标题-2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：课时跟踪检测(四十五) 圆的方程
2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：课时
课时跟踪检测（五十七） 随机变量及其分布一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．若随机变量X 的分布列为则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2]D ．(1,2)解析：选C 由随机变量X 的分布列知：P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．2．(2018·丽水一检)集装箱有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625B.96925C.624625D.4625解析：选B 由题意知，获奖的概率为p ＝6C 26＝25，记获奖的人数为ξ，ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，25， 所以4人中恰好有3人获奖的概率P (ξ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫253×35＝96625. 3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数为奇数”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512 B.12 C.712D.34解析：选D P (A )＝12，P (B )＝12，P (A )＝12，P (B )＝12.A ，B 中至少有一件发生的概率为1－P (A )·P (B )＝1－12×12＝34，故选D.4．已知ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，并且η＝2ξ＋3，则方差D (η)＝( ) A.329 B.89 C.439D.599解析：选A 由题意知，D (ξ)＝4×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝89， ∵η＝2ξ＋3，∴D (η)＝4·D (ξ)＝4×89＝329.5．设随机变量X 的概率分布列为则m ＝________；P (|X －3|＝1)＝________. 解析：根据概率分布列的性质得出： 13＋m ＋14＋16＝1，得m ＝14， 随机变量X 的概率分布列为所以P (|X －3|＝1)＝P (4)＋P (2)＝512.答案：14 512二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·绍兴一模)已知p ＞0，q ＞0，随机变量ξ的分布列如下：若E (ξ)＝49，则p 2＋q 2＝( )A.49B.12C.59D ．1解析：选C ∵p ＞0，q ＞0，E (ξ)＝49.∴由随机变量ξ的分布列的性质得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋p ＝1，pq ＋qp ＝49， ∴p 2＋q 2＝(q ＋p )2－2pq ＝1－49＝59.2．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( )A.35B.34C.1225D.1425解析：选D 由题意知甲中靶的概率为45，乙中靶的概率为710，两人打靶相互独立，同时中靶的概率为45×710＝1425.3．(2018·湖南十三校联考)甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为35和p ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920.假设甲、乙两人射击互不影响，则p 的值为( )A.35B.45C.34D.14解析：选C 设：“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，则“甲射击一次，未击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，则P (A )＝35，P (A )＝1－35＝25，P (B )＝p ，P (B )＝1－p ，依题意得35×(1－p )＋25×p ＝920，解得p ＝34.4．(2018·金华一中模拟)端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )A.5960B.35 C.12 D.160解析：选B “甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ， 则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A )＝23，P (B )＝34，P (C )＝45.由题知A ，B ，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝23×34×45＝25，所以至少有一人回老家过节的概率P ＝1－25＝35.5．(2018·浙江重点中学适应性训练)甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的期望E (X )为( )A.24181B.26681C.27481D.670243解析：选B 依题意，知X 的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫132＝59. 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分， 此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P (X ＝2)＝59，P (X ＝4)＝49×59＝2081，P (X ＝6)＝⎝⎛⎭⎫492＝1681， 故E (X )＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.6．(2018·湖州期末)甲、乙两人被随机分配到A ，B ，C 三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位)，记分配到A 岗位的人数为随机变量X ，则随机变量X 的数学期望E (X )＝______，方差D (X )＝________.解析：∵X 的可能取值为0,1,2，∴P (X ＝0)＝2×23×3＝49， P (X ＝1)＝C 12×23×3＝49，P (X ＝2)＝C 223×3＝19，∴X 的分布列为E (X )＝0×49＋1×49＋2×19＝23，D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－232×49＋⎝⎛⎭⎫1－232×49＋⎝⎛⎭⎫2－232×19＝49.答案：23 497．(2018·嘉兴一模)已知随机变量ξ的分布列如下：则E (ξ)解析：由题意可得，b ＋a 2＋12－a2＝1，即b ＋a 2－a 2＝12，b ∈[0,1]，a ∈[－1,1]．E (ξ)＝0＋a 2＋2⎝⎛⎭⎫12－a 2＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34，当且仅当a ＝12时取等号， 故E (ξ)的最小值为34.此时b ＝12.答案：34 128．事件A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝18，则P (B )＝________，P (A B )＝________.解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧P (A )·P (B )＝16，P (B )·P (C )＝18，P (A )·P (B )·P (C )＝18，解得P (A )＝13，P (B )＝12，∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝23×12＝13.答案：12 139．有编号为1,2,3，…，n 的n 个学生，入坐编号为1,2,3，…，n 的n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ，已知X ＝2时，共有6种坐法．(1)求n 的值．(2)求随机变量X 的概率分布列． 解：(1)因为当X ＝2时，有C 2n 种坐法，所以C 2n ＝6，即n (n －1)2＝6， n 2－n －12＝0，解得n ＝4或n ＝－3(舍去)，所以n ＝4. (2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ， 由题意知X 的可能取值是0,2,3,4， 所以P (X ＝0)＝1A 44＝124， P (X ＝2)＝C 24×1A 44＝624＝14，P (X ＝3)＝C 34×2A 44＝824＝13，P (X ＝4)＝1－124－14－13＝38， 所以X 的概率分布列为：10(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．(1)求甲以4比1获胜的概率．(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率． (3)求比赛局数的分布列．解：(1)由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12.记“甲以4比1获胜”为事件A ， 则P (A )＝C 34⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫124－3·12＝18. 故甲以4比1获胜的概率为18.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ， 乙以4比2获胜的概率为P 1＝C 35⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫125－3·12＝532， 乙以4比3获胜的概率为P 2＝C 36⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫126－3·12＝532， 所以P (B )＝P 1＋P 2＝516. 即乙获胜且比赛局数多于5局的概率为516.(3)设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7.P (X ＝4)＝2C 44⎝⎛⎭⎫124＝18， P (X ＝5)＝2C 34⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫124－3·12＝14， P (X ＝6)＝2C 35⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫125－3·12＝516， P (X ＝7)＝2C 36⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫126－3·12＝516. 故比赛局数的分布列为：三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．某射击选手在射击比赛中，每次是否击中目标互不影响，击中目标的概率为45.该射手可最多连续射击5次，当击中目标后停止射击，则该射手击中目标概率最大的射击次数为________．解析：设射手在最多5次射击中击中目标的次数为X ， 则X ～B (5,0.8)，则恰好k 次击中击中目标的概率为P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫45k ·⎝⎛⎭⎫155－k ，k ＝0,1,2,3,4 由⎩⎪⎨⎪⎧P (X ＝k )≥P (X ＝k －1)P (X ＝k )≥P (X ＝k ＋1)得⎩⎨⎧C k 5⎝⎛⎭⎫45k ⎝⎛⎭⎫155－k≥C k －15⎝⎛⎭⎫45k －1⎝⎛⎭⎫156－k ，C k 5⎝⎛⎭⎫45k⎝⎛⎭⎫155－k ≥C k ＋15⎝⎛⎭⎫45k ＋1⎝⎛⎭⎫154－k，解得195≤k ≤245，∴k ＝4.答案：42．在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个 (n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值．解：(1)X 的取值为0,1,2,3,4，其分布列为∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )得2.75a 2＝11，得a ＝±2， 又E (Y )＝aE (X )＋b ，∴当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.。
【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习 课时跟踪检测(四)函数及其表示 文(含解析)
课时跟踪检测(四) 函数及其表示一、选择题1．(2015·大同调研)设全集为R ，函数f (x )＝ln 1＋x 1－x的定义域为M ，则∁R M ＝( ) A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1] 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≤1，2x ＋ax ，x ＞1，若f (f (1))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.43C ．2D ．4 3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x 4．函数f (x )＝10＋9x －x 2x －的定义域为( ) A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]5．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ c x ，x <A ，c A ，x ≥A ，(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16 6.创新题具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①二、填空题 7．(2015·太原月考)已知y ＝f (2x)的定义域为[－1,1]，则y ＝f (log 2x )的定义域是________． 8．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x ，则f (2)＝________. 9．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．10．(2015·岳阳模拟)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋a ，x ≥0，g x ，x <0，则f (－2)的值为________．三、解答题11．(1)如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0且x ≠1时，求f (x )的解析式； (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？答 案1．选C 由f (x )＝ln 1＋x 1－x ，得到1＋x 1－x>0， 即(x ＋1)(x －1)<0，解得－1<x <1，即M ＝(－1,1)，∵全集为R ，∴∁R M ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)．2．选C ∵f (1)＝2，∴f (f (1))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2.故选C.3．选B (待定系数法)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－2，c ＝0， ∴g (x )＝3x 2－2x ，选B. 4．选D 要使函数f (x )有意义， 则x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 10＋9x －x 2≥0，x －1＞0，x －， 即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤10，x ＞1，x ≠2， 所以不等式组的解集为(1,2)∪(2,10]． 故选D. 5．选D 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以c A ＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.6．选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足； 对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足； 对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足． 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.7．解析：∵函数f (2x)的定义域为[－1,1]，∴－1≤x ≤1，∴12≤2x ≤2. ∴在函数y ＝f (log 2x )中，12≤log 2x ≤2， ∴2≤x ≤4.答案：[2，4] 8．解析：由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 答案：329．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]10．解析：因为函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝30＋a ＝0，即a ＝－1.所以f (－2)＝g (－2)＝－f (2)＝－(32－1)＝－8.答案：－811．解：(1)令1x ＝t ，得x ＝1t(t ≠0且t ≠1)， ∴f (t )＝1t 1－1t＝1t －1， ∴f (x )＝1x －1(x ≠0且x ≠1)． (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.12．解：(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．(3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．。
2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：课时跟踪检测三十七 空间几何体的表面积与体积 含答案 精品
课时跟踪检测（三十七） 空间几何体的表面积与体积一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校联考)“某几何体的三视图完全相同”是“该几何体为球”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由题可得，球的三个视图都是圆，所以三视图完全相同；三视图完全相同的几何体除了球，还有正方体，所以是必要不充分条件．2．(2018·长兴中学适应性测试)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．64B ．72C ．80D ．112解析：选C 由题可得，该几何体是一个棱长为4的正方体与一个底面是边长为4的正方形，高为3的四棱锥的组合体，所以其体积为V ＝43＋13×42×3＝80.3．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π解析：选A 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A.4．(2018·嘉兴模拟)如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝_______，该几何体的表面积为________．解析：由题可得，该几何体是一个水平放置的三棱柱，其底面是一个底边长为2、高为a 的等腰三角形，高为3.因为其体积为33，所以V ＝12×2a ×3＝3a ＝33，解得a ＝ 3.所以该几何体的表面积为S ＝2×12×2×3＋2×3×3＝23＋18.答案：3 23＋185．(2018·丽水模拟)若三棱锥P -ABC 的最长的棱PA ＝2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是________，表面积是________．解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径R ＝12PA ＝1，所以该三棱锥的外接球的体积V ＝43×π×13＝43π，表面积S ＝4πR 2＝4π.答案：43π 4π二保高考，全练题型做到高考达标1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ， 则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.2．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为( )A ．6B ．8C ．12D ．24解析：选C 由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′.由题意，得13×6×34×22×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2， ∴S 侧＝6×12×2×2＝12.故选C.3．(2018·温州十校联考)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是( )A ．4 B.163 C ．8D.323解析：选B 由题可得，该几何体是一个底面为长方形的四棱锥， 所以其体积为V ＝13×4×2×2＝163.4．(2018·兰州实战考试)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为( )A.32π B.32C ．3πD ．3解析：选A 由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为32，故体积为43π⎝⎛⎭⎫323＝32π，故选A.5．(2018·宁波十校联考)如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．2 2 B.10 C ．2 3D.13解析：选C 由题可得，该几何体是水平放置的四棱锥，其底面是一个直角梯形． 所以其最长的棱的长度为22＋22＋22＝2 3.6．(2018·衢州调研)已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________；表面积是________．解析：该几何体是一个三棱锥，其高为2，其底面是一个等腰直角三角形，腰长为2，所以其体积为V ＝13×12×(2)2×2＝23，表面积为S ＝12×2×2＋12×(2)2＋12×2×2＋12×2×6＝3＋3＋ 2.答案：233＋3＋ 27．(2018·杭州模拟)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝3，BC ＝2，则棱锥O -ABCD 的体积为________．解析：依题意得，球心O 在底面ABCD 上的射影是矩形ABCD 的中心， 因此棱锥O -ABCD 的高等于42－⎝⎛⎭⎫1232＋222＝512， 所以棱锥O -ABCD 的体积等于13×3×2×512＝51.答案：518.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示， 且AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝2，BD ＝23， 设O 为BD 的中点，连接OA ，OC ， 则OA ⊥BD ，OC ⊥BD ， 结合正视图可知AO ⊥平面BCD .又OC ＝CD 2－OD 2＝1，∴V 三棱锥A -BCD＝13×⎝⎛⎭⎫12×23×1×1＝33. 答案：339．(2018·武汉调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，则该球的表面积为________．解析：如图，正四棱锥P -ABCD 的外接球的球心O 在它的高PO 1上，设球的半径为R ，因为底面边长为22，所以AC ＝4.在Rt △AOO 1中，R 2＝(4－R )2＋22，所以R ＝52，所以球的表面积S ＝4πR 2＝25π. 答案：25π10.如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π， V ＝V 圆台－V 圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝1483π.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·广西质检)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为( )A.34B.14C.12D.38解析：选C 由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为12×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为12，故选C. 2．如图，四边形ABCD 是边长为23的正方形，点E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，将△ABE ，△ECF ，△FDA 分别沿AE ，EF ，FA 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，若四面体PAEF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．92π解析：选C 因为∠APE ＝∠EPF ＝∠APF ＝90°，所以可将四面体补成一个长方体(PA ，PE ，PF 是从同一顶点出发的三条棱)， 则四面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径为R ，由题意知2R ＝(3)2＋(3)2＋(23)2＝32， 故该球的表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎫3222＝18π.3．已知A ，B ，C 是球O 的球面上三点，且AB ＝AC ＝3，BC ＝33，D 为该球面上的动点，球心O 到平面ABC 的距离为球半径的一半，求三棱锥D -ABC 体积的最大值．解：如图，在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝3，BC ＝33， ∴由余弦定理可得cos A ＝32＋32－(33)22×3×3＝－12，∴sin A ＝32. 设△ABC 外接圆O ′的半径为r ， 则3332＝2r ，得r ＝3. 设球的半径为R ，连接OO ′，BO ′，OB ， 则R 2＝⎝⎛⎭⎫R 22＋32，解得R ＝2 3. 由图可知，当点D 到平面ABC 的距离为32R 时，三棱锥D -ABC 的体积最大，∵S △ABC ＝12×3×3×32＝934，∴三棱锥D -ABC 体积的最大值为13×934×33＝274.。
