《图形的相似》提升练习
初三图形的相似练习题
初三图形的相似练习题在初三的数学学习中，相似形是一个非常基础且重要的概念。
了解并掌握相似形的性质和运用方法，对于解决各种几何问题起到至关重要的作用。
为了帮助同学们更好地理解和掌握相似形的知识，下面将提供一些相似形的练习题供大家练习。
练习题1：已知图形ABCD与图形EFGH是相似形，已知AB=4cm，EF=6cm，BC=5cm，FG=10cm。
求图形EFGH的其他边长。
解答：由相似形的性质可知，相似形的对应边长之间的比例相等。
设ED为图形ABCD与图形EFGH对应的边长。
根据比例关系可以得到：AB/EF = BC/FG = CD/GH = AD/EH代入已知条件，得到：4/6 = 5/10 = CD/10解方程可得：CD = 20/3 cm由此可知，图形EFGH的其他边长为：EF = 6cm，FG = 10cm，GH = 2*(20/3) = 40/3 cm，EH = 2*4 = 8cm。
练习题2：已知图形PQRS与图形IJKL是相似形，已知PQ=8cm，IJ=12cm，PR=10cm，KL=15cm。
求图形PQRS的其他边长。
解答：同样地，根据相似形的性质可得到：PQ/IJ = PR/KL = PS/JL = QS/KI代入已知条件，得到：8/12 = 10/15 = PS/15解方程可得：PS = 20/3 cm由此可知，图形PQRS的其他边长为：PQ = 8cm，PR = 10cm，RS = 2*(20/3) = 40/3 cm，QS = 2*8 = 16cm。
练习题3：已知图形WXYZ与图形ABCD是相似形，已知WX=12cm，AB=8cm，YZ=16cm。
求图形WXYZ的其他边长。
解答：同样地，根据相似形的性质可得到：WX/AB = WY/AD =XZ/BC = YZ/CD代入已知条件，得到：12/8 = WY/AD = XZ/BC = 16/CD解方程可得：CD = 32/3 cm由此可知，图形WXYZ的其他边长为：WX = 12cm，XY = 2*(32/3) = 64/3 cm，YZ = 16cm，ZW = 2*12 = 24cm。
《图形的相似》提升练习
周末能力提升题《图形的相似》.选择题若厶ABC 〜△ DEF ，相似比为3: 2,则对应高的比为（ 3: 2 B . 3: 5 C . 9: 4 D . 4: 9A. 1: 4 B . 4: 1 C . 1: 2 D . 2: 18.如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC >BC ），下列结论错误的是（9 .如图，△ A B'是△ ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若厶A的面积与厶ABC 的面积比是4: 9,则OB : OB 为（ ） A . 2: 3 B . 3: 2 C . 4: 5 D . 4: 92. F 列四组图形中，一定相似的图形是（各有一个角是30°勺两个等腰三角形 B . 有两边之比都等于2: 3的两个三角形 C . 各有一个角是120°的两个等腰三角形 D . 各有一个角是直角的两个三角形3. 如上图，△ ABC 中，DE // BC ,AD = AB 3,AE=2cm ，贝U AC 的长是（ ）4. 2cm B . 4cm C . 6cmD . 8cm如图，在大小为4X 4的正方形网格中，是相似三角形的是（ A .①和② B .②和③ C .①和③ D .②和④/L75.在相同时刻物高与影长成比例，如 果高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ,那么影长为 30m 的旗杆的高度是（A . 20mB . 16mC . 18m15m6 .如果 x : (x+y ) =3: 5,那么 x :y=(B .C .7.已知△ ABCDEF ，且相似比为1: 2,则厶ABC 与厶DEF 的面积比AC Bg丽WB . BC 2=AB?BC C .①②©)B•填空题10. 在△ ABC 中，点 D 、E 分别在边 AB 、BC 上，DE // AC ,若 BD=8 , DA=4 , BE=6，贝U EC= ___ .11. 如下图，在△ ABC 中，AB=9 , AC=6 .点M 在边AB 上，且AM=3，点N 在AC 边上.当AN= ________ 时，△ AMN 与原三角形相似. 12.如下图，若△ ADE ACB ，且丄丄，若四边形BCED 的面积是2,则厶AC 3ADE 的面积是 _______ .16. 如图，在△ ABC 中，/ ABC=80，/ BAC=40，AB 的垂直平分线分别与 AC 、AB 交于点D 、E ，连接BD . 求证：△ ABCBDC .舞台一端 _______ 米远的地方.15. 如图，正方形 ABCD 中，AB=2，E 为 和N 分别在边 CD 和AD 上运动且 MN=1， N 为顶点的三角形相似，贝U DM= ______ .三.解答题ANDBC 中点，两个动点M 若厶ABE 与以D 、M 、 1BEC13.如下图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点 O ）A17. 如图，AD // BC,/ ABC=90 , AB=8 , AD=3 , BC=4，点P为AB 边上一动点，若△ PAD与厶PBC是相似三角形，求AP的长.18. 如图，AB=AC，/ A=36°，BD是/ABC的角平分线,求证：△ ABCBCD .19. 如图，四边形ABCD 中，AC 平分/ DAB，/ ADC= /ACB=90，E 为AB的中点.(1)求证：AC2=AB?AD ; (2)求证：CE// AD .•选择题（共9小题）1. 若△ ABC〜△ DEF，相似比为3: 2,则对应高的比为（）A. 3：2B. 3：5C. 9：4D. 4：9【解答】解：•••△ ABC〜△ DEF,相似比为3：2,•••对应高的比为：3：2.故选：A.2. 下列四组图形中，一定相似的图形是（）A. 各有一个角是30°的两个等腰三角形B. 有两边之比都等于2：3的两个三角形C. 各有一个角是120°的两个等腰三角形D .各有一个角是直角的两个三角形【解答】解：A、各有一顶角或底角是30°的两个等腰三角形相似，故错误，不符合题意；B、有两边之比为2：3的两个三角形不一定相似，故错误，不符合题意；C、各有一个角是120°的两个等腰三角形相似，正确，符合题意；D、两个直角三角形不一定相似，故错误，不符合题意；故选C .3. 如图，△ ABC 中，DE // BC,.二二，AE=2cm，贝U AC 的长是（）A . 2cmB . 4cmC . 6cmD . 8cm【解答】解：：DE / BC，.AEAB AC，AE=2cm，■' - 1• AC=6 (cm)，故选 C .A .①和②B .②和③C .①和③D .②和④ 【解答】解：①和③相似，•••由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为 2、.［、. I ； 由勾股定理求出③的各边长分别为 2二、2、2.二 • .■：=: …砸飞， —•， 即—=：上—,辭2碍，•两三角形的三边对应边成比例， •①③相似. 故选C .5.在相同时刻物高与影长成比例，如果高为 1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么影长为30m 的旗杆的高度是（ ）A . 20mB . 16mC . 18mD . 15mwz 的••测竿的高度 旗杆的高度【解答】解：•「 • 1.5二旗杆的高度 • •十 T ， 解得旗杆的高度 : -i=18m .故选C .• 5x=3x+3y ， 2x=3y ,• x : y=3: 2=—，故选：D .6.如果x :8B .(x+y ) 3S=3: C .5，那么 x : y=（ D 上 【解答】解：：x : (x+y ) =3: 5,7.已知△ ABC s\DEF,且相似比为1:2,则厶ABC与厶DEF的面积比为（A. 1: 4B. 4: 1C. 1: 2D. 2: 1【解答】解：•••△ ABCDEF,且相似比为1: 2,•••△ ABC与厶DEF的面积比为1: 4,故选A8. 如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC >BC）,下列结论错误的是（A匚B. BC2=AB?BCC. AC = D •举祝613AE AC|AB2AC【解答】解：••-AC>BC,••• AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB : AC=AC : BC ,故A正确，不符合题意；AC2=AB?BC,故B 错误，坐出丄，故C正确，不符合题意；AB 2一~0.618,故D正确，不符合题意.故选B.9 .如图，△ A B'是;△ ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若厶A 的面积与厶ABC的面积比是4: 9,则OB : OB为（）A. 2: 3B. 3: 2C. 4: 5D. 4: 9【解答】解：由位似变换的性质可知，A B//AB , A CW AC ,•••△A BVA ABC .•••△ A'B'C'与厶ABC的面积的比4: 9,•••△ A'B'C'与厶ABC的相似比为2: 3,|0B x I2OB |3故选：A.B' C•••△ ADE 与四边形BCED 的面积比为：4，又四边形BCED 的面积是2,积是亠【解答】解：•••△ ADEACB ，且卑岭，•••△ ADE 与厶ACB 的面积比为：一,Ac JyBE . .BE AE CE ，- .ANA BAC- .AN AC | AB 8 即4 EC •填空题（共6小题）10.如图，在△ ABC 中，点D 、E 分别在边 AB 、BC 上，DE // AC ,若BD=8 , DA=4，BE=6，贝U EC= 3 【解答】解：：DE / AC ， 解得EC=3. 故答案为：3.11.在△ ABC 中，AB=9，AC=6 .点M 在边AB 上，且AM=3，点N 在AC 边 6 AN 即g 63 AN 即6 9 【解答】解：由题意可知，AB=9，AC=6，AM=3， ①若△ AMN ABC ，解得：AN=2 ; ②若△ AMN ACB ， 解得：AN=4.5; 故 AN=2 或 4.5.故答案为：2或4.5.12.若△ ADEACB ，且一》，若四边形BCED 的面积是2,则厶ADE 的面AU上.当AN= 2 或 4.5 时，△ AMN 与原三角形3-ADE 的面积是薈，故答案为：昔13. 如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离 灯的底部（点0） 20米的A 处，则小明的影子AM 长为 5 米. 【解答】解：根据题意，易得△ MBA MC0，解得AM=5m .则小明的影长为5米.14. 一个舞台长10米，演员报幕时应站在舞台的黄金分割处，则演员应站在距 舞台一端 15- 5.二或5 - --5 米远的地方.【解答】解：•••演员报幕时应站在舞台的黄金分割处, •距舞台一端是10X （ 1-[2或 10-（ 15-5 口）=5. 口-5 （米）. 故答案为：15- 5.「或5. 15.如图，正方形ABCD 中，AB=2，E 为BC 中点，两个动点M和N 分别在边 CD 和AD 上运动且MN=1，若△ ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似，贝U DM=二或' .—_5_ 各—【解答】解：：E 为BC 中点，正方形ABCD 的边长AB=2，• BE 」X 2=1，2 ，在Rt A ABE 中，根据勾股定理得，AE=，「‘丁=AB ，即1.60C 0A+AM 8 20+AM， 根据相似三角形的性质可知 AB_ _BE②DM 与BE是对应边时，则 丄 T ，）=15-5 口（米）.•••△ ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似, •••①DM 与AB 是对应边时，则AEABD M-.2 1 DM解得DM=即解得DM=「，综上所述，DM=5 岳或2塚 三.解答题 故答案为: 或丁. V5或 2^5516.如图，在厶ABC 中，/ ABC=80 平分线分别与AC 、AB 交于点 求证：△ ABCBDC . 【解答】证明:vDE 是AB 的垂直平分线, AB 的垂直,/ BAC=40 E ,连接BD .•••AD=BD . vZ BAC=40 •••Z ABD=40 vZABC=80 • ZDBC=40 • Z DBC= Z BAC ,vZC= Z C ,• △ ABCBDC . 17 .如图，AD // BC , Z ABC=90 AB=8 , AD=3 , BC=4，点 P 为AB 边上一动点，若△ PAD 与厶 DCPBC 是相似三角形，求AP 的长. 【解答】解：vAB 丄BC ,• Z B=90° .v AD // BC ,• Z A=180° -Z B=90° ,• Z PAD=Z PBC=90.AB=8, AD=3, BC=4, 设AP 的长为x ，贝U BP 长为8-x . 若AB 边上存在P 点，使△ PAD 与厶PBC 相似，那么分两种情况：①若△ APDBPC ，贝U AP : BP=AD : BC ，即卩 x : (8 -x ) =3: 4,解得x=I ?②若△ APDBCP，贝U AP:-x).解得x=2或x=6.所以AP=—718 .如图，AB=AC，/ A=36°,证：△ ABC s\BCD .【解答】证明：T AB=AC ,Z A=36 ,•••/ ABC= / C=72 ,••• BD是角平分线,•••/ ABD= / DBC=36 ,又•••/ C=Z C,19.如图，四边形ABCDDAB，/ ADC= / ACB=90(1)求证：AC2=AB?AD；(2)求证：CE// AD . 的中点. 分 /【解答】证明：（1）v AC平分/ BAD ,ADC= / ACB=90 ,•••△ ADCACB ,.ACAC AB 'AC2=AB?AD；(2)v E是AB的中点,••• CE=^AB=AE ,2 ，•••/ EAC= / ECA.••• AC 平分/ DAB ,•••/ CAD= / CAB,•••/ CAD= / ECA,••• CE // AD.。
图形的相似练习题
图形的相似练习题1、什么是图形的相似？答：图形的相似是指两个图形形状相同，大小可以不同。
2、什么是相似三角形？答：相似三角形是形状相同，大小不等的两个三角形。
二、基础应用1、下面的两个三角形是相似三角形吗？如果是，请说明理由。
答：是，因为它们的对应角相等，对应边成比例。
2、已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，请找出与它相似的三角形的三边长。
答：与它相似的三角形的三边长可以为6、8、10或者9、12、15等等。
三、提升练习1、在一张纸上画一个正方形，然后在纸上画一个与它相似的正方形。
验证这两个正方形是相似的。
答：在纸上画出两个正方形，通过测量它们的边长和角度来验证它们是相似的。
2、如果一个三角形与一个正方形是相似的，那么这个三角形的三边长有什么特点？答：如果一个三角形与一个正方形是相似的，那么这个三角形的三边长必须满足勾股定理。
四、拓展探究1、如果两个多边形分别是n边形和m边形，且它们是相似的，那么它们的边数有什么关系？答：如果两个多边形分别是n边形和m边形，且它们是相似的，那么它们的边数必须满足n:m=m:n。
2、如果两个图形是相似的，那么它们的其他属性（如面积、周长等）有什么关系？答：如果两个图形是相似的，那么它们的面积的比等于边长的比的平方，周长的比等于边长的比。
一、引言图形的相似是几何学中的一个重要概念，对于理解几何形状的性质和解决几何问题有着至关重要的作用。
为了确保学生对这个概念有深入的理解，我们进行了一次图形的相似单元测试。
以下是对本次测试的详细介绍。
二、测试内容本次测试旨在评估学生对图形相似的定义、性质和判定方法的理解和应用能力。
测试问题涵盖了基本概念、性质理解、判定方法以及应用题等多个方面。
1、基本概念：测试首先要求学生识别和理解图形相似的定义，包括相似图形的定义和性质。
2、性质理解：测试问题涉及图形相似的性质，如相似三角形的对应角相等、对应边成比例等。
3、判定方法：测试包括一些判定图形相似的方法，如利用角度、利用比例等。
中考数学总复习《图形的相似》专项提升训练(带有答案)
中考数学总复习《图形的相似》专项提升训练(带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．两个相似三角形的相似比是1:2，则其对应中线之比是( )A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:42．如图，在ABC 中2AC =，BC=4，D 为BC 边上的一点，且CAD B ∠=∠．若ADC △的面积为2，则ABD △的面积为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．若35a b =，则下列各式一定成立的是（ ）A ．53a b =B ．35a b =C ．65a b a +=D ．145a b += 4．如图，在ABC 中DE BC ∥，AD=1，BD=2，AC=6，则CE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在等边ABC 中，点D ，E 分别是BC AC ，上的点72AB CD ==，，60ADE ∠=︒则AE 等于（ ）A ．5B ．397C ．6D ．4176．下列命题正确的是（ ）A ．方程210x x --=没有实数根B ．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似C ．平分弦的直径垂直于弦D ．反比函数的图像不会与坐标轴相交7．已知ABC DEF ∽△△，:1:2AB DE =且ABC 的周长为6，则DEF 的周长为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．248．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()()0,0,1,2,0,3O A B ．若OA B ''△与OAB 是原点O 为位似中心的位似图形，且点B 的对应点为()0,9B '-，则点A 的对应点A '坐标为（ ） A ．()3,6 B ．()3,6-- C ．()3,6- D ．()3,6- 9．如图，D 是ABC 边AB 上一点，添加一个条件后，仍不能使ACD ABC △∽△的是（ ）A ．ACDB ∠=∠ B ．ADC ACB ∠=∠ C ．AD CD AC BC = D ．AC AB AD AC = 10．如图，已知ABC DAC △∽△，37B ∠=︒和116∠=︒D ，则BAD ∠的度数为（ ）A ．37︒B ．116︒C ．153︒D ．143︒二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，8AB =和4BC =，连接AC ，EF AC ⊥于点O ，分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连接AF 、CE ，则AF CE +的最小值为 ．12．如图，在ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，点F 为DE 中点，连接BF 并延长交AC 于点G ，则:AG GE = ．13．如图AC ，AD 和CE 是正五边形ABCDE 的对角线，AD 与CE 相交于点F ．下列结论：（1）CA 平分BCF ∠；（2）2CF EF =；（3）四边形ABCF 是菱形；（4）2AB AD EF =⋅．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）14．如图AC 、BD 交于点O ，连接AB 和CD ，若要使AOB COD ∽，可以添加条件 ．(只需写出一个条件即可)15．如图，在ABC 中4AC AB ==和30C ∠=︒，D 为边BC 上一点，且3CD =，E 为AB 上一点，若30ADE ∠=︒，则BE 的长为 ．16．在ABC 中，6810AC BC AB D ===，，，是AB 的中点，P 是CD 上的动点，若点P 到ABC 的一边的距离为2，则CP 的长为 ．17．如图，M 是Rt ABC △斜边AB 上的中点，将Rt ABC △绕点B 旋转，使得点C 落在射线CM 上的点D 处，点A 落在点E 处，边ED 的延长线交边AC 于点F ．如果3BC =．4AC =那么BE 的长为 ；CF 的长为 ．18．如图，在ABC 中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E ，若:3:1BF FD =，8BC =则CE 的长为 ．三、解答题19．已知O 为ABCD 两对角线的交点，直线l 过顶点D ，且绕点D 顺时针旋转，过点A ，C 分别作直线l 的垂线，垂足为点E ，F ．(1)如图1，若直线l 过点B ，求证：OE OF =；(2)如图2，若EFO FCA ∠=∠，2FC AE =求CFO ∠的度数；(3)如图3，若ABCD 为菱形4AE =，6AO =和8EO =直接写出CF 的长． 20．如图，在ABC 中2BAC C ∠=∠，利用尺规作图法在BC 上求作一点D ，使得ABDCBA ．（不写作法，保留作图痕迹）21．如图，在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，连接CD ，过点A 作AE CD ⊥于点E ，过点E 作EF CB ∥交BD 于点F ．(1)求证：ACE BAC ∽△△；(2)若5AC =，5AB =求CE 及EF 的长．22．如图，在直角梯形OABC 中BC AO ∥，=90AOC ︒∠点A 、B 的坐标分别为()5,0、()2,6点D 为AB 上一点，且2BD AD =．双曲线()0k y x x=>经过点D ，交BC 于点E ．求点E 的坐标．23．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线点F ．求证：APE FPA △∽△．24．如图1，菱形AGBD 边长为3，延长DB 至点C ，使得5BC =．连接AB ，AB AD =点E ，F 分别在线段AD 和AB 上，且满足DE AF =，连接BE ，DF 交于点O ，过点B 作BM BE ⊥，交DF 延长线于点M ，连接CM ．图1 图2(1)求OB 与BM 之间的数量关系；(2)当DMB DCM △∽△时，求DO 的长度；(3)如图2，过点M 作MN CD ⊥交CD 于N ，求MN MC的最大值． 1．B2．C3．A4．C5．B6．D7．C8．B9．C10．C11．1012．2:113．①①①14．A C ∠=∠(答案不唯一)15．9416．103或52或3512 17． 59418．16519．(2)60CFO ∠=︒(3)CF 的长为7 21．(2)1CE = 655EF =． 22．4,63⎛⎫ ⎪⎝⎭/11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭ 24．(1)3BM OB =(2)1OD =(3)1014101911316206517MN CN ++=。
中考数学复习《图形的相似》专题提升训练
中考复习训练图形的相似一、选择题1.下列各组图形中不是位似图形的是（）A. B. C. D.2.如果两个相似多边形的相似比为1：5，则它们的面积比为（）A. 1：25B. 1：5C. 1：2.5D. 1：3.在1：1000000的地图上，A，B两点之间的距离是5cm，则A，B两地的实际距离是（）A. 5kmB. 50kmC. 500kmD. 5000km4.如图，为估算某河的宽度，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m5.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与△ABC相似的三角形是（）A. △ACDB. △ADFC. △BDFD. △CDE6.一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（）A. 30厘米、45厘米；B. 40厘米、80厘米；C. 80厘米、120厘米；D. 90厘米、120厘米7.下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（）A. ∠A=∠E且∠D=∠FB. ∠A=∠B且∠D=∠FC. ∠A=∠E且D. ∠A=∠E且8.如图，小芳在达网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域内离网5米的位置上，如果她的击球高度是2.4米，则应站在离网的（）A. 15米处B. 10米处C. 8米处D. 7.5米处9.如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40mm，焦距是60mm，所拍摄的2m外的景物的宽CD 为（）A. 12mB. 3mC. mD. m10.如图，已知∠C=90°，四边形CDEF是正方形，AC=15，BC=10，AF与ED交于点G．则EG的长为( )A. B. C. D.11.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A. 16B. 17C. 18D. 1912. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①=；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若=，则S△ABC=9S△BDF，其中正确的结论序号是（）A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④二、填空题13.已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为________ cm．14.如果x：y=1：2，那么=________15.如图，若l1∥l2∥l3，如果DE=6，EF=2，BC=1.5，那么AC=________ ．16.△ABC的3条边的长分别为6、8、10，与其相似的△DEF的最长边为15，则△DEF的最短边为________，△DEF的面积为________．17. 如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是________．18.在中，，中线相交于，且，则________.19.如图，在△ABC中，点D，F，E分别在边AB，AC，BC上，且DF∥BC，EF∥AB，若AD=2BD，则的值为________．20.如图，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在AC、DC上，若EC=BC，EF⊥BE，BF与EC交于点G，则=________．21.如图，已知第一象限内的点A在反比例函y=上，第二象限的点B在反比例函数y=上，且OA⊥OB，tanA=，则k的值为________ ．22.如上图所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．则=________．三、解答题23.如图，在△ABC中，EF∥BC且EF= BC=2cm，△AEF的周长为10cm，求梯形BCFE的周长．24.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,且AD=,BD=2,求AB的值.25.情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是什么，∠CAC′ 等于多少．问题探究如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE 和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．拓展延伸如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．26.已知：如图①，在平面直角坐标系xOy中，A（0，5），C（，0），AOCD为矩形，AE垂直于对角线OD于E，点F是点E关于y轴的对称点，连AF、OF．（1）求AF和OF的长；（2）如图②，将△OAF绕点O顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△OAF为△OA′F′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与线段AD交于点P，与线段OD交于点Q，是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时点P坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题D A B B C C C B D D B C二、填空题13.414.15.616.4；5417.2518.919.20.21.﹣122.三、解答题23.解：∵EF= BC=2cm，∴BC=3cm，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，= = ，∴= ，∴△ABC周长=15（cm）∴梯形BCFE的周长=△ABC的周长﹣△AEF的周长+2EF=15﹣10+4=9（cm）24.解;∵在△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠C=∠CBD,∴CD=BD=2,∴AC=AD+CD=+2=3,∵∠A是公共角,∴△ABD∽△ACB,∴AD：AB=AB：AC,∴AB2=AD•AC=×3=6,∴AB=．25.解：①观察图形即可发现△ABC≌△AC′D，即BC=AD，∠C′AD=∠ACB，∴∠CAC′=180°﹣∠C′AD﹣∠CAB=90°；故答案为：AD，90．②FQ=EP，理由如下：∵∠FAQ+∠CAG=90°，∠FAQ+∠AFQ=90°，∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ，又∵AF=AC，∴△AFQ≌△CAG，∴FQ=AG，同理EP=AG，∴FQ=EP．③HE=HF．理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°，又AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP．∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴AG：EP=AB：EA．同理△ACG∽△FAQ，∴AG：FQ=AC：FA．∵AB=k•AE，AC=k•AF，∴AB：EA=AC：FA=k，∴AG：EP=AG：FQ．∴EP=FQ．又∵∠EHP=∠FHQ，∠EPH=∠FQH，∴Rt△EPH≌Rt△FQH（AAS）．∴HE=HF．26.（1）解：如图①∵OA=5，AD=OC= ，由勾股定理可求．OD= ，∵AE×OD=AO×AD，∴AE=4，∴OE= =3，∵点F是点E关于y轴的对称点，∴AF=AE=4，OF=OE=3（2）解：如图②若PD=PQ，易得∠1=∠2=∠3，∵∠1=∠A′，∴∠3=∠A′，∴OQ=OA′=5，∴DQ= ，过点P作PH⊥DQ，∴，∵cos∠1= ，∴DP= ，∴AP= ，∴此时点P的坐标为（，5）；如图③∵点P在线段AD上，∴∠1＞∠PDQ，∴QP，QD不会相等；如图③，若DP=DQ，易得，∠1=∠2=∠3=∠4，∵∠3=∠5+∠A′，∠A′=∠COD，∴∠4=∠A′OQ，∴A′Q=A′O=5，∴F′Q=5﹣4=1，∴OQ= ，∴DP=DQ= ﹣，∴AP=AD﹣DP= ﹣，∴此时点P的坐标为：（﹣，5）。
图形的相似专项训练及答案
图形的相似专项训练及答案一、选择题1．如图，已知ABC ∆和ABD ∆都O e 是的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ADE ∆的相似的三角形是（ ）A ．BCE ∆B ．ABC ∆ C ．ABD ∆ D ．ABE ∆【答案】A【解析】【分析】 根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠，CEB ∠和DEA ∠是对顶角，所以ADE BCE ∆∆∽．【详解】解：BCE BDA ∠=∠Q ，CEB DEA ∠=∠ADE BCE ∴∆∆∽，故选：A ．【点睛】考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．2．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．5【答案】B【解析】【分析】 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】∵AD：AF=3：5，∴AD：DF=3：2，∵AB∥CD∥EF，∴AD BCDF CE=，即362CE=，解得，CE=4，故选B．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．3．如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD//BC，AB//CD，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴△ADM∽△EBM，△ADF∽△ECF，△DFM∽△BAM，△EFC∽△EAB，∵∠AFD=∠BAE，∠DAE=∠E，∴△ADF∽△EBA，∴图中共有相似三角形5对，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．4．如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则AO DO=（）．A．13B．25C．23D．12【答案】D【解析】【分析】由已知条件易证△ADE≌△BAF，从而进一步得△AOD∽△EAD．运用相似三角形的性质即可求解．【详解】∵四边形ABCD是正方形∴AE=BF，AD=AB，∠EAD=∠B=90︒∴△ADE≌△BAF∴∠ADE=∠BAF，∠AED=∠BFA∵∠DAO+∠FAB=90︒，∠FAB+∠BFA=90︒，∴∠DAO=∠BFA，∴∠DAO=∠AED∴△AOD∽△EAD∴12 AO AE DO AD==故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．5．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（）A．16 B．15 C．12 D．11【答案】B【解析】【分析】过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【详解】解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，∴△FEH ∽△EBA ， ∴ ,HF HE EF AE AB BE == G Q 为BE 的中点，1,2FE GE BE ∴== ∴ 1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+ ∴当12124x -=-=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．【点睛】本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．6．如图Rt ABC V 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，D 为BC 上一动点，DE BC ⊥，当BD CE =时，BE 的长为（ ）．A ．52B ．125C 515D ．3418【答案】D【解析】【分析】利用90ABC ∠=︒，DE BC ⊥得到相似三角形，利用相似三角形的性质求解,,BD DE 再利用勾股定理计算即可．【详解】解：90,ABC ∠=︒Q DE BC ⊥，//,DE BA ∴,CED CAB ∴∆∆:,CE CD ED CA CB AB∴== 90,4,3,ABC AB BC ∠=︒==Q 5,AC ∴=设,BD x = Q BD CE =，,3,BD CE x CD x ∴===-3,534x x ED -∴== 3155,x x ∴=-15,8x ∴= 158,54ED ∴= 3,2ED ∴= Q DE BC ⊥，2222153341()().828BE DB DE ∴=+=+=故选D ．【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质，勾股定理的计算求解，掌握相关知识点是解题关键．7．如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别为S 、1S 、2S ，若S=2，则1S +2S =（ ）.A ．4B ．6C ．8D ．不能确定 【答案】C【解析】 试题分析：过P 作PQ ∥DC 交BC 于点Q ，由DC ∥AB ，得到PQ ∥AB ，可得出四边形PQCD 与ABQP 都为平行四边形，所以△PDC ≌△CQP ，△ABP ≌△QPB ，进而确定出△PDC 与△PCQ 面积相等，△PQB 与△ABP 面积相等，再由EF 为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF ∥BC ，EF=12BC ，得出△PEF 与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，所以PBC CQP QPB PDC ABP S S S S S =+=+V V V V V =1S +2S =8.故选C ．考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．8．已知正方形ABCD 的边长为5，E 在BC 边上运动，DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，问CE 为多少时A 、C 、F 在一条直线上（ ）A．35B．43C．53D．34【答案】C【解析】【分析】首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽Rt△ECD，再利用相似比得出12.52NE CD==，运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三角形，从而求出CE．【详解】解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN，∴Rt△FNE∽Rt△ECD，∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，∴两三角形相似比为1：2，∴可以得到CE=2NF，12.52NE CD==∵AC平分正方形直角，∴∠NFC=45°，∴△CNF是等腰直角三角形，∴CN=NF，∴2255.3323 CE NE==⨯=故选C．【点睛】此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.9．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF为( )A．2∶3 B．4∶9 C23D．3∶2【答案】B【解析】【分析】根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以224()39ABC DEF S S ==V V ． 【详解】 因为△ABC ∽△DEF ，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方，所以S △ABC ：S △DEF =（23）2=49，故选B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方． 10．如图，点A ，B 是双曲线18y x=图象上的两点，连接AB ，线段AB 经过点O ，点C 为双曲线k y x=在第二象限的分支上一点，当ABC V 满足AC BC =且:13:24AC AB =时，k 的值为（ ）．A ．2516-B ．258-C ．254-D ．25-【答案】B【解析】【分析】如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．首先证明△CFO ∽△OEA ，推出2()COF AOE S OC S OA∆∆=，因为CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，推出CA ：OA ＝13：12，推出CO ：OA ＝5：12，可得出2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144，因为S △AOE ＝9，可得S △COF ＝2516，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．【详解】解：如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．∵A 、B 关于原点对称，∴OA ＝OB ，∵AC ＝BC ，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∴∠CFO ＝∠COA ＝∠AEO ＝90°，∴∠COF ＋∠AOE ＝90°，∠AOE ＋∠EAO ＝90°，∴∠COF ＝∠OAE ，∴△CFO ∽△OEA ， ∴2()COF AOE S OC S OA∆∆=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，∴CA ：OA ＝13：12，∴CO ：OA ＝5：12， ∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144， ∵S △AOE ＝9，∴S △COF ＝2516， ∴||25216k =， ∵k ＜0， ∴258k =- 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=︒==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（ ）A．55B．45C．35D．25【答案】D【解析】【分析】先判断出△ABC与△DBE相似，求出BD，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】如图1，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，∴AC=55，连接BE，∵BD是圆的直径，∴∠BED=90°=∠CBA，∵∠BAC=∠EDB，∴△ABC∽△DEB，∴AB AC DE DB＝，∴5355DB ＝，∴DB=35在Rt△ABD中，2225BD AB-，故选：D．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．12．在相同时刻，物高与影长成正比，如果高为1米的标杆影长为2米，那么影长为30米的旗杆的高为（）A．20米B．18米C．16米D．15米【答案】D【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，列出方程，求解即可得出旗杆的高度．【详解】解：根据题意解：标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，即1:2=旗杆高：30，∴旗杆的高=130=152⨯米．故选：D．【点睛】本题主要考察的是相似三角形的应用，正确列出方程是解决本题的关键．13．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）A．AF＝12 CFB．∠DCF＝∠DFCC．图中与△AEF相似的三角形共有5个D．tan∠CAD＝3 2【答案】D 【解析】【分析】由AE=12AD=12BC，又AD∥BC，所以12AE AFBC FC==，故A正确，不符合题意；过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=12BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．【详解】解：A、∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC＝AFFC，∵AE＝12AD＝12BC，∴AFFC＝12，故A正确，不符合题意；B、过D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝12 BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，故B正确，不符合题意；C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5个，故C正确，不符合题意．D、设AD＝a，AB＝b由△BAE∽△ADC，有ba＝2a．∵tan∠CAD＝CDAD＝ba＝22，故D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．14．如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点,F ABFV的面积为2，则四边形CDEF的面积为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】【分析】设AEF S x =△，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出4BCF S x =V ，求出x 即可解答．【详解】解：∵AD ∥BC ，E 是矩形ABCD 中AD 边的中点，∴AEF ~CBF V V ，设AEF S x =△，那么4BCF S x =V ，∵2ABF S =V ， ∴()1x 2422x +=+， 解得：x 1=， ∴325CDEF S x =+=四边形，故选：B.【点睛】此题主要考查相似三角形的相似比与面积比之间的关系，灵活运用关系是解题关键．15．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，G ，F 分别为AD 、BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FEB=90°，∴∠AGE=∠FEB ，∠AEG=∠EFB ，∴△AEG ∽△BFE ， ∴AE AG BF BE=， 又∵AE=BE ， ∴AE 2=AG•BF=2，∴AE=2（舍负），∴GF 2=GE 2+EF 2=AG 2+AE 2+BE 2+BF 2=1+2+2+4=9，∴GF 的长为3，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG ∽△BFE ．16．如图，顶角为36o 的等腰三角形，其底边与腰之比等k ，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，ABC ∆为第一个黄金三角形，BCD ∆为第二个黄金三角形，CDE ∆为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（）A ．2018kB ．2019kC ．20182k k + D ．2019(2)k k +【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n 个黄金三角形的周长为k n-1（2+k ），从而得出答案．【详解】解：∵AB=AC=1，∴△ABC 的周长为2+k ；△BCD 的周长为k+k+k 2=k （2+k ）；△CDE 的周长为k 2+k 2+k 3=k 2（2+k ）；依此类推，第2020个黄金三角形的周长为k 2019（2+k ）．故选：D ．【点睛】此题考查黄金分割，相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是解题的关键．17．如图，已知△ABC ，D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中，不能确定△ADE ∽△ACB 的是（ ）A ．∠AED ＝∠BB ．∠BDE +∠C ＝180° C ．AD •BC ＝AC •DED ．AD •AB ＝AE •AC【答案】C【解析】【分析】 A 、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；B ：根据题意可得到∠ADE=∠C ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；C 、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；D 、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．【详解】解：A 、由∠AED=∠B ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ；B 、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ；C 、由AD•BC=AC•DE ，得不能判断△ADE ∽△ACB,必须两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.D 、由AD•AB=AE•AC 得，∠A=∠A ，故能确定△ADE ∽△ACB ， 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）； 有两组角对应相等的两个三角形相似．18．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且 1.5AB =，2BC =， 1.8DE =，则EF =（ ）A．4.4 B．4 C．3.4 D．2.4【答案】D【解析】【分析】根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．【详解】解：∵////a b c∴AB DEBC EF=即1.5 1.82EF=解得：EF=2.4故答案为D．【点睛】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键．19．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH长为（）A．1 B．1.2 C．2 D．2.5【答案】B【解析】【分析】由AB∥GH∥CD可得：△CGH∽△CAB、△BGH∽△BDC，进而得：GH CH AB BC=、GH BHCD BC=，然后两式相加即可．【详解】解：∵AB∥GH，∴△CGH∽△CAB，∴GH CHAB BC=，即2GH CHBC=①，∵CD ∥GH ，∴△BGH ∽△BDC ，∴GH BH CD BC =，即3GH BH BC =②， ①+②，得：123GH GH CH BH BC BC +=+=，解得：6 1.25GH ==． 故选：B ．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．20．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（ ）A ．9B ．12C ．14D ．18【答案】A【解析】【分析】 如图，BC ＝2m ，CE ＝12m ，AB ＝1.5m ，利用题意得∠ACB ＝∠DCE ，则可判断△ACB ∽△DCE ，然后利用相似比计算出DE 的长．【详解】解：如图，BC ＝2m ，CE ＝12m ，AB ＝1.5m ，由题意得∠ACB ＝∠DCE ，∵∠ABC ＝∠DEC ，∴△ACB ∽△DCE ，∴AB BC DE CE=，即1.5212DE =， ∴DE ＝9．即旗杆的高度为9m ．故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．。
第4章 图形的相似 北师大版数学九年级上册能力提升测试(含答案)
