江苏省南通市天星湖中学2017届高三数学寒假课堂练习专题3_13综合练习一

（第5题）

专题3-13 高三数学综合练习一

一、填空题：本题共14小题,每小题5分,计70分．不需写解答,请把答案填写在答题纸指定．．．．．位置上．．．

． 1． 设集合{}1,A x =，{}2,1B x =，且A B =，则实数x = . 2． 设a ∈R ，复数

2i

12i

a ++（i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值为 . 3． 已知幂函数()f x 的图象经过点()

124

，，则()f x = . 4． 如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生

得分的平均分为 ．

5． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ．

6． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的

概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ．7． 用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为 ．

8． 已知抛物线)1)0(22

m M p px y ，（

上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线 12

2

=-a

y x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = .

9． 已知函数f (x )＝⎩⎨

⎧x ＋4，x ＜a ，x 2

－2x ，x ≥a

，若任意实数b ，总存在实数x 0，使得f (x 0)＝b ，则

实数a 的取值范围是 .

10．数列{}n a 中，1407a a ==-，，*n ∀∈N ，当n ≥2时，2(1)n a -=11(1)(1)n n a a +---，则

数列{}n a 的前n 项和为 ．

11．已知点(,)P x y

的坐标满足0200

y x y ⎧-<⎪⎪

+<⎨⎪≥⎪⎩

的取值范围为 .

12．以C 为钝角的△ABC 中，BC ＝3，→BA ·→

BC ＝12，当角A 最大时，△ABC 面积为 . 13．已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨

⎧>--≤<=1

,2|4|1

0,0)(2

x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 ．

5 8

0 1 2 2 4 6

8 9 （第4题）

A

B

P

N

C

M

（第16题）

14．若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2

＝1，则 x －2y 5x 2－2xy ＋2y

2 的最大值为

．

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,

请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．（本小题满分14分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， sin sin tan cos cos A B C A B +=+.

（1）求C ；

（2）若△ABC 的外接圆直径为1,求a b +的取值范围.

16．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC =，4BC =，2AC =．M 为

BC 的中点，N 为AC 上一点，且MN ∥平面PAB ，MN 求证：（1）直线AB ∥平面PMN ；

（2）平面ABC ⊥平面PMN ．

17. （本小题满分16分）

如图，有一位于A 处的观测站，某时刻发现其北偏东45°且与A 相距202海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶. 20分钟后又测得该船位于观测站A 北偏东45°＋θ（其中tan θ＝1

5，0°＜θ＜45°），且与观测站A 相距513海里的C 处.

（1）求该船的行驶速度v （海里/小时）；

（2）在离观测站A 的正南方15海里的E 处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进

入警戒区域的船只不得停留在该区域超过10分钟. 如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由.

（第17题）

18. （本小题满分16分）

如图，已知椭圆O ：x 2

4＋y 2

＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P

是直线l ：y ＝－2上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ． （1）当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积；

南

F

A E

（2）①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； ②求PB PM ⋅的取值范围．

19．(本小题满分16分)

已知函数3()3ln ()f x ax x x a a =+-∈R ． （1）当0a =时，求()f x 的极值；

（2）若()f x 在区间()

1e e ，上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围．

（注：e 是自然对数的底数．）

20．(本小题满分16分)

设数列{a n }的前n 项和为S n ．若112()2n n

a

n a +∈*N ≤≤，则称{a n }是“紧密数列”．

（1）若数列{a n }的前n 项和21(3)()4n S n n n =+∈*N ，证明：{a n }是“紧密数列”；

（2）设数列{a n }是公比为q 的等比数列．若数列{a n }与{S n }都是“紧密数列”，

求q 的取值范围．