沪科版初中数学九年级上册《21.2 二次函数的图象和性质》课堂教学课件 (3)
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沪科版九年级上册21.2.1二次函数的图象和性质课件
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大 而增大.
当x= -2时，y=4 当x= -1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
最值
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2
2
的图象． 解：列表
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ···
2
8
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5
8 ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
?
-3
-6
-9
二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
y x2
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y
y x2
3．观察y＝
1 2
x2，y＝2x2的图象，回答它们的开口方向，对称
轴和顶点坐标．
1
4．根据函数y＝ 2 x2，y＝2x2图象特点，总结y＝ax2(a＞0)的
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大 而增大.
当x= -2时，y=4 当x= -1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
最值
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2
2
的图象． 解：列表
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ···
2
8
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5
8 ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
?
-3
-6
-9
二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
y x2
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y
y x2
3．观察y＝
1 2
x2，y＝2x2的图象，回答它们的开口方向，对称
轴和顶点坐标．
1
4．根据函数y＝ 2 x2，y＝2x2图象特点，总结y＝ax2(a＞0)的
《二次函数的图象和性质》课件-沪科版
思考： 观察二次函数y＝2x2－1与y＝2x2+1的图象， 当x＜0时，y随x的增大怎样变化？ 当x＞0呢 ？ 由此你能得到二次函数y=ax2+k有怎样的代数 性质？
知2－导
感悟新知
归纳
知2－讲
代数性质: (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有最大值 k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y 随x的增大而增大；如果a<0，当x<0时，y随x的增大而 增大，当x>0时，y随x的增大而减小.
感悟新知
知2－讲
方法 2: 以对应点作中介平移: 观察图中的 两条抛 物线，抛物线y= -x2+1 的顶点是（0，1）， 抛物线 y=-x2-1 的顶点是 （0，-1），因为顶点向下 平移 了2 个单位，所以将 抛物线y=-x2+1 向下平移 2 个 单位可得到抛物线y= -x2-1.
感悟新知
1. 对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( A. 最小值为2 B. 图象与x轴没有公共点 C. 当x<0时，y随x的增大而增大 D. 图象的对称轴是y轴
函数y=-x2-2的 图象可由y=-x2 的图象沿y轴向 下平移2个单位 长度得到.
图象向上移还是向下移,移多 少个单位长度,有什么规律吗?
知3－导
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形状
相同 , 只是位置不同；当k>0时, 函数y=ax2+k
的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得到,
感悟新知
例1
知2－讲
画出函数y=-x2+1与y=-x2-1 的图象，并根据图象回
知2－导
感悟新知
归纳
知2－讲
代数性质: (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有最大值 k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y 随x的增大而增大；如果a<0，当x<0时，y随x的增大而 增大，当x>0时，y随x的增大而减小.
感悟新知
知2－讲
方法 2: 以对应点作中介平移: 观察图中的 两条抛 物线，抛物线y= -x2+1 的顶点是（0，1）， 抛物线 y=-x2-1 的顶点是 （0，-1），因为顶点向下 平移 了2 个单位，所以将 抛物线y=-x2+1 向下平移 2 个 单位可得到抛物线y= -x2-1.
感悟新知
1. 对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( A. 最小值为2 B. 图象与x轴没有公共点 C. 当x<0时，y随x的增大而增大 D. 图象的对称轴是y轴
函数y=-x2-2的 图象可由y=-x2 的图象沿y轴向 下平移2个单位 长度得到.
图象向上移还是向下移,移多 少个单位长度,有什么规律吗?
知3－导
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形状
相同 , 只是位置不同；当k>0时, 函数y=ax2+k
的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得到,
感悟新知
例1
知2－讲
画出函数y=-x2+1与y=-x2-1 的图象，并根据图象回
九年级数学上册《二次函数的图象和性质3》课件
y 1 x2 2
列表：
y 1 x 22
2
y 1 x 22
2
x
-5
y 1 x2 . . .