2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：课时跟踪检测(三十九) 直线、平面平行的判定及其性质
课时跟踪检测（三十九）直线、平面平行的判定及其性质*一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面D．以上都有可能解析：选D 由空间直线与平面的位置关系可知，平行于同一平面的两条直线可以平行、也可以相交、也可以异面．2．(2018·宁波模拟)在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB ＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )A．平行 B．相交C．在平面内D．不能确定解析：选A 如图，由＝得AC∥EF.又因为EF⊂平面DEF，AC ⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF.3．(2018·绍兴期中考试)已知两个不重合的平面±，²，给定以下条件：①±内任意不共线的三点到²的距离都相等；②l，m是±内的两条直线，且l∥²，m∥²；③l，m是两条异面直线，且l∥±，l∥²，m∥±，m∥²；其中可以判定±∥²的是( )A．①B．②C．①③D．③解析：选C 本题宜采用逐个命题验证的方式进行判定．对于命题①，任意不共线三点可以确定一个平面，即为±，该三点到平面²的距离相等，即可得到±∥²，故①正确；对于命题②，由面面平行的判定可知，若l，m平行，则不一定能够推理得到±∥²，故②错误；对于命题③，由l，m是两条异面直线，通过平移可以在同一个平面内，则该平面与±，²都平行，由平行于同一平面的两个平面平行这一性质可知，±∥²，故③正确．所以满足条件的是①③.4．如图，±∥²，△PAB所在的平面与±，²分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD ＝1，则AB＝________.解析：∵±∥²，∴CD∥AB，则＝，∴AB＝＝＝.答案：5.如图所示，在四面体ABCD中，点M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．解析：连接AM并延长，交CD于点E，连接BN，并延长交CD于点F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，连接MN，由＝＝，得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案：平面ABC、平面ABD*二保高考，全练题型做到高考达标1．在空间中，已知直线a，b，平面±，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂±，则a∥±；②若a∥b，a∥±，则b∥±；③若a∥±，b∥±，则a∥b.其中真命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选A 对于①，若a∥b，b⊂±，则应有a∥±或a⊂±，所以①是假命题；对于②，若a∥b，a∥±，则应有b∥±或b⊂±，因此②是假命题；对于③，若a∥±，b∥±，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．2．设m，n是平面±内的两条不同直线，l1，l2是平面²内的两条相交直线．则±∥²的一个充分而不必要条件是( )A．m∥²且l1∥±B．m∥l1且n∥l2C．m∥²且n∥²D．m∥²且n∥l2解析：选B 因为m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面²内的两条相交直线，所以±∥²，而当±∥²时不一定推出m∥l1且n∥l2，可能异面．所以±∥²的一个充分而不必要条件是B.3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A．①③B．②③C．①④D．②④解析：选C 对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．4.在三棱锥S -ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为( )A. B．C．45 D．45解析：选A 取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF綊AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝AC·SB＝.5.(2018·舟山模拟)在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和棱AA1的中点，点M，N分别为线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有( )A．无数条B．2条C．1条D．0条解析：选A 法一：取BB1的中点H，连接FH，则FH∥C1D1，连接HE，D1H，在D1E上任取一点M，取D1E的中点O，连接OH，在平面D1HE中，作MG平行于HO，交D1H于G，连接DE，取DE的中点K，连接KB，OK，则易证得OH∥KB.过G作GN∥FH，交C1F于点N，连接MN，由于GM∥HO，HO∥KB，KB⊂平面ABCD，GM⊄平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，同理，NG∥平面ABCD，又GM∩NG＝G，由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，则MN∥平面ABCD.由于M为D1E上任意一点，故与平面ABCD平行的直线MN有无数条．故选A.法二：因为直线D1E，C1F与平面ABCD都相交，所以只需要把平面ABCD向上平移，与线段D1E的交点为M，与线段C1F的交点为N，由面面平行的性质定理知MN∥平面ABCD，故有无数条直线MN∥平面ABCD，故选A.6．设±，²，³是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥³，b⊂²；②a∥³，b∥²；③b∥²，a⊂³.如果命题“±∩²＝a，b⊂³，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥²，a⊂³时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③7．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________cm2；其周长为________cm.解析：如图所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD的交点，∴E为DD1的中点，∴S△ACE＝××＝ (cm2)．∵AC＝，CE＝AE＝，∴其周长为AC＋AE＋CE＝＋(cm)．答案： ＋8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC＝，AC＝4，M为AA1的中点，点P为BM的中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC，则PQ的长度为________．解析：由题意知，AB＝8，过点P作PD∥AB交AA1于点D，连接DQ，则D为AM中点，PD＝AB＝4.又∵＝＝3，∴DQ∥AC，∠PDQ＝，DQ＝AC＝3，在△PDQ中，由余弦定理得PQ＝＝.答案：9.(2018·杭州模拟)如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积．解：(1)证明：由题设知，BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又因为BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綊B1C1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又因为A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1，又因为BD∩A1B＝B，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)因为A1O⊥平面ABCD，所以A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高．又因为AO＝AC＝1，AA1＝，所以A1O＝＝1.又因为S△ABD＝××＝1，所以VABD-A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.证明：(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1.又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1.(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE綊DC，又D1G綊DC，∴OE綊D1G，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O.又GE⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.(3)由(1)知BF∥HD1，又BD∥B1D1，B1D1，HD1⊂平面B1D1H，BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H.*三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图所示，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝，过B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，Q 在直线CD上，则PQ＝________.解析：∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥PQ.又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ，设PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ.∴＝＝2，即PQ＝2PM.又知△APM∽△ADB，∴＝＝，∴PM＝BD，又BD＝a，∴PQ＝a.答案：a2．如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．解：(1)当＝1时，BC1∥平面AB1D1.如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，∴OD1∥BC1.又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴当＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.∴＝，＝.又＝1，∴＝1，即＝1.。
2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：课时跟踪检测(十)+函数的奇偶性及周期性+Word版含答案
课时跟踪检测（十） 函数的奇偶性及周期性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝e x C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x解析：选D 对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求； 对于B ，y ＝e x 为非奇非偶函数，故不符合要求； 对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求； 对于D ，∵f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )， ∴y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D.2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( ) A ．－3 B ．－54C.54D ．3解析：选A 因为f (x )为R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1， 则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．函数f (x )＝x ＋1x ＋1，f (a )＝3，则f (－a )的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．2解析：选B 由题意得f (a )＋f (－a )＝a ＋1a ＋1＋(－a )＋1－a ＋1＝2.∴f (－a )＝2－f (a )＝－1，故选B.4．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 解析：∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.答案：－－x －15．设函数f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________.解析：依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )， 则f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋1＝32. 答案：32二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·浙江名校协作体联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6解析：选B 由f (x )是定义在R 上的奇函数得f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1， f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4，选B.2．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52等于( ) A ．－12B ．－14C. 14D. 12解析：选A ∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 3．(2018·宁波适应性考试)若函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，y ＝g (x )是R 上的奇函数，它们都是周期函数，则下列一定正确的是( )A ．函数y ＝g (g (x ))是偶函数，函数y ＝f (x )＋g (x )是周期函数B ．函数y ＝g (g (x ))是奇函数，函数y ＝f (x )g (x )不一定是周期函数C ．函数y ＝f (g (x ))是奇函数，函数y ＝f (g (x ))是周期函数D ．函数y ＝f (g (x ))是偶函数，函数y ＝f (x )g (x )是周期函数解析：选D ∵y ＝f (x )是R 上的偶函数，y ＝g (x )是R 上的奇函数， 故有f (－x )＝f (x )，且g (－x )＝－g (x )． 则g (g (－x ))＝g (－g (x ))＝－g (g (x ))， f (g (－x ))＝f (－g (x ))＝f (g (x ))；故g (g (x ))为奇函数，f (g (x ))为偶函数，故排除A 、C ； ∵f (x )和g (x )都是周期函数，设它们的周期的最小公倍数为t ， 即f (x ＋t )＝f (x )，g (x ＋t )＝g (x )， 令n (x )＝f (x )g (x )，则n (x ＋t )＝f (x ＋t )g (x ＋t )＝f (x )g (x )＝n (x )， 所以n (x )＝f (x )g (x )一定为周期函数，故选D.4．(2018·杭州模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，设 a ＝f (log 210)，b ＝f (log 310)，c ＝f (0.10.2)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b解析：选C ∵函数y ＝f (x ＋1)为偶函数， ∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)， 设t ＝x ＋1，得f (t )＝f (2－t )， c ＝f (0.10.2)＝f (2－0.10.2)， ∵0<0.10.2<1，∴1<2－0.10.2<log 310<log 210， 又f (x )在(1，＋∞)上单调递减， ∴c >b >a .故选C.5．(2018·温州十校联考)设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x ＋sin πx －3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f ⎝⎛⎭⎫12 018＋ f ⎝⎛⎭⎫22 018＋f ⎝⎛⎭⎫32 018＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0342 018＋f ⎝⎛⎭⎫4 0352 018的值为( ) A ．－4 035 B ．4 035 C ．－8 070D ．8 070解析：选C ∵f (x )＝x ＋sin πx －3， ∴当x ＝1时，f (1)＝1＋sin π－3＝－2，∴根据对称中心的定义，可得当x 1＋x 2＝2时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝－4，∴f ⎝⎛⎭⎫12 018＋f ⎝⎛⎭⎫22 018＋f ⎝⎛⎭⎫32 018＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0342 018＋f ⎝⎛⎭⎫4 0352 018 ＝2 017×⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12 018＋f ⎝⎛⎭⎫4 0352 018＋f ⎝⎛⎭⎫2 0182 018 ＝2 017×(－4)－2 ＝－8 070.6．(2018·贵州适应性考试)已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f (x )f (x ).若g (2)＝3，则g (－2)＝________.解析：由题意可得g (2)＝2＋f (2)f (2)＝3，则f (2)＝1，又f (x )是奇函数，则f (－2)＝－1，所以g (－2)＝2＋f (－2)f (－2)＝2－1－1＝－1.答案：－17．(2018·台州月考)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0，则不等式3f (－x )－2f (x )5x≤0的解集为____________．解析：∵函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0， ∴函数f (x )在(0,2)的函数值为正，在(2，＋∞)上的函数值为负． 当x ＞0时，不等式3f (－x )－2f (x )5x ≤0等价于3f (－x )－2f (x )≤0，又函数f (x )为奇函数，所以f (x )≥0， 所以0＜x ≤2.同理当x ＜0时，可解得－2≤x ＜0.综上，不等式3f (－x )－2f (x )5x ≤0的解集为[－2,0)∪(0,2]．答案：[－2,0)∪(0,2]8．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x中，用－x 替换x ， 得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )， 因此得－f (x )－g (x )＝2x .联立方程组解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)． 答案：f (1)>g (0)>g (－1)9．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x1－3x. (1)求当x <0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )<－x8.解：(1)因为f (x )是奇函数，所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )，－x >0， 又因为当x >0时，f (x )＝x1－3x，所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－－x 1－3－x ＝x1－3－x . (2)f (x )<－x 8，当x >0时，即x 1－3x <－x 8， 所以11－3x <－18，所以13x －1>18，所以3x －1<8， 解得x <2，所以x ∈(0,2)．当x <0时，即x 1－3－x <－x 8，所以11－3－x >－18，所以3－x >32，所以x <－2， 所以解集是(－∞，－2)∪(0,2)．10．(2017·台州期中)已知函数f (x )＝x |2a －x |＋2x ，a ∈R.(1)若a ＝0，判断函数y ＝f (x )的奇偶性，并加以证明； (2)若函数f (x )在R 上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)函数y ＝f (x )为奇函数． 理由：当a ＝0时，f (x )＝x |x |＋2x ， f (－x )＝－x |x |－2x ＝－f (x )， ∴函数y ＝f (x )为奇函数；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(2－2a )x ，x ≥2a ，－x 2＋(2＋2a )x ，x <2a ，当x ≥2a 时，f (x )的对称轴为：x ＝a －1； 当x ＜2a 时，y ＝f (x )的对称轴为：x ＝a ＋1； ∴当a －1≤2a ≤a ＋1时，f (x )在R 上是增函数， 即－1≤a ≤1时，函数f (x )在R 上是增函数． 故实数a 的取值范围为[－1,1]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·温州模拟)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，若f (x )，g (x )均是定义在实数集R 上的函数，定义函数h (x )＝max{f (x )，g (x )}，则下列命题正确的是( )A ．若f (x )，g (x )都是单调函数，则h (x )也是单调函数B ．若f (x )，g (x )都是奇函数，则h (x )也是奇函数C ．若f (x )，g (x )都是偶函数，则h (x )也是偶函数D ．若f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则h (x )既不是奇函数，也不是偶函数 解析：选C 对于A ，如f (x )＝x ，g (x )＝－2x 都是R 上的单调函数，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥0，－2x ，x <0，不是定义域R 上的单调函数，故A 错误；对于B ，如f (x )＝x ，g (x )＝－2x 都是R 上的奇函数，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－2x ，x <0，不是定义域R 上的奇函数，故B 错误；对于C ，当f (x )，g (x )都是定义域R 上的偶函数时，h (x )＝max{f (x )，g (x )}也是定义域R 上的偶函数，故C 正确；对于D ，如f (x )＝sin x 是定义域R 上的奇函数，g (x )＝x 2＋2是定义域R 上的偶函数， 而h (x )＝g (x )＝x 2＋2是定义域R 上的偶函数，故D 错误．2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值． 解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x ， 且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎡⎦⎤32＋⎝⎛⎭⎫32＋x ＝ －f ⎣⎡⎦⎤32－⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期． (2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2， 又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2. (3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数． 故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数， 即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立． 于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0.。
2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：课时跟踪检测四十八 椭 圆 含答案 精品
课时跟踪检测（四十八） 椭 圆一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆．则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，∴2<m <6且m ≠4.故“2<m <6”是“x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B ．x 212＋y 29＝1C.x 24＋y 23＝1 D.x 26＋y 24＝1 解析：选C 由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2.以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x 2＋y 2＝b 2， 由题意可知b ＝62＝3，所以a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，故选C.3．设椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2是直角三角形，则△PF 1F 2的面积为( )A ．3B ．3或32C.32 D ．6或3解析：选C 由已知a ＝2，b ＝3，c ＝1，则点P 为短轴顶点(0，3)时，∠F 1PF 2＝π3，△PF 1F 2是正三角形，若△PF 1F 2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P ，只能是焦点F 1(或F 2)为直角顶点，此时|PF 1|＝b 2a ＝32⎝⎛⎭⎫或|PF 2|＝b 2a ，S △PF 1F 2＝12·b 2a ·2c ＝b 2c a ＝32.故选C.4．(2018·长兴中学适应测试)已知椭圆C ：y 216＋x 29＝1，则该椭圆的长轴长为________；焦点坐标为________．解析：长轴长为2a ＝8，c 2＝16－9＝7，所以c ＝7， 所以焦点坐标为(0，－7)和(0，7)． 答案：8 (0，－7)和(0，7)5．(2018·宁波五校联考)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝________；离心率为________．解析：因为椭圆的左焦点为F 1(－4,0)，所以25－m 2＝42， 解得m ＝3.所以离心率为e ＝c a ＝45.答案：345二保高考，全练题型做到高考达标1．若椭圆C 的长轴长是短轴长的3倍，则C 的离心率为( ) A.63 B.23C.33D.223解析：选D 不妨设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝2b ×3，即a ＝3b . ∴a 2＝9b 2＝9(a 2－c 2)． 即c 2a 2＝89， ∴e ＝c a ＝223，故选D.2．(2018·东阳调研)椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则 b a 的值为( ) A.32B ．233C.932D.2327解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1， 两式相减得ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，即b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－1，∴b a ×(－1)×32＝－1，∴b a ＝233，故选B. 3．过椭圆 x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.43 B ．53C.54D.103解析：选B 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)， 则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点(0，－2)，⎝⎛⎭⎫53，43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪－2－43＝53，故选B. 4．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)解析：选A 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即3m ≥3， 解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则 a b ≥tan 60°＝3，即m 3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．5.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1 C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1 解析：选B 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连接PF ′，如图所示． 因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠FPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝8. 由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16， 所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．解析：∵圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1， ∴圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3.又b ＝4， ∴a ＝b 2＋c 2＝5. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的左顶点为(－5,0)． 答案：(－5,0)7．(2017·东阳模拟)已知直线y ＝kx －k ＋1与椭圆C ：x 2＋my 2＝3恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析：由题可得，直线恒过定点(1,1)，要使满足条件，则该点在椭圆内或在椭圆上， 所以有1＋m ≤3，解得m ≤2.因为是椭圆，所以m >0，且m ≠1.所以0<m ≤2，且m ≠1. 所以实数m 的取值范围为(0,1)∪(1,2]． 答案：(0,1)∪(1,2]8．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ，若直线MN 的斜率为34，则椭圆C 的离心率为________．解析：根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ， 所以k MN ＝kMF 1＝b 2a c ＋c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ， 解得 c a ＝12 或 ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.答案：129．已知椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率．(2)若AF 2―→＝2F 2B ―→，AF 1―→·AB ―→＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形， 所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2， 设B (x ，y )．由AF 2―→＝2F 2B ―→，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得 94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①. 又由AF 1―→·AB ―→＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32， 得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1②. 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.10．(2017·北京高考)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3. 所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )． 由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2， 故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n. 所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m )． 直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2)． 联立⎩⎨⎧y ＝－m ＋2n (x －m )，y ＝n2－m (x －2)，解得点E 的纵坐标y E ＝－n (4－m 2)4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·绍兴一中质检)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，55 B ．⎝⎛⎦⎤0，255 C.⎝⎛⎦⎤0，355D.⎝⎛⎦⎤0，455解析：选B 依题意，知b ＝2，kc ＝2. 设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455， 解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45，解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45， 解得0＜e ≤255.2.(2018·杭州模拟)已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎫2，22.(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l ，与该椭圆交于P ，Q 两点，直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次为k 1，k (k ≠0)，k 2，满足k 1,2k ，k 2依次成等差数列，求△OPQ 面积的取值范围．解：(1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎨⎧c a ＝32，2a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为 y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2－4＝0消去y ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2.因为k 1,2k ，k 2依次成等差数列， 所以k 1＋k 2＝4k ，即y 1x 1＋y 2x 2＝4k ，所以m (x 1＋x 2)x 1x 2＝2k ，即m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 24(m 2－1)1＋4k2＝2k ，解得m 2＝12. 所以|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 22－4×4(m 2－1)1＋4k 2＝1＋k 2·216k 2＋21＋4k 2， O 到直线PQ 的距离d ＝12＋2k 2， 所以S △OPQ ＝12·d ·|PQ |＝8k 2＋14k 2＋1.令8k 2＋1＝t ，t >1， 则S △OPQ ＝t t 2－12＋1＝2t ＋1t ，因为t >1时，t ＋1t >2，所以0<2t ＋1t<1，所以△OPQ 面积的取值范围为(0,1)．。
(浙江专版)2018年高中数学课时跟踪检测(四)曲线与方程求曲线的方程新人教A版选修2_1
课时跟踪检测（四）曲线与方程求曲线的方程层级一学业水平达标1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( ) A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上解析：选B 将点M(2,1)的坐标代入方程知M∈l，M∈C．2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于x－y＝0对称解析：选C 同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )解析：选B 方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B．4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析：选B 设点P的坐标为(x，y)，则MN＝(4,0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x －2，y)，∴|MN|＝4，|MP|＝x＋2＋y2，MN·NP＝4(x－2)．根据已知条件得4 x＋2＋y2＝4(2－x)．整理得y2＝－8x．∴点P的轨迹方程为y2＝－8x．5．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 解析：选B 由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0， 线段AB 的长度|AB |＝＋2＋42＝5．设C 的坐标为(x ，y )， 则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10， 即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0．6．方程x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋12＝0表示的图形为________． 解析：对方程左边配方得(x －2)2＋2(y ＋2)2＝0． ∵(x －2)2≥0,2(y ＋2)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.从而方程表示的图形是一个点(2，－2)． 答案：一个点(2，－2)7．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM ·PN ＝12，则点P 的轨迹方程为________________．解析：设P (x ，y )，则PM ＝(－2－x ，－y )，PN ＝(2－x ，－y )． 于是PM ·PN ＝(－2－x )(2－x )＋y 2＝12，化简得x 2＋y 2＝16，此即为所求点P 的轨迹方程． 答案：x 2＋y 2＝168．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________________．解析：设M (x ，y )，B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1．又M 为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋x 02，y ＝y 0－12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，将其代入y 0＝2x 20＋1得，2y ＋1＝2×(2x )2＋1，即y ＝4x 2． 答案：y ＝4x 29．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称，且OP ·MN ＝4，求动点P 的轨迹方程．解：由已知得M (0，y )，N (x ，－y )，则MN ＝(x ，－2y )， 故OP ·MN ＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2，依题意知，x 2－2y 2＝4，因此动点P 的轨迹方程为x 2－2y 2＝4．10．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ ＝OM ＋ON ，求动点Q 的轨迹．解：设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0)． 因为OQ ＝OM ＋ON ，即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)， 则x 0＝x ，y 0＝y2．又点M 在圆C 上，所以x 20＋y 20＝4， 即x 2＋y 24＝4(y ≠0)．所以动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)．层级二 应试能力达标1．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则点P 的轨迹方程是( ) A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0 B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0 C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0 D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0 解析：选A 设动点P (x ，y )， 则由|PA |＝3|PO |，得x －2＋y ＋2＝3x 2＋y 2．化简，得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0．故选A ． 2．下列四组方程表示同一条曲线的是( ) A ．y 2＝x 与y ＝x B ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x C ．y ＋1x －2＝1与lg(y ＋1)＝lg(x －2) D ．x 2＋y 2＝1与|y |＝1－x 2解析：选D 根据每一组曲线方程中x 和y 的取值范围，不难发现A 、B 、C 中各组曲线对应的x 或y 的取值范围不一致；而D 中两曲线的x 与y 的取值范围都是[－1,1]，且化简后的解析式相同，所以D 正确．故选D ．3．方程y ＝－4－x 2对应的曲线是( )解析：选A 将y ＝－4－x 2平方得x 2＋y 2＝4(y ≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A ．4．已知0≤α≤2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A ．π3 B ．5π3 C ．π3或5π3 D ．π3或π6解析：选C 将点P 的坐标代入曲线(x －2)2＋y 2＝3中，得(cos α－2)2＋sin 2α＝3，解得cos α＝12．又0≤α<2π，所以α＝π3或5π3．故选C ．5．方程|x －1|＋|y －1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．解析：方程|x －1|＋|y －1|＝1可写成⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y ≥1，x ＋y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y <1，x －y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≥1，y －x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y <1，x ＋y ＝1，其图形如图所示，它是边长为2的正方形，其面积为2．答案：26．给出下列结论： ①方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线；②到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2； ③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点． 其中正确结论的序号是________． 解析：对于①，方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线且除掉点(2,0)，所以①错误；对于②，到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2或y ＝2，所以②错误；对于③，方程(x 2－4)2＋(y －4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③正确．故填③．答案：③7．已知A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，|BC |＝4，点A 到直线l 的距离为3，求△ABC 外心的轨迹方程．解：建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，点A 在y 轴上(如图所示)，则A (0,3)．设△ABC 的外心为P (x ，y )， 因为点P 在线段BC 的垂直平分线上，所以不妨令B (x ＋2,0)，C (x －2,0)．又点P 在线段AB 的垂直平分线上，所以|PA |＝|PB |， 即x 2＋y －2＝22＋y 2，化简得x 2－6y ＋5＝0．于是△ABC 外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0．8．已知两点P (－2,2)，Q (0,2)以及一条直线l ：y ＝x ，设长为2的线段AB 在直线l 上移动，求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．解：设A (m ，m )，B (m ＋1，m ＋1)，当m ≠－2且m ≠－1时，直线PA 和QB 的方程分别为y ＝m －2m ＋2(x ＋2)＋2和y ＝m －1m ＋1x ＋2．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m －2m ＋2x ＋＋2，y ＝m －1m ＋1x ＋2消去m ，得x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．当m ＝－2时，直线PA 和QB 的方程分别为x ＝－2和y ＝3x ＋2，其交点为(－2，－4)，满足方程x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．当m ＝－1时，直线PA 和QB 的方程分别为y ＝－3x －4和x ＝0，其交点为(0，－4)，满足方程x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．综上，可知所求交点M 的轨迹方程为x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．。
2018-2019学年高中三维一轮复习数学浙江专版：课时跟踪检测(二十四) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
∴sin ±＝ ＝，sin ² ＝ ＝， ∴sin 2±＝，cos 2±＝cos2±－sin2±＝－＝－， ∴f(2±－² )＝cos(2±－² )＝cos 2±cos ² ＋sin 2±sin ² ＝－×＋×＝. * 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知平面向量a＝(sin2x，cos2x)，b＝(sin2x，－cos2x)，f(x)＝a· b＋4cos2x＋ 2sin xcos x，若存在m∈R，对任意的x∈R，f(x)≥f(m)，则f(m)＝ A．2＋2 C．0 解析：选C 依题意得 f(x)＝sin4x－cos4x＋4cos2x＋sin 2x ＝sin2x＋3cos2x＋sin 2x ＝cos 2x＋sin 2x＋2 ＝2sin＋2， 因此函数f(x)的最小值是－2＋2＝0，即有f(m)＝0. 2．设f(x)＝asin 2x＋bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤对一切x∈R恒成立，则 ①f ＝0； ②＜； ③f(x)既不是奇函数也不是偶函数； ④f(x)的单调递增区间是(k∈Z)； ⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交． 以上结论正确的是________(填序号)． 解析：f(x)＝asin 2x＋bcos 2x＝ sin(2x＋Æ )， 因为对一切x∈R，f(x)≤恒成立，所以sin＝±1，可得Æ ＝kÀ＋(k∈Z)， 故f(x)＝±sin.而f ＝±·sin＝0，所以①正确； ＝＝，＝， 所以＝，故②错误；③明显正确；④错误； 由函数f(x)＝· sin和f(x)＝－ sin的图象可知(图略)，不存在经过点(a，b)的直线与函 B.3 D．2－2 ( )
数f(x)的图象不相交，故⑤错误． 答案：①③ 3．已知cos cos ＝－，±∈. (1)求sin 2±的值； (2)求tan ±－的值． 解：(1)coscos＝cossin ＝ sin＝－， 即sin＝－. ∵±∈，∴2±＋∈，
2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：课时跟踪检测四十五 圆的方程 含答案 精品
课时跟踪检测（四十五） 圆的方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：选A ∵AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C ．(－2,0)D.⎝⎛⎫－2，23 解析：选D 由圆的定义知，若方程表示圆，则a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0， 即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.3．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)， PQ 的中点为M (x ，y )， 则⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.4．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．解析：圆C 的方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1. 所以，当k ＝0时圆C 的面积最大，即圆心C 的坐标为(0，－1)． 答案：(0，－1)5．已知圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，则该圆的方程为________；若M(m，6)在圆C内，则m的取值范围为________．解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|，得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.半径r＝|CA|＝(2＋1)2＋12＝10.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.由题意知(m－2)2＋(6)2＜10，解得0＜m＜4.答案：(x－2)2＋y2＝10(0,4)二保高考，全练题型做到高考达标1．方程y＝1－x2表示的曲线是()A．上半圆B．下半圆C．圆D．抛物线解析：选A由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．2．(2018·嘉兴七校联考)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为() A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1解析：选A已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.3．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是()A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8解析：选A因为直线x－y＋1＝0与x轴的交点(－1,0)，所以圆C的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.4．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)解析：选D曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，故曲线C 是圆心为(－a,2a )，半径为2的圆， 要使圆C 的所有的点均在第二象限内， 则圆心(－a,2a )必须在第二象限，从而有a >0， 并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径， 易知圆心到坐标轴的最短距离为|－a |， 则有|－a |>2，得a >2.5．(2018·浙江名校联盟调研)已知直角三角形ABC 的斜边AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，则直角边BC 的中点的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＋4x ＋3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＋3＝0(y ≠0)C ．x 2＋y 2－4x ＋3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋3＝0(y ≠0)解析：选D 设直角边BC 的中点为P (x ，y )， 因为B (3,0)，所以C (2x －3,2y )．因为AC ⊥BC ， 所以AC ―→·BC ―→＝(2x －2)·(2x －6)＋4y 2＝0， 化简得x 2＋y 2－4x ＋3＝0. 因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.即x 2＋y 2－4x ＋3＝0(y ≠0)．6．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为__________．解析：设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)， 那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2. 而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3， ∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 故|PM |＋|PN |的最小值为52－4. 答案：52－47．(2018·丽水调研)已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________．解析：过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)， ∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.由于直线过圆心C (2,1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1， 此弦所在的直线方程为y －0＝x －1，即为x －y －1＝0. 答案：x ＋y －1＝0 x －y －1＝08．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________；其面积为____________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5， 所以其面积为S ＝5π.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5 5π9．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22， 设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋22≤22，解上式得，16－210≤t ≤16＋210， 所以所求的最大值为16＋210. (2)记点Q (－2,3)，因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率k ，所以直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.由直线MQ 与圆C 有公共点， 得|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.10．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)． (2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ， ∴MC 1―→·MO ―→＝0.又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )， ∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0. 易知直线l 的斜率存在， ∴设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)． 又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP ―→＋AQ ―→＝0，则m 的取值范围为________．解析：曲线C ：x ＝－4－y 2是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x P ∈[－2,0]，对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP ―→＋AQ ―→＝0，则A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x ＝6， ∴m ＝6＋x P2∈[2,3]． 答案：[2,3]2．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则(x＋3)2＋y2＝2(x－3)2＋y2，化简可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．(2)由(1)知曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆．由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，此时|CQ|＝|5＋3|2＝42，故|QM|的最小值为32－16＝4.。
2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：课时
课时跟踪检测（四十一） 平行、垂直与空间角一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂αD ．l 与α斜交解析：选B ∵a ＝(1,0,2)，n ＝(－2,0，－4)，∴n ＝－2a ， 即a ∥n ，∴l ⊥α.2．(2018·嘉兴模拟)已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( )A ．(2,4，－1)B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(5,13，－3)解析：选D 由题意知，AB ―→＝(－2，－6，－2)， 设点D (x ，y ，z )，则DC ―→＝(3－x,7－y ，－5－z )， 因为AB ―→＝DC ―→，所以x ＝5，y ＝13，z ＝－3，故选D.3．(2018·舟山模拟)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O 为坐标原点，OA ―→＋λOB ―→与OB ―→的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66B ．66C ．－66D ．±6解析：选C 因为OA ―→＋λOB ―→＝(1，－λ，λ)， 所以cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，解得λ＝－66.4．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________.解析：因为α∥β，所以u 1∥u 2，所以－36＝y －2＝2z ，所以y ＝1，z ＝－4，所以y ＋z ＝－3. 答案：－35．在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)，B (10，－1,6)，C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为________．解析：由题意知AB ―→·AC ―→＝0，|AB ―→|＝|AC ―→|，又AB ―→＝(6，－2，－3)，AC ―→＝(x －4,3，－6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧6(x －4)－6＋18＝0，(x －4)2＝4，解得x ＝2. 答案：26．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP ―→＝13VC ―→，VM ―→＝23VB ―→，VN ―→＝23VD ―→.则VA 与平面PMN 的位置关系是________．解析：如图，设VA ―→＝a ，VB ―→＝b ，VC ―→＝c ， 则VD ―→＝a ＋c －b ， 由题意知PM ―→＝23b －13c ，PN ―→＝23VD ―→－13VC ―→＝23a －23b ＋13c .因此VA ―→＝32PM ―→＋32PN ―→，∴VA ―→，PM ―→，PN ―→共面．又∵VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN . 答案：平行二保高考，全练题型做到高考达标1.如图，在多面体ABC -A1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊12BC ，二面角A 1 -AB -C 是直二面角．求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ；(2)AB 1∥平面A 1C 1C .证明：∵二面角A 1 -AB -C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形， ∴AA 1⊥平面ABC .又∵AB ＝AC ，BC ＝2AB ，∴∠CAB ＝90°， 即CA ⊥AB ，∴AB ，AC ，AA 1两两互相垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设AB ＝2，则A (0,0,0)，B 1(0,2,2)， A 1(0,0,2)，C (2,0,0)，C 1(1,1,2)．(1) A 1B 1―→＝(0,2,0)，A 1A ―→＝(0,0，－2)，AC ―→＝(2,0,0)， 设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1A ―→＝0，n ·AC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2z ＝0，2x ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝0.取y ＝1，则n ＝(0,1,0)． ∴A 1B 1―→＝2n ，即A 1B 1―→∥n .∴A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)易知AB 1―→＝(0,2,2)，A 1C 1―→＝(1,1,0)，A 1C ―→＝(2,0，－2)， 设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1―→＝0，m ·A 1C ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0，令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1,1)． ∴AB 1―→·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0， ∴AB 1―→⊥m .又AB 1⊄平面A 1C 1C ， ∴AB 1∥平面A 1C 1C .2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：BD ⊥平面PAC .(2)若PA ＝AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值．解：(1)证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD .又因为PA ⊥平面ABCD .所以PA ⊥BD . 因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC .(2)设AC ∩BD ＝O .因为∠BAD ＝60°，PA ＝AB ＝2， 所以BO ＝1，AO ＝CO ＝ 3.如图， 以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)． 所以PB ―→＝(1，3，－2)，AC ―→＝(0,23，0)， 设PB 与AC 所成角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB ―→·AC ―→|PB―→|·|AC ―→|＝622×23＝64.3.如图，已知在六面体ABCDEF 中，四边形ABCD 与四边形DBFE 均为菱形，且AB ＝BD ＝DF ，AF ＝CF .(1)判断直线CF 与平面ADE 的位置关系，并给予证明； (2)求直线FA 与平面FBC 所成角的余弦值． 解：(1)直线CF ∥平面ADE . 证明如下：因为四边形ABCD 为菱形，所以BC ∥AD . 因为AD ⊂平面ADE ，BC ⊄平面ADE ， 所以BC ∥平面ADE . 同理可证BF ∥平面ADE . 又BC ∩BF ＝B ，所以平面ADE ∥平面BCF . 因为CF ⊂平面BCF ， 所以直线CF ∥平面ADE .(2)如图，连接AC ，设AC ∩BD ＝O ，连接FO ， 因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD .因为AF ＝CF ，O 为AC 的中点， 所以FO ⊥AC .因为四边形DBFE 是菱形，且BD ＝DF ， 所以△DBF 为等边三角形． 因为O 为BD 的中点， 所以FO ⊥BD . 又AC ∩BD ＝O ， 所以FO ⊥平面ABCD . 所以OA ，OB ，OF 两两垂直．以O 为坐标原点，OA ，OB ，OF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝2，则BD ＝2，OB ＝1，OA ＝OF ＝3，所以O (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (－3，0,0)，F (0，0，3)，D (0，－1,0)，所以CB ―→＝(3，1,0)，BF ―→＝(0，－1，3)， 设平面FBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB ―→＝0，n ·BF ―→＝0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，－y ＋3z ＝0，取y ＝－3，得n ＝(1，－3，－1)为平面FBC 的一个法向量．又FA ―→＝(3，0，－3)，设直线FA 与平面FBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈FA ―→，n 〉|＝|FA ―→·n ||FA ―→||n |＝236×5＝105.因为0°≤θ≤90°， 所以cos θ＝1－sin 2θ＝155. 即直线FA 与平面FBC 所成角的余弦值为155.4．如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1 -OB 1 -D 的余弦值． 解：(1)证明：因为四边形ACC 1A 1为矩形， 所以CC 1⊥AC ，同理DD 1⊥BD ， 因为CC 1∥DD 1，所以CC 1⊥BD ，而AC ∩BD ＝O ， 因此CC 1⊥底面ABCD .由题设知，O 1O ∥C 1C ，故O 1O ⊥底面ABCD . (2)因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等， 所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直． 如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz .不妨设AB ＝2， 因为∠CBA ＝60°， 所以OB ＝3，OC ＝1.于是相关各点的坐标为：O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)． 易知n 1＝(0,1,0)是平面BDD 1B 1的一个法向量． 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·OB 1―→＝0，n 2·OC 1―→＝0，即⎩⎨⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2,23，－3)，设二面角C 1 -OB 1 -D 的大小为θ，易知θ是锐角， 于是cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝2319＝25719.故二面角C 1 -OB 1 -D 的余弦值为25719. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB ―→·AC ―→＝0，AC ―→·AD ―→＝0，AB ―→·AD ―→＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定解析：选C ∵M 为BC 中点， ∴AM ―→＝12 (AB ―→＋AC ―→)．∴AM ―→·AD ―→＝12 (AB ―→＋AC ―→)·AD ―→＝12 AB ―→·AD ―→＋12 AC ―→·AD ―→＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．2．(2017·天津高考)如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA ＝AC ＝4，AB ＝2.(1)求证：MN ∥平面BDE ； (2)求二面角C -EM -N 的正弦值；(3)已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长． 解：由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以AB ―→，AC ―→，AP ―→方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A (0，0,0)，B (2，0,0)，C (0,4,0)，P (0,0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0,0,1)，N (1,2,0)．(1)证明：DE ―→＝(0,2,0)，DB ―→＝(2,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ―→＝0，n ·DB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －2z ＝0.不妨取z ＝1，可得n ＝(1,0,1)． 又MN ―→＝(1,2，－1)，可得MN ―→·n ＝0. 因为MN ⊄平面BDE ， 所以MN ∥平面BDE .(2)易知n 1＝(1,0,0)为平面CEM 的一个法向量． 设n 2＝(x 1，y 1，z 1)为平面EMN 的法向量， 又EM ―→＝(0，－2，－1)，MN ―→＝(1,2，－1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EM ―→＝0，n 2·MN ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2y 1－z 1＝0，x 1＋2y 1－z 1＝0.不妨取y 1＝1，可得n 2＝(－4,1，－2)． 因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－421， 于是sin 〈n 1，n 2〉＝10521. 所以二面角C -EM -N 的正弦值为10521. (3)依题意，设AH ＝h (0≤h ≤4)，则H (0,0，h )， 进而可得NH ―→＝(－1，－2，h )，BE ―→＝(－2,2,2)．由已知，得|cos 〈NH ―→，BE ―→〉|＝|NH ―→·BE ―→||NH ―→||BE ―→|＝|2h －2|h 2＋5×23＝721， 整理得10h 2－21h ＋8＝0， 解得h ＝85或h ＝12.所以线段AH 的长为 85 或 12 .。
高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4：课时跟踪检测(四)三角函数线Word版含解析
课时跟踪检测（四）三角函数线层级一学业水平达标1.角^和角6^有相同的（）5 5A .正弦线B .余弦线C .正切线D .不能确定解析：选C在同一坐标系内作出角n和角6n的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相5 5反，而正切线相等.2•已知角a的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角a的终边在（）A .直线y= x上B. 直线y=—x上C .直线y= x上或直线y= —x上D. x轴上或y轴上解析：选C 由角a的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan a= ±，故角a的终边在直线y= x上或直线y=—x上.3. 如果MP和0M分别是角a= 7n的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是（）8A. MPvOMvOB. OM >0>MPC. OMvMPvOD. MP>0>OM解析：选D T土*是第二象限角，.7n 7n…sin 8 >0, cos 8 <0,••• MP>0 , OM <0,••• MP>0>OM.4. 已知角a的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则a的终边在（）A .第一象限的角平分线上B. 第四象限的角平分线上C .第二、第四象限的角平分线上D .第一、第三象限的角平分线上解析：选C 作图（图略）可知角a的终边在直线y=—x上，•• a的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选 C.5. 若a是第一象限角，则sin a+ cos a的值与1的大小关系是（）A. sin a+ cos a>1B. sin a+ cos a= 1C . sin a+ cos a<1D .不能确定⑵解析：选A 作出a 的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin a+ COS d>1.6.若角a的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为___________ .解析：若角a的余弦线长度为0,则a的终边落在y轴上，所以它的正弦线的长度为1.答案：17.用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是 ______________________________解析：如图，sin 1= MP , cos 1= OM.显然MP>OM，即sin 1>cos 1.答案：sin 1>cos 18 .若氏护，竽；则sin B的取值范围是解析：由图可知sin^u^,3 n 虫2sin~ =—1, —>sin A— 1,即sin 0€ —1, -2 .答案：-1,今9. 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.5 n 2 n⑴亍；(2)—亍解：(1)因为严€ n，冗，所以作出丫角的终边如图⑴所示，交单位5 n圆于点P，作PM丄x轴于点M ,则有向线段MP = sin ,有向线段OM6=cos T T,设过A(1,0)垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T,则有65 n 5 n向线段AT= tan .综上所述，图(1)中的有向线段MP , OM , AT分别为；角的正弦线、余6 6弦线、正切线.(2)因为一竽€ - n, —n，所以在第三象限内作出一竽角的终边如图(2)所示.2⑵交单位圆于点 P '用类似（1）的方法作图，可得图（2）中的有向线段 A ' T '分别为—2卫角的正弦线、余弦线、正切线.310. 求下列函数的定义域.1.下列三个命题:③n 与5n 勺余弦线相等. 4 4 其中正确命题的个数为（解析：选B n 和5n 的正弦线关于y 轴对称，大小相等，方向相同；n 和两角的终边(i)y = ig12-Sin X.(2)y = 3tan x — ■, 3. 卡—sin x 有意义，贝U解：⑴为使y = lgx^2?，所以角x 终边所在区域如图所示,违'Tq1 ~~X所以2k n- 5n <x <2kn+ f, k € Z.所以原函数的定义域是5 n n ■厂 r 'x 2k n —"4 <x<2k n+ 4, k € Z ⑵为使y = _3tan x — *3有意义，则 3tan x — 3 > 0,所以 tan x A^3 所以角x 终边所在区域如图所示, 所以 k n+ 詐 x<k n+ nk € Z ,AP所以原函数的定义域是层级应试能力达标①n 与5n 勺正弦线相等；② 6 6寸与护的正切线相等;在同一条直线上，因而所作正切线相等;严和宁的余弦线方向不同. 4 4右 sin x>0，所以 sin22.若a是三角形的内角，且sin a+ cos a= §，则这个三角形是（）A •等边三角形C •锐角三角形2cos a= 3，a必为钝角.nn3.如杲；< a<；，那么下列不等式成立的是4 2解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出a的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT,很容易地观察出OMvMPvAT,艮卩cos a<sin a<tan4.使sin x w cosx成立的x的一个变化区间是（）n nsin 4= cos 4，为使sin x w cosx 成立,则由图可得一3n< x wf4 45. sin 2n，cos 6n，tan书从小到大的顺序是5 5 5解析：由图可知:6 n 2 n 2 ncos <0, tan >0, sin >05 5 5•- |MP|v|AT|,B •直角三角形D .钝角三角形解析：选D 当OV aW，由单位圆中的三角函数线知, sin a+ cos a> 1，而sin a+A. cos a<sin a<tan a tan a<sin a vcosC. sin a<cos avtan a cos a<tan a<sin解析：选A 如图，画出三角函数线sin x= MP , cosx= OM，由于sin —3n4 ，X.2 n 2 n --sin —<tan —.答案： 6 n 2 n 2 n cos —vsin —vtan — 5 5 56.若0< a <2 n,且sin %<晋，cos 专.利用三角函数线，得到a 的取值范围是________________________________________________________________ 解析：利用三角函数线得 a 的终边落在如图所示/ AOB 区域内,7 •利用单位圆中的三角函数线，分别确定角 ⑴sin 0< - 2 ； (2) - 2三 cos 艮三3. 解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角B 的范围,(2)图②中阴影部分就是满足条件的角 0的范围，即仙 2kn- 2n <0<2k n-；或 2k n+ n< 縫 2k n+ 牛 k * Z冗8.若 0<%<2，证明：sin a< a <tan a证明：如图所示，连接 AP ，设弧AP 的长为I , -S A OAP <S 扇形 OAP <S ^ OAT , 1 1 1•-]|OA| |MP|ql |OA|<2|OA| |AT|, ••• |MP|vlv|AT|,sin a< a vtan a .6 n cos —<sin 2ngvtan 2ny.即甸-¥ + 2k n<9<-2k n, k € Z①所以a 的取值范围是B 的取值范围.。
2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：板块
板块命题点专练(四) 基本初等函数（Ⅰ）及函数与方程1.(2013·浙江高考)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则() A．a>0,4a＋b＝0B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0解析：选A由f(0)＝f(4)得f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－b2a＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0. 2．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则() A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z解析：选D设2x＝3y＝5z＝k>1，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝2log k2－3log k3＝2log k3－3log k2log k2·log k3＝log k32－log k23log k2·log k3＝log k98log k2·log k3>0，∴2x>3y；∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝3log k3－5log k5＝3log k5－5log k3log k3·log k5＝log k53－log k35log k3·log k5＝log k125243log k3·log k5<0，∴3y<5z；∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝2log k2－5log k5＝2log k5－5log k2log k2·log k5＝log k52－log k25log k2·log k5＝log k2532log k2·log k5<0，∴5z>2x.∴5z>2x>3y.3．(2015·山东高考)若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为()A．(－∞，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：选C因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a.化简可得a＝1，则2x＋12x－1>3，即2x＋12x－1－3>0，即2x＋1－3(2x－1)2x－1>0，故不等式可化为2x－22x－1<0，即1<2x<2，解得0<x<1，故选C.4．(2015·天津高考)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．c<b<a解析：选C由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1.所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b.5．(2012·浙江高考)设a＞0，b＞0.()A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜bC．若2a－2a＝2b－3b，则a＞bD．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b解析：选A当0<a≤b时，显然2a≤2b,2a≤2b<3b，∴2a＋2a<2b＋3b，即2a＋2a≠2b＋3b成立．∴它的逆否命题也不成立；若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b成立，故A正确，B错误．当0<a≤b时，由2a≤2b,2a<3b，知2a－2a与2b－3b的大小关系不确定，∴C不正确，同理D不正确．6．(2016·浙江高考)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.()A．若f(a)≤|b|，则a≤bB．若f(a)≤2b，则a≤bC．若f(a)≥|b|，则a≥bD．若f(a)≥2b，则a≥b解析：选B∵f(x)≥|x|，∴f(a)≥|a|.若f(a)≤|b|，则|a|≤|b|，A项错误．若f(a)≥|b|且f(a)≥|a|，无法推出a≥b，故C项错误．∵f(x)≥2x，∴f(a)≥2a.若f(a)≤2b，则2b≥2a，故b≥a，B项正确．若f(a)≥2b且f(a)≥2a，无法推出a≥b，故D项错误．故选B.7．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x · 1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，所以f (x )在其定义域内单调递增． 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0， 所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)， 所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，12 8．(2015·浙江高考)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围． 解：(1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a 2. 当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2tt ＋2(－1≤t ≤1)． 当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2.由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t2t ＋2≤9－45，所以－23≤ b ≤9－4 5.当－1≤t <0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2，由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t 2t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0.故b 的取值范围是[－3,9－4 5 ]．9．(2016·浙江高考)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p ＞q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围． (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a )． 解：(1)由于a ≥3，故当x ≤1时，x 2－2ax ＋4a －2－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0； 当x ＞1时，x 2－2ax ＋4a －2－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2,2a ]． (2)①设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2， 则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2， 所以由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )＝f (x )， 此时M (a )＝max{f (0)，f (2)}＝2. 当2≤x ≤6时，F (x )＝g (x )，此时M (a )＝max{g (2)，g (6)}＝max{2,34－8a }， 当a ≥4时，34－8a ≤2； 当3≤a ＜4时，34－8a ＞2，∴M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a ＜4，2，a ≥4.1.(2014·湖北高考)已知f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当x ≥0 时， f (x )＝x 2－3x . 则函数g (x )＝f (x )－x ＋3 的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3} 解析：选D 当x ≥0时，函数g (x )的零点即方程f (x )＝x －3的根，由x 2－3x ＝x －3，解得x ＝1或3；当x <0时，由f (x )是奇函数得－f (x )＝f (－x )＝x 2－3(－x )，即f (x )＝－x 2－3x .由f (x )＝x －3得x ＝－2－7(正根舍去)．选D.2．(2014·北京高考)已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含 f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析：选C 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)，故选C.3．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．解析：作出f (x )的图象如图所示．当x ＞m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根， 则4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0. 又m ＞0，解得m ＞3. 答案：(3，＋∞)4．(2015·湖北高考)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________． 解析：f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2， 由f (x )＝0，得sin 2x ＝x 2.设y 1＝sin 2x ，y 2＝x 2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f(x)有两个零点．答案：21.(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是()(参考数据：lg 3≈0.48)A．1033B．1053 C．1073D．1093解析：选D因为lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48≈173，所以M≈10173，则MN≈101731080＝1093.2．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：选D根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．3．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．解析：由已知条件，得192＝e b ， ∴b ＝ln 192. 又∵48＝e 22k ＋b ＝e 22k＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2，∴e 11k＝⎝⎛⎭⎫4819212＝⎝⎛⎭⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时， 则t ＝e 33k＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝⎛⎭⎫123＝24.答案：24。
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课时跟踪检测（三十二） 等差数列及其前n 项和一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·杭州模拟)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4.则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝－2n ＋3C ．a n ＝2n －1或－2n ＋3D ．a n ＝2n解析：选A 设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 22－4可得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d ＝±2. 因为数列{a n }是递增数列，所以d >0，故d ＝2. 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63D ．27解析：选B 法一：∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝9×6＝54.故选B.法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6，∴S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54，故选B.3．(2018·温州十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 5等于( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14解析：选B 设数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝2，S 3＝12， 所以S 3＝3a 1＋3d ＝6＋3d ＝12，解得d ＝2. 所以a 5＝2＋4d ＝10.4．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1.又1S 1＝－1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列． ∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n .答案：－1n5．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 5二保高考，全练题型做到高考达标1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设数列{a n }的公差为d ， 由S 4＝4a 1＋6d ＝2＋6d ＝20，解得d ＝3， 所以S 6＝6a 1＋15d ＝3＋45＝48.2．(2018·浙江五校联考)等差数列{a n }中，a 1＝0，等差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7，则实数k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25 解析：选A 因为a 1＝0，且a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7， 即(k －1)d ＝21d ，又因为d ≠0，所以k ＝22.3．(2018·河南六市一联)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 6＝( )A.114B.32C.72D ．1解析：选A 设{a n }的公差为d ， 由题意得，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ， 又{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相同， ∴⎩⎨⎧d ＝ d 2，a 1－d2＝0，解得⎩⎨⎧d ＝12，a 1＝14，a 6＝a 1＋5d ＝14＋52＝114.4．(2018·东阳模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且 A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3，可得a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，所以要使a n b n 为整数，则需12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共5个．5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S nS 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ， 即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立， 所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0， 解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.6．(2018·金华十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________.