离散图论习题解答

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14.19. 19.设G 是n 阶自补图, 证明n = 4k 或n = 4k+1, 其中k 为正整数.

设G 是n 阶m 条边的自补图, 则G 为n 阶m 条边的简单图, 且G≅⎯G. 于是,⎯G 的边数m' = m, 且m+m'= 2m = n(n−1)/2. 于是n(n−1) = 4m, 因而n = 4k, 或n−1 = 4k, k 为正整数.

14.21. 21. 无向图G 如图14.19 所示.

(1)求G 的全部点割集和边割集, 并指出其中的割点和桥(割边);

(2)求G 的点连通度κ(G)和边连通度λ(G).

(1)点割集两个{a, c}, {d}, d 是割点. 7 个边割集:{e5}, {e1, e3}, {e2, e4}, {e1, e2}, {e2, e3}, {e3, e4}, {e1, e4}, e5 是桥.

(2)因为既有割点又有桥, 所以κ= λ= 1.

14.22. 22.无向图G 如图14.20 所示, 现将该图顶点和边标定. 然后求图中的全部割点和桥, 以及图的点连通度和边连通度.

第14 题答图

标定如答图. 3 个割点: d, f , h. 3 个桥: e5, e9, e10. 因为既有割点又有桥, 所以κ= λ= 1.

14.23. 23. 求图14.21 所示图G 的κ(G), λ(G)和δ(G).

κ= 2, λ= 3, δ= 4.

14.43. 43.有向图D 如图14.22 所示.

(1)D 中有多少种非同构的圈? 有多少种非同构的简单回路?

答：有2种非同构的圈，长度为2和3；有3种非同构的简单回路，长度为2，3，5

(2)求a 到d 的短程线和距离d.

a 到d 的短程线为aed，d=2

(3)求d 到a 的短程线和距离d.

d 到a 的短程线为deba，d.=3

(4)判断D 是哪类连通图.

单向连通图

(5)对D 的基图讨论(1), (2), (3)三个问题.

答：有4种非同构的圈，长度为2，3，4,5；有7种非同构的简单回路除了4种非同构的圈外，还有3种非圈的简单回路。长度为5,6,8；

a 到d 的短程线有3条，d=2

d 到a 的短程线有3条d=2

15.14. 14. 今有n 个人, 已知他们中的任何二人合起来认识其余的n − 2 个人. 证明: 当n ≥ 3 时, 这n 个人能排成一列, 使得中间的任何人都认识两旁的人, 而两旁的人认识左边(或右边)的人. 而当n ≥4 时, 这n个人能排成一个圆圈, 使得每个人都认识两旁的人.

作n 阶简单无向图G = , V = 这n 个人的集合, E = {(u, v)|u, v ∈V ∧u ≠v ∧u 与v 认识}. ∀u, v ∈V,.

(1)若u, v 相邻, 则d(u) + d(v) ≥(n −2) + 2 = n.

(2)若u, v 不相邻, 则∀w∈V −{u, v}, w 必与u 和v 都相邻. 否则, 比如u 和w 不相邻, 则v, w 都不邻接u,于是u 和w 合起来至多与其余的n − 3 个人认识, 与已知条件不符. 因而d(u) + d(v) ≥2(n −2).当n ≥3 时, 2(n −2) ≥n −1, 因此无论第(1)或(2)种情形, 都有d(u) + d(v) ≥n −1, 由定理15.7 知G 中有哈密顿通路, 通路上的人按在通路中的顺序排成一列, 满足要求. 当n ≥4 时, 2(n −2) ≥n, 因此无论第(1)或(2)种情形, 都有d(u) + d(v) ≥n, 由定理15.7 的推论知G 中有哈密顿回路, 回路上的人按在回路中的顺序排成一个圆圈, 满足要求.

15.15. 15. 某工厂生产由6 种不同颜色的纱织成的双色布. 已知在品种中, 每种颜色至少能与其他5 中颜色中的3 种相搭配. 证明可以挑出3 种双色布, 他们恰由6 种不同颜色的纱织成.

作无向简单图G = , V = {v|v 为6 种颜色的纱之一}, |V| = 6, E = {(u, v)|u, v ∈V ∧u ≠v ∧u 与v 能搭配}. 由给出的条件知, ∀u, v ∈V, 有

d(u) + d(v) ≥3 + 3 = 6 = |V|.

由定理15.7 的推论知, G 是哈密顿图, 因而有哈密顿回路, 设C = vi1vi2vi3vi4vi5vi6vi1

为其中的一条. 任何两个顶点在 C 中相邻, 说明这两个顶点代表的颜色的纱可以搭配成双色布. 让vi1与vi2的搭配, vi3与vi4的搭配, vi5与vi6的搭配就可以织成3 种双色布, 恰用了6 种不同的颜色.

16.26. 26. 设T 为非平凡树, Δ(T) ≥k, 证明T 至少有k 片树叶.

证法一设T 中有x 片树叶, 则T 中有n −x 个分枝点(度数≥2), 其中至少有个1 个顶点度数为Δ(≥k). 由树的性质及握手定理知

2m = 2(n −1) = Σd(v) ≥x⋅1 + (n −x−1)⋅2 + Δ. 整理得x ≥Δ≥k.

16.29. 29.设G 为n (n ≥5)阶简单图, 证明G 或⎯G 中必含圈.

首先利用第23 题的结论确认无圈的图(森林)的边数m = n −p ≤n − 1. (反证法)假如G 和⎯G 都不含圈, 则

1/2 n(n −1) =| E(Kn ) |= |E(G)| +|E(G)| ≤2(n −1),于是n(n −4) ≤0, 而这与(n ≥5)矛盾.

16.31

(1) 4 (2) 4 (3) 5(4) 6

讲过的例题：P315 例16.5 P312 例16.3 (例15.3有没讲？）