秒杀高考理科导数

用洛必达法则妙解高考压轴题 一．0，∞
∞+：正无穷，比任何给定数都大。

当+∞→时，表示自变量在X 轴上向右“飞到无限远处”。

∞-：负无穷，比任何给定数都大。

当∞→-时，表示自变量在X 轴上向左“飞到无限远处”
∞：表示正无穷与负无穷，当x →∞时，表示自变量在x 轴上向左“飞到无限远处”与向右“飞到无限远处”两种情况。

二、函数的极值
当函数自变量x 趋于x 0的极限（意思是说自变量x 分别从左和从右无限靠近x 0，但并不等于x 0），写作)(lim 0
x x x f →。

如果x 从左边无限靠近或者从右边无限靠近x 0时，f （x ）的值也无限靠近一个数a ，那么就说，当x 趋于x 0时的极限是a ，记作a x f =→)(lim 0
x x （上面知识仅供做题参考，它
们毫无严密性）
计算f （x 0），如果能算出来，那么极限一般就是它了，例
01
11111lim 21
1222122lim 1
112112x lim 3lim 1222221
x 3
x =+-=+-=-⨯+=-+=-⨯+=-+=→→→→x x x x x x x ）（，
但是有一种情况要列外，例
⎪⎩⎪⎨⎧=≠)
1(3)1()(x x x x f 这是因为，当x 从两边无限靠近1的时候，
f （x ）是无限靠近1的，而它仅仅在x=1的时候，突然到达3，这就是所谓函数分段函数（函数的不连续），这种问题做不出来是知识的极限定义没理解。

这就是算不出来的情况。

例：
x
x
x x x x o x x x x sin lim ,24lim ,1lim ,11lim 221→→∞→→--=- 无非就是出现了零和无穷的情况。

如果是一个非零除以零，答案很简单，答案自然是∞，如
∞=→1
-x 1
lim
1x
可以想象当x=1.000...000001时，它的取值.
洛必达法则秒解总结
1. 将x 0代入，如果能求值，那么就是它，包括（0或∞）
2. 如代入x 0后，在无法求值⎪⎭
⎫
⎝⎛∞∞的情况或
00
，观察其是否能够因式分解上下约分，若能，进行约分，再求极值。

3. 若无法求出极值，利用洛必达法则，分子分母同时求导，直至能够求出值为止。

4. 注意事项：只有当极限式子是⎪⎭
⎫
⎝⎛∞∞的情况或00，才能用洛必达法则，否则会出错。

例1
ln lim
x +→x x x 5. 分子是
型
或定要使用洛必达法则时，一而正确的是：
达法则
，不管什么直接用洛必型，不是∞∞
∴=-=-=+=+=+=+∞∞⋅→→→→→→000)(lim 1
1
lim 11ln lim 1ln lim 111ln lim 1ln lim 002
00000x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
明理由。

范围。

若不存在，请说的取值）？若存在，求，的解集为（使得问是否存在）（已知函数例a a x f a x x x
x
x f ∞+≥++-+=
0)(,),1ln(ln 1ln .1（高考中不能用极限答题，因此不能这样答题，在这里，我仅仅是让你得到正确答案，然后你在用学校老师教你的方法去做题）解析：实际上，就是求），在（∞+0)(x f （如果存在）或者趋于最小那个值（如果最小值不存在），求导之后发现只存在最大值点，f （x ）在（0,1）上单调递增，
()∞+，1单调递减。

所以只有用f （x ）的下界，只能在
∞→→x x 或0的时候取。

1
1
lim 1ln lim 11ln lim 1ln lim 1lim 1ln lim lim 011
lim 11ln lim 1ln lim )1(lim 1ln lim )(lim 000
0002
0000
00x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→→→→→→=+=⎪⎭
⎫
⎝⎛+++=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+==--=+-=+-=++⎪⎭⎫
⎝⎛+-= 从而，我们知道a 的最大值应该是0，先证明f （x ）>0,
从
而得到x ≤0，在证明a 不能大于0即可。

怎么说明a 不能大于0呢？对于某个正数a ，总能找到x ，使得f （x ）<a.注意到函数在（0，∞+）时趋于0，于是在0或者+∞附近找这样的数。

如果你想解不等式，凭高考水平无法解答。

那么这是可以考虑将f(x)放缩成一个能解的函数g （x ），即f （x ）<g(x),只要g （x ）<a,则f （x ）就小于a 。

如果你在+∞找一个x ，能放缩成f （x ）<x 吗？不能因a 值可以很小，趋近于0，所以g （x ）也必须趋近于0，譬如
x
x g 1
=
）（，否则放缩会失败，造成答案错误。