2
y 1 x 22
2
4.
y 1 x 22 ·5·· 2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 . . .
2 0.5 0 0.5 2 4.5
y = -3(x1)2
y=5(x+4)
2
向上 向下 向上 向下
y = -4(x-
直线x=-3 直线x=1 直线x=-4 直线x=3
顶点坐 标
( -3 , 0 )
(1,0)
( -4 , 0 )
( 3, 0)
3、抛物线的平移：
y 2x2 2.5
2.5
y 2(x 5)2 5 y 2x2 3 y 2(x 3)2
···
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
在同一坐标系中作出下列二次函数:
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
2
2
观察三条抛物线的 y 1 x 22 相互关系,并分别指 2
y
1
6
(x
2)2
25
4
3
y 1 x2 2
出它们的开口方向,
2
对称轴及顶点.
1
y 1 x 22
2
-8
-6
-4
-2 B
2
4
6
y
1 2
(x
2)2
向左平移 2个单位
y 1 x2 2
向右平-1 移 2个单位
-2
y 1 (x 2)2 2
顶点(－2,0)
沪科版九上数学二次函数的图象和性质
3. 连线：如图，再用平滑曲线 顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．
y 9
6
3
-4 -2O 2 4 x 双击演示
操作
当取更多个点时，函
y
数 y = x2 的图象如下： 9
对称轴与抛物线的交
6
点叫做抛物线的顶点
这条抛物线关于 y 轴
对称，y 轴就是它的
3
对称轴.
-3 o 3
x
二次函数 y = x2 的图象形如物体抛射时所经过
顶点是 (0，0) .
典例精析
例1 已知 y = (m + 1)xm2 + m 是二次函数，且其图象开口 向上，求 m 的值和函数解析式.
m + 1＞0， ① 解：依题意有
m2 + m = 2， ② 解②得 m1 = -2，m2 = 1. 由①得 m＞-1， ∴ m = 1. 此时，二次函数为 y = 2x2.
1. y＝x2 是一条抛物线；
y y = x2
2. 图象开口向上；
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
5. 图象有最低点.
o
x
说说二次函数 y = -x2 的图象有哪些特征，与同伴交流.
1. y＝-x2 是一条抛物线； 2. 图象开口向下；
y o
x
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
a＞0 y
Ox
a＜0 y
Ox
开口向上，在 x 轴上方 开口向下，在 x 轴下方
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当 x = 0 时，y最小值 = 0 在对称轴左侧递减
y 9
6
3
-4 -2O 2 4 x 双击演示
操作
当取更多个点时，函
y
数 y = x2 的图象如下： 9
对称轴与抛物线的交
6
点叫做抛物线的顶点
这条抛物线关于 y 轴
对称，y 轴就是它的
3
对称轴.
-3 o 3
x
二次函数 y = x2 的图象形如物体抛射时所经过
顶点是 (0，0) .
典例精析
例1 已知 y = (m + 1)xm2 + m 是二次函数，且其图象开口 向上，求 m 的值和函数解析式.
m + 1＞0， ① 解：依题意有
m2 + m = 2， ② 解②得 m1 = -2，m2 = 1. 由①得 m＞-1， ∴ m = 1. 此时，二次函数为 y = 2x2.
1. y＝x2 是一条抛物线；
y y = x2
2. 图象开口向上；
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
5. 图象有最低点.
o
x
说说二次函数 y = -x2 的图象有哪些特征，与同伴交流.