解析：设公差为d ，则2＋d ＝1＋2d ， 所以d ＝1.所以a 2＝1＋1＝2；S n ＝n ＋n (n －1)2＝n (n ＋1)2. 答案：2n (n ＋1)27．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值， 可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．(2018·湖州模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －25，则其前10项和S 10的值为________，数列{|a n |}的前n 项和T n 为________．解析：因为a n ＝4n －25，所以S 10＝10(－21＋40－25)2＝－30；因为|a n |＝|4n －25|，所以当n ≤6时，T n ＝－a 1－a 2－…－a n ＝－n (－21＋4n －25)2＝n (23－2n )；当n >6时，T n ＝－a 1－a 2－…－a 6＋a 7＋…＋a n ＝n (－21＋4n －25)2－2S 6＝n (2n －23)＋132.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (23－2n )，n ≤6，n (2n －23)＋132，n >6.答案：－30 T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (23－2n )，n ≤6，n (2n －23)＋132，n >69．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k . 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S nn ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2.10．(2018·南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n >0.(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列； (2)求{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3， 得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.当n ≥5时，a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2， 所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1， 又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列， 所以由(1)得a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1， 而a 5>0，所以a 1>0，从而a 1＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(－1)n －1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－(－1)n ]，1≤n ≤4，n 2－6n ＋8，n ≥5.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·浙江五校联考)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为________．解析：设公差为d .因为a 1，a 3，a 13成等比数列， 所以(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2. 所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2. 所以2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1.令t ＝n ＋1，则原式＝t 2＋9－2t t ＝t ＋9t －2.因为t ≥2，t ∈N *，所以当t ＝3，即n ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2S n ＋16a n ＋3min＝4. 答案：42．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3， 即2d ＝4,2a 1－d ＝－3， 解得d ＝2，a 1＝－12.法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3， 得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1， ∴2d ＝a n ＋2－a n ＝(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n ) ＝4n ＋1－(4n －3)＝4， ∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝4×1－3＝1， ∴a 1＝－12.(2)由题意，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋52.②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7) ＝2n 2－3n 2.。
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课时跟踪检测（十五）函数与方程 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是()A．y＝log12x B．y＝2x－1C．y＝x2－12D．y＝－x3解析：选B函数y＝log12x在定义域上是减函数，y＝x2－12在(－1,1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1,1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选B.2．(2018·豫南十校联考)函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：选A因为f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，则f(0)·f(1)＝－2<0，且函数f(x)＝x3＋2x －1的图象是连续曲线，所以f(x)在区间(0,1)内有零点．3．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：选B依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．4．(2018·台州月考)对于定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．函数f(x)＝x2＋ax＋1没有不动点，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得，问题等价于方程x2＋ax＋1＝x无解，即x2＋(a－1)x＋1＝0无解，∴Δ＝(a－1)2－4<0⇒－1<a<3，故实数a的取值范围是(－1,3)．答案：(－1,3)5．(2018·台州模拟)已知函数f(x)＝5－x＋4x2－|5－x－4x|2，函数g(x)＝f(x)－5的零点个数为____________个．解析：f (x )＝5－x ＋4x 2－|5－x －4x |2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≤1，5－x ，x >1，分别画出y ＝f (x )和y ＝5的图象，如图所示，y ＝f (x )和y ＝5有两个交点，∴函数g (x )＝f (x )－5的零点个数为2个． 答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·宁波高考模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的零点之和为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝1， ∵f (f (x ))＝0，∴f (x )＝0或f (x )＝1， 由以上过程可知f (x )＝0的解为0,1， 令f (x )＝1，得x ＝－1或x ＝2，∴f (f (x ))的零点之和为0＋1＋(－1)＋2＝2.故选C.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．7D ．0解析：选B 法一：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．法二：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．3．(2017·金华期中)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝(x －2)(x －3)＋0.02，则关于y ＝f (x )在R 上零点的说法正确的是( )A ．有4个零点其中只有一个零点在(－3，－2)内B ．有4个零点，其中两个零点在(－3，－2)内，两个在(2,3)内C ．有5个零点都不在(0,2)内D ．有5个零点，正零点有一个在(0,2)内，一个在(3，＋∞)内 解析：选C 根据对称性可以分三种情况研究：①x ＞0的情况，f (x )是把抛物线y ＝(x －2)(x －3)(与x 轴交点为2,3)向上平移了0.02，则与x 轴交点变到(2,3)之间了，所以在(2,3)之间有两个零点．②当x ＜0时，f (x )＝－(x ＋2)(x ＋3)－0.02，根据对称性(－3，－2)之间也有两个零点． ③f (x )是定义在R 上的奇函数，故f (0)＝0(奇函数特性)，所以有五个零点，故选C.4．(2018·杭州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ∈[0，π]，|cos x |，x ∈(π，2π]，若函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[1,2]C ．(0,1]D ．(1,2)解析：选A 画出函数f (x )在[0,2π]的图象，如图所示． 若函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内恰有4个不同的零点，即f (x )和y ＝m 在[0,2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，0＜m ＜1，故选A.5．(2018·湖南考前演练)设x 0是函数f (x )＝2x －|log 2x |－1的一个零点，若a >x 0，则f (a )满足( )A ．f (a )>0B ．f (a )<0C ．f (a )≥0D ．f (a )≤0解析：选A 当x >1时，f (x )＝2x －log 2x －1，易证2x >x ＋1>x .又函数y ＝2x 的图象与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称， 所以2x >x ＋1>x >log 2x ，从而f (x )>0.故若a >1，有f (a )>0；若0<a ≤1，因为当0<x ≤1时，f (x )＝2x ＋log 2x －1，显然f (x )单调递增，又f (1)＝1>0，f ⎝⎛⎭⎫12＝2－2<0， 所以x 0是f (x )唯一的零点，且0<x 0<1， 所以f (a )>0，故选A.6．(2018·余杭地区部分学校测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋2)，－2<x <0，2|x －1|－1，x ≥0，若方程f (x )＝a 有三个不等的实数根，则a 的取值范围为________；不等式f (f (x ))≥1的解集为____________．解析：作出函数y ＝f (x )的图象如图所示，方程f (x )＝a 有三个不等的实数根，即直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合图象知a ∈(0,1)．设f (x )＝t ，则不等式f (f (x ))≥1可转化为f (t )≥1，故得t ＝0或t ≥2，由f (x )＝0得x ＝±1，由f (x )≥2得x ≥log 23＋1，所以f (f (x ))≥1的解集为{－1,1}∪[log 23＋1，＋∞)．答案：(0,1) {－1,1}∪[log 23＋1，＋∞)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是______．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)8．(2018·金华模拟)设定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －3|，x ≠3，1，x ＝3，若关于x 的方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝0有5个不同实数解，则实数a 的取值范围是________．解析：作函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －3|，x ≠3，1，x ＝3的图象如下，∵关于x 的方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝0有5个不同实数解， ∴x 2＋ax ＋b ＝0有2个不同的正实数解，且其中一个为1， 则1＋a ＋b ＝0，即b ＝－a －1，∴x 2＋ax ＋b ＝x 2＋ax －1－a ＝(x －1)(x ＋1＋a )＝0， ∴－1－a ＞0且－1－a ≠1， 故a ＜－1且a ≠－2，故实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，－1)． 答案：(－∞，－2)∪(－2，－1) 9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18， ∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上是连续曲线， ∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0. 10．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2， (1)若f (x )≤0的解集A ⊆{x |0≤x ≤3}，求实数a 的取值范围；(2)若g (x )＝f (x )＋|x 2－1|在区间(0,3)内有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，求实数a 的取值范围． 解：(1)若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)＝4(a －2)(a ＋1)<0，解得－1<a <2； 若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0<a <3，f (0)≥0，f (3)≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1或a ≥2，0<a <3，a ＋2≥0，9－6a ＋a ＋2≥0⇒2≤a ≤115.综上得－1<a ≤115.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，115.(2)g (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2＋|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－2ax ＋a ＋1，|x |≥1，－2ax ＋a ＋3，|x |<1. 若a ＝0时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，|x |≥1，3，|x |<1无零点；若a ≠0时，由于h (x )＝－2ax ＋a ＋3在(0,1)单调， 所以在(0,1)内h (x )至多只有一个零点． 记φ(x )＝2x 2－2ax ＋a ＋1. ①若0<x 1<1,1≤x 2<3，则⎩⎪⎨⎪⎧ h (0)·h (1)<0，φ(1)·φ(3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3)(－a ＋3)<0，(3－a )(19－5a )≤0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧a >3或a <－3，3≤a ≤195⇒3<a ≤195. 经检验a ＝195时，φ(x )的零点为45，3∉[1,3)，∴a ≠195.∴3<a <195.②若1≤x 1<x 2<3，则⎩⎨⎧Δ＝4a 2－8(a ＋1)>0，1<a 2<3，φ(1)≥0，φ(3)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <1－3或a >1＋3，2<a <6，a ≤3，a <195⇒1＋3<a ≤3.综合①②得，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1＋3，195.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·绍兴一模)已知a ，b ∈R 且0≤a ＋b ≤1，函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在⎣⎡⎦⎤－12，0上至少存在一个零点，则a －2b 的取值范围为________．解析：由题意，要使函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间⎣⎡⎦⎤－12，0上有零点， 只要f ⎝⎛⎭⎫－12·f (0)≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ≥0，f ⎝⎛⎭⎫－12＝14－12a ＋b ≥0，－12<－a2<0，Δ＝a 2－4b ≥0，其对应的平面区域如图1，图2所示，则当a ＝1，b ＝0时，a －2b 取最大值1，当a ＝0，b ＝0时，a －2b 取最小值0， 所以a －2b 的取值范围为[0,1]． 答案：[0,1]2．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f (x )x－4ln x 的零点个数． 解：(1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}， ∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x >0)， ∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2.令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：当0<x ≤3时，g (x )≤g (1)＝－4<0.又∵g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上仅有1个零点．。
2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：课时
课时跟踪检测（九）函数的单调性与最值一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·珠海摸底)下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝2－x B．y＝xC．y＝log2x D．y＝－1 x解析：选B由题知，只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数．2．(2018·北京东城期中)已知函数y＝1x－1，那么()A．函数的单调递减区间为(－∞，1)，(1，＋∞) B．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞) C．函数的单调递增区间为(－∞，1)，(1，＋∞) D．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：选A函数y＝1x－1可看作是由y＝1x向右平移1个单位长度得到的，∵y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y＝1x－1在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函数y＝1x－1的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A.3．(2018·绍兴模拟)已知函数f(x)的图象关于(1,0)对称，当x＞1时，f(x)＝log a(x－1)，且f(3)＝－1，若x1＋x2＜2，(x1－1)(x2－1)＜0，则()A．f(x1)＋f(x2)＜0B．f(x1)＋f(x2)＞0C．f(x1)＋f(x2)可能为0D．f(x1)＋f(x2)可正可负解析：选B∵当x＞1时，f(x)＝log a(x－1)，f(3)＝log a2＝－1，∴a＝1 2，故函数f(x)在(1，＋∞)上为减函数，若x1＋x2＜2，(x1－1)(x2－1)＜0，不妨令x1＜1，x2＞1，则x2＜2－x1，f(x2)＞f(2－x1)，又∵函数f(x)的图象关于(1,0)对称，∴f (x 1)＝－f (2－x 1)，此时f (x 1)＋f (x 2)＝－f (2－x 1)＋f (x 2)＞0，故选B. 4．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14， 结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.答案：145．(2018·杭州十二校联考)设min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，若定义域为R 的函数f (x )，g (x )满足f (x )＋g (x )＝2xx 2＋8，则min{f (x )，g (x )}的最大值为____________．解析：设min{f (x )，g (x )}＝m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤f (x )，m ≤g (x )⇒2m ≤f (x )＋g (x )⇒m ≤xx 2＋8，显然当m 取到最大值时，x >0， ∴x x 2＋8＝1x ＋8x ≤12 x ·8x＝28，∴m ≤28，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝g (x )，x ＝8x ，x >0时等号成立，即m 的最大值是28. 答案：28二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增． 所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f (log 2a )＋f ⎝⎛⎭⎫log 12a ≤2f (1)，则a 的取值范围是( ) A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2D ．(0,2]解析：选C 因为log 12a ＝－log 2 a ，且f (x )是偶函数，所以f (log 2a )＋f (log 12 a )＝2f (log 2a )＝2f (|log 2a |)≤2f (1)，即f (|log 2a |)≤f (1)，又函数在[0，＋∞)上单调递增，所以0≤|log 2a |≤1， 即－1≤log 2 a ≤1，解得12≤a ≤2.3．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C ．(0,2)D.⎣⎡⎭⎫138，2解析：选B 因为函数为递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，2(a －2)≤⎝⎛⎭⎫122－1， 解得a ≤138，故选B. 5．(2018·湖州模拟)若f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，则下列不等式正确的是( ) A ．f (sin x )＞f (cos x ) B ．f ⎝⎛⎭⎫x 2＋12＞f (x )C ．f ⎝⎛⎭⎫13x ＋1≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋1D ．f ⎝⎛⎭⎫13x ＋3－x ≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋2－x解析：选D A ．x ∈⎝⎛⎭⎫π4，1时，sin x ＞cos x ， ∵f (x )在(－1,1)上为减函数， ∴f (sin x )＜f (cos x )，∴该选项错误； B ．