第四章图形的相似单元测试（能力提升）一、单选题1．下列四条线段中，不能成比例的是（）A．＝2，＝4，＝3，＝6B．＝，＝，＝1，＝C．＝6，＝4，＝10，＝5D．＝，＝2，＝，＝2【答案】C【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解析】解：A、2×6=3×4，能成比例；B、，能成比例；C、4×10≠5×6，不能成比例；D、，能成比例．故选：C．【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．2．有下列结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似：④两个矩形相似；⑤两个正方形相似其中正确的结论是（）A．仅①③⑤B．仅②③⑤C．仅②③④D．仅①②⑤【答案】D根据相似图形的定义判断即可；【解析】两个正三角形相似，故①正确；两个等腰直角三角形相似，故②正确；两个菱形不一定相似，因为角度可能不相等，故③错误；两个矩形不一定相似，因为边长可能不一定成比例，故④错误；两个正方形相似，故⑤正确；故正确的有①②⑤；故答案选D．【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，准确判断是解题的关键．3．如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，若点的坐标为，则的长度为（）A．B．C．D．【答案】B由点的坐标为，利用勾股定理可求OA的长度，再根据，利用位似图形的性质即可求解．【解析】解：∵的坐标为，∴，∵与位似，，∴，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟记位似图形的性质是解题的关键．4．学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时，在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（）A．4.8米B．8.4米C．6米D．9米【答案】C【分析】此题利用相似三角形测高，先找出对应的成比例线段，再把数据代入计算即可．【解析】如图，根据题意得: AG=4.2米，AB=6.3米，EF=9米，同一时刻树高与影长的比和旗杆与影长的比相等得△DFE与△GAB相似，即，代入得：解得：树高= 6米．故选：C．【点睛】此题考查利用相似三角形测高，主要利用线段成比例，找出对应边是关键，难度一般．5．如图，．若，则的长为( )A．B．C．D．无法确定【答案】C根据平行线分线段成比例，列出比例式，再根据已知条件代入求值即可．【解析】解：∵，即，∴，∵，＝，∴，解得＝.故选：C【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，列出比例式是解题的关键．6．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的3三角形（阴影部分）与相似的是（）．A．B．C．D．【答案】C根据相似三角形的判定，易得出△EFG的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可．【解析】解：∵小正方形的边长为1，∴在△EFG中，EG＝，FG＝2，EF＝，A.三边各为：3，，与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似；B.三边各为：1，2，与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似；C.三边各为：1，，与△EFG中的三边对应成比例，故两三角形相似；D.三边各为：2，，与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．7．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB 的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（ ）A．AB2＝AP2+BP2B．BP2＝AP•BAC．D．【答案】D【分析】根据黄金分割的定义分别进行判断．【解析】解：P为AB的黄金分割点（AP＞PB）可得AP2＝AB•PB或．故选：D．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB 和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．8．在△ABC中，点E在AC上，且，F为BE中点，AF的延长线交BC于D，则＝（ ）A．1：2B．1：3C．1：4D．2：3【答案】B【分析】过E点作EH∥BC交AD于H，如图，由HE∥BD得到=1，则BD=EH，由HE ∥CD得到得到CD=3HE，从而可得到的值．【解析】解：过E点作EH∥BC交AD于H，如图，∵F为BE中点，∴EF=BF，∵HE∥BD，∴=1，即BD=EH，∵HE∥CD，∴，∵，∴，∴，即CD=3HE，∴．故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．作EH∥BC是解决问题的关键．9．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】由BE、CD是△ABC的中线，可得即，从而可判断①；由DE是△ABC 的中位线，可得△DOE∽△COB，从而可判断②；由△ADE∽△ABC与△DOE∽△COB，利用相似三角形的性质可判断③；由△ABC的中线BE与CD交于点O．可得点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中上的高＝△BOC中上的高的倍，且△ABC与△BOC同底（BC），可得，由②和③知，，从而可判断④．【解析】解：①∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴即，故①正确；②∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴，故②错误；③∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵△DOE∽△COB，，∴，故③正确；④∵△ABC的中线BE与CD交于点O，∴点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中上的高＝3△BOC中上的高，且△ABC与△BOC同底（BC），∴，由②和③知，，，∴，∴，∴．故④正确．综上，①③④正确．故选C．【点睛】本题考查的三角形的中线与三角形的中位线的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用以上知识解决三角形的面积问题是解题的关键．10．如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（）A．B．25C．20D．15【答案】D【分析】由已知可求QF=QB，在Rt△BPQ中，由勾股定理求得，可求出S△BQF=25，再证明△ABE ≌△BCF（SAS），△BGE∽△BCF，由此得BF，GE，BG，过点G作GN⊥AB交AB 于N，可证明△ANG∽△ABE，再由GA=AE-GE，可求得GN，根据S△QGF=S△BQF-S△BQG 即可求解．【解析】解：将沿翻折得到，PF=FC，∠PFB=∠CFB，四边形是正方形∠FPB=90°，CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，∵PF=FC=，PB =AB=2，在Rt△BPQ中，，∴，∴QB=，∴S△BQF=，∵AB=BC，BE=CF，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠AEB=∠BFC，又∵∠EBG=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，，∵CF=，BC=2，∴BF=5，∴GE=，BG=2，过点G作GN⊥AB交AB于N，∵∠GAN=∠EAB，∠ANG=∠ABE=90°，∴△ANG∽△ABE，∴∵GA=AE-GE =∴GN=∴S△BQG=×QB×GN==10，∴S△QGF=S△BQF-S△BQG=25-10=15，故选：D．【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质是解题的关键．二、填空题11．在比例尺的地图上，量得，两地的距离是，则，两地的实际距离是________米.【答案】【分析】图上距离和比例尺已知,依据"实际距离-图上距离比例尺"即可求出A、B两地的实际距离．【解析】解:∵比例尺为1：10000，A，两地的距离是3cm，设A，B两地的实际距离为cm，∴∴，∵，∴A，B两地的实际距离为300米．故答案为:300．【点睛】本题主要考查图上距离、际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算．12．两个相似五边形，一组对应边的长分别为和，如果它们的面积之和是，则较小的五边形面积是_______．【答案】10【分析】根据相似多边形的性质：面积的比等于相似比的平方，即可解决．【解析】解：设较大五边形与较小五边形的面积分别是m，n，则，∴．根据面积之和是，得：．解得：，故答案为；10．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解决本题的关键．13．线段，线段b＝8cm，则线段、的比例中项是______cm．【答案】【分析】若线段满足则线段是线段的比例中项，根据定义求解即可.【解析】解：设线段、的比例中项是线段则线段，线段b＝8cm，则线段故答案为：【点睛】本题考查的是线段的比例中项的含义，掌握利用线段的比例中项列方程是解题的关键. 14．如图，已知∠1＝∠2，添加条件____后，使△ABC∽△ADE．【答案】∠B＝∠D【分析】先证出∠BAC＝∠DAE，再由∠B＝∠D，即可得出ABC∽△ADE．【解析】解：添加条件∠B＝∠D后，△ABC∽△ADE．理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，又∵∠B＝∠D，∴ABC∽△ADE．故答案为：∠B＝∠D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握三角形相似的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．15．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA∶OD＝2∶5，则△ABC与△DEF的周长比为________．【答案】【分析】由△ABC与△DEF位似，位似比为OA∶OD＝2∶5，再利用位似图形的周长之比等于相似比，从而可得答案.【解析】解：△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，OA∶OD＝2∶5，故答案为：【点睛】本题考查的是位似图形的性质，掌握位似图形的周长之比等于相似比是解题的关键.16．如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高______【答案】8m【分析】由题意证△ABO∽△CDO，可得，即，解之可得．【解析】如图，由题意知∠BAO=∠C=90°，∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO，∴，即，解得：CD=8，故答案为：8m．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝3，将△ABC的一角沿着MN折叠，点B'落在AC上，若B'M∥AB，则BM的长度为___．【答案】2【分析】先证明四边形BNB'M是菱形，设BM＝x，则B'C＝NB'＝x，AB'＝6﹣x，再由平行线的性质得，，即，即可求BM＝2．【解析】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵B'M∥AB，∴∠B＝∠B'MC，∴∠C＝∠B'MC，∴B'C＝B'M，由折叠可得，BM＝B'M，∠B＝∠NB'M，∴∠B'MC＝∠NB'M，∴NB'∥BC，∴四边形BNB'M是菱形，设BM＝x，则B'C＝NB'＝x，∵AB＝AC＝6，BC＝3，∴AB'＝6﹣x，∴，即，∴x＝2，∴BM＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查折叠的性质，通过条件证明四边形BNB'M是菱形是解题的关键．18．如图，中，，，．四边形是正方形，点D是直线上一点，且．P是线段上一点，且．过点P作直线l于平行，分别交，于点G，H，则的长是__________．【答案】或．【分析】结合勾股定理逆定理判断是直角三角形，通过证明，，然后利用相似三角形的性质求解，然后分当点位于点左侧时，当点位于点右侧时，进行分类讨论．【解析】解：中，，，，，，，为直角三角形，①当点位于点左侧时，如图：设直线交于点，，，，又四边形是正方形，且，，，即，解得：，，，，，，解得：，，，，，，，，解得：；②当点位于点右侧时，如图：与①同理，此时，，解得：，综上，的长为或，故答案为：或．【点睛】本题考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，证明出，特别注意分类思想的运用是解题关键．三、解答题19．已知线段a、b、c，且．（1）求的值；（2）若线段a、b、c满足，求的值．【答案】（1），（2）15．【分析】（1）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，代入即可求出的值；（2）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，利用a+b+c＝27求出k的值，即可得出答案．【解析】解：（1）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，；（2）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，∵a+b+c＝45，∴4k+5k+6k＝45，∴k＝3，∴a＝12，b＝15，c＝18，∴a﹣b+c＝12﹣15+18＝15．【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝4k，b＝5k，c＝6k进而得出k的值是解题关键．20．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9．求：（1）求BD的长度；（2）求DE的长度．【答案】（1）2；（2）6【分析】（1）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果；（2）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果．【解析】解：（1）∵AE=2CE，∴，∵DE∥BC，∴，∵AB=6，∴BD=2；（2）∵EF∥AB，∴，∵BC=9，∴BF=6，又∵DE∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF=6．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例；掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意线段的对应关系．21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出放大后的图形，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标．（2）点是线段BC上的格点，请直接写出点D经过（1）的变化后对应点的坐标．【答案】（１）点C1的坐标为（−6，4）；（2）变化后D的对应点D1的坐标为：（2a，2b）．【分析】（1）连接OB并延长，截取BB1＝OB，连接OA并延长，截取AA1＝ＯA，连接OC并延长，截取CC1＝OC，确定出△A1B1C1，并求出C1点坐标即可；（2）根据A与A1坐标，B与B1坐标，以及C与C1坐标的关系，确定出变化后点D的对应点D1坐标即可．【解析】解：（1）根据题意画出图形，如图所示：则点C1的坐标为（−6，4）；（2）变化后D的对应点D1的坐标为：（2a，2b）．【点睛】此题考查了作图−位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．22．每年的秋冬季节，青竹湖湘一外国语学校的银杏大道是学校最为靓丽的一条风景线，数学彭老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树m的点处，然后观测者沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得m，观测者目高m，则树高约是多少米？【答案】树高约是7m．【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．【解析】根据题意，易得，，则，则，即，解得：AB=7m，答：树高AB约是7m．【点睛】此题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解．23．如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．（1）求证：△ABE∽△CDF．（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）EF＝2．【分析】（1）根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，再由AB＝2DC，BE＝2DF，可得AB：DC＝BE：DF＝2，即可证得；（2）根据BE＝2DF，可得，即可求解．【解析】（1）证明：∵AB∥DC，∴∠B＝∠D，∵AB＝2DC，BE＝2DF，∴AB：DC＝BE：DF＝2，∴△ABE∽△CDF；（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，∴,∵BD＝8，∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．24．如图，已知，在平行四边形ABCD中，E为射线CB上一点，联结DE交对角线AC 于点F，∠ADE＝∠BAC．（1）求证：CF•CA＝CB•CE；（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用平行四边形性质，得到∠ADE＝∠E．结合已知找到∠BAC＝∠E．即可证明△ACB∽△ECF．从而得到结论．（2）先证明△ADF∽△CEF．利用对应边成比例，结合已知AC＝DE和（1）的结论，即可证明AB＝BC，从而得到结论．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC．∴∠ADE＝∠E．∵∠ADE＝∠BAC．∴∠BAC＝∠E．∵∠ACB＝∠ECF．∴△ACB∽△ECF．∴．∴CF•CA＝CB•CE（2）由（1）知∠ADE＝∠E．∵∠ADF＝∠CFE．∴△ADF∽△CEF．∴．∴．∵AC＝DE．∴EF＝CF．∵△ACB∽△ECF．∴AB＝BC∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质和菱形的判定等知识，关键在于熟悉各个知识点在本题中运用．25．如图，在中，的平分线交边于点，交的延长线于点，点在上，联结（1）求证：；（2）连结，如果，且，求的长．【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，证明△GDF∽△DAF，对应边成比例即可得结论；（2）根据已知条件可得BA＝BE＝6，EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，得AG＝GE＝EF，结合，即可求出AF的长．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，AD∥BC，∵AE平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝∠F，∴AD＝DF，∵∠GDF＝∠F，∴△GDF∽△DAF，∴，∴；（2）解：∵AF平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAF，∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAF，∴∠BEA＝∠BAE，∴是等腰三角形，∴BA＝BE＝6，∵BG⊥AE，∴AG=EG，∵∠BEA＝∠CEF，∴∠CEF＝∠F，∴EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，∴，即AG＝GE＝EF，∵△GDF∽△DAF，AD=FD，∴DG=FG，∴DG=，∵，∴AF2＝81，∴AF＝．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，涉及的知识较多，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．26．如图，在中，，P，D分别是BC，AC边上的点，且．若，，当为直角三角形时，求BP的长．【答案】或8【分析】方法1：要使为直角三角形，有两种情形可证，利用“一线三等角”结构，证明△PAD∽△CEA．方法2：识别“母子型相似”结构．由，可得．则，即；要使为直角三角形，有两种情形．方法3：先作于点E．①如图，∠PAD=90°，由，，利用等腰三角形性质求出，勾股定理求出，证明△APE∽△CAE，可得，根据比例设，代入比例式求，②当∠ADP=90°时，证点P与点E重合即可．【解析】妙解1如图2，要使为直角三角形，有两种情形：①当时，如答图1，作AE⊥BC于E，由不变角可知，∵AE⊥BC，AB=AC，∴BE=EC=，∠CEA=90°，∴∠PAD=∠AEC=90°，∠APD=∠C∴△PAD∽△CEA，∴在中有，故有，则，从而；②当时，作AE⊥BC于E，由不变角可知，∵AE⊥BC，AB=AC，∴BE=EC=，∠CEA=90°，∴∠PDA=∠AEC=90°，∠APD=∠C∴△PAD∽△CAE，∴如答图，在中有，故有，则，从而；综上所述，当为直角三角形时，或8.妙解2由，可得．则，即；①当时，作AE⊥BC于E，由不变角可知，∵AE⊥BC，AB=AC，∴BE=EC=，∠CEA=90°，∴∠PAD=∠AEC=90°，∠APD=∠C∴△PAD∽△CEA，∴如答图，“眼中有角心中有比”，可设，．则有，解得（舍去），故．再由，易得．从而有；②当时，如答图，作AE⊥BC于E，由不变角可知，∵AE⊥BC，AB=AC，∴BE=EC=，∠CEA=90°，∴∠PDA=∠AEC=90°，∠APD=∠C∴△PAD∽△CAE，∴∴PD·AC=AP·CE，又∵∠PAC=∠PAD，∠APD=∠C，∴△APD∽△ACP，∴∴AP2=AD·AC，如答图，在中有可设，．AP=5t,则有，解得，（舍去），故．再由，．从而有；综上所述，当为直角三角形时，或8.妙解3①如图4，∠PAD=90°，先作于点E．由，∴，∴.∵∠PAD=90°；∴∠PAE+∠CAE=90°，∵，∴∠APE+∠PAE=90°，∠AEP=∠AEC=90°，∴∠APE=∠CEA，∴△APE∽△CAE，∴设，∴∴∴BP=8-．②当∠ADP=90°时，作AE⊥BC于E，∵∠ADP=∠AEC=90°，∠APD=∠C，∴△APD∽△ACP，∴∠PAD=∠EAC，∴点P与点E重合，∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=CE=BP=综上所述，当为直角三角形时，或8.【点睛】本题属直角三角形存在性问题，需狠抓其不变角，以直角为标准，分两类情形考虑，巧施三角比，结合“一线三等角”结构的相似比来解决．27．已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与C、D重合），将△ADE绕点A 顺时针旋转90°得到△ABF，如图1，连接EF分别交AC、AB于点P、G．（1）求证：△APF∽△EPC；（2）求证：PA2＝PG•PF（3）如图2，当点E是边CD的中点时，PE＝1，求AG的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AG=．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）证明△APG∽△FPA，即可解决问题．（3）如图2中，设正方形的边长为2a．想办法用a表示AG，EG，GP，证明AG2=GP•GE，由此构建方程求出a，即可解决问题．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，由旋转的性质可知，AF=AE，∠FAE=90°，∴∠AFP=∠ECP=45°，∵∠APF=∠EPC，∴△APF∽△EPC；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=45°，∵∠AFE=45°，∴∠PAG=∠AFP，∵∠APG=∠FPA，∴△APG∽△FPA，∴，∴PA2=PG•PF；（3）解：如图2中，设正方形的边长为2a．∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，∴∠ABF=∠D=90°，DE=BF，∵∠ABC=90°，∴∠FBC=180°，∴F，B，C共线，∵DE=EC=BF=a，BC=2a，∴CF=3a，EF=，∵BG∥EC，∴BG：EC=FB：CF=FG：FE=1：3，∴BG=a，AG=a，GE=，∵∠GAP=∠AEG=45°，∠AGP=∠EGA，∴△AGP∽△EGA，∴，∴AG2=GP•GE，∴（a）2=（a-1）•a，∴a=，∴AG=×=．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
第六章 图形的相似提优练习 2022-2023学年苏科版数学九年级下册
DCBA九年级数学下册提优练习第六章 图形的相似一、选择题1.两个相似三角形的最短边分别为5cm 和3cm ，它们的周长之差为12cm ，那么大三角形的周长为（ ）A ．14cmB ．16cmC ．18cmD ．30cm2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，CD ⊥AB 于点D .则△BCD 与△ABC 的周长之比为（ ）A ．1︰2B ．1︰3C ．1︰4D ．1︰5第2题 第3题 第4题 第5题 3.如图，已知△ADE 与△ABC 的相似比为1∶2，则△ADE 与△ABC 的面积比为（ ）A ． 1∶2B ． 1∶4C ． 2∶1D ． 4∶14.如图，将矩形ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，EH=12cm ，EF=16cm ，则边AD 的长为（ ）A. 12cmB. 16cmC. 20cmD. 28cm5.如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的平分线交AB ，BD 于M ，N 两点.若AM=2，则线段ON 的长为（ ）A.22B.23 C. 1 D.26 6.如图是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C 点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动，现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10cm ，已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端向下压（ ） A ．100cm B ．60cm C ．50cm D ．10cm7.如图，身高为1.6m 的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去，当走到C 点时，她的影子顶点正好与树的影子顶端重合，测得BC ＝3.2m ，CA ＝0.8m ，则树的高度为（ ）A ．4.8mB ．6.4mC ．8mD ．10m第6题 第7题 第8题 8.按如下方法将△ABC 的三边缩小为原来的21，如图，任取一点O ，连接AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，得到△DEF ，则下列说法正确的有（ ）A DEBC①△ABC 与△DEF 是位似形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 的周长比为2：1；④△ABC 与△DEF 的面积比为4：1A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题9.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BF 平分∠ABC ，交DE 的延长线于点F ，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=_________.10.如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l 1∥l 2∥l 3，l 1与l 2之间的距离是1，l 2与l 3之间的距离是2，且l 1，l 2，l 3分别过点A ，B ，C ，则边AC 的长为_________.第9题 第10题 第11题11. 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S =△四边形，则CFAD= ．12.如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．13.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ，点D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD ，CA 于点E ，F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF.给出以下四个结论：①FBFGAB AG =；②点F 是GE 的中点；③AF=32AB ；④S △ABC =5S △BDF .其中正确的结论序号是_______.第12题 第13题 第14题14.一天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）.如果小青的峰高为1.65米，由此可推断出树高是＿＿＿米.三、解答题15.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，DE ∥BC ，交AC 于点E ，△ADE 与四边形DBCE 的面积的比为1：3，求ABAD的值.16.如图，在□ABCD 中，E 是BC 上的3等分点，AE 交BD 于点F ，求：（1）DFBF的值. （2）△BEF 与△DAF 的周长的比、面积的比.17.如图，□ABCD 中，∠DBC ＝45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE 、BF 相交于H ，BF 、AD 的延长线相交于G ，试说明：（1）AB ＝BH ；（2）△ABG ∽△CED ；（3）AB 2＝AG·HE18.如图所示，身高1.6米的小明站在距路灯底部O 点10米的点A 处，他的身高（线段AB ）在路灯下的影响子为线段AM ，已知路灯灯杆OQ 垂直于路面. （1）在OQ 上画出表示路灯灯泡位置的点P ；（2）小明沿AO 方向前进到点C ，请画出此时表示小明影子的线段CN ； （3）若AM=2.5米，求路灯灯泡P 到地面的距离.19.如图，以AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点C ，过点O 作OD ∥BC 交⊙O 于点D ，交AC 于点F ，连接BD交AC于点G，连接CD，在OD的延长线上取一点E，连接CE，使∠DEC＝∠BDC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是3，DG•DB＝9，求CE的长．20.已知，矩形ABCD，点E是AD上一点，将矩形沿BE折叠，点A恰好落在BD上点F处．（1）如图1，若AB＝3，AD＝4，求AE的长；（2）如图2，若点F恰好是BD的中点，点M是BD上一点，过点M作MN∥BE交AD于点N，连接EM，若MN平分∠EMD，求证：DN•DE＝DM•BM．21.【探索发现】（1）如图1，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为______________.【拓展应用】（2）如图2，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC 上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值为_________（用含a、h的代数式表示）；【灵活应用】（3）如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=28，BC=36，AE=18，CD=14，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．22.在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ； （3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图3，求ACBD的值．图2AD O BC 21MN图1AD BM N12图3AD O BC21MNO23.阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD 的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的AB上的“强相似点”.解决问题：（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由.（2）如图②，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长均为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点.（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM 的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系.。
27_1 图形的相似 提升训练(原卷版)
27.1 图形的相似
提升训练
1．在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ）
A ．甲和乙
B ．甲和丙
C ．乙和丙
D ．甲、乙和丙
2．如图所示，矩形ABCD 的长AD 为20cm ，宽AB 为12cm ，在它的内部有一个矩形EFGH （EH ＞EF ），设AD 与EH 之间的距离、BC 与FG 之间的距离都为a cm ，AB 与EF 之间的距离、DC 与HG 之间的距离都为b cm ．当a ，b 满足（ ）时，矩形ABCD ∽矩形EFGH ．
A ．a ＝b
B ．a 12=b
C ．a =
D ．a 35
=b 3．装裱一幅宽40cm 、 长60cm 的矩形画， 要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， 装裱上去的部分的上下的宽都为15cm ， 若装裱上去的左右部分的宽都为cm x ， 则x =__________．
4．把正方形ABCD沿对角线AC的方向移动到A1B1C1D1的位置，它们重叠部分的面积是正方形ABCD的面
积的一半，若AC，则平移的距离是________.
