2015赢在高考第一轮复习数学 课后作业18
【赢在课堂】高考数学一轮复习2.5对数与对数函数配套训练理新人教A版
第5讲对数与对数函数基础巩固1.已知a,b为实数,则“２a>2b”是“log2a>log2b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为由2a>2b?a>b log2a>log2b(不一定满足a>b>0),而由log2a>log2b?a>b>0?2a>2b,所以“２a>2b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件.2.已知1<x<10,那么lg2x,lg x2,lg(lg x)的大小顺序是( )A.lg2x<lg(lg x)<lg x2B.lg2x<lg x2<lg(lg x)C.lg x2<lg2x<lg(lg x)D.lg(lg x)<lg2x<lg x2【答案】D【解析】∵1<x<10,∴0<lg x<1.于是lg(lg x)<0,0<lg2x<2lg x.故lg(lg x)<lg2x<lg x2.3.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于( )A. B.2x-2 C.lo x D.log2x【答案】D【解析】因为函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=log a x,又f(2)=1,即log a2=1,所以a=2.故f(x)=log2x,应选D.4.函数y=lo(x2-3x+2)的递增区间是( )A.(-∞,1)B.(2,+∞)C. D.【答案】A【解析】由x2-3x+2>0,得x<1或x>2.当x∈(-∞,1)时,函数f(x)=x2-3x+2单调递减,而0<<1,由复合函数单调性可知函数y=lo(x2-3x+2)在(-∞,1)上是单调递增的,而在(2,+∞)上是单调递减的.5.函数y=f(x)的图象如下图所示,则函数y=lo f(x)的图象大致是( )【答案】C【解析】由函数y=f(x)的图象可知,该函数在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,2)上单调递增,根据复合函数的单调性法则可知,函数y=lo f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,应选C.6.(2013届·山东枣庄阶段测试)设函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1),若f(x1x2…ｘ2 013)=8,则f()+f()+…+f()=()A.4B.8C.16D.2log a8【答案】C【解析】依题意有log a(x1x2…ｘ2 013)=8,从而f()+f()+…+f()=log a+log a+…＋log a=log a(x1x2…ｘ2 013)2=2log a(x1x2…ｘ2 013)=2×8=16.7.(2012·辽宁锦州一模)设0<a<1,函数f(x)=log a(a2x-2a x-2),则使f(x)<0的x的取值范围是( )A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,log a3)D.(log a3,+∞)【答案】C【解析】 f(x)<0?log a(a2x-2a x-2)<0?log a(a2x-2a x-2)<log a1,因为0<a<1,所以a2x-2a x-2>1,即(a x)2-2a x+1>4?(a x-1)2>4?a x-1>2或a x-1<-2,于是a x>3或a x<-1(舍去).因此x<log a3,应选C.8.|1+lg 0.001|++lg 6-lg 0.02的值为.【答案】 6【解析】原式=|1-3|+|lg 3-2|+lg 300=2+2-lg 3+lg 3+2=6.9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数.若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是.【答案】{x|-1<x<0或x>1}【解析】由已知条件可得,函数f(x)的图象如下图所示,其解析式为f(x)=由函数图象可得不等式f(x)>0的解集为{x|-1<x<0或x>1}.10.若函数f(x)=log0.5(3x2-ax+5)在(-1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是.【答案】[-8,-6]【解析】设g(x)=3x2-ax+5,由已知得解得-8≤a≤-6.11.求值:.【解】方法一:原式=.方法二:原式==.12.若函数f(x)=x2-x+b,且f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1),求f(log2x)的最小值及对应的x值. 【解】因为f(x)=x2-x+b,所以f(log2a)=(log2a)2-log2a+b.又知(log2a)2-log2a+b=b,所以log2a(log2a-1)=0.因为a≠1,所以log2a=1,即a=2.又log2f(a)=2,所以f(a)=4.因此a2-a+b=4,b=4-a2+a=2.故f(x)=x2-x+2.从而f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=.故当log2x=,即x=时,f(log2x)有最小值.13.已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间.(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 【解】(1)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,这时f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+3>0得-1<x<3,所以函数f(x)的定义域为(-1,3).令g(x)=-x2+2x+3,则g(x)在(-∞,1)上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,又y=log4x在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3).(2)假设存在实数a使函数f(x)的最小值为0,则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,因此应有解得a=.故存在实数a=使函数f(x)的最小值等于0.拓展延伸14.设a,b∈R,且a≠2,若奇函数f(x)=lg在区间(-b,b)上有定义.(1)求a的值;(2)求b的取值范围;(3)判断函数f(x)在区间(-b,b)上的单调性.【解】(1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即lg=-lg,即,整理得1-a2x2=1-4x2.从而可得a=±2.又a≠2,故a=-2.(2)∵函数f(x)=lg的定义域是,∴0<b≤.(3)∵f(x)=lg=lg=lg,∴函数f(x)在区间(-b,b)上是单调递减的.。
【赢在课堂】高考数学一轮复习 11.4数学归纳法配套训练 理 新人教A版
第4讲数学归纳法基础巩固1.用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证不等式( )A.1+<2B.1++<2C.1++<3D.1+++<3【答案】B【解析】∵n∈N*,n>1,∴n取的第一个自然数为2,左端分母最大的项为=.故选B.2.如果命题p(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2成立,则下列结论正确的是( )A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立【答案】B【解析】若n=2时,p(n)成立,则n=4,6,8,…,时p(n)成立.3.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)时,从“k到k+1”,左边需增乘的代数式是( ) A.2k+1 B. C.2(2k+1) D.【答案】C【解析】当n=k时,左边=(k+1)(k+2)…(k+k),当n=k+1时,左边=[(k+1)+1][(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1).故增乘的代数式应为2(2k+1).4.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立.现在已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得( )A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立【答案】C【解析】“若n=5时命题不成立,则n=4时命题也不成立”的逆否命题为“若n=4时命题成立,则n=5时命题也成立”.而它的逆否命题为真命题.故结合题意可知应选C.5.已知f(n)=+++…+,则( )A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=++C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=+D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=++【答案】D【解析】总项数为n2-n+1.6.若k棱柱过侧棱有f(k)个对角面,则k+1棱柱过侧棱的对角面的个数f(k+1)为( )A.f(k)+k-1B.f(k)+kC.f(k)+k+1D.f(k)+k-2【答案】A【解析】∵由k棱柱到k+1棱柱,底面对角线增加了k-2+1=k-1条,∴增加了k-1个对角面.7.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )A.6+6·7kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)【答案】D【解析】(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(n∈N*)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36,这就是说,k=n+1时命题也成立.由(1)(2)可知,3(2+7n)能被9整除对任何k∈N*都成立.8.设数列{a n}的前n项和为S n,且对任意的自然数n都有:(S n-1)2=a n S n.通过计算S1,S2,S3,猜想S n= .【答案】【解析】由(S1-1)2=,得S1=;由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=;由(S3-1)2=(S3-S2)S3,得S3=.猜想:S n=.9.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)= ;当n>4时,f(n)= (用n表示). 【答案】5 (n+1)(n-2)【解析】结合题意分析可知f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数.由于f(3)=2,f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,…f(n)-f(n-1)=n-1.累加,得f(n)=2+3+4+…+(n-1)=(n-2).故f(n)=(n+1)(n-2).10.是否存在常数a,b使等式++…+=对于一切n∈N*都成立.【解】若存在常数a,b使等式成立,将n=1,n=2代入上式,有即有++…+=.对于n为所有正整数是否成立,再用数学归纳法证明.证明:(1)当n=1时,左边==,右边==,此时等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时成立,即++…+=,则当n=k+1时,++…++=+=·=·=·==,这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知等式对任何n∈N*都成立.11.已知函数f(x)=x3-x,数列{a n}满足条件:a1≥1,a n+1≥f'(a n+1).试比较+++…+与1的大小,并说明理由.【解】∵f'(x)=x2-1,a n+1≥f'(a n+1),∴a n+1≥(a n+1)2-1.∵函数g(x)=(x+1)2-1=x2+2x在区间[-1,+∞)上单调递增,∴由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,进而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1.由此猜想:a n≥2n-1.下面用数学归纳法证明这个猜想:①当n=1时,a1≥21-1=1,结论成立;②假设当n=k(k≥1且k∈N*)时结论成立,即a k≥2k-1,则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间[-1,+∞)上单调递增知a k+1≥(a k+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1时,结论也成立.由①②知对任意n∈N*,都有a n≥2n-1.即1+a n≥2n.因此.故+++…++++…+=1-<1.12.已知数列{a n},其中a2=6且=n.(1)求a1,a3,a4;(2)求数列{a n}的通项公式.【解】(1)∵a2=6,∴=1,=2,=3,解得a1=1,a3=15,a4=28.(2)由上面的a1,a2,a3,a4的值可以猜想a n=n(2n-1).下面用数学归纳法加以证明:①当n=1时,a1=1×(2-1)=1,结论成立.②假设当n=k(k∈N*)时,结论正确,即a k=k(2k-1),则当n=k+1时,有=k,于是(k-1)a k+1=(k+1)a k-(k+1)=(k+1)·k(2k-1)-(k+1)=(k+1)(2k2-k-1)=(k+1)(2k+1)(k-1)(k-1≠0).因此a k+1=(k+1)[2(k+1)-1],即当n=k+1时,结论也成立.由①②可知,数列{a n}的通项公式a n=n(2n-1).拓展延伸13.(2012·天津卷,18)已知{a n}是等差数列,其前n项和为S n,{b n}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)记T n=a n b1+a n-1b2+…+a1b n,n∈N*,证明T n+12=-2a n+10b n(n∈N*).【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.由条件,得方程组解得故a n=3n-1,b n=2n,n∈N*.(2)证法一:由(1)得T n=2a n+22a n-1+23a n-2+…+2n a1,①2T n=22a n+23a n-1+…+2n a2+2n+1a1.②由②-①,得T n=-2(3n-1)+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2=+2n+2-6n+2=10×2n-6n-10.而-2a n+10b n-12=-2(3n-1)+10×2n-12=10×2n-6n-10,故T n+12=-2a n+10b n,n∈N*.证法二(数学归纳法):①当n=1时,T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,此时等式成立;②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即T k+12=-2a k+10b k,则当n=k+1时有:T k+1=a k+1b1+a k b2+a k-1b3+…+a1b k+1=a k+1b1+q(a k b1+a k-1b2+…+a1b k)=a k+1b1+qT k=a k+1b1+q(-2a k+10b k-12)=2a k+1-4(a k+1-3)+10b k+1-24=-2a k+1+10b k+1-12,即T k+1+12=-2a k+1+10b k+1,因此n=k+1时等式也成立.由①和②可知对任意n∈N*,T n+12=-2a n+10b n成立.。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-7二项式定理课后强化作业 新人教B版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-7二项式定理课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(2013·新课标Ⅱ理，5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 [答案]D[解析]因为(1＋x )5的二项展开式的通项为C r 5x r (0≤r ≤5，r ∈Z )，则含x 2的项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝(10＋5a )x 2，所以10＋5a ＝5，a ＝－1.2．(2013·某某某某一模)二项式(x 2－13x )8的展开式中的常数项是( )A ．28B ．－7C ．7D ．－28 [答案]C[解析]二项式(x 2－13x )8展开式中的通项为T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (－13x )r ＝(－1)r C r 82r －8x 8－4r 3，令8－4r 3＝0得r ＝6，∴常数项是(－1)6C 6822＝7，故选C.3．(2013·某某模拟)(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 [答案]B[解析]展开式中所有各项系数的和为(2－1)8＝1，其中x 4项的系数为1，∴选B. 4．在(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，含x 4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )A ．第11项B ．第13项C ．第18项D ．第20项 [答案]D[解析](1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，含x 4项的系数为C 45＋C 46＋C 47＝C 15＋C 26＋C 37＝5＋6×52＋7×6×53×2＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式a n ＝－2＋3(n－1)＝3n －5，令a n ＝55，即3n －5＝55，n ＝20，故选D.5．(2013·某某模拟)在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是( ) A ．－25 B ．－5 C ．5 D ．25[答案]B[解析](x 2＋x ＋1)(x －1)5＝(x 3－1)(x －1)4，其展开式中x 4项的系数为：－1＋C 34(－1)3＝－5.6．(2013·某某理，7)使(3x ＋1x x)n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案]B[解析](3x ＋1x x )n 展开式中的第r ＋1项为T r ＋1＝C r n (3x )n －r x －32r ＝C r n 3n －r xn －52r ，若展开式中含常数项，则存在n ∈N ＋，r ∈N ，使n －52r ＝0，∴r ＝2k ，k ∈N *，n ＝5k .故最小的n 值为5，故选B. 二、填空题7．(2013·日照模拟)已知关于x 的二项式(x ＋a 3x)n 的展开式中二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为________．[答案]2[解析]由条件得2n ＝32，∴n ＝5，∴T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·(a 3x )r ＝a r C r 5x 52－5r6 ，令52－5r 6＝0得r ＝3，∴a 3C 35＝80，∴a ＝2.8．若(2x ＋3)3＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3，则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝________. [答案]5[解析]法1：令x ＝－2得a 0＝－1. 令x ＝0得27＝a 0＋2a 1＋4a 2＋8a 3. 因此a 1＋2a 2＋4a 3＝14.∵C 03(2x )3·30＝a 3·x 3.∴a 3＝8.∴a 1＋2a 2＋3a 3＝14－a 3＝6. ∴a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝－1＋6＝5.法2：由于2x ＋3＝2(x ＋2)－1，故(2x ＋3)3＝[2(x ＋2)－1]3＝8(x ＋2)3－4C 13(x ＋2)2＋2C 23(x ＋2)－1， 故a 3＝8，a 2＝－12，a 1＝6，a 0＝－1. 故a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝－1＋6－24＋24＝5.9．若a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x ＋1x )8展开式中含x 项的系数是________．[答案]1792[解析]a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π0＝2. ∵(2x ＋1x )8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8(2x )8－r ·(1x )r ＝28－r ·C r 8·x 4－3r 2，令4－3r2＝1得，r ＝2，∴T 3＝26·C 28x ＝1792x ， 故所求系数为1792.10．(2013·某某模拟)已知等比数列{a n }的第5项是二项式(x －13x )6展开式的常数项，则a 3a 7＝________.[答案]259[解析](x －13x )6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·(x )6－r ·(－13x )r ＝C r 6·(－13)r ·x 3－3r 2 .令3－3r 2＝0得r ＝2，因此(x －13x )6的展开式中的常数项是C 26·(－13)2＝53，即有a 5＝53， a 3a 7＝(a 5)2＝(53)2＝259.能力拓展提升一、选择题11．(2013·新课标Ⅰ理，9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案]B[解析]由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m2m ＋1，又∵13a ＝7b ，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，即137＝2m ＋1m ＋1.解得m ＝6.故选B. 12．(2013·某某一模)(3y ＋x )5展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为( )[答案]D[解析]由题意得C 25(3y )5－2(x )2＝10，∴xy ＝1，x >0，y >0，∴y ＝1x ，x >0.故选D. 13．若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值X 围是( )A ．(－∞，15)B ．[45，＋∞)C ．(－∞，－45] D ．(1，＋∞)[答案]D[解析]二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r＋1＝C r 9·x 9－r ·y r .依题意有⎩⎨⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy <0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0，x (1－x )<0.