x ∈(－1,1)，∴x 2＋12－x ＝12(x －1)2＞0，∴x 2＋12>x ，且f (x )在(－1,1)上单调递减，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2＋12<f (x )，∴该选项错误；C.13x ＋1－12x ＋1＝2x－3x(3x ＋1)(2x ＋1)＝3x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x －1(3x ＋1)(2x ＋1)， ∵x ∈(－1,1)，∴x ∈(－1,0)时，⎝⎛⎭⎫23x>1， ∴13x＋1>12x ＋1，且f (x )在(－1,1)上为减函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫13x ＋1<f ⎝⎛⎭⎫12x ＋1，∴该选项错误；D.13x ＋3－x －12x ＋2－x ＝3x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x －1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫16x (3x ＋3－x )(2x ＋2－x )， ∴①x ∈(－1,0]时，⎝⎛⎭⎫23x －1≥0,1－⎝⎛⎭⎫16x ≤0， ∴13x＋3－x ≤12x ＋2－x. ②x ∈(0,1)时，⎝⎛⎭⎫23x －1<0,1－⎝⎛⎭⎫16x >0， ∴13x＋3－x <12x ＋2－x， ∴综上得，13x ＋3－x ≤12x ＋2－x ，∵f (x )为(－1,1)上的减函数，∴f ⎝⎛⎭⎫13x ＋3－x ≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋2－x ，∴该选项正确．6．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. ∴a ＋b ＝6. 答案：67．(2017·嘉兴期中)若函数f (x )同时满足： (1)对于定义域上的任意x ，恒有f (x )＋f (－x )＝0；(2)对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则称函数f (x )为“理想函数”． 给出下列四个函数中：①f (x )＝1x ； ②f (x )＝x 2；③f (x )＝2x －12x ＋1； ④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0.则被称为“理想函数”的有________(填序号)．解析：依题意，性质(1)反映函数f (x )为定义域上的奇函数，性质(2)反映函数f (x )为定义域上的单调减函数．①f (x )＝1x 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，故排除①；②f (x )＝x 2为定义域上的偶函数，排除②；③f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，定义域为R ，由于y ＝2x ＋1在R 上为增函数，故函数f (x )为R 上的增函数，排除③；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0的图象如图：显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故④为理想函数．答案：④8．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝ (1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m >0，即m <14.若a >1，则函数f (x )在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4， 解得a ＝2，12＝m ，与m <14矛盾；当0<a <1时，函数f (x )在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a ＝14.答案：149．(2018·杭州五校联考)函数y ＝f (x )的定义域为R ，若存在常数M >0，使得|f (x )|≥M |x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为“圆锥托底型”函数．(1)判断函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． (2)若f (x )＝x 2＋1是“圆锥托底型”函数，求出M 的最大值．解：(1)函数f (x )＝2x .∵|2x |＝2|x |≥2|x |，即对于一切实数x 使得|f (x )|≥2|x |成立， ∴函数f (x )＝2x 是“圆锥托底型”函数． 对于g (x )＝x 3，如果存在M >0满足|x 3|≥M |x |， 而当x ＝M2时，由⎪⎪⎪⎪ M 23≥M ⎪⎪⎪⎪M 2， ∴M2≥M ，得M ≤0，矛盾， ∴g (x )＝x 3不是“圆锥托底型”函数．(2)∵f (x )＝x 2＋1是“圆锥托底型”函数，故存在M >0，使得|f (x )|＝|x 2＋1|≥M |x |对于任意实数恒成立．∴x ≠0时，M ≤⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |，此时当x ＝±1时，|x |＋1|x |取得最小值2， ∴M ≤2.而当x ＝0时，也成立． ∴M 的最大值等于2. 10．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ， 设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫a －1x 2－⎝⎛⎭⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立， 设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2， h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－1x 1x 2.因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1，所以2－1x 1x 2>0， 所以h (x 1)<h (x 2)，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·杭州模拟)设函数f (x )与g (x )的定义域为R ，且f (x )单调递增，F (x )＝f (x )＋g (x )，G (x )＝f (x )－g (x )．若对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，不等式[f (x 1)－f (x 2)]2>[g (x 1)－g (x 2)]2恒成立．则( )A ．F (x )，G (x )都是增函数B ．F (x )，G (x )都是减函数C ．F (x )是增函数，G (x )是减函数D ．F (x )是减函数，G (x )是增函数解析：选A 对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，不等式[f (x 1)－f (x 2)]2>[g (x 1)－g (x 2)]2恒成立，不妨设x 1>x 2，f (x )单调递增，∴f (x 1)－f (x 2)>g (x 1)－g (x 2)，且f (x 1)－f (x 2)>－g (x 1)＋g (x 2)， ∴F (x 1)＝f (x 1)＋g (x 1)，F (x 2)＝f (x 2)＋g (x 2)， ∴F (x 1)－F (x 2)＝f (x 1)＋g (x 1)－f (x 2)－g (x 2) ＝f (x 1)－f (x 2)－[]g (x 2)－g (x 1)>0，∴F (x )为增函数；同理可证G (x )为增函数．2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)证明：f (x )为单调递减函数；(2)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， 所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，F ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1， 所以f (9)＝－2.所以f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。
2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：课时
课时跟踪检测（四十九） 双 曲 线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是( ) A ．4 B.14 C ．－14D ．－4解析：选C 依题意得m ＜0，双曲线方程是x 2－y 2－1m ＝1，于是有－1m ＝2×1，m ＝－14. 2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x解析：选B 由条件e ＝3，即c a ＝3，得c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝3，所以ba ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选B.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点为F 1，F 2，且C 上点P 满足PF 1―→·PF 2―→＝0，|PF 1―→|＝3，|PF 2―→|＝4，则双曲线C 的离心率为( )A.102B ． 5 C.52D ．5解析：选D 依题意得，2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝1，|F 1F 2|＝|PF 2|2＋|PF 1|2＝5， 因此该双曲线的离心率e ＝|F 1F 2||PF 2|－|PF 1|＝5.4．(2018·义乌质检)设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，P 在双曲线的右支上，且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝____________；S △F 1PF 2＝____________.解析：由题可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝10. 因为|PF 1|·|PF 2|＝32，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝100＝|F 1F 2|2， 所以PF 1⊥PF 2，所以∠F 1PF 2＝π2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝32×12＝16.答案：π2165.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若|AB |＝4，|BC |＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1二保高考，全练题型做到高考达标1．“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)＜0，∴k ＜9或k ＞25，∴“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2018·杭州调研)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析：选D 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)， 所以|AB |＝4 3.3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13 B.12 C.23D.32解析：选D 由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.4．(2018·浙大附中测试)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，经过右焦点F 2的直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，且|PF 2|＝2|F 2Q |，PQ ⊥F 1Q ，则双曲线C 的离心率是( )A. 2 B ． 3 C.102D.173解析：选D 设|F 2Q |＝m ，则|F 1Q |＝2a ＋m ，|F 2P |＝2m ，|F 1P |＝2a ＋2m . 因为 PQ ⊥F 1Q ，所以(2a ＋m )2＋(3m )2＝(2a ＋2m )2， 解得6m 2＝4am ，解得m ＝23a ，所以|F 1Q |＝83a .所以在△F 1F 2Q 中，|F 1F 2|＝2c ，所以⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫8a 32＝(2c )2， 解得17a 2＝9c 2，所以e 2＝c 2a 2＝179，即e ＝173.5．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤1，52 B ．⎝⎛⎦⎤1，72 C.⎣⎡⎭⎫52，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫72，＋∞解析：选C 由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点， 从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ， 又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.6．已知双曲线的一个焦点F (0，5)，它的渐近线方程为y ＝±2x ，则该双曲线的标准方程为________________；其离心率为____________．解析：设双曲线的标准方程为 y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，a b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，a ＝2b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为y 24－x 2＝1.所以a ＝2，离心率e ＝c a ＝52.答案：y 24－x 2＝1 527．若点P 是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|PA |＋|PB |＝________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PA |＞|PB |.因为点P 是双曲线与圆的交点， 所以由双曲线的定义知，|PA |－|PB |＝25， ① 又|PA |2＋|PB |2＝36， ② 联立①②化简得2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52，所以|PA |＋|PB |＝213. 答案：2138．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，则圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc . 又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ， 所以b ·sin 60°＝ab c ，即3b 2＝abc ， 所以e ＝23＝233.答案：2339．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：设MF 1―→＝(－23－3，－m )， MF 2―→＝(23－3，－m )．∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2―→＝0.(3)∵△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝±3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6， ∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)．联立⎩⎨⎧x 23－y 26＝1，y ＝33(x －3)，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13× ⎝⎛⎭⎫－652－4×⎝⎛⎭⎫－275＝1635. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·暨阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且满足FP ―→＝3FH ―→，则双曲线的离心率为( )A.3 B ．2 3 C.132D.13解析：选C 不妨取渐近线方程为y ＝－ba x ，则|FH |＝|bc |a 2＋b 2＝b . 因为FP ―→＝3FH ―→，所以|FP |＝3b ， 设双曲线的右焦点为F 2，则|F 2P |＝3b －2a . 因为cos ∠PFF 2＝bc，|FF 2|＝2c .所以由余弦定理得：(3b －2a )2＝4c 2＋9b 2－2×2c ×3b ×bc ，化简得2b ＝3a .若取a ＝2，则b ＝3，c ＝13. 所以离心率为e ＝c a ＝132.2．(2018·浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围． 解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得，a ＝3，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝36(1－k 2)>0，x A＋x B＝62k1－3k 2<0，x A x B＝－91－3k 2>0，解得33<k <1. ∴k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫33，1. (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2.∴AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2.设直线l 0的方程为：y ＝－1k x ＋m ，将点P 的坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0. ∴m <－2 2.∴m 的取值范围为(－∞，－22)．。
2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：板块
板块命题点专练(一) 集合与常用逻辑用语1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝()A．{1,2,3,4}B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}解析：选A由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．2．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C ＝()A．{2}B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：选B A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．3．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝()A．(－1,2)B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析：选A根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．4．(2015·浙江高考)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，则(∁R P)∩Q＝() A．[0,1)B．(0,2]C．(1,2) D．[1,2]解析：选C由x2－2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以∁R P＝{x|0＜x＜2}＝(0,2)．又Q＝{x|1＜x≤2}＝(1,2]，所以(∁R P)∩Q＝(1,2)．5．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3B．2C．1 D．0解析：选B因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.6．(2017·江苏高考)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}得a＝1，即实数a的值为1.答案：1n n S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.2．(2015·浙江高考)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0 ⇒/ ab ＞0； 当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0 ⇒/a ＋b ＞0. 故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．3．(2017·天津高考)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由2－x ≥0，得x ≤2，由|x －1|≤1，得0≤x ≤2.∵0≤x ≤2⇒x ≤2，x ≤2 ⇒/0≤x ≤2， 故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．4．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6，故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”． 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件． 法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件． 5．(2017·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2.∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线． 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．6．(2016·山东高考)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意知a ⊂α，b ⊂β，若a ，b 相交，则a ，b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a ，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：选D根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．2．(2014·陕西高考)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：选B因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.。
标题-2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：第三章 第八节 函数与方程
(1)方程法：令 f(x)＝ 0，如果能求出解，则有几个解就 有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间 [a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)· f(b)<0，还必须结合函 数的图象与性质 (如单调性、奇偶性、周期性、对称性 )才能 确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问 题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的 横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
解析：法一：∵ f(1)＝ 12－ 3× 1－ 18＝－ 20<0， f(8)＝ 82－ 3× 8－ 18＝ 22>0， ∴ f(1)· f(8)<0， 又 f(x)＝ x2－ 3x－ 18 在区间[1,8]的图象是连续的， 故 f(x)＝ x2－ 3x－ 18 在区间[1,8]上存在零点． 法二： 令 f(x)＝ 0，得 x2－ 3x－ 18＝ 0， ∴ (x－ 6)(x＋ 3)＝ 0.∵ x＝ 6∈[1,8]，x＝－ 3∉[1,8]， ∴ f(x)＝ x2－ 3x－ 18 在区间[1,8]上存在零点．
考点二 判断函数零点个数
[典例引领]
1．函数 f(x)＝ |x－ 2|－ ln x 在定义域内的零点的个数为 ( A． 0 C． 2 B． 1 D． 3 )
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解析： 由题意可知 f(x)的定义域为(0， ＋∞ )． 在同一直角坐标系中画出函数 y ＝|x－ 2|(x>0)，y＝ ln x(x>0)的图象，如 图所示： 由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2.
