济宁市嘉祥县2019-2020学年八年级下期中数学试卷(含答案解析)

济宁市嘉祥县2019-2020学年八年级下期中数学试卷（含答案
解析）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞5 B．x≥5 C．x≤5 D．x≠5
2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）
A． B．C．D．
3．（3分）以下列三个正数为三边长度，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，2，5 C．2，3，D．4，5，6
4．（3分）下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
5．（3分）已知（4+）•a=b，若b是整数，则a的值可能是（）A． B．4+C．8﹣2D．2﹣
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B，AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是（）
A．100π﹣24 B．100π﹣48 C．25π﹣24 D．25π﹣48
7．（3分）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示
的实数是（）
A．2.5 B．2C． D．
8．（3分）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）
A．3 B．C．D．4
9．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=，AC=2，BD=4，则AE的长为（）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°，连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第六个菱形的边长为（）
A．9 B．9C．27 D．27
二、填空题（本大题共5个小题；每小题3分，共15分.把答案写在题中横线上）
11．（3分）当x=时，代数式有最小值．
12．（3分）已知三角形三边长分别为，，，则此三角形的最大边上的高等于．
13．（3分）在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=cm．
15．（3分）如图，点E、F是正方形ABCD内两点，且BE=AB，BF=DF，∠EBF=∠CBF，则∠BEF的度数．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分.解答应写出证明过程或演算步骤）16．（8分）计算：
（1）﹣（）﹣1+（﹣1）﹣0﹣|﹣2|．
（2）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，求图中空白部分的面积．
17．（6分）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）根据以上尺规作图的过程，证明四边形ABEF是菱形；
（2）若菱形ABEF的边长为4，AE=4，求菱形ABEF的面积．
18．（6分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，求∠E的度数．
19．（6分）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？
20．（8分）阅读理解：
对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a=b时，等号成立；结论：在a+b≥2（a、b均为正实数）中，只有当a=b时，a+b有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若a+b=9，≤；
（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？
21．（9分）我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数．通过观察完成下面两个表格中的空格（以下a、b、c 为Rt△ABC的三边，且a＜b＜c）：
表一
a b c
345
51213
72425
941
表二
a b c
6810
81517
102426
1241
（1）仔细观察，表一中a为大于1的奇数，此时b、c的数量关系是，
a、b、c之间的数量关系是；
（2）仔细观察，表二中a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是，a、b、c之间的数量关系是；
（3）我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关系，表一中的“5，12，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在Rt△ABC中，当，时，斜边c的值．22．（12分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连结GE、GF．
（1）求证：△OAE≌△OBG．
（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．
-学年八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞5 B．x≥5 C．x≤5 D．x≠5
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x﹣5≥0，
∴x≥5
故选：B．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）
A． B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义求解即可．
【解答】解：A、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A不符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含分母，故C不符合题意；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．（3分）以下列三个正数为三边长度，能构成直角三角形的是（）
A．1，2，3 B．2，2，5 C．2，3，D．4，5，6
【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形．
【解答】解：A、12+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故选项错误；
B、22+22≠52，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故选项错误；
C、22+32=（）2，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故选项正确；
D、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查的知识点是勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足：a2+b2=c2时，则三角形ABC是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方．
4．（3分）下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可选出答案．
【解答】解：根据平行四边形的判定定理，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：
“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
5．（3分）已知（4+）•a=b，若b是整数，则a的值可能是（）A． B．4+C．8﹣2D．2﹣
【分析】根据分母有理化的法则进行计算即可．
【解答】解：因为（4+）•a=b，b是整数，
可得：a=8﹣2，
故选：C．