5．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F 点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝_____．
6．如图，在一矩形花坛ABCD的四周修筑小路，使得相对的两条小路的宽均相等，如果花坛的宽AB＝20，长AD＝30．试问小路的宽x和y的比值为多少时，能使得小路四周所围的矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，请说明理由．。
图形的相似 练习题
27.1 图形的相似练习题一、选择题。
1．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝9cm，b＝4cm，则线段c长（）A．6cm B．5cm C．18cm D．±6cm2．下列说法正确的是（）A．两个等腰三角形一定相似B．两个等边三角形一定相似C．两个矩形一定相似D．两个直角三角形一定相似3．如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（）A．8B．9C．D．4．若a、b、c、d是成比例线段，其中a＝5，b＝2.5，c＝8，则线段d的长为（）A．2B．4C．5D．65．下列四组线段中，不成比例线段的是（）A．2cm，5cm，10cm，25cm B．4cm，7cm，4cm，7cmC．2cm，cm，cm，4cm D．cm，cm，2cm，5cm6．甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．7．在一张比例尺为1：50 000的地图上，一块多边形地区的面积是320cm2，这个地区的实际面积是（）A．8×107m2B．8×108m2C．8×1010m2D．8×1011m28．将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，这种分割称为黄金分割，这时点P叫做线段AB的黄金分割点．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝4，那么AP的长是（）A．2﹣2B．2﹣C．2﹣1D．﹣2二、填空题9．已知＝＝，则＝．10．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是．11．已知＝，则＝．12．若＝＝＝，（a+c+e≠0），则＝．13．已知＝，那么＝．三．解答题14．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，已知AC＝3，BC＝4．问线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段？写出你的理由．15．（1）解方程x2+2x﹣5＝0（2）一支铅笔长10cm，把它按黄金分割后，较长部分涂上橘红色，较短部分涂上浅蓝色，求出橘红色部分的长度．16．如图，矩形ABCD剪去一个以宽为边长的正方形ABFE后，剩下的矩形EFCD的长与宽的比与原矩形长与宽的比相等，求原矩形的长与宽的比．17．已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果，求证：．。
第四章 图形的相似 练习
年级： 班级： 学生姓名： 考号： 科目：总分（满分100分，时间90分钟）一、填空题。
（每空2分，共40分）1、若x 1=1是关于x 的方程x 2+k x －3=0的一个根，则此方程的另一个根x 2= ， k = . 2、请写出以-2、7为两根且二次项系数为1的一元二次方程是 .3、布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球．．的概率是 ． 4、已知线段AB=5，CD=10，则AB ：CD=5、若线段a 、b 、c 、d 成比例线段，且a=1，b=2，c=4，则d= ．6、如果23a b =，则a =______、 2a =_______、 a b b +=______、 a b b-=_____ 7、已知570x y -=，则xy=_______8、已知345x y z ==，求x y zx y z +++-=________9、已知：53=-b b a ，则b a=_____ 10、已知578a b c==，且3a-2b+c=3.则a=___,b=____,c=_____,2a+4b-3c=11、已知：346z y x ==（x 、y 、z 均不为零），则=-+zy yx 233__________. 12、如图，已知：△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，DB=6，AE=2，则EC= ． 13、若b a b +＝53，那么ba＝ . 二、选择题（每题3分，共18分） 14、已知关于x 的一元二次方程()2k 1x 2x 10--+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＜﹣2 B ．k ＜2 C ．k ＞2 D ．k ＜2且k ≠115、有一个正方体，6个面上分别标有1~6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字是偶数的概率为（ ）A ．13B ．16C ．12D ．1417、已知mx ny =，则下列各式中不正确的是（ ）Am x n y= Bm n y x= Cy m x n= Dx y n m= 18、下列各组线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（ ）A.1、2、3、4B.1、2、2、4C.3、5、9、13D.1、2、2、3 19、如右图，AB ∥CD ∥EF ，则在图中下列关系式一定成立的是( )A ．B ．C ．D ．20、如图，△ABC 中，DE ∥AC 交AB 、BC 于D 、E ，如果AB=7cm ，AC=5cm ，AD=3cm ，则DE=( )A．B． C．D．三、计算与简答题（共42分）21、用适当的方法解下列方程（每题4分，共16分）(1)t(2t－1)＝3(2t－1) (2)2x2－4x－1=0（3）y2＋7y＋6＝0 （4）(2x－1)(x－1)＝122、（此题6分）在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个. 现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．23、（此题6分）已知如图，AD∥CF∥EB，AB=3，AC=5，DF=9，DA=2，CF=8，求DE、EF、BE的长。
中考数学《图形的相似》专项练习题及答案
中考数学《图形的相似》专项练习题及答案一、单选题1．一块含30°角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（）A．5cm B．6cm C．（6-√3）cm D．（3+√3）cm2．如图，DE△BC，EF△AB，现得到下列结论：AEEC=BFFC，ADBF=ABBC，EFAB=DEBC，CECF=EABF其中正确的比例式的个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个3．如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC面积之比为（）A．1:2B．1:3C．1:9D．1:164．如图，△ABC中，三边互不相等，点P是AB上一点，有过点P的直线将△ABC切出一个小三角形与△ABC相似，这样的直线一共有（）A．5条B．4条C．3条D．2条5．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC面积为2，则△EDC的面积是（）A．2B．8C．16D．326．如图，△ADE△△ABC，若AD＝2，BD＝4，则△ADE与△ABC的相似比是（）A．1：2B．1：3C．2：3D．3：27．如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若s1表示△ADE的面积，s2表示四边形DBCE的面积，则s1：s2=（）A．1︰2B．1︰3C．1︰4D．2︰38．如图，按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的12，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F得△DEF，则下列说法正确的是（）①△ABC与△DEF是相似图形；②△ABC与△DEF的周长比为2：1；③△ABC与△DEF的面积比为4：1．A．①、②B．②、③C．①、③D．①、②、③9．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，CB相交于点P，若∠DPB=45°，则S△CDP：S△ABP 的值（）A．25B．23C．13D．1210．如图，AD△BE△CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）A．4B．5C．6D．811．一个三角形的三边长分别为3,4,5,另一个与它相似的三角形中有一条边长为6.则这个三角形的周长不可能是()A．725B．18C．48D．2412．如图，小正方形的边长为均为1，下列各图（图中小正方形的边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与△ABC相似的三角形是（）A．B．C．D．二、填空题13．勾股定理是一个基本的几何定理，有数百种证明方法．“青朱出入图”是我国古代数学家证明勾股定理的几何证明法．刘徽描述此图“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，加就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也”．若图中BF=4，DF=2，则AE=．14．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC上一点，BE=1，AE与BD交于点F．则DF的长为．15．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，AD为△ABC的外角的平分线，AB＝2BC，AC＝3，CD＝4，则AB的长为．16．如图，在△ABC中，△BAC=90°，AD△BC于D，BD=3，CD=12，则AD的长为17．在某一时刻，测得一根高为1m的竹竿的影长为2m，同时测得一栋高楼的影长为40m，这栋高楼的高度是m．18．如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为m．三、综合题19．如图，已知△BAC=90°，AD△BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：（1）△DFB△△AFD；（2）AB：AC=DF：AF．20．一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上）.（1）发现BE与DG数量关系是，BE与DG的位置关系是.（2）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图2），（1）中的结论还成立吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由.（3）把图1中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=2，AB=4，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请直接写出这个定值.21．如图，已知点D在△ABC的外部，AD△BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．（1）求证：△BAC＝△AED；（2）在边AC取一点F，如果△AFE＝△D，求证：ADBC=AFAC．22．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作BD的垂线与边AD，BC分别交于点E，F，连接BE交AC于点K，连接DF。
图形的相似 练习题
图形的相似练习题1. 问题描述在平面几何中，相似的图形是指具有相同形状但不同尺寸的图形。
在本练习题中，我们将探讨一些有关相似图形的问题。
2. 问题一已知两个三角形ABC和DEF，满足∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
证明三角形ABC和DEF是相似的。
解答：根据已知信息，我们可以得知三角形ABC和DEF具有相同的内角。
根据三角形内角和定理可知，∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠D + ∠E +∠F = 180°。
由此可得∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
根据相同角度的夹角定理，我们可以得出相应边的比例相等：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
因此，根据比例的定义，三角形ABC和DEF是相似的。
3. 问题二已知两个矩形ABCD和EFGH，满足AB/EF = BC/FG = CD/GH。
证明矩形ABCD和EFGH是相似的。
解答：根据已知信息，我们可以得知两个矩形的相应边的比例相等。
由此可知，矩形ABCD和EFGH具有相等的内角。
矩形的内角均为直角（90°），且相邻内角和为180°。
根据矩形的性质可得，∠DAB + ∠ABC = 180°，∠GFE + ∠EFB = 180°。
由此可得∠DAB = ∠GFE，∠ABC = ∠EFB。
根据从相同角度的夹角定理，我们可以得出相邻边的比例相等：AB/EF = BC/FG = CD/GH = DA/GE。
因此，根据比例的定义，矩形ABCD和EFGH是相似的。
4. 问题三已知两个圆形O1和O2，满足半径比例为r(O1)/r(O2) = 2/3。
证明圆形O1和O2是相似的。
解答：根据已知信息，我们可以得知圆形O1和O2的半径比例为2/3。
根据圆的性质可知，圆的内角均为180°（半圆）。
因此，圆形O1和O2具有相等的内角。
根据半径比例的定义，我们可以得出圆形O1和O2的周长比例为C(O1)/C(O2) = 2/3，其中C(O1)代表圆形O1的周长，C(O2)代表圆形O2的周长。
图形的相似练习题
图形的相似练习题一、选择题1. 若两个图形的对应角相等，对应边成比例，则这两个图形是相似的。
这种说法是正确的吗？A. 正确B. 错误2. 相似图形的面积比等于它们对应边长的平方比，这种说法正确吗？A. 正确B. 错误3. 在相似三角形中，对应高的长度之比等于：A. 对应边长之比B. 对应角的正弦值之比C. 对应角的余弦值之比D. 对应边长的平方比4. 如果两个三角形的三组对应边长之比分别为2:3，3:4，4:5，那么这两个三角形是相似的吗？A. 是B. 不是5. 相似多边形的周长比等于它们对应边长的比，这种说法正确吗？A. 正确B. 错误二、填空题6. 相似三角形的判定定理包括AA定理、SAS定理和______定理。
7. 若两个图形的对应角相等，对应边成比例，且它们的面积比为4，则它们的周长比为______。
8. 在一个相似三角形中，如果最长边长为10，最短边长为5，那么第三边的长度可能为______（假设第三边长度为整数）。
9. 如果两个三角形的对应角相等，但对应边长之比为3:5，那么这两个三角形是______的。
10. 相似多边形的对应角相等，对应边成比例，且它们的面积比为9:16，则它们的周长比为______。
三、简答题11. 解释为什么相似三角形的对应角相等。
12. 描述如何使用相似三角形的性质来解决实际问题。
13. 给出一个例子，说明在什么情况下两个图形不能被判定为相似。
四、计算题14. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，BC:EF=1:2，求AC:DF的比值。
15. 如果一个矩形的长是宽的2倍，且其面积为24平方厘米，求矩形的周长。
五、证明题16. 证明：如果两个三角形的三组对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
17. 证明：相似三角形的对应角的正弦值之比等于它们的对应边长之比。
六、应用题18. 一个摄影师正在拍摄一座塔，他站在距离塔基30米的地方，拍摄到塔的高度为10米。
27.1图形的相似(基础练习)
巩固练习第27章 图形的相似27.1 图形的相似（1）1、在下面的图形中，形状相似的一组是( )2、下列图形一定是相似图形的是( )A ．任意两个菱形B ．任意两个正三角形C ．两个等腰三角形D ．两个矩形3、要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm 、60cm 、80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么，符合条件的三角形框架乙共有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种4、下列说法正确的是( )A .人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像相似.B .人们从平面镜里看到的像与人的关系是相似图形,但不是全等图形.C .拍照时,镜头的取景与照片上的画面是相似的D .放幻灯片时投在屏幕上的画面与幻灯片上的图形是全等的5、在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm ，那么福州与上海之间的实际距离是多少？27.1图形的相似（2）巩固练习:1．△ABC 与△DEF 相似，且相似比是32，则△DEF 与△ABC 与的相似比是（ ）．A ．32B ．23C ．52D ．942．下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形； （3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形； （5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3. 图中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们对应边之间存在怎样的关系？对应角之间又有什么关系？4.如图,四边形EFGH相似于四边形ABCD，求∠A、∠C、∠H以及x、y、z的值.5．如图，△ABC与△DEF相似，求未知边x、y的长度。
6.如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EF AB相似，求EF的长．。
第4章 图形的相似 北师大版数学九年级上册单元提升必刷卷(含答案)
