5和10 C. 4和11 D. 7和8【解析】【答案】B【变式3】四边形ABCD 的对角线交于点O ，在下列条件中，不能说明它是矩形的是 （ ） A. AB=CD ，AD=BC ，∠BAD =90° B.∠BAD=∠ABC =90°,∠BAD+∠ADC=180° C 、∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠ADC=180° D. AO=CO,BO=DO,AC=BD 【答案】C2、在平行四边形ABCD 中，过点D 作AB DE ⊥于点E ，点F 在边CD 上，BE DF =，连接AF ，BF 。
特殊的平行四边形复习讲义(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】沃根金榜一对一学科教师辅导讲义学生姓名：年级：老师：上课日期：上课时间：上课次数：______年级第______单元课题______ ——————————————————————————————————[ 课前准备]课前检查：作业完成情况：优（）良（）中（）差（）复习预习情况：优（）良（）中（）差（）——————————————————————————————————[ 学习内容]特殊的平行四边形讲义考试考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是初二的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。
内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。
知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。
重难点：1.矩形、菱形性质及判定的应用2. 相关知识的综合应用教学过程知识点归纳一．矩形有一角是直角的平行四边形叫做矩形．【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．矩形的性质性质1矩形的四个角都是直角；性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。
矩形的判定矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补例3：已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，•H，求证：•四边形EFGH是矩形．二．菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．例1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE 是菱形．例3、如图，在中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。
特殊的平行四边形专题辅导讲义
特殊的平行四边形一、矩形的定义、性质及判定和对称性．（1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（2）性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等（3）判定：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形：③两条对角线相等的平行四边形是矩形．（4）对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形．【驻足“双基”】1、下列给出的条件中，不能判断一个四边形是矩形的是（）A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角B．有三个角都是直角C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形D．一组对边平行，另一组对边相等，且两条对角线相等2、一个平行四边形，如果一个内角等于_____时，这个平行四边形变成矩形；如果两条对角线____时，这个平行四边形变成矩形3、四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判别它是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=CO，AC=BD C．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°4、如图，有一个矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED的DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（）10A．4 B．6 C．8 D．【提升“学力”】5、（淄博）如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后AB与EB在同一条直线上,则∠CBD的度数为（）A.大于90°B.等于90°C.小于90°D.不能确定C6、如图，在矩形ABCD 中，AB=3,AD=4,P 是AD 边上的动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ， 则PE+PF= ．7、在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O ，且AF ⊥BC ，求证：四边形AFCE 是矩形【聚焦“中考”】8、（淄博）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD⊥BC，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点E ，（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．9、如图，在矩形ABCD 中，点H 在对角线BD 上．HC ⊥BD ，HC 的延长线交∠BAD 的平分线于点E 。
特殊的平行四边形同步教学讲义
菱形一、【基础知识精讲】1．菱形的的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．2．菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的一切性质．（2）菱形的四条边相等．（3）菱形的两条对角线互相垂直平分；并且每一条对角线平分一组对角．3．菱形的识别方法:（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（2）对角线互相垂直的平行四边形为菱形．（3）四条边相等的四边形是菱形．4．菱形的面积等于两对角线乘积的一半．二、【例题精讲】例1. （1）菱形的周长是8 cm，则菱形的一边长是______．（2）菱形的一个内角为1200，平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为____．（3）菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则另一对角线长为______，边长为____．（4）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线互相垂直D．对角线相等（5）能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线相等且互相平分B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相平分D．一组对角相等且一条对角线平分这组对角A DEP C B F例2．□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形。
三、【同步练习】 A 组一、选择题1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等2. 菱形的周长为100 cm ，一条对角线长为14 cm ，它的面积是（ ）A.168 cm 2B.336 cm 2C.672 cm 2D.84 cm 23. 菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（ ）A.43B.83C.103D.1234. 下列语句中，错误的是（ ）A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到5. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ， E 为BC 的中点，则下列式子中一定成立的是（ ）A ．AC=2OEB ．BC=2OEC ．AD=OED ．OB=OE6. 如图，在菱形ABCD 中，∠A=110°，E ，F 分别是边 AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC=（ ） A ．35° B ．45° C ．50° D ．55二、填空题1.菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm，则菱形的面积是_______.2. 菱形的面积为83平方厘米，两条对角线的比为1∶3,那么菱形的边长为_______.三、解答题1.如图，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由.2.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH.B组1．如图，已知：在平行四边形ABCD中，AB=12BC,延长AB至F，使BF=AB再延长BA至E，使AE=BA，请你判断EC与FD的位置关系，并说明理由。
特殊平行四边形专题讲义
AB C D E特殊平行四边形专题讲义一、学习目标 复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明.二、学习重难点 重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。
三、本章知识结构图四、知识要点：特殊平行四边形的性质与判定1．矩形：（1）性质：具有平行四边形的所有性质。
另外具有：四个角都是 ，对角线互相平分而且 ，也是 图形。
（2）判定：从角出发：有 个角是直角的平行四边形或有 个角是直角的四边形。
从对角线出发：对角线 的平行四边形或对角线 且互相 的四边形。
2．菱形：（1）性质：具有平行四边形的所有性质。
另外具有：四条边都 ，对角线互相 且 每一组对角，也是 图形。
（2）判定：从边出发：一组 边相等的平行四边形或有 条边相等的四边形。
从对角线出发：对角线互相 的平行四边形或对角线互相 且 的四边形。
3．正方形：（1）性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质（2）判定方法步骤：四边形 平行四边形 正方形 【基础练习】 1、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∠AOD=120，AC=12cm ，则AB 的长__ __2、菱形的周长为100 cm ，一条对角线长为14 cm ，它的面积是_____.3、若菱形的周长为16 cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为______cm 2。
4、两直角边分别为12和16的直角三角形,斜边上的中线的长是 。
5、下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）．A.两组对边分别相等B.两条对角线互相平分且相等C.两条对角线相等且互相垂直D.两条对角线互相垂直平分6、在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AO=CO ，BO=DO ，增加一个条件 可以判定四边形是矩形；增加一个条件 可以判定四边形是菱形。
7、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，能判定它是正方形的是（ ）.A.AO ＝OC ，OB ＝ODB.AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC⊥BDC.AO ＝OC ，OB ＝OD ，AC⊥BDD.AO ＝OC ＝OB ＝OD 8、如图，E 是正方形ABCD 内一点，如果△ABE 为等边三角形，则∠DCE= °.【典型例题】例4：正方形ABCD 中，点E 、F 为对角线BD 上两点，DE=BF 。
(完整版)经典特殊的平行四边形讲义+家教专用
学科教师指导讲义教课内容一、知识回首矩形、菱形、正方形1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线相互垂直，而且每条对角线均分一组对角．③拥有平行四边形全部性质．2．菱形的判断：①对角线相互垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形拥有平行四边形的全部性质．4．矩形的判断：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，而且相互垂直均分，每条对角线均分一组对角．6．正方形的判断：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线相互垂直的矩形是正方形．课前练习 : 1 ．已知平行四边形ABCD的周长是28cm， CD-AD=2cm，那么 AB=______cm， BC=______cm．2．菱形的两条对角线分别是6cm， 8cm，则菱形的边长为_____，一组对边的距离为_____3．在菱形ABCD中，∠ ADC=120°，则 BD： AC等于 ________4．已知正方形的边长为a，则正方形内随意一点到四边的距离之和为_____．5．矩形 ABCD 被两条对角线分红的四个小三角形的周长之和是86cm，对角线长是13cm，则矩形ABCD 的周长是6．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，能够拼出不一样形状的四边形，请写出此中两个不一样的四边形的名称：．7．如图，有一张面积为 1 的正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC边的中点，ＭＡＤ将 C 点折叠至 MN 上，落在 P 点的地点，折痕为BQ，连接PQ，则PQＱ8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB CD AD1，B60o，直线 MN 为梯形 ABCD 的对称轴， P 为 MN 上一点，那么PC PD 的最小值为ＢＮＣ．9．如图， OBCD是边长为 1 的正方形，∠ BOx=60°，则点 C 的坐标为 ________10．如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向挪动到正方形 A B C D 的地点，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的一半，若AC ＝2，则正方形挪动的距离AA 是A MDD DA A C CB CNB B第 3题图二、例题解说D CO矩形A B例 1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使 C 落在 C’处， BC’边交 AD 于 E， AD=4 ， CD=2（ 1）求 AE 的长（ 2）△ BED 的面积C’A E DB C 稳固练习：1．如图，矩形ABCD中， AD=9， AB=3，将其折叠，使其点 D 与点 B 重合，折痕为EF求 DE和 EF的长。
(北师版)九年级数学上册 特殊的平行四边形辅导讲义
特殊的平行四边形辅导讲义目录：1、知识再现2——32、考点例析4——113、巩固练习12——144、培优训练15——195、课后检测20——216、综合训练22——247、面向中考25——31特殊的平行四边形辅导讲义1、知识再现一、特殊四边形1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质2. 平行四边形及特殊的平行四边形的判定二、中点四边形1、中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2、（1）顺次连结四边形各边中点所得的四边形是；（2）顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；（3）顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；（4）顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。
三、要点诠释 面积公式：S 菱形 =21ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） S 平行四边形 =ah. （a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）2、考点例析考点一、平行四边形的性质和判定◆典例精析例1 （1）（湖北襄樊）如图，在中，于且是一元二次方程的根，则的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．（2）如图，分别以Rt △ABC 的斜边AB 、直角边AC 为边向外作等边△ABD 和△ACE ，F 为AB 的中点，DE ，AB 相交于点G ，若∠BAC=30°，下列结论：①EF ⊥AC ；②四边形ADFE 为平行四边形；③AD=4AG ；④△DBF ≌△EFA ．其中正确结论的是（ ）． A ． ①②③④ B ． ①③④ C ．②③④ D ． ①②④例2 （四川达州）如图，一个四边形花坛ABCD ，被两条线段MN ，EF 分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，若MN AB DC ，EF DA CB ，则有（ ）A ．S 1=S 4B ．S 1+S 4=S 2+S 3C ．S 1S 4=S 2S 3D ．都不对ABCD AE BC ⊥E ，AE EB EC a ===，a 2230x x +-=ABCD 422+1262+222+221262++或ADCEB例3、（1）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF．请你猜想：BE 与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．例4、（厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？考点二、矩形折叠问题1、求角度例1、（四川成都）如图1，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °．2、求线段长度例2、（山东东营）如图2，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ）（A ）34 （B ）33 （C ）24（D ）８3、求图形面积例3、（07贵阳）如图3-1所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图3-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）A ．234cm B ．236cm C ．238cmD ．240cmABE CDFG图1A BCD EF图 2图3-1图3-24、说明数量及位置关系例4、（宁夏）如图4，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，连结AE ． 证明：（1）BF DF ． （2）AE BD ∥．5、判断图形形状例5、（长春）如图5-1，将一组对边平行的纸条沿EF 折叠，点A 、B 分别落在A ’、B ’处，线段FB ’与AD 交于点M ．(1)试判断△MEF 的形状，并说明你的理由；(2)如图5-2，将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在C ’、D ’处，且使MD ’经过点F ，试判断四边形MNFE 的形状，并说明你的理由； (3)当∠BFE ＝_________度时，四边形MNFE 是菱形．ABCDEF图4A 图5-2BCEF D A ’B ’A BC E FD A ’ B ’ D ’C ’MMN 图5-1考点三、菱形的最值问题例1、（浙江台州）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A． 1 B C． 2 D＋1例2、如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，重叠部分构成的菱形周长的最大值是多少？例3、（四川自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．例4、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).1.求A、B两点的坐标；2.设∠OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？考点四、正方形中的旋转问题例1、如图，直角梯形ABCD中，AD BC， ADC=90°，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边作正方形ABFE，EP l于P。
经典特殊的平行四边形讲义+家教专用
学科教师辅导讲义D 'C 'B 'A '第3题图DCBA二、例题讲解 矩形例1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C ’处，BC ’边交AD 于E ，AD=4，CD=2 （1）求AE 的长 （2）△BED 的面积巩固练习：1．如图，矩形ABCD 中，AD=9，AB=3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，折痕为EF 求DE 和EF 的长。
2．如图，已知将矩形ABCD 沿EF 所在直线翻折，使点A 与C 重合，AB=6，AD=8 求折痕EF 的长例2：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，且AE=AD ，又DF ⊥AE ，F 为垂足。
求证：EC=EF A DFC ’DAB CEFDABCEC ’EFAB CDDA OCBCBADMN四、课后练习一.矩形1.矩形的性质：（1）矩形的四个角都是_____角.(2)矩形的对角线互相平分并且_______.2.如图1:Θ四边形ABCD 是矩形.(已知)∴BO=OD=21BD,CO=OA=21CA,BD=CA.( ) ∴BO=_____=_____=______,图中共有______个等腰三角形, _____个直角三角形,图中与∠1相等的角有_______个(∠1除外). 3.如图1,矩形ABCD 中,∠AOD=1200,AB=3cm,则∠2=____度, AC=______cm,BC=______cm,S 矩形ABCD =_____cm 2.4.如图2,矩形ABCD 中,∠AOB=600,AC==10cm,则∠2=____度, AB=______cm,BC=______cm,S 矩形ABCD =_____cm 2.5.如图3,在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E,∠ADE ∶∠EDC=2∶1, 则∠ADE=________度,∠1=_____度,∠2=______度,∠3=_____度.6.证明一个四边形是矩形的方法有:(1)先证明它有____个角是直角. (2)先证明它是平行四边形,再证明它有_____个角是直角. (3)先证明它是平行四边形,再证明对角线________. 7．在直角三角形中,斜边上的中线等于__________的一半. 8.如图4,∠ACB=900,D 是斜边AB 的中点,CD=5cm,BC=8cm,则S ΔABC =____.9.如图5,在四边形ABCD 中,∠ABC=ADC=900,AE=EC,BF=FD. 求证:EF ⊥BD.10.如图6,矩形ABCD 的对角线相交于O,E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点. 求证:四边形EFGH 是矩形.11.已知:如图7,在矩形ABCD 中,PA=PD. 求证:PB=PC.12.如图8,在矩形ABCD 中,DE 平分∠ADC,∠2=150.(1)求证:ΔDOC 是等边三角形.(2)求∠5的度数.二、菱形1.菱形的性质:(1)菱形的四条边_______.(2)菱形的两条对角线互相_________平分,并且每条对角线平分一组______角.(3)菱形的面积等于两对角线的积的___.2.菱形的两条对角线将菱形分成___个_________直角三角形.3.如图9,菱形ABCD中,对角线AC=10cm,BD=24cm,则菱形ABCD的面积为___________cm2,AO=______cm,BO=_______cm,AB=________cm,菱形ABCD的周长为________cm.4.如图10,菱形ABCD中,∠ABC∶∠BAD=1∶2,AB=2,则∠ABC=________度,∠1=_______度,AO=________,BO=_______,菱形ABCD的面积为__________.5.如图11,菱形ABCD的面积为50cm2,∠B=300,AE是BC边的高,则BC=__________cm.[提示:S菱形=底×高.设AE=x,则BA=?x,BC=?x]6.已知菱形的周长为52cm,一条对角线是24cm,则另一对角线为_____cm,它的面积为_______cm2.7.