多面体外接球半径常见的5种求法

多面体外接球半径常见的5种求法
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
多面体几何性质法
例1 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π
解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.
∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
补形法 例2
，则其外接球的表面积是 . 解
正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.
设其外接球的半径为R ，则有(
)
2
2
2
2
29R =++=.∴294
R =
. 故其外接球的表面积249S R ππ==.
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R
，则有2R =
寻求轴截面圆半径法
例3 正四棱锥S ABCD -
S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .
解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴
由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.
又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球
的半径.
在ASC ∆
中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt .
∴
12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43
V π
=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，
C
D
A
B S
O 1图3
于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
公式法
例4 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球
面上，且该六棱柱的体积为9
8
，底面周长为３，则这个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h
，则有2
63,1
,296,8x x x h h =⎧⎧=
⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =
，球心到底面的距离d =.
∴外接球的半径1R ==.43
V π
∴=
球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
确定球心位置法
例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为
A.12512π
B.1259π
C.125
6π D.
125
3π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知
OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点
A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.
∴外接球的半
径52R OA ==.故34125
36
V R ππ==
球.选C. 小结：
巩固练习： 1.三棱锥
中，
平面，则该三棱锥外接球的表面
积为（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
2.在三棱柱
111ABC A B C -中，已知1AA ABC ⊥平面
,
12,2AA BC BAC π
==∠=
，此三棱柱各个顶
点都在一个球面上，则球的体积为（ ）
A O D
B
图4
A．32
3
π
B．16π C．
25
3
π
D．
31
2
π
3.四面体ABCD中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD的外接球的表面积
（）
A．25π B．45π C．50π D．100π
4.已知正四面体的棱长为2，则它的外接球的表面积的值为．
5.已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，
则球心到截面ABC的距离为________。

6.平面四边形中，,,,将其沿对角线折成四面体
,使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）
（A）（B）（C）（D）
7.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）
A．81
4
π
B．16π C．9π D．
27
4
π
8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为_______________.
俯视图
侧视图
正视图
3
11
9.三棱锥BCD A -的外接球为球，球O 的直径是AD ，且BCD ABC ∆∆,都是边长为1的等边三角形，则三棱锥BCD A -的体积是（ ）
A 122
B 81
C 61
D 82
10.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为
A ．36π B.64π C.144π D.256π
11.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，
ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC
=；则此棱锥的体积为（ ）
()
A ()B
()C ()D
12.一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D .。