1. y＝-x2 是一条抛物线； 2. 图象开口向下；
y o
x
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
a＞0 y
Ox
a＜0 y
Ox
开口向上，在 x 轴上方 开口向下，在 x 轴下方
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当 x = 0 时，y最小值 = 0 在对称轴左侧递减
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第3课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第3课时）教学设计一. 教材分析《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21章第2节的一部分，本节内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式y=ax2+bx+c的基础上，进一步研究二次函数的图象和性质。
通过本节内容的学习，使学生能深刻理解二次函数的图象和性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的分析问题和解决问题的能力，对于二次函数的一般形式已经有所了解。
但是，对于二次函数的图象和性质，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，采取适当的教学策略，引导学生深入理解二次函数的图象和性质。
三. 教学目标1.理解二次函数的图象和性质。
2.能够运用二次函数的图象和性质解决实际问题。
3.提高学生的分析问题和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解。
2.运用二次函数的图象和性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的图象和性质。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象和性质。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关教学素材。
3.课堂练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出问题，引导学生回顾二次函数的一般形式，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师利用多媒体展示二次函数的图象和性质，让学生直观地感受和理解。
3.操练（10分钟）教师引导学生通过观察和分析二次函数的图象和性质，总结出二次函数的性质。
4.巩固（10分钟）教师设计一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固新知。
5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用二次函数的图象和性质解决实际问题。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，加深对二次函数图象和性质的理解。
沪科版九年级数学上册《二次函数图象与性质》(第二课时)课件
（2） y3x2； 开口向下、y 轴、原点． （3） y 1 x2 ； 开口向上、y 轴、原点．
3 （4） y 1 x2．开口向下、y 轴、原点．
3
3．巩固练习
抛物线 y 2 x2，其对称轴左侧，y 随 x 的增大而 3
增大 ；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 减小 ．
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）本节课是如何研究二次函数 y = ax2 的图象和 性质的？
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题3 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2，y 2x2
2
的图象，这两个函数的图象与函数 y = x2 的图象相比， 有什么共同点？有什么不同点？当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象有什么特点？
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
归纳： 一般地， 抛物线 y = ax2 的对称轴是 y 轴， 顶点是 原点． 当 a＞0 时， 抛物线开口向上，顶点是抛物线的最 低点； 当 a＜0 时， 抛物线开口向下，顶点是抛物线的最 高点． 对于抛物线 y = ax2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越 小．
3 （4） y 1 x2．开口向下、y 轴、原点．
3
3．巩固练习
抛物线 y 2 x2，其对称轴左侧，y 随 x 的增大而 3
增大 ；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 减小 ．
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）本节课是如何研究二次函数 y = ax2 的图象和 性质的？
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题3 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2，y 2x2
2
的图象，这两个函数的图象与函数 y = x2 的图象相比， 有什么共同点？有什么不同点？当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象有什么特点？
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
归纳： 一般地， 抛物线 y = ax2 的对称轴是 y 轴， 顶点是 原点． 当 a＞0 时， 抛物线开口向上，顶点是抛物线的最 低点； 当 a＜0 时， 抛物线开口向下，顶点是抛物线的最 高点． 对于抛物线 y = ax2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越 小．
九年级数学上册第21章第4课时二次函数y=ax^2 bx c的图象和性质习题课件新版沪科版ppt
1 2
,y2),(3 1
2
,y3),则y1,y2,y3的大小关系为
y1＜y2＜y3 ．
9.已知二次函数y＝－x2＋2x＋3. (1)求抛物线的顶点及与x轴交点的坐标； 解：(1)它与x轴的交点为(－1,0),(3,0),顶点为(1,4)．
(2)x取什么值时,y的值随x值的增大而减小？ (2)x＞1时,y的值随x值的增大而减小．
知识点四 二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝ax2的关系
10.(2018·广西)将抛物线y＝1 x2－6x＋21向左平移2个单位长度后,得到新抛 2
物线的表达式为( D )
A. y＝12 (x－8)2＋5 B. y＝1 (x－4)2＋5
2
C. y＝1(x－8)2＋2
2
D. y＝1(x－4)2＋3
2
A.图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x＜0时,y的值随x值的增大而减小 D. y的最小值为－3
8.(1)如图,抛物线的顶点是P(1,3),则函数y随自变量x的增大
而减小的x的取值范围是 x＞1 ；
(2)小颖在二次函数y＝2x2＋4x＋5的图象上找到三点
(－1,y1),(
解：(2)△ABM是直角三角形,且∠BAM＝90°.理由如下：作BC⊥x轴 于点C.∵点A的坐标为(－1,0),点B的坐标为(2,3),∴AC＝BC＝3, ∴∠BAC＝45°.∵点M是抛物线y＝x2－1的顶点,∴点M的坐标为(0, －1),∴OA＝OM＝1.∵∠AOM＝90°,∴∠MAC＝45°,∴∠BAM＝ ∠BAC＋∠MAC＝90°,∴△ABM是直角三角形．
11.(2018·德州)如图,函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数,且a≠0)在同 一平面直角坐标系的图象可能是( B )
沪科版数学九年级上册21.2二次函数图象和性质(3)
置有什么关系?