【单元测试】第四章图形的相似（提升能力卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果线段，，且b是线段a和c的比例中项，那么（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝6，AB＝5，则BD的长为（ ）A．1B．2C．3D．43．下列图形中，不是相似图形的一组是（）A．B．C． D．4．如图，是斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（）A．0对B．1对C．2对D．3对5．如图，点O是四边形ABCD内一点，、、、分别是OA、OB、OC、OD上的点，且，若四边形的面积为12cm2，则四边形ABCD的面积为（）A．18cm2B．27cm2C．36cm2D．54cm26．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（）A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米7．如图，AC⊥BC，，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若，，则BC＝（）A．B．8C．D．108．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（）A．8B．7C．9D．9．如图，以C(0，1)为位似中心，在y轴右侧作ABC位似图形，使所作图形与原图形位似比为1：2，设点A的坐标为(-3，4)，则点的坐标为（）A．B．C．D．10．如图，正方形和正方形的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接交于点N．则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）11．如图，在线段上找到一个点，且，满足，设，则线段_________.12．如图是步枪在瞄准时的示意图，步枪上的准星宽度为，目标的正面宽度为，若从眼睛到准星的距离为，则眼睛到目标的距离为______m13．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k ，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换（k ，θ），O 为旋转相似中心，k 为相似比，△ABC 是边长为1cm 的等边三角形，将它作旋转相似变化A （，90°），则BD长___cm ．14．如图，∠1＝∠2，请你补充一个条件：_________，使△ABC ∽△ADE ．15．在和中，，则这两个三角形________相似三角形(填“是”或“不是”)，根据是__________________________．16．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，她调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条边DE ＝8cm ，DF ＝10cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝8m ，则树高AB ＝________m ．17．如图，已知点是的重心，过作的平行线，分别交于点、交于点；作，交于点，若的面积为18，则的面积为_______．18．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-2，-2）．以坐标原点O为位似中心把△AOB 缩小得到△A1OB1，△A1OB1与△AOB的位似比为，则点A的对应点A1的坐标为_______．三、解答题（本题共8个小题，共66分；第19-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25小题12分，第26小题14分）19．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形．（1）若这个矩形的面积等于，求的长度；（2）这个矩形的面积可能等于吗？若能，求出的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）20．△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；（1）如图1，若D为BC的中点，，求证：AF＝FD；（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得；（3）若F为AD的中点，设，请求出m、n之间的等量关系．21．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．22．如图，正方形ABCD 的边长为8，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF⊥AE 于F．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．23．某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB）的高度为4.8米，右侧路灯（CD）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD）为12米，已知小明的身高（EF）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．(1)若小明站在人行横道的中央（点F是BD的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP＝米，FQ＝米；(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP＝FQ），请问时小明站在什么位置，为什么？24．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片折叠，使顶点落在边上的点处（点与、不重合），折痕为，折叠后边落在的位置，与交于点．(1)观察操作结果，在图1中找到一个与相似的三角形，并证明你的结论；(2)当点在边的什么位置时，与面积的比是？请写出求解过程；(3)将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片折叠，使顶点落在边上的点处（点与、不重合），折痕为，当点在边的什么位置时，与面积的比是请写出求解过程．25．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；(3)四边形AA2C2C的面积是 平方单位．26．【背景】如图1，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线MN∥BC，点D是直线MN上的一动点，将射线DB绕着点D逆时针旋转，交线段AC于点P，使∠BDP＝∠BAC，试说明：DB＝DP．小丽提出了自己的想法：如图2在线段AB上取一点F，使DA＝DF，通过证明△BDF≌△PDA可以解决问题．【尝试】①请你帮助小丽完成说理过程．②若AC＝6，BC＝4，AD＝3，求AP的长．【拓展】如图3，过点A的直线MN∥BC，AB＝3 cm，AC＝4cm，点D是直线MN上一点，点P是线段AC上的一点，连接DP，使得∠BDP＝∠BAC，求的值．【单元测试】第四章图形的相似（提升能力卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果线段，，且b是线段a和c的比例中项，那么（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据线段比例中项的概念可得，再根据，，可得，即可求出答案．【详解】解：∵线段b是a、c的比例中项，∴，∴．∵，，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了比例线段，关键是根据比例中项的概念列出算式．注意线段不能是负数．2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝6，AB＝5，则BD的长为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【详解】解：，，即，解得：，故选：C．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．3．下列图形中，不是相似图形的一组是（）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据相似图形的定义，对各选项进行一一分析，即可得出结论．【详解】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了相似图形的定义，掌握相似图形的定义并能结合具体图形进行准确判断是解题的关键．4．如图，是斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（）A．0对B．1对C．2对D．3对【答案】D【分析】直角三角形斜边上的高线分原三角形所得到的两个三角形与原三角形相似，由此即可解答.【详解】由题意得：△ADC∽△ACB；△ADC∽△CDB；△CDB∽△ACB．故选D．【点睛】本题解决的关键是熟知直角三角形斜边上的高线分原三角形所得到的了两个三角形与原三角形相似这一定理．5．如图，点O是四边形ABCD内一点，、、、分别是OA、OB、OC、OD上的点，且，若四边形的面积为12cm2，则四边形ABCD的面积为（）A．18cm2B．27cm2C．36cm2D．54cm2【答案】B【分析】利用位似图形的定义得出四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的位似比为：2：3，进而得出面积比，即可得出四边形ABCD的面积．【详解】解：∵OA′：A′A＝OB′：B′B＝OC′：C′C＝OD′：D′D＝2：1，∴OA′：OA＝OB′：OB＝OC′：COC＝OD′：DO＝2：3，∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的位似比为：2：3，∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的面积比为：4：9，∵四边形A′B′C′D′的面积为12cm2，∴四边形ABCD的面积为：27cm2．故选：B．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，得出两四边形的相似比是解题关键．6．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（）A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米【答案】C【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在台阶上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上台阶的高就是树高．【详解】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，∵同一时刻物高与影长成正比例，∴AE：ED=1：0.4，即AE：4.6=1：0.4，∴AE=11.5米，∴AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，∴树的高度是11.8米，故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形的相似比，列出方程进行求解是关键.7．如图，AC⊥BC，，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若，，则BC＝（）A．B．8C．D．10【答案】B【分析】过作垂足分别为由角平分线的性质可得：利用，可以求得进而求得，利用面积公式列方程求解即可．【详解】解：如图，过作垂足分别为平分，设，，（负根舍去）故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的平分线的性质，等高的两个三角形的面积与底边之间的关系，一元二次方程的解法，掌握相关知识点是解题关键．8．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（）A．8B．7C．9D．【答案】D【分析】过点F作FP⊥CD交DC的延长线于点P，作直线CF，首先证明△PEF≌△DAE，得PF＝DE，PE＝AD，再证明点F在∠BCP的平分线上，作点B关于直线CF的对称点M，连接AM交直线CF于点F，此时，AF＋BF最小，设DE＝x，由图1知，PE＝PC＝DE＝x，则PM＝CM−PC＝8−x，由△MPF∽△MCG，得到对应边成比例即可求出x的值，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：如图，过点F作FP⊥CD交DC的延长线于点P，作直线CF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝8，∠D＝∠BCD＝90°，AB∥CD，∴∠D＝∠EPF＝90°，∴∠AED＋∠DAE＝90°，由旋转知，AE＝FE，∠AEF＝90°，∴∠AED＋∠PEF＝90°，∴∠PEF＝∠DAE，在△PEF与△DAE中，∴△PEF≌△DAE（AAS），∴PF＝DE，PE＝AD，∴PE＝CD，∴PE−CE＝CD−CE，∴PC＝DE，∵FP⊥CD，∴∠PCF＝45°，∴点F在∠BCP的平分线上，如图2，作点B关于直线CF的对称点M，连接AC、BM，连接AM交直线CF于点F，此时，AF＋BF最小，∵点B关于直线CF的对称点M，∴△BFC≌△MFC（ASA），∴CM＝BC＝AB＝8，∵AB CD，∴四边形ABMC为平行四边形，∴BG＝CG＝BC＝4，设DE＝x，由图1知，PE＝PC＝DE＝x，∴PM＝CM−PC＝8−x，∵∠BCM＝∠FPM＝90°，∴PF BC，∴△MPF∽△MCG，∴，即，解得：x＝，∴CE＝CD−DE＝8−，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力．9．如图，以C(0，1)为位似中心，在y轴右侧作ABC位似图形，使所作图形与原图形位似比为1：2，设点A的坐标为(-3，4)，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】过点作轴于点，过点作于点，根据位似比等于相似比，可得，设，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作于点，ABC位似图形，位似比为1：2，，，，，，设，C(0，1) ，(-3，4)，则，，解得，．故选B．【点睛】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握位似三角形的性质是解题的关键．10．如图，正方形和正方形的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接交于点N．则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由正方形的性质，利用“SAS”易证，得出，从而可求出，即证明．利用“ASA” 结合角平分线的定义可证明，得出．结合中位线的性质，可证明，从而证明，．得出，．设，正方形的边长是，则，再代入，解得：，（舍去），从而求出．【详解】解：∵四边形和四边形是正方形，．(SAS)，．，．，．平分．，(ASA)．．又是的中点，．，．，．设，正方形的边长是，则∴，，即，解得，（舍去），则．故选C．【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，较难，熟练掌握上述知识是解题关键．二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）11．如图，在线段上找到一个点，且，满足，设，则线段_________.【答案】【分析】设AC的长为x m，则BC=（1﹣x）m，代入求解即可．【详解】解：设AC的长为x m，则BC=（1﹣x）m，∵，∴，∴，解得：，（不合题意，舍去），∴，故答案为：．【点睛】本题考查成比例线段和解一元二次方程，设出未知数，根据题意列方程是解题的关键．12．如图是步枪在瞄准时的示意图，步枪上的准星宽度为，目标的正面宽度为，若从眼睛到准星的距离为，则眼睛到目标的距离为______m【答案】125【分析】根据平行线分线段成比例可得出，代入数据，求出OF的值即可．注意统一单位．【详解】，．，，即，解得．故答案为：．【点睛】本题考查平行线分线段成比例的应用．在解答此题时要注意单位的换算，这是此题的易错点．13．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换（k，θ），O为旋转相似中心，k为相似比，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变化A（，90°），则BD 长___cm．【答案】2【分析】已知△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理可求出BD的值．【详解】解：将△ABC作旋转相似变换A（，90°），则cm，∠BAD=90°，由勾股定理得：BD＝＝2（cm）．故答案为：2．【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的性质及勾股定理，理解题目中的旋转相似是解题的关键．14．如图，∠1＝∠2，请你补充一个条件：_________，使△ABC∽△ADE．【答案】（答案不唯一）【分析】相似三角形的判定问题，由题意，∠BAC＝∠DAE，所以再加一对应角相等即可．【详解】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，要使△ABC∽△ADE，只需再有一对应角相等即可，∴添加的条件为∠B＝∠D．故答案为：．【点睛】本题主要考查三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的性质及判定定理是解题的关键．15．在和中，，则这两个三角形________相似三角形(填“是”或“不是”)，根据是__________________________．【答案】是两角分别相等的两个三角形相似【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可.【详解】解：在中，∴=45°∴在和中，，∴~故答案为是；两角分别相等的两个三角形相似【点睛】此题主要考查了形似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解答本题的关键.16．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝________m．【答案】7.5【分析】利用直角三角形DEF 和直角三角形BCD 相似求得BC 的长后加上小颖同学的身高即可求得树高AB ．【详解】解：∵∠DEF ＝∠BCD ＝90°，∠D ＝∠D ，∴△DEF ∽△DCB ，∴，∵DE ＝8cm ＝0.08m ，DF ＝10cm ＝0.1m ，AC ＝1.5m ，CD ＝8m ，∴由勾股定理求得EF ＝0.06m ，∴，∴BC ＝6米，∴AB ＝AC +BC ＝1.5+6＝7.5（米）．故答案为：7.5．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．17．如图，已知点是的重心，过作的平行线，分别交于点、交于点；作，交于点，若的面积为18，则的面积为_______．【答案】8【分析】根据点是的重心，得出，根据得出，，由，，得出，，根据相似三角形的性质求得，，进而根据，即可求解．【详解】解：如图，延长交于．点是的重心，，，，，，，，，，，，，．故答案为：8．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，三角形重心的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．18．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-2，-2）．以坐标原点O为位似中心把△AOB 缩小得到△A1OB1，△A1OB1与△AOB的位似比为，则点A的对应点A1的坐标为_______．【答案】（-2，1）或（2，-1）【分析】根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，如果相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k计算，得到答案．【详解】解∶∵以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到，与△AOB的位似比为，∴点的对应点的横纵坐标与点A的横纵坐标的比值为或，∵A（-4，2），∴的坐标为或，即(-2，1)或(2，-1)，故答案为∶(-2，1)或(2，-1)．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，如果相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k是解题的关键．三、解答题（本题共8个小题，共66分；第19-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25小题12分，第26小题14分）19．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形．（1）若这个矩形的面积等于，求的长度；（2）这个矩形的面积可能等于吗？若能，求出的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）【答案】（1）11cm；（2）不能，理由见解析；（3）【分析】（1）设，则，根据矩形面积公式得到，再解方程得，，由于，则可得到的长为；（2）与（1）一样得到方程，整理得，计算判别式的值，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是可判断这个矩形的面积可能等于；（3）设，则，根据黄金分割的定义得，解得，再计算出，然后计算矩形的面积．