恒成立及存在性问题

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(完整版)恒成立存在性问题

专题恒成立存在性问题

知识点梳理

1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立

2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立

3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立

在上恒成立

另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B

x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .

4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥

5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤

6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥

7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤

函数的恒成立、存在性问题的方法总结大全(干货)

关于函数的恒成立、存在性（能成立）问题

关于二次函数的恒成立、存在性（能成立）问题是常考考点，其基本原理如下：

（1）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，则：0

()00a f x >⎧>⇔⎨

∆<⎩

恒成立；0

()00a f x <⎧<⇔⎨∆<⎩

恒成立．（2）若表述为：“已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠”，并未限制为二次函数，则应有：

00()000a a b f x c >==⎧⎧>⇔⎨⎨∆<>⎩⎩恒成立或；00

()000a a b f x c <==⎧⎧<⇔⎨⎨

∆<<⎩⎩

恒成立或．注：在考试中容易犯错，要特别注意！！！

恒成立问题与存在性（能成立）问题，在解决此类问题时，可转化为其等价形式予以解答，将此类问题的可能出现的17种情形归纳总结大全如下，并通过常考例题进行讲解：

已知定义在[,]a b 上的函数()f x ，()g x ．

（1）[,]x a b ∀∈，都有()f x k >（k 是常数）成立等价于min [()]f x k >（[,]x a b ∈）．（2）[,]x a b ∀∈，都有()f x k <（k 是常数）成立等价于max [()]f x k <（[,]x a b ∈）．（3）[,]x a b ∀∈，都有()()f x g x >成立等价于min [()()]0f x g x ->（[,]x a b ∈）．（4）[,]x a b ∃∈，都有()()f x g x >成立等价于max [()()]0f x g x ->（[,]x a b ∈）．（5）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12()()f x g x >成立等价于min max [()][()]f x g x >．（6）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x >成立等价于min min [()][()]f x g x >．（7）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∀∈使得12()()f x g x >成立等价于max max [()][()]f x g x >．（8）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x >成立等价于max min [()][()]f x g x >．

恒成立及存在性问题的解题策略

“恒成立问题〞与“存在性问题〞的根本解题策略

一、“恒成立问题〞与“存在性问题〞的根本类型

恒成立、能成立、恰成立问题的根本类型

1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立

2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立

3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为

M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩

在上恒成立在上恒成立

另一转化方法：假设A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，

假设,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，那么等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，那么

()()x g x f min min ≥

5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，那么

()()x g x f max max ≤

6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，那么()()x g x f min max ≥

恒成立存在性问题

1 含参数恒成立存在性问题

1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立

2、存在性（有解）问题的转化：()a f x >有解⇒()min a f x >；()a f x ≤有解()max a f x ⇒≤

3.设函数()x f 、()x g ，任意[]b a x ,1∈，任意[]d c x ,2∈，使得()()12f x g x ≥，则()()min max f x g x ≥

4.设函数()x f 、()x g ，任意[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥

5.设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，任意[]d c x ,2∈，使得()()12f x g x ≥，则()()max max f x g x ≥

6.设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ (在各条件下()()12f x g x ≤也可推出相应的关系，自己总结)

7.设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在

[]b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集,即：M ⊆N 。

高中数学x恒成立、存在性问题解决办法

恒成立、存在性问题解决办法总结

1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立

2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立

3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立

在上恒成立

另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若 ,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f m i n m i n ≥

5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f m a x m a

x ≤

6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥

7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤

恒成立存在性问题课件

转化与化归法
总结词
将问题转化为已知的问题或简单的问题，从而解决问题。
详细描述
转化与化归法是一种常用的解题策略，通过将复杂的问题转化为已知的问题或简单的问题，可以降低问题的难度。在处理恒成立问题时，可以将问题转化为求最值问题、不等式问题等已知的问题类型，从而利用已知的解题方法来解决该问题。
03
不等式证明问题
总结词
不等式证明问题涉及证明或推导给定的不等式，以及在一定条件下这些不等式的性质和成立条件。
详细描述
在不等式证明问题中，常常需要利用恒成立存在性定理来证明不等式的成立条件和性质。例如，利用函数的单调性、极值和最值等性质来推导不等式，以及利用数列的单调性
、极限和不等式性质来证明不等式。
恒成立存在性问题的应用实例
函数最值问题
总结词
函数最值问题涉及求函数的最大值或最小值，以及在一定条件下这些值的存在性和性质。
详细描述
在函数最值问题中，常常需要利用恒成立存在性定理来证明函数的最大值或最小值的存在性，并研究其性质。例如，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，以及利用函数的凹凸性、不等式等性质来求解。
THANKS
感谢观看
06
总结与反思
解题思路总结
转化思想
将恒成立存在性问题转化为最值问题，通过求最值来确定参
数的取值范围。

恒成立与存在性问题的解题策略

“恒成立问题"与“存在性问题”的基本解题策略

一、“恒成立问题”与“存在性问题"的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型

1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >;()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立

2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立

3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为

M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩

在上恒成立在上恒成立

另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ,

若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立,则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .

4、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥,则

()()x g x f min min ≥

5、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则

()()x g x f max max ≤

6、设函数()x f 、()x g ,存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥

高考数学复习专题19 恒成立与存在性问题(解析版)

专题19恒成立与存在性问题

专题知识梳理

恒成立问题

①∀x∈D，均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A；

②∀x∈D，均有f(x)﹤A恒成立，则f(x)ma x<A；

③∀x∈D，均有f(x)>g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)>0，∴F(x)min>0；

④∀x∈D，均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)<0，∴F(x)ma x<0；

⑤∀x1∈D，∀x2∈E，均有f(x1)>g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)ma x；

⑥∀x1∈D，∀x2∈E，均有f(x1)<g(x2)恒成立，则f(x)ma x<g(x)min.

存在性问题

①∃x0∈D，使得f(x0)>A成立，则f(x)ma x>A；

②∃x0∈D，使得f(x0)﹤A成立，则f(x)min<A；

③∃x0∈D，使得f(x0)>g(x0)成立，设F(x)=f(x)-g(x)，∴F(x)ma x>0；

④∃x0∈D，使得f(x0)<g(x0)成立，设F(x)=f(x)-g(x)，∴F(x)min<0；

⑤∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)ma x>g(x)min；

⑥∃x1∈D，∃x2∈E，均使得f(x1)<g(x2)成立，则f(x)min<g(x)ma x.

考点探究

【例1】（2018·徐州模拟）若关于x的不等式x3﹣3x2+ax+b＜0对任意的实数x∈[1，3]及任意的实数b∈[2，4]恒成立，则实数a的取值范围是．

浅谈高中数学中的“恒成立”与“存在性”的综合问题

高中数学的学习中，恒成立与存在性是两个基本概念，也是学习和教学中一个重要的问题。在高中数学课堂上，恒成立与存在性是非常重要的知识点，其研究内容也是极其庞大的，学生们需要正确理解这两个重要的概念，在实际应用中有效地利用。本文将从概念界定、定义、历史背景等方面，对高中数学中“恒成立”和“存在性”问题进行浅谈。

首先，了解恒成立和存在性的定义和概念界定，以及它们之间的关系。高中数学中，所谓的“恒成立”是指在某些条件下，某个数学定理或结论的正确性可以永远保持不变，不会因为任何环境的改变而改变，只要条件满足，定理的正确性就不会改变。同时，“存在性”指的是某种数学定理或公式的真实存在，无论它到底是否正确，它都可以被实际检验，也就是说它是真实存在的。

其次，要正确理解恒成立与存在性的历史背景。这两个概念在数学史上有着悠久的历史，早在古希腊和罗马时期，“恒成立”就成为了数学的基本理念，是一种对数学理论的基本信念。而到了中世纪，数学家们发现存在性也是一种非常重要的概念，为了避免科学谬误，数学家们逐渐发现存在性也很重要。

此外，可以在高中数学学习和教学中更好地引申和应用这两个概念。在高中数学教学中，要让学生更深刻地理解恒成立与存在性的区别，并且熟练掌握关于他们的基本概念，以便在实际的学习和应用中准确地使用这两个概念。此外，教师还应当采取适当的方法引导学生

在学习中不断检验和深入思考，以便他们能够更好地应用这两个概念，而不是单纯的熟记而已。

最后，再次强调，“恒成立”与“存在性”是高中数学学习和教

恒成立与存在性问题的解题策略

“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型

恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型

1、恒成立问题的转化： a f x 恒成立a f x ；

max a f x 恒成立 a f x

min

2、能成立问题的转化： a f x 能成立a f x ；

min a f x 能成立 a f x

max

3 、恰成立问题的转化： a f x 在M 上恰成立 a f x 的解集为

M a f x 在M 上恒成立a f x 在C M 上恒成立

另一转化方法：若x D,f (x) A在D 上恰成立，等价于 f (x) 在D 上的最小值f min (x) A，若x D, f ( x) B在D 上恰成立，则等价于 f (x) 在D 上的最大值f max (x) B .

4、设函数 f x 、g x ，对任意的x1 a , b ，存在x2 c,d ，使得 f x1 g x2 ，则

f mi n x

g mi n x

5、设函数 f x 、g x ，对任意的x1 a , b ，存在x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，则

f max x

g max x

6 、设函数 f x 、g x ，存在x1 a , b ，存在x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，则

f m a x x

g m i n x

7 、设函数 f x 、g x ，存在x1 a , b ，存在x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，则

f m i n x

g m a x

8、设函数 f x 、g x ，对任意的x1 a , b ，存在x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，设f(x) 在区间[a,b]上的值域为 A ，g(x)在区间[c,d] 上的值域为B, 则A B.

高考数学《恒成立和存在性问题》

高考数学恒成立和存在性问题
所以当 sinx＝14时，g(x)max＝a＋187. 对于任意 x1∈1e，e，总存在 x2∈0，π2，使得 f(x1)≤g(x2)成立，即 f(x)max≤g(x)max. 所以－12≤a＋187，即 a≥－281. 点评：对于∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)>g(x2)的研究，第一步先转化为∃x2∈D2， f(x1)max>g(x2)，再将该问题按照目标 1 转化为 f(x1)max>g(x2)max.
【思维变式题组训练】 1. 已知函数(x＋1)lnx－ax＋a≥0 在 x∈[1，＋∞)恒成立，求 a 的取值范围．
解析：设 g(x)＝(x＋1)lnx－ax＋a，则 g′(x)＝xlnx＋1x－ax＋1. 设 p(x)＝xlnx＋(1－a)x＋1，则 p′(x)＝lnx－(a－2)(x≥1)．
高考数学恒成立和存在性问题
② 当 x∈(1，e]时，a≥lnxx2－－2xx在 x∈[1，e]上恒成立，令 g(x)＝lnxx2－－2xx，x∈(1，e]，则 g′(x)＝2x－1x2x－＋x12－lnx. 令 h(x)＝x＋1－lnx，x∈(1，e]，则 h′(x)＝1－1x＝x－x 1>0 在 x∈(1，e]上恒成立，故 h(x)在 x∈(1，e]上单调递增，从而 h(x)>h(1)＝2>0.
点评：对于第(2)问，思路 1：构造新函数 F(x)＝f(x)－(a－2)x，将问题转化为“对任意 x∈[1，e]时，F(x)≥0 恒成立”，进一步地转化为“F(x)min≥0”，围绕求 F(x)min 这一核心问题结合分类讨论的思想求出参数 a 的取值范围．思路 2：将变量 a 分离出来，这样问题变转化为求分离出来后的函数的最值．一般地对于恒成立问题的处理手段主要是一利用分类讨论求最值，再解不等式；二是利用分参后，转化为具体的函数讨论．

恒成立与存在性问题的解题策略

“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略

一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型

1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立

2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立

3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨

≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立

另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立,等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ,若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立,则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .

4、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≥,则

()()x g x f min min ≥

5、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≤,则

()()x g x f max max ≤

6、设函数()x f 、()x g ,存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≥,则()()x g x f min max ≥

21-恒成立与存在性问题

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21-恒成立与存在性问题

专题：

等式与不等式恒成立与存在性成立的问题一、恒成立与存在性问

题可以进行数学语言的形式的转化。

如：

1、单变量恒成立问题的转化：

( ) a f x 对 x D 恒成立 ( ) max a f x ； ( ) a f x 对

x D 恒成立 ( ) min a f x ； 2、单变量能成立问题的转化：

( ) a f x 对 x D 能成立 ( ) min a f x ； ( ) a f x 对

x D 能成立 ( ) max a f x ； 3、单变量恰成立问题的转化：

( ) a f x 在 x D 恰成立 ( ) a f x 的解集恰好为 D；

( )( )a f xa f x D R在D上恒成立在 C 上恒成立

另一种转化：

( ) f x a 在 x D 恰成立 ( ) min ( ) f x x D a = ( )

f x a 在x D 恰成立( ) max ( ) f x x D a =

4、双变量恒成立问题的转化：

1）设函数 ( ) ( ) f x g x 、对任意的 [ ]1 2, , x x a b 恒

有 ( ) ( )1 2f x g x ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]min max, ( , )

f x x a b

快速转化恒成立与存在性问题为最值问题

恒成立与存在性问题与最值问题

一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型（1）恒成立问题的转化：

①()a f x >恒成立⇒()max a f x >；

②()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立

（2）能成立（有解）问题的转化：

①()a f x >能成立（有解）⇒()min a f x >；

②()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立

（3）设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈

，

存在[]d c x ,2∈，使得(

)()21x g x f ≥，则()()

x g x f min min ≥

max )(x f min

)(x f a x f =)(max )(x f min

)(x f a x f =)(a x f =)(max

)(x f min )(x f a x f =)(a

x f =)(a

x f =)(max

)(x f min

)(x f max

)(x g min

)(x g max

)(x f min

)(x f

（4）设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，

存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤

（5）设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，

使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥

（6）设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，

不等式的恒成立与存在性问题

1 x x ②若 g x 满足 f x 若对任意 x R ，不等式 g (2 x) m g ( x) 11 g x 2 3 3 3 ，
恒成立，求实数 m 的最大值.
3
付雨楼讲高考数学
例 5：已知 f ( x )
来自百度文库
1 2 x x , g ( x) ln( x 1) a , 2
f ( x0 ) 0，则 a 的取值范围是（
(A) [
）
3 ， 1） 2e
(B) [
3 3 ，） 2e 4
3 2
(C) [
3 3 ，） 2e 4
(D) [
3 ，1） 2e
（2014 全国卷Ⅰ理 11）已知函数 f ( x ) = ax 3x 1 ，若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ，且 x0 ＞0，则a 的取值范围为（ (A) (2, ) ） (B) ( , 2)
例 3：设函数 f x a ln x
1 a 2 x bx ，a R 且 a 1 ．曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线 2 a 的斜率为 0 ．若存在 x 1, ，使得 f x ，求 a 的取值范围． a 1
例 4：已知函数 f x
3 x a 3x 1 b
（Ⅰ）当 a b 1 时，求满足 f x 3x 的 x 的取值；（Ⅱ）若函数 f x 是定义在 R 上的奇函数； ①存在 t R ，不等式 f t 2 2t f 2t 2 k 有解，求 k 的取值范围；

恒成立与存在性问题的解题策略

“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略

一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型

1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立

2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立

3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨

≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立

另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .

4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥

5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤

6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