由此解得x >1，即x 的取值X 围是(1，＋∞)，选D.14．(2013·某某某某质检)若(x 2－1x )n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．[答案]255[解析]T 6＝C 5n (x 2)n －5(－1x )5＝－C 5n x 2n －15，令2n －15＝1得，n ＝8， 令x ＝1，a 0＋a 1＋…＋a n ＝(－2)8＝256， 令x ＝0得，a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝255.15．设a 为函数y ＝sin x ＋3cos x (x ∈R )的最大值，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案]－192[解析]y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值为a ＝2，二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中第r ＋1项T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 3－r ，令3－r ＝2，则r ＝1，∴x 2项的系数为(－1)1×25×C 16＝－192. 16．(2013·某某某某期末)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________.[答案]364[解析]令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36； 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12；令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.考纲要求1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．赋值法：在某些二项式定理的有关求“系数和”的问题中，常用对字母取特值的方法解题．2．求二项展开式中的指定项要牢牢抓住通项公式，代入求解或列方程求解，要特别注意项数与指数都是整数．3．求展开式系数最大项：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R *)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即为所求．对于(a －bx )x (a ，b ∈R ＋)，求展开式中系数最大的项，还要考虑符号．4．关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种解法． 备选习题1．(2013·某某江门调研)二项式(ax －36)3的展开式的第二项的系数为－32，则⎠⎛－2a x 2d x 的值为( )A ．3 B.73 C ．3或73 D ．3或－103[答案]C[解析]二项式(ax －36)3的展开式的第二项为 T 2＝C 13(ax )2(－36)＝－32a 2x 2， ∴a 2＝1，即a ＝±1.则⎠⎜⎛－2－1x 2d x ＝13x 3|－1－2＝73，⎠⎛1－2x 2d x ＝13x 3|1－2＝3，故选C. 2．(2012·某某，5)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 [答案]A[解析]本题考查二项展开式的应用．512012＝(52－1)2012＝C 020********－C 12012522011＋C 22012522010＋…＋C 20112012×52×(－1)2011＋C 20122012×(－1)2012，若想被13整除需加12，∴a ＝12. 3．(2013·某某某某一模)已知(x －ax )8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________．[答案]1或38[解析]由题意知C 48·(－a )4＝1120， 解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式中各项系数的和为(1－a )8＝1或38.4．(2013·某某师大附中月考)(x －1x )6的展开式中，系数最大的项为第________项．[答案]3或5[解析](x －1x )6的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3,5项系数最大．。
2015届高考数学(文)一轮复习课时作业62(北师大版)Word版含解析
课时作业(六十二)一、选择题1．已知ξ的分布列ξ＝－1,0,1，对应P ＝12，16，13，且设η＝2ξ＋1，则η的期望是( )A ．－16 B.23 C.2936D ．1解析：E (ξ)＝(－1)×12＋0×16＋1×13＝－16， ∵η＝2ξ＋1，∴E (η)＝2E (ξ)＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋1＝23.答案：B2．(2012年黄山二模)已知随机变量X 的分布列为则E (6X ＋8)＝( )A ．13.2B ．21.2C ．20.2D ．22.2 解析：由题意知E (X )＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2， ∴E (6X ＋8)＝6E (X )＋8＝6×2.2＋8＝21.2. 答案：B3．设随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝1.6，D (ξ)＝1.28，则 ( )A ．n ＝8，p ＝0.2B ．n ＝4，p ＝0.4C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.45解析：∵ξ～B (n ，p )，∴E (ξ)＝np ＝1.6， D (ξ)＝np (1－p )＝1.28，∴⎩⎨⎧n ＝8，p ＝0.2.答案：A4．正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m，n则() A．m>n B．m<nC．m＝n D．不确定解析：正态总体N(1,9)的曲线关于x＝1对称，区间(2,3)与(－1,0)与对称轴距离相等，故m＝n.答案：C5．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝()A.12＋p B.12－pC．1－2p D．1－p解析：P(－1<ξ<0)＝12P(－1<ξ<1)＝12[1－2P(ξ>1)]＝12－P(ξ>1)＝12－p.答案：B6．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为() A．5 B．5.25C．5.8 D．4.6解析：由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝1C36＝120，P(X＝4)＝C23C36＝320，P(X＝5)＝C24C36＝310，P(X＝6)＝C25C36＝12.由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25.答案：B二、填空题7．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.解析：∵x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，∴s 2＝(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)25＝165.答案：1658．(2011年浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.解析：由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12. 随机变量X 的分布列为：E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53. 答案：539．(2012年韶关调研)某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元．设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交保险金为________．解析：设保险公司要求顾客交x 元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，其分布列为：(x －a )·p ＝x －ap . 为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，只需E (ξ)＝0.1a ，即x －ap ＝0.1a ，故可得x ＝(0.1＋p )a . 即顾客交的保险金为(0.1＋p )a 时，可使公司期望获益10%a . 答案：(0.1＋p )a三、解答题10．一个袋中有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7 9.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望E(X)．解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．(2)X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，其中P(X＝k)＝C k5C3－k5C310，k＝0,1,2,3.于是X的分布列为X的数学期望E(X)＝112×0＋512×1＋512×2＋112×3＝32.11．(2012年陕西)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49.所以X的分布列为E(X)＝0×0.5＋1×12．(2012年济宁一模)某高中社团进行社会实验，对[25,55]岁的人群随机抽取1 000人进行了一次是否开通“微博”的调查．若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在[40,45)岁、[45,50)岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的40%,30%.请完成以下问题：(1)求[40,45)岁与[45,50)岁年龄段“时尚族”的人数；(2)从[40,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取9人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，已选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．解：(1)由频率分布直方图可知，[40,45)岁的频率为0.03×5＝0.15，所以该组中“时尚族”人数为1 000×0.15×40%＝60；[45,50)岁的频率为0.02×5＝0.1，所以该组中“时尚族”人数为1 000×0.1×30%＝30.(2)因为[40,45)岁与[45,50)岁年龄段的“时尚族”人数的比值为60∶30＝2∶1，所以采用分层抽样法抽取9人，[40,45)岁中有6人，[45,50)岁中有3人．随机变量X所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C06C33C39＝184，P(X＝1)＝C16C23C39＝314，P(X＝2)＝C26C13C39＝1528，P(X＝3)＝C36C03C39＝521.所以随机变量X的分布列为E(X)＝0×184＋1×314＋2×1528＋3×521＝2.[热点预测]13．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，D(η)分别是() A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6解析：若两个随机变量η，X满足一次关系式η＝aX＋b(a，b为常数)，当已知E(X)、D(X)时，则有E(η)＝aE(X)＋b，D(η)＝a2D(X)．由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案：B14．随机变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．解析：根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，2b ＝a ＋c ，－a ＋c ＝13，解得b ＝13，a ＝16，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝59.答案：5915．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空，比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止，设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立，求：(1)打满3局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E (ξ)．解：令A k ，B k ，C k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为P (A 1C 2B 3)＋P (B 1C 2A 3)＝123＋123＝14. (2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6，且 P (ξ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝122＋122＝12， P (ξ＝3)＝P (A 1C 2C 3)＋P (B 1C 2C 3)＝123＋123＝14， P (ξ＝4)＝P (A 1C 2B 3B 4)＋P (B 1C 2A 3A 4)＝124＋124＝18， P (ξ＝5)＝P (A 1C 2B 3A 4A 5)＋P (B 1C 2A 3B 4B 5)＝125＋125＝116， P (ξ＝6)＝P (A 1C 2B 3A 4C 5)＋P (B 1C 2A 3B 4C 5)＝125＋125＝116. 故ξ的分布列为12＋3×14＋4×18＋5×116＋6×116＝4716(局)．从而E(ξ)＝2×。
2015赢在高考第一轮复习数学 课后作业19
第3讲 三角函数的图象及性质基础巩固1.下列函数中,周期为π2的是( ) A.y=sin x2 B.y=sin 2x C.y=|sin x| D.y=sin 4x答案:D2.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,0≤x<π2,则f (x )的最大值、最小值分别为( )A . 和1B .2和1C .2和D .2和答案:A解析:f(x)=(1+tan x)cos x=cos x+sin x= 2sin x +π4 .∵0≤x<π2,∴π4≤x+π4<3π4.∴1≤f(x)≤ 2.3.函数y=2sin π6-2x (x ∈[0,π])的单调递增区间是( ) A. 0,π3 B. π12,7π12 C. π3,5π6 D. 5π6,π答案:C解析:∵y=2sin π6-2x =-2sin 2x -π6 ,∴y=2sin π6-2x 的单调递增区间实际上是y=2sin 2x -π6 的单调递减区间. 令2k π+π2≤2x-π6≤2k π+3π2(k ∈Z ), 解得k π+π3≤x ≤k π+5π6(k ∈Z ).令k=0,得π3≤x ≤5π6. 又∵x ∈[0,π],∴π3≤x ≤5π6,即函数y=2sin π6-2x (x ∈[0,π])的单调递增区间为 π3,5π6 . 4.y=sin x -π4 的图象的一个对称中心是( ) A.(-π,0) B. -3π4,0C. 3π2,0 D. π2,0答案:B解析:∵y=sin x 的对称中心为(k π,0)(k ∈Z ),∴令x-π4=k π(k ∈Z ),x=k π+π4(k ∈Z ),由k=-1,x=-3π4,得y=sin x -π4 的一个对称中心是 -3π4,0 .5.函数f(x)=sin 2x -π4 在区间 0,π2 上的最小值为( ) A .-1 B .- 22C . 22D .0答案:B解析:因为x ∈ 0,π2 ,所以2x-π4∈ -π4,3π4 ,当2x-π4=-π4,即x=0时,f (x )取得最小值- 22. 6.已知函数f(x)=2sin (ωx+φ),x ∈R ,其中ω>0,-π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=π2时,f (x )取得最大值,则( ) A .f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B .f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C .f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D .f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 答案:A解析:∵f(x)的最小正周期为6π,且ω>0,∴ω=13.∵当x=π2时,f (x )有最大值,∴13×π2+φ=π2+2kπ(k∈Z),φ=π3+2kπ(k∈Z).∵-π<φ≤π,∴φ=π3.∴f(x)=2sin x3+π3,由此函数图象易得,在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间[-3π,-π]或[3π,5π]上均没单调性,在区间[4π,6π]上是增函数.7.(2013·江苏,1)函数y=3sin2x+π4的最小正周期为. 答案:π解析:函数y=3sin2x+π4的最小正周期T=2π2=π.8.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈0,π2时,f(x)=sin x,则f5π3的值为.答案:32解析:f5π3=f-π3=fπ3=sinπ3=32.9.f(x)是以5为周期的奇函数,f(-3)=4且cosα=12,则f(4cos 2α)=. 答案:-4解析:∵4cos 2α=4(2cos2α-1)=42×14-1=-2,又T=5,且f(x)为奇函数,∴f(4cos 2α)=f(-2)=f(-2+5)=f(3)=-f(-3)=-4.10.已知函数f(x)=2sin(π-x)cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-π6,π2上的最大值和最小值.解:(1)∵f(x)=2sin(π-x)cos x=2sin x cos x=sin 2x, ∴函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵-π6≤x ≤π2,∴-π3≤2x ≤π,则- 32≤sin 2x ≤1.∴f(x)在区间 -π6,π2 上的最大值为1,最小值为- 32. 11.(1)求函数y=2sin 2x +π3 -π6<x <π6 的值域; (2)求函数y=2cos 2x+5sin x-4的值域. 解:(1)∵-π6<x<π6,∴0<2x+π3<2π3.∴0<sin 2x +π3 ≤1.∴y=2sin 2x +π3 的值域为(0,2]. (2)y=2cos 2x+5sin x-4 =2(1-sin 2x)+5sin x-4 =-2sin 2x+5sin x-2 =-2 sin x -54 2+98. ∴当sin x=1时,y max =1; 当sin x=-1时,y min =-9.∴y=2cos 2x+5sin x-4的值域为[-9,1].12.已知a>0,函数f(x)=-2a sin 2x +π6 +2a+b ,当x ∈ 0,π2 时,-5≤f (x )≤1. (1)求常数a,b 的值;(2)设g(x)=f x +π2 且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间. 解:(1)∵x ∈ 0,π2 ,∴2x+π6∈ π6,7π6 .从而sin 2x +π6 ∈ -12,1 , ∵a>0,∴-2a sin 2x +π6 ∈[-2a ,a ]. 则f(x)∈[b,3a+b].又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,故a=2,b=-5. (2)由(1)得a=2,b=-5, 从而f(x)=-4sin 2x +π6 -1, g(x)=f x +π2 =-4sin 2x +7π6-1=4sin 2x +π6 -1, 又由lg g(x)>0得g(x)>1, 即4sin 2x +π6 -1>1, 从而sin 2x +π6 >12,则有2k π+π6<2x+π6<2k π+5π6,k ∈Z ,其中当2k π+π6<2x+π6≤2k π+π2,k ∈Z 时,g(x)单调递增,即k π<x ≤k π+π6,k ∈Z , 故g(x)的单调递增区间为 k π,k π+π6 ,k ∈Z . 又∵当2k π+π2<2x+π6<2k π+5π6,k ∈Z 时,g(x)单调递减, 即k π+π6<x<k π+π3,k ∈Z .故g(x)的单调递减区间为 k π+π6,k π+π3 ,k ∈Z .拓展延伸13.已知函数f(x)=sin 2x+a cos 2x(a ∈R ,a 为常数),且π4是函数y=f (x )的零点. (1)求a 的值,并求函数f(x)的最小正周期;(2)若x ∈ 0,π2 ,求函数f (x )的值域,并写出f (x )取得最大值时x 的值.解:(1)由于π4是函数y=f (x )的零点,即x=π4是方程f (x )=0的解, 从而f π4 =sin π2+acos 2π4=0, 则1+12a=0,解得a=-2.所以f(x)=sin 2x-2cos 2x=sin 2x-cos 2x-1, 则f(x)= 2sin 2x -π4 -1.所以函数f(x)的最小正周期为π. (2)由x ∈ 0,π2 ,得2x-π4∈ -π4,3π4 , 则sin 2x -π4 ∈ - 22,1 ,则-1≤ 2sin 2x -π4 ≤ 2, -2≤ 2x -π4 -1≤ 2-1, 所以函数f(x)的值域为[-2, 2-1]. 当2x-π4=2k π+π2(k ∈Z ),即x=k π+3π8(k ∈Z )时,f(x)有最大值, 又x ∈ 0,π2 ,故k=0,x=3π8时, f(x)有最大值 2-1.。
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【解】 (1) ∵ an =an-1 +3 , ∴ an-1 =an-2 +3n-2 ,a n-2 =an-3 +3n-3 ,
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8. 从盛满 a 升酒精的容器里倒出 b 升 , 然后再用水加满 , 再倒出 b 升 , 再用水加满 , 这样倒了 n 次 , 则
容器中有纯酒精
升.
【答案】 a
【解析】第一次容器中有纯酒精 a-b, 即 a 升 ,
第二次有纯酒精 a-b, 即 a 升 ,
故第 n 次有纯酒精 a 升 .
9. (2012 ·湖北卷 ,17) 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数
由此归纳出 b2012=a . 5030
(2) 由 b1=a4=,b 3=a9=,b 5=a14=, …, 可归纳出 b2k-1 =.
10. 根据下列各个数列 {a n} 的首项和基本关系式 , 求其通项公式 : (1)a 1=1,a n=an-1 +3n-1 (n ≥ 2);
(2)a 1=1,a n=an-1 (n ≥ 2).
5%以下 , 则至少需过滤的次数为 (lg 2 ≈0.3010)(
)
A.5
B.10
C.14
D.15
【答案】 C
【解析】设原杂质数为 1, 则各次过滤杂质数成等比数列 ,
n
且 a1=1, 公比 q=1-20%, 因此 an+1=(1-20 %) ; 由题意可知 (1-20%) n<5%,即 0.8 n<0.05.
的路程为 2km,以后每秒钟通过的路程都增加 2km,在到达离地面 240km的高度时 , 火箭与飞船分离 ,
【赢在高考】高考数学一轮复习 1.3配套练习
【赢在高考】2013届高考数学一轮复习 1.3配套练习1.如果一个命题的否命题是真命题,那么这个命题的逆命题是A.真命题B.假命题C.不一定是真命题D.不一定是假命题【答案】 A2.与命题”若a M ∈,则b M ∉”等价的命题是( )A.若a M ∉,则b M ∉B.若b M ∉,则a M ∈C.若a M ∉,则b M ∈D.若b M ∈,则a M ∉【答案】 D【解析】 因为原命题只与逆否命题是等价命题,所以只需写出原命题的逆否命题即可.故选D.3.条件p:3a ≤,条件q:(3)0a a -≤,则p 是q 的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A 【解析】 条件q:03a ≤≤,则p q ⇐.故p 是q 的必要不充分条件.4.”2x ≠或2y ≠-”是”4xy ≠-”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】 一方面,由”2x ≠或2y ≠-”不能推出”4xy ≠-”,例如4323x y =≠,=-,但xy=-4;另一方面由”xy ≠-能推出”2x ≠或2y ≠-”,这是因为当”x=2且-时,必有”xy=-4”.综上所述,”2x ≠或2y ≠-”是xy ≠-4”的必要不充分条件. 5.(2012陕西咸阳月考)已知p:20x x -<,那么命题p 的一个必要不充分条件是( )A.0<x<1B.-1<x<1C.1223x <<D.122x << 【答案】 B【解析】 由20x x -<得0<x<1.设p 的一个必要不充分条件为q,则p q ⇒,但q p.故选B.1.命题”若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是 ( )A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数【答案】 B【解析】 原命题的否命题是既否定条件,又否定结论.应选2.设a ,b 是向量,命题”若a =-b ,则|a |=|b |”的逆命题是( )A.若a ≠-b ,则|a |≠|b |B.若a =-b ,则|a |≠|b |C.若|a |≠|b |,则a ≠-bD.若|a |=|b |,则a =-b【答案】 D【解析】 ∵逆命题是以原命题的结论为条件,条件为结论的命题,∴这个命题的逆命题为:若|a |=|b |,则a =-b .3.下列说法中,正确的是( )A.命题”若22am bm <,则a<b”的逆命题是真命题B.命题”x ∃∈R 20x x ,->”的否定是”x ∀∈R 20x x ,-≤”C.命题”p∨q”为真命题,则命题p 和命题q 均为真命题D.已知x ∈R ,则”x>1”是”x>2”的充分不必要条件【答案】 B【解析】 对于选项A,当a<b,m=0时,不能得到22am bm <,因此A 不正确;对于选项B,易知是正确的;对于选项C,由命题”p∨q”为真命题知,p,q 中至少有一个是真命题,不能得到p,q 均为真命题,因此C 不正确;对于选项D,由”x>1”不能得到”x>2”,由”x>2”可得”x>1”,因此”x>1”是”x>2”的必要不充分条件,D 是错误的.综上所述,选B.4.下列命题错误的是( )A.命题”若2320x x -+=,则x=1”的逆否命题为”若1x ≠,则2320x x -+≠”B.若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题C.对于命题p:存在x ∈R ,使得210x x ++<,则p 为:对任意的x ∈R ,均有210x x ++≥ D.”x>2”是”2320x x -+>”的充分不必要条件【答案】 B【解析】 易知A,C,D 均正确,对B,∵p 且q 为假命题,∴p,q 可能均为假命题,也可能一真一假.∴B 错误.5.设集合M={x||x--3)<0},那么a M ∈是”a N ∈”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】 由|x-1|<2,得-2<x-1<2,即-1<x<3;由-解得0<x<3,从而可知集合N 是集合M 的真子集,故”a M ∈”不一定能推出”a N ∈”,但”a N ∈”一定可以推出”a M ∈”,所以”a M ∈”是”a N ∈”的必要不充分条件6.有下列四个命题:(1)”若则x,y 互为倒数”的逆命题;(2)”面积相等的三角形全等”的否命题;(3)”若1m ≤,则方程220x x m -+=有实数解”的逆否命题;(4)”若A B A ⋂=,则A B ⊆”的逆否命题.其中真命题个数为 … ( )A.1B.2C.3D.4 【答案】 D【解析】 (1)、(2)、(4)显然成立.(3)∵220x x m -+=有实数解,∴440m ∆=-≥,即1m ≤,可知(3)成立.7.已知集合A={x|x>5},集合B={x|x>a},若命题”x A ∈”是命题”x B ∈”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .【答案】 a<5【解析】 由题意得,命题”x A ∈”是命题”x B ∈”的充分不必要条件,故A 是B 的真子集,画数轴可知a<5为所求.8.给出下列命题:①原命题为真,它的否命题为假;②原命题为真,它的逆命题不一定为真;③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真;⑤”若m>1,则22(1)mx m -+x+m+3>0的解集为R ”的逆命题.其中真命题是 .(把你认为正确命题的序号都填在横线上)【答案】②③⑤【解析】 原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故①④错误,②③正确.又因为不等式22(1)mx m -+x+m+3>0的解集为R , 由 204(1)4(3)0m m m m >⎧⎨∆=+-+<⎩ ⇒ 01m m >⎧⎨>⎩1m ⇒>. 故⑤正确.9.已知p:2430x x -+<,q:30x x-<,则p 是q 的 条件. 【答案】 充分不必要【解析】 由2430x x -+<得1<x<3,即(13)x ∈,,由x(x-3)<0得0<x<3,即(03)x ∈,,∵(1,3) (0,3),∴p 是q 的充分不必要条件.10.把下列命题改写成”若p 则q”的形式,并写出它的否命题和逆否命题,最后判断所有命题的真假. (1)ac bc a b >⇒>;(2)已知x 、y 为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2;(3)当14m >时210mx x ,-+=无实根; (4)若2230x x --=,则x=3或x=-1.【解】 (1)原命题:若ac>bc,则a>b.(假)否命题:若ac bc ≤,则a b ≤.(假)逆否命题:若a b ≤,则ac bc ≤.(假)(2)原命题:已知x 、y 为正整数,若y=x+1,则y=3且x=2.(假)否命题:已知x 、y 为正整数,若1y x ≠+,则3y ≠或2x ≠.(真)逆否命题:已知x 、y 为正整数,若3y ≠或2x ≠,则y x ≠+1.(假)(3)原命题:若14m >,则210mx x -+=无实根.(真) 否命题:若14m ≤,则210mx x -+=有实根.(真) 逆否命题:若210mx x -+=有实根,则14m ≤.(真) (4)原命题:若2230x x --=,则x=3或x=-1.(真)否命题:若2230x x --≠,则3x ≠且1x ≠-.(真)逆否命题:若3x ≠且1x ≠-,则2230x x --≠.(真)11.已知P={x|28200x x --≤},S={x||x-1|m ≤}.是否存在实数m,使x P ∈是x S ∈的充要条件?当存在时,求出m 的取值范围.【解】 若x P ∈是x S ∈的充要条件,则S=P.由28200210x x x --≤⇒-≤≤,∴P=[-2,10].由|x-1|11m m x m ≤⇒-≤≤+,∴S=[1-m,1+m]. 要使P=S,则 12110m m -=-,⎧⎨+=.⎩ ∴ 39m m =,⎧⎨=.⎩∴这样的m 不存在.。
【赢在高考】高考数学一轮复习 3.1配套练习
【赢在高考】2013届高考数学一轮复习 3.1配套练习1.已知函数32()32f x ax x =++,若f′(-1)=4,则a 的值等于( ) A.193 B.163C.133D.103【答案】 D【解析】 f′2()36x ax x f =+,′(-1)=3a 10643a -=,=. 2.设y=-2e x sinx,则y′等于( )A.-2e x cosxB.-2e x sinxC.2e x sinxD.-2e (x sinx+cosx)【答案】 D【解析】 ∵y=-2e x sinx,∴y′=(-2e )x ′sinx+(-2e )(x sinx)′=-2e x sinx-2e x cosx=-2e (xsinx+cosx).3.已知3270()x m f x mx m<,=+,且f′(1)18≥-,则实数m 等于( ) A.-9B.-3C.3D.9 【答案】 B 【解析】 由于f′227()3x mx m =+,故f′27(1)183m m ≥-⇔+≥-由m<0得227318318270m m m m+≥-⇔++≤⇔23(3)m +0≤,故m=-3. 4.设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( ) A.2 B.12 C.12- D.-2【解析】 因为y′22(1)x -=,-所以切线斜率k=y′|3x ==12-而此切线与直线ax+y+1=0垂直,故有()1k a ⋅-=-因此12a k ==-.5.已知1()f x =sin2x+sinx,则f′(x)是( )A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数【答案】 B【解析】 f′12()x =cos 22x ⋅+cosx=cos2x+cosx=2cos 21x -+cosx=2(cos 29148)x +-.故f′(x)是既有最大值2,又有最小值98-的偶函数,选B 项.1.下列求导运算正确的是( )A.1()x x +′112x =+B. (log 2)x ′1ln2x =C.(3)x ′3x =⋅log 3eD.2(x cosx)′=-2xsinx【答案】 B【解析】 1()x x +′112x =-;(3)x ′3x=ln3;2(x cosx)′=2xcos 2x x -sinx.2.若曲线C:3222y x ax ax =-+上任一点处的切线的倾斜角都是锐角,那么整数a 的值等于( )A.-2B.0C.1D.-1【答案】 C【解析】 由题意,y′23420x ax a =-+>对x ∈R 恒成立,故3002a ∆<⇒<<,又a ∈Z ,∴a=1.3.若点P 是曲线2y x =-lnx 上任意一点,则点P 到直线y=x-2的最小距离为( )A.1【解析】 过点P 作y=x-2的平行线,且与曲线2y x =-lnx 相切,设200(P x x ,-ln 0)x ,则k=y′|0x x =0120x x =-, ∴01210x x -=.∴01x =或102(x =-舍去).∴P(1,1).∴d ==4.已知直线y=kx+1与曲线3y x ax b =++切于点(1,3),则b 的值为( )A.3B.-3C.5D.-5【答案】 A【解析】 对3y x ax b =++求导,得y′23x a =+,∴k=y′|13x a ==+.又点(1,3)为切点,∴ 33113113k a b k a =⨯+,⎧⎪=+⨯+,⎨⎪=+,⎩解得b=3.5.已知二次函数f(x)的图象如图甲所示,则其导函数f′(x)的图象大致形状是( )【解析】 设二次函数为2(0y ax b a =+<,b>0),则y′=2ax,又∵a<0,故选B.6.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移为3231232s t t t =-+,那么速度为零的时刻是( ) A.0秒B.1秒末C.2秒末D.1秒末和2秒末【答案】 D【解析】 ∵3231232s t t t =-+, ∴v=s′2()32t t t =-+.令v=0得2320t t -+=,解得1212t t =,=.7.设函数y=xsinx+cosx 的图象上的点(x,y)处的切线斜率为k,若k=g(x),则函数k=g(x)的图象大致为 …( )【答案】 B【解析】 k=g(x)=y′=sinx+xcosx -sinx=xcosx,故函数k=g(x)为奇函数,排除A 、C; 又当(0)2x π∈,时,g(x)>0,可排除D,选B. 8.下列图象中,有一个是函数3221()(1)1(3f x x ax a x a =++-+∈R 0)a ,≠的导函数f′(x)的图象,则f(-1)=.【答案】 13- 【解析】 ∵f′22()2(1)x x ax a =++-,∴导函数y=f′(x)的图象开口向上.又∵0a ≠,其图象必为图(3). 由图象特征知且-a>0,∴a=-1. 故f(111)1133-=--+=-. 9.如图,已知函数21()()5F x f x x =+的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=.【答案】 -5【解析】 F′(x)=f′2()5x x +, 由题意可知F′(5)=f′(5)+2=-1,∴f′(5)=-3.又点(5,3)在函数F(x)图象上,∴f(5)+5=3,即f(5)=-2.∴f(5)+f′(5)=-5.10.在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C:3103y x x =-+上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为. 【答案】 (-2,15)【解析】 ∵3103y x x =-+,∴y′2310x =-.由题意,设切点P 的横坐标为0x ,且00x <,即203102x -=,∴204x =.∴02x =-. ∴300010315y x x =-+=.故点P 的坐标为(-2,15).11.(2012天津测试)已知1()f x =sinx+cosx,记2()f x =1f 32()f x f ,=′(x),…1()n n f x f -,=′()(x n ∈N 2)n *,≥,则12()()22f f ππ++…2012()2f π+=.【答案】 0【解析】 21()f x f =′(x)=cosx -sinx, 3()(f x =cosx-sinx)′=-sinx-cosx,4()f x =-cosx+sin 5()x f x ,=sinx+cosx,以此类推,可得出4()()n n f x f x +=.又∵1234()()()()0f x f x f x f x +++=, ∴12()()22f f ππ++…20121()()22f f ππ+=+2()2f π34()()022f f ππ++=. 12.求下列函数的导数.2(1)y x =sinx;x e 1(2)x e 1y +=-; (3)y=cos 22()x x -. 【解】 (1)y′2()x =′sin 2(x x +sinx)′=2xsin 2x x +cosx. (2)方法一:y′x x x (e 1)'(e 1)(e 1)(ex 1)'2(ex 1)+--+-=- x x x x x e (e 1)(e 1)e 2e x 2x 2(e 1)(e 1)--+-==--. 方法二:∵xe 1221x x e 1e 1y -+==+,-- ∴y′=1′2()x e 1+-′,即y′x 2e x 2(e 1)-=-.(3)y′=2cos 2()[x x -cos 2()]x x -′=2cos 2()[x x --sin 22()]()x x x x --′=2cos 2()[x x --sin 2()](21)x x x --=-(2x-1)sin 22()x x -.13.已知函数21()2f x x a =-ln (x a ∈R ).若函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为y=x+b,求a 、b 的值.【解】 因为f′()(0)a x x x x=->, 又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,所以 2ln22b a 212a -=+,⎧⎪⎨-=,⎪⎩ 解得a=2,b=-2ln2.14.已知函数322()3611()3612f x ax x ax g x x x =+--,=++和直线m:y=kx+9,又f′(-1)=0.(1)求a 的值;(2)是否存在k 的值,使直线m 既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k 的值;如果不存在,请说明理由.【解】 (1)f′2()366x ax x a f =+-,′(-1)=0,即3a-6-6a=0,∴a=-2.(2)∵直线m 恒过定点(0,9),先求直线m 是曲线y=g(x)的切线,设切点为2000(3612)x x x ,++,∵g′00()66x x =+,∴切线方程为20000(3612)(66)()y x x x x x -++=+-,将点(0,9)代入,得01x =±,当01x =-时,切线方程为y=9;当01x =时,切线方程为y=12x+9.由f′(x)=0得266120x x -++=,即有x=-1或当x=-1时,y=f(x)的切线方程为y=-18;当x=2时,y=f(x)的切线方程为y=9.∴公切线是y=9.又由f′(x)=12得2661212x x -++=,∴x=0或当x=0时,y=f(x)的切线方程为y=12x-11;当x=1时,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,∴公切线不是y=12x+9.综上所述,存在k 值能使直线m 为曲线y=f(x)及y=g(x)的切线,此时k=0,切线为y=9.。
【赢在高考】高考数学一轮复习 4.6配套练习
【赢在高考】2013届高考数学一轮复习 4.6配套练习1.已知sin α=则sin 4α-cos 4α的值为( ) A.35- B.15- C.15 D.35【答案】 A【解析】 sin 4α-cos 4α=sin 2α-cos 22α=sin 23112155α-=⨯-=-,选A. 2.已知(0)2x π∈-,,cos 45x =,则tan2x 等于( ) A.247- B.724- C.724 D.247【答案】 A【解析】 方法一:∵(0)2x π∈-,,∴sinx<0. ∴sin 35x =-. ∴sin2x=2sinxcos 2425x =-,cos2x=2cos 27125x -=. ∴tan sin2x 242cos2x 7x ==-. 方法二:由方法一知:sin 35x =-, ∵(0)2x π∈-,,∴tan 34x =-. ∴tan 2tanx 242271xtan x ==--. 3.已知cos 122α=〔其中(0)4πα∈-,〕,则sin α的值为 ( )A.12B.12- D.-【答案】 B【解析】 ∵12=cos 212α=-sin 2α,∴sin 214α=. 又∵(0)4πα∈-,,∴sin 12α=-. 4.有四个关于三角函数的命题:1p :x ∃∈R ,sin 22x +cos 2122x = 2p :x y ∃,∈R ,sin(x-y)=sinx-siny3p :[0x ∀∈,π]=sinx 4p :sinx=cos 2y x y π⇒+= 其中的假命题是( )A.14p p ,B.24p p ,C.13p p ,D.23p p , 【答案】 A【解析】 x ∀∈R ,sin 22x +cos 212x =,故1p 为假命题. 由sinx=cos y ⇒sinx=sin ()2y x π-⇒=π()2y π--+2k π,或22x y k π=-+π. ∴22x y k π-=+π或x+y=2k π+(2k π∈Z ),故4p 为假命题. 故选A.5.已知sin(π1)3α+=-,且α是第二象限角,那么sin 2α= .【答案】 【解析】 ∵sin(π1)3α+=-, ∴sin 13α=. 又∵α是第二象限的角,∴cos α==.∴sin 22α=sin αcos 12(3α=⨯⨯=1.函数f(x)=cos 22x -sin 22x +sinx 的最小正周期是…… ( ) A.2π B.π C.32π D.2π【答案】 D【解析】 f(x)=cosx+sin x =()4x π+, ∴函数f(x)的最小正周期是T=2π.2.函数y=sin 22x 是( )A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数 【答案】 D【解析】 ∵y=sin 21cos4x 22x -=,∴函数y=sin 22x 是周期为2π的偶函数,故应选D. 3.(cos 12π-sin )(12πcos 12π+sin )12π等于( )A.-B.12- C.12 【答案】 D【解析】 原式=cos 212π-sin 212π=cos (2)12π⨯=cos 6π=4.设a=1414sin cos ︒+︒,b=16sin ︒+16cos ︒c ,=则a 、b 、c 的大小关系是( )A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c【答案】 C【解析】 a =59sin ︒c ,=60sin ︒b ,61sin ︒,∴a<c<b.或21a =+28sin ︒2311122b <+=,=+32sin ︒>1+12=23322c ,=,∴a<c<b.5.若2πα<<π,且cos a α=,则sin 2α等于( )B.D.【答案】 A【解析】 ∵cos 12α=-sin 22α,∴sin 21cos 1222a αα--==.又422παπ<<,∴sin 2α=6.若cos(x+y)cos 1()3x y -=,则cos 2x -sin 2y 等于 ( ) A.13- B.13 C.23- D.23【答案】 B【解析】 由cos ()x y +⋅cos 1()3x y -=,得(cosxcosy-sinxsin )(y ⋅cosxcosy+sinxsin 1)3y =.∴cos 2x ⋅2cos y-sin 2x ⋅sin 213y =.∴cos 2(1x ⋅-sin 2)(1y --cos 2)x ⋅sin 213y =. 整理得cos 2x -sin 213y =. 7.已知下列各式中,值为12的是( ) A.1515sin cos ︒︒ B.2cos 6π-sin 26πC.tan3021tan 30︒-︒ 【答案】 B【解析】 ∵11515302sin cos sin ︒︒=︒14=; cos 26π-sin 26π=cos 132π=;tan302tan301122221tan 301tan 30︒︒=⨯=⨯-︒-︒60tan ︒==15cos ︒=cos(4530︒-︒)=45304530cos cos sin sin ︒︒+︒︒=. 8.(2012江苏南京月考)设α是第二象限的角, tan 43α=-,且sin 2α<cos 2α,则cos 2α= .【答案】 -【解析】 ∵α是第二象限的角, ∴2α可能在第一或第三象限. 又sin 2α<cos 2α,∴2α为第三象限的角. ∴cos 20α<.∵tan 43α=-,∴cos 35α=-.∴cos 2α==9.6426678sin sin sin sin ︒︒︒︒= .【答案】 116【解析】 原式=6482412sin cos cos cos ︒︒︒︒1666122448166cos sin cos cos cos cos ︒︒︒︒︒=︒ 966116616616sin cos cos cos ︒︒===︒︒.10.化简sin 2()6πα-+sin 2()6πα+-sin 2α得的结果是 . 【答案】 12【解析】 原式1cos(2)1cos(2)3322ππαα---+=+-sin 2α 121[=-cos (2)3πα-+cos 3(2)]πα+-sin 2α =1-cos 2α⋅cos 3π-sin 2α cos21cos211222αα-=--=. 11.当40x π<<时,函数cos2x 1()2sinxcosx x sin f x +=-的最小值是【答案】 8【解析】 cos2x 1()2sinxcosx xsin f x +=- 22x cos 222sinxcosx x tanx xsin tan ==--. 又04x π<<,∴令t=tan (01)x ∈,. ∴22111()(0]244t t t -=--+∈,. ∴()[8)f x ∈,+∞,即min ()8f x =.12.已知函数44x 2cos2x 1cos ()2tan(x)(x)sin 44f x ππ--=+-. (1)求17()12f π-的值; (2)当2[0]x π∈,时,求12()()g x f x =+sin2x 的最大值和最小值.【解】 44x 2cos2x 1cos ()2tan(x)(x)sin f x ππ--=+- 21cos2x 4()2cos2x 122tan(x)(x)cos 44ππ+--=++ 22x cos 2sin(x)cos(x)ππ==++cos2x.17(1)()212f π-=cos 1726π=cos 56π=1(2)()()2g x f x =+sin2x=cos2x+sin2x=(2)4x π+, 因为[0]2x π∈,, 所以52444x πππ≤+≤.因此max min ()()1g x g x ==-.13.已知函数f(x)=sin2x ωx ωsin ()(0)2x πωω+>的最小正周期为π. (1)求f(x);(2)当[]122x ππ∈-,时,求函数f(x)的值域.【解】 1cos2x (1)()2f x ω-=+x ωcos x ωsin 122x ω-cos 122x ω+ =sin 1(2)62x πω-+. ∵函数f(x)的最小正周期为π,且0ω>, ∴22πω=π,解得1ω=. ∴f(x)=sin 1(2)62x π-+. (2)∵[]122x ππ∈-,,∴52[]636x πππ-∈-,.根据正弦函数的图象可得: 当262x ππ-=,即x π=时,f(x)取得最大值为31122+=;当263x ππ-=-,即12x π=-时,f(x)取得最小值为12=.∴f(x)的值域为3]2.14.观察以下各等式:①102020606010tan tan tan tan tan tan ︒︒+︒︒+︒︒=1;②5101075755tan tan tan tan tan tan ︒︒+︒︒+︒︒=1.分析上述各式的共同特点,写出能反映一般规律的一个等式,并对你的结论进行证明.【解】 推广结论为:若90αβγ++=︒,则tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan 1α=. 证明:由90αβ+=︒γ-,得tan ()αβ+=tan(90︒)γ-, 即tan tan 1tan tan αβαβ+=-tan(90︒1)tan γγ-=, ∴tan βtan γ+tan γtan 1α=-tan αtan β, 即tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan 1α=.。
精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 H单元 解析几何(理科2015)和答案
数 学H 单元 解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程20．F1、H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6. (1)求C 2的方程．(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD→同向． (i)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8， 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图所示，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(i)因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(ii)证明：由x 2＝4y 得y ′＝x2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214.令y ＝0，得x ＝x 12，即M x 12，0，所以FM →＝x 12，－1.而FA →＝(x 1，y 1－1)，于是FA →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1>0， 因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角． 故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．19．H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．19．解：(1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有kck 2＋12＋c 22＝b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，所以M 的坐标为c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，则t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23（x ＋1）2>2，解得－32<x <－1或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，则m ＝y，即y ＝mx (x ≠0)．与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23.①当x ∈－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是－∞，－233∪23，233.H2 两直线的位置关系与点到直线的距离15．B12、H2 设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．15．(1，1) 对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．H3 圆的方程14．H3、H4 如图13，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.图13(1)圆C 的标准．．方程为________； (2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2. 其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 14．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)①②③(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫||AB 22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由(1)知，A (0，2－1)，B (0，2＋1)． 设M (a ，b )，则|MA ||MB |＝a 2＋[b －（2－1）]2a 2＋[b －（2＋1）]2＝1－b 2＋[b －（2－1）]21－b 2＋[b －（2＋1）]2＝（2－1）b －（2－2）（2＋1）b －（2＋2）＝（2－1）（b －2）（2＋1）（b －2）＝（2－1）2（2＋1）（2－1）＝2－1；同理|NA ||NB |＝2－1.所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |，①正确；|NB ||NA |－|MA ||MB |＝12－1－(2－1)＝2，②正确；|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝12－1＋2－1＝22，③正确． 综上，正确结论的序号是①②③.7．H3 过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．107．C 方法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的坐标代入得方程组⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，所以||MN ＝225－1＝4 6.方法二：因为k AB ＝－13，k BC＝3，所以k AB k BC ＝－1，所以AB ⊥BC ，所以△ABC为直角三角形，所以△ABC 的外接圆圆心为AC 的中点(1，－2)，半径r ＝12||AC ＝5，所以||MN ＝225－1＝4 6.方法三：由AB→·BC →＝0得AB ⊥BC ，下同方法二．14．H3 一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．14.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 设圆心为(t ，0)(t >0)，则半径为4－t ，所以4＋t 2＝(4－t )2，解得t ＝32，所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.8．H3、H4 已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．2108．C 由题设，得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，故圆C 的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心(2，1)在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝－4＝36，所以|AB |＝6.H4 直线与圆、圆与圆的位置关系5．H4 平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝05．A 设所求直线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则圆心到该直线的距离为|m |22＋1＝5，∴|m |＝5，即m ＝±5.14．H3、H4 如图13，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.图13(1)圆C 的标准．．方程为________； (2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2. 其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 14．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)①②③(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫||AB 22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由(1)知，A (0，2－1)，B (0，2＋1)． 设M (a ，b )，则|MA ||MB |＝a 2＋[b －（2－1）]2a 2＋[b －（2＋1）]2＝1－b 2＋[b －（2－1）]21－b 2＋[b －（2＋1）]2＝（2－1）b －（2－2）（2＋1）b －（2＋2）＝（2－1）（b －2）（2＋1）（b －2）＝（2－1）2（2＋1）（2－1）＝2－1；同理|NA ||NB |＝2－1.所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |，①正确；|NB ||NA |－|MA ||MB |＝12－1－(2－1)＝2，②正确；|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝12－1＋2－1＝22，③正确．综上，正确结论的序号是①②③.10．H4在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m －1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．10．(x－1)2＋y2＝2 由直线mx－y－2m－1＝0得m(x－2)－(y＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.9．H4一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A．－53或－35B．－32或－23C．－54或－45D．－43或－349．D 设反射光线所在直线的斜率为k，反射光线过点(－2，－3)关于y轴的对称点(2，－3)，∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)．又∵其与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴|－3k－2－2k－3|1＋k2＝1，解得k＝－43或k＝－3 4 .10．H4，H7设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r 的取值范围是( )A．(1，3) B．(1，4)C．(2，3) D．(2，4)10．D 当直线l与x轴垂直，且0<r<5时，满足条件的直线有且仅有2条．当直线l与x轴不垂直时，不妨设切点M(5＋r cos θ，r sin θ)(0＜θ＜π)，则切线斜率k＝－cos θsin θ.另一方面，由于M是AB的中点，故由点差法得k＝2r sin θ，则r＝－2cos θ，所以r＞2.因为M(5＋r cos θ，r sin θ)在抛物线内，所以r2sin2θ<4(5＋r cos θ)，又r cos θ＝－2，所以化简得r＜4，故2＜r＜4.当2＜r＜4时，由r＝－2cos θ知满足条件且在x轴上方的切点M只有1个，从而总的切线有4条．故选D.8．H3、H4已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( ) A．2 B．4 2C．6 D．2108．C 由题设，得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，故圆C 的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心(2，1)在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝－4＝36，所以|AB |＝6.H5 椭圆及其几何性质20．H5、H8 设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．20．解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b .又k OM ＝510，所以b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x5b ＋yb ＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3，所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.21．H9、H5、H8、H10 一种作图工具如图16所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图17所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C 的方程．(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．图16图1721．解：(1)设点D (t ，0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意， MD→＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1， 所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎪⎨⎪⎧（x 0－t ）2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0.由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y 2，代入x 20＋y 20＝1，可得x 216＋y 24＝1， 即所求的曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)(i)当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.(ii)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠±12，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4.①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ； 同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k . 由原点O 到直线PQ 的距离d ＝|m |1＋k2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12|m |·2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝2m 21－4k 2.② 将①代入②得，S △OPQ ＝2m 21－4k 2＝84k 2＋14k 2－1.当k 2>14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋11－4k 2＝8⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2.因0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8，当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合(i)(ii)可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.18．H5、H10 如图14，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．图1418．解：(1)由题意，得c a ＝22，且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）＋2k 2，C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2， 且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝ 22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意， 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 2k ，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）.因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1，此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.20．H5、H8 已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．20．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2， 得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0， 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9b k 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k ，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与椭圆C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.由(1)得直线OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎨⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入(1)中l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m 3（k 2＋9）.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P＝2x M ，于是±km3k 2＋9＝2×k （k －3）m3（k 2＋9）， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k >0，k ≠3，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．19．H5，H8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ，问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 坐标；若不存在，说明理由．19．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1， 设M (x M ，0)．因为m ≠0，所以－1<n <1.直线PA 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－n ，0. (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称， 所以B (m ，－n )， 设N (x N ，0)，则x N ＝m 1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |. 因为x M ＝m 1－n，x N ＝m1＋n，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．13．H5 设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．13. 5 由已知，令F (－c ，0)，虚轴的一个端点B (0，b )，B 恰为线段PF的中点，故P (c ，2b )．又P 在双曲线上，代人双曲线方程得c 2a 2－4b 2b 2＝1，即e ＝ca ＝5.20．F1、H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6. (1)求C 2的方程．(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD→同向． (i)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8，故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图所示，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(i)因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以 x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(ii)证明：由x 2＝4y 得y ′＝x2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214.令y ＝0，得x ＝x 12，即M x 12，0，所以FM →＝x 12，－1.而FA →＝(x 1，y 1－1)，于是FA →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1>0， 因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角． 故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．20．H5、H8 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(i)求|OQ ||OP |的值；(ii)求△ABQ 面积的最大值．20．解：(1)由题意知2a ＝4，则a ＝2，又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2， 可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1，(i)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1， 且（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ii)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2，①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2，所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k2.设m 21＋4k 2＝t . 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0<t ≤1，因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t . 故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时，S 取得最大值23， 由(i)知，△ABQ 的面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.20．H5、H8 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图17，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．图1720．解：(1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O到该直线的距离d＝bcb2＋c2＝bca，由d＝12c，得a＝2b＝2a2－c2，解得离心率ca＝32.(2)方法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝10.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k（2k＋1）1＋4k2，x1x2＝4（2k＋1）2－4b21＋4k2.由x1＋x2＝－4，得－8k（2k＋1）1＋4k2＝－4，解得k＝12.从而x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝1＋122|x1－x2|＝52（x1＋x2）2－4x1x2＝10（b2－2）.由|AB|＝10，得10（b2－2）＝10，解得b2＝3.故椭圆E的方程为x212＋y23＝1.方法二：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.②依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝10. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21＋4y21＝4b2，x22＋4y22＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋122|x 1－x 2|＝ 52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.20．H5、H8、H9 如图15所示，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，过点P (0，1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.图15(1)求椭圆E 的方程．(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 20．解：(1)由已知得，点(2，1)在椭圆E 上，因此⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，ca ＝2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C ，D 两点． 如果存在定点Q 满足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1，即|QC |＝|QD |，所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M ，N 两点， 则M ，N 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)． 由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，得|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1， 解得y 0＝1或y 0＝2，所以若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为(0，2)． 下面证明：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|PA ||PB |.当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以x1＋x2＝－4k2k2＋1，x1x2＝－22k2＋1，因此1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝2k.易知点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)．又k QA＝y1－2x1＝kx1－1x1＝k－1x1，k QB′＝y2－2－x2＝kx2－1－x2＝－k＋1x2＝k－1x1，所以k QA＝k QB′，即Q，A，B′三点共线，所以|QA||QB|＝|QA||QB′|＝|x1||x2|＝|PA||PB|.故存在与P不同的定点Q(0，2)，使得|QA||QB|＝|PA||PB|恒成立．19．H1、H5、H8已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝b24截得的线段的长为c，|FM|＝43 3.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．19．解：(1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有kck 2＋12＋c 22＝b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，所以M 的坐标为c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，则t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23（x ＋1）2>2，解得－32<x <－1或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，则m ＝y x，即y ＝mx (x ≠0)．与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23.①当x ∈－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈23，233.②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是－∞，－233∪23，233.19．H5、H8 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．图1619．解：(1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2bm x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0.①将AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2的坐标代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得，m<－63或m>63.(2)令t＝1m∈⎝⎛⎭⎪⎫－6，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，6，则|AB|＝t2＋1·－2t4＋2t2＋32 t2＋12，且O到直线AB的距离d＝t2＋12 t2＋1.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝12|AB|·d＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t2－122＋2≤22，当且仅当t2＝12时，等号成立．故△AOB面积的最大值为2 2 .21．H5、H8如图16所示，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.图1621．解：(1)由椭圆的定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，得2c ＝ |F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一：如图，设点P (x 0，y 0)，由点P 在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，得x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b2c.由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝a a 2－2b 2c ＋c 2＋b4c2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由 |PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，得|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此 (2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12×1＋42＋2－12＝6－ 3.方法二：如图，由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，得|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a .由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝ （2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－ 3.H6 双曲线及其几何性质4．H6 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1 4．C 选项A ，B 中的双曲线的焦点在x 轴上，不正确；C 中的双曲线的焦点在y 轴上，且渐近线方程为y ＝±2x ，符合题意；D 中的双曲线的焦点在y 轴上，但渐近线方程为y ＝±12x ，不符合题意．故选C.7．H6 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 7．C由题知⎩⎨⎧c a ＝54，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，故b 2＝c 2－a 2＝9.8．H6 将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2D ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2 8．D e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝1＋（b ＋m ）2（a ＋m ）2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋m a ＋m(m >0)，得bm <am ，即b <a .同理可得，当b >a 时，有e 1>e 2.故选D.12．H6、H10 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．12.22不妨设点P (x 0，x 20－1)(x 0≥1)，则点P 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝||x 0－x 20－1＋12.令u (x )＝x －x 2－1＝1x ＋x 2－1，则u (x )是单调递减函数，且u (x )>0.当x →＋∞时，u (x )→0，所以d >22，故c max ＝22.11．H6 已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 211．D 由题意，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，设M 在第一象限，由题意知|AB |＝|BM |＝2a ，∠ABM ＝120°，所以在△ABM 中，|AM |＝23a ，所以M (2a ，3a )，代入双曲线方程得（2a ）2a 2－（3a ）2b2＝1，解得a 2＝b 2，所以e ＝ 2.故选D.5．H6 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 5．A 由题意不妨取F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→·MF 2→＝x 20＋y 20－3<0.又点M 在曲线C 上，所以有x 202－y 2＝1，即x 20＝2＋2y 20，代入上式得y 20<13，所以－3<y 0<3，故选A.10．H6 已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________．10.33 双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程是y ＝±1a x ，又知一条渐近线为3x ＋y ＝0，所以1a ＝3，解得a ＝33.3．H6 若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．33．B 由题知||PF 1－||PF 2＝±6，所以||PF 2＝||PF 1±6＝－3或9(负值舍去)，故||PF 2＝9.15．H6、H7 平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．15.32 设OA 所在的直线方程为y ＝b a x ，OB 所在的直线方程为y ＝－ba x ，抛物线C 2的焦点为F ，则可知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.又∵F 为△OAB 的垂心，∴AF ⊥OB ，即AF →·OB →＝0.又∵AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，p 2－2pb 2a 2，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2，∴4p 2b 2a 2＋2pb 2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫p －2pb 2a ＝0，整理得5a 2＝4b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋54＝32. 14．H6、H7 若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________．14．2 2 双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，所以－p2＝－2，故p＝2 2.5．H6，H8 过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.4 33 B ．23 C ．6 D ．435．D 易知双曲线的右焦点为F (2，0)，渐近线方程为y ＝±3x .将x ＝2代入渐近线方程，得y ＝±23，故|AB |＝43.6．H6、H7 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 6．D 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) 的渐近线是y ＝±ba x .因为一条渐近线过点(2，3)，所以2ba＝ 3.抛物线y 2＝47x 的准线是x ＝－7，因为双曲线的一个焦点在直线x ＝－7上，所以a 2＋b 2＝7，解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.9．H6 双曲线x 22－y 2＝1的焦距是________，渐近线方程是________．9．23 y ＝±22x c 2＝a 2＋b 2＝3⇒c ＝3，则焦距为23，渐近线方程为y ＝±22x .10．H6、E1 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)10．A 由题意得A (a ，0)，不妨取Bc ，b 2a ，Cc ，－b 2a ，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设D (x 0，0)，由BD ⊥AC 得b 2a －0c －x 0·b 2aa －c＝－1，解得c －x 0＝b 4a 2（c －a ），由题可知c －x 0＝b 4a 2（c －a ）<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ，所以b4a2<c 2－a 2＝b 2⇒b 2a 2<1⇒0<b a <1.因为双曲线渐近线的斜率为±ba ，所以渐近线斜率的取值范围是(－1，0)∪(0，1)．H7 抛物线及其几何性质20．F1、H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6. (1)求C 2的方程．(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD→同向． (i)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8， 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图所示，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(i)因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(ii)证明：由x 2＝4y 得y ′＝x2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214.令y ＝0，得x ＝x 12，即M x 12，0，所以FM →＝x 12，－1.而FA →＝(x 1，y 1－1)，于是FA →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1>0， 因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角． 故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．15．H6、H7 平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．15.32 设OA 所在的直线方程为y ＝b a x ，OB 所在的直线方程为y ＝－ba x ，抛物线C 2的焦点为F ，则可知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.又∵F 为△OAB 的垂心，∴AF ⊥OB ，即AF →·OB →＝0.又∵AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，p 2－2pb 2a 2，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2， ∴4p 2b 2a 2＋2pb 2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－2pb 2a 2＝0，整理得5a 2＝4b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋54＝32. 14．H6、H7 若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________．14．2 2 双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，所以－p2＝－2，故p＝2 2.10．H4，H7 设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)10．D 当直线l 与x 轴垂直，且0<r <5时，满足条件的直线有且仅有2。
(新课标)北京市2015届高考数学一轮复习 第5讲 不等式课后练习 理
第5讲 不等式经典精讲题一：解不等式|x 2－2x ＋3|<|3x －1|．题二：解关于x 的不等式|2x －1|<2m －1(m ∈R)．题三：求函数y x =的值域．题四：设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________题五：若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd．题六：已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mxx －1，试比较f (a )与f (b )的大小．题七：函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f (x )≤174对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．题八：已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1． (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．题九：设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x)的最大、最小值．题十：设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |．(1) 若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R，f (x )≥2，求a 的取值范围．题十一：证明：关于x 的不等式(3k －2)x 2＋2kx ＋k －1<0与(k 2－112)x 2＋kx ＋1>0，当k 为任意实数时，至少有一个恒成立．题十二：已知f (x )＝32x －(k ＋1)·3x＋2，对任意的x ∈R ，恒有f (x )>0，则k 的取值范围是( )．A ．(－∞, －1)B ．(－∞, 22－1)C ．(－1, 22－1)D ．(－22－1, 22－1)题十三：解关于x 的不等式x 2－2ax －3a 2>0．题十四：已知集合A ＝{x |2x 2－3x －2≤0}，B ＝{x |x 2－ax ＋3a ≤0，a ∈R}，且B ⊆A ，求a的取值范围．题十五：若不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是(－12，2)，则以下结论中：①a >0；②b <0；③c >0；④a ＋b ＋c >0；⑤a －b ＋c >0，正确结论的序号是( )． A ．①②③ B ．②③④ C ．②③⑤ D ．③⑤题十六：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，方程f (x )－x ＝0有两根x 1，x 2满足0<x 1<x 2<1a，当x∈(0，x 1)时，证明：x <f (x )<x 1．第5讲 不等式经典精讲题一： {x |1<x <4}．详解：原不等式⇔(x 2－2x ＋3)2<(3x －1)2⇔[(x 2－2x ＋3)＋(3x －1)][(x 2－2x ＋3)－(3x －1)]<0⇔(x 2＋x ＋2)(x 2－5x ＋4)<0 ⇔x 2－5x ＋4<0(因为x 2＋x ＋2恒大于0)⇔1<x <4． 所以原不等式的解集是{x |1<x <4}．题二： 当m ≤12时，解集为∅；当m >12时，解集为：{x |1－m <x <m }．详解:若2m －1≤0，即m ≤12，则|2x －1|<2m －1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m －1>0，即m >12．则－(2m －1)<2x －1<2m －1，所以1－m <x <m ． 综上所述：当m ≤12时，原不等式的解集为∅，当m >12时，原不等式的解集为：{x |1－m <x <m }．题三：．详解：函数y x =的定义域为，1]，设sin ()22x t t ππ=-≤≤，则原函数y x =可化为sin cos y t t =+)4t π+∵22t ππ-≤≤∴3444t πππ-≤+≤看图象（图2）可知sin()124t π-≤+≤∴1)4t π-≤+≤∴1y -≤≤即原函数的值域为]．题四：2105． 详解:依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32 · (2x ＋y 2)2，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105．当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 达到最大值2105．题五： 见详解．证明：∵bc －ad ≥0，bd >0，∴bc ≥ad ，1bd>0，∴c d ≥a b ．∴c d ＋1≥a b ＋1，即c ＋d d ≥a ＋b b ，即a ＋b b ≤c ＋dd．题六： 当m >0时，f (a )<f (b )；当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m <0时，f (a )>f (b )．详解: f (x )＝mxx －1＝m (1＋1x －1)，f (a )＝m (1＋1a －1)，f (b )＝m (1＋1b －1)．∵a >b >1，∴a －1>b －1>0，∴1＋1a －1<1＋1b －1．①当m >0时，m (1＋1a －1)<m (1＋1b －1)，即f (a )<f (b )；②当m ＝0时，f (a )＝f (b )；③当m <0时，m (1＋1a －1)>m (1＋1b －1)，即f (a )>f (b )．综上所述，当m >0时，f (a )<f (b )；当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m <0时，f (a )>f (b )．题七： 3≤a ≤4．详解:令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ＝－t 2＋t ＋a ＝－(t －12)2＋a ＋14，当t ＝12时，f (x )有最大值a ＋14，当t ＝－1时，f (x )有最小值a －2．故函数f (x )(x ∈R)的值域为[a －2，a ＋14]，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤174a －2≥1，解得3≤a ≤4．题八： (1)a ＝2，b ＝－5；(2) g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ；g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z ．详解: (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6．∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5．(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6 <2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z ．∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z ．题九： y mi n =－1；y max =0．详解:∵2(21log x )2+9(21log x )+9≤0∴(221log x +3)(21log x +3)≤0．∴－3≤21log x ≤－23． 即21log (21)－3≤21log x ≤21log (21)23-∴(21)23-≤x ≤(21)－3,∴22≤x ≤8即M ={x |x ∈［22,8］}又f (x )=(log 2x －1)(log 2x －3)=log 22x －4log 2x +3=(log 2x －2)2－1．∵22≤x ≤8 ∴23≤log 2x ≤3 ∴当log 2x =2，即x =4时，y mi n =－1；当log 2x =3，即x =8时，y max =0．题十： (1) ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞；(2) (－∞，－1]∪[3，＋∞)． 详解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|． 由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3． ① 当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32．②当－1<x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，此不等式不成立，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1f (x )≥3的解集为∅．③当x >1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >1，f (x )≥3的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞．综上得，f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞．(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件． 若a <1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －(a ＋1)，x ≥1. f (x )的最小值为1－a ．若a >1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －(a ＋1)，x ≥a .f (x )的最小值为a －1．所以∀x ∈R，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．题十一： 证明：由(3k －2)x 2＋2kx ＋k －1<0恒成立．①当k ＝23时，不等式变为43x －13<0，不恒成立，∴k ≠23．②当k ≠23时，对应抛物线恒在x 轴下方，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k －2<0，4k 2－k －k －⇒k <12．由(k 2－112)x 2＋kx ＋1>0恒成立，并有k 2≠112．∴对应抛物线恒在x 轴上方，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2－112>0，k 2－k 2－112⇒k <－13或k >13．由不等式(3k －2)x 2＋2kx ＋k －1<0恒成立或(k 2－112)x 2＋kx ＋1>0恒成立，∴k 的范围是{k |k <12}∪{k |k >13或k <－13}＝R ．∴k 为任意实数时，上述两个不等式至少有一个恒成立，命题得证．题十二： B ．详解:函数f (x )＝32x －(k ＋1)·3x ＋2是关于3x 的二次函数，记t ＝3x>0，函数转化成f (t )＝t 2－(k ＋1)t ＋2对任意的t >0，恒有f (t )>0．当Δ＝[－(k ＋1)]2－4×1×2<0，即(k ＋1)2－8<0时，条件成立， 所以－22－1<k <22－1；当Δ＝[－(k ＋1)]2－4×1×2≥0，k ≤－22－1或k ≥22－1时．由⎩⎪⎨⎪⎧k ＋12≤0，f＝2≥0解得k ≤－1，所以k ≤－22－1．综上所述，1k <，即)122,(--∞∈k ．题十三： 若a >0，则x >3a 或x <－a ；若a ＝0，则x ≠0，x ∈R ；若a <0，则x <3a 或x >－a ． 详解：原不等式可以化为：(x －3a )(x ＋a )>0， 若a >0即3a >－a ，则x >3a 或x <－a ；若a ＝0即3a ＝－a ，则x 2>0，x ≠0，x ∈R ； 若a <0即3a <－a ，则x <3a 或x >－a ．题十四： a ∈[－114，12)．详解：A ＝{x |－12≤x ≤2}，设f (x )＝x 2－ax ＋3a ，(1)当Δ＝a 2－4·3a <0，即0<a <12时，B ＝Ø，满足B ⊆A ；(2)当Δ＝a 2－12a ≥0，要使B ⊆A ，则f (x )＝x 2－ax ＋3a 的图象满足下图所示，即⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a 2≤2Δ＝a 2－12a ≥0f－12f，解得－114≤a ≤0，综上可得a ∈[－114，12)．题十五： C ．详解：∵不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是(－12，2)，∴方程ax 2－bx ＋c ＝0的根是－12，2，且a <0．由韦达定理，得b a ＝32>0，ca＝－1<0．∵a <0，∴b <0，c >0．又当x ＝1时，不等式成立，即得a －b ＋c >0．题十六： 证明：∵x 1、x 2是方程f (x )－x ＝0的两根，∴f (x )－x ＝a (x －x 1)(x －x 2)．∵x ∈(0，x 1)， ∴x －x 1<0，x －x 2<0，∵a >0，∴f (x )－x >0，即f (x )>x ．f (x )－x 1＝f (x )－x ＋x －x 1＝a (x －x 1)(x －x 2)＋(x －x 1)＝(x －x 1)(ax －ax 2＋1)．∵0<x 2<1a，∴ax 2<1，1－ax 2>0，ax >0，∴ax －ax 2＋1>0，x －x 1<0，∴(x －x 1)(ax －ax 2＋1)<0，f (x )－x 1<0，f (x )<x 1，综上所述：x <f (x )<x 1．。
【赢在高考】高考数学一轮复习 2.8配套练习
【赢在高考】2013届高考数学一轮复习 2.8配套练习1.若方程2210ax x --=在(0,1)内恰有一个解,则a 的取值范围是( )A.a<-1B.a>1C.-1<a<1D.01a ≤< 【答案】 B 【解析】 当a=0时,x=-1,不合题意,故排除C 、D.当a=-2时,方程可化为2410x x ++=,而1160∆=-<,无实根,故a=-2不适合,排除A.2.函数(1)lnx ()x f x -=的零点有( ) A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】 B 【解析】 由(1)lnx ()0x f x -==得x=1, ∴函数(1)lnx ()3x f x x -=-只有1个零点. 3.二次函数2y ax bx c =++中,ac<0,则函数的零点个数是 ( )A.1B.2C.0D.无法确定【答案】 B【解析】 ∵ac<0,∴240b ac ∆=->.∴二次函数与x 轴有两个交点.4.已知函数f(x)=2mx+4,若在[-2,1]上存在0x ,使0()0f x =,则实数m 的取值范围是 .【答案】 2m ≤-或1m ≥【解析】 由题意知0m ≠,∴f(x)=2mx+4是单调函数,又在[-2,1]上存在0x ,使0()0f x =,∴f(2)(1)0f -≤,即(-4m+4)(24)0m +≤,解得2m ≤-或1m ≥.5.已知函数f(x)=e 2x x a -+有零点,则a 的取值范围是 .【答案】 (2-∞,ln 2-2]【解析】 ∵f(x)=e 2x x a -+,∴f′(x)=e 2x -.令f′(x)=0,得x=ln 2.当x<ln 2时,f′(x)<0,函数f(x)在(-∞,ln 2)上是减函数当x>ln 2时,f′(x)>0,函数f(x)在(ln 2),+∞上是增函数.故min ()(f x f =ln 2)=2-2ln 2+a.若函数f(x)有零点,则min ()0f x ≤.即2-2ln 20a +≤,∴2a ≤ln 2-2.1.函数f(x)=lg 1x x-的零点所在的区间是( )A.(0,1]B.(1,10]C.(10,100]D.(100),+∞【答案】 B 【解析】 由于f(1)f(10)9(1)010=-⨯<,根据二分法得函数在区间(1,10]内存在零点. 2.函数y=f(x)在区间(-1,1)上的图象是连续的,且方程在(-1,1)上仅有一个实根0,则(1)(1)f f -⋅的值A.大于0B.小于0C.等于0D.无法确定【答案】 D 【解析】 由题意,知函数f(x)在(-1,1)上有零点0,该零点可能是变号零点,也可能是不变号零点,∴(1)(1)f f -⋅符号不定,如2()()f x x f x x =,=.3.函数32()22f x x x x =--+的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3 【答案】 D【解析】 2()(2)(f x x x x =---2)=2(2)(1)x x --. ∴函数f(x)有三个零点1,-1,2.4.函数f(x)=lnx +2x-1的零点个数为( )A.4B.3C.2D.1【答案】 D【解析】 在同一坐标系内分别作出函数y=lnx 与y=1-2x 的图象(图略),易知两函数图象有且只有一个交点,即函数-1+2x 只有一个零点.5.函数f(x)=ln 322x x -的零点一定位于区间( )A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】 A【解析】 由于f(1)f(2)=(ln 322)(-ln3-1)<0,故函数在区间(1,2)内必存在零点,选A.6.方程220x ax +-=在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围为( ) A.23()5-,+∞ B.(1),+∞ C.23[1]5-, D.23(]5-∞,-【答案】 C【解析】 令2()2f x x ax =+-,由题意,知函数f(x)图象与x 轴在[1,5]上有交点,且两交点的横坐标异号,则 (1)0(5)0f f ≤,⎧⎨≥.⎩ ∴2351a -≤≤.7.函数f(x)=πx+log 2x 的零点所在区间为( ) A.1[0]8, B.11[]84, C.11[]42, D.1[1]2,【答案】 C【解析】 代入可知,只有11()()042f f ⋅<,所以函数f(x)的零点在区间11[]42,上.8.若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是( )A.(-2,2)B.[-2,2]C.(1)-∞,-D.(1),+∞【答案】 A【解析】 由于函数f(x)是连续的,故只需两个极值异号即可f′2()33x x =-,令2330x -=,则1x =±,只需-<0,即(a+2)(a-2)<0,故(22)a ∈-,.9.(2012陕西宝鸡测试)下面是函数f(x)在区间[1,2]上一些点的函数值.由此可判断:方程f(x)=0的一个近似解为.(精确度0.1,且近似解保留两位有效数字)【答案】 1.4【解析】 ∵f(1.438)(1f ⋅.406 5)<0,且|1.438-1.406 5|=0.031 5<0.1,∴方程f(x )=0的一个近似解为1.4.10.已知方程12220x x a -+-=有两根,则a 的取值范围是 .【答案】 1()2,+∞ 【解析】 原方程可化为1222x x a -=-+,在同一坐标系内作函数12x y -=和y=22x -+的图象,如右图,要使方程有两根,必须两个函数的图象有两个交点.由于函数12x y -=的图象与y 轴的交点是1(0)2,,所以,当12a =时,抛物线的顶点与指数函数在y 轴的交点重合;当12a >时,它们必有两个交点. 11.若函数2()f x x axb =++的两个零点是-2和3,求不等式af(-2x)>0的解集.【解】 ∵函数2()f x x ax b =++的两个零点是-2,3.∴-2,3是方程20x ax b ++=的两根, 由根与系数的关系知 2323a b -+=-,⎧⎨-⨯=,⎩ ∴ 16a b =-,⎧⎨=-.⎩∴2()6f x x x =--.∵不等式af(-2x)>0,即22(426)0230x x x x -+->⇔+-<,∴所求解集为{x|312x -<<}. 12.是否存在这样的实数a,使函数2()(32)f x x a x =+-+a-1在区间[-1,3]上与x 轴恒有一个交点,且只有一个交点?若存在,求出其范围;若不存在,请说明理由.【解】 若实数a 满足条件,则只需(1)(3)0f f -⋅≤即可.(1)(3)(1321)(996f f a a a -⋅=-++-⋅+-+a-1)=4(1-a )(51)0a +≤,所以15a ≤-或1a ≥.检验:(1)当f(-1)=0时a=1,所以2()f x x x =+.令f(x)=0,即20x x +=,得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故1a ≠.(2)当f(3)=0时15a =-,此时2136()55f x x x =--.令f(x)=0,即2136055x x --=,解之,得25x =-或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故15a ≠-. 综上所述15a ,<-或a>1.13.若函数3()32f x x x =-+,(1)求f(x)的零点;(2)求分别满足f(x)<0,f(x)=0,f(x)>0的x 的取值范围;(3)画出f(x)的大致图象.【解】 3()32(f x x x x =-+=x-1)(x+1)-2(x-1)=22(1)(2)(1)(2)x x x x x -+-=-+.(1)令f(x)=0,得函数f(x)的零点为x=1或x=-2.(2)令f(x)<0,得x<-2;令f(x)>0,得-2<x<1或x>1,所以满足f(x)<0的x 的取值范围是(2)-∞,-;满足f(x)=0的x 的取值范围是{1,-2};满足f(x)>0的x 的取值范围是(21)(1-,⋃,)+∞(3)函数f(x)的大致图象如图所示:。
2015届高考数学一轮复习课时作业19(北师大版)含解析
课时作业(十九)一、选择题1．(2012年南昌质检)若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则其导数f ′(x )的图象大致是( )解析：∵f (x )＝x 2＋bx ＋c 图象的顶点在第四象限， ∴顶点的横坐标－b2>0，即b <0.又∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴f ′(x )是单调递增函数，且与y 轴的交点在负半轴上，故选A. 答案：A2．(2012年烟台模拟)函数f (x )＝x 2－2ln x 的递减区间是 ( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1)，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1]解析：函数的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x －2x＝2x ＋x －x，由f ′(x )≤0，解得0<x ≤1. 答案：A3．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上递增，在(π，2π)上递减D ．在(0，π)上递减，在(π，2π)上递增解析：f ′(x )＝1－cos x >0，∴f (x )在(0,2π)上递增． 答案：A4．(2012年南京二模)已知定义域为R 的函数f (x )满足：f (4)＝－3，且对任意x ∈R 总有f ′(x )<3，则不等式f (x )<3x －15的解集为( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：解法一：(数形结合法)：由题意知，f (x )过定点(4，－3)，且斜率k ＝f ′(x )<3.又y ＝3x －15过点(4，－3)，k ＝3，∴y ＝f ′(x )和y ＝3x －15在同一坐标系中的草图如图，∴f (x )<3x －15的解集为(4，＋∞)，故选D. 解法二：记g (x )＝f (x )－3x ＋15，则g ′(x )＝f ′(x )－3<0，可知g (x )在R 上为减函数． 又g (4)＝f (4)－3×4＋15＝0，∴f (x )<3x －15可化为f (x )－3x ＋15<0， 即g (x )<g (4)，结合其函数单调递减，故得x >4. 答案：D5．函数 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则 ( )A ．a ＝－3，b ＝3B ．a ＝4，b ＝－11C ．a ＝－4，b ＝11D ．a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3 解析：由 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ f＝0，f ＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a 2＋a ＋b ＋1＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3不适合，舍去．答案：B6．若函数 f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．0<a <1D ．0<a ≤1解析：∵f ′(x )＝3ax 2－3，由题意f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立．若a ≤0，显然有f ′(x )<0；若a >0，由f ′(x )≤0得－1a≤x ≤1a，于是1a≥1，∴0<a ≤1，综上知a ≤1.答案：B 二、填空题7．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的递增区间是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 由f ′(x )>0解得x <0，或x >2.答案：(－∞，0)，(2，＋∞)8．设a ∈R ，若函数y ＝e ax＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝e ax＋3x ，可求得f ′(x )＝3＋a e ax，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点，即f ′(x )＝3＋a e ax＝0有正根．当f ′(x )＝3＋a e ax＝0成立时，显然有a <0， 此时x ＝1aln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a .由x >0，解得a <－3，∴a 的取值范围为(－∞，－3)． 答案：(－∞，－3)9．若函数 f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是__________ .解析：求导，可求得 f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.函数 f (x )＝2x2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤k －1<12，k ＋1>12，解得1≤k <32.答案：1≤k <32三、解答题10．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x(x ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x. 令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x>0， ∵e x >0，∴－x 2＋2>0，解得－2<x < 2. ∴函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)． (2)∵函数f (x )在(－1,1)上单调递增， ∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)恒成立． ∵f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x，∴[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x≥0对x ∈(－1,1)恒成立． ∵e x>0，∴－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)恒成立，即a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋2－1x ＋1＝x ＋1－1x ＋1对x ∈(－1,1)恒成立．令y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋1x ＋2>0，∴y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增． ∴y <1＋1－11＋1＝32，∴a ≥32. 11．(2012年北京东城区调研)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． 解：(1)f ′(x )＝2ax ＋b x. ∵f (x )在x ＝1处有极值12，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝12，f＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，2a ＋b ＝0.解之得a ＝12且b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x＝x ＋x －x.由f ′(x )<0，得0<x <1； 由f ′(x )>0，得x >1.所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)． 12．(2012年开封二模)设函数f (x )＝(2x ＋1)ln (2x ＋1)． (1)求f (x )的极小值；(2)若x ≥0时，有f (x )≥2ax 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞， ∴f ′(x )＝2ln (2x ＋1)＋2，若f ′(x )>0，则ln (2x ＋1)>－1，∴x >12⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1，若f ′(x )<0，则ln (2x ＋1)<－1，∴－12<x <12⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1，∴当x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1时，∴f (x )极小值＝－1e，(2)令g (x )＝(2x ＋1)ln (2x ＋1)－2ax ， 则g ′(x )＝2(ln (2x ＋1)＋1－a )．令g ′(x )＝0，则ln (2x ＋1)＝a －1，x ＝12(e a －1－1)，g ′(x )>0时，则ln (2x ＋1)>a －1，x >12(e a －1－1)， g ′(x )<0时，则ln (2x ＋1)<a －1，－12<x <12(e a －1－1)．①当a ≤1时，a －1≤0，e a －1≤e 0＝1.∴12(e a －1－1)≤0. 即当x ≥0时，有x ≥12(e a －1－1)，g ′(x )≥0恒成立．∴g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝0，∴g (x )≥g (0)＝0成立，即a ≤1时，对x ≥0，有f (x )≥2ax . ②当a >1时，a －1>0，ea －1>e 0＝1，∴12(e a －1－1)>0，当x ∈[0，12(e a －1－1))时，有g ′(x )<0恒成立，g (x )在[0，12(e a －1－1))上单调递减，又g (0)＝0，∴当x ∈[0，12(e a －1))时，g (x )≤g (0)＝0成立．即当a >1时，不是所有x ≥0，都有f (x )≥2ax ， 综合①②知，当a ∈(－∞，1]时，f (x )≥2ax 恒成立． [热点预测]13．f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的可导的奇函数，且满足xf ′(x )<0，f (1)＝0，则不等式f (x )<0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0，＋∞)解析：由xf ′(x )<0，知当x >0时，f ′(x )<0，即函数在(0，＋∞)内单调递减，而f (1)＝0，故当x >0时，由f (x )<0，可得x >1，又因为函数为奇函数，故当x <0时，不等式f (x )<0的解集为－1<x <0，故选B.答案：B14．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3， ∴f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)．令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0. ∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实根． 即Δ＝4a 2－4a －8>0，∴a >2或a <－1. 答案：a >2或a <－115．已知函数f (x )＝ln (ax ＋1)＋1－x1＋x (x ≥0，a 为正实数)．(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln (x ＋1)＋1－x1＋x ，则f ′(x )＝1x ＋1＋－2＋x2，所以f ′(1)＝0.又f (1)＝ln 2，因此所求的切线方程为y ＝ln 2.(2)f ′(x )＝aax ＋1＋－2＋x2＝ax 2＋a －2ax ＋＋x2.①当a －2≥0，即a ≥2时，因为x ≥0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增．②当a －2<0，即0<a <2时，令f ′(x )＝0， 则ax 2＋a －2＝0(x ≥0)， 所以x ＝2－aa.因此，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0， 2－a a 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2－a a，＋∞时，f ′(x )>0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2－a a，＋∞，函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2－a a .综上所述，当a ≥2时，f (x )的递增区间是[0，＋∞)；当0<a <2时，f (x )的递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2－a a，＋∞，它的递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2－a a .。
2015届高考数学(文)一轮复习课时作业29(北师大版)Word版含解析
课时作业(二十九)一、选择题1．如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE → C.AD →D.CF →解析：BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →. 答案：D2．(2013年日照期末)如图所示，已知AB →＝2 BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下面等式中成立的是( )A ．c ＝32b －12a B ．c ＝2b －a C ．c ＝2a －b D ．c ＝32a －12b解析：由AB →＝2BC →得AO →＋OB →＝2(BO →＋OC →)， 即2OC →＝－OA →＋3OB →，即c ＝32b －12a . 答案：A3．(2012年辽宁)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下列结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b解析：由向量a 、b 加法和减法的几何意义知，|a ＋b |与|a －b |分别对应着以两向量为邻边所作的平行四边形的两条对角线长，由|a ＋b |＝|a －b |知，平行四边形为矩形，故有a ⊥b .答案：B4．(2012年开封二模)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A ．－13B ．－23 C.13 D.23解析：据向量运算的几何意义，画图如右图所示．其中D 、E 分别是AB 和AC 的三等分点，以EC 和ED 为邻边作平行四边形，得CF →＝23CB →.故λ＝23，所以选D.答案：D5．(2013年太原五中月考)若O 为△ABC 所在平面内一点，且3OA →＋4OB →＋7 OC →＝0，则△OAB 和△ABC 的面积之比为( )A.14B.13C.12D.25解析：将3OA →＋4OB →＋7OC →＝0变形为7(OA →＋OC →)＝4(OA →－OB →)．如图：以OA 和OC 为邻边所作的平行四边形的对角线OD 和AB 平行．显然OD 交AC 于AC 的中点E ，故O 到AB 的距离是C 到AB 距离的一半，所以△OAB 和△ABC 的面积之比为12.故选C.答案：C6．(2013年延边质检)在△ABC 中用AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A.911B.511C.411D.311解析：由AP →＝mAB →＋211AC →得AP →＝mAB →＋211×4AN →＝mAB →＋811AN →，因为点B 、P 、N 三点共线，所以m ＋811＝1，即m ＝311.答案：D 二、填空题7．设e 1、e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值为________．解析：AB →＝2e 1＋k e 2，BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2. 由AB →∥BD →，知2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)， ∴⎩⎨⎧λ＝2，－4λ＝k .则k ＝－8. 答案：－88．在△ABC 中，CA →＝a ，CB →＝b ，M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN 、AM 交于点P ，则AP →＝________(用a ，b 表示)．解析：如图所示，AP →＝AC →＋CP →＝－CA →＋23CN →＝－CA →＋23×12(CA →＋CB →) ＝－CA →＋13CA →＋13CB → ＝－23CA →＋13CB →＝－23a ＋13b . 答案：－23a ＋13b9．(2012年济南模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且DC →＝3DE →，BC →＝3BF →，若AC →＝mAE →＋nAF →，其中m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________.解析：AC →＝AD →＋AB →＝AE →＋ED →＋AF →＋FB →＝AE →＋13CD →＋AF →＋13CB →＝AE →＋13(AD →－AC →)＋AF →＋13(AB →－AC →)＝AE →－13AC →＋AF → ∴AC →＝34AE →＋34AF →.则m ＋n ＝34＋34＝32. 答案：32 三、解答题10．设两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线．证明：AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →.∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．11．如图所示，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →) ＝12(BN →＋NC →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →， 又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →， 即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.12．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一直线上？ (2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |的值最小？ 解：(1)设a －t b ＝m [a －13(a ＋b )]，m ∈R ， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫23m －1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3－t b ，∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23m －1＝0m 3－t ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一直线上．(2)|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos 60°＝(1＋t 2－t )|a |2. ∴当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |. [热点预测]13．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对解析：由已知AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →.∴AD →∥BC →，又AB →与CD →不平行，∴四边形ABCD 是梯形． 答案：C14．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上． 其中不正确的个数为________．解析：①中，∵向量AB →与BA →为相反向量， ∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．答案：315．已知两个不共线的向量OA →，OB →的夹角为θ，且|OA →|＝3.若点M 在直线OB 上，且|OA →＋OM →|的最小值为32，则θ的值为________．解析：如图，作向量AN →＝OM →，则OA →＋OM →＝ON →，其中点N 在直线AC 上变化，显然当ON ⊥AC 时，即点N 到达H 时，|ON →|有最小值，且∠OAH ＝θ，从而sin θ＝323＝12，故θ＝π6或θ＝5π6(根据对称性可知钝角也可以)． 答案：π6或56π。
【赢在高考】高考数学一轮复习 阶段检测评估(二)配套练习
【赢在高考】2013届高考数学一轮复习 阶段检测评估(二)配套练习(时间:120分钟,满分:150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知一扇形的半径为r,周长为3r,则该扇形的圆心角等于 ( )A.3πB.1C.23πD.3【答案】 B2.在梯形ABCD 中,AB ∥CD,且|AB|λ=|DC|,设AB =a AD ,=b ,则AC 等于( )A.λa +bB.a λ+bC.1λa +bD.a 1λ+b 【答案】 C【解析】 AC AD DC =+=b 1AB λ+=b 1λ+a .故选C. 3.已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60circ ,那么|a +3b |等于D.4 【答案】 C【解析】 ∵|a +3b |2=|a |26+a ⋅b +9|b |21611=+⨯⨯⨯cos60°+9=13,∴|a +3b |4.若cos(-100°)=k,则tan80°等于( )B.【答案】 B【解析】 ∵cos(-100°)=cos100°=cos(180°-80°)=-cos80°=k,∴cos80°=-k.∴sin80°==∴tan80°sin80cos80︒==︒. 5.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin ()6t πω+(A>00)ω,≠的图象如图所示,则当150t =时,电流强度是… ( )A.-5安B.5安C. D.10安【答案】 B【解析】 由图象知11050A T =,=.则2100T πω==π.∴I=10sin(100π)6t π+, 当150t =时,I=10sin(2π)56π+=.6.如图,在四边形ABCD 中,设AB =a ,AD =b , BC =c ,则DC 等于( )A.a -b +cB.b -(a +c )C.a +b +cD.b -a +c【答案】 A7. 若O 为△ABC 所在平面内一点,且满足(－)·(+－2)=0则△ABC 的形状是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三形【答案】 B【解析】设△ABC 中BC 边上的中点为D , ∵OB －OC =CB , OB +OC －2OA = OB －OA +OC －OA =AB +AC =2AD , 又∵CB ·2AD =0,∴⊥.则△ABC 为等腰三角形.8.已知函数f(x)=sinx-cos x x ,∈R ,则把导函数f′(x)的图象向左平移4π个单位后得到的函数是( )A.y cosxB.y =C.y sinxD.y =【答案】 A9.已知向量a =(1,2),b =(-2,-4),|c |若(a +b )⋅c =52,则a 与c 的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】 C【解析】 由题意知a +b =(-1,-2),设a +b 与c 的夹角为θ,∴(a +b )⋅c 52=⇒|a +b ||c |cos 52θ=.∴cos 12θ=.∴60θ=°.又a +b =(-1,-2)与a =(1,2)共线且方向相反.∴a 与c 的夹角为120°.10.已知向量a =(cos 2α,sin )α,b =(1,2sin 1)(4παα-,∈,π),若a ⋅b 25=,则tan ()4πα+的值为( ) A.13 B.27 C.17 D.23【答案】 C【解析】 由a ⋅b 25=,得cos 2α+sin (2αsin 21)5α-=,又cos 212α=-sin 2α,即1-2sin 22α+sin 2α-sin 25α=,有sin 35α=.若(]42ππα∈,,则sin 35α>>, 所以(2πα∈,π),则tan 34α=-.所以tan 1()47πα+=,选C.11.下列各式:①|a |=②(a ⋅b )⋅c =a (⋅b ⋅c );③OA OB BA -=;④在任意四边形ABCD 中,M 为AD 的中点,N 为BC 的中点,则2AB DC MN +=;⑤a =(cos α,sin )α,b =(cos β,sin )β,且a 与b 不共线,则a +b (⊥a -b ). 其中正确的个数有( )A.1B.2C.3D.4 【答案】 D【解析】 |a ;(a ⋅b )⋅c ≠a (⋅b ⋅c ); OA OB BA -=正确;如图所示,MN MD DC CN =++且MN MA AB BN =++,两式相加可得2MN AB DC =+,即命题④正确;∵a ,b 不共线,且|a |=|b |=1,∴a +b ,a -b 为菱形的两条对角线,即得(a +b )⊥(a -b )∴命题①③④⑤正确.12.设a 12()a a =,,b 12()b b =,.定义一种向量积:a ⊗b 12121122()()()a a b b a b a b =,⊗,=,.已知m 1(2)2=,,n (0)3π=,,点P(x,y)在y=sinx 的图象上运动,点Q 在y=f(x)的图象上运动,满足OQ =m OP ⊗+n (其中O 为坐标原点),则y=f(x)的最大值A 及最小正周期T 分别为 ( )A.2π,B.24π,C.142π,D.12π, 【答案】 C【解析】 设0000()()()Q x y OQ x y OP x y ,,=,,=,,∵OQ =m OP ⊗+n , ∴00111()(2)()(0)(2)(0)(2)232332x y x y x y x y πππ,=,⊗,+,=,+,=+,,∴ 002312x x y y π⎧=+,⎪⎨⎪=,⎩∴ 001262x x y y π⎧=-,⎪⎨⎪=.⎩代入y=sinx 中,得02y =sin 1()026x π-,∴y=f(x)的最大值为12,周期为4π,选C.第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.函数y=tan 3(2)4x π-的单调区间是 . 【答案】 5()(2828k k k ππππ+,+∈Z )【解析】 y=-tan 3(2)4x π-,由k π3224x k ππ-<-<π(2k π+∈Z ), 得5(2828k k x k ππππ+<<+∈Z ).14.化简(tan10°cos10sin50︒⋅=︒ .【答案】 -2【解析】原式sin10cos10(cos10sin50︒︒=⋅︒︒2sin502sin50-︒===-︒.15.向量a 、b 满足(a -b )(2⋅a +b )=-4,且|a |=2,|b |=4,则a 与b 夹角的余弦值等于 .【答案】 12-【解析】 设a 与b 的夹角为θ.由(a -b )(2⋅a +b )=-4,得2|a |2-a ⋅b -|b |24=-,2|a |2-|a ||b |cos θ-|b |24=-.又∵|a |=2,|b |=4,∴cos 12θ=-.16.(2012山东济南质检)在△ABC 中290AB BC A ,==,∠=°,如果不等式|BA tBC -|≥|AC |恒成立,则实数t 的取值范围是 .【答案】 1(][1)2-∞,⋃,+∞【解析】 由290AB BC A ==,∠=°可知30B ∠=°,则由题意知|BA |22t +|BC |22tBA BC -⋅≥|AC |2,即24620t t -+≥,解得1t ≥或12t ≤. 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c,设向量m =(a,b),n =(sinB,sinA),p =(b-2,a-2).(1)若m ∥n ,求证:△ABC 为等腰三角形;(2)若m p ⊥,边长c=2,角3C π=,求△ABC 的面积 【解】 (1)证明:∵m ∥n ,∴asinA=bsinB, 即22a b a b R R⋅=⋅, 其中R 是△ABC 外接圆半径,∴a=b.∴△ABC 为等腰三角形.(2)由题意可知m p ⋅=0,即a(b-2)+b(a-2)=0.∴a+b=ab.由余弦定理可知2224()3a b ab a b ab =+-=+-,即2()340ab ab --=,∴ab=4(舍去ab=-1).∴△ABC 的面积12S ab =sin 142C =⋅⋅sin 3π=.18.(本小题满分12分)已知向量a =cosx,cosx),b =(0,sinx),c =(sinx,cosx),d =(sinx,sinx).(1)当4x π=时,求向量a 、b 的夹角; (2)当[0]2x π∈,时,求c d ⋅的最大值.【解】 (1)∵4x π=,∴a =,b (0=,则a ⋅b 1(02=⋅=,cos<a , b >1212a b a b ⋅===||||.∴向量a ,b 的夹角为3π.(2)⋅c d =(sinx,cos )(x ⋅sinx,sinx)=sin 2x +sinxcosx1cos2x sin2x 22-=+11(22=+sin2x-cos2x)12=+sin (2)4x π-. ∵[0]2x π∈,,∴32444x πππ-≤-≤. 当242x ππ-=,即38x π=时,c d ⋅19.(本小题满分12分)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且5AB AD ⋅=,|AD |210=.(1)求D 点的坐标;(2)用AB AD ,表示AC .【解】 (1)设D(x,y),则(12)(1)AB AD x y =,,=+,.∴12AB AD x y ⋅=++=5, ①|AD |222(1)10x y =++=. ②联立①②,解得 23x y =-,⎧⎨=,⎩ 或 21x y =,⎧⎨=.⎩∴D 点的坐标为(-2,3)或(2,1).(2)当D 点的坐标为(-2,3)时(12)(13)(21)AB AD AC ,=,,=-,,=-,,设AC mAB nAD =+,则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3).∴ 2123m n m n -=-,⎧⎨=+.⎩∴ 11m n =-,⎧⎨=.⎩∴AC AB AD =-+.当D 点的坐标为(2,1)时,设AC pAB qAD =+,则(-2,1)=p(1,2)+q(3,1),∴ 2312p q p q -=+,⎧⎨=+.⎩∴ 11p q =,⎧⎨=-,⎩∴AC AB AD =-.∴当D 点的坐标为(-2,3)时AC AB AD ,=-+;当D 点的坐标为(2,1)时AC AB AD ,=-.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cosxsin ()3x π+-2x +sinxcosx. (1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的最大值及最小值;(3)写出f(x)的单调递增区间.【解】 f(x)=2cos 1(2x sin x +)x -cos2x)+12sin2x12=sin 2x 2x cos 122x +sin2x=sin 2x (2)3x π+. (1)函数f(x)的最小正周期22T π==π. (2)当sin (2)13x π+=, 即223x k π+=π(2k π+∈Z ),x=k π(12k π+∈Z )时,f(x)有最大值2; 当sin (2)13x π+=-,即223x k π+=π(2k π-∈Z ),x=k π-5(12k π∈Z )时,f(x)有最小值-2. (3)由2k π2223x k ππ-≤+≤π(2k π+∈Z ), 解得k π512x k π-≤≤π12k π+,∈Z .∴f(x)的单调递增区间是[k π512k π-,π]12k π+,∈Z . 21.(本小题满分12分)已知O 为坐标原点,向量(OA =sin 1)(OB α,,=cos 0)(OC α,,=-sin 2)α,,点P 满足AB BP =.(1)记函数()()82f PB CA ππαα=⋅,∈-,,讨论函数()f α的单调性,并求其值域;(2)若O,P,C 三点共线,求|OA OB +|的值.【解】 (1)(AB =cos α-sin 1)α,-,设()OP x y =,,则(BP x =-cos )y α,.由AB BP =得x=2cos α-sin 1y α,=-,故(2OP =cos α-sin 1)α,-.(PB =sin α-cos 1)(2CA α,,=sin 1)α,-,()(f PB CA α=⋅=sin α-cos 1)(2α,⋅sin 1)α,-2= sin 22α-sin αcos 1α-(=-sin 2α+cos 2)α=(2)4πα+, 又()82ππα∈-,,故50244ππα<+<. 当0242ππα<+≤,即88ππα-<≤时()f α,单调递减; 当52244πππα<+<,即82ππα<<时()f α,单调递增. 故函数()f α的单调递增区间为()82ππ,,单调递减区间为(]88ππ-,,因为sin (2)(1]4πα+∈,故函数()f α的值域为[1).(2)(2OP =cos α-sin 1)(OC α,-,=-sin 2)α,,由O,P,C 三点共线可得(1)(-⨯-sin )2(2α=⨯cos α-sin )α, 得tan 43α=,sin2α2sin cos 2tan 2422225sin cos 1tan αααααα===++.|OA OB +|==.22.(本小题满分10分)已知函数f(x)=asinx+bcosx 的图象经过点(0)3π,和(1)2π,.(1)求实数a 和b 的值;(2)当x 为何值时,f(x)取得最大值?【解】 (1)依题意,有1()032()12f b f a ππ⎧=+=⎪⎨⎪==⎩1a b ⇒=,=(2)由(1)知f(x)=sin x ()3x π-.因此,当23x k π-=π(2k π+∈Z ),即x=2k π+5(6k π∈Z )时,f(x)取得最大值2.。
2015届高考数学(文)一轮复习课时作业68(北师大版)Word版含解析
课时作业(六十八)一、选择题1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是 ( )A ．两个圆B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线解析：原方程等价于ρ＝1或θ＝π，前者是半径为1的圆，后者是一条射线． 答案：C2．(2012年深圳一模)在极坐标系下，已知圆C 的方程为ρ＝2cos θ，则下列各点在圆C 上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4 解析：代入验证ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1，故A 正确．答案：A3．直线ρcos θ＝2关于直线θ＝π4对称的直线方程为 ( )A ．ρcos θ＝－2B ．ρsin θ＝2C ．ρsin θ＝－2D ．ρ＝2sin θ解析：∵直线x ＝2关于直线y ＝x 的对称直线是y ＝2， ∴ρsin θ＝2. 答案：B4．设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵曲线C 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.而l 为x －3y ＋2＝0，∴圆心(2，－1)到l 的距离d ＝|2＋3＋2|1＋9＝710＝71010.∴曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为2. 答案：B5．若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，则直线l 的倾斜角的余弦值为( )A.45 B ．－45 C.35D ．－35解析：由⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)得直线方程为4x ＋3y －10＝0，且斜率为k ＝－43，令直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－43，所以cos α＝－35.答案：D6．已知点P 是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为π4，则点P 坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，－125 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫512，512 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－512，512 解析：由⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(0≤θ≤π)，可得x 29＋y 216＝1(0≤y ≤4)，由于直线OP 的方程为y ＝x ，那么由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 216＝1(0≤y ≤4)，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝125，y ＝125.答案：A 二、填空题7．(2012年陕西)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________． 解析：直线2ρcos θ＝1，即为2x ＝1，且ρ＝2cos θ，即为(x －1)2＋y 2＝1，如图可得弦长为 3.答案： 38．(2012年湖北)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．解析：由极坐标方程可知，θ＝π4表示直线y ＝x ，而⎩⎨⎧ x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2表示y ＝(x －2)2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)．联立⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝(x －2)2可得，x 2－5x＋4＝0，可得x 1＋x 2＝5.即x 0＝y 0＝x 1＋x 22＝52，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫52，529．(2012年广东)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由C 1得y ＝x ，即y 2＝x (y ≥0)． ① 由C 2得x 2＋y 2＝2.②由①②联立⎩⎨⎧ y 2＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.答案：(1,1) 三、解答题10．(2012年辽宁)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ. 解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3. 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.(2)由⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1.y ＝t (－3≤t ≤3)．11．(2012年东北三校联考)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． 解：(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ， 又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(2)将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得y ＝－43(x －2)， 令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)． 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1，则|MC |＝5， 所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1.12．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得圆的直角坐标方程为x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2－32t ＋4＝0. 由Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点(3，5)，故结合t 的几何意义得，|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.[热点预测]13．在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线l 与圆ρ＝4相交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则直线l 的极坐标方程为______．解析：设极点为O ，由该圆的极坐标方程为ρ＝4，知该圆的半径为4，又直线l 被该圆截得的弦长|AB |为4，所以∠AOB ＝60°，∴极点到直线l 的距离为d ＝4×cos 30°＝23，所以该直线的极坐标方程为ρcos θ＝2 3.答案：ρcos θ＝2 314．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线l ：ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标为________．解析：求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线l ：ρcos θ＝1的对称点，即求点(0,2)关于直线x＝1的对称点，即(2,2)，化为极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π415．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标； (2)若直线l 与曲线C 的相交弦长为23，求直线l 的参数方程． 解：(1)直线l 的普通方程为y －1＝－1(x ＋1)，即 y ＝－x ，①曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.② ①代入②得：2x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝2. ∴A (0,0)，B (2，－2)，极坐标为A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4.(2)由题意可得，圆心C (2,0)到相交弦的距离为22－(3)2＝1，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，则y ＝kx ＋k ＋1，∴|2k ＋k ＋1|k 2＋1＝1，∴k ＝0或k ＝－34. ∴l ：⎩⎨⎧x ＝－1＋t ，y ＝1(t 为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．。
【赢在高考】高考数学一轮复习 3.2配套练习
【赢在高考】2013届高考数学一轮复习 3.2配套练习1.函数f(x )=-x 3+1的单调递减区间是( )A .RB.∅C.(0,+∞)D.(-∞,0)【答案】 A【解析】 ∵f ′(x )=-3x 2≤0,∴函数f(x )在R 上单调递减. 2.（2012陕西宝鸡测试）函数y=x +2cos x 在［0，2π］上取得最大值时，x 的值为( )A.0B.6πC.3πD.2π【答案】 B【解析】方法一：代入则可比较得f(6π)=6π+2cos 6π=6πB. 方法二：y ′=(x +2cos x )′=1-2sin x ，令1-2sin x =0，且x ∈［0，2π时，x =6π，当x ∈［0，6π)时，f ′(x )>0，f(x )单调递增；当x ∈［6π，2π］时，f ′(x )≤0，函数f(x )单调递减， ∴f(x ) max =f(6π).故选B.3.已知f(x )=2x 3-6x 2+m (m 为常数)在［-2，2］上有最大值3，那么此函数在［-2，2］上的最小值是( )A.-37B.-29C.-5D.以上都不对 【答案】 A【解析】 ∵f ′(x )=6x 2-12x =6x (x -2),f(x )在［-2，0)上为增函数，在(0，2］上为减函数，∴当x =0时，f(x )=m 最大. ∴m =3.从而f(-2)=-37,f(2)=-5,-37.4.面积为S 的一矩形中，其周长最小时的边长是 .【答案】【解析】 设矩形的一边边长为x ，则另一边边长为Sx，其周长为l=2x +2S x ，x >0，l ′=2-22Sx.令l ′=0，解得x =易知，当x .5.已知函数f(x )=a ln x +x 在区间［2，3］上单调递增，则实数a 的取值范围是 .【答案】 ［-2,+∞) 【解析】 ∵f(x )=a ln x +x , ∴f ′(x )=ax+1.又∵函数f(x )在［2，3］上单调递增，∴ax+1≥0在x ∈［2,3］上恒成立. ∴a ≥(-x )max =-2. ∴a ∈［-2,+∞).1.函数f(x )=1+x -sin x 在(0，2π)上是( ) A.增函数 B.减函数C.在(0，π)上增，在(π，2π)上减D.在(0，π)上减，在(π，2π)上增【答案】 A【解析】 f ′(x )=1-cos x >0,∴函数f(x )在(0，2π)上单调递增，故选A .2.函数f(x )=x 3+3x 2+4x -a 的极值点的个数是( ) A.2 B.1 C.0D.由a 确定【答案】 C 【解析】f ′(x )=3x 2+6x +4=3(x +1)2+1>0，则f(x )在R 上是增函数，故不存在极值点.3.若函数y=a (x 3-x )在区间(-3，3)上为减函数，则a 的取值范围是( ) A.a >0B.-1<a <0C.a >1D.0<a <1【答案】 A【解析】 y ′=a (3x 2-1),∵该函数在，)上为减函数，∴y ′≤0在(-3，3)上恒成立. ∵3x 2-1<0,∴a ≥0.当a =0时，此函数为常数函数，不合题意，∴a >0.4.若a >3，则方程3-ax 2+1=0在(0，2)上恰有…( ) A.0个根 B.1个根 C.2个根 D.3个根【答案】 B【解析】 令f(x )=x 3-ax 2+1, 则f ′(x )=3x 2－2ax =3x (x －32a ). 由f ′(x )=0，得x =0或x =32a (∵a >3,∴32a >2), ∴当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )在(0，2)上单调递减.又f (0)·f (2)=8－4a +1=9－4a <0, ∴f (x )在(0，2)上有一个零点， 即方程在(0，2)上有一实根，故选B.5. 已知函数y =f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为A.(－∞,21)∪(21,2)B.(－∞,0)∪(21,2)C.(－∞,21)∪(21,+∞)D.(－∞,21)∪(2,+∞)【答案】 B【解析】由y =f (x )图象的单调性可得f ′(x )在(－∞,21)∪(2,+∞)上大于0，在(21，2)上小于0，∴xf ′(x )<0的解集为(－∞,0)∪(12,2). 6.已知函数f(x )=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值10，则f(2)等于( ) A.11或18 B.11 C.18D.17或18【答案】C 【解析】∵函数f(x )=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值10，∴f(1)=10，且f ′(1)=0,即2110320.a b a a b ⎧+++=⎨++=⎩， 解得34,311.a ab b =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩，或 而当33a b =-⎧⎨=⎩，时，函数在x =1处无极值，故舍去.∴f(x )=x 3+4x 2-11x +16.∴f(2)=18.7.若函数f(x )=x 3-6bx +3b 在(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(0,12) 【答案】D【解析】 ∵f ′(x )=3x 2-6b ,由题意，函数f ′(x )的图象如下.∴⎩⎨⎧>'<',0)1(,0)0(f f即⎩⎨⎧>-<-,063,06b b 得0<b <21.8.函数f(x )= 12x 2-ln x 的最小值为. 【答案】 12【解析】由()1f 0,0x x x x ⎧'=->⎪⎨⎪>⎩，得x >1.由()1f 0,0x x x x ⎧'=-<⎪⎨⎪>⎩，得0<x <1， ∴函数f(x )在x =1时，取得最小值f(1)=12-ln1=12. 9.若函数f(x )=x 3+x 2+mx +1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是 . 【答案】 m ≥13【解析】 f ′(x )=3x 2+2x +m. ∵f(x )在R 上是单调递增函数， ∴f ′(x )≥0在R上恒成立，即3x 2+2x +m ≥0. 由Δ=4-4×3m ≤0，得m ≥13. 10.直线y=a 与函数f(x )=x 3-3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是 . 【答案】 (-2,2)【解析】 令f ′(x )=3x 2-3=0, 得x =±1,可求得函数f(x )的极大值为f(-1)=2. 