如果将f （x ）放缩，则
x x x x x 1
)1ln(ln 1ln <++-+ ，似乎有点难办，于是我们尝试两部分放缩。

首先尝试证明:
x
x x x x 11ln ,11ln +<⇔<+ 当+∞→x 时，左边趋近正无穷，右边仅仅趋近于1，所
以尝试失败。

但是容易求得
o x x →+1ln ，所以似乎太小，x
1
所以再试试 x
1
，它成立或者当于是直接令，当求导，但是我们注意到做一个函数
对错，这时可以把它当这时函数一眼无法证明∞+→>→∞→>+⇔<+0x ,ln x 01
,ln 1
11ln x x
x x x
x x x x 0
)(x f }4,4
max{x 4x x
22)(1
11ln 11ln 4x ,0,00)1
1ln(1ln )(),1(0)1ln(1)ln ()1ln(1ln )(]1,0x 0)(44
≤∴≥=<>><<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+>>=≤>+++=+∞∈>+++-=+++-=∈∞+a a x f a
x
x f x x x x x a a x
x x f x x x
x x x x x x x f x f 矛盾这与）（时，则当，得令，，时
则假设从而，至少有时，当时，（当）
，的定义域为（解：εε
εεε
3
112.2e 11lim .1n
<⎪⎭⎫
⎝⎛+<=⎪⎭⎫
⎝⎛+∞
→n x n n 秒解极限压轴题
3
1
12)1(12 (211)
2...21)11)...(21)(11(21
...21)1)...(1(2111112...11...1n 11222
2
2
2
2
10n n
<-
+=-+=⋅+=⋅-----+=⋅⋅---+=⋅++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+>++=++=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∑∑
∑
∑∑=====n k
k k k n k n n n n k k n n n n C n n C C n
k n
k n
k n
k n
k k
n n
3
1122
1n 113
1n 112)1()1(21223)1()1(2132n )1(21)!1()131n ,2131n n 2n n 2131n 2n 11
n 1
n 1
1
11n n <⎪⎭
⎫
⎝⎛+<>⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++<⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
+++=
+⎪⎭
⎫
⎝⎛+>⎪⎭
⎫
⎝⎛++=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭
⎫
⎝⎛+<+<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭
⎫
⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭
⎫
⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥++++++n
n n
n n
n n
n
n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 归纳为会，利用数学归纳法，都秒解结论：有一类问题②等价①等价②
①故只需要证明（则！成立，那么
假设命题对时成立
解：归纳法
的命题，我们采用数学解析：对于自然数！，、证明：例
2. 级数的极限
所谓级数，顾名思义就是数列的前n 项和S n
+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++⎪⎭⎫
⎝⎛++⋅⋅⋅+⨯+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++⋅⋅⋅+⨯+⨯+∞→+∞→+∞→+∞→n n n n x 13
1
211lim 1n 21-2n 1531311lim 1111lim )1(1321211lim x x x 先求和，再求极限））（（导数中双参问题的恒成立与证明 思路1：变量归类①不等式两边变为结构相同的函数②构造同一函数，利用单调性化为导数的恒成立问题。

例1、已知f(x)=xlnx
1
ln ln )
()(,),,1[k )
()(,),,1[,2
12121212
1212121>--≠+∞∈≥--≠+∞∈x x x f x f x x x x k
x x x f x f x x x x 求证
且②若的取值范围
恒成立，求且①若
思路2：双变量合二为一
①将两x 1，x 2转化为x 1+x 2，x 1-x 2，x 1x 2,x 1/x 2结构，整体换元变为唯一变量②构造函数求导，利用单调性证明或者求解
思路3：主观元思想，将函数中的某个X 当做主元，另一个当做参数，构造函数即可。

恒成立
）是减函数，在（）时，（当）是增函数，，在（时，，（当解：令当作参数。

当作主元，将此时可采取主元思想，法实现变量合二为一，也无无法进行变量归类的，分析：遇到这种问题，，求证且
已知函数，0)(0ln ln ])ln[(ln )()ln(ln ln )()(x 0)('x x x 0)(',0)(')0x )
()()('11)
()
1()(')ln(ln ln )(x x )()()(:1),,0(,,,,ln )(211121121121111121max 21212122122211221211221221121221
21221122
22211112221222112211212121≤∴=-=+-+=+-+==∴∞+∈>∈+-=
-=-∴=++-+=+-
=
+-+=+≤+=++∞∈=x h x x x x x x x x x h x h x h x h x h x x x x x x x h x x x x x x x x x h x x x x x h x x f x f x f x x x x f λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ。