随机变量独立性性质及其判定论文

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随机变量独立性的判断方法探究

1 引言概率与统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学.随着社会的不断发展，概率与统计的知识越来越重要，运用抽样数据进行推断已经成为现代社会一种普遍适用且强有力的思考方式.独立性[5]是随机变量非常重要的性质，其应用也很广泛.在解决很多问题时都有随机变量独立这样的前提，只有这样问题才能得以解决或解决起来比较简单.众所周知，随机变量独立性的判定无论从理论还是在实践中都有着重要意义，因此寻找独立性判断方法显得尤为重要.不少的文献对此进行了深入的研究，给出了一些很好的判断方法[3]，但到目前为止人们还没找到简便有效的方法，从而对其深入研究很有必要.2 相关定义定义1离散型随机变量定义在样本空间Ω上，取值于实数域R ，且只取有限个或可列个值的变量()ξξω=，称做是一维（实值）离散型随机变量，简称离散型随机变量.定义2 n 维离散型随机变量设12,,,n ξξξ⋅⋅⋅是样本空间Ω上的n 个离散型随机变量，则称n 维向量（12,,,n ξξξ⋅⋅⋅）是Ω上的一个n 维离散型随机变量.定义3 联合分布型设(,)ξη是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取值为(,),,1,2,i j a b i j =⋅⋅⋅，令(,),,1,2,ij i j P P a b i j ξη====⋅⋅⋅称(,1,2,)ij P i j =⋅⋅⋅是二维离散型随机变量(,)ξη的联合分布列.我们容易证明()(1,2,)i i P a P i ξ⋅===⋅⋅⋅是ξ的分布列，同理有()(1,2,)j j P b P j η⋅===⋅⋅⋅是η的分布列，称,ξη的分布列是（,ξη）的联合分布列的边际分布列.定义 4 离散型随机变量独立性设离散型随机变量ξ的可能取值为(1,2,)i a i =⋅⋅⋅，η的可能取值为(1,2,)j b j =⋅⋅⋅，如果对任意的,i j a b ，有(,)()()i j i j P a b P a P b ξηξη=====成立，则称离散型随机变量ξ和η相互独立.定义5 n 维离散型随机变量独立性设12,,,n ξξξ⋅⋅⋅是n 个离散型随机变量，i ξ的可能取值为(1,,;1,2,)ik a i n k =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，如果对任意一组11(,,)nk nk a a ⋅⋅⋅，恒有 1(P ξ1111,,)()()n n k n nk k n nk a a P a P a ξξξ=⋅⋅⋅===⋅⋅⋅=成立，则称12,,,n ξξξ⋅⋅⋅是相互独立的.3 随机变量独立性的几种判断方法3.1利用分布函数判断随机变量独立性设二维连续型随机变量（X,Y ）的联合分布函数为(,)F x y ,而边缘分布函数为()X F x ,()Y F y ,则X 与Y 相互独立的充要条件是：对一切x 和y ，有(,)F x y =()X F x ()Y F y例1 设二维随机变量(,)ξη具有密度函数2()4,0,0(,)0,x y e x y p x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩其它求分布函数(,)F x y 及边际分布函数(),()F x F y ξη，并判断ξ与η是否独立？解 (,)(,)xy F x y p u v dudv -∞-∞=⎰⎰2()004,0,00,x y u v e dudv x y -+⎧<<+∞<<+∞⎪=⎨⎪⎩⎰⎰其它由此即得22(1)(1),0,0(,)0,x y e e x y F x y --⎧--<<+∞<<+∞=⎨⎩其它()(,)xF x p u v dudv ξ∞-∞-∞=⎰⎰2()004,00,0x u v e dudv x x ∞-+⎧>⎪=⎨⎪≤⎩⎰⎰从而有21,0()0,0x e x F x x ξ-⎧->=⎨≤⎩同理可得，21,0()0,0y e y F y y η-⎧->=⎨≤⎩显然有：(,)()()F x y F x F y ξη=.故ξ与η独立.3.2 利用概率密度函数判断随机变量独立性设二维连续型随机变量（X,Y ）联合概率密度函数为(,)f x y ,而关于X 与Y 的边缘概率密度函数分别为()X f x ，()Y f y ，则X 与Y 相互独立的充要条件是：对任意的x 和y ，有：(,)f x y =()X f x ()Y f y例 2 若二维随机变量(,)ξη服从221212(,,,,0)N a a σσ分布，问ξ与η是否独立？解这时(,)ξη有密度函数22122212()()12121(,)2x a y a p x y e σσπσσ⎡⎤---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2121()2()(,)x a p x p x y dy σξ--+∞-∞==⎰由对称性可得2222()2()y a p y ση--=显然这时(,)()()p x y p x p y ξη=成立.所以ξ与η相互独立.3.3 利用密度函数可分离变量判断随机变量独立性上述两种方法必须求出边缘分布函数或边缘分布密度[3]，下面给出的定理避开了求边缘函数的烦琐过程，使判定随机变量的独立性的工作转化为检查联合概率密度是否为可分离变量的概率密度之积，以及其定义域边界是否为常数的简单工作.定理1设（X,Y)为二维连续型随机变量，其联合密度函数为(,),,,f x y a x b c y d ≤≤≤≤则随机变量X 与Y 相互独立的充要条件为：(1)存在非负连续函数(),()h x g y ，使(,)()()f x y h x g y =，(2),a b c d 和和是分别与,x y 无关的常数. 定理 2 设12(,,,)n X X X ⋅⋅⋅是连续型随机变量，其联合概率密度函数为12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅，满足120,,1,2,,(,,,)0,i i i n a x b i n f x x x >≤≤=⋅⋅⋅⎧⋅⋅⋅=⎨=⎩其它则随机变量12,,n X X X ⋅⋅⋅，相互独立的充要条件为（1）存在连续函数i h (),1,2,,i x i n =⋅⋅⋅；满足121 (,,,)()nn i i i f x x x h x =⋅⋅⋅=∏（2）,(1)i i a b i n ≤≤均为与12,,,n x x x ⋅⋅⋅无关的实常数推论1 在上述定理2中，如果i a ，1,2,,i n =⋅⋅⋅中有若干个为,,1,2,,i b i n -∞=⋅⋅⋅中有若干个为+∞时，则定理2的结果依然成立.推论2 若定理2的条件成立，则()()i x i i i f x h x 与成正比例关系， 1,2,i n =⋅⋅⋅.实际上，推论2容易从定理2的证明过程中看到.推论3 当n=2时，定理2即为：连续型随机变量12,X X 相互独立的充要条件为（1）121212(,)()()X X f x x f x f x =，i i i a x b ≤≤，1,2i =；（2）1122,,,a b a b 均为与12,x x 无关的实常数.例3设12(,,,)n X X X ⋅⋅⋅联合概率密度为：12(2)112,0,1,2,,!(,,,)0,n x x nx i n e x i n n x f x x x -++⋅⋅⋅+⎧>=⋅⋅⋅⎪⎨⎪⎩⋅⋅⋅==其它试讨论12,,,n X X X ⋅⋅⋅的相互独立性.解设111111,0()0,0x x e x h x x -⎧>=⎨≤⎩ ,0()2,3,,0,0i ix i i i i ie x h x i n x -⎧>==⋅⋅⋅⎨≤⎩则有121(,,,)()nn i i i f x x x h x =⋅⋅⋅=∏.又因为0,,1,2,,i i a b i n ==+∞=⋅⋅⋅，由推论1知12,,,n X X X ⋅⋅⋅必相互独立.3.4利用条件数学期望判断离散型随机变量独立性下面给出的定理借助于条件数学期望给出了离散型随机变量相互独立[5]的充分必要条件和充分条件.定理3 如果随机变量X 和Y 都只取两个值，那么它们相互独立的充分必要条件是它们不相关，即(1)()()()E XY EX EY =.定理4 若随机变量X 和Y 相互独立，则它们一定不相关.反过来，结论不成2（）立定理5 设X 和Y 都是离散型随机变量，分布列分别为：其中,m n 是有限数或无穷大，则X 和Y 相互独立的充分必要条件是，对任何有意义的下标i 和j ，下列二式成立：,)0i j PX a Y b ==>（（2.1）11(/,)(/i i j j i E XY X a a Y b b E X X a ++====或或或11,)(/i j j i a Y b b E Y X a ++==或或11,)i j j a Y b b ++=或（2.2）很明显，当随机变量X 和Y 都只取两个值是，（2.2）式中的条件数学期望就是期望，所以定理5是对定理3的推广.定理 6 设X 和Y 都是离散型随机变量.如果对于何,a b c d <<,(,)0P a X b c Y d ≤<≤<>,都有(/,)(/,)E XY a X b c Y d E X a X b c Y d ≤<≤<=≤<≤<(/,)E Y a X b c Y d ≤<≤< 成立，那么X 和Y 相互独立.4 判断随机变量独立性应注意的问题我们在判断随机变量独立性时常会产生一些误解，有如下类型的错误推理:()i 随机变量密度函数可分离变量，随机变量就独立；()ii 随机变量1X 与3X ，2X 与4X 独立，则12X X ±与34X X ±独立；()iii 1X 与3X ，2X 与3X 独立，则12X X ±与3X 独立；等等.我们下面将分别举例说明，并且在判断时应该尤其注意.(1) 随机变量密度函数可分离变量但不独立的例子例4 设12(,,...,)n X X X 的联合概率密度为11121212...,0...1(,,...,)0,n n n n n n n Cx x x x x x f x x x --⎧≤≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它试讨论12,,...,n X X X 的相互独立性.解可设1()n i i i i i h x c x -+=1()n i i c C ==∏，则有121(,,...,)()nn i i i f x x x h x ==∏但由边界条件1120...1n n n x x x -≤≤≤≤≤知，边界为12,,...,n x x x 的函数，而非常数，故由定理2结果知，12,,...,n X X X 不是相互独立的.(2)随机变量1234,,,X X X X 每三个独立，但1234,X X X X ±±与不独立的例子例5 设有八块相同的木块，其中一块不写字，其余七块分别写上字母ABCD ， AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD .从其中随机取一块，若木块上有字母A ，称事件A 发生，等等.不难证明事件,,,A B C D 每三个相互独立，但四个事件相互独立.用A I 等表示事件A 等的示性函数，则随机变量,,,A B C D I I I I 每三个独立，但总起来不独立.不难看出，(0,A B P I I +=0)C D I I +=()1/8,P ABCD ==(0)()1/4,A B P I I P AB +===(0)()1/4,C D P I I P CD +=== (0,0)A B C D P I I I I +=+=≠(0)(0)A B C D P I I P I I +=+=，因此A B C D I I I I ++与不独立.10A B C D P I I I I P ABCD +-===（=0，）（），11/4A B C D P I I I I P CD +-===（=0）=1/4，P(）（）故知A B C D I I I I +-与不独立 .仿之可证A B C D I I I I -+与不独立，A B C D I I I I --与不独立.(3)随机变量123,,X X X 两两独立，但123X X X ±与不独立的例子例 6 设有四块相同的木块分别写上字母,,A B C 和ABC .分别以,,A B C 表示随机取出的一块木板上出现字母,,A B C 的事件（此即著名的别伦师谦例）. ,,A B C 三个事件两两独立，但总起来不独立，因而随机变量,,A B C I I I 两两独立，但三个不独立.注意到 (0,0)()0A B C P I I I P ABC +==== (0)()1/4A B P I I P AB +===(0)()1/2C P I P C ===，即知A B C I I I +与不独立，仿之可证A B C I I I -与不独立.5 结束语本文首先定义了随机变量一些相关定义，然后探讨，总结出了判断随机变量独立性的四种方法，前两种方法比较常见也用得较多，但有时求边缘分布函数和边缘密度函数时过程比较繁琐，而且有时无法求出，从而接着给出了后两种方法.后两种方法比较新颖，简便，而且其应用都有一定的范围，通过例题解析给出了它们的应用.我们在应用时要特别注意它的使用条件.最后本文指出了在判断随机变量独立性时应注意的问题以及容易出现的错误，通过例题分析进一步强调，使我们印象更深刻.随机变量独立性无论从理论上还是实践上都有着重大的意义，因此我们应该继续探究随机变量独立性的判定，找出更多更好的方法.致谢：在我写论文期间，感谢我的论文指导老师张老师的悉心指导和帮助，感谢我的同学以及朋友对我的大力支持和帮助！同时还要感谢论文评审小组的各位专家老师及答辩委员会的各位老师对我的指点和帮助！参考文献[1]李裕奇，赵刊.n维随机变量独立性的一个充要条件[J].西南交通大学学报.1998.33(5):513-517.[2]任彪.离散型随机变量独立性的判定[J].河北省科学院学报.1999.16(3):23-26[3]汪建均.随机变量的独立性的简易判别法[J].数学理论与应用.2005.25(1):71-73[4]朱焕然.随机变量独立性判别方法注记[J].大学数学.2003.19(4):107-109[5]殷洪才，黄宇慧，范广慧.随机变量独立性的一个应用.哈尔滨师范大学自然科学学报.1999.15(6):1-4[6]陈永义，王炳章.随机向量的函数的独立性的一个问题[J].工科数学.2000.16(2):113-116[7]傅尚朴.判断两个离散型随机变量相互独立性的一种简便方法[J].教学与科技.1993.3(3)：9-13[8]宫平.随机变量独立性初探[J].电大理工.2000.11(4)：28-29[9]李裕奇.随机向量的独立性[J].西南交通大学学报.1999.34(5)：577-581[10]姚仲明，唐燕玉.随机变量的独立性及其一个充要条件[J].安庆师范学院学报.2004.10(4)：71-74。

随机变量独立性判断随机变量的独立性和相关性

随机变量独立性判断随机变量的独立性和相关性随机变量的独立性和相关性是概率论和数理统计中的重要概念。

在实际问题中，我们经常需要判断随机变量之间是否相互独立或者相关。

本文将介绍如何判断随机变量的独立性和相关性。

一、什么是随机变量的独立性和相关性随机变量的独立性和相关性描述了随机变量之间的关系。

独立性：若两个随机变量X和Y的联合分布等于各自的边缘分布之积，即P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，则称X和Y独立。

相关性：若两个随机变量X和Y之间存在某种依赖关系，即它们的联合分布和边缘分布不相等，称X和Y相关。

二、判断随机变量的独立性和相关性的方法1. 统计方法利用样本数据进行统计分析，可以判断随机变量的独立性和相关性。

对于两个随机变量X和Y，如果它们的样本相关系数接近于0，可以认为X和Y近似独立；如果样本相关系数接近于1或-1，可以认为X和Y相关。

2. 图形方法通过绘制散点图可以直观地观察随机变量的相关性。

对于两个随机变量X和Y，如果它们的散点图呈现出线性关系，则可以认为X和Y相关；如果散点图呈现出无规律的分布，则可以认为X和Y近似独立。

3. 利用协方差和相关系数判断协方差和相关系数是判断随机变量相关性的重要指标。

协方差衡量了两个随机变量之间的线性相关性，若协方差为0，则可以认为两个随机变量不相关。

相关系数除了衡量两个随机变量的线性相关性，还可以衡量非线性相关性，相关系数的范围在-1至1之间，绝对值越接近1表示相关性越强，绝对值越接近0表示独立性越强。

三、应用举例1. 抛硬币问题假设一次抛硬币，X表示正面次数，Y表示反面次数。

在这个例子中，X和Y的取值只能是0或1，它们的联合分布如下：P(X=0, Y=0) = 1/2P(X=1, Y=0) = 1/2P(X=0, Y=1) = 1/2P(X=1, Y=1) = 1/2可以看出，X和Y的联合分布等于各自的边缘分布之积，即P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，因此X和Y是独立的。

浅谈随机变量的独立性

摘要随机变量的独立性是概率论中最基本的概念之一,通过对它的研究可使许多实际问题的具体计算得到简化.本文首先介绍了随机变量独立性的定义.然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了两种判别方法,同时得出了一些相关的推论,并对其应用进行了举例说明.最后文章对随机变量独立性在求随机变量特征数中的一些应用进行了整合.关键词:离散型随机变量;连续型随机变量;独立性;数学期望;方差The Research on the Independence of Random Variables 10204631SUN Jing-jing Mathematics and Applied MathematicsTutor LI Jian-liAbstractThe independence of the random variable is the most basic concept of probability. Through the study of it can simplify many specific calculations of the practical problems. Firstly, this paper introduces the definition of the independence of random variables. Secondly, for the independence of discrete random variables and continuous random variables, the article gives two judgmental methods to them, and obtains some inferences; this paper also illustrates some examples for these applications. Finally, this paper composes some applications of the independence of the random variable for the calculation of some random variable numeral characters.Key words: discrete random variable; continuous random variable; independence; mathematical expectation; variance目录1 引言 (1)2 随机变量独立性的定义 (1)3 随机变量独立性的判定 (1)3.1离散型随机变量独立性的判定 (2)3.1.1判别法一 (2)3.1.2判别法二 (4)3.2连续型随机变量独立性的判定 (8)3.2.1判别法一 (8)3.2.2判别法二 (9)4 随机变量独立性与数字特征 (11)4.1随机变量独立性与数学期望 (12)4.2随机变量独立性与方差 (12)4.3随机变量独立性与协方差 (13)4.4随机变量独立性与相关系数 (13)总结 (14)参考文献 (15)致谢 (16)浅谈随机变量的独立性1 引言概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.概率论和数理统计已有的成果很多都是在某种独立性的前提下得到的.随机变量独立性的研究因而倍受重视.随机变量独立性的研究经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的时期.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[4]中胡纲、张素霞对随机变量独立性存在的一些易错点进行了分析整合;文献[9]中佟毅对随机变量独立性的相关内容进行了论述.本文将在此基础上对随机变量独立性做详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量独立性在求数字特征中的应用做详细的介绍.2 随机变量独立性的定义定义]6[ 设ηξ,为两个随机变量,若对于任意的实数y x ,,事件{}x <ξ与{}y <η相互独立,即()()()y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ,, )1(则称ξ与η相互独立.若()y x F ,为ξ与η的联合分布函数,()x F ξ、()y F η分别是ξ与η的边际分布函数,则)1(式等价于()()()y F x F y x F ηξ⋅=,.3 随机变量独立性的判定本节主要根据随机变量独立性的定义,分别对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性讨论其判别方法.3.1 离散型随机变量独立性的判定3.1.1 判别法一定理1 设二维离散型随机变量()ηξ,的联合分布列为()j i ij y x P p ===ηξ,,()n j m i ,,2,1;,2,1 ==,ξ的边际分布列为()i i x P p ==⋅ξ,()m i ,,2,1 =,η的边际分布列为()j j y P p ==⋅η,()n j ,,2,1 =,则ξ和η相互独立的充要条件是:对所有的取值()j i y x ,有()n j m i p p p j i ij ,,2,1;,,2,1, ==⋅=⋅⋅.证明充分性若()n j m i p p p j i ij ,,2,1,,,2,1, ==⋅=⋅⋅,则对任意的y x ,,因为()ηξ,是离散型随机变量,所以()()()∑∑≤≤===≤≤=x x yy j i i j y x P y x P y x F ηξηξ,,,∑∑∑∑∑∑≤⋅≤⋅≤≤⋅⋅≤≤⋅=⋅==yy j xx i x x yy j i x x yy ij j i i j i j p p p p p()()()()y P x P y P x P yy i xx i i i ≤≤====∑∑≤≤ηξηξ()()y F x F ηξ⋅=.即ξ和η相互独立.必要性若ξ和η相互独立,不妨设n m y y y y x x x x <<<<<<<< 321321,,则对任意y x ,,有()()()y F x F y x F ηξ⋅=,,即()()()y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ,.当11,y y x x ==时,有 ()()()1111,y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ, 即()()()1111,y P x P y x P =⋅====ηξηξ,亦即1111⋅⋅⋅=p p p . )2(当21,y y x x ==时,有()()()2121,y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ()()()()(){}2112111,,y P y P x P y x P y x P =+=⋅====+==ηηξηξηξ()21112111211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+=+p p p p p p p p p .由)2(式得2112⋅⋅⋅=p p p . 如此下去,最后可得到n n p p p ⋅⋅=11. 一般地有()n j p p p j j ,,2,1,11 =⋅=⋅⋅.同样,若取()n j y y x x j ,,2,1,,2 ===,可得出()n j p p p j j ,,2,1,22 =⋅=⋅⋅. 如此下去,最后得出()n j p p p j m mj ,,2,1, =⋅=⋅⋅. 即有()n j m i p p p j i ij ,,2,1,,,2,1, ==⋅=⋅⋅.综上,定理得证.从定理1可见,对于二维离散型随机变量()ηξ,,等式()()()y F x F y x F ηξ⋅=,,()R y x ∈,成立同等式()j i ij y x P p ===ηξ,成立是等价的.因此可以直接用后者来判定二维离散型随机变量的相互独立.定理1是对二维离散型随机变量()ηξ,取有限个点时对独立性的判定.从定理1的证明可以看出,若()ηξ,取无限多个点,结论也是成立的.因此上述定理可推广为如下定理:定理2 设二维离散型随机变量()ηξ,的联合分布列为()j i ij y x P p ===ηξ,,() ,2,1;2,1==j i ,ξ和η的边际分布列分别为()i i x P p ==⋅ξ,()j j y P p ==⋅η, () ,2,1;2,1==j i ,则ξ和η相互独立的充要条件是对所有的取值()j i y x ,有() ,2,1;,2,1,==⋅=⋅⋅j i p p p j i ij .例1 设随机变量ξ和η相互独立,并且有{}{}p P P ====11ηξ,{}==0ξP{}q p P =-==10η,10<<p ,定义随机变量ζ为1,;0,.ξηζξη+⎧=⎨+⎩若为偶数若为奇数问当p 取何值时,ξ和ζ相互独立?解因为 {}{}{}0,01,11======ηξηξζ ,{}{}{}0,11,00======ηξηξζ ,所以 {}{}{}{}2111,11,1p P P P P ==⋅=======ηξηξζξ, {}{}{}{}pq P P P P ==⋅=======010,10,1ηξηξζξ,{}{}{}{}2000,01,0q P P P P ==⋅=======ηξηξζξ,{}{}{}{}pq P P P P ==⋅=======101,00,0ηξηξζξ.由此得()ζξ,的联合分布列及其边际分布列如表1所示.为使ξ和ζ相互独立,必须有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=.,2,,2222222p p q p pq pqp q q q p pq pqq由于10<<p ,联立方程的解为21=p ,即当21=p 时,ξ和ζ相互独立.3.1.2 判别法二设()ηξ,是二维离散型随机变量,其联合概率分布列()j i ij y x P p ===ηξ,,() ,2,1,=j i 可以用下表所示且=≥ijij ij p p 1,0,矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ij i i j jp p p p p p p p p A 212222111211 称为()ηξ,的联合概率分布矩阵,其行向量记为()() ,2,1,,,,,21==i p p p ij i i i α,记()ηξ,的联合分布列()A ~,ηξ.引理]10[ 设1α是非零向量,1α和2α线性相关,则2α可由1α线性表出. 证明因为1α和2α线性相关,所以存在不全为零的两个数1λ和2λ,使得02211=+ααλλ,又因为1α是非零向量,若02=λ,则01=λ,故02≠λ,所以1212ααλλ-=, 即2α可由1α线性表出.定理3 若()A ~,ηξ,则ξ与η相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向量(或列向量)线性相关.证明充分性若A 中任意的两个行向量线性相关,由∑∑=≥ijij ij p p 1,0,有A 中至少有一个元素不为零,即至少有一个非零行向量,不妨设1α是非零向量,由引理知,2α,3α ,,i α都可以由1α线性表出,则() ,2,1,1==i k i i αα,11=k ,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j i i i jjp k p k p k p k p k p k p k p k p k A 112111212211211121111, 这里() ,2,1,,1=⋅=j i p k p j i ij ,且111∑∑∑∑∑∑===ijijj i j i ijij p k p k p .又由于ξ,η的边缘分布分别为:()∑∑===jj i jij i p k p x P 1ξ,()∑∑∑⋅====ii j ij i iij j k p p k p y P 11η,因此()()∑∑∑∑⋅===⋅=ii j jj i iij jij j i k p p k p p y P x P 11ηξij j i ii jj j i p p k k p p k ==⋅=∑∑111()j i y x P ===ηξ,, 即ξ与η相互独立. 必要性若ξ与η相互独立,由j i ij p p p ⋅⋅=,则A 中的任意两个行向量可写为()() ,,,,,,,,2121j m j m m m m p p p p p p p p p p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==α,()() ,,,,,,,,2121j n j n n n n p p p p p p p p p p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==α,显然m α与n α线性相关.推论1 若()A ~,ηξ,则ξ与η相互独立的充要条件是矩阵A 的任意两行(或两列)对应元素成比例.推论2 若()A ~,ηξ,则ξ与η不相互独立的充要条件是存在矩阵A 的任意两个行向量(或列向量)线性无关.推论3 若()A ~,ηξ,则ξ与η不相互独立的充要条件是存在矩阵A 的任意两行(或两列)对应元素不成比例.推论4 若()A ~,ηξ,则ξ与η相互独立的充要条件是矩阵A 的秩为1. 推论5 若()A ~,ηξ,则ξ与η不相互独立的充要条件是矩阵A 的秩大于1. 推论6 若()A ~,ηξ中有某个0=ij P ,但元素ij P 所在的行与列的所有元素不全为零,则ξ与η不相互独立.例2 从一只装有三个黑球和二个白球的口袋中取球两次,每次去一个球,设⎩⎨⎧=.,1;,0第一次取出黑球第一次取出白球ξ ⎩⎨⎧=.,1;,0第二次取出黑球第二次取出白球η 分别在放回抽样和不放回抽样的试验条件下写出二维随机变量()ηξ,的联合分布列,并判别ξ与η的相互独立性.解 1)放回抽样二维随机变量()ηξ,的联合分布列为:表 3且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00329664259256256254A , 因此()1=A r ,所以ξ与η相互独立. 2)不放回抽样二维随机变量()ηξ,的联合分布列为:且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10316662206206206202A , 因此()12>=A r ,所以ξ与η不相互独立.3.2 连续型随机变量独立性的判定3.2.1 判别法一定理4 设()ηξ,是连续型随机变量,如果其联合密度函数和边际密度函数()()()y f x f y x f ηξ,,,都是除面积为零的区域外的连续函数,则ξ和η相互独立的充要条件是:除面积为零的区域外,恒有()()()y f x f y x f ηξ⋅=,.证明充分性设()()()y f x f y x f ηξ⋅=,,则对任意的实数y x ,,有()()()()⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-∞-==x yxyu v v f u f u v v u f y x F d d d d ,,ηξ()()()()y F x F v v f u u f y xηξηξ==⎰⎰∞-∞-d d .所以,ξ和η相互独立. 必要性设ξ和η相互独立,则有()()()()()⎰⎰⎰⎰∞-∞∞-∞==yxy v v f u u f y F x F u v v u f d d d d ,x--ηξηξ()()⎰⎰∞-∞-=x yu v u f u f d d ηξ.因为上式对任意的y x ,都成立,于是有()()()y f x f y x f ηξ⋅=,, 综上,定理得证.例3]1[ 若()ηξ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他，,0;10,0,8,y y x xy y x p 问ξ和η是否相互独立?解先分别求ξ和η的边际密度函数: 当0<x 或1>x 时,()0=x p ξ. 当10≤≤x 时,有()3144d 8x x y xy x p x-==⎰ξ.因此()⎩⎨⎧≤≤-=.,0;10,443其他x x x x p ξ当0<y 或1>y 时,()0=y p η. 当10≤≤y 时,()3048y dx xy y p y==⎰η.因此()⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,43其他y y y p η很明显,()()()y p x p y x p ηξ≠,,所以ξ和η不相互独立. 3.2.2 判别法二定理5 设()ηξ,是连续型随机变量,其联合密度函数为(),,,b x a y x f <≤d y c <≤,则随机变量ξ和η相互独立的充要条件为:1)存在连续函数()()y g x h 、使()()()y g x h y x f ⋅=,; 2)d c b a 、、、是分别和y x ,无关的常数. 证明充分性首先分别求()ηξ,的边际密度函数,()()()()()()⎰⎰⎰===+∞∞-dcd cy y g x h y y g x h y y x f x f d d d ,ξ,()()()()()()⎰⎰⎰===+∞∞-bab ax x h y g x y g x h x y x f y f d d d ,η,由于d c b a 、、、是分别和y x ,无关的常数,所以上式积分中的结果()⎰dcy y g d 与()⎰bax x h d 是分别和y x ,无关的常数,分别记为C B ,.进一步由联合密度函数的性质()()()1d d d d ,==⎰⎰⎰⎰b a dcb a dc x y y g x h x y y x f ,有 ()()()()()()()()()()⎰⎰⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=b adcyy g x x h y g x h C B y g x h C y g B x h y f x f d d ηξ ()()()()()()()y x f x y y x f y x f x y y g x h y g x h badcbadc,d d ,,d d ==⋅=⎰⎰⎰⎰,即()()()y f x f y x f ηξ=,,由定理4得ηξ,相互独立,充分性得证. 必要性若ηξ,相互独立,由定理4得,必有()()()y f x f y x f ηξ=,,,,d y c b x a <≤<≤取()()()(),,y g y f x h x f ==ηξ则有()()()y g x h y x f ⋅=,,于是定理中的条件1)成立.下面用反证法证明,若d c b a 、、、中至少有一个是与x 或y 有关的函数,不妨设()y a a =,由于()()x h x f =ξ是关于x 的边际密度函数,必有()1=⎰ba dx x f ξ,而()()()y A dx x f bya =⎰ξ是一个与y 有关的不恒为1的y 的函数,矛盾,因而必有a 与y无关.进一步d c b a 、、、都应与y 无关.从而必要性得证.推论7 在定理5的条件中如果c a 、有一个或两个都趋于d b 、,∞-中有一个或两个都趋于∞+,则定理的结果也是成立的.推论8 若定理5的条件成立,则()x h 与()x f ξ成正比例关系,()y g 与()y f η成正比例关系.例4 设()ηξ,的联合密度函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞<<+∞<<∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--.其它,0;0,,2222,22212y x e y n n y x f ny x n n π 讨论ηξ,的独立性.解令()()2122222222ny n ne y y g e n n x h x ---⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛=，π,则有()()()y g x h y x f ⋅=,,又因为∞→=∞→∞→d c b a ,0,,,由推论7可知ηξ,相互独立. 例5 设()ηξ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧<≤=.其它,0;1,,22y x y Kx y x f讨论ηξ,的独立性.解由条件可知12<≤y x ,即y 的积分下限2x y =是与x 有关的x 的函数,而不是一个常数,由定理的条件知ηξ,不是相互独立的.4 随机变量独立性与数字特征上一节对随机变量独立性的判定做了详细的论述,本节具体对随机变量独立性在求数字特征中的应用进行探讨.4.1 随机变量独立性与数学期望定理6 设随机变量ηξ,相互独立,则()()()ηξηξE E E ⋅=⋅.证明设()ηξ,为二维离散型随机变量,其联合分布列为()j i y x P ==ηξ,,() ,2,1;,2,1==j i ,ξ和η的边际分布列为()i x P =ξ,() ,2,1=i 和()i y P =η, () ,2,1=j ,因为ηξ,相互独立,所以()()()j i j i y P x P y x P =⋅====ηξηξ,,则有()()()()∑∑∑∑=⋅=⋅⋅===⋅⋅=⋅ijj i j i ijj i j i y P x P y x y x P y x E ηξηξηξ,()()()()()()ηξηξE E y P y x P x jj j ii i ⋅==⋅⋅=⋅=∑∑.同理,设()ηξ,为二维连续型随机变量,()()y f x f ηξ,分别为ηξ,的密度函数,()y x f ,为()ηξ,的密度函数,因为ξ与η相互独立,所以有()()()y f x f y x f ηξ⋅=,,于是()()()()⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-==⋅y x y f x xyf y x y x xyf E d d d d ,ηξηξ()()()()ηξηξE E y y yf x x xf ⋅=⋅=⎰⎰+∞∞-+∞∞-d d .综上可得,定理成立.4.2 随机变量独立性与方差定理7 设随机变量ηξ,相互独立,则()()()ηξηξD D D +=+. 证明 ()()[]2ηξηξηξ+-+=+E E D()[]()[]()[]()[]{}222ηηηηξξξξE E E E E -+-⋅-+-=()[]()[]()[]{}()[]222ηηηηξξξξE E E E E E E -+-⋅-+-=()()()[]()[]{}ηηξξηξE E E D D -⋅-++=2,因为ξ与η相互独立,所以()ξξE -与()ηηE -也独立,故有()[]()[]{}()[]()[]0=-⋅-=-⋅-ηηξξηηξξE E E E E E E ,从而()()()ηξηξD D D +=+.推论9 设随机变量ηξ,相互独立,则()()()ηξηξD D D +=-.例6 设n ξξξξ,,,,321 相互独立,且()()()n i a E D i i ,,2,1,,2 ===ξσξ,试求∑==ni i n 11ξξ的数学期望和方差.解因为n ξξξξ,,,,321 相互独立,所以由期望和方差的性质]1[及定理7有()()a E n E n n E E ni i n i i n i i ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===111111ξξξξ,()()n D n D n n D D ni i n i i n i i 212121111σξξξξ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===.4.3 随机变量独立性与协方差定理8 设随机变量ηξ,相互独立,则ξ与η必不相关,即()0,Cov =ηξ,若ξ与η不相关,则ηξ,不一定相互独立.证明因ηξ,相互独立,所以()()()ηξηξE E E ⋅=⋅,于是()()[]()[]{}ηηξξηξE E E -⋅-=,Cov ()()()0=⋅-=ηξξηE E E . 对ξ与η不相关,ηξ,不一定相互独立,见如下反例.例7]1[ 设随机变量()2,0~σξN ,且令2ξη=,则ξ与η不独立.此时ξ与η的协方差为()()()()()0,Cov ,Cov 222=-⋅==ξξξξξξηξE E E .即有ξ与η不相关,但ηξ,不相互独立.4.4 随机变量独立性与相关系数定理9 设随机变量ηξ,相互独立,则()0,Corr =ηξ. 证明因为ηξ,相互独立,则()0,Cov =ηξ,则()()0,Cov ,Corr =⋅=ηξσσηξηξ. 定理10 若()()ρσσμμηξ,,,,~,222121N ,则ξ与η相互独立的充要条件是0=ρ.证明充分性若0=ρ,此时()()()22222121222121,σμσμσπσ----⋅=y x eey x f ()()y f x f ηξ⋅=,所以ηξ,相互独立. 必要性因ηξ,相互独立,且()()()y f x f y x f ηξ,,,都是连续函数,所以对一切y x ,恒有()()()y f x f y x f ηξ⋅=,,特别取21,μμ==y x ,有()()()2121,μμμμηξf f f ⋅=, 即212212121121σπσπρσπσ⋅=-,从而0=ρ.总结本文对随机变量的独立性做了详细、全面的论述.文中重点对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性给出了判别方法,对于离散型随机变量,可通过式子()()()y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ,,或联合概率分布矩阵中行(列)向量的线性关系来判别变量间的独立性;对连续型随机变量,可通过边际密度函数的乘积与联合密度函数的关系,或联合密度函数是否可分离来判别变量间的独立性.最后,本文整合了随机变量独立性在求数字特征中的应用.但文章只对二维随机变量的独立性进行了分析,对多维随机变量的独立性未进行研究.参考文献[1] 程依明,茆诗松,濮晓龙.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2010.[2] 郭英,王苫社,徐艳,张宏礼.连续型随机变量的概率密度函数和独立性[J].大庆师范学院学报,2009,29(3):75-77.[3] 何丽敏,侯玉双,余婷.随机变量独立性的判定及运用[J].内蒙古科技大学报,2008,27(3):279-281.[4] 胡纲,张素霞.随机变量独立性易错点分析[J].河北北方学院学报,2006,22(5):14-16.[5] 胡乔林.浅谈概率论中的独立性问题[J].科技信息,2007(24):472、483.[6] 缪铨生.概率与数理统计[M].上海:华东师范大学出版社,2006.[7] 李滨予,张卷美.二维离散型随机变量相互独立[J].焦作工学院学报,1997,16(1):77-80.[8] 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独立性随机变量之间的独立性定义与判别

独立性随机变量之间的独立性定义与判别随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，在许多实际问题中起到了关键作用。

在随机变量的研究中，我们经常需要考虑多个随机变量的关系，其中独立性是一个重要的概念。

本文将探讨独立性随机变量之间的独立性的定义与判别方法。

一、独立性的定义在开始讨论独立性随机变量之间的独立性之前，我们先来了解一下独立性的定义。

设有两个随机变量X和Y，它们的联合概率分布函数为F(x, y)，如果对于任意的x和y，X=x与Y=y的概率等于X=x的概率乘以Y=y的概率，即：P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)上述等式成立时，我们称随机变量X与Y是独立的。

二、判别独立性的方法在实际问题中，我们需要判断随机变量之间是否独立。

下面介绍几种常见的判别独立性的方法。

1. 通过联合概率分布函数判断根据独立性的定义，我们可以通过联合概率分布函数来判断随机变量的独立性。

如果联合概率分布函数可以拆分成各个随机变量的边缘概率分布函数的乘积形式，即：F(x, y) = F_X(x) * F_Y(y)其中F_X(x)和F_Y(y)分别为X和Y的边缘概率分布函数，那么X与Y就是独立的。

2. 通过条件概率分布函数判断除了使用联合概率分布函数，我们还可以通过条件概率分布函数来判断随机变量的独立性。

如果对于任意的x和y，X=x给定条件下，Y=y的条件概率等于Y=y的边缘概率分布函数，即：P(Y=y|X=x) = P(Y=y)那么X与Y就是独立的。

3. 通过相关系数判断除了基于概率分布函数的判别方法，我们还可以使用相关系数来判断随机变量的独立性。

相关系数描述了两个随机变量之间的线性相关程度，如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们的相关系数为0。

因此，我们可以通过计算相关系数来判断随机变量之间是否独立。

4. 通过独立性检验判断除了上述方法，还可以使用独立性检验来判断随机变量之间是否独立。

独立性检验是一种统计检验方法，根据样本数据的观察值来推断总体数据的分布情况，进而判断随机变量之间是否独立。

随机变量的独立性与相关性

随机变量的独立性与相关性随机变量是概率论和统计学中非常重要的概念，它描述了一种具有不确定性的数值变化过程。

在实际应用中，我们经常需要分析随机变量之间的关系，以便更好地理解和应对不确定性。

一、独立性的概念与性质独立性是指两个或多个随机变量之间的关系，在给定其他随机变量的取值时并不影响彼此的概率分布。

具体来说，对于随机变量X 和Y，如果其联合概率分布可以拆解为 X 和 Y 的边缘概率分布的乘积形式，即 P(X,Y) = P(X) * P(Y)，则称 X 和 Y 是独立的。

独立性具有以下性质：1. 互斥事件的独立性：如果事件 A 和事件 B 是互斥的，即同时发生的概率为零，那么 A 和 B 是独立的。

这可以通过检验P(A∩B) = P(A) * P(B) 来判断。

2. 集合独立性：对于任意多个事件，如果它们两两独立，那么它们是集合独立的。

也就是说，对于事件集合 {A1, A2, ..., An}，如果对于任意的i ≠ j，有P(Ai∩Aj) = P(Ai) * P(Aj)，则它们是集合独立的。

3. 独立性的性质传递：如果事件 A 和事件 B 是独立的，事件 B 和事件 C 也是独立的，则事件 A 和事件 C 是独立的。

这可以通过检验P(A∩B∩C) = P(A) * P(B) * P(C) 来判断。

二、相关性的概念与性质相关性描述了两个随机变量之间的线性关系。

具体来说，对于随机变量 X 和 Y，它们之间的相关性可以通过协方差和相关系数来度量。

1. 协方差：协方差用于度量两个随机变量的总体误差。

设 X 和 Y是两个随机变量，它们的期望分别为μx 和μy，协方差定义为 Cov(X,Y) = E[(X-μx)(Y-μy)]。

2. 相关系数：相关系数是协方差的标准化形式，它的取值范围在 -1 到 1 之间。

设 X 和 Y 是两个随机变量，它们的标准差分别为σx 和σy，则相关系数定义为Corr(X,Y) = Cov(X,Y) / (σx * σy)。

随机事件的独立性及其应用

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３１４随机事件的独立性及其应用随机事件的独立性及其应用Һ韩燕玲㊀（郑州工业应用技术学院基础教学部，河南㊀郑州㊀４５１１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ‘概率论与数理统计“这门课是研究随机现象及其统计规律性问题的应用数学学科．其中随机事件的独立性作为概率论中最基本的概念之一，与后续随机变量的独立性有着密切的关联，无论是在科学理论研究还是生产㊁生活等实际应用中都有重要意义，因而对随机事件的独立性的学习与探讨就尤为必要．文章从随机事件的独立性概念及其应用两个方面进行概述与研究，先给出了随机事件的独立性的基本概念㊁相关性质和结论，再从四个方面通过具体实例展示了随机事件的独立性的简单应用．ʌ关键词ɔ独立性；伯努利概型；小概率原理；应用．ʌ基金项目ɔ基于郑州工业应用技术学院公共数学课程思政的教学内容与体系建设研究（ＪＧ－２１０１０２）；郑州工业应用技术学院教育教学改革研究与实践项目一㊁事件的独立性概念我们知道一般情况下Ｐ（Ｂ）ʂＰ（Ｂ｜Ａ）．但在许多实际问题中，两个事件发生互不影响时，也就是有Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ｂ｜Ａ），此时有Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）．例１㊀袋子里装有个８球，其中３个黑球，５个白球，从中有放回地取两次，求：（１）第一次取到白球的概率；（２）第一次取到黑球后放回，再从中取到白球的概率．解㊀设从袋子取球，取到黑球为事件Ａ，取到白球为事件Ｂ．由题意知：（１）Ｐ（Ｂ）＝５８．（２）Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝５８．（一）两个事件的独立性定义１㊀若Ａ，Ｂ是两个事件，Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ），则称Ａ，Ｂ两事件相互独立．注：①区分两个事件互不相容和相互独立．②若Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞０，则有事件Ａ，Ｂ相互独立与互不相容不能同时成立．定理１㊀设有两个事件Ａ，Ｂ，若Ｐ（Ａ）＞０，则Ａ，Ｂ相互独立⇔Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ）．定理２㊀设事件Ａ，Ｂ相互独立，则事件Ａ与Ｂ－，Ａ－与Ｂ，Ａ－与Ｂ－也相互独立．判断事件的独立性往往不是由定义出发，而是由实际背景来认定的．如对一批产品进行抽样检查时，有放回抽样各次是独立的，不放回抽样各次是不独立的．例２㊀若令甲㊁乙两人单独解答同一练习题，甲能答对的概率为０．８，乙能答对的概率为０．９．试计算：（１）两人都答对的概率；（２）至少有一人答对的概率．解㊀（１）设事件Ａ＝｛甲答对题目｝，Ｂ＝｛乙答对题目｝．则Ｐ（Ａ）＝０．８，Ｐ（Ｂ）＝０．９．事件Ａ与Ｂ相互独立，两人都答对为事件ＡＢ，Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝０．８ˑ０．９＝０．７２．（２）至少有一人答对的事件为ＡɣＢ，可用多种方法求解Ｐ（ＡɣＢ）．解法一：Ｐ（ＡɣＢ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）＝０．８＋０．９－０．８ˑ０．９＝０．９８；解法二：Ｐ（ＡɣＢ）＝１－Ｐ（ＡɣＢ）＝１－Ｐ（Ａ－Ｂ－）＝１－Ｐ（Ａ－）Ｐ（Ｂ－）＝１－０．２ˑ０．１＝０．９８；解法三：Ｐ（ＡɣＢ）＝Ｐ（ＡＢ）＋Ｐ（ＡＢ－）＋Ｐ（Ａ－Ｂ）＝０．８ˑ０．９＋０．８ˑ０．１＋０．２ˑ０．９＝０．９８．（二）有限个事件的独立性定义２㊀设Ａ，Ｂ，Ｃ为三个事件，若满足Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ），Ｐ（ＡＣ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｃ），Ｐ（ＢＣ）＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ），Ｐ（ＡＢＣ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）．ìîíïïïï（１）则称事件Ａ，Ｂ，Ｃ相互独立，若（１）的前三个等式㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３１４成立，则称Ａ，Ｂ，Ｃ两两独立．注：相互独立必两两独立，反之未必．类似地，设Ａ１，Ａ２，，Ａｎ为ｎ（ｎ＞１）个事件，若取任意ｋ（１＜ｋɤｎ）个事件Ａｉ，Ａｉ，，Ａｉ（１ɤｉ１＜ｉ２＜＜ｉｋɤｎ）均能满足下面等式Ｐ（ＡｉＡｉＡｉ）＝Ｐ（Ａｉ）Ｐ（Ａｉ）Ｐ（Ａｉ），则称这些事件Ａ１，Ａ２，，Ａｎ相互独立．注：上述等式包含个数共有Ｃ２ｎ＋Ｃ３ｎ＋＋Ｃｎｎ＝２ｎ－ｎ－１．定义３㊀设有ｎ个事件Ａ１，Ａ２，，Ａｎ，如果其中任意两事件都相互独立，则称事件Ａ１，Ａ２，，Ａｎ为两两相互独立．显然多个事件相互独立有以下性质：（１）如果事件Ａ１，Ａ２，，Ａｎ（ｎȡ２）相互独立，则其中任意ｋ（１ɤｋɤｎ）个事件必然相互独立．（２）如果事件Ａ１，Ａ２，，Ａｎ（ｎȡ２）相互独立，则把Ａ１，Ａ２，，Ａｎ中任意ｍ（１ɤｍɤｎ）个事件换成其对立事件，所得ｎ个事件仍然相互独立．例３㊀设加工某一零件一共有３道工序，而第一㊁第二和第三道工序的次品率分别为１％，２％和３％．如果各道工序互不影响，试计算加工出来的零件为次品的概率．解㊀设事件Ａｉ为第ｉ道工序加工出次品（ｉ＝１，２，３），事件Ａ为加工出的零件是次品．由题意有Ａ＝Ａ１ɣＡ２ɣＡ３，同时Ａ１，Ａ２，Ａ３相互独立．于是所求概率为Ｐ（Ａ）＝１－Ｐ（Ａ－）＝１－Ｐ（Ａ１Ａ２Ａ３）＝１－Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ａ３）＝１－０．９９ˑ０．９８ˑ０．９７ʈ５．８９％（三）伯努利概型若随机试验的结果只存在两种可能：事件Ａ发生（称为成功）或事件Ａ不发生（称为失败），则我们称该试验为伯努利（Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ）试验．定义４㊀在相同条件下把伯努利试验独立重复地进行ｎ次，则称这一串重复的独立试验为ｎ重伯努利试验，或简称为伯努利概型．定理３㊀设事件Ａ在一次试验中发生的概率为ｐ（０＜ｐ＜１），那么在ｎ重伯努利试验中，事件Ａ恰好发生ｋ次的概率等于ｂ（ｋ；ｎ，ｐ）＝Ｃｋｎｐｋ（１－ｐ）ｎ－ｋ，ｋ＝１，２，，ｎ．也称上式中的ｂ（ｋ；ｎ，ｐ）为二项概率．推论㊀设事件Ａ在一次试验中发生的概率为ｐ（０＜ｐ＜１），则在伯努利试验序列中，事件Ａ在第ｋ次试验中才首次发生的概率为ｐ（１－ｐ）ｋ．例４㊀若某彩票为每周开奖一次，而每次仅有百万分之一的中奖机率．若张强每周买一张该彩票，尽管他坚持了有１０年（每年５２周），计算他从未中过奖的概率为多少？解㊀若张强每周买一张，则他不中奖的概率为ｐ（０＜ｐ＜１），１０年中他共购买５２０次，并且每次开奖都是相互独立事件，所以１０年中他从未中过奖的概率是ｐ＝（１－１０－６）５２０＝０．９９９４８．二㊁随机事件的独立性的应用（一）随机事件的独立性与小概率原理在生活中的警示例５㊀春节燃放烟花爆竹是中华民族延续了两千余年的传统，但是烟花爆竹的燃放也经常会导致意外的发生，酿成惨剧．假设春节期间北京市有１００万人次燃放烟花爆竹，而每一次燃放烟花爆竹会引发火警的可能性是十万分之一，试求没有引发火警的概率为多少？解㊀将燃放一次烟花爆竹看成是一次伯努利试验，引发火警的概率为ｐ＝１０－５，独立燃放１００万次没有引发火警的概率为ｂ（０；１００００００，ｐ）＝Ｃ０１００００００（１０－５）０（１－１０－５）１００００００ʈ４．５４ˑ１０－５．由此可见，不引发火警几乎是不可能的．２０２１年的春节是北京市严格禁放烟花爆竹的第四个春节，据报道，全市仍有５５人因燃放烟花爆竹而致伤．据统计，在没有禁放的２００５年春节期间，北京市共接到火警警报８１８起，其中由烟花爆竹所引发的火灾有２８２起，仅除夕夜就接报火警４４４起，因燃放烟火引起的火情有１７２起．据北京市卫生局统计，因烟花爆竹燃放致伤到２８家重点医院救治的就有３０７人，其中还有４人因燃放烟花爆竹而死亡．尽管在一次试验中小概率事件几乎是不可能发生的，却也绝不能够忽视，因为在大量重复试验中小概率事件几乎必然发生．据统计，民航飞机的失事率小于１３０００００，但我们依旧能听到发生空难的消息，比如２０２２年３月２１日的发生的令人痛心的东航航班坠机事件．（二）随机事件的独立性在质量检测中的应用例６㊀验收一大批购进的产品，厂家报出这批产品的次品率小于０．００５，用户采用重复放回抽样检测共抽查２００件，查出４件次品，问厂家报出的次品率是㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３１４否可信？解㊀抽查一件产品为一次伯努利试验，设事件Ａ为出现次品，所以设Ｐ（Ａ）＝０．００５，在ｎ＝２００次重复独立试验中，事件Ａ出现了４次的概率为ｂ（４；２００，０．００５）＝Ｃ４２００（０．００５）４（０．９９５）１９６ʈ０．０１５．所以，厂家报出的次品率不可信．（三）随机事件的独立性在体育赛事中的应用例７㊀设现有甲㊁乙两人要进行羽毛球比赛，若已知每局甲胜的几率为ｐｐȡ１２æèçöø÷．试讨论对甲而言，是采用三局两胜制有利，还是采用五局三胜制有利？假定各局胜负相互独立．解㊀若是采用三局两胜制，且最终甲获胜，则其胜局情形应该是以下三种情形之一：甲甲或甲乙甲或乙甲甲．而这三种情形为互不相容事件，又由事件的独立性，最终甲获胜的概率是ｐ１＝ｐ２＋２ｐ２（１－ｐ）．若是采用五局三胜制，且最终甲获胜，则至少需比赛三局（有可能是赛三局，也可能是赛四局或五局），并且必须最后一局是甲胜，而且前面需甲共胜两局．例如，若共比赛四局，则甲的胜局情形应该是以下三种情形之一：甲乙甲甲或乙甲甲甲或甲甲乙甲，且这三种情形为互不相容事件，又由事件的独立性，在五局三胜制中最终甲获胜的概率是ｐ２＝ｐ３＋Ｃ２３ｐ３（１－ｐ）＋Ｃ２４ｐ３（１－ｐ）２，而ｐ２－ｐ１＝ｐ２（６ｐ３－１５ｐ２＋１２ｐ－３）＝３ｐ２（ｐ－１）２（２ｐ－１）．当ｐ＞１２时，ｐ２＞ｐ１；当ｐ＝１２时，ｐ２＝ｐ１＝１２．故当ｐ＞１２时，对甲而言采用五局三胜制会更有利．而当ｐ＝１２时，两种赛制下甲乙两人最终获胜的概率是一样的，都是５０％．（四）随机事件的独立性在系统稳定性中的应用例８㊀设有四个元件按照下列两种不同的连接方式构成了两个工作系统，如图１所示，假设每个元件的可靠性（即正常工作的概率）都是ｒ（０＜ｒ＜１），并且各个元件能不能正常工作是相互独立的，问哪个系统的可靠性更大？系统Ⅰ㊀㊀系统Ⅱ图１解㊀设Ａｉ＝｛第ｉ个元件能正常工作｝（ｉ＝１，２，３，４），Ｂ＝｛系统Ⅰ能正常工作｝，Ｃ＝｛系统Ⅱ能正常工作｝．对于系统Ⅰ，想要系统能正常工作，两条通路中应该至少有一条通路能正常工作，而该通路上的两个元件必须都能正常工作，于是有Ｂ＝Ａ１Ａ２ɣＡ３Ａ４．故系统Ⅰ的可靠性为Ｐ（Ｂ）＝１－Ｐ（Ｂ）＝１－Ｐ（Ａ１Ａ２ɣＡ３Ａ４）＝１－Ｐ（Ａ１Ａ２）Ｐ（Ａ３Ａ４）＝１－［１－Ｐ（Ａ１Ａ２）］［１－Ｐ（Ａ３Ａ４）］＝１－［１－Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）］［１－Ｐ（Ａ３）Ｐ（Ａ４）］＝１－（１－ｒ２）２＝ｒ２（２－ｒ２）．对于系统Ⅱ，想要系统能正常工作，那么它的每对并联元件必须能正常工作，而每对并联元件至少其中有一个元件能正常工作，于是有Ｃ＝（Ａ１ɣＡ２）（Ａ３ɣＡ４）．故系统Ⅱ的可靠性为Ｐ（Ｃ）＝Ｐ｛（Ａ１ɣＡ２）（Ａ３ɣＡ４）｝＝Ｐ（Ａ１ɣＡ２）Ｐ（Ａ３ɣＡ４）＝［１－Ｐ（Ａ１Ａ２）］［１－Ｐ（Ａ３Ａ４）］＝［１－（１－ｒ）２］２＝ｒ２（２－ｒ）２．由于ｒ２（２－ｒ）２＞ｒ２（２－ｒ２），故系统Ⅱ的可靠性比系统Ⅰ的可靠性大．结㊀语随机事件的独立性是概率论课程的重要知识，除文章列举的应用外，其在理论和实践中还有着非常广泛的应用．笔者让学生明白概率知识也是从实践中来，又到实践中去的，从而培养学生用概率知识分析问题和解决问题的能力，使其发现学习数学知识的乐趣，提高其学习的积极性，促使其更好地掌握随机事件的知识．ʌ参考文献ɔ［１］何书元．概率论与数理统计［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０２１．［２］吴赣昌．概率论与数理统计（经营类㊃第五版）［Ｍ］．北京：中国人民大学出版社，２０１７．［３］张杰，徐屹，郭丽杰，刘洪传，宋云飞．概率论与数理统计［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０２１．。

关于随机变量的特征函数与独立性关系的一个性质的证明

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随机变量的独立性与相关性

随机变量的独立性与相关性随机变量的独立性与相关性是概率论和数理统计中重要的概念。

独立性是指两个或多个随机变量的取值之间没有相互影响的关系，而相关性则描述了随机变量之间的线性关系程度。

本文将分别介绍随机变量的独立性和相关性的定义、性质以及其在实际问题中的应用。

一、随机变量的独立性在概率论中，独立性是指两个或多个随机变量在任意条件下都是互相独立的。

具体而言，对于随机变量X和Y，如果对于任意的实数a 和b，满足以下等式：P(X ≤ a, Y ≤ b) = P(X ≤ a) · P(Y ≤ b)，则称X和Y是独立的。

其中，P(X ≤ a, Y ≤ b)表示事件{X ≤ a}和{Y ≤ b}同时发生的概率。

独立性是一种极为重要的性质，它使得概率计算更加简化。

在实际问题中，我们可以利用独立性假设来简化分析，提高计算的效率。

例如，在投掷硬币的实验中，每一次投掷的结果都是独立的，因此可以通过简单的概率计算来确定投掷n次后获得正面朝上的次数。

二、随机变量的相关性相关性是指随机变量之间的线性关系程度。

对于两个随机变量X和Y，其相关性可以通过协方差或相关系数来衡量。

1. 协方差随机变量X和Y的协方差定义为：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]，其中，E(X)和E(Y)分别表示X和Y的期望值。

协方差可以看作是X与Y共同变动的程度。

如果Cov(X, Y) = 0，则称X和Y是不相关的。

如果Cov(X, Y) > 0，则X和Y是正相关的；如果Cov(X, Y) < 0，则X和Y是负相关的。

2. 相关系数相关系数是协方差的归一化形式，可以消除量纲的影响。

随机变量X和Y的相关系数定义为：ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X)σ(Y))，其中，σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。

相关系数的取值范围在-1到1之间，且满足如下性质：若ρ(X, Y) = 0，则X和Y不相关；若ρ(X, Y) > 0，则X和Y正相关；若ρ(X, Y) < 0，则X和Y负相关。

随机变量的独立性与相关性

随机变量的独立性与相关性随机变量是概率论中的重要概念，它描述了不确定性事件的数值特征。

在概率论和数理统计等领域中，我们常常需要研究随机变量之间是否存在独立性或相关性。

本文将探讨随机变量的独立性和相关性的概念、性质以及在实际问题中的应用。

一、独立性的概念与性质在概率论中，独立性是指两个或多个随机变量的取值之间相互独立的性质。

具体来说，对于两个随机变量X和Y，若它们的联合分布等于它们的边缘分布的乘积，则称X和Y是独立的。

即，若对于任意的x和y，有P(X=x，Y=y)=P(X=x)P(Y=y)，则称X和Y是独立的。

独立性有以下性质：1. 若X和Y是独立的，则其数学期望的乘积等于数学期望的乘积的条件期望，即E(XY)=E(X)E(Y)；2. 若X和Y是独立的，则其方差的和等于方差的和，即Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)；3. 若X和Y是独立的，则其协方差等于零，即Cov(X,Y)=0。

二、相关性的概念与性质相关性是指两个随机变量之间的线性关系程度的度量。

具体来说，对于随机变量X和Y，它们的相关性可以通过协方差来衡量。

协方差Cov(X,Y)反映了X和Y的变动方向是否一致，其具体定义为Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。

相关性有以下性质：1. 相关性的取值范围为[-1, 1]，当相关性为1时，表示X和Y之间存在完全正相关关系，当相关性为-1时，表示X和Y之间存在完全负相关关系，当相关性为0时，表示X和Y之间不存在线性关系；2. 相关性不具有传递性，即若X与Y相关，Y与Z相关，不能得出X与Z相关的结论；3. 对于函数变换，相关性具有保持不变的性质，即如果X和Y相关，则g(X)和h(Y)也相关，其中g和h为任意函数。

三、独立性与相关性的区别与联系独立性和相关性都是描述随机变量之间关系的概念，但两者有本质的区别。

独立性是一种较强的关系，表示两个随机变量之间的完全独立，不受彼此影响。

随机变量独立性的判定与运用

２ｏｏ８年９月
内蒙古科技大学学报
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了证明．于二维连续型随机变量，绍了一个比较直观的定理；时，其应用进行了举例说明．对介同对
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在概率论与数理统计的研究中，随机变量的独立性是相当重要的概念，是许多定理和分布成立它

随机变量的独立性和相关性

随机变量的独立性和相关性随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，用于描述随机事件和随机现象的数值特征。

研究随机变量之间的关系对于深入理解概率和统计学的基本原理至关重要。

在这篇文章中，我们将探讨随机变量的独立性和相关性。

一、独立性独立性是指两个或多个随机变量之间的关系，即一个随机变量的取值对另一个随机变量的取值没有任何影响。

如果两个随机变量X和Y 是独立的，那么它们满足以下条件：P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)其中P(X=x, Y=y)表示X等于x，Y等于y的概率，P(X=x)和P(Y=y)分别表示X等于x的概率和Y等于y的概率。

换句话说，当两个随机变量独立时，它们的联合概率等于各自的边缘概率的乘积。

独立性的意义在于可以简化概率计算。

如果X和Y是独立的，那么我们可以通过独立事件的性质计算它们的联合概率。

此外，独立性还可以应用于贝叶斯定理、条件概率和协方差等相关概念的推导与计算。

二、相关性相关性是指两个随机变量之间存在某种程度的关联或依赖关系。

如果两个随机变量X和Y相关，那么它们的取值是彼此依赖的，即当X的取值发生变化时，Y的取值也会随之变化。

在统计学中，相关性通过协方差和相关系数来度量。

协方差描述了两个随机变量之间的总体关系，定义为：cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]其中cov(X,Y)表示X和Y的协方差，E(X)和E(Y)分别表示X和Y的期望（均值）。

协方差的数值可以为负、零或正，分别表示负相关、无相关或正相关。

相关系数是协方差的标准化形式，用于度量两个随机变量之间的线性相关程度。

相关系数的取值范围在-1和1之间，越接近-1或1表示相关性越强，越接近0表示相关性越弱或不存在。

三、独立性与相关性的区别独立性和相关性是两个不同的概念。

独立性是指两个或多个随机变量之间的独立关系，即一个变量的取值对另一个变量的取值没有影响。

相关性是指两个随机变量之间存在某种关联或依赖关系，即一个变量的取值会随着另一个变量的取值而变化。

随机变量的独立性与相关性

随机变量的独立性与相关性统计学与概率论是自然科学的重要分支，而随机变量是统计学中的重要概念。

随机变量是一个数值变量，其取值由特定的随机过程而定。

在统计学中，我们需要研究随机变量之间的关系，包括它们的相关性和独立性。

一、随机变量的独立性随机变量的独立性是指两个或多个随机变量之间的取值没有任何关系。

也就是说，当两个或多个随机变量之间是独立的时候，它们的取值不受彼此的影响。

以两个硬币为例，假设我们投掷两个硬币，A表示第一个硬币的正反面，B表示第二个硬币的正反面。

我们可以用在A和B中都会出现正面的概率来表示两个硬币独立的概率。

即P(A=正面)×P(B=正面)。

另一个例子是，假设我们有两个骰子，X表示第一个骰子的点数，Y表示第二个骰子的点数。

在这种情况下，X和Y之间的独立性表现为两个事件之间的概率乘积等于这两个事件的交集。

即P(X=2)×P(Y=6)=1/36，因为这意味着第一个骰子的点数是2，第二个骰子的点数是6的概率。

二、随机变量的相关性相对于独立性而言，相关性表示出的是两个或多个随机变量之间的取值存在某种关系。

也就是说，当两个或多个随机变量之间是相关的时候，它们的取值受彼此的影响。

在统计学中，我们用协方差和相关系数来描述随机变量之间的相关性。

协方差是一个衡量两个随机变量之间关系强度的指标，其中正值表示正相关，负值表示负相关，而0表示没有相关性。

相关系数是协方差的标准化版本，其数值范围在-1到1之间，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，而0表示没有相关性。

相关系数越接近1或-1，证明两个随机变量之间的关系越强。

需要注意的是，虽然相关性和独立性在概念上有所区别，但它们并非互斥的关系。

有时候，两个随机变量之间既有独立性又有相关性。

三、应用随机变量的独立性和相关性在统计学中拥有广泛的应用场景。

例如，在回归分析中，我们需要确定每个输入变量之间是否存在相关性或独立性，以确定模型中是否需要保留特定的变量。

随机变量的独立性及其应用-本科论文

摘要随机变量的独立性是统计学概率论中最根本的概念之一, 通过对它的研究可使很多实际问题的具体计算得到简化, 所以关于随机变量独立性的研究构成了概率论的重要课题．本论文首先对随机变量独立性进行定义, 然后分别对离散型随机变量和连续型随机变量独立性进行研究分析, 同时得出了一些相关的推论, 然后对独立随机变量与数字特征之间的关系以及独立随机变量和的分布进行论述证明．最后本论文对随机变量独立性的一些应用进行了整合分析．关键词:随机变量;独立性;数字特征ABSTRACTThe independence of the random variable is one of the most basic concept in theory of probability statistics. Through the study of it can make many simplifies the calculation of the actual problem. Study of independent random variables constitutes the important subject of probability theory.This paper first independence of random variables are defined. Then respectively to the discrete random variable and continuous random variables independence for this paper. Some relevant inferences are drawn at the same time, and then the relationship between the characteristics of independent random variables with digital and independent random variables and discusses the distribution of the certificate. Finally this thesis on the independence of random variable application integration analysis.Key words：Random variable; independence; numerical characteristics目录摘要 (1)ABSTRACT (2)前言 (4)第一章随机变量独立性及其判定 (5)1.1 随机变量独立性定义 (5)随机变量及随机变量独立性的定义 (5)随机变量独立性的两个简单定理 (6)1.2 离散型随机变量独立性的判定 (7)离散型随机变量判别法一 (7)离散型随机变量判别法二 (10)1.3 连续型随机变量独立性的判定 (14)连续型随机变量判别法一 (14)连续型随机变量判别法二 (15)第二章随机变量独立性的性质与应用 (18)2.1 随机变量与数字特征 (18)随机变量独立性与数学期望 (18)随机变量独立性与方差 (19)随机变量独立性与协方差 (20)随机变量独立性与相关系数 (21)2.2 随机变量和的分布 (22)独立离散型随机变量和的分布 (22)独立连续型随机变量和的分布 (23)2.2.3 独立的离散型随机变量与连续型随机变量和的分布 (24)2.3 随机变量独立性的应用 (26)应用一利用离散型随机变量的独立性确定分布中的参数. (26)应用二求离散型独立随机变量的联合分布列 (27)应用三利用连续型随机变量的独立性求常用分布函数的联合概率密度 (28)总结 (30)致谢 (31)参考文献 (32)前言概率论是研究随机现象数量规律的数学分支, 而随机现象是相对于决定性现象而言的．由于随机现象的普遍性, 使得其在现实生活中具有极其广泛的应用, 特别是在科学技术、工业和农业生产等方面．而随机变量那么是指随机事件的数量表现, 随机变量的独立性是概率统计中最根本的概念之一, 无论在科学理论研究还是在社会生产、生活等实际的应用中都具有非常重要的意义．当前概率论和数理统计很多已有的研究成果都是在随机变量独立性的前提下得到的, 因而对随机变量独立性的研究具有非常重要的现实意义．随机变量独立性的研究经历着缓慢的开展过程．在上世纪九十年代后, 有关随机变量独立性的研究进入了一个新的时期, 将随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量, 然后分别对其进行定向判定研究, 并对随机变量的应用也展开了一个新的局面．本文将在此根底上对随机变量独立性判定做详细、全面的论述, 并对随机变量独立性在求数字特征中的应用和独立随机变量和的分布等方面做详细的介绍．第一章随机变量独立性及其判定随机变量独立性定义在我们研究随机变量独立性判定时, 首先我们需要了解什么是随机变量独立独立性, 当然在此之前我们需要了解一个更为具体的概念, 即什么是随机变量．随机变量表示随机试验中各种结果的实值单值函数．如某一时间段经过火车站平安门的人数, 机在一定时间内收到的次数等等, 都是关于随机变量的实例．设为概率空间, 为上定义的实值函数, 如果有那么称为随机变量．随机变量是上关于可测的实值函数．一般我们省略, 将等简写成等．随机变量在不同条件下因为偶然因素的影响, 其取值可能不同, 即随机变量具有不确定性、随机性．定义设为概率空间上的个随机变量, 假设其联合分布函数等于各自的边缘分布函数之积, 即称相互独立．.1如果随机变量相互独立, 那么其中任何一局部随机变量仍然独立．证明如果相互独立, 考虑其任意局部随机变量组成的子向量, 在中令与子向量无干的所有, 那么左边可化为其子向量的边缘分布函数, 同样右边相应地化为子向量的各分量的边缘分布函数之积, 故定理1得证．定理1.1.2随机变量相互独立, 当且仅当证明充分性中仅仅是上式中的特殊情况, 充分性得证．必要性先固定, 记那么由定理知易见, 为代数, 故.因而在固定, 记同样地有且为代数, 故, 必要性得证．综上, 随机变量相互独立, 当且仅当离散型随机变量独立性的判定受偶然因素影响, 随机变量在不同的条件下可能取各种随机变量不同的值, 即其具有不确定性、随机性, 但这些取值在某个范围的概率是确定的．随机变量既可以是离散型的, 也可以是连续型的．同时在研究随机变量的独立性时，我们也可分为离散型随机变量独立性和连续型随机变量独立性两种分别进行研究, 首先我们对离散型随机变量进行探讨研究, 当然在此之前我们要知道什么样的随机变量才是离散型随机变量．定义设为概率空间上的随机变量, 如果存在数列和满足使得那么称随机变量〔及概率分布〕为离散型的．定理设二维离散型随机变量的联合分布列为的边际分布列为的边际分布列为那么和相互独立的充要条件是:对所有的取值有证明充分性如果那么对任意的, 因为是离散型随机变量, 所以即和是相互独立的, 充分性得证.必要性如果和相互独立, 不妨设于是对任意, 有即当时, 有即亦即当时, 有由得如此下去, 可得一般地有同样, 如果取, 可得出最后可得即有充分性得证．综上所述, 定理得证.由定理1可以判定, 对于二维离散型随机变量, 等式成立与等式成立是等价的.因此可以直接用来判定二维离散型随机变量的独立性。