-5 -4 -3灿-若2寒-1星 o 1 2 3 4 5 x
函数y=-(x+3)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向左平移3个
单位长度得到.
函数y=-(x-2)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向右平移2个
单位长度得到.
y=-(x+3)2
y=-x2 y=-(x-2)2
图象向左移还是向右移,移多少个 单位长度,有什么规灿律若寒吗星 ?
y a(x h)2的图象与性质
灿若寒星
回顾：二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点
k>0
k<0
开口向上
k>0 k<0
开口向下
|a|越大，开口越小
关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
增减性 当x<0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而增大
（5）抛物线y=7(x-3)2的开口 向上，对称轴是 x=3 ， 顶点坐标是 (3,0) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 3 时，取得最 小 值，这个值等于 0 。
灿若寒星
y=a(x+h)2 (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
函数y= (x+1)2的 图象可由y= x2的 图象沿x轴向左平 移1个单位长度得
函数y到= ;(x-1)2的 图象可由y= x2的 图象沿x轴向右平 移1个单位长度得
到;
y (x 1)2
y 10
9 8 7 6 5 4
-5 -4 -3灿-若2寒-1星 o 1 2 3 4 5 x
函数y=-(x+3)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向左平移3个
单位长度得到.
函数y=-(x-2)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向右平移2个
单位长度得到.
y=-(x+3)2
y=-x2 y=-(x-2)2
图象向左移还是向右移,移多少个 单位长度,有什么规灿律若寒吗星 ?
y a(x h)2的图象与性质
灿若寒星
回顾：二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点
k>0
k<0
开口向上
k>0 k<0
开口向下
|a|越大，开口越小
关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
增减性 当x<0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而增大
（5）抛物线y=7(x-3)2的开口 向上，对称轴是 x=3 ， 顶点坐标是 (3,0) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 3 时，取得最 小 值，这个值等于 0 。
灿若寒星
y=a(x+h)2 (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
函数y= (x+1)2的 图象可由y= x2的 图象沿x轴向左平 移1个单位长度得
函数y到= ;(x-1)2的 图象可由y= x2的 图象沿x轴向右平 移1个单位长度得
到;
y (x 1)2
y 10
9 8 7 6 5 4
九年级数学上册 21.2 二次函数的图象和性质(第3课时)课件 (新版)沪科版
对称轴x 1
当x 1时，y最大值＝1
第九页，共12页。
（3） y 2x2 8x 8
解: a = －2 < 0抛物线开口(kāi kǒu)向下
x顶
2
8
2
2
4 2 8 82
y顶
4 2
0
顶点坐标为2, 0
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
第十页，共12页。
（4） y 1 x2 4x 3 2
可以(kěyǐ)看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点 是函数的图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大 值．由公式可求出顶点的横坐标．
第五页，共12页。
S＝－l 2 +30l
( 0 < l < 30 )
因此(yīncǐ)，当l
b 2a
30
2 1
15
时，
第十二页，共12页。
分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值．
矩形场地(chǎngdì)的周长是60m，一边长为l，
s
则另一边长为 60 l m，场地(chǎngdì)的
面积
2
200
S＝l ( 30－l )
100
即
S＝－l 2 +30l
( 0 < l < 30 )
O
5 10 15 20 25 30
解: a = 0.5 > 0抛物线开口(kāi kǒu)向上
x顶
4 2 0.5
4
4 0.5 3 42
y顶
4 0.5
5
顶点坐标为4, 5
对称轴x 4
当x 4时，y最小值＝-5
当x 1时，y最大值＝1
第九页，共12页。
（3） y 2x2 8x 8
解: a = －2 < 0抛物线开口(kāi kǒu)向下
x顶
2
8
2
2
4 2 8 82
y顶
4 2
0
顶点坐标为2, 0
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
第十页，共12页。
（4） y 1 x2 4x 3 2
可以(kěyǐ)看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点 是函数的图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大 值．由公式可求出顶点的横坐标．
第五页，共12页。
S＝－l 2 +30l
( 0 < l < 30 )
因此(yīncǐ)，当l
b 2a
30
2 1
15
时，
第十二页，共12页。