【详解】解：（1）设，则，根据题意得，整理得，解得，，当时，；当时，，而，所以，即的长为；（2）不能．理由如下：设，则，根据题意得，整理得，因为△，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积不可能等于；（3）设，则，根据题意得，解得，则，所以矩形的面积．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．20．△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；（1）如图1，若D为BC的中点，，求证：AF＝FD；（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得；（3）若F为AD的中点，设，请求出m、n之间的等量关系．【答案】（1）证明见解析，（2）作图见解析，（3）【分析】（1）作DG∥BE交AC于G，列出比例式即可证明；（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E即可；（3）作DG∥BE交AC于G．根据平行得出比例式，根据F为AD的中点，得出m、n之间的等量关系即可．【详解】（1）证明：作DG∥BE交AC于G，∵DG∥BE，BD＝CD，∴＝＝1，∴EG＝CG，∵EF∥DG，∴＝，∵，EG＝GC，∴＝1，∴＝1．∴AF＝FD；（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E，点E即是所求；（3）作DG∥BE交AC于G．∵DG∥BE，∴＝＝，∵，设AC＝a，AE＝an，EC＝a－an，EG＝m (a－an)，∵EF∥DG，∴＝，∵F为AD的中点，∴即．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是恰当作平行线，利用比例式解决问题．21．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．【答案】（1）；（2）相似，理由见解析【分析】（1）根据边的关系得出比例等式解答即可；（2）根据相似图形的判定解答即可．【详解】解：（1）如图1，设AB＝x，由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，∴∠BCF＝∠BDF=90°，又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，∴∠ACB=∠ECF=45°，∴BC=x，∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x，∴EF＝CE＝AD＝（+1）x，∵DE＝AC＝AB＝x，∴DF＝DE+EF＝（+2）x，∴，故答案为：．（2）由（1）知：A5纸长边为A4纸短边，长为（+1）x，A5纸短边长为（）x，∴对A5纸，长边：短边，∴A4纸与A5纸相似．【点睛】此题考查了相似图形，关键是根据相似图形判断和性质解答．22．如图，正方形ABCD 的边长为8，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF⊥AE 于F．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，x的值为4或20.【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【详解】(1)证明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图，连接PE,DE,∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=4，即x=4.如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE,若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点.∵AE=，∴EF=AE=.∵，∴PE=20，即x=20.∴满足条件的x的值为4或20.【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线.23．某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB）的高度为4.8米，右侧路灯（CD）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD）为12米，已知小明的身高（EF）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．(1)若小明站在人行横道的中央（点F是BD的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP＝米，FQ＝米；(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP＝FQ），请问时小明站在什么位置，为什么？【答案】(1)3，2(2)离B地（或离D地），理由见解析【分析】（1）通过证明，，再根据相似三角形的性质进行求解即可；（2）由（1）得，，，设，可求出，求出x的值，即可求解．【详解】（1）解：由题意得，，，，，点F是BD的中点，，，解得；，，，点F是BD的中点，，，解得；故答案为：3；2；（2）小明站在离B点米处的位置，理由如下：由（1）得，，，，设，，，，，解得，，所以，小明站在离B点米处的位置．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．24．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片折叠，使顶点落在边上的点处（点与、不重合），折痕为，折叠后边落在的位置，与交于点．(1)观察操作结果，在图1中找到一个与相似的三角形，并证明你的结论；(2)当点在边的什么位置时，与面积的比是？请写出求解过程；(3)将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片折叠，使顶点落在边上的点处（点与、不重合），折痕为，当点在边的什么位置时，与面积的比是请写出求解过程．【答案】(1)，证明见解析(2)当时，与面积的比是，求解过程见解析(3)当时，与面积的比是，求解过程见解析【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得；（2）先根据相似三角形的性质可得，设，则，，，再根据折叠的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得；（3）先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，，从而可得，，再根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得．【详解】（1）解：，证明如下：四边形是正方形，，，由折叠的性质得：，，，在和中，，．（2）解：，，，正方形的边长为5，，设，则，，，由折叠的性质得：，在中，，即，解得，，当时，，即点与点重合，不符合题意，舍去，当时，，符合题意；故当时，与面积的比是．（3）解：是边长为5的等边三角形，，，由折叠的性质得：，，，，，，与面积的比是，，设，则，，，，，，，解得，，即当时，与面积的比是．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、折叠的性质、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．25．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．。
图形的相似 练习题
图形的相似练习题图形的相似练习题在数学中，图形的相似是一个重要的概念。
相似图形是指形状相似但大小不同的图形。
通过学习相似图形，我们可以更好地理解几何学中的比例和比例关系。
下面，我将给大家提供一些有关图形相似的练习题，希望能够帮助大家加深对这一概念的理解。
1. 给定两个三角形ABC和DEF，已知∠A=60°，∠B=45°，∠D=30°，且AB=4cm，DE=6cm。
问这两个三角形是否相似？如果是，写出它们的相似比。
解析：由于∠A=60°，∠B=45°，∠D=30°，根据角度对应，可以得出∠C=75°，∠E=105°。
而且由于三角形的内角和为180°，所以∠C+∠A+∠B=180°，∠E+∠D+∠F=180°。
代入已知的角度，可以得到∠C=75°，∠F=45°。
所以，两个三角形的对应角度相等。
另外，根据三角形的性质，两个三角形的边长之比应该相等。
由于AB=4cm，DE=6cm，所以4/6=2/3。
所以，两个三角形相似，且它们的相似比为2:3。
2. 给定一个矩形ABCD，长为8cm，宽为4cm。
在矩形的AB边上取一点E，使得AE=3cm。
连接DE，求矩形ABCD和三角形ADE的相似比。
解析：由于矩形ABCD是一个直角矩形，所以∠A=90°。
又因为AE=3cm，AD=4cm，所以三角形ADE是一个等腰直角三角形。
根据等腰直角三角形的性质，∠AED=45°。
另外，根据矩形的性质，AD=BC=4cm，AB=CD=8cm。
所以，三角形ADE和矩形ABCD的对应边长之比为3/4。
3. 给定一个平行四边形ABCD，已知AB=6cm，BC=8cm，AD=10cm。
在平行四边形ABCD中，连接AC，交BC于点E。
求证：三角形AED和三角形BEC相似。
解析：首先，根据平行四边形的性质，AD∥BC，所以∠AED和∠BEC是对应角，它们相等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
周末能力提升题《图形的相似》一．选择题1．若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：92．下列四组图形中，一定相似的图形是（）A．各有一个角是30°的两个等腰三角形B．有两边之比都等于2：3的两个三角形C．各有一个角是120°的两个等腰三角形D．各有一个角是直角的两个三角形3．如上图，△ABC中，DE∥BC，=，AE=2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④5．在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为 2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是（）A．20m B．16m C．18m D．15m6．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（）A．B．C．D．7．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：18．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（）A．B．BC2=AB•BC C．D．9．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9二．填空题10．在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若BD=8，DA=4，BE=6，则EC=．11．如下图，在△ABC中，AB=9，AC=6．点M在边AB上，且AM=3，点N 在AC边上．当AN=时，△AMN与原三角形相似．12．如下图，若△ADE∽△ACB，且=，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是．13．如下图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．第10题图第11题图第12题图第13题图14．一个舞台长10米，演员报幕时应站在舞台的黄金分割处，则演员应站在距舞台一端米远的地方．15．如图，正方形ABCD中，AB=2，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM=．三．解答题16．如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E，连接BD．求证：△ABC∽△BDC．17．如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．18．如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD．19．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB 的中点．（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD．一．选择题（共9小题）1．若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9【解答】解：∵△ABC～△DEF，相似比为3：2，∴对应高的比为：3：2．故选：A．2．下列四组图形中，一定相似的图形是（）A．各有一个角是30°的两个等腰三角形B．有两边之比都等于2：3的两个三角形C．各有一个角是120°的两个等腰三角形D．各有一个角是直角的两个三角形【解答】解：A、各有一顶角或底角是30°的两个等腰三角形相似，故错误，不符合题意；B、有两边之比为2：3的两个三角形不一定相似，故错误，不符合题意；C、各有一个角是120°的两个等腰三角形相似，正确，符合题意；D、两个直角三角形不一定相似，故错误，不符合题意；故选C．3．如图，△ABC中，DE∥BC，=，AE=2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∵，AE=2cm，∴=，∴AC=6（cm），故选C．4．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④【解答】解：①和③相似，∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，∴=，=，即==，∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．故选C．5．在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是（）A．20m B．16m C．18m D．15m【解答】解：∵，∴，解得旗杆的高度==18m．故选C．6．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（）A．B．C．D．【解答】解：∵x：（x+y）=3：5，∴5x=3x+3y，2x=3y，∴x：y=3：2=，故选：D．7．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选A8．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（）A． B．BC2=AB•BC C．D．【解答】解：∵AC＞BC，∴AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，故A正确，不符合题意；AC2=AB•BC，故B错误，，故C正确，不符合题意；≈0.618，故D正确，不符合题意．故选B．9．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9【解答】解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC．∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∴=故选：A．二．填空题（共6小题）10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若BD=8，DA=4，BE=6，则EC=3．【解答】解：∵DE∥AC，∴=，即=，解得EC=3．故答案为：3．11．在△ABC中，AB=9，AC=6．点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上．当AN=2或4.5时，△AMN与原三角形相似．【解答】解：由题意可知，AB=9，AC=6，AM=3，①若△AMN∽△ABC，则=，即=，解得：AN=2；②若△AMN∽△ACB，则=，即=，解得：AN=4.5；故AN=2或4.5．故答案为：2或4.5．12．若△ADE∽△ACB，且=，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是【解答】解：∵△ADE∽△ACB，且=，∴△ADE与△ACB的面积比为：，∴△ADE与四边形BCED的面积比为：，又四边形BCED的面积是2，∴△ADE的面积是，故答案为：．13．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为5米．【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知=，即=，解得AM=5m．则小明的影长为5米．14．一个舞台长10米，演员报幕时应站在舞台的黄金分割处，则演员应站在距舞台一端15﹣5或5﹣5米远的地方．【解答】解：∵演员报幕时应站在舞台的黄金分割处，∴距舞台一端是10×（1﹣）=15﹣5（米）．或10﹣（15﹣5）=5﹣5（米）．故答案为：15﹣5或5﹣5．15．如图，正方形ABCD中，AB=2，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM=或．【解答】解：∵E为BC中点，正方形ABCD的边长AB=2，∴BE=×2=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE===，∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①DM与AB是对应边时，则=，即=，解得DM=，②DM与BE是对应边时，则=，即=，解得DM=，综上所述，DM=或． 故答案为：或． 三．解答题16．如图，在△ABC 中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB 的垂直平分线分别与AC 、AB 交于点D 、E ，连接BD ．求证：△ABC ∽△BDC ．【解答】证明：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD ．∵∠BAC=40°，∴∠ABD=40°，∵∠ABC=80°，∴∠DBC=40°，∴∠DBC=∠BAC ，∵∠C=∠C ，∴△ABC ∽△BDC ．17．如图，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P 为AB 边上一动点，若△PAD 与△PBC 是相似三角形，求AP 的长．【解答】解：∵AB ⊥BC ，∴∠B=90°．∵AD ∥BC ，∴∠A=180°﹣∠B=90°，∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，设AP 的长为x ，则BP 长为8﹣x ． 若AB 边上存在P 点，使△PAD 与△PBC 相似，那么分两种情况： ①若△APD ∽△BPC ，则AP ：BP=AD ：BC ，即x ：（8﹣x ）=3：4，解得x=；②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6．所以AP=或AP=2或AP=6．18．如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD．【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是角平分线，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠CBD，又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．19．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD．【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB．∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴=，AC2=AB•AD；（2）∵E是AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA．∵AC平分∠DAB，∴∠CAD=∠CAB，.∴∠CAD=∠ECA，∴CE∥AD．.。