第二章2 过程控制的数学模型-曲线响应 (1)讲解

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过程控制第二章

u i

y a11u1 a12u1u2 a u
2 22 2

可改写成
2.2工业过程动态数学模型概论

过程的动态数学模型，对控制系统的设计和分析有着极为重要的意义。求取过程动态数学模型有两类途径：

一是依据过程内在机理来推导，这就是过程动态学的方法；二是依据外部输入输出数据来求取，这就是过程辨识和参数估计的方法。当然，也可以把两者结合起来。
2.1.9
W0 (S) H(S) 1 1 Qi (S) AS TaS
拉氏变换后得
2.1.10
Ta为过程的积分时间常数，=C
水箱的流出量
与液位无关。
过程控制 x(t)
第二章
o
y(t)
t
o
t
无自衡单容过程的阶跃响应曲线
过程具有纯滞后τ时，其传递函数为
W0 (S) 1 s e TaS
分析：液位过程
流入量，控制过程的输入变量
流出量，中间变量
Q1
液位，控制过程的输出变量
图2-1 液位被控及其阶跃响应

根据物料平衡关系，在正常工作状态下的稳态方程式是Qi0- Qo0=0 动态方程式时，储槽是物料传递的一个中间环节，它遵守物料平衡。
（对象物料储存量的变化率=单位时间流入对象的物料变化量-单位时间流出对象的物料变化量）

过程控制工程第2章数学模型解析

A
dh dt
h
R2q0
(t
-
0
)
G(s) H (s) R2 e0s K0 e0s
Q0 (s) R2As 1
T0s 1
T0=R2A K0=R2 C=A τ0与l有关
河南理工大学电气工程与自动化学院
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
无时延自衡
Q1
O t
h
O
t
有纯时延自衡
Q0
O t
h
O 0
河南理工大学电气工程与自动化学院
2.2 被控过程的数学模型—类型
① 参数模型
微分方程形式:
an y(n) (t) a1 y' (t) y(t) bmu(m) (t ) b1u' (t ) b0u(t )
传递函数形式:Байду номын сангаас
G0 (s)
Y (s) U (s)
b0 b1s bmsm 1 a1s ansn
河南理工大学电气工程与自动化学院
工业过程控制对象的特点
• 除液位对象外的大多数被控对象本身是稳定自衡对象；
• 对象动态特性存在不同程度的纯迟延； • 对象的阶跃响应通常为单调曲线，除流
量对象外的被调量的变化相对缓慢； • 被控对象往往具有非线性、不确定性与
时变等特性。
河南理工大学电气工程与自动化学院

第二章过程控制系统建模方法

实际上，储槽底面积，及液容类似于电容。电容越大，相同的电流变化（增量）造成的电压改变越小；同样，储槽底面积越大，相同流量的改变造成的液位改变越小。
阻力：凡是物质或能量的转移，都要克服阻力，阻力的大小决定于不同的势头和流率。种类有：电阻、热阻、气阻、流(液) 阻。电路中把RC定义为时间常数T，T越大，瞬态响应时间越长。液位对象也有这个特点，T越大，流量改变后液位H达到新的稳态的过渡过程时间也越长。
过程控制二、建模的目的
设计过程控制系统和整定调节器参数
指导设计生产工艺设备进行仿真试验研究培训运行操纵人员
过程控制
三、建模的基本方法
机理分析方法建模
白箱模型也称数学分析法建模和理论建模根据过程的内部机理（运动规律），运用一些已知的定律、原理，如：物料平衡方程，能量平衡方程、传热传质原理等，建立过程的数学模型。
2.2 机理建模方法
基本步骤：
列写基本方程式并增量化
过程控制
单位时间内进入系统的物料量(或能量) －单位时间内由系统流出的物料量(或能量) 系统内物料(或能量)存储量的变化率消去中间变量
一、单容对象的传递函数
过程控制
微分方程阶次高低是由被控对象中储能部件的多少决定的。
只有一个储能元件的对象称为单容对象。有一单容水槽，不断有水流入槽内，同时也有水不断由槽中流出水流入量Qi由调节阀开度u加以控制，流出量Qo则由用户根据需要通过负载阀来改变。被调量为水位h，它反应水的流入与流出之间的平衡关系。分析水位调节阀开度扰动下的动态特性。

2_控制系统的数学模型(1)