随机变量独立性性质及其判定论文

议随机变量独立性及其应用作者：xxx 指导老师：xxx摘要随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.本文首先介绍了随机变量独立性的定义,随机变量独立性的性质，然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了不同的判别方法，从而针对不同的问题运用相应的判别方法进行判定，除此还通过随机变量独立性的性质及其判别方法得出了一些相关的推论，并对其应用进行了举例说明.关键词离散型随机变量连续型随机变量独立性联合分布1 引言概率统计是研究随机现象中数量规律的一门数学学科，它是近代数学的重要分支，理论严谨、应用广泛，并且与其他学科互相渗透结合.概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.概率论和数理统计已有的成果大部分都是在某种独立性的前提下才得到的.因而随机变量独立性的研究倍受重视.随机变量独立性的研究一直经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的阶段.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[2]中毛纲源对随机变量独立性的判定进行了分析并举例说明;文献[7]中明杰秀等对二维随机变量独立性的判定及其应用等相关内容进行了论述.本文将在此基础上对随机变量独立性做一下详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量的独立性的应用进行举例说明.2 随机变量独立性的定义定义]1[ 设),(Y X 为二维随机变量,若对于任意的实数y x ,,事件{}x X ≤与{}y Y ≤相互独立,即()()()y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤,, ）（1则称X 与Y 相互独立.若()y x F ,为X 与Y 的联合分布函数,()x F X 、()y F Y 分别是X 与Y 的边缘分布函数,则)1(式等价于()()()y F x F y x F Y X ⋅=,.3 随机变量独立性的性质及其判别方法 3.1离散型随机变量独立性的判定判别法一定理1 设二维离散型随机变量()Y X ,的联合分布列为()j i ij y Y x X P p ===,, () ,2,1;2,1==j i ,X 的边分缘布列是()i i x X P p ==⋅,() ,2,1=i ,Y 的边缘分布列是()j j y Y P p ==⋅,() ,2,1=j ,则X 和Y 相互独立的充要条件为:对所有的取值()j i y x ,有() ,2,1;,2,1,==⋅=⋅⋅j i p p p j i ij .证明充分性：若() ,2,1,,2,1,==⋅=⋅⋅j i p p p j i ij ,因为()Y X ,是二维离散型随机变量,所以对任意的y x ,有()(),,()()()()i j i j i j i j ij i j x x y yij i jx x y yx xy yi j x xy yp P X x Y y P X x Y y p p p P X x P Y y P X x P Y y ≤≤⋅⋅≤≤≤≤≤≤=≤≤=====⋅====≤≤∑∑∑∑∑∑∑∑即X 和Y 相互独立.必要性：若X 和Y 相互独立,不妨设123123,i j x x x x y y y y <<<<<<<<<<,则对任意y x ,,有()()()y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤,.当11,y y x x ==时,有()()()1111,y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤,即()()()1111,y Y P x X P y Y x X P =⋅====,亦即1111⋅⋅⋅=p p p . )2(如此进行下去,最后可得() ,2,1,11=⋅=⋅⋅j p p p j j .如此下去,最后得出.() ,2,1,,2,1,==⋅=⋅⋅j i p p p j i ij .由此定理得证.例1 设随机变量X 和Y 相互独立,并且有{}{}p Y P X P ====11,{}==0X P {}q p Y P =-==10,10<<p ,定义随机变量ζ为⎩⎨⎧++=.0,1为奇数若，为偶数；若Y X Y X ζ问当p 取何值时,X 和ζ相互独立?解由于{}{}{}0,01,11======Y X Y X ζ, {}{}{}0,11,00======Y X Y X ζ,所以{}{}{}{}2111,11,1p Y P X P Y X P X P ==⋅=======ζ,{}{}{}{}pq Y P X P Y X P X P ==⋅=======010,10,1ζ, {}{}{}{}2000,01,0q Y P X P Y X P X P ==⋅=======ζ,{}{}{}{}pq Y P X P Y X P X P ==⋅=======101,00,0ζ.由此得()ζ,X 的联合分布列及其边缘分布列如表1所示.表 10 1j p ⋅pq 2q q 1pq2pp⋅i ppq 222q p +1为使X 和ζ相互独立,有ζX()()2222222,,2,.pqq pq p q q q pqp pq p q p p =⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪+=⎩ 由于10<<p ，故方程组的解为21=p ,即当21=p 时,X 和ζ相互独立.判别法二：设()Y X ,是二维离散型的随机变量,它的联合概率分布列为()j i ij y Y x X P p ===,, () ,2,1,=j i 可以用下表所示表 21y2yj y1x 11p12pj p 12x 21p22pj p 2i x 1i p2i pij p且∑∑=≥ijijij pp 1,0,矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ij i i j j p p p p p p p p p A 212222111211称为()Y X ,的联合概率分布矩阵,其行向量记为()() ,2,1,,,,,21==i p p p a ij i i i ,记()Y X ,的联合分布列()A Y X ~,.引理]7[ 设1α是非零向量,1α和2α线性相关,则2α可由1α线性表出.证明因为1α和2α线性相关,所以存在不全为零的两个数1λ和2λ,使02211=+ααλλ又因为1α是非零向量,如果02=λ,则01=λ,则02≠λ,所以Y X1212ααλλ-=, 即2α可由1α线性表出.定理2 若()A Y X ~,,则X 与Y 相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向量(或列向量)线性相关.证明充分性：若A 中任意的两个行向量线性相关,由∑∑=≥ijijij pp 1,0,则A 中至少有一个元素不为零,即至少有一个非零行向量,不妨设1α是非零向量,由引理可知,2α,3α ,,i α都可以由1α线性表示,则() ,2,1,1==i k i i αα,11=k ,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j i i i j jp k p k p k p k p k p k p k p k p k A 112111212211211121111, 这里() ,2,1,,1=⋅=j i p k p j i ij ,且111∑∑∑∑∑∑===ijijj i ji ijijp k p k p .又由于X ,Y 的边缘分布分别为:()∑∑===jj i jij i p k p x X P 1,()∑∑∑⋅====ii j ij i iij j k p p k p y Y P 11,因此()()),,(1111j i jiij j i iij jj i iij jij j i y Y x X P k p p k k p p k p p y Y P x X P ===⋅=⋅===⋅=∑∑∑∑∑∑即X 与Y 相互独立.必要性：若X 与Y 相互独立,由j i ij p p p ⋅⋅=,则A 中的任意两个行向量可写为()() ,,,,,,,,2121j m j m m m m p p p p p p p p p p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==α, ()() ,,,,,,,,2121j n j n n n n p p p p p p p p p p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==α,显然m α与n α线性相关.推论1 若()A Y X ~,,则X 与Y 相互独立的充要条件是矩阵A 的任意两行(或两列)对应元素成比例.推论2 若()A Y X ~,,则X 与Y 不相互独立的充要条件是存在矩阵A 的任意两个行向量(或列向量)线性无关.推论3 若()A Y X ~,,则X 与Y 不相互独立的充要条件是存在矩阵A 的任意两行(或两列)对应元素不成比例.推论4 若()A Y X ~,,则X 与Y 相互独立的充要条件是矩阵A 的秩为1. 推论5 若()A Y X ~,,则X 与Y 不相互独立的充要条件是矩阵A 的秩大于1. 推论6 若()A Y X ~,中有某个0=ij P ,但元素ij P 所在的行与列的所有元素不全为零,则X 与Y 不相互独立.例2 从一只装有三个黑球和二个白球的口袋中取球两次,每次去一个球,设⎩⎨⎧=.,1;,0第一次取出黑球第一次取出白球X ⎩⎨⎧=.,1;,0第二次取出黑球第二次取出白球Y 分别在放回抽样和不放回抽样的试验条件下写出二维随机变量()Y X ,的联合分布列,并判别X 与Y 的相互独立性.解 1)放回抽样二维随机变量()Y X ,的联合分布列为表 30 10 254 256 1256 259 且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00329664259256256254A , 因此()1=A r ,故X 与Y 相互独立.2)不放回抽样二维随机变量()Y X ,的联合分布列为表 40 1YXYX0 202 206 1206 206 且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10316662206206206202A , 因此()12>=A r , 所以X 与X 不相互独立.3.2 连续型随机变量独立性的判定判别法一定理3 设()Y X ,是二维连续型随机变量,若它们的联合密度函数和边缘分布函数分别为()()()y f x f y x f Y X ,,,，并且都是除面积为零的区域外的连续函数,则X 和Y 相互独立的充要条件为:除面积为零的区域外,恒有()()()y f x f y x f Y X ⋅=,.证明充分性：设()()()y f x f y x f Y X ⋅=,,则对任意的实数y x ,,有()()()()⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-∞-==xy x yY X u v v f u f u v v u f y x f d d d d ,,()()()()y f x f v v f u u f Y X y Y xX ==⎰⎰∞-∞-d d .所以,X 和Y 相互独立.必要性：设X 和Y 相互独立,则有()()()()()⎰⎰⎰⎰∞-∞∞-∞==yY X YXx y v v f u u f y f x f u v v u f d d d d ,x--()()⎰⎰∞-∞-=x yY X u v u f u f d d .因为上式对任意的y x ,都成立,于是有()()()y f x f y x f Y X ⋅=,,综上,定理得证.例3]1[ 若()Y X ,的联合密度函数为()8,0,01;,0,xy x y y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他. 问X 和Y 是否相互独立?解先分别求X 和Y 的边缘密度函数: 当0<x 或1>x 时,()0=x f X .当10≤≤x 时,有()3144d 8x x y xy x f xX -==⎰.因此()⎩⎨⎧≤≤-=.,0;10,443其他x x x x f X 当0<y 或1>y 时,()0=y f Y .当10≤≤y 时,()3048y dx xy y f yY ==⎰.因此()⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,43其他y y y f Y很明显,()()()y f x f y x f Y X ≠,,所以X 和Y 不相互独立.判别法二定理]2[4设),(Y X 是连续型随机变量, 其联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=.,0;,),,(),(其他d y c b x a y x f y x F 则随机变量相互独立的充要条件为(i) 存在连续函数)(),(y g x h 使)()(),(y g x h y x f =. (ii) d c b a 、、、是分别与y x 、无关的常数.证明充分性: 首先分别求随机变量),(Y X 对y x 、的边缘密度函数.⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-======b abaY d cdcX dx x h y g dx y g x h dx y x F y f dy y g x h dy y g x h dy y x F x f .)()()()(),()(,)()()()(),()(d c b a 、、、是分别与y x 、无关的常数, 所以上式积分中的结果⎰d c dy y g )( 与⎰ba dx x h )(是分别与y x 、无关的常数, 分别记为B A 、进一步由联合密度函数的性质,有(,)()()()()()()()()()()(,)b dbdacacX Y bdacf x y dxdy h xg y dxdyf x f y h xg y ABh x g y h x dx g y dyf x y =====⎰⎰⎰⎰⎰⎰即)()(),(y f x f y x f Y X = 故Y X ,相互独立.必要性: 若Y X , 相互独立, 有)()(),(y f x f y x f Y X =, ,,d y c b x a ≤≤≤≤取)()(),()(y g y f x h x f Y X ==, 则有)()(),(y g x h y x f =, 所以定理中的条件1) 成立. 以下用反证法证明,若d c b a 、、、中至少有一个是与x 或y 有关的函数,不妨设)(y a a =,由于)()(x h x f X = 是关于x 的边缘密度函数, 必有1)(=⎰dx x f b aX , 而)()(y Ag dx x f baX =⎰是一个与y 有关的不恒为1的y 的函数, 与前述结果矛盾.因此必有a 与y 无关,进一步可得d c b a 、、、都应与y 无关, 从而必要性得以证明.推论1 定理4 的条件中如果c a 、有一个或两个都趋于d b 、,∞- 中有一个或两个都趋于∞+,则定理的结果也成立.推论2 若上述定理的条件成立, 则)(x h 与)(x f X 呈正比例关系,)(y g 与)(y f Y 呈正比例关系.在n 维连续型随机变量场合, 我们有定理5 设),,,(21n X X X 是连续型随机变量, 其联合密度函数为),,,(21n x x x f , 满足n i b x a x x x f i i i n ,,2,1,,0),,,(21 =≤≤> 则随机变量n X X X ,,,21 相互独立的充要条件为(i) 存在连续函数n i x h i i ,,2,1),( =, 满足∏==ni iin x h x x x f 121)(),,,( .(ii))1(,n i b a i i ≤≤ 均为与n x x x ,,,21 无关的实常数.证明充分性: 设),,,(21n x x x f 满足条件(i)与(ii) , 则可求得)1(n i X i ≤≤ 的边缘分布函数为1112121111()(,,,)()()()(),,i n nj jX i n nb b n n na ab i i j j j i i i a j i nf x f x x x dx dx dx h x h x dx dx h x h x dx a x b +∞+∞-∞-∞≤≠≤===≤≤⎰⎰⎰⎰∏⎰而当[]i i i b a x ,∉时, n i x f i X i ,,2,1,0)( ==. 又因其中)1(,n i b a i i ≤≤均为与n x x x ,,,21 无关的实常数, 故上述积分j j b a j dx x h jj)(⎰，n j ,,2,1 = 分别是与n x x x ,,,21 无关的实常数, 故记为,,,2,1,)(n j dx x h A j j b a j j jj==⎰则当)1(n i b x a i i i ≤≤≤≤ 时, 有112111221121))(,,,())(()()()()()(21-=-=∏∏==n ni i n n ni i n n n X X X A x x x f A x h x h x h x f x f x f n其中n n b a n b a b a ni i dx x h dx x h dx x h A nn)()()(22211112211⎰⎰⎰∏== ,而n n b b a a ,,,,,11 与n x x x ,,,21 无关, 故(1) 式可合并为n 重积分, 即1),,,()()(212121111111122===⎰⎰⎰⎰⎰∏=nb a b a n nn n b a b a b a ni i dx dx dx x x x f dx dx dx x h x h A n nnn故),,,()()()(212121n n X X X x x x f x f x f x f n =,即n X X X ,,,21 相互独立.必要性: 设n X X X ,,,21 相互独立, 则有)()()(),,,(212121n X X X n x f x f x f x x x f n =成立.此时只须取n i x f x h i X i i i ,,2,1),()( ==, 故条件(i) 成立.现假定条件(ii) 不成立, 则)1(,n i b a i i ≤≤中至少有一个是与n x x x ,,,21 有关的函数, 不妨设),,,(2111n x x x a a =, 由于)()(1111x h x f X = 是关于1X 的边缘密度函数, 则必有.1)()(1111111111==⎰⎰b a X b a dx x f dx x h而此时),,,()(21),,,(1112111n b x x x a X x x x Ag dx x f n =⎰是关于n x x x ,,,21 的函数, 并非恒等于1. 这于上式相矛盾, 因而必有1a 与n x x x ,,,21 无关. 同理证得)1(,n i b a i i ≤≤均与n x x x ,,,21 无关. 从而条件(ii) 满足. 必要性得证. 由上述连续型随机变量的定理4及其对应的推论进行判别X 与Y 的独立性，该定理的方便之处在于不需要求边缘分布函数，故用此方法判别连续型随机变量的独立性比较容易.例4 设()Y X ,的联合密度函数为()2222122,,0;,220,.x ny n n n y e x y f x y n π+--⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪-∞<<+∞<<+∞=⎨⎛⎫Γ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎩其他讨论Y X ,的独立性.解令()()2222122222x nny n n h x e g y y e n π---⎛⎫ ⎪⎝⎭==⋅⎛⎫Γ ⎪⎝⎭，, 则有()()()y g x h y x f ⋅=,,又因为∞→=∞→∞→d c b a ,0,,,由推论7可知Y X ,相互独立.4 随机变量独立性的应用应用一由离散型随机变量的独立性及其边缘分布列，求其联合分布列.例5 n 重贝努里试验中，若令i X 表示第i 次试验中事件A 出现的次数).,,2,1(n i =请写出),,,(21n X X X 的联合分布列.解 ),,2,1(.,0,1n i A i A i X i =⎩⎨⎧=不出现次试验第出现；次试验第令其分布列为 ).,,2,1)(1,0()(1n i x q p x X P i x x i i i i ====-由试验的独立性知，n X X X ,,,21 相互独立，得出),,,(21n X X X 的联合分布列为).1,0(),,,(112211=∑∑======-i x n x n n x q p x X x X x X P n i in i i应用二利用离散型随机变量的独立性确定分布中的参数.例6 设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为 1x 2x3x 1y a 91 c 2y 91 b 31 Y X若X 与Y 相互独立，求参数c b a 、、的值.解由随机变量的独立性及联合分布律的基本性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⨯====≥⋅⋅∑∑),2,1;,2,1(;1),2,1;,2,1(0 j i p p p p j i p j i ij i j ij ij 得出X 与Y 的边缘分布律： 1x 2x3x j P ⋅ 1y a 91 c 911++=⋅c a p 2y 91 b31 31912++=⋅b p ⋅i p 911+=⋅a p 912+=⋅b p 313+=⋅c p ∑∑===31311i j ij p从而解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===6192181c b a 注意求出c b a 、、后，要验证它们对任意j i ,是否均满足.j i ij p p p ⋅⋅⨯=若不满足，则所求参数不符合要求，舍去.通过验证上面所求得的c b a 、、的值均满足条件，故上面c b a 、、的值为所求.应用三利用连续型随机变量的独立性求常用分布函数的联合概率密度.例7 设随机变量X 和Y 相互独立，并且X 服从),(2σμN ，Y 在],[b b -上服从均匀分布，求),(Y X 的联合概率密度函数.解因为X 和Y 相互独立，所以 )()(),(y f x f y x f Y X =.又);(,21)(222)(+∞<<-∞=--x e x f x X σμσπ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0,,21)(其他b y b b y f Y得：YX,2121),(222)(σμσπ--⋅=x e b y x f其中.,b y b x ≤≤-∞<<∞-当b y >时，.0),(=y x f应用四随机变量的独立性与实际生活相结合例8 一负责人到达办公室的时间均匀分布在12~8时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在9~7时，设他们到达的时间相互独立求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率.解如图所示，设负责人和他秘书到达办公室的时间分别记为X 和Y ，则X 和Y 的概率密度分别为11,812;,79;() ()420,.0,.X Y x y f x f y ⎧⎧<<<<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他其他由于X 和Y 相互独立，得),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<==.,0;97,128,81)()(),(其他y x y f x f y x f Y XG G S dxdy y x f Y X P ⨯==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-⎰⎰81),(121 而61'=-=∆∆C AB ABC G S S S . 于是 48181121=⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-G S Y X P 所以他们到达办公室的时间之差不超过5分钟的概率是.481结束语本论文在随机变量独立性定义的基础上讨论了随机变量独立性的性质，并分别对离散型随机变量和连续型随机变量用多种方法进行判定，最后通过随机变量独立性的相关应用说明其在生活中的重要性，从而让人们更深入的认识概率论的思想和方法，更好的解决我们身边的实际问题.除此之外，随机变量的独立性还可以和其他数学分支紧密结合，以便很好地解决数学问题.参考文献[1] 缪铨生.概率论与数理统计[M].上海:华东师范大学出版社,2006.[2]毛纲源.概率论与数理统计解题方法技巧归纳[M].武汉：华中理工大学出版社.1999.[3]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1983.[4]王梓坤.概率论基础及其应用[M].北京：科学出版社，1997.[5]严士健等.概率论与数理统计[M].北京：北京师范大学出版社，1998.[6]钟开莱著.吴让泉译.概率论教程[M].上海：上海科技出版社.[7]明杰秀等.二维随机变量独立性的判定及其应用[J].高等函授学报（自然科学版),2011.[8] Rick Durrett.Probability Theory and Examples[M].Springer-verlag Berlin Heidelberg,New York,2005.About independent random variables and its applicationAuthor: Zhang Lirong Supervisor: Gui ChunyanAbstract The independence of the random variables is an important concept in probability theory. The paper first introduces the definition and the nature of independent random variables, then it gives different discriminant methods of the independence of the discrete random variable and continuous random variable, according to the different problems using the method to determine the corresponding discriminant. In addition , it also gets some relevant inference by the nature and the determination of the independence of random variables. At last it gives some examples of its application.Keywords Discrete random variables Continuous random variables Independence Joint distribution。

随机变量的独立性判别

分类号：密级：毕业论文（本科生）论文题目（中文）随机变量的独立性判别论文题目（外文）The discrimination of the independence ofrandom variables学生姓名导师姓名、职称学生所属学院专业年级诚信责任书本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。

毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。

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本人离校后发表、使用毕业论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学。

本毕业论文研究内容：√可以公开□不易公开，已在学位办公室办理保密申请，解密后适用本授权书。

（请在以上选项内选择其中一项打“√”）论文作者签名：导师签名：日期：日期：随机变量的独立性判别摘要随机变量独立性的判别历来都是高等学校概率论与数理统计教学的一个课题, 通过研究文献资料，理解随机变量及其独立性的相关概念，对离散型和连续型随机变量综合列举的几种常见求法，讨论几种常见的随机变量独立性判别方法并对其进行概括、总结，加深自己对随机变量及其分布的理解，争取有新的发现。

关键词：随机变量独立性连续型离散型判别方法The discriminant of the independence of randomvariablesAbstract：The discriminant of independence of random variables has always been a very important topic in colleges and universities Probability Theory and Mathematical Statistics teaching . By studying literature, understand the independence of random variables and their related concepts, integrated to discrete and continuous random variables listed several common methods, discusses several common discrimination methods of the independence of random variables and to summarize it, deepen their understanding of random variable and its distribution, and strive for new discoveriesKey words:random variables independence continuous type discrete type methods of the discriminant目录中文摘要 (I)英文摘要 (II)引言.......................................................................................................... I II 1. 相关知识介绍.......................................................... 错误！未定义书签。

