专题02不等式与线性规划(易错训练)Word版含解析 2018年高考数学(文)备考易错点

1．已知a >b ，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．ln a >ln b B.1a <1bC ．a 2>ab D ．a 2＋b 2>2ab答案 D解析 只有当a >b >0时A 成立；只有当a ，b 同号时B 成立；只有当a >0时C 成立；因为a ≠b ，所以D 恒成立，故选D.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋12，x ≤0，则“0<x <1”是“f (x )<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A3．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －4≥0，则x ＋2y 的最大值为( )A.132B ．6C ．11D ．10答案 C解析 令z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z2，由线性约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，则z max ＝11.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ＋y －7≤0，x ≥1，则y x的最大值为( )A ．3B ．6 C.95 D ．1答案 B由图可知：当直线经过点C (1,6)时，斜率最大，即y x 有最大值为y x ＝6－01－0＝6，故选B.5．若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，413 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1 答案 D 解析 ∵tt 2＋9＝1t ＋9t ，而t ＋9t 在区间(0,2]上单调递减，∴t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t≤213(当且仅当t ＝2时等号成立)．又t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋142－18，∵1t ≥12，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋142－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)．故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1. 6．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q答案 C7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0， 13 x，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________________．答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)解析 当x >0时，由log 3x ≥1可得x ≥3， 当x ≤0时，由(13)x≥1可得x ≤0，∴不等式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)．8．要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．答案 160解析 由题意知，体积V ＝4m 3，高h ＝1m ，所以底面积S ＝4m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号．9．已知x >0，y >0，若2y x ＋8x y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－4,2)解析 由题意可得m 2＋2m 应小于2y x ＋8x y 的最小值，所以由基本不等式可得2y x ＋8x y≥22y x ·8xy＝8，所以m 2＋2m <8⇒－4<m <2.10．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案2解析 由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋ 2y 2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号．11．设点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y ≤2x ＋2，点Q (a ，b ) (a ≤0，b ≥0)满足OP →·OQ →≤1恒成立，其中O是坐标原点，则Q 点的轨迹所围成图形的面积是________．答案 12OP →·OQ →≤1，即ax ＋by ≤1，且点Q (a ，b )满足OP →·OQ →≤1恒成立，只需点P (x ，y )在可行域内的交点处：A (－1,0)，B (0,2)，ax ＋by ≤1成立即可，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤1，2b ≤1，a ≤0，b ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，b ≤12，a ≤0，b ≥0，它表示一个长为1宽为12的矩形，其面积为12，故答案为12.12．若关于x 的不等式(2a －b )x ＋(a ＋b )>0的解集为{x |x >－3}，则ba＝________. 解析：由(2a －b )x ＋(a ＋b )>0得(2a －b )x >－(a ＋b )， 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a －b >0，－a －b2a －b＝－3，∴a ＋b ＝3(2a －b )，∴b a ＝54. 答案：5413．已知关于x 的不等式ax 2－ax －2a 2>1(a >0，a ≠1)的解集为(－a,2a )，且函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m －1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为________．答案：[－1,0]14．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤2x ，x ＋y ≤1，若z ＝x ＋my 的最大值为53，则实数m ＝________.解析：本题考查线性规划．在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域是以点(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23为顶点的三角形区域，显然m ≠0,1，当－1m ≤－1，即0<m <1时，目标函数z ＝x ＋my 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12处取得最大值，则有53＝12＋12m ，解得m ＝73>1，不符合题意；当－1<－1m <0，即m >1时，目标函数z ＝x ＋my 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23处取得最大值，则有53＝13＋23m ，解得m ＝2，符合题意；当－1m >0，即m <0时，目标函数z ＝x ＋my 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12处取得最大值，则有53＝12＋12m ，解得m ＝73>0，不符合题意，综上所述，实数m 的值为2.答案：215．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2，(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为________．答案：－7516．设0<a <1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B ，求集合D .(用区间表示)解 令g (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ， 其对称轴方程为x ＝34(1＋a )，Δ＝9(1＋a )2－48a ＝9a 2－30a ＋9＝3(3a －1)(a －3)． ①当0<a ≤13时，Δ≥0，x ＝34(1＋a )>0，g (0)＝6a >0，方程g (x )＝0的两个根分别为0<x 1＝3a ＋3－9a 2－30a ＋94<x 2＝3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，∴D ＝A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；②当13<a <1时，Δ<0，则g (x )>0恒成立，所以D ＝A ∩B ＝(0，＋∞)． 综上所述，当0<a ≤13时，D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；当13<a <1时，D ＝(0，＋∞)． 17．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝。