高等数学Ⅱ(本科类)第3阶段测试题3a

合集下载

大一高数1-9的习题答案

大一高数1-9的习题答案大一高数1-9的习题答案大一高数是大学数学的基础课程之一，对于理工科学生来说是非常重要的一门课程。

在学习过程中，习题是帮助我们巩固知识、提高能力的重要工具。

下面我将为大家提供大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。

第一章：极限与连续1. 求以下极限：a) lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)答案：2b) lim(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1)答案：2c) lim(x→0) sinx / x答案：12. 判断以下函数在给定点是否连续：a) f(x) = x^2 + 3x - 2, x = 2答案：连续b) f(x) = 1 / x, x = 0答案：不连续第二章：导数与微分1. 求以下函数的导数：a) f(x) = 3x^2 - 2x + 1答案：f'(x) = 6x - 2b) f(x) = sinx + cosx答案：f'(x) = cosx - sinxc) f(x) = e^x + ln(x)答案：f'(x) = e^x + 1 / x2. 求以下函数的微分：a) f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1答案：df(x) = (6x^2 - 10x + 3)dx b) f(x) = √x + ln(x)答案：df(x) = (1 / (2√x) + 1 / x)dx 第三章：定积分1. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) x^2 dx答案：1 / 3b) ∫(1 to 2) 2x dx答案：3c) ∫(0 to π) sinx dx答案：22. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) (x^3 + 2x^2 + x) dx 答案：7 / 12b) ∫(1 to 2) (2x^2 + 3x + 1) dx答案：19 / 3第四章：不定积分1. 求以下函数的不定积分：a) ∫(3x^2 - 2x + 1) dx答案：x^3 - x^2 + x + Cb) ∫(2sinx + cosx) dx答案：-2cosx + sinx + C2. 求以下函数的不定积分：a) ∫(2x^3 + 3x^2 + x) dx答案：(1 / 2)x^4 + x^3 + (1 / 2)x^2 + C b) ∫(e^x + 1 / x) dx答案：e^x + ln|x| + C第五章：级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^2)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n)答案：发散2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛第六章：多元函数微分学1. 求以下函数的偏导数：a) f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2答案：∂f / ∂x = 2x + 2y, ∂f / ∂y = 2x + 2yb) f(x, y) = sinx + cosy答案：∂f / ∂x = cosx, ∂f / ∂y = -siny2. 求以下函数的全微分：a) f(x, y) = x^3 + 2xy^2答案：df = (3x^2 + 2y^2)dx + (4xy)dyb) f(x, y) = e^x + ln(y)答案：df = e^xdx + (1 / y)dy第七章：多元函数积分学1. 求以下二重积分：a) ∬(D) x^2 dA, D为单位圆盘答案：π / 3b) ∬(D) y dA, D为正方形区域，顶点为(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) 答案：12. 求以下二重积分：a) ∬(D) (x + y) dA, D为上半平面答案：无穷大b) ∬(D) (2x + 3y) dA, D为单位正方形答案：5 / 2第八章：无穷级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^3)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n^2 / 2^n)答案：收敛第九章：常微分方程1. 求以下常微分方程的通解：a) dy / dx = x^2答案：y = (1 / 3)x^3 + Cb) dy / dx = 2x + 1答案：y = x^2 + x + C2. 求以下常微分方程的特解：a) dy / dx = y^2, y(0) = 1答案：y = 1 / (1 - x)b) dy / dx = 2x, y(0) = 3答案：y = x^2 + 3以上是大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。

2017-2018学年人教A版高中数学一_阶段质量检测(三)含解析

阶段质量检测（三)（A卷学业水平达标）(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分）1．函数f(x）＝x2－3x－4的零点是( )A．（1，－4）B．(4,－1）C．1，－4 D．4，－1解析：选D 由x2－3x－4＝0，得（x＋1）(x－4）＝0,解得x1＝－1，x2＝4.2．利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表：A．(0。

6，1.0）B．（1.4，1.8)C．（1。

8，2。

2）D．(2。

6,3.0）解析：选C 构造f（x）＝2x－x2，则f(1。

8）＝0.242,f(2.2)＝－0。

245，故在(1。

8，2.2）内存在一点使f(x)＝2x－x2＝0,所以方程2x ＝x2的一个根就位于区间(1。

8，2.2)上．3．据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0。

2万，0.4万和0。

76万，则该地区这三个月的用工人数y(万人)关于月数x 的函数关系近似地是（）A．y＝0。

2x B．y＝错误!(x2＋2x）C．y＝错误!D．y＝0.2＋log16x解析：选C 当x＝1时,否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C。

4．函数f（x)＝ln x的图象与函数g（x）＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( ）A．0 B．1C．2 D．3解析：选C 在同一直角坐标系下作出函数f(x)＝ln x与g（x）＝x2－4x＋4＝(x－2）2的图象，如图所示．由图知f （x )与g (x )的图象的交点个数为2，故选C 。

5．在物价飞速上涨的今天，某商品2016年零售价比2015年上涨25％，欲控制2017年比2015年只上涨10%，则2017年应比2016年降价（）A ．15％B ．12％C ．10％D ．8％解析：选B 设2017年应比2016年降价x ％，则（1＋25％）(1－x ％)＝1＋10％,解得x ＝12.6．若函数f (x )唯一零点同时在(0，4），(0,2），（1,2），错误!内，则与f (0)符号相同的是( )A ．f (4）B ．f (2)C ．f （1）D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 解析：选C 由函数零点的判断方法可知，f (2)，f (4)与f (0)符号相反，f （1)与f (2)符号相反，故f (1)与f （0）符号相同，故选C 。

天津大学仁爱学院2014-2015 学年第一学期期中考试试卷《高等数学 3A》

天津大学仁爱学院专用纸
系别
专业
班
年级
学号
2014 2015 学年第一学期期中考试试卷
题号一
《高等数学 3A》（共 3 页）
(考试时间: 2014 年 11 月 7 日)
二
三
四
五
六
成绩
核分人签字
得分
一、填空题 (本题满分 9 分, 每小题 3 分)
1. 函数 f (x) = arcsin(x
1 2) + p
∆x!0
(C)
dy
ˇˇ
x
=x0
=
f
0(x0)dx
(B) f+0 (x0) = f 0 (x0)
(D)
(f
(f
(x)))0
ˇˇ
x=x0
=
f
0(f
(x))ˇˇx=x0
姓名
三、解下列各题 (本题满分 28 分, 每小题 7 分)
1.
Â lim
x2
x2 Ã
x!1 x + 1 x 1
第1页共 3 页
2. 设 y = p x 求 y0 y00 1 x2
(C) 2
2. 已知 lim
x
= 1 , 则 f 0(1) = ( )
x!0 f (1) f (1 3x)
(A) 1 3
(B) 1 3
(C) -3
(D) 1 (D) 3
3. 设 f (x) 在 x0 处可导, 则下列各式中不正确的是 ( )
(A) lim f (x0 + ∆x) = f (x0)
3.
设
y
=
y(x)
由方程
xy2
+ ex+y

《高等数学》练习题库及答案,DOC

《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题1.函数y=112+x 是（） A.偶函数B.奇函数C 单调函数D 无界函数2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为（） A2x 2－2B2－2x 2C1＋x 2D1－x 23A ．C ．4.A C.5A C 6．→lim 1x7．设x 8.当x A.x 2A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时，y=（）A 、是连续的B 、无界函数C 、有最大值与最小值D 、无最小值11、设函数f （x ）=（1-x ）cotx 要使f （x ）在点：x=0连续，则应补充定义f （0）为（）A 、B 、eC 、-eD 、-e -112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）A、xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x不连续，则下列结论成立是（）A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续f(x)=0 14、设1516、函数17AC18、AC、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（）A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设26、设27、设28、已知29、已知30A、3132、圆A、-1B、0C、1D、233、函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x可微的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数f(x)在点x0可导是函数f(x)在x可微的（）A、充分条件B、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（）A 、0B 、-dxC 、dxD 、不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（） A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞-∞D 、∞型37、极限012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是（） A 、00型38、极限A 39、x x A C 40A C 41、曲线A 42A 、0B 、43A 44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）A 、2e x/2B 、4e x/2C 、e x/2+CD 、e x/245、∫xe -x dx=（D ）A 、xe -x -e -x +CB 、-xe -x +e -x +CC 、xe -x +e -x +CD 、-xe -x -e -x +C46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数47、∫-10|3x+1|dx=（）A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线A50、点（A51A、52、平面A53、方程AC54、方程A55、方程A56AC、两发散数列之和必发散D、两收敛数列之和必收敛57.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x处连续的（）A、.必要条件B、充分条件C、充分必要条件D、无关条件58函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C 、f(x)=x 2-1D 、f(x)=5x 4-4x+160设y=(cos)sinx ，则y’|x=0=（）A 、-1B 、0C 、1D 、不存在二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（） 2、求极限0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（） 3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（） 456、已知78、已知910、函数11、函数12、函数13、函数14、函数15、点（16、∫xx 17、若18、若∫19、d/dx ∫a b arctantdt =（）20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dt e x 在点x=0连续，则a=（） 21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（）22、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（）23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（）1dx/(4-x2)1/2=（）24、∫25、∫л/3лsin(л/3+x)dx=（）9x1/2(1+x1/2)dx=()26、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）27、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）28、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）29、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）30、∫49x31、∫9x32、∫43334、设35、函数36、37、383940（）41424344、通过45lim[x/(x+1)]x=（）46求极限∞x→47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（）9x1/2(1+x1/2)dx=（）48∫449y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）50求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。

高等数学1 第三章习题答案

高等数学习题解答（第三章微分中值定理与导数的应用）惠州学院数学系习题 3.11．验证拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的正确性。

解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足拉格朗日中值定理的条件。

又1()f x x'=，解方程()(1)11(),,11f e f f e e ξξ-'==--即得1(1,)e e ξ=-∈。

因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。

2．不求函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的导数，说明方程'()0f x =有几个实根，并指出它们所在的区间。

解：函数()[1,2],[2,3],[3,4]f x 分别在区间上连续，(1,2),(2,3),(3,4)在区间上可导，且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。

由罗尔定理知，至少存在1(1,2),ξ∈2(2,3),ξ∈ 3(3,4),ξ∈使()0 (1,2,3),i f i ξ'==即方程'()0f x =有至少三个实根。

又因方程'()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。

因此，方程'()0f x =有且只有三个实根，分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。

3．若方程 10110n n n a x a x a x --+++= 有一个正根0,x 证明:方程12011(1)0n n n a nxa n xa ---+-++= 必有一个小于0x 的正根。

解：取函数()1011nn n f x a x a xa x --=+++ 。

0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导，且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程12011(1)0n n n a nxa n xa ---+-++= 必有一个小于0x 的正根。

高等数学第三章试题库

第三章试题库一、选择题。

1.若)(u f 可导,且)(x e f y =,则有=dy （）A.()x f e dx' B.()x xf e de ' C.()x x f e de '⎡⎤⎣⎦D.()x x f e e dx '⎡⎤⎣⎦2.当n →+∞，55,ln ,ln ,5n n n 趋于无穷大速度最快的是()A.5n B.5ln n C.ln D.5n3.当n →+∞，55,ln ,ln ,5n n n 趋于无穷大速度最慢的是()A.5ln n B.5ln n C.ln D.5n4.设()(1)(2)(), f x x x x n =--- 则()=0f x '在开区间(2,)n 有（）个零点A.1n - B.1n - C.2n - D.n5.设()(1)(2)(), x x x f x e e e n n Z +=---∈ 则(0)=f '（)A.1(1)(1)!n n --- B.(1)(1)!n n -- C.1(1)!n n -- D.(1)!n n -6.设()(1)(2)(), f x x x x n n Z +=---∈ 则(1)=f '（)A.1(1)(1)!n n --- B.(1)(1)!n n -- C.1(1)!n n -- D.(1)!n n -7.设()(1)(2)(10), f x x x x =--- 则(1)=f '（)A.9!- B.0C.9!D.10!8．设2()ln(1)f x x =+,则该函数在(0,)+∞内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧9．设()ln(1)f x x x =+-,则该函数在(1,0)-内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧10．设()x f x e x =-,则该函数在(1,0)-内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧11.设函数()f x 在[,]a b 上连续，且在(,)a b 内()0f x ''>，则在(,)a b 内等式()()()f b f a f b aξ-'=-成立的ξ()A．存在B．不存在C．惟一D．不能断定存在12．曲线53(1)5y x =-+()A．有极值点1x =,但无拐点B．有拐点(1,5),但无极值点C．有极值点1x =,有拐点(1,5)D．既无极值点,又无拐点13.下列函数中，在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（）.A．2ln(1)y x =-B．21y x =-C．||x y e =D．sin y arc x =14.若函数)(x f y =在点0x 处取得极大值，则必有().A.0()0f x '= B.0()0f x '<C.0()0f x '=且0()0f x ''< D.0()0f x '=或0()f x '不存在15.若在区间),(b a 内有()0,f x '>()0,f x ''<则曲线弧)(x f y =为().A.递增的凸弧B.递增的凹弧C.递减的凸弧D.递减的凹弧16.下列函数中在区间]3,0[上不满足拉格朗日定理条件的是（）.A.221x x ++ B.cos(1)x + C.22(1)x x - D.ln(1)x +17．若)(x f 在a x =处取得极值，则（）。