证明一个四边形是菱形的方法有:(1)先证明它的四条边______.(2)先证明它是平行四边形,再证明一组邻边________.(3)先证明它是平行四边形,再证明对角线______________.8.如图12,在四边形ABCD中,AD∥BC,EF垂直平分BD.求证:四边形BEDF是菱形.9.如图13,矩形ABCD的对角线相交于O,DE∥CO,CE∥DO. 求证:DC⊥EO.10.如图14,ΔABC中,∠ACB=900,AE平分∠BAC,CD⊥AB,EF⊥⊥AB.求证:(1)ΔAGC≌ΔAGF. (2)四边形CEFG是菱形.11.求证:一条对角线平分一个角的平行四边形是菱形.三、正方形1.正方形的性质:(1)正方形的四个角都是________,四条边________.(2)正方形的两条对角线_______,并且互相垂直_________,每条对角线平分一组______角.2.正方形的对角线与它的边所成的角是______度.3.正方形形的两条对角线将正方形分成___个全等的___________________三角形.4.正方形的面积等于两条对角线的积的_________;正方形的面积等于边长的__________.5.已知正方形的一条对角线的长为4cm,则它的面积为________cm2,边长为_______cm.6.如图16,正方形ABCD中,AC=CE,则∠1=________度,∠E=______度,∠2=________度.7.对角线相等的______形是正方形;对角线互相垂直的_____形是正方形;对角线互相垂直_______并且_______的四边形是正方形.8.如图17,正方形ABCD中,CE=CF.求证:DG⊥BF.9.如图18,在正方形ABCD作等边三角形AEF,使E是BC上,F在CD上.(1)求证:CE=CF.(2)求∠BAE的度数.10.如图19,F是正方形ABCD的边CD的中点,AE=DC+CE.求证:AF平分∠DAE.。
特殊的平行四边形讲义
特殊的平行四边形（菱形）知识要点：一、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.二、菱形的性质：菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.(1)菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分。
(2)菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和）,实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半(3)菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行垂直及有关计算问题。
三、菱形的判定1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.例题分析：1.菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．A.0.5B.4C.1D.22.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．80°D．100°3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°4. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）3 B.2 C.3 D. 25.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．6.如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．则∠CEF的度数是________．特殊的平行四边形（正方形）知识要点：一、正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.说明：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.二、正方形的性质具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.例题分析：1. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB 的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．12.5°2. 如图，正方形ABCD的边长为4 ，则图中阴影部分的面积为( ) ．A.6B.8C.16D.不能确定3. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则( )A．S＝2 B．S＝2.4 C．S＝4 D．S与BE长度有关4. 如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则PQ的长为( )A.12B.13C.14D.155. 如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3 B．2 C．4 D．86.如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD ⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8 ，CA＝6 ，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______ ．7.如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a 于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为_____.8.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝第八讲课后作业1．已知菱形的周长为40 ，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6 ，8 B. 3 ，4 C. 12 ，16 D. 24 ，322.(2016·遵义)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若增加一个条件,使▱ABCD成为菱形,下列给出的条件不正确的是()A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠BAC=∠DAC3.(2016·兰州)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD=2错误!未找到引用源。
(完整版)(完整版)特殊的平行四边形复习讲义
沃根金榜一对一学科教师辅导讲义学生姓名：年级：老师：上课日期：上课时间：上课次数：______年级第______单元课题______ ——————————————————————————————————[ 课前准备 ]课前检查：作业完成情况：优（）良（）中（）差（）复习预习情况：优（）良（）中（）差（）——————————————————————————————————[ 学习内容 ]特殊的平行四边形讲义考试考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是初二的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。
内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。
知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。
重难点：1.矩形、菱形性质及判定的应用2. 相关知识的综合应用教学过程知识点归纳对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：一．矩形矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．矩形的性质性质1矩形的四个角都是直角；性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。