极小值为f(1)=-2,如图所示，-2<a <2时，两函数图象恰有三个不同的公共点.11.(2012河南郑州测试)给出定义：若函数f(x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f(x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )=［f ′(x )］′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f(x )在D 上为凸函数.以下四个函数在(0，2π)上不是凸函数的是 .(把你认为正确的序号都填上)①f(x )=sin x +cos x ；②f(x )=ln x -2x ；③f(x )=-x 3+2x -1；④f(x )=x e x.【答案】④【解析】 对于①，f ″(x )=-(sin x +cos x ),x ∈(0, 2π)时，f ″(x )<0恒成立；对于②，f ″(x )=- 21x，在x ∈(0，2π)时，f ″(x )<0恒成立；对于③，f ″(x )=-6x ，在x ∈(0，2π)时，f ″(x )<0恒成立； 对于④，f ″(x )=(2+x )·e x，在x ∈(0，2π)时，f ″(x )>0恒成立，所以f(x )=x e x不是凸函数.12.设函数f(x )=x 3-3ax +b (a ≠0).(1)若曲线y=f(x )在点(2，f(2))处与直线y=8相切，求a ,b 的值； (2)求函数f(x )的单调性与极值点.【解】 (1)f ′(x )=3x 2-3a ,因为曲线y=f(x )在点(2，f(2))处与直线y=8所以⎩⎨⎧==',8)2(,0)2(f f 即⎩⎨⎧=+-=-.868,0)4(3b a a 解得a =4,b =24.(2)f ′(x )=3(x 2－a )(a ≠0).当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞,+∞)上单调递增；此时函数f (x )没有极值点. 当a >0时，由f ′(x )=0得x =±a .当x ∈(－∞,－[KF (]a [KF )])时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ,a )时，f ′(x )<0,函数f (x )单调递减; 当x ∈(a ,+∞)时，f ′(x )>0,函数f (x )单调递增. 此时x =－a 是f (x )的极大值点，x =a 是f (x )的极小值点.13.(2011山东高考,理21)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为803π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为y 千元.(1)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r. 【解】 (1)设容器的容积为V, 由题意知V=π243l +π3,又803V π=,故343222r 80204433r 3()V r r l r r ππ-==-=-. 由于2l r ≥,因此02r <≤. 所以建造费用y=2π34rl ⨯+π22c =π22043(r r ⨯-)r ⨯π2c .因此y=4π(c-216002r r π+,<≤. (2)由(1)得y′=8π228(c 2)160(2)(rrc r rππ---=3202)02c r --,<<. 由于c>3,所以c-2>0.当32020c --=时r ,=.m =,得m>0,所以y′28(c 2)()(rr m rπ-=-2rm m++2).①当0<m<2即92c >时, 当r=m 时,y′=0; 当(0)r m ∈,时,y′<0; 当(2)r m ∈,时,y′>0.所以r=m 是函数y=4π2160(2)02r c r r π-+,<≤的极小值点,也是最小值点. ②当2m ≥即923c <≤时, 当(02)r ∈,时,y′<0,函数单调递减.所以r=2是函数y=4π2160(2)02r c r r π-+,<≤的最小值点.综上所述,当923c <≤时,建造费用最小时r=2;当92时,建造费用最小时r =14. 已知a ≥0,函数f (x )=(x 2－2ax )e x.(1)当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； (2)设f (x )在［－1，1］上是单调函数，求a 的取值范围. 解：(1)对函数f (x )求导数，得f ′(x )=(x 2－2ax )e x +(2x －2a )e x =［x 2+2(1－a )x －2a ］e x .令f ′(x )=0,得［x 2+2(1－a )x －2a ］e x=0,从而x 2+2(1－a )x －2a =0. 解得x 1=a －1－21a +,x 2=a －1+21a +,其中x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：即f (x )在x =x 1处取到极大值，在x =x 2处取到极小值.当a ≥0时，x 1<－1,x 2≥0,f (x )在(x 1,x 2)上为减函数，在(x 2,+∞)上为增函数,而当x <0时，f (x )=x (x －2a )e x>0;当x =0时，f (x )=0. 所以当x =a －1+21a +时，f (x )取得最小值.(2)当a ≥0时，f (x )在［－1，1］上为单调函数的充要条件是x 2≥1, 即a －1+21a +≥1.解得a ≥43. 综上，f (x )在［－1，1］上为单调函数的充分必要条件为a ≥43,即a 的取值范围是［43， +∞).。
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m > 2, m < 1或加>3 强化训练1. 若集合 A={l,sin&},B={£,2},则”& =滲”是= 的() 2 6 2A. 充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析== 但= 不能推出0 = ^-，故选C. 6 2 2 o2. __________________________________________________________ 命题”若加>0,则方程x 2+x-m = 0有实数根”的逆命题是 ____________________________________ . 答案:若方程/ +x-m =0有实数根，贝I 」加>03. 命题方程A ：? _ x + a 2 —6a = 0有一正根和一负根. 命题q:函数y = x 2 +(°-3)兀+ 1的图象与兀轴有公共点.若命题"p V q"为真命题，而命题"p A g"为假命题,则实数Q 的取值范围是 __________ .答案:a G (-00,0]u (1,5) u[6, +oo)解析:命题p 为真，即< a，得0<a<6.A = l-4(«2-6«)>0命题g 为真，即A = (Q - 3尸一 410,得a < 1或a ' 5. 为真力y 为假，即p 、g —真一假.P 真g 假时，有\ 故l<a<5. 1 V Q V 5，,亠、亠[a < O^a > 6,,, 亠P 假g 真时，有\ _p. 故a<0或a\6. a < 1 或a > 5,综上有 a e (-oo, 0] u (1,5) u[6, +oo).4. 已知p:方程/ + mx +1 = 0有两个不等的负根;g:方程4兀2 +4(m-2)x+l=0无实根.若p 或g 为 真,P 且g 为假，求加的取值范围./\ — — 4〉0解:若方程兀2 + mx +1 = 0有两个不等的负根，则< ?解得m>2,BPp:m>2.m > 0.若方程 4/ + 4(m - 2)兀+1=0 无实根，则 A = 16(加—2尸—16 = 16(m 2-4m + 3)<0, 解得l<m<3, 即 q:l<m<3.Tp 或g 为真，卩且g 为假， :・p 、g 两命题应一真一假，即p 为真、g 为假或p 为假、q 为真.m < 2,1 < m < 3. 解得m > 3 ^1 < m < 2 . 课后作业 题组一 命题的概念及其真假判断1.(2011陕西高考，理1)设“是向量，命题”若a-仇则a|=|歼的逆命题是() A. 若aH —b,则|a|H \b\B. 若则|a|H \b\C. 若|a 岸仇则Q H —方D. 若 \a\=\b\^ia=-b答案:D诂析:•・•逆命题是以原命题的结论为条件，条件为结论的命题，这个命题的逆命题为:若|a|=|Z>|,则a=-Z>.2.已知命题Pi :函数y = 2x在R上为增函数，卩2 ：函数V = 2* +2「*在R上为减函数，则在命题<7i：Pi V p2,q,: Pi A 卩2，仏：（「"1） V p2和伽：门人（m）中，真命题是（）A.q],% Bq?,% C.<7],<74 D. •>答案:C解析:易知从是真命题，而对P2 ：y' = 2Tn 2-^102=1112（2" -*）,当x w [0, +8）时，2’ >又ln2>0,所以0,函数单调递增;同理得当x e （-8,0）时,函数单调递减，故p2是假命题.由此可知，4真，％假,弘假,偽真.题组二充分条件、必要条件的判断3.欣=2腺+手（XZ）”是”taru=l”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:”taru=l”的充要条件为,,x=k7i +手伙e Z）”,而”x=2眩+手伙e Z）”是”x=k” +手伙e Z）” 的充分不必要条件，所以”x=2k冗+手伙e Z）”是”tanr=l”成立的充分不必要条件.4.记实数x1?x2?... 9x n中的最大数为max{ x1?x2?... }，最小数为min{ x1?x29... 9x n }.已知△ABC的二边边长为a,b,c（a <b<c），定义它的倾斜度为（.=max{半,@,£ } • min岸，$,£}, bc a b c a则”0 = 1”是” Z\ABC为等边三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:当AABC为等边三角形时，显然0 = 1,当＜? = b = l,c = A/3时,max{-y-, —} = — = \/3,min{-y-, —b c a a b c a此时0 = 1,但AABC不为等边二角形.故选B.5.以下有关命题的说法错误的是（）A.命题”若.r -3x + 2 = 0,则x=l”的逆否命题为”若x丰1,则/ 一3x + 2工0”B.”x=l”是” / —3x + 2 = 0 ”的充分不必要条件C.若p/\q为假命题，贝1Jp、q均为假命题D.对于命题p: 3x e R,使得 / + * +1 < 0,则「p : Vx e R,都有.r2 + .r +1 > 0 答案:C解析:若pAg为假命题,则只需至少有一个为假命题即可.故选C.6.命题”若a>b,则a-l>b-V,的否命题是（）A.若a〉b,贝[I a—l<b — lB.若a>0,则a-\<b-\C.若a V b,贝ij a -1 < £» -1D.若则o-l<Z?-l答案:CB.p真g 假D.p真A>0 X] •100 —12k〉0解析:命题”若a>bMa-\>b-V啲否命题是:，喏a<b.贝lj Q -1 5 /? -1”.故选C.7.命题p:0={0 };命题g:若A={l,2},B=[x|x c A }，则Ae B .下列关于p、g的真假性判断正确的是( A.p假g假C.p假g真答案:C解析:命题P显然为假;由命题g可得B={01,2}},.*. A E B,即q为真.题组三命题、充要条件综合应用8. ___________________________________________________ 设卩、g为两个简单命题,若中且g”为真命题，则中或g”为 ________________________________ 厂非//'为____ (填”真命题”或”假命题J答案:真命题假命题9. ______________________________________________________________ 方程3/ —lOx + k 二0伙wR)有相异的两个同号实根的充要条件是 ___________________________ .答案：0<k<普解析:设方程的两个根为X], *2 •由题意知，方程若有两同号根，则必为两个正根，10.已知函数.心)在(一8,+8)上是增函数，a、b & R,对命题："若a+b>0,则f(a) + /(&)> /'(-a)+/(“)”.写出逆命题、逆否命题，判断真假，并证明你的结论.解:先证原命题:"若 a + b>Q,则 f (a) + f (b) N f(-a)+f(-by为真.a +b >0 a > -b,b A -a = /(a) > /(-/?), Mb) > /(-«) F(a) + f(b) > f(-b) + /(-«), 故其逆否命题:”若心)+〃)</(-a)+/(J),则a+b<0”也为真. 再证否命题”若a+0<O,则@)+/(0)</(-a)+/3)”为真.a+b<O^a<-b,b<-a^ f(a) < f(-b\f(b)< f(-a) = f(a) + f(b) <f(-b)+f(-a\ 故其逆命题:”若f(o) + f(b) > f(-o) +贝临+b > 0 ”也为真.11.设有两个命题阳，其中p：关于X的不等式.r2 + (a-l).A'+a2 >0的解集是R;g:/(x)=log(2“2+“+])x是减函数，且pVq为真命题,求实数a的取值范围.分析:P和q至少有一个为真命题，共有三种情况，反过来考虑:先求P和g都是假命题时实数a的取值范围较简单.解:设P是假命题，则有(a-l)2-4a2>0,得-①设4是假命题，则有2a~ + a +1 V 0 或2a~ + a +1 > 1 得寺或a>0.② 求①②交集，得—l<a<-|或0"吕.所以”p\! q为真命题”时a的取值范围是a<-l或-M <a<0或a〉^.。
精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 L单元 算法初步与复数(理科2015)和答案
数学L单元算法初步与复数L1 算法与程序框图13．L1执行如图13所示的程序框图(算法流程图)，输出的n为________．图1313．4 a＝1，n＝1，|a－1.414|＝0.414≥0.005；a＝1＋11＋a＝32，n＝2，|a－1.414|＝0.086≥0.005；a＝1＋11＋a＝75，n＝3，|a－1.414|＝0.014≥0.005；a＝1＋11＋a＝1712，n＝4，|a－1.414|≈0.002 7<0.005，输出n＝4.8．L1如图13所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝( )图13A．0 B．2C．4 D．148．B 逐一写出循环：a＝14，b＝18→a＝14，b＝4→a＝10，b＝4→a＝6，b＝4→a＝2，b＝4→a＝2，b＝2，结束循环．故选B.9．L1执行图13所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝( )图13A．5 B．6C．7 D．89．C 逐次写出循环过程：S＝1－12＝12，m＝14，n＝1，S>0.01；S＝12－14＝14，m＝18，n＝2，S>0.01；S＝14－18＝18，m＝116，n＝3，S>0.01；S＝18－116＝116，m＝132，n＝4，S>0.01；S＝116－132＝132，m＝164，n＝5，S>0.01；S＝132－164＝164，m＝1128，n＝6，S>0.01；S＝164－1128＝1128，m＝1256，n＝7，S<0.01，循环结束．故输出的n值为7.3．L1执行如图11所示的程序框图，输出的结果为( )图11A．(－2，2) B．(－4，0)C．(－4，－4) D．(0，－8)3．B 当k＝0，x＝1，y＝1时，s＝0，t＝2；当k＝1，x＝0，y＝2时，s ＝－2，t＝2；当k＝2，x＝－2，y＝2时，s＝－4，t＝0，此时x＝－4，y＝0，k ＝3，输出的结果为(－4，0)．6．L1阅读如图11所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )图11A．2 B．1 C．0 D．－16．C 第一次循环，S＝0，i＝2；第二次循环，S＝－1，i＝3；第三次循环，S＝－1，i＝4；第四次循环，S＝0，i＝5；第五次循环，S＝0，i＝6＞5，结束循环．故输出的结果为0.L2 基本算法语句4．L2根据如图11所示的伪代码，可知输出的结果S为________．S←1I←1While I<8S←S＋2I←I＋3End WhilePrint S图114．7 第一次循环得S＝1＋2＝3，I＝1＋3＝4<8；第二次循环得S＝3＋2＝5，I ＝4＋3＝7<8；第三次循环得S ＝5＋2＝7，I ＝7＋3＝10>8，退出循环，故输出的S ＝7.L3 算法案例L4 复数的基本概念与运算1．L4 设i 是虚数单位，则复数2i 1－i在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限1．B 因为 2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i ＋2i 22＝－1＋i ，所以2i 1－i在复平面内所对应的点为(－1，1)，位于第二象限，故选B.2．L4 若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( )A ．2－3iB ．2＋3iC ．3＋2iD ．3－2i2．A z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，∴z ＝2－3i.3．B4 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12x D ．y ＝x ＋e x 1．L4 i 为虚数单位，i 607的共轭复数．．．．为( )A ．iB ．－iC ．1D ．－11．A i 607＝i 151×4＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A.3．L4 设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 3. 5 因为z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝9＋16＝5，所以|z |＝5.2．L4 若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．22．B 因为(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，所以4a ＝0，且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.1．L4 设复数z 满足1＋z 1－z＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．21．A 由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i＝i ，所以||z ＝1. 1．L42015·北京卷复数i(2－i)＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i1．A i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i ，故选A.L5 单元综合7． 在复平面内与复数z ＝5i 1＋2i所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－2＋iD ．2＋i7．C z ＝5i 1＋2i ＝5i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2＋i ，故点A 对应的复数为－2＋i. 8． 执行如图K548所示的程序框图，则输出的结果为________．图K5488．8 由程序框图可知，变量的取值情况如下：第一次循环，i ＝4，S ＝14； 第二次循环，i ＝5，S ＝14＋15＝920； 第三次循环，i ＝8，S ＝920＋18＝2340；第四次循环，S ＝2340不满足S ＜12，结束循环，输出i ＝8. 10． 已知复数z 满足|z －1|＝|z －i|，其中i 为虚数单位，且z ＋1z为实数，则z ＝( )A ．－22＋22i 或－22－22i B ．－22＋22i 或－22＋22i C.22＋22i 或－22－22i D.2＋2i 或2－2i 10．C 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则(a －1)2＋b 2＝(b －1)2＋a 2，即a ＝b .又因为z ＋1z ＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋a a 2＋b 2＋b （a 2＋b 2－1）a 2＋b 2i ，所以b （a 2＋b 2－1）a 2＋b 2＝0，解得b ＝0(舍)或a 2＋b 2－1＝0，即a ＝b ＝±22.故z ＝±22(1＋i)． 7． 执行如图K547所示的程序框图，若输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为________．图K5477．32 第一次循环，输入a ＝1，b ＝2，判断a ≤31，则a ＝1×2＝2； 第二次循环，a ＝2，b ＝2，判断a ≤31，则a ＝2×2＝4；第三次循环，a ＝4，b ＝2，判断a ≤31，则a ＝4×2＝8；第四次循环，a＝8，b＝2，判断a≤31，则a＝8×2＝16；第五次循环，a＝16，b＝2，判断a≤31，则a＝16×2＝32；第六次循环，a＝32，b＝2，满足a＞31，输出a＝32.。
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第2讲 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
基础巩固
1.cos -
79π6
的值为( )
A.-1
2 B.1
2 C.- 32 D. 3
2
答案:C 解析:cos -79π6
=cos
79π6
=cos 12π+π+π
6
=cos π+π
6 =-cos π
6=- 3
2,选C .
2.已知△ABC 中,1
tan A =-12
5,则cos A 等于( ) A .12
13 B .5
13 C .-513
D .-12
13
答案:D 解析:由
1tan A
=-125
,得tan A=-5
12
<0,又由A 是三角形的内角,得A 为钝角.由
sin 2A+cos 2A=1,sin A=cos A ·tan A,得cos 2A=1
1+tan 2A =11+ -512
2
=
144
169
,故cos A=-12
13.
3.sin 2(π+α)-cos (π+α)·cos (-α)+1的值为( ) A.1 B.2sin 2α C.0 D.2
答案:D
解析:原式=(-sin α)2-(-cos α)cos α+1=sin 2α+cos 2α+1=2.
4.已知cos (α-π)=-5
13,且α是第四象限角,则sin (-2π+α)等于( )
A .-12
13
B .12
13
C .±12
13 D .5
12
答案:A
解析:由cos (α-π)=-513,得cos α=513,而α为第四象限角,∴sin (-2π+α)=sin α=- 1-cos 2α=-12
13. 5.已知cos π
2-φ = 3
2,且|φ|<π
2,则tan φ等于( )
A .- 3
3 B . 3
3 C .- 3 D . 3
答案:D
解析:cos π
2-φ =sin φ= 3
2,又|φ|<π
2,则cos φ=1
2,所以tan φ= 3.
6.(2013·河南周口一模)若cos α+2sin α=- 5,则tan α=( ) A.1
2
B.2
C.-1
2 D.-2
答案:B
解析:由cos α+2sin α=- 5,可知cos α≠0,两边同除以cos α,得1+2tan α=- 51
cosα,两边平方得(1+2tan α)2=5
cos 2α=5(1+tan 2α),
∴tan 2α-4tan α+4=0,解得tan α=2.
7.若sin α+sin 2α=1,则cos 2α+cos 4α的值是 . 答案:1
解析:∵sin α+sin 2α=1,
∴sin α=1-sin 2α=cos 2α. ∴cos 2α+cos 4α=sin α+sin 2α=1.
8.若x ∈ 0,π
2
,则2tan x+tan π
2
-x 的最小值为 .
答案:2 2
2
cos x
∴2tan x+tan π
2-x =2·sin x
cos x +
sin π
2-x
cos π2
-x
=2·sin x cos x +cos x
sin x ≥2 2, 当且仅当2sin x
cos x =cos x
sin x , 即tan x= 22
时,等号成立.
9.已知sin α+π
12 =1
3,则cos α+7π
12 的值为 . 答案:-1
3
解析:cos α+7π12 =cos α+π12 +π
2
=-sin α+π12 =-1
3.
10.已知sin (3π+θ)=1
3,求cos (π+θ)
cosθ[cos (π-θ)-1]+cos (θ-2π)
sin θ-3π2 cos (θ-π)-sin 3π
2
+θ
的值.
解:∵sin (3π+θ)=-sin θ=1
3
,∴sin θ=-1
3
.
∴原式=-cosθcosθ(-cosθ-1)+cos (2π-θ)
-sin 3π
2
-θ cos (π-θ)+cosθ
=11+cosθ+cosθ
-cos 2θ+cosθ =11+cosθ+1
1-cosθ =21-cos 2θ=2sin 2θ
=
2
-13
2
=18.
11.已知sin α+π
2 =- 5
5,α∈(0,π),
求cos 2 π4+α2
-cos 2 π4-α2
sin (π-α)+cos (3π+α)的值.
25
∴cosα=-5
5
.
又α∈(0,π),∴sinα=25
5
.
cos2π
4+α
2
-cos2π
4
-α
2
sin(π-α)+cos(3π+α)
=cos 2π
4
+
α
2
-sin2
π
4
+
α
2 sinα-cosα
=cos π
2
+α
sinα-cosα=-sinα
sinα-cosα
=-2
3
.
12.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.
(1)求cosπ
2-θ +sinπ
2
+θ 的值;
(2)求tan(π-θ)-1
tanθ
的值.
解:由已知原方程判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0, 解得a≥4或a≤0.
又∵sinθ+cosθ=a, sinθcosθ=a,
∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ, 即a2-2a-1=0.
∴a=1-a=1+舍去).
∴sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-2.
(1)cosπ
2-θ +sinπ
2
+θ =sinθ+cosθ=1-2.
(2)tan(π-θ)-1
tanθ
=-tanθ-1
tanθ
=- tanθ+1
tanθ
=-sinθ
cosθ+cosθ
sinθ
=-1
sinθcosθ
=-
1-2
=2+1.
拓展延伸
13.已知-π
2<x<0,sin x+cos x=7
13
.
(1)求sin x-cos x的值;
(2)求1
cos2x-sin2x
的值.
解:(1)方法一:联立方程:
sin x+cos x=7
13
, ①
sin2x+cos2x=1,②
由①得sin x=7
13
-cos x,
将其代入②,整理得
169cos2x-91cos x-60=0.
∵-π
2
<x<0,
∴sin x=-5
13
,
cos x=12
13
.
∴sin x-cos x=-17
13
.
方法二:∵sin x+cos x=7
13
,
∴(sin x+cos x)2=7
132 ,
即1+2sin x cos x=49
169
,
∴2sin x cos x=-120
169
.
∴(sin x-cos x)2
=sin2x-2sin x cos x+cos2x
=1-2sin x cos x=1+120
169
=289
169
.①
又∵-π
2
<x<0,
∴sin x<0,cos x>0.
∴sin x-cos x<0,②
由①②可知sin x-cos x=-17
13
.
(2)由已知条件及(1)可知
sin x+cos x=7 13
,
sin x-cos x=-17 13
,
解得sin x=-5
13
,
cos x=12
13
,
故1
cos2x-sin2x =1
144
169
-
25
169
=169
119
.。