2015/12/8 10/86
2.1 概念
非线性系统数学模型的线性化
泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为：
df ( x ) y f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) dx x x
0
1 d 2 f ( x) 1 d 3 f ( x) 2 3 ( x x ) ( x x ) 0 0 2 3 2! dx x x 3! dx x x
d 2 (t ) d 2 2 (t ) M 2 (t )-f 2 -M l (t )=J 2 dt dt 2 齿轮传动系功率平衡方程为： M1 (t )1 (t )=M 2 (t )2 (t )
i 1 (t )/2 (t )
利用式(2-5)、(2-6)及（2-7），消去中间变量 M1 (t ) 、 M 2 (t ) 、 2 (t )，得： 1 d 21 (t ) 1 d1 (t ) 1 J + J + f + f = M ( t )M l (t ) i 1 2 2 1 2 2 2 i i i dt dt 令：
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2.2.2 机械系统的微分方程
机械平动系统
是系统中的储能元件，存储平动动能。
在实际的机械平移系统中，经常按集中参数建立系统的物理模型，然后进行性能分析。在这种物理模型中，有三个基本的无源元件：质量 m，弹簧 k，阻尼器 c。质量体现系统的惯性力 Fm ma my 弹簧体现弹性力

第2章被控过程的数学模型

第2章被控过程的数学模型
4）被控对象的自平衡与非自平衡特性
第2章被控过程的数学模型例如图中的单容水槽,其阶跃响应如右图所示。
单容过程的定义：只有一个储蓄容量的过程。
第2章被控过程的数学模型 ②非自平衡：如下图的单容积分水槽，当进水调节阀
开度改变致使物质或能量平衡关系破坏后，不平衡量不因被控变量的变化而改变，因而被控变量将以固定的速度一直变化下去而不会自动地在新的水平上恢复平衡。这种对象不具有自平衡特性，具有这种特性的被控过程称为非自平衡过程，其阶跃响应如图所示。
第2章被控过程的数学模型 4. 建立数学模型的依据要想建立一个好的数学模型，要掌握好以下三类主要的信息源。 (1) 要确定明确的输入量与输出量 (2)要有先验知识 (3) 试验数据
第2章被控过程的数学模型 5.被控对象数学模型的表达式被控对象的数学模型可以采取各种不同的表达形式，主要可以从以下几个观点加以划分： (l) 按系统的连续性为：连续系统模型和离散系统模型。 (2) 按模型的结构为：输入输出模型和状态空间模型。 (3) 可按论域划分为：时域表达（阶跃响应，脉冲响应）和频域表达（传递函数）。
0
纯延迟现象产生原因是由于扰动发生的地点与测定被控参数位置有一定距离。图2-9 具有纯迟延的单容水槽
第2章被控过程的数学模型参照前面的推导关系式，可得具有纯迟延的单容水槽的微分方程为：

第二章2过程控制的数学模型-曲线响应(1)

(1) 直角坐标图解法求K0和T0 阶跃输入量为x0，一阶无时延响应为：
将采集的输出测量数据减去原来的稳态数据，即响应曲线是在原稳态工作点基础上的增量曲线。
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
确定
确定
K0

y() x0
y(0)
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
t
y() y(t) K0x0e T0 1
u2 (t) u1(t a)
矩形脉冲响应曲线：
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
首先确定过程数学模型的结构，然后确定数学模型的具体参数。
传递函数：（1）一阶无延时
无自衡过程。
（2）二阶无延时
（3）一阶有延时
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
3.1 阶跃响应确定一阶过程参数放大系数K0、时间常数T0、时延时间τ0。 t=0，曲线斜率最大，之后斜率减小，逐渐达稳态。
3.4 二阶加时延过程参数的确定
数学模型：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
TC
x
(1 x)x1x
(1)
TA
T1 T2 TC
(2)
(2)
(1)
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
利用公式（1)计算T1和T2较为复杂，绘制曲线利用图解法求取T1和T2。根据公式（1）绘制曲线见右图。