《高等数学(一)》(专升本)2024年福建省福州市平潭县深度预测试题含解析

《高等数学（一）》（专升本）2024年福建省福州市平潭县深度预测试题一、单选题(每题4分)1、设函数y=2x+sin x，则y′=（）A.1-cos xB.1+cos xC.2-cos xD.2+cos x2、下列等式成立的是3、下列函数中为f(x)=e2x的原函数的是( )4、微分方程y'＋x=0的通解为5、6、A.ex+CB.ex+2x+CC.ex+x2+CD.(ex+2)2+C7、（）A.1/2B.1C.2D.38、9、10、微分方程y''+（y'）3+y4=x的阶数为A.1B.2C.3D.4二、填空题(每题4分)11、设函数z=x3+y2，dz=______．12、微分方程xyy′=1-x2的通解是_____.13、设Y=y((x)满足2y+sin(x+y)=0，求y′．14、15、16、函数f（x）=x3—6x的单调递减区间为．17、将ex展开为x的幂级数，则展开式中含x3项的系数为——．18、过原点且与平面2x-y+3z+5=0平行的平面方程为______．19、函数f（x）=x3—12x的极小值点x=______．20、三、解答题(每题10分)21、求微分方程y''-y'-2y=0的通解．22、23、24、25、求由曲线y2=（x—1）3和直线x=2所围成的图形绕z轴旋转所得的旋转体的体积．26、27、求微分方程y”-3y'+2y=2的通解．参考答案一、单选题(每题4分)1、【正确答案】：D2、【正确答案】：C【试题解析】：3、【正确答案】：B【试题解析】：本题考查了原函数的知识点．【试题解析】：[解析]所给方程为可分离变量方程．5、【正确答案】：A【试题解析】：6、【正确答案】：B【试题解析】：由不定积分的基本公式及运算法则可得因此选B.7、【正确答案】：C8、【正确答案】：A【试题解析】：9、【正确答案】：D【试题解析】：由所给二次积分可知区域D可以表示为0≤y≤l，y≤x≤1．其图形如右图中阴影部分．又可以表示为0≤x≤1，0≤y≤x．因此选D。

2018届高考新课标数学理大一轮复习检测：第三章导数

A 组专项基础训练(时间：35分钟)1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1【解析】 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10＝e.故选C.【答案】 C2．(2017·河北定州中学第一次考试)曲线C ：y ＝x 3(x ≥0)在点x ＝1处的切线为l ，则由曲线C 、直线l 及x 轴围成的封闭图形的面积是( )A ．1 B.112C.43D.34【答案】 B3．(2017·武汉市高三调研测试)一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433J D ．2 3 J 【解析】 ⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x∴F (x )做的功为43 3 J.【答案】 C4．(2017·沈阳质量监测)由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封闭图形的面积为( ) A.16 B.13 C.23D ．1【答案】 BA ．－1B ．0C ．1D ．2【答案】 A7．(2017·广东东莞一中、松山湖学校联考)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．所求图形的面积为S ＝⎠⎛－11(2x 2)d x －⎠⎛－11(－4x －2)d x ＝43－(－4)＝163.【答案】 163【答案】 369．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．10．在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间t (单位：s)所走过的路程s ＝4t 2(单位：m)，若介质阻力F 与物体的运动速度v 成正比，且当v ＝10 m/s 时，F ＝5 N ，求物体在位移区间内克服介质阻力所做的功．【解析】 ∵物体经过时间t 所走过的路程s ＝4t 2， ∴速度v (t )＝s ′＝8t .设F ＝kv (t )，由“当v ＝10 m/s 时，F ＝5 N ”知k ＝12，∴F ＝4t ·d W ＝F d s ＝4t ·d(4t 2)＝32t 2d t .∵s ∈，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴物体在位移区间内克服介质阻力所做的功W ＝∫11232t 2d t ＝32t 33⎪⎪⎪⎪112＝283(J)．B 组专项能力提升 (时间：15分钟)11．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x 等于( )A ．－1B ．－13C.13D ．1【答案】 BA ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1 【解析】方法一 S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2＜ln e ＝1，S 3＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2＜S 1＜S 3.【答案】 B【答案】 D14．汽车以v＝3t＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是________m.【答案】 6.515．(2015·陕西)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．【解析】建立平面直角坐标系如图所示，可求得A(3，0)，B(5，2)，∴可求得抛物线方程为y＝225x2.【答案】 65。

高一数学第三阶段试试题A 试题

卜人入州八九几市潮王学校清流一中二零二零—二零二壹下学期第三阶段考试高一数学试卷一、选择题〔12×5=60分〕1．,0<>bcab，那么直线=++cbyax不通过〔C〕A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限；D．第四象限2．ABC△的三内角A B C，，所对边的长分别为a b c，，．且()()a b c a b c ab+++-=，那么角C的大小为〔D〕Ａ．π6；Ｂ．π3；Ｃ．π2；Ｄ．2π33.在ABC∆中，0045,75,AC A C===那么BC=〔B〕A.33-；B.2；C.2；D.33+4.假设,cos cos,ABC a B b A ABC∆=∆中则一定是B〔A〕等边三角形〔B〕等腰三角形〔C〕等腰三角形或者直角三角形〔D〕直角三角形５．等差数列}{na的前n项和为30,1191=++aaaSn若，那么13S值的是〔C〕A．65；；B．70；；C．130；；D．260。