x x x
x 1 2 1 a＝2 － － ， 2 4
1 x 1 2 1 1 ∈ ， 2，∴2 － － ∈ － ， 2. 2 4 4 2
2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：课时
课时跟踪检测（四十二） 空间向量的应用一保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·昆明两区七校调研)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝1，E 为BC 中点．(1)求证：C 1D ⊥D 1E ；(2)在棱AA 1上是否存在一点M ，使得BM ∥平面AD 1E ？若存在，求AM AA 1的值，若不存在，说明理由； (3)若二面角B 1-AE -D 1的大小为90°，求AD 的长．解：(1)证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a,1,0)，C (0,1,0)，B 1(a,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫a2，1，0， ∴C 1D ―→＝(0，－1，－1)，D 1E ―→＝⎝⎛⎭⎫a2，1，－1， 则C 1D ―→·D 1E ―→＝0， ∴C 1D ⊥D 1E . (2)设AMAA 1＝h ，则M (a,0，h )， ∴BM ―→＝(0，－1，h )，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，0，AD 1―→＝(－a,0,1)， 设平面AD 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧AE ―→·n ＝－a2x ＋y ＝0， AD 1―→·n ＝－ax ＋z ＝0，∴平面AD 1E 的一个法向量为n ＝(2，a,2a )， ∵BM ∥平面AD 1E ，∴BM ―→⊥n ，即BM ―→·n ＝2ah －a ＝0，∴h ＝12.即在AA 1上存在点M ，使得BM ∥平面AD 1E ，此时AM AA 1＝12.(3)连接AB 1，B 1E ，设平面B 1AE 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，0，AB 1―→＝(0,1,1)，则⎩⎨⎧AE ―→·m ＝－a 2x ′＋y ′＝0，AB 1―→·m ＝y ′＋z ′＝0，∴平面B 1AE 的一个法向量为m ＝(2，a ，－a )． ∵二面角B 1-AE -D 1的大小为90°， ∴m ⊥n ，∴m ·n ＝4＋a 2－2a 2＝0， ∵a ＞0，∴a ＝2，即AD ＝2.2.如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，M 为AB 的中点，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m .(1)求直线AP 与直线DM 所成角的余弦值的取值范围； (2)在线段A 1C 1上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ，并证明你的结论．解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，12，0，P (0,1，m )，C 1(0,1,2)，D 1(0,0,2)． (1)设直线DM 与AP 所成的角为θ， 可知DM ―→＝⎝⎛⎭⎫1，12，0，AP ―→＝(－1,1，m )， 所以cos θ＝|DM ―→·AP ―→||DM ―→|·|AP ―→|＝⎪⎪⎪⎪－1254·2＋m 2＝15(2＋m 2)，又0≤m ≤2，所以15(2＋m 2)∈⎣⎡⎦⎤3030，1010，即直线AP 与直线DM 所成角的余弦值的取值范围为⎣⎡⎦⎤3030，1010.(2)假设在A 1C 1上存在一点Q ，使得对任意的m ，D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP . 证明如下：由题意可设Q 点的横坐标为x ， 则Q (x,1－x,2)，依据题意，对任意的m ，要使D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP 等价于D 1Q ⊥AP ， 即AP ―→·D 1Q ―→＝0，又AP ―→＝(－1,1，m )，D 1Q ―→＝(x,1－x,0)，所以－x ＋1－x ＝0，即x ＝12.故Q 为A 1C 1的中点时，满足要求．3.如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D -xyz . 依题易得D (0,0,0)，A (1,0,0)，M (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，N (1,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，所以NE ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，0，－1，AM ―→＝(－1,0,1)． 设异面直线NE 与AM 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈NE ―→，AM ―→〉|＝|NE ―→·AM ―→||NE ―→|·|AM ―→|＝1252×2＝1010. 所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010. (2)假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ， 因为AN ―→＝(0,1,1)，可设AS ―→＝λAN ―→＝(0，λ，λ)，λ∈[0,1]， 又EA ―→＝⎝⎛⎭⎫12，－1，0， 所以ES ―→＝EA ―→＋AS ―→＝⎝⎛⎭⎫12，λ－1，λ. 由ES ⊥平面AMN ， 得⎩⎨⎧ES ―→·AM ―→＝0， ES ―→·AN ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋λ＝0，λ－1＋λ＝0，解得λ＝12，此时AS ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，|AS ―→|＝22. 经检验，当AS ＝22时，ES ⊥平面AMN . 故线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ， 此时AS ＝22.4．如图1，∠ACB ＝45°，BC ＝3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC ＝90°(如图2所示)．(1)当BD 的长为多少时，三棱锥A -BCD 的体积最大；(2)当三棱锥A -BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．解：(1)设BD ＝x (0＜x ＜3)，则CD ＝3－x .由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知，△ADC 为等腰直角三角形， 所以AD ＝CD ＝3－x .由折起前AD ⊥BC 知，折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，且BD ∩DC ＝D ， 所以AD ⊥平面BCD . 又∠BDC ＝90°，所以S △BCD ＝12BD ·CD ＝12x (3－x )．于是V A -BCD ＝13AD ·S △BCD＝13(3－x )·12x (3－x ) ＝112·2x (3－x )·(3－x )≤112⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－x )＋(3－x )33＝23(当且仅当2x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立)，故当x ＝1，即BD ＝1时，三棱锥A -BCD 的体积最大．(2)以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz . 由(1)知，当三棱锥A -BCD 的体积最大时，BD ＝1， AD ＝CD ＝2.于是可得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,2,0)，A (0,0,2)，M (0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，所以BM ―→＝(－1,1,1)．设N (0，λ，0)，则EN ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，λ－1，0. 因为EN ⊥BM ， 所以EN ―→·BM ―→＝0，即⎝⎛⎭⎫－12，λ－1，0·(－1,1,1)＝12＋λ－1＝0， 故λ＝12，N ⎝⎛⎭⎫0，12，0. 所以当DN ＝12(即N 是CD 上靠近点D 的一个四等分点)时，EN ⊥BM .设平面BMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥BN ―→，n ⊥BM ―→，及BN ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，12，0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋12y ＝0，－x ＋y ＋z ＝0，取x ＝1得n ＝(1,2，－1)． 设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ， 则由EN ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0， 可得sin θ＝|cos 〈n ，EN ―→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·EN ―→|n |·|EN ―→|＝⎪⎪⎪⎪－12－16×22＝32，即θ＝60°， 故EN 与平面BMN 所成角的大小为60°. 二上台阶，自主选做志在冲刺名校如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD⊥平面ABCD ，E 为PB 上任意一点，O 为菱形ABCD 对角线的交点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBD ；(2)试确定点E 的位置，使得四棱锥P -ABCD 的体积被平面EAC 分成3∶1两部分．(3)在(2)的条件下，若∠BAD ＝60°，二面角B -AE -C 的大小为45°，求PD ∶AD 的值． 解：(1)证明：如图，过点B 作BG ⊥AD 于点G ， 由于平面PAD ⊥平面ABCD ，由面面垂直的性质定理可知BG ⊥平面PAD ， 又PD ⊂平面PAD ，故PD ⊥BG .同理，过点B 作BH ⊥CD 于点H ，则PD ⊥BH . 又BG ⊂平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，BG ∩BH ＝B ， 所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AC . 又BD ⊥AC ，故AC ⊥平面PBD ， 所以平面EAC ⊥平面PBD .(2)若四棱锥P -ABCD 的体积被平面EAC 分成3∶1两部分， 则三棱锥E -ABC 的体积是四棱锥P -ABCD 的体积的14，设四棱锥P -ABCD 的底面积为S ，三棱锥E -ABC 的高为h ， 则13×12S ×h ＝14×13S ×PD ， 由此得h ＝12PD ，故此时E 为PB 的中点．(3)法一：如图，连接EO ，易知O 为BD 的中点， 由(2)知E 为PB 的中点， 所以EO ＝12PD ，并且EO ∥PD ，则平面EAC ⊥平面ABCD ， 故BO ⊥平面EAC ，BO ⊥AE . 过点O 作OF ⊥AE 于点F ， 则AE ⊥平面BOF ， 连接BF ， 则AE ⊥BF ，故∠OFB 即为二面角B -AE -C 的平面角， 即∠OFB ＝45°.设AD ＝a ，则BD ＝a ，OB ＝12a ，OA ＝32a .在Rt △BOF 中，tan ∠OFB ＝OB OF ＝12aOF ＝1， 故OF ＝12a ，在Rt △AOE 中，由三角形的等积定理OA ·OE ＝OF ·AE ， 得32a ·OE ＝12a ·⎝⎛⎭⎫32a 2＋OE 2，解得OE ＝64a ，故PD ＝62a ， 所以PD ∶AD ＝6∶2.法二：连接OE ，由(1)(2)知OA ，OB ，OE 两两垂直，以点O 为坐标原点，OA ―→，OB ―→，OE ―→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz ，设OB ＝m ，OE ＝h ，则OA ＝3m ， 从而A (3m,0,0)，B (0，m,0)，E (0,0，h )， AB ―→＝(－3m ，m,0)，BE ―→＝(0，－m ，h )，这时可以选向量n 1＝(0,1,0)作为平面AEC 的一个法向量， 设平面ABE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB ―→＝0，n 2·BE ―→＝0，即⎩⎨⎧－3mx ＋my ＝0，－my ＋hz ＝0，取x ＝1，则y ＝3，z ＝3m h， 则平面ABE 的一个法向量为n 2＝⎝⎛⎭⎫1，3，3m h ， 故cos 45°＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝31＋3＋3m 2h2＝22， 解得h m ＝62，则PD ∶AD ＝2h ∶2m ＝h ∶m ＝6∶2.。
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课时跟踪检测（四十五） 圆的方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：选A ∵AB 的中点坐标为(0,0)，|AB |＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C ．(－2,0) D.⎝⎛⎫－2，23 解析：选D 由圆的定义知，若方程表示圆，则a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23. 3．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2， 因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.4．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．解析：圆C 的方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1. 所以，当k ＝0时圆C 的面积最大，即圆心C 的坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)5．已知圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，则该圆的方程为________；若M(m，6)在圆C内，则m的取值范围为________．解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|，得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.半径r＝|CA|＝(2＋1)2＋12＝10.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.由题意知(m－2)2＋(6)2＜10，解得0＜m＜4.答案：(x－2)2＋y2＝10(0,4)二保高考，全练题型做到高考达标1．方程y＝1－x2表示的曲线是()A．上半圆B．下半圆C．圆D．抛物线解析：选A由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．2．(2018·嘉兴七校联考)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为() A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1解析：选A已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.3．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是()A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8解析：选A因为直线x－y＋1＝0与x轴的交点(－1,0)，所以圆C的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.4．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)解析：选D曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，故曲线C 是圆心为(－a,2a )，半径为2的圆，要使圆C 的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径，易知圆心到坐标轴的最短距离为|－a |，则有|－a |>2，得a >2.5．(2018·浙江名校联盟调研)已知直角三角形ABC 的斜边AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，则直角边BC 的中点的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＋4x ＋3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＋3＝0(y ≠0)C ．x 2＋y 2－4x ＋3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋3＝0(y ≠0)解析：选D 设直角边BC 的中点为P (x ，y )，因为B (3,0)，所以C (2x －3,2y )．因为AC ⊥BC ，所以AC ―→·BC ―→＝(2x －2)·(2x －6)＋4y 2＝0，化简得x 2＋y 2－4x ＋3＝0.因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.即x 2＋y 2－4x ＋3＝0(y ≠0)．6．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为__________．解析：设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.故|PM |＋|PN |的最小值为52－4.答案：52－47．(2018·丽水调研)已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________．解析：过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0. 由于直线过圆心C (2,1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，此弦所在的直线方程为y －0＝x －1，即为x －y －1＝0.答案：x ＋y －1＝0 x －y －1＝08．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________；其面积为____________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5，所以其面积为S ＝5π.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5 5π9．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点．(1)求m ＋2n 的最大值；(2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋22≤22， 解上式得，16－210≤t ≤16＋210，所以所求的最大值为16＋210.(2)记点Q (－2,3)，因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率k ， 所以直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.由直线MQ 与圆C 有公共点， 得|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 10．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点，∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→＝0.又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )，∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255. 把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53. 当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l上的点Q 使得AP ―→＋AQ ―→＝0，则m 的取值范围为________．解析：曲线C ：x ＝－4－y 2是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x P ∈[－2,0]，对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP ―→＋AQ ―→＝0，则A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x ＝6，∴m ＝6＋x P 2∈[2,3]． 答案：[2,3]2．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则(x＋3)2＋y2＝2(x－3)2＋y2，化简可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．(2)由(1)知曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆．由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，此时|CQ|＝|5＋3|2＝42，故|QM|的最小值为32－16＝4.。