第二章被控过程的数学模型

∆h2(t)=
K0∆µ1 (1－e 0
-( t－τc) － T0
)
t ≥τc τ t <τc τ
W(S) = e
−sτc
K0 T0S +1
∆h2（∞））
0 τc
T0
t
补充：补充：容量滞后与纯滞后 1. 容量滞后切线在时间轴上截出的时间段τc为容量滞后。为容量滞后。越大，越大；被控过程的容量系数C越大，τc越大；容量个数越多（阶数n越多），阶跃响应曲线上升越慢。阶数n越多），阶跃响应曲线上升越慢。），阶跃响应曲线上升越慢
试验辨识法可分为经典辨识法与现代辨识法两大类。试验辨识法可分为经典辨识法与现代辨识法两大类。在经典辨识法中，最常用的有基于响应曲线的辨识方法基于响应曲线的辨识方法；在经典辨识法中，最常用的有基于响应曲线的辨识方法；在现代辨识法中，又以最小二乘辨识法最为常用。最小二乘辨识法最为常用在现代辨识法中，又以最小二乘辨识法最为常用。响应曲线法响应曲线法是指通过操作调节阀，响应曲线法是指通过操作调节阀，使被控过程的控制输入产生一阶跃变化或方波变化，入产生一阶跃变化或方波变化，得到被控量随时间变化的响应曲线或输出数据，再根据输入－输出数据，应曲线或输出数据，再根据输入－输出数据，求取过程的输输出之间的数学关系。响应曲线法又分为阶跃响应曲线入－输出之间的数学关系。响应曲线法又分为阶跃响应曲线法和方波响应曲线法

第二章被控对象的数学模型分解

放大系数 K 是非常重要的特性参数。 K越大，表明输入信号对输出的控制作用越强。如截面积很小的水槽，较小的输入流量变化可能产生较大的输出量液位的变化。而截面积很大的水槽，输入流量的变化对输出量的影响很小。对于一个被控变量，可能同时有几个输入变量对之产生影响，这时，应该尽量选择放大系数K较大的作为调节变量，其他输入变量作为系统的干扰量。

上式是一阶微分方程，说明R-C电路是一阶系统。此处T=RC，K=1。经拉普拉斯变换并整理得R-C电路系统的传递函数为（2-4） R－C电路很直观，也很简单，电阻和电容的概念比较清晰。许多物理系统如液位系统、热力学系统和气动系统有类似的概念。

（2）水槽
如图2-3所示，水槽的液面高度为 h ，我们希望这个液位能比较稳定，这里将它定为该系统的输出变量或被控变量。输入流量 Qi由阀门1加以调节，从而保持液位 h的稳定， Qi是系统的输入变量。对水槽的流出量Q0 ，阀门 2 不加以控制，它是系统的中间变量，随 h 发生变化，但却有一定的自衡能力。 h 的变化是由阶跃干扰 △ Qi 引起的。阀门 2 相当于一个负载，或者是类似于 R －C电路中的电阻 R，可称为液阻 R：

控制系统中需要建立数学模型的，不局限于被控对象，系统中的每一个部分都需要建立数学模型。但相对来说，被控对象之外部分的数学模型很多是控制仪表及装置的模型，其特性已经研究得比较多，而且变化很少。被控对象则比较复杂，不同的控制系统，被控对象的差异极大。因此，建模的重点是对象的建模。被控对象千差万别，建立模型特别是机理建模，需要对被控对象有比较透彻的了解。

过程控制第二章(过程建模与过程特性)解析

当Q1变化时
Adh Q1dt
1 h Q1 dt A
Q2为常量 d(Q2)=0
A为储槽横截面积
3.二阶线性对象（串联水槽对象）
问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）。解：该对象的输入量为qi 被控变量为液位h2
A2 h2
qi
A1 h1
R1 q1
（同样利用物料平衡方程）槽1： A1 槽2： A2
f u y K 其它参数不变
广义对象控制通道放大系数
y Ko u
干扰通道放大系数
Kf
y f
KO 越大控制变量u对被控变量y的影响越灵敏控制能力强 Kf 越大干扰f对被控变量y的影响越灵敏。在设计控制系统时，应合理地选择KO使之大些，抗干扰能力强，太大会引起系统振荡。
其中：
H ( s) K Q1 ( S ) Ts 1
T ARS
K RS
一阶线性对象（总结）
典型的微分方程典型的传递函数典型的阶跃响应函数
dh T h K qi dt
典型的阶跃响应曲线 qi
a
H (s) K Qi (s ) Ts 1
h(t ) Ka(1 e )
u(t ) u1 (t ) u1 (t t )
其中
u 2 (t ) u1 (t t )
假定对象无明显非线性，则矩形脉冲响应就是两个阶跃响应之和，即

过程控制-第二章.详解

功能框
特点：输出量能立即成比例地响应输入量的变化。举例：电子放大器、齿轮减速器、杠杆机构、弹簧、电位器等。
25
2.1 自动控制系统的数学模型
2.1.4 典型环节的传递函数和功能框

2．积分环节
1 c t Βιβλιοθήκη Baidu T
微分方程传递函数
r t dt
t 0
G (s)
C ( s) 1 K R ( s ) Ts s
功能框
特点：它的输出量为输入量对时间的积累。举例：水箱的水位与水流量，烘箱的温度与热流量（或功率），机械运动中的位移与速度、速度与加速度，电容的电量与电流等。
26
2.1 自动控制系统的数学模型
2.1.4 典型环节的传递函数和功能框