６．数列{an}是公差不为零的等差数列,且a7,a10,a15是一等比数列{bn}的连续三项.假设b1=3，那么bn等于〔A〕A．3×(35)n－1；B．3×(85)n－1；C．3×(－35)n－1；D．3×(32)n－1。

7．直线2)1(12=+-+=-+yaxyax与平行，那么a等于〔D〕A．23B．2 C．－1 D．2或者－18．三棱锥A—BCD的棱长全相等，E是AD的中点，那么直线CE与BD所成角的余弦值为〔A〕A．63；B．23；C．633； D．219．将正三棱柱截去三个角〔如图1所示A、B、C分别是GHI∆三边的中点〕得到的几何体如图2，那么该几何体按图2所示方向的侧视图(或者称左视图)为A10．假设有平面α与β，且lPPl∉α∈β⊥α=βα,,,D〕A．过点P且垂直于α的直线平行于βB．过点P且垂直于l的平面垂直于βC．过点P且垂直于β的直线在α内D．过点P且垂直于l的直线在α内11．直线α平面⊥m，直线β平面⊂n，其中,m n是不同直线，,αβ①假设βα//，那么nm⊥；②假设βα⊥，那么nm//；③假设nm//，那么βα⊥；④假设nm⊥，那么βα//.；⑤假设mβ⊥，那么//nα；⑥假设//mβ，那么nβ⊥。