矩形的判定矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补例3：已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，•H，求证：•四边形EFGH是矩形．二．菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．例1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交例3、如图，在 ABCD 中，于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。
特殊的平行四边形同步教学讲义
特殊平行四边形◆1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；◆2、菱形的性质：◆3、菱形的有关计算：◆3、菱形的判定：（1）；（2）；（3）；◆4、矩形的性质与判定：定义---有一个角是直角的平行四边形是矩形；（1）矩形的性质：对边平行且相等；四个角都是直角；对角线互相平分且相等；（2）矩形的判定：（1）；（2）；（3）；（3）矩形的有关计算：矩形的周长=邻边之和2⨯；矩形的面积=长⨯宽。
◆5、正方形的性质与判定（1）正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（2）正方形的性质：四边相等，对边平行；四个角都是直角；对角线；（3）正方形的判定：既是矩形又是菱形的四边形是正方形。
（4）正方形的相关计算：周长=边长4⨯；面积=边长的平方=两对角线长之积的一半；◆【要点1】-----菱形的性质与判定a ab bb a【例1】如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB =，BC =．对角线AC BD ，相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，． （1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF 是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．◆【要点2】-----矩形、正方形【例2】1、如图，正方形卡片A 类，B 类和长方形卡片C 类若干张，如果要拼一个长为(2)a b +，宽为()a b +的大长方形，则需要C 类卡片 张．2、如图，矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ，则CE 的长为 ；3、如图：在矩形ABCD 中，已知5=AB ，12=AD ，P 是AD 边上任意一点，BD PE ⊥于E ，AC PF ⊥于F ，那么PF PE +的值为 ；B4、（13苏州）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE ，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF 延长交边BC 于点G ．若，则 （用含k 的代数式表示）．5、（12湖北）如图，线段1AC n =+（其中n 为正整数），点B 在线段AC 上，在线段AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF ，连接AM 、ME 、EA 得到AME ∆，当1AB =时，AME ∆的面积记为1S ；当2AB =时，AME ∆的面积记为2S ；当3AB =时，AME ∆的面积记为3S ；…；当AB n =时，AME ∆的面积记为n S 。
初二数学特殊的平行四边形同步讲义
八年级数学思维班第四周课程表第十七节“我”有哪些特点？——平行四边形及其性质知识要点1．平行四边形的定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）表示：平行四边形用符号“□”来表示。
2．平行四边形性质（1）边：两组对边分别平行且相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相平分。
3．两条平行线间的距离定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线间的距离。
4．平行四边形的面积（1）计算公式：S=底×高；（2）等底等高的平行四边形面积相等，等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。
典型例题例1 已知：□ABCD，AC、BD交于点O，AC=38cm，BD=24cm，AD=14cm。
例2 平行四边形的周长为50cm，两邻边之差为5cm，求各边长。
例3 平行四边形两邻角之差为20°，求各角的度数。
例4 □ABCD的周长为90，对角线AC、BD交于O，且△AOB与△AOD的周长差为5，求□ABCD的各边长。
例5 如图所示，在□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=60°，CE=2，AF=3，求□ABCD各边长及面积。
C例6 已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，DE ∥AC ，DF ∥AB ，求证：DE+DF=AB 。
课堂练习A 组1．平行四边形的对角线和两条边所成的角分别为 30和40， 这个平行四边形的各内角是______________．2．若一个平行四边形的一个角比它相邻的角大27，则这个平行 四边形的最大内角为___________．3．从平行四边形的一个锐角顶点作它所对两边的高线，如果这两 条高线夹角为135，则这个平行四边形的内角为______________． 4．ABCD 的周长为6cm 3， 60=∠B ，6cm =AB ，AD 与BC 的距离______=AE ，ABCD 的面积＝_____________．5．若平行四边形的两邻边的长分别为16和20，两长边间的 距离为8，则两短边间的距离为_____________．6．平行四边形两邻边的长分别为3和5，夹角为120，则这个平 行四边形的面积为__________．A7．如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，EF 过点O ，则图中共有__________对全等三角形．8．ABCD 的对角线AC ，BD 互相垂直，且AB AC =，若ABCD 的周长为4，则_______=AB ，_______=BC ，________=∠BAC ． 9．ABCD 的一内角平分线和边相交把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是_____cm ．10．ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点，若ABCD 的面积是2cm 12，则△BOC 的面积是_________2cm ．B 组11．平行四边形相邻的两个角的平分线所成的角是（ ）． A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．不确定12．ABCD 中513：：=∠∠B A ，则A ∠和B ∠的度数分别为（ ）．A ．80，100 B ． 130，50 C ．160，20 D ．60，12013．ABCD 中的对角线AC ，BD 相交于点O ，10=AC ，8=BD ，则AD 长度的取值范围是（ ）． A ．1>AD B ．9<AD C ．91<<AD D ．0>AD14．如图，ABCD 的对角线AC 和BD 交于O ，24=AC ，38=BD ，28=AD ，则△BOC 的周长是（ ）．A ．56B ．45C ．51D ．5915．如果ABCD 的BAD ∠的平分线交BC 于E ，且BE AE =，则BAE ∠的度数为（ ）． A ．30 B ．60 C ． 120 D ．60或12016．如图，ABCD 中，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，分别连结EF ，EB ，FB ，AC ，AF ，CE ，则图中与△ABE 面积相等 的三角形（不包括△ABE ）共有的个数（ ）． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个17．在ABCD 中，M 为CD 的中点，若AD DC 2=，则AM 和BM 的夹角的度数是（ ）． A ．100 B ．95 C ．90D ．85课后作业1．如图，由CD AB //，21//l l ，推得BD AC ，下列理由不 正确的是（ ）．A ．平行线之间的平行线段相等B ．平行四边形的对边相等C ．平行线之间的距离相等D ．平行四边形一组对边平行且相等2．已知平行四边形的周长为cm 24，相邻两边的比为1：2， 则较短的边长为（ ）． A ．cm 3 B ．cm 4 C ．cm 6 D ．cm 83．如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于F ， ∠EAF=60°，BE=3cm ，DF=4cm ，求平行四边形ABCD 的各内角的 度数及边长。