分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值．
矩形场地(chǎngdì)的周长是60m，一边长为l，
s
则另一边长为 60 l m，场地(chǎngdì)的
面积
2
200
S＝l ( 30－l )
100
即
S＝－l 2 +30l
( 0 < l < 30 )
O
5 10 15 20 25 30
解: a = 0.5 > 0抛物线开口(kāi kǒu)向上
x顶
4 2 0.5
4
4 0.5 3 42
y顶
4 0.5
5
顶点坐标为4, 5
对称轴x 4
当x 4时，y最小值＝-5
沪科版九年级数学上册21.2.1：二次函数的性质3课件 (共12张PPT)
对于函数y=ax²+k
三：平移； 当k＜0时，是由y=ax²向 下 平移 k 个
单位得到的Байду номын сангаас 当k＞0时，是由y=ax²向 上 平移 k 个
单位得到的。
你可以一句话来总结平移法则吗？
巩固练习
课本P13页2,3题
本课小结
这节课，你学会了什么？
布置作业
九年级 数学 沪科版
21.2.3 二次函数y=ax²+k的图象和性质
黉学英才中学 程航
知识回顾
问题 二次函数 y = ax 2 的图象具 有什么特点？它有什么特殊的性 质？
新课学习
问题: 类比 y = ax 2 的研究内容和研究方 法，画出二次函数y=2x²，y = 2x 2 + 1， y = 2x 2 - 1 的图象，并思考它们的图象有什么相 同与不同．
x
-2 -1 0 1 2
y=2x2
8
2
0
2
8
y=2x2+1
9
3
1
3
9
y=2x2-1 7
1 -1
1
7
y
8
6 4
2
-4 -2 0 2 4 x
-2
自主练习
课本P12页练习1
知识总结
对比刚才我们一起学习的一组图象以及刚 才你们自己画的，请总结 y=ax²+k 的图象的 性质并完成填空。
对于函数y=ax²+k
一：当a＞0时，图象开口 向上 ；对称轴是 y轴（直线x=0）； 当x=0时，函数有最 小 值，最小 值是y= k ；顶点坐标是（ 0 ， k ）； 当x＜ 0 时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y 随x的增大而 增大 。
沪科版九年级数学上册《二次函数图象与性质》(第二课时)课件
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
归纳： 如果 a＞0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大； 如果 a＜0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．
3．巩固练习
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
问题4 类比 a＞0 时的研究过程，画图研究当 a＜0 时，二 次函数 y = ax2 的图象特征．
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题5 你能说出二次函数 y = ax2 的图象特征和性质吗？
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
归纳： 一般地， 抛物线 y = ax2 的对称轴是 y 轴， 顶点是 原点． 当 a＞0 时， 抛物线开口向上，顶点是抛物线的最 低点； 当 a＜0 时， 抛物线开口向下，顶点是抛物线的最 高点． 对于抛物线 y = ax2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越 小．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题3 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x 2，y 2x2
2
的图象，这两个函数的图象与函数 y = x2 的图象相比， 有什么共同点？有什么不同点？当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象有什么特点？
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
（1） y 3x2； 开口向上、y 轴、原点．
（2） y3x2； 开口向下、y 轴、原点． （3） y 1 x 2 ； 开口向上、y 轴、原点．
3 （4） y 1 x2．开口向下、y 轴、原点．
3
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第3课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第3课时）教学设计一. 教材分析沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第3课时）的内容包括：二次函数的图象和性质，具体有顶点坐标、开口方向、对称轴等。
这部分内容是整个初中数学的重要内容，对于学生来说，理解二次函数的图象和性质有助于解决实际问题，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本课时，已经掌握了二次函数的一般形式，对于二次函数的图象和性质有一定的了解，但顶点坐标、开口方向、对称轴等概念还需进一步巩固。
此外，学生对于实际问题的解决能力有待提高。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质，能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现二次函数的图象和性质，提高学生的观察能力和逻辑思维能力。
3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生解决实际问题的信心。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。
2.难点：如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次函数的图象和性质。