高考数学(理)(全国通用版)大一轮复习阶段检测试题(三) word版含答案

阶段检测试题(三)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知数列{a n}中,a1=3,a n+1=2a n+1,则a3等于( C )(A)3 (B)7 (C)15 (D)18解析:因为a1=3,a n+1=2a n+1,所以a2=2a1+1=2×3+1=7,a3=2a2+1=2×7+1=15.2.若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为( B )(A)p<q (B)p≤q (C)p>q (D)p≥q解析:作差.p-q=+-a-b=(-a)+(-b)=,因为a<0,b<0,所以(a-b)2≥0,a+b<0,ab>0,所以p-q≤0,选B.3.已知a>b,则下列不等式中恒成立的是( D )(A)ln a>ln b (B)< (C)a2>ab (D)a2+b2>2ab解析:只有在a>b>0时,A有意义,所以A错;B选项需要a,b同号,B错;C只有a>0时正确;因为a≠b,所以D正确.4.已知2a+1<0,关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是( C )(A){x|x>5a或x<-a} (B){x|-a<x<5a}(C){x|x<5a或x>-a} (D){x|5a<x<-a}解析:不等式x2-4ax-5a2>0可化为(x-5a)(x+a)>0;因为方程(x-5a)(x+a)=0的两根为x1=5a,x2=-a,且2a+1<0,所以a<-,所以5a<-a,所以原不等式的解集为{x|x<5a,或x>-a}.5.设变量x,y满足约束条件则z=x-3y的最小值为( D )(A)-2 (B)-4 (C)-6 (D)-8解析:根据题意,画出可行域与目标函数线如图所示,由图可知目标函数在点(-2,2)取最小值-8.6.+++…+的值为( C )(A) (B)- (C)-(+) (D)--解析:原式=++…+=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=(1+--)=-(+).故选C.7.等差数列{a n}前n项和为S n,且-=3,则数列{a n}的公差为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:设等差数列{a n}的公差为d,因为-=3,所以-=3,化简可得2d-d=3,解得d=2.8.已知0<a<b且a+b=1,则下列不等式中正确的是( C )(A)log2a>0 (B)2a-b< (C)log2a+log2b<-2 (D)<解析:因为a+b=1,0<a<b,所以ab<=.所以log2a+log2b<log2=-2.即log2a+log2b<-2.所以选C.9.设M=a+(2<a<3),N=lo(x2+)(x∈R),那么M,N的大小关系是( A )(A)M>N (B)M=N (C)M<N (D)不能确定解析:因为2<a<3,所以M=a+=(a-2)++2>2+2=4,N=lo(x2+)≤lo=4<M.10.已知实数x,y满足如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m等于( D )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:显然m>2,作出的可行域,当时z=x-y的最小值为-1,解得m=5.故选D.11.已知O为坐标原点,A(1,2),点P(x,y)满足约束条件则z=·的最大值为( D )(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2解析: 约束条件x+|y|≤1按y≥0和y<0讨论,画出约束条件确定的平面区域.z=(1,2)·(x,y)=x+2y,目标函数可化为y=-x+,当直线经过M(0,1)时,z取最大值,所以z max=2.选D.12.某企业拟生产甲、乙两种产品,已知每件甲产品的利润为3万元,每件乙产品的利润为2万元,且甲、乙两种产品都需要在A,B两种设备上加工,在每台设备A、每台设备B上加工1件甲产品所需工时分别为1 h和2 h,加工1件乙产品所需工时分别为2 h和1 h,A设备每天使用时间不超过4 h,B设备每天使用时间不超过5 h,则通过合理安排生产计划,该企业在一天内的最大利润是( D )(A)18万元(B)12万元 (C)10万元(D)8万元解析: 设应生产甲、乙两种产品各x,y件,企业获得的利润为z=3x+2y,x,y满足的约束条件为画出可行域,如图,可知最优解为(2,1),即应生产A产品2件,B产品1件,可使企业获得最大利润,最大利润为8万元.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若实数x,y满足4x+4y=2x+1+2y+1,则t=2x+2y的取值范围是. 解析:由4x+4y=2x+1+2y+1,得(2x+2y)2-2·2x·2y=2(2x+2y),(2x+2y)2-2(2x+2y)=2·2x·2y,因为0<2x·2y≤,所以0<(2x+2y)2-2(2x+2y)≤,即0<t2-2t≤,所以2<t≤4.答案:(2,4]14.数列{a n}的通项公式a n=-n2+10n+11,该数列的前项的和最大.解析:易知a1=20>0,令a n≥0,则-n2+10n+11≥0,所以-1≤n≤11,当n=11时a11=0,故前10或11项和最大.答案:10或1115.数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),2S n-na n=n,若S20=-360,则a2= .解析:因为2S n-na n=n, ①所以当n≥2时,2S n-1-(n-1)a n-1=n-1, ②所以①-②得,(2-n)a n+(n-1)a n-1=1, ③所以(1-n)a n+1+na n=1, ④所以③-④得,2a n=a n-1+a n+1(n≥2),所以数列{a n}为等差数列,因为当n=1时,2S1-a1=1,所以a1=1,因为S20=20+d=-360,所以d=-2.所以a2=1-2=-1.答案:-116.首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+45 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元.(1)该单位每月处理量为吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)假设该单位每月能获利,则最大利润是.解析:(1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为=x+-200≥2-200=100,当且仅当x=,即x=300时等号成立,故该单位月处理量为300吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为100元.(2)设该单位每月获利为S元,则S=200x-y=-x2+400x-45 000=-(x-400)2+35 000,令S>0,则x∈(400-100,400+100),又因为x∈[300,600],所以S∈[15 000,35 000].故该单位每月获利,最大利润为35 000元.答案:(1)300 (2)35 000元三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知不等式kx2-x+4k<0(k≠0).(1)若不等式的解集为{x|x<-4或x>-1},求实数k的值;(2)若不等式的解集为⌀,求实数k的取值范围.解:(1)因为不等式的解集为{x|x<-4或x>-1},所以-1和-4是方程kx2-x+4k=0的两个实根,由韦达定理得x1+x2=,解得k=-.(2)不等式kx2-x+4k<0的解集为⌀,所以k>0且Δ=1-16k2≤0,解得k≥.18.(本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和S n=-n2+kn(其中k∈N+),且S n的最大值为8.(1)确定常数k,并求a n;(2)求数列{}的前n项和T n.解:(1)当n=k∈N+时,S n=-n2+kn取最大值8,即8=S k=-k2+k2=k2,故k2=16,因此k=4,从而a n=S n-S n-1=-n(n≥2).又a1=S1=,所以a n=-n.(2)设b n==,T n=b1+b2+…+b n=1+++…++,所以T n=2T n-T n=2+1++…+-=4--=4-.19.(本小题满分12分)(1)解不等式≤x-1;(2)求函数y=+(x∈(0,))的最小值.解:(1)≤x-1⇔≤0⇔≥0⇔⇔x≥3或-1≤x<1.所以此不等式的解集为{x|x≥3或-1≤x<1}.(2)因为x∈(0,),所以2x>0,1-2x>0,所以y=+=(+)[2x+(1-2x)]=13++≥25,当且仅当x=时,等号成立,即函数的最小值为25.20.(本小题满分12分)数列{a n}的前n项和为S n,且S n=()2(n∈N*).(1)证明数列{a n}为等差数列并求其通项公式;(2)设c n=,数列{c n}的前n项和为T n,证明:≤T n<.(1)解:由题意得,4S n=(a n+1)2,4S n-1=(a n-1+1)2,作差得--2(a n+a n-1)=0,即(a n+a n-1)(a n-a n-1-2)=0.由正项数列知a n+a n-1>0,所以a n-a n-1=2.所以数列{a n}是等差数列,其中a1=1,所以a n=2n-1.(2)证明:因为c n==(-),所以T n=(1-)<,又因为{T n}是单调递增数列,所以T n≥T1=,所以≤T n<.21.(本小题满分12分)数列{a n}满足a1=1,a2=,{a n a n+1}是公比为的等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=3a2n+2n-7,S n是数列{b n}的前n项和,求S n以及S n的最小值. 解:(1)由{a n a n+1}是公比为的等比数列,得=,即=.所以a1,a3,a5,a7,…,a2k-1,…是公比为q=的等比数列;a2,a4,a6,a8,…,a2k,…是公比为q=的等比数列. 当n为奇数时,设n=2k-1(k∈N*),a n=a2k-1=a1q k-1=()k-1=()=();当n为偶数时,设n=2k(k∈N*),a n=a2k=a2q k-1=()k=().综上,a n=(2)b n=3a2n+2n-7=3·()+2n-7=+2n-7.S n=b1+b2+b3+…+b n=(+++…+)+=3·+n2-6n=n2-6n+3-.S n=(n-3)2-6-.当n≥3时,S n是关于n的增函数,即S3<S4<S5<…. 因为S1=-=-,S2=-=-,S3=-,所以S1>S2>S3;于是(S n)min=S3=-.22.(本小题满分12分)已知正项数列{a n},{b n}满足:对任意n∈N*,都有a n,b n,a n+1成等差数列,b n,a n+1,b n+1成等比数列,且a1=10,a2=15.(1)求证:数列{}是等差数列;(2)求数列{a n},{b n}的通项公式;(3)设S n=++…+,如果对任意n∈N*,不等式2aS n<2-恒成立,求实数a的取值范围.(1)证明:由已知,2b n=a n+a n+1, ①=b n b n+1, ②由②可得,a n+1=, ③将③代入①得,对任意n∈N*,n≥2,有2b n=+,即2=+,所以{}是等差数列.解:(2)设数列{}的公差为d,由a 1=10,a2=15,得b1=,b2=18,所以=,=3,所以d=-=,=+(n-1)d=+(n-1)·=(n+4),所以b n=,=b n-1b n=·,a n=.(3)由(2)==2(-),所以,S n=2[(-)+(-)+…+(-)]=2(-),故不等式2aS n<2-化为4a(-)<2-,即a<当n∈N*时恒成立,令f(n)==·=(1+)(1+)=1+++, 则f(n)随着n的增大而减小,且f(n)>1恒成立.故a≤1,所以,实数a的取值范围是(-∞,1].。