特殊的平行四边形讲义
特殊的平行四边形讲义知识点归纳例1：若矩形的对角线长为8cm ，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为例2： 已知：如图， □ABCD 各角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，•H ，求证：•四边形EFGH 是矩形．例3如下图，已知矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，OF ⊥AD 于F ，OF =3 cm ，AE ⊥BD 于E ，且BE ∶ED =1∶3，求AC 的长.例4. 如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△ABE ≌△DAF ；（2）若∠AGB=30°，求EF 的长.例5.已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝ 5 ．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ；⑤S 正方形ABCD ＝4＋ 6 ．其中正确结论的序号是（ ） A ．①③④ B ．①②⑤ C ．③④⑤ D ．①③⑤练习:1．如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ） A ．nB ．n ﹣1C ．（）n ﹣1D ．n2.四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，能判断它为矩形的题设是（ ） A ．AO=CO ，BO=DO B ．AO=BO=CO=DO C ．AB=BC ，AO=CO D ．AO=CO ，BO=DO ，AC ⊥BD3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形 4.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形 B ．如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形C ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形5.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知0120AOD ∠=，AB=2.5，则AC 的长为 。
人教版八年级下册18.2 特殊平行四边形 讲义
【知识体系】【要点梳理】 要点一、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：〔1〕具有平行四边形的所有性质；〔2〕四个角都是直角； 〔3〕对角线互相平分且相等；〔4〕中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：４．断定：〔1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 〔2〕对角线相等的平行四边形是矩形. 〔3〕有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质： 〔1〕直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；〔2〕直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点二、菱形宽＝长矩形 S1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：〔1〕具有平行四边形的一切性质； 〔2〕四条边相等；〔3〕两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；〔4〕中心对称图形，轴对称图形.3．面积：4．断定：〔1〕一组邻边相等的平行四边形是菱形；〔2〕对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 〔3〕四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：〔1〕对边平行； 〔2〕四个角都是直角；〔3〕四条边都相等；〔4〕对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； 〔5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 〔6〕中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．断定：〔1〕有一个角是直角的菱形是正方形；〔2〕一组邻边相等的矩形是正方形； 〔3〕对角线相等的菱形是正方形； 〔4〕对角线互相垂直的矩形是正方形；〔5〕对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； 〔6〕四条边都相等，四个角都是直角的四边形类型一、矩形2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S1、：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②假设∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角〞证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后断定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCA MA MCAMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN〔ASA〕，∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由①知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴四边形ADCN是矩形．【总结升华】要断定一个四边形是矩形，通常先断定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，断定有一个角是直角或对角线相等．2、如下图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值． 【答案与解析】 解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6， 又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即， 解得：x ＝3 ∴ EF ＝3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在适宜的直角三角形中，再利用勾股定理进展求解．举一反三：【变式】把一张矩形纸片〔矩形ABCD 〕按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．假设AB ＝ 3cm ，BC ＝5cm ，那么重叠局部△DEF 的面积是__________2cm ．226810AC =+=222(8)4x x -=+【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，那么＝×3.4×3＝5.1.类型二、菱形3、如图,在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连结DF ，那么∠CDF 等于( ).A.80°B.70°C.65°D.60°【答案】D ； 【解析】解：连结BF ，由FE 是AB 的中垂线，知FB ＝FA ，于是∠FBA ＝∠FAB ＝＝40°.∴∠CFB ＝40°＋40°＝80°,由菱形ABCD 知，DC ＝CB ，∠DCF ＝∠BCF ，CF ＝CF ， 于是△DCF ≌△BCF ， 因此∠CFD ＝∠CFB ＝80°,在△CDF 中, ∠CDF ＝180°－40°－80°＝60°.222DC FC DF +=85DEF 1=DE AB 2S ⨯△12【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的断定和性质.举一反三：【变式】用两张等宽的纸带穿插重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？