【点评】此题考查分母有理化问题，关键是根据分母有理化的法则进行解答．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B，AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是（）
A．100π﹣24 B．100π﹣48 C．25π﹣24 D．25π﹣48
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，进而可得出以AC为直径的圆的面积，
再根据S
阴影=S圆﹣S
△ABC
即可得出结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中∠B=90°，AB=8，BC=6，∴AC===10，
∴AC为直径的圆的半径为5，
∴S
阴影=S圆﹣S
△ABC
=25π﹣×6×8=25π﹣24．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
7．（3分）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）
A．2.5 B．2C． D．
【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可．
【解答】解：由勾股定理可知，
∵OB=，
∴这个点表示的实数是．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法，解决本题的关键是根据勾股定理求出OB的长．
8．（3分）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）
A．3 B．C．D．4
【分析】根据勾股定理求得OD=，然后根据矩形的性质得出CE=OD=．【解答】解：∵四边形COED是矩形，
∴CE=OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD==，
∴CE=，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
9．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=，AC=2，BD=4，则AE的长为（）
A．B．C．D．
【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出．
【解答】解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC=1，BO=BD=2，
∵AB=，
∴AB2+AO2=BO2，
∴∠BAC=90°，
∵在Rt△BAC中，BC===
S△BAC=×AB×AC=×BC×AE，
∴×2=AE，
∴AE=，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是
直角三角形是解此题的关键．
10．（3分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°，连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第六个菱形的边长为（）
A．9 B．9C．27 D．27
【分析】先求出第一个菱形和第二个菱形的边长，得出规律，根据规律即可得出结论．
【解答】解：连接BD交AC于O，连接CD1交AC1于E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴ACD⊥BD，∠BAO=∠DAB=30°，
OA=AC，
∴OA=AB•cos30°=1×=，
∴AC=2OA=，
同理AE=AC•cos30°=•=，AC1=3=（）2，…，
第n个菱形的边长为（）n﹣1，
∴第六个菱形的边长为（）5=9；
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形以及锐角三角函数的运用；根据第一个和第二个菱形的边长得出规律是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题；每小题3分，共15分.把答案写在题中横线上）
11．（3分）当x=时，代数式有最小值．
【分析】根据二次根式的有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：∵4x﹣5≥0，
∴x≥
当x=时，
的最小值为0，
故答案为：
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
12．（3分）已知三角形三边长分别为，，，则此三角形的最大边上的高等于．
【分析】根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面积：斜边×高÷2=短边×短边÷2，就可以求出最长边的高．
【解答】解：∵ 2+2=2，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是2，
设斜边上的高为h，则
S△ABC=××=×h，
解得：h=，
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和利用三角形的面积公式求高进行解答．
13．（3分）在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为32或42．
【分析】在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长度，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求出CD的长度，由BC=BD+CD或BC=BD﹣CD可求出BC的长度，再将三角形三边长度相加即可得出△ABC的周长．
【解答】解：在Rt△ABD中，BD==9；
在Rt△ACD中，CD==5，
∴BC=BD+CD=14或BC=BD﹣CD=4，
=AB+BC+AC=15+14+13=42或C△ABC=AB+BC+AC=15+4+13=32．
∴C
△ABC
故答案为：32或42．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形的周长，利用勾股定理结合图形求出BC边的长度是解题的关键．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分
别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= 2.5cm．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，
∵AB=6cm，BC=8cm，
∴由勾股定理得：BD=AC==10（cm），
∴DO=5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF=OD=2.5cm，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，关键是求出OD长．
15．（3分）如图，点E、F是正方形ABCD内两点，且BE=AB，BF=DF，∠EBF=∠CBF，则∠BEF的度数45°．
【分析】连接CF，根据正方形的性质可得出AB=BC=CD、∠BCD=90，结合BF=DF、CF=CF即可利用全等三角形的判定定理SSS可证出△BCF≌△DCF，进而可得出∠BCF=45°，由BE=AB利用替换法可得出BE=BC，结合∠EBF=∠CBF、BF=BF利用全等三角形的判定定理SAS可证出△BEF≌△BCF，从而得出∠BEF=
∠BCF=45°，此题得解．
【解答】解：连接CF，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠BCD=90．
在△BCF和△DCF中，，
∴△BCF≌△DCF（SSS），
∴∠BCF=∠DCF=∠BCD=45°．
∵BE=AB，
∴BE=BC．
在△BEF和△BCF中，，
∴△BEF≌△BCF（SAS），
∴∠BEF=∠BCF=45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理证出△BCF≌△DCF、△BEF≌△BCF是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分.解答应写出证明过程或演算步骤）16．（8分）计算：
（1）﹣（）﹣1+（﹣1）﹣0﹣|﹣2|．
（2）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正
方形纸片，求图中空白部分的面积．
【分析】（1）根据实数的混合计算解答即可；
（2）根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【解答】解：（1）原式=
（2）∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为，，
∴AB=4cm，BC=，
∴空白部分的面积=．
【点评】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．
17．（6分）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）根据以上尺规作图的过程，证明四边形ABEF是菱形；
（2）若菱形ABEF的边长为4，AE=4，求菱形ABEF的面积．
【分析】（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明；
（2）连结BF，交AE于G．根据菱形的性质得出AB=4，AG=AE=2，再根据
勾股定理求出FG，可得BF的长，根据根据菱形面积公式计算即可；
【解答】解：（1）在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF，
∴∠EAB=∠EAF，
∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=AF．
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）如图，连结BF，交AE于G．
∵菱形ABEF的边长为4，AE=4，
∴AB=BE=EF=AF=4，AG=AE=2，AE⊥BF，
∴∠AGF=90°，GF==2，
∴BF=2GF=4，
∴菱形ABEF的面积=•AE•BF=××4=8．
【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，解直角三角形，属于中考常考题型．
18．（6分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，求∠E的度数．
【分析】连接AC，根据题意可得AC=BD=CE，则∠CAE=∠E，由AD∥BC可得∠E=∠DAE则∠DAC=2∠E，且∠DAC=∠ADB，即可求解
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE=2∠E=30°，
∴∠E=15°．
【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，关键是灵活运用矩形的性质解决问题．
19．（6分）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？
【分析】根据题意表示出AE，EB的长，进而利用勾股定理求出即可．
【解答】解：由题意可得：设AE=xkm，则EB=（2.5﹣x）km，
∵AC2+AE2=EC2，BE2+DB2=ED2，EC=DE，
∴AC2+AE2=BE2+DB2，
∴1.52+x2=（2.5﹣x）2+12，
解得：x=1．
答：图书室E应该建在距点A1km处，才能使它到两所学校的距离相等．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，得出AC2+AE2=BE2+DB2是解题关键．
20．（8分）阅读理解：
对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a=b时，等号成立；结论：在a+b≥2（a、b均为正实数）中，只有当a=b时，a+b有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若a+b=9，≤；
（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？
【分析】（1）根据a+b≥2（a、b均为正实数），进而得出即可；
（2）根据a+b≥2（a、b均为正实数），进而得出即可．
【解答】解：（1）∵a+b≥2（a、b均为正实数），
∴a+b=9，则a+b≥2，即≤；
故答案为：；
（2）由（1）得：m+≥2，
即m+≥2，当m=时，m=1（负数舍去），
故m+有最小值，最小值是2．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意结合a+b≥2（a、b均为正实数）求出是解题关键．
21．（9分）我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数．通过观察完成下面两个表格中的空格（以下a、b、c 为Rt△ABC的三边，且a＜b＜c）：
表一
a b c
345
51213
72425
941
表二
a b c
6810
81517
102426
1241
（1）仔细观察，表一中a为大于1的奇数，此时b、c的数量关系是b+1=c，a、b、c之间的数量关系是a2=b+c；
（2）仔细观察，表二中a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是b+2=c，a、b、c之间的数量关系是a2=2（b+c）；
（3）我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关
系，表一中的“5，12，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在Rt△ABC中，当，时，斜边c的值．
【分析】（1）根据表中的数得出规律即可；
（2）根据表中的数得出规律即可；
（3）根据32+42=52得出答案即可．
【解答】解：（1）当a为大于1的奇数，b、c的数量关系b+1=c，a、b、c之间的数量关系是a2=b+c，
故答案为：b+1=c，a2=b+c；
（2）当a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是b+2=c，a、b、c之间的数量关系是a2=2（b+c），
故答案为：b+2=c，a2=2（b+c）；
（3）∵32+42=52，
∴，
∴c=1．
【点评】本题考查了勾股数的应用，能根据表中的数据得出规律是解此题的关键．
22．（12分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连结GE、GF．
（1）求证：△OAE≌△OBG．
（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．
【分析】（1）由正方形的性质得出OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°，再由角的互余关系证出∠OAE=∠OBG，由ASA即可证明△OAE≌△OBG；
（2）先证明△AHG≌△AHB，得出GH=BH，由线段垂直平分线的性质得出EG=EB，FG=FB；再证出∠BEF=∠BFE，得出EB=FB，因此EG=EB=FB=FG，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°．
∵BH⊥AF，
∴∠AHG=∠AHB=90°，
∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，
∴∠GAH=∠OBG，
即∠OAE=∠OBG．
∴在△OAE与△OBG中，，
∴△OAE≌△OBG（ASA）；
（2）解：四边形BFGE为菱形；理由如下：
在△AHG与△AHB中，，
∴△AHG≌△AHB（ASA），
∴GH=BH，
∴AF是线段BG的垂直平分线，
∴EG=EB，FG=FB．
∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°﹣∠BAF=67.5°，
∴∠BEF=∠BFE，
∴EB=FB，
∴EG=EB=FB=FG，
∴四边形BFGE是菱形；
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．。