高一数学上学期第三次阶段性考试试题含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校绥德二零二零—二零二壹高一数学上学期第三次阶段性考试试题〔含解析〕第一卷〔选择题，一共60分〕一、单项选择题〔一共60分，每一小题5分〕1.函数y =A ，那么A R〔〕A.{0}{1}x x x x ≤⋃≥∣∣B.{0}{1}x xx x <⋃>∣∣ C.{01}x x ≤≤∣D.{01}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】根据二次根式的定义求出函数的定义域A ，然后再求其在实数集中的补集．【详解】由题意2{|0}{|0A x x x x x =-≥=≤或者1}x ≥，所以{|01}RA x x =<<．应选：D ．【点睛】此题考察集合的祉集运算，确定集合A 中的元素是解题关键．2.函数()()1ln 24f x x x =-+-的定义域是() A.)2,4⎡⎣ B.()2,+∞C.()()2,44,⋃+∞D.)()2,44,⎡⋃+∞⎣【答案】C 【解析】【分析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】由题意得20,40,x x ->⎧⎨-≠⎩解得()()2,44,x ∈+∞.应选C.【点睛】本小题主要考察函数定义域的求法，属于根底题.3.某几何体的三视图如图：其中俯视图是等边三角形，正视图是直角三角形，那么这个几何体的体积等于〔〕.A. B.D.3【答案】C 【解析】【分析】根据三视图的三个图都是三角形，可知几何体是三棱锥，底面是如俯视图的底面，三棱锥的高是正视图的高，13VSh =.【详解】由三视图可知几何体是三棱雉，底边是边长为2的等边三角形，122S =⨯=高为3，133V =⨯=，应选C.【点睛】此题考察根据三视图，求几何体的体积，意在考察空间想象和计算才能，属于根底题型. 4.函数()32x f x =-的零点为()A.3log 2B.123C.132D.2log 3【答案】A 【解析】【分析】令()0f x =，将指数式化为对数值，求得x 的值，也即()f x 的零点.【详解】由()320x f x =-=，得32x =，即3log 2x =应选A【点睛】本小题主要考察零点的求法，属于根底题.5.在如图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点,那么异面直线AC 和MN 所成的角为() A.30 B.45C.60D.90【答案】C 【解析】【分析】将,AC MN 平移到一起，根据等边三角形的性质判断出两条异面直线所成角的大小.【详解】连接1111,,AC BC A B 如以下列图所示，由于,M N分别是棱BC 和棱1CC 的中点，故1//MN BC ，根据正方体的性质可知11//AC A C ，所以11AC B ∠是异面直线,AC MN 所成的角，而三角形11A BC 为等边三角形，故1160A C B ∠=.应选C.【点睛】本小题主要考察空间异面直线所成角的大小的求法，考察空间想象才能，属于根底题. 6.假设424log 3,log 7,0.7ab c ===，那么实数,,a b c 的大小关系为〔〕A.a b c >>B.c a b >>C.b a c>>D.c b a >>【答案】A 【解析】【分析】将a 化成以4为底的对数，即可判断,a b 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出,b c 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系. 【详解】依题意，由对数函数的性质可得244log 3log 9log 7a b ==>=.又因为40440.70.71log 4log 7c b =<==<=，故a b c >>.应选:A.【点睛】此题考察了指数函数的性质，考察了对数函数的性质，考察了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数一样，那么构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；假设真数一样，那么结合对数函数的图像或者者换底公式可判断大小；假设真数和底数都不一样，那么可与中间值如1,0比较大小.l ，m 是两条不同的直线，α〔〕A.假设l m ⊥，m α⊂，那么l α⊥B.假设l α⊥，//l m ，那么m α⊥C.假设//lα，m α⊂，那么//l mD.假设//lα，//m α，那么//l m【答案】B 【解析】【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或者l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D . 【详解】lm ⊥，m α⊂，那么,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，那么//l m ，l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.应选B.【点睛】此题主要考察线面平行的断定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.. 8.设()f x 为定义的实数集上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，()30f -=，那么()360x f -<的解集为()A.()1,2B.()[)3,1log 6,2-∞⋃C.(),2-∞D.()(),12,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和在[)0,+∞上的单调性，求得()3f 以及在(],0-∞的单调性，由此列不等式，解不等式求得不等式的解集. 【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()330f f =-=，又()f x 在[)0,+∞上是增函数，故在(],0-∞()033f x x <⇔-<<，所以()360336312x x f x -<⇔-<-<⇔<<.应选A.【点睛】本小题主要考察利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于根底题.9.一种产品的本钱是a 元．今后m 〔m ∈N *〕年内，方案使本钱平均每年比上一年降低p %，本钱y 是经过年数x 的函数〔0<x <m ，且x ∈N *〕，其关系式为 A.y =a 〔1+p %〕xB.y =a 〔1–p %〕xC.y =a 〔p %〕xD.y =a –〔p %〕x【答案】B 【解析】【分析】根据题意，本钱每年降低率一样，符合指数函数模型问题，利用指数函数即可解决问题【详解】根据题意，得y =a 〔1–p %〕x，∵x 是年数，又由题意0<x <m ，x ∈N ，因此所求关系式为y =a 〔1–p %〕x〔x ∈N ，1<x <m 〕．应选B ．【点睛】此题考察了指数函数模型的应用问题，解题时应根据题意，建立指数函数模型，从而解决问题，是根底题10.以下说法正确的选项是〔〕A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥【答案】B【解析】【分析】根据棱柱、棱锥、棱台、圆锥的概念与性质判断．【详解】如以下列图多面体满足有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，A错；-，ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，那么其四个侧面都是直角三如以下列图，四棱锥P ABCD角形，B正确；AE BF CG DH的延长线不交于同一点，它如以下列图，有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但,,,不是棱台．C错；只有直角三角形以一条直角边所在直线为轴旋转一周，才能形成一个圆锥，即使是直角三角形，假设以斜边所在直线为轴旋转一周所形成的几何体也不是圆锥，D错．应选：B．【点睛】此题考察棱柱、棱台、圆锥的概念，考察棱锥的性质，掌握空间几何体〔柱、锥、台体〕的概念是解题根底．∆沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥11.正方形ABCD的对角线AC与BD相交于E点，将ABC平面ADC ()A.直线AB ⊥直线CD ，且直线AC ⊥直线BD B.直线AB ⊥平面BCD ，且直线AC ⊥平面BDEC.平面ABC⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDED.平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ACD ⊥平面BDE【答案】C 【解析】【分析】由直线AB ⊥直线CD 不成立，知A 错误；由直线AB ⊥平面BCD 不成立，知B 错误；由平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE ，知C 正确；由平面ABD ⊥平面BCD 不成立，知D 错误．【详解】由题意，平面ABC ⊥平面ADC ，AC BE ⊥，平面ABC平面ADC AC =，BE ⊂平面ABC ，BE ∴⊥平面ADC ，DC ⊂平面ACD ，DC BE ∴⊥，假设AB ⊥CD ，ABBE B =，那么CD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，即CD ⊥AC ，显然CD 不垂直AC ，故假设不成立，∴直线AB ⊥直线CD 不成立，故A 错误；假设AB ⊥平面BCD ，且CD ⊂平面BCD ，那么AB CD ⊥，事实上，AB CD ⊥不成立，∴直线AB ⊥平面BCD 不成立，故B 错误；AD CD =，E 为CD 的中点，DE AC ∴⊥，平面ABC ⊥平面ADC ，平面ABC平面ADC AC =，DE ⊂平面ADC ，DE ∴⊥平面ABC ，DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ACD ，BE ⊂平面BDE ，∴平面ACD ⊥平面BDE ，故C 正确；如以下列图所示，取BD 的中点F ，连接AF ，AB AD =，F 为BD 的中点，AF BD ∴⊥，假设平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AF ⊂平面ABD ，AF ∴⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，CD AF ∴⊥，CD AD ⊥，且AD AF A =，CD 平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，AB CD ∴⊥，事实上，AB 与CD 不垂直，故D 错误.应选：C. 【点睛】12.球面上有,,,A B C D 四个点，假设,,AB AC AD 两两垂直，且4AB AC AD ===，那么该球的外表积为〔〕 A.803πB.32πC.42πD.48π【答案】D 【解析】【详解】【分析】分析：首先求得外接球半径，然后求解其外表积即可. 详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为R ，由题意可得：()22222444R =++,据此可得：212R =，外接球的外表积为：2441248S R πππ==⨯=.此题选择D 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出适宜的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.第二卷〔选择题，一共90分〕二、填空题〔一共20分，每一小题5分〕13.函数21,1(){2,1x f x x x x ≥=-+<的最大值为________．【答案】2 【解析】当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处获得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处获得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.x '轴，底角为45，两腰和上底长均为１的等腰梯形，那么这个平面图形的面积是．