假如是菱形请给出证明，假如不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF〔纸带的宽度相等〕∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、正方形4、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E 点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE＝EF．根据正方形的性质推出AB＝BC，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B为直角的等腰直角三角形，得到BH＝BE，∠H＝45°，HA＝CE，根据CF平分∠DCE推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF即可得到答案．【答案与解析】探究：AE＝EF证明：∵△BHE为等腰直角三角形,∴∠H＝∠HEB＝45°，BH＝BE.又∵CF平分∠DCE，四边形ABCD为正方形，∴∠FCE＝12∠DCE＝45°，∴∠H＝∠FCE.由正方形ABCD知∠B＝90°，∠HAE＝90°＋∠DAE＝90°＋∠AEB,而AE⊥EF，∴∠FEC＝90°＋∠AEB，∴∠HAE＝∠FEC.由正方形ABCD知AB＝BC，∴BH－AB＝BE－BC，∴HA＝CE,∴△AHE≌△ECF 〔ASA〕,∴AE＝EF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式】如下图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，那么四边形EFGH为________形．(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．(2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．(3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．在横线上填上适宜的条件，并说明你所填条件的合理性．【答案】四边形EFGH为平行四边形；形 .正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角①邻边相等的矩形是正方形 ②对角线垂直的矩形是正方形 ③有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线相等的菱形是正方形类型一、矩形的断定1、如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，那么CDE △的周长为〔 〕 A ．5cm B ．8cmC ．9cmD ．10cm【解析】D 举一反三【变式】如图，矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，记点C 的对应点为C ′，假设∠ADC ′＝20°，那么∠BDC 的度数为________．【答案与解析】55°【变式2】矩形的边长为10和15,其中一个内角平分线分长边为两局部,这两局部的长度分别为( ) A. 6和9 B. 5和10 C. 4和11 D. 7和8【解析】【答案】B【变式3】四边形ABCD 的对角线交于点O ，在以下条件中，不能说明它是矩形的是 〔 〕 A. AB=CD ，AD=BC ，∠BAD =90° B.∠BAD=∠ABC =90°,∠BAD+∠ADC=180° C 、∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠ADC=180° D. AO=CO,BO=DO,AC=BD 【答案】C2、在平行四边形ABCD 中，过点D 作AB DE ⊥于点E ，点F 在边CD 上，BE DF =，连接AF ，BF 。
特殊平行四边形数学学科教师辅导讲义
特殊平行四边形数学学科教师辅导讲义年级：辅导科目：数学课时数：3课题特殊平行四边形教学目的教学内容一、【中考要求】掌握矩形、菱形、正方形的概念和性质，了解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系，掌握矩形、菱形、正方形的性质，探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形的条件。
二、【三年中考】1．(2008·台州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为()A．16a B．12a C．8a D．4a解析：在菱形ABCD中，AC⊥BD，又OE平分AB，∴AB＝2OE＝2a，∴菱形ABCD 的周长为8a. 答案：C2．(2009·杭州)如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝()A．35°B．45°C．50°D．55°解析：过F作FN∥AB，交PE于点N，则FN⊥EP且FN平分EP，∴FE＝FP，∴∠FEP ＝∠FPE，∴∠FPC＝∠FEB＝55°. 答案：D3．(2010·舟山)如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是()A．2m＋3 B．2m＋6 C．m＋3 D．m＋6解析：设另一边长为a，由面积法可得：(m＋3)2＝m2＋3·a，∴a＝2m＋3. 答案：A 4．(2008·温州)如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，则菱形ABCD的周长等于________．解析：菱形ABCD中，AB＝AD，又∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD ＝8，∴菱形ABCD的周长是32. 答案：325．(2010·丽水)如图，正方形ABCD中，E与F分别是AD，BC上一点．在①AE＝CF，②BE∥DF，③∠1＝∠2中，请选择其中一个条件，证明BE＝DF.(1)你选择的条件是________；(只需填写序号)(2)证明．解：(解法一)(1)选__①__；(2)证明：∵ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝Rt∠.又∵AE＝CF，∴△AEB≌△CFD. ∴BE＝DF.(解法二)(1)选__②__；(2)证明：∵ABCD是正方形，∴AD∥BC.又∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形．∴BE＝DF.(解法三)(1)选__③__；(2)证明：∵ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝Rt∠.又∵∠1＝∠2，∴△AEB≌△CFD. ∴BE＝DF.6．(2008·湖州)如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.(1)求证：△BDE≌△CDF.(2)请连结BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．证明：(1)∵CF∥BE，∴∠EBD＝∠FCD.又∵∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.(2)四边形BECF是平行四边形．由△BDE≌△CDF，得ED＝FD.∵BD＝CD，∴四边形BECF是平行四边形三、【考点知识梳理】（一）矩形的定义、性质和判定1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．2．性质：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线互相平分且相等；(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两个对称轴；它的对称中心是对角线的交点．3．判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形．（二）菱形的定义、性质和判定1．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2．性质：(1)菱形的四条边都相等，对角线互相互相垂直，并且每条对角线平分一组对角；(2)菱形既是轴对称图形又是中心对称图形．3．判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（三）正方形的定义、性质和判定1．定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形．2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．3．判定：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．温馨提示：1.矩形、菱形和正方形具有平行四边形的所有性质；2.平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点较多，要想做到准确而不混淆就要从“边、角、对角线、对称性”这四个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握它们的区别及联系，把握它们的特征是关键。