3．理想微分环节
dr (t ) c(t ) dt
G(s) C ( s) s R( s)
进行拉氏变换
( a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n )C ( s ) (b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm ) R( s )
C (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm M s 传递函数 G( S ) n n 1 R(s) a0 s a1s an1s an N s

第二章自动控制系统原理的数学模型分析

第二章自动控源自文库系统的数学模型
第一节系统的微分方程、传递函数、动态结构图第二节典型环节第三节自动控制系统的方框图及系统闭环传递函数的求取第四节自动调节器的基本动作规律
小结
课题：
第一节系统的微分方程、传递函数、动态结构图
目的、要求： 1、掌握运用微分方程建立数学模型的步骤和方法； 2、掌握传递函数的定义、一般表达式和主要性质； 3、熟悉动态结构图（方框图）的基本组成。重点：运用微分方程建立数学模型
i C dUo dt
(2-12)
Ld C 2 U dO 2(tt) Rd C d O U (t)t U O (t) U i(t) (2-13)
微分方程建立举例(4)
例2-4 求单容水箱液位H与输入流量Qi的系统动态方程。
解：（1）确定输入、输出量输入量为流入量Qi，输出量液面高度H。
目的、要求： 1.掌握常用典型环节的微分方程、传递函数和方框图、动态响应。 2.熟悉这种典型环节的应用实例。难点：振荡环节
比较环节
1.微分方程
c(t)Kr(t)
2.传递函数与方框图
图a
G(s) K
方框图如图a所示。
3.动态响应
当 r(t) 1(t) 时
c(t)K1(t) （2-27）
延迟环节的方框图和阶跃响应曲线
延迟环节在工作中经常遇到，例如晶闸管整流电路中，控制电压与整流输出有时间上的延迟等。返回

第二章自动控制系统的数学模型

本章要点

系统的数学模型是对系统进行定量分析的基础和出发点。本章主要介绍从微分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模型。内容包括系统微分方程的建立步骤、传递函数的定义与性质、系统框图的建立、等效变换及化简、系统各种传递函数的求取以及典型环节的数学模型。

为了对自动控制系统性能进行深入的分析和设计，须定量计算系统的动、静态性能指标。而要完成此项任务，就必须掌握其变化规律，用一个反映其运动状态的数学表达式描述系统的动态过程。这种描述系统各变量之间关系的数学表达式称为系统的数学模型。

系统数学模型的建立主要有解析法和实验法。解析法是从系统元件所遵循的一些基本规律出发去推导系统的数学模型。如果不了解系统的结构和运动规律，则应采用实验法建立数学模型，即在系统的输入端加上测试信号，在根据测试出的输出响应信号建立其数学模型。

系统的数学模型有多种，经典控制理论中常用的数学模型有：微分方程（时域数学模型）、传递函数（复域数学模型）、频率特性（频域数学模型）和动态结构图(几何模型)。

第一节系统的微分方程

微分方程是描述系统的输入量和输出量之间关系最直接的方法。当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确切描述系统的运动过程。

一、系统微分方程的建立步骤

1．根据系统的组成结构、工作原理和运动规律，确定系统的输入量和输出量。2．从输入端开始，根据各环节所遵循的运动规律，依次列写微分方程。

联立方程，消去中间变量，求取一个只包含系统输入量和输出量的微分方程。3．将方程整理成标准形式。即把含输出量的各项放在方程的左边，把含输入量的各项放在方程的右边，方程两边各导数按降幂排列，并将有关系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。

过程控制(第二版)第二章

*
如果与上述值相差太大，应选二阶惯性环节来近似
3 确定二阶或n阶惯性环节的特性参数

采用两点作图法
y (t1 ) 0.4 y ( ) y (t2 ) 0.8 y ( ) t1 t2 T1 T2 2.16 T1T2 t1 1.74 0.55 (T1 T2 ) t2
上式适用于0.32＜ t1 / t2＜0.46
3 确定二阶或n阶惯性环节的特性参数
t1 t1 t2 当 0.32时，近似为一阶环节，T0 t2 2.12 t t t 当 1 0.46时，近似为二阶环节，T1 T2 T0 1 2 t2 2 2.18 t1 t1 t2 当 0.46时，近似为高于二阶环节，T0 t2 2.16n n值可查表得出
A
B
0-100℃
0-1000℃
x 1℃
2、相对误差

实际相对误差：绝对误差与被测变量的真
值之比的百分数

引用相对误差（相对百分误差）：
x x0 100% 100% x上 x下仪表量程

最大引用相对误差：
max
max x上 x下 100%

被控量的变化往往是不振荡的、单调的、有滞后和大惯性的。有自衡能力的过程为自衡过程（图a），无自衡能力的过程为无自衡过程（图b），

过程控制原理与工程第2章

过程控制原理与工程
2.3.1 拉氏变换的概念
若函数f(t)，乘以指数函数e -st(其中s=σ+jω,是一个复变数)，在0到∞ 之间的积分存在，即F(s)=L［f(t)］=∫∞0f(t)e-stdt (2-30)则称F(s)为f(t) 拉氏变换式，并可用符号L［f(t)］表示。上式称为拉氏变换的定义式。 F(s)只取决于s，它是复变数s的函数。拉氏变换将原来的实变量函数 f(t)转化为复变量函数F(s)。
过程控制原理与工程
2.5 过程控制系统的传递函数
过程控制系统的典型框图如图2-23所示。根据前面的分析，如果知道了组成过程控制系统的各个环节的传
递函数，则通过框图的运算与等效变换，便可求出系统的开环传递函数、闭环传递函数和偏差传递函数。
过程控制原理与工程
2.5.1 系统开环传递函数
当反馈回路断开后，系统便处于开环状态，其反馈信号Z(s)与偏差信号E(s)之比，称为系统的开环传递函数。
(5)分支点的后移需乘以所越过环节的传递函数的倒数，如图2-20所示。
过程控制原理与工程
2.结构图的等效变换规则
图2-20 分支点后移
图2-21 分支点前移
过程控制原理与工程
2.结构图的等效变换规则
(6)分支点的前移需乘以所越过环节的传递函数，如图221所示。 ① 框图等效变换的目的是化简框图，考虑问题时应从如何把一个复杂的框图通过等效变换，化简成基本的串联、并联、反馈三种组合方式。采用的方法一般是移动比较点或分支点来减少内反馈回路。 ② 在基本变换规则中指出，比较点可互换，分支点可互换。但比较点与分支点不能互换次序。

第二章控制系统的数学模型

• 三、传递函数的优点
3、令传递函数中s j，可进行频率域分析；
4、传递函数的零、极点分布，决定系统动态过程。
2.3、典型环节的传递函数
由各个元件组成的系统，可能是电气的，
机械，液压的，气动的等等。尽管这些系统的
物理本质差别很大，但是描述他们的动态性能的传递函数可能是相同的。了解各个元件的传递函数，对于建立系统的传递函数是很重要的。
.
.
..
.
例：图中分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，Xi表示输入位移，X。表示输出位移。
（3）对图（C）所示系统，由牛顿定理：
C ( xi xo ) k1 ( xi xo ) k2 xo

电气系统三元件
电阻
电容
电感
电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。
RLC 串联网络电路
例1：测速发电机例2：RC微分网络例3：理想微分运放理想微分实际微分传递函数：
X c ( s) KTs G( s) X r ( s) Ts 1
若输入为1,输出无穷
传递函数： X c ( s) G( s) Ks X r ( s) 运动方程式： dx r (t ) xc (t ) K dt
uo(t)
ui (t ) duo (t ) C R dt 1 U i s CsU o s 其中：k RC R U o s 1 G s U i s RCs

自动控制原理第2章数学模型

C(s) 1/s
G(s) Uc (s) 1 U r (s) RCs
典型环节
惯性环节的传递函数为： C(s) G(s) 1
R(s)
Ts 1
Inertial loop(link)]
RC惯性环节
典型环节
微分环节的传递函数为：
derivative loop(link)
C(s) G(s) s R(s)

b0r(m) (t) b1r(m1) (t) b2r(m2) (t) bm1 r(t) bmr(t)
输出量在左，输入量在右，降阶排列。
二．列写线性系统微分方程的主要步骤：
分析系统工作原理，明确输入量、输出量列写各元件的运动方程式消除中间变量，只保留输入与输出量及导数化为标准形式
绝对的线性元件和线性系统不存在
非线性微分方程的线性化
实际物理元件或系统都是非线性的，构成系统的元件都具有不同程度的非线性。
建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
线性化:在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代替非线性方程。
线性化的基本条件:非线性特性必须是非本质的，系统各变量对于工作点仅有微小的偏离。

c(n) (t) a1c(n1) (t) a2c(n2) (t) an1 c(t) anc(t)