2.启发式教学法：引导学生发现问题、解决问题，培养学生的逻辑思维能力。
3.小组合作学习：让学生在合作中发现问题、解决问题，提高学生的沟通能力。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、黑板、粉笔等。
2.学生准备：教材、笔记本、文具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师利用PPT展示二次函数的图象和性质，引导学生观察、分析，发现二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。
3.操练（10分钟）教师给出几个例子，让学生运用二次函数的性质解决问题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）教师通过提问、讨论等方式，检查学生对二次函数图象和性质的掌握情况。
沪科九年级数学上册《二次函数图象与性质》(第二课时)课件
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题3 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x 2，y 2x2
2
的图象，这两个函数的图象与函数 y = x2 的图象相比， 有什么共同点？有什么不同点？当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象有什么特点？
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
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我们，还在路上……
21.2.2 二次函数的图象和性质 （第2课时）
课件说明
• 本节课由最特殊最简单的二次函数出发，通过类比一 次函数的图象和性质的研究内容和研究方法，从特殊 到一般地对二次函数的图象和性质进行探究，继续加 深对函数的一般性认识．
课件说明
• 学习目标： 1．会用描点法画出形如 y = ax2 的二次函数图象，了 解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数 y = ax2 的图象特 征和性质； 3．在类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质的过程 中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法 和数形结合的思想．
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）本节课是如何研究二次函数 y = ax2 的图象和 性质的？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 3，4 题．
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022
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我们知道，像 y ax h2 k 这样的函数，容易确定相应抛物线的
顶点为（h,k)，二次函数 y 1 x2 6x 21 也能化成这样的形式吗？ 2
配方可得 y 1 x2 6x 21 1 x 62 3
2
2
由此可知，抛物线 y 1 x2 6x 21 的顶点是（6，3），对称轴 2
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
x顶
8
2 2
2
4 2 8 82
y顶
4 2
0
顶点坐标为2, 0
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
x顶
4 2 0.5
4
4 0.5 3 42
y顶
4 0.5
5
顶点坐标为4, 5
22 43
1 3
顶点坐标为
1 3
,
1 3
对称轴x 1
3
当x
1 3
时，y最小值＝-
1 3
（2） y x2 2x
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
x顶
2
2 1
1
22 y顶 4 1 1
顶点坐标为 1,1
对称轴x 1
当x 1时，y最大值＝1来自（3）y 2x2 8x 8
2a
4ac b2 有最小（大）值 4a
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的
值最小（大）？
（1） y 3x2 2x
（2） y x2 2x
（3）y 2x2 8x 8
（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
x顶
2 23
1 3
y顶
S＝－l 2 +30l
( 0 < l < 30 )
因此，当
l
b 2a
2
30
1
15
时，
S有最大
4ac b2 4a
302
4 1
225
值，
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大（S＝225m2）
一般地，因为抛物线 y ax2 bx c 的顶点是最低（高）点，
所以当 x b 时，二次函数 y ax2 bx c
分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值．
矩形场地的周长是60m，一边长为l，
s
则另一边长为 60 l m ，场地的面积 2 200
S＝l ( 30－l )
即
S＝－l 2 +30l
( 0 < l < 30 )
100 O 5 10 15 20 25 30
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是 函数的图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大 值．由公式可求出顶点的横坐标．
是直线 x = 6
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
7.5 x