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特殊的平行四边形____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、能用综合法来证明特殊的平行四边形的相关结论；2、运用特殊的平行四边形的性质定理和判定定理解决计算问题；3、通过学生进行推理过程的活动，培养学生抽象概况、合理推理以及严谨的思考、学习习惯．1．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别____的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．2．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形．3．矩形的判定①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相_____且_____的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．4．矩形的性质（1）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是____；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线____；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（2）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的___．5．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（平行四边形+一组邻边相等=菱形）（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有___条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）6．菱形的判定（1）四条边都_____的四边形是菱形．几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形7．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是_____；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．9．等腰梯形的性质（1）性质：①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的_____的直线；②等腰梯形同一底上的两个角相等；③等腰梯形的两条对角线相等．（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．10．等腰梯形的判定（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．1.菱形的性质；平行四边形的性质．【例1】（2014•泸州第一中学期末）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直练1.（2014•吕梁孝义中学月考）如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=°．练2.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形2.菱形的性质；坐标与图形性质．【例2】（2014•武汉华中师大附中月考）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．练3.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．3. 矩形的性质；菱形的判定．【例3】（2014•新疆石河子中学一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定练4.下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直练5.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．4．正方形的判定；矩形的性质．【例4】（2014•山东淄博一中期末）如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是．练6.下列说法中，错误的是（）A．菱形的四条边都相等B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．四个角都相等的四边形是矩形D．等腰梯形的对角线相等5．直角梯形；平行四边形的性质；等腰梯形的性质．【例5】（2014秋•张家港市校级期末）如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形？等腰梯形？练7．已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是腰DC上的一个动点（P与D、C不重合），点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点．（1）试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC为何值时，四边形EFPG是矩形并加以证明．1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直2．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（）A．10 B． C．6 D．53．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．2 B．3 C．5 D．64．菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为．5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是．2．在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若DF=BF，求证：四边形DEBF为菱形．3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．4．如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．（1）作出∠ABC的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中所作的角平分线交AD于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC于点F，连接EF．求证：四边形ABFE为菱形．5．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．6．如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE，（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF 与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．8．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．（1）求证：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；②连接OD，当∠PBA的度数为时，四边形BPDO是菱形．。