【答案】2+【解析】【详解】【分析】如图过点'D 作，''''D E B C ⊥，那么四边形''''A B E D 是一个内角为45°的平行四边形且''1,''1B E A B ==，'''C E D ∆中，'''45,''''1,''C E D D E A B C E ∠====，那么对应可得四边形ABED 是矩形且BE 1,AB 2==，CED ∆是直角三角形，90,2,CED DE CE ∠===122S BE AB DE CE =⨯+⨯=+113,1(){,1x e x f x x x -<=≥，那么使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是_______________.【答案】(,8]-∞【解析】试题分析：当时，，∴，∴；当时，，∴，∴，综上，使得()2f x ≤成立的的取值范围是．故答案为．考点：分段函数不等式及其解法.【方法点晴】此题考察不等式的解法，在分段函数中结合指数函数不等式与幂函数不等式，考察学生的计算才能，属于根底题．利用分段函数，结合()2f x ≤分为两段当时，根据单调性，解指数函数不等式，取交集；当时，解幂函数不等式，取交集，综合取上述两者的并集，即可求出使得()2f x ≤成立的的取值范围．16.在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于点E ，交1CC 于点F ，给出以下结论：①四边形1BFD E 一定是平行四边形； ②四边形1BFD E 有可能是正方形；. ③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的射影一定是正方形；④平面1BFD E 有可能垂直于平面1BB D .以上结论中正确的为____________.〔写出所有正确结论的序号〕【答案】①③④ 【解析】 .详解：如下列图：①由于平面BCB 1C 1∥平面ADA 1D 1，并且B 、E 、F 、D 1，四点一共面，故ED 1∥BF ，同理可证，FD 1∥EB ，故四边形BFD 1E 一定是平行四边形，故①正确；②假设BFD 1E 是正方形，有ED 1⊥BE ，结合A 1D 1⊥BE 可得BE ⊥平面ADD 1A 1，明显矛盾，故②错误；③由图得，BFD 1E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，故③正确；④当点E 和F 分别是对应边的中点时，EF ⊥平面BB 1D ，那么平面BFD 1E ⊥平面BB 1D ，故④正确. 综上可得：题中所给的结论正确的为①③④.点睛：此题考察了空间几何体的线面位置关系断定与证明：〔1〕对于异面直线的断定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；〔2〕对于线面位置关系的断定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键. 三、解答题〔一共70分〕 17.集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>.〔1〕求()R C B A ⋂；〔2〕设集合{}|6Mx a x a =<<+，且A M M ⋃=，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕(){|21}R C B A x x ⋂=-≤≤〔2〕{}|42a a -<<-【解析】【分析】〔1〕根据集合的补集和并集的定义计算即可〔2〕根据并集的定义得出关于a 的不等式组，求出解集即可【详解】〔1〕集合{}1Bx x =.那么{}|1R C B x x =≤集合{}|22A x x =-≤≤，那么(){}|21R C B A x x ⋂=-≤≤(2)集合{}|6Mx a x a =<<+，且A M M ⋃=622a a +>⎧∴⎨<-⎩,解得42a -<<-故实数a 的取值范围为{}|42a a -<<-【点睛】此题主要考察了交集、并集、补集的运算，在解答时需要将并集转化为子集问题来求解． 18.如图，在三棱锥P ABC -中,,,2PA AB PA BC AB BC PA AB BC ⊥⊥⊥===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.〔1〕求证：PA BD ⊥；〔2〕求证：平面BDE ⊥平面PAC 【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕先证明PA ⊥平面ABC ，PA BD ⊥即得证；〔2〕先证明BD ⊥平面PAC ，平面BDE ⊥平面PAC 即得证.【详解】〔1〕由,,PA AB PA BC AB ⊥⊥⊂平面,ABC BC ⊂平面ABC ，且AB BC B ⋂=，所以PA ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥. 〔2〕由,AB BC D =为线段AC 的中点，可得BD AC ⊥，由PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAC 可得平面PAC ⊥平面ABC又平面PAC平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，且BD AC ⊥即有BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PAC .【点睛】此题主要考察空间直线平面位置关系的证明，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.19.如下列图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M,N 分别为AB,PC 的中点，平面PAD 平面PBC ＝l .(1)求证：BC∥l ；(2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论．【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】试题分析：证明线线平行的方法；1，向量法，2.垂直于同一平面的两条直线平行，3平行于同一直线的两条直线平行，4一个平面与另外两个平行平面相交,那么两条交线也平行．线面平行，1平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行，2假设一条直线与一个平面同时平行于另一个平面且这条直线不属于这个平面，那么这条直线与这个平面平行，3假设一条直线与两平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面平行，4，最好用的还是向量法．试题解析：(1)证明因为BC∥AD，AD ⊂平面PAD ， BC ⊄平面PAD ，所以BC∥平面PAD.又平面PAD∩平面PBC ＝l ，BC ⊂平面PBC ，所以BC∥l. (2)解M N∥平面PAD.证明如下：如下列图，取PD 中点E ，连结AE ，EN. 又∵N 为PC 的中点，∴//12EN CD = 又∵//12AM CD =∴//AM EN =即四边形AMNE 为平行四边形．∴AE∥MN，又MN ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD .∴MN∥平面PAD.考点：线面平行的性质定理及判断定理20.设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =.〔1〕求a 的值及()f x 的定义域；〔2〕求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】〔1〕2a =，定义域为()1,3-；〔2〕2 【解析】【分析】〔1〕由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域;〔2〕先求得()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,进而可求得函数的最大值.【详解】〔1〕()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =.故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-, 那么1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x ,故()f x 的定义域为()1,3-.〔2〕函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦,由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21log 42f ==.【点睛】此题考察了函数的定义域,考察了函数的单调性与最值,考察了学生的计算求解才能,属于根底题. 21.如图1所示，在Rt ABC ∆中，90,,CD E ο∠=分别为,AC AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1,A F CD ⊥如图2所示.〔1〕求证：DE //平面1A CB ；〔2〕求证：1A F BE ⊥；〔3〕线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？请说明理由.【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析〔3〕见解析【解析】〔1〕∵DE∥BC，由线面平行的断定定理得出〔2〕可以先证1DE A DC ⊥平面，得出1DE A F ⊥，∵1A F CD ⊥∴1A F BCDE ⊥底面∴1A F BE ⊥(3)Q 为1A B 的中点，由上问1DE A DC ⊥平面，易知1DE A C ⊥,取1A C 中点P ，连接DP 和QP ，不难证出1PQ A C ⊥，1PD A C ⊥∴1A C PQD ⊥平面∴1A C PQ ⊥,又∵1DEA C ⊥∴1A C PQE ⊥平面22.定义域为R 的函数2()21x xaf x -+=+是奇函数. 〔1〕务实数a 的值；〔2〕判断()f x 的单调性并用定义证明；〔3〕不等式3(log )(1)04m f f +->恒成立,务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕1a =；〔2〕()f x 是减函数，证明见解析；〔3〕()30,1,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】〔1〕根据奇函数的定义域假设存在x=0，那么f 〔0〕=0，求解参数a 的值；〔2〕结合y=2x的性质，通过证明任意12x x <，有()()12f x f x >，证明函数是减函数；〔3〕根据函数的奇偶性，将不等式()3log 104m f f ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭恒成立转化为不等式()3log 14m f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，再结合函数的单调性求解3log 14m <.【详解】〔1〕()f x 是R 上的奇函数,()00f ∴=，()10011af -+==+得1a = 〔2〕()f x 是减函数，证明如下：设12,x x 是R 上任意两个实数，且12x x <，12x x <2122x x ∴>，即21220x x ->，1210x +>，2210x +>()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，()f x ∴在R 上是减函数〔3〕不等式()3log 104m f f ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭恒成立，()3log 14m ff ⎛⎫∴>-- ⎪⎝⎭()f x 是奇函数()()11f f ∴--=，即不等式()3log 14m f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立又()f x 在R 上是减函数，∴不等式3log 14m<恒成立当01m <<时，得34m <304m ∴<< 当1m >时，得34m >1m ∴> 综上，实数m 的取值范围是()30,1,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【点睛】此题考察了函数的奇偶性与单调性，考察了不等式恒成立问题，考察了应用对数函数单调性解与对数有关的不等式，涉及了指数函数与对数函数的图象与性质，表达了转化思想在解题中的运用.。