y 1 x2 6x 21 2
·· ·
··
3
45
5 3.5
6
3
7
3.5
8
9
·· ·
5 7.5 ··
·y
·
10
y 1 x2 6x 21
2
5
O
5
10 x
一般地，我们可以用配方求抛物线 y = ax2 + bx + c (a≠0)的顶点与对
对称轴x 4
当x 4时，y最小值＝-5
2．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直 角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最 大值是多少？
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21.2二次函数的图象和性质（第3课 时）
y x2
8
y 2x2
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
我们来画 y 1 x2 6x 21 的图象，并讨论一般地怎样画 2
二次函数 y ax2 bx ca 0 的图象．
称轴
y ax2 bx c
a x
b
2
4ac
b2
2a 4a
因此，抛物线 y ax2 bx c
坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
的对称轴是 x b 顶点 2a
这是确定抛物
线顶点与对称 轴的公式
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化 而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？
顶点为（h,k)，二次函数 y 1 x2 6x 21 也能化成这样的形式吗？ 2
配方可得 y 1 x2 6x 21 1 x 62 3
2
2
由此可知，抛物线 y 1 x2 6x 21 的顶点是（6，3），对称轴 2
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
x顶
8
2 2
2
4 2 8 82
y顶
4 2
0
顶点坐标为2, 0
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
x顶
4 2 0.5
4
4 0.5 3 42
y顶
4 0.5
5
顶点坐标为4, 5
22 43
1 3
顶点坐标为
1 3
,
1 3
对称轴x 1
3
当x
1 3
时，y最小值＝-
1 3
（2） y x2 2x
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
x顶
2
2 1
1
22 y顶 4 1 1
顶点坐标为 1,1
对称轴x 1
当x 1时，y最大值＝1来自（3）y 2x2 8x 8
2a
4ac b2 有最小（大）值 4a
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的
值最小（大）？
（1） y 3x2 2x
（2） y x2 2x
（3）y 2x2 8x 8
（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
x顶
2 23
1 3
y顶
S＝－l 2 +30l
( 0 < l < 30 )
因此，当
l
b 2a
2
30
1
15
时，
S有最大
4ac b2 4a
302
4 1
225
值，
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大（S＝225m2）
一般地，因为抛物线 y ax2 bx c 的顶点是最低（高）点，
所以当 x b 时，二次函数 y ax2 bx c
分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值．
矩形场地的周长是60m，一边长为l，
s
则另一边长为 60 l m ，场地的面积 2 200
S＝l ( 30－l )
即
S＝－l 2 +30l
( 0 < l < 30 )
100 O 5 10 15 20 25 30
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是 函数的图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大 值．由公式可求出顶点的横坐标．
是直线 x = 6
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
7.5 x
y 1 x2 6x 21 2
·· ·
··
3
45
5 3.5
6
3
7
3.5
8
9
·· ·
5 7.5 ··
·y
·
10
y 1 x2 6x 21
2
5
O
5
10 x
一般地，我们可以用配方求抛物线 y = ax2 + bx + c (a≠0)的顶点与对
对称轴x 4
当x 4时，y最小值＝-5
2．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直 角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最 大值是多少？
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21.2二次函数的图象和性质（第3课 时）
y x2
8
y 2x2
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
我们来画 y 1 x2 6x 21 的图象，并讨论一般地怎样画 2
二次函数 y ax2 bx ca 0 的图象．
称轴
y ax2 bx c
a x
b
2
4ac
b2
2a 4a
因此，抛物线 y ax2 bx c
坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
的对称轴是 x b 顶点 2a
这是确定抛物
线顶点与对称 轴的公式
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化 而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？