6.事件的独立性与随机变量的独立性作者：阿曼古.卡地尔指导老师：买买提明

编号学士学位论文事件的独立性与随机变量的独立性学生姓名：阿曼古·卡地尔学号：***********系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2006-3班指导教师：买买提依明·热扎克完成日期：2011 年 5 月10 日中文摘要事件的独立性和随机变量的独立性是概率论中的最重要的概念之一.本论文主要讨论事件的独立性和独立事件的性质,随机变量的独立性,研究两种最常见的随机变量类型---离散型随机变量和连续型随机变量的独立性.关键词：独立事件；概率；随机变量目录中文摘要 (1)引言 (3)1. 事件的独立性 (3)1.1两个事件的独立性 (3)1.2三个事件的独立性 (7)1.3多个事件的独立性 (9)2.随机变量的独立性 (12)2.1离散型随机变量的独立性 (14)2.2连续型随机变量的独立性 (15)总结 (20)参考文献 (21)致谢 (22)23引言对于事件的独立性，即有直观的描述，又有严格的数学定义,它们在不同的场合各有用处, 独立性是概率论中的特有的概念.它的引进大大推动了概率的发展，概率论中许多重要的结论是独立性的假定下获得的.随机变量的独立性事实上是以事件的独立性为基础的概念.1. 事件的独立性在已知事件A 发生的条件下，B 发生的可能性为条件概率 ()(|)()P AB P B A P A =并且由此可以得到一般的概率乘法公式 ()()(|)P AB P A P B A =现在可以提出一个问题，如果事件B 发生与否不受事件A 是否发生的影响，那么会出现什么样的情况呢？为此，需要把“事件B 发生与否不受事件A 是否发生的影响”这句话表达成数学的语言.事实上，事件B 发生与否不受事件A 的影响，也就是意味着有 ()(|)P B P B A =这时乘法公式就有了更自然的形式 ()()()P AB P A P B =⋅ 由此启示我们引入下述定义.1.1两个事件的独立性定义1 对任意的两个事件A ，B ，若()()()P AB P A P B =成立，则称事件A ，B 是相互独立的，简称为独立的. 例1：分别掷两枚均匀的硬币，令{A=硬币甲出现正面}{B=硬币乙出现正面}验证事件A,B是相互独立的证明：这是样本空间{Ω=(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}共含有4个基本事件，它们是等可能的，各有概率1/4，而{A=（正，正），（正，反）}{B=（正，正），（反，正）}{AB=（正，正）}由此知1()()2P A=P B=这是有1()()()4P AB==P A P B成立，所以A,B是相互独立的例2：一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和女孩是等可能的,令A= { 一个家庭中既有男孩又有女孩 }B= { 一个家庭中最多有一个女孩 }对下述两种情形,讨论A与B的独立性:(1)家庭中有两个小孩;(2)家庭中有三个小孩;解：(1)有两个小孩的家庭,这是样本空间为Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},它有4个基本事件,由等可能性知概率各为14,这时A={(男,女),(女,男)}45B ={(男,男),(男,女),(女,男)}AB ={(男,女),(女,男)}于是1()2P A =,3()4P B =,1()2P AB = 由此可知()()()P AB P A P B ≠所以事件A ,B 不相互独立. (2)有三个小孩的家庭,样本空间为Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男), (男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}由等可能性知这8个基本事件的概率均为18,这时A 中含有6基本事件,B 中含有4基本事件, AB 中含有3基本事件,于是63()84P A == , 41()82p B == , 3()8p AB = 显然有3()8p AB =()()P A P B = 成立,从而事件A 与B 是相互独立的.定理1 若果事件A 与B 相互独立，则A 与__B ，__A 与B ，__A 与__B 也相互立.证明：事件A 与 B 相互独立 ∴()()()P AB P A P B =6[]____(1)()()()()()()()()()1()()()P A B P A B P A AB A AB P A P AB P A P A P B P A P B P A P B =-=-⊃-=-=-=因此A 与__B 相互独立.(2)()()1()P AB P AB P AB ==-1()()()1()()()()[1()][1()]()()P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B =--+=--+=--=(3)()()()P AB P B A P B AB =-=-B AB ⊃()()P B P AB -()()()()[1()]()()()()P B P B P A P B P A P B P A P A P B =-=-==因此A 与B ，A 与B 也是相互独立. 命题不可能事件与任意A 事件是相互独立. 证明设φ是不可能事件()()()0()()P A P P A P A P φφφ==⋅=A ∴与φ是相互独立.命题必然事件与任意A 事件是相互独立. 证明设Ω是必然事件7()()()1()()P A P P A P A P Ω=A =⋅=⋅ΩA ∴与Ω是相互独立.例3：甲，乙两个人分别猜一个谜，猜对的概率分别是0.7，0.6，求下列事件的概率.（1）“两个都猜对” （2）“两个人都猜错” （3）“恰有一个人猜对” （4）“至少有一个人猜对” 解：设A =“甲猜对” ， B =“乙猜对” 两个人分别猜谜 A ∴与B 是相互独立()0.7P A =， ()0.6P B = ⇒ ()0.3P A =，()0.4P B =(1)()()()0.70.60.42(2)()()()0.30.40.12P P AB P A P B P P AB P A P B ===⨯====⨯=(3)()()()P P ABAB P AB P AB ==+()()()()0.70.40.30.60.46P A P B P A P B =+=⨯+⨯=(4)()()()()()0.70.60.70.60.88P P A B P A P B P A P B ==+-=+-⨯=或()1()1()10.120.88P A B P A B P AB =-=-=-=1.2三个事件的独立性定义2 设三事件 ,,A B C ，如果8()()()()()()()()()()()()()P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C P ABC P A P B P C ====则称,,A B C 相互独立.只满足前3式，称,,A B C 为两两独立.,,A B C 相互独立，则一定两两独立；但是两两独立，则三个事件不一定相互独立.例4：设样本空间 {}1234,,,ωωωωΩ= 含有等可能的四个基本事件，又{}{}{}121314,;,;,A B C ωωωωωω=== 解：显然有 ()()()12P A P B P C === 由此有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()P AB P A B ;C B C ;AC P ;11;48A B C A B C P ABC P A B C A,B,C A C ABC A B C P ABC P =P P B =P P P =P P =P P P =∴≠P P ≠P P 这说明，，两两独立，但是故不相互独立。

6.事件的独立性与随机变量的独立性作者：阿曼古.卡地尔指导老师：买买提明

编号学士学位论文事件的独立性与随机变量的独立性学生姓名：阿曼古·卡地尔学号： 20060101011 系部：数学系专业：数学与应用数学年级： 2006-3班指导教师：买买提依明·热扎克完成日期： 2011 年 5 月10 日中文摘要事件的独立性和随机变量的独立性是概率论中的最重要的概念之一.本论文主要讨论事件的独立性和独立事件的性质,随机变量的独立性,研究两种最常见的随机变量类型---离散型随机变量和连续型随机变量的独立性.关键词：独立事件；概率；随机变量目录中文摘要 (1)引言 (2)1. 事件的独立性 (2)1.1两个事件的独立性 (2)1.2三个事件的独立性 (6)1.3多个事件的独立性 (8)2.随机变量的独立性 (11)2.1离散型随机变量的独立性 (13)2.2连续型随机变量的独立性 (14)总结 (19)参考文献 (20)致谢 (21)22引言对于事件的独立性，即有直观的描述，又有严格的数学定义,它们在不同的场合各有用处, 独立性是概率论中的特有的概念.它的引进大大推动了概率的发展，概率论中许多重要的结论是独立性的假定下获得的.随机变量的独立性事实上是以事件的独立性为基础的概念.1. 事件的独立性在已知事件A 发生的条件下，B 发生的可能性为条件概率 ()(|)()P AB P B A P A =并且由此可以得到一般的概率乘法公式 ()()(|)P AB P A P B A =现在可以提出一个问题，如果事件B 发生与否不受事件A 是否发生的影响，那么会出现什么样的情况呢？为此，需要把“事件B 发生与否不受事件A 是否发生的影响”这句话表达成数学的语言.事实上，事件B 发生与否不受事件A 的影响，也就是意味着有 ()(|)P B P B A =这时乘法公式就有了更自然的形式 ()()()P AB P A P B =⋅ 由此启示我们引入下述定义.1.1两个事件的独立性定义1 对任意的两个事件A ，B ，若()()()P AB P A P B =成立，则称事件A ，B 是相互独立的，简称为独立的. 例1：分别掷两枚均匀的硬币，令3{A =硬币甲出现正面} {B =硬币乙出现正面}验证事件A,B 是相互独立的证明：这是样本空间{Ω=(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}共含有4个基本事件，它们是等可能的，各有概率1/4，而 {A =（正，正），（正，反）}{B =（正，正），（反，正）}{AB =（正，正）}由此知1()()2P A =P B = 这是有1()()()4P AB ==P A P B 成立，所以A,B 是相互独立的例2：一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和女孩是等可能的,令 A = { 一个家庭中既有男孩又有女孩 } B = { 一个家庭中最多有一个女孩 } 对下述两种情形,讨论A 与B 的独立性:(1) 家庭中有两个小孩; (2) 家庭中有三个小孩;解：(1)有两个小孩的家庭,这是样本空间为 Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},它有4个基本事件,由等可能性知概率各为14,这时A ={(男,女),(女,男)}4B ={(男,男),(男,女),(女,男)}AB ={(男,女),(女,男)}于是1()2P A =,3()4P B =,1()2P AB = 由此可知()()()P AB P A P B ≠所以事件A ,B 不相互独立. (2)有三个小孩的家庭,样本空间为Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}由等可能性知这8个基本事件的概率均为18,这时A 中含有6基本事件,B 中含有4基本事件, AB 中含有3基本事件,于是63()84P A == , 41()82p B == , 3()8p AB = 显然有3()8p AB =()()P A P B = 成立,从而事件A 与B 是相互独立的.定理1 若果事件A 与B 相互独立，则A 与__B ，__A 与B ，__A 与__B 也相互立.证明：事件A 与 B 相互独立 ∴()()()P AB P A P B =5[]____(1)()()()()()()()()()1()()()P A B P A B P A AB A AB P A P AB P A P A P B P A P B P A P B =-=-⊃-=-=-=因此A 与__B 相互独立.(2)()()1()P AB P A B P A B ==-1()()()1()()()()[1()][1()]()()P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B =--+=--+=--=(3)()()()P AB P B A P B AB =-=- B AB ⊃()()P B P AB -()()()()[1()]()()()()P B P B P A P B P A P B P A P A P B =-=-==因此A 与B ，A 与B 也是相互独立. 命题不可能事件与任意A 事件是相互独立. 证明设φ是不可能事件()()()0()()P A P P A P A P φφφ==⋅=A ∴与φ是相互独立.命题必然事件与任意A 事件是相互独立. 证明设Ω是必然事件6()()()1()()P A P P A P A P Ω=A =⋅=⋅Ω A ∴与Ω是相互独立.例3：甲，乙两个人分别猜一个谜，猜对的概率分别是0.7，0.6，求下列事件的概率.（1）“两个都猜对” （2）“两个人都猜错” （3）“恰有一个人猜对” （4）“至少有一个人猜对” 解：设A =“甲猜对” ， B =“乙猜对”两个人分别猜谜 A ∴与B 是相互独立()0.7P A =， ()0.6P B = ⇒ ()0.3P A =，()0.4P B =(1)()()()0.70.60.42(2)()()()0.30.40.12P P AB P A P B P P AB P A P B ===⨯====⨯=(3)()()()P P AB AB P AB P AB ==+ ()()()()0.70.40.30.60.46P A P B P A P B =+=⨯+⨯= (4)()()()()()0.70.60.70.60.88P P A B P A P B P A P B ==+-=+-⨯=或()1()1()10.120.88P A B P A B P AB =-=-=-=1.2三个事件的独立性定义2 设三事件 ,,A B C ，如果7()()()()()()()()()()()()()P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C P ABC P A P B P C ====则称,,A B C 相互独立.只满足前3式，称,,A B C 为两两独立.,,A B C 相互独立，则一定两两独立；但是两两独立，则三个事件不一定相互独立.例4：设样本空间 {}1234,,,ωωωωΩ= 含有等可能的四个基本事件，又{}{}{}121314,;,;,A B C ωωωωωω=== 解：显然有 ()()()12P A P B P C === 由此有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()P AB P A B ;C B C ;AC P ;11;48A B C A B C P ABC P A B C A,B,C A C ABC A B C P ABC P =P P B =P P P =P P =P P P =∴≠P P ≠P P 这说明，，两两独立，但是故不相互独立。

随机变量的独立性和相关性

随机变量的独立性和相关性引言在概率论和统计学中，随机变量的独立性和相关性是两个重要的概念。

随机变量是指具有随机特性的变量，独立性和相关性描述了随机变量之间的关系。

本文将介绍随机变量的独立性和相关性的概念以及它们的性质和重要性。

独立性随机变量的独立性是指当一个随机变量的取值不受另一个随机变量的取值影响时，两个随机变量是独立的。

具体来说，对于两个随机变量X和Y，如果它们的联合概率分布可以分解为它们各自的边缘概率分布的乘积，即P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，那么X和Y是独立的。

独立性的性质：- 独立性是对称的，即如果X和Y独立，则Y和X也独立。

- 独立性是传递的，即如果X和Y独立，Y和Z独立，则X和Z独立。

独立性的重要性：独立性在概率论和统计学中具有重要的应用，例如：- 在概率计算和推导中，独立性假设可以简化问题的复杂性。

- 在统计推断中，独立性假设可以用来进行参数估计和假设检验。

相关性随机变量的相关性是指随机变量之间的线性关系程度。

具体来说，对于两个随机变量X和Y，它们的相关性可以通过协方差和相关系数来度量。

协方差（covariance）是衡量两个随机变量之间的相关性的统计量，定义为两个随机变量的乘积的期望与两个随机变量各自的期望的乘积的差值。

协方差的值可以为正、负或零，分别表示正相关、负相关或无相关。

相关系数（correlation coefficient）是协方差标准化后的值，用于度量两个随机变量之间的线性关系程度。

相关系数的取值范围为-1到1，取得负值表示负相关，取得正值表示正相关，取得0表示无相关。

相关性的性质：- 相关性也是对称的，即X和Y的相关系数等于Y和X的相关系数。

- 相关性不一定表示因果关系，只是表示两个随机变量之间的线性关系程度。

相关性的重要性：相关性在统计分析和模型建立中具有重要的应用，例如：- 可以用相关系数判断两个随机变量之间是否存在线性关系。

- 可以用相关分析来探索随机变量之间的相互作用和影响程度。

随机变量独立性性质及其判定论文

随机变量独立性的判断方法探究

随机变量独立性判断随机变量的独立性和相关性

浅谈随机变量的独立性

独立性随机变量之间的独立性定义与判别

随机变量的独立性与相关性

随机事件的独立性及其应用

关于随机变量的特征函数与独立性关系的一个性质的证明

随机变量的独立性与相关性

随机变量的独立性与相关性

随机变量独立性的判定与运用

随机变量的独立性和相关性

随机变量的独立性与相关性

随机变量的独立性及其应用-本科论文

随机变量独立性性质及其判定论文

随机变量的独立性判别

6.事件的独立性与随机变量的独立性 作者：阿曼古.卡地尔 指导老师：买买提明

6.事件的独立性与随机变量的独立性 作者：阿曼古.卡地尔 指导老师：买买提明

随机变量的独立性和相关性

6.事件的独立性与随机变量的独立性作者：阿曼古.卡地尔指导老师：买买提明

6.事件的独立性与随机变量的独立性作者：阿曼古.卡地尔指导老师：买买提明