高三数学上学期第三阶段考试试题理含解析试题

一中2021届高三数学上学期第三阶段考试试题理〔含解析〕一、选择题 1.集合41|22x A x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合{}2|3100B x x x =--≤，求A B =〔〕 A. ∅ B. [3,5]C. [2,3]-D. (3,5)【答案】B 【解析】【分析】解出集合A 、B ，再利用集合交集运算律可求出集合A B ．【详解】解不等式411222x --≥=，即41x -≥-，解得3x ≥，{}3A x x ∴=≥. 解不等式23100x x --≤，解得25x -≤≤，{}25B x x ∴=-≤≤，因此，[]3,5AB =，应选B ．【点睛】此题考察集合的交集运算，解出不等式得出两个集合是解题的关键，考察计算才能，属于根底题．2.假设a 、b 、R c ∈，且a b >，那么以下不等式中一定成立的是〔〕A. a b b c +≥-B. ac bc ≥C. 20c a b>-D.()20a b c -≥【答案】D 【解析】【分析】对A ，利用分析法证明；对B ，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以0再根据不等式是否取等进展考虑；对C ，考虑0c 的情况；对D ，利用同向不等式的可乘性.【详解】对A ，a b b c a c +≥-⇔>-，因为,a c 大小无法确定，故A 不一定成立；对B ，当0c ≥时，才能成立，故B 也不一定成立；对C ，当0c时不成立，故C 也不一定成立；对D ，()220,00,a b a b c c ->⎧⇒-≥⎨≥⎩，故D 一定成立. 应选D.【点睛】此题考察不等式性质的运用，考察不等式在特殊情况下能否成立的问题，考察思维的严谨性.3.以下命题的说法错误的选项是〔〕A. 对于命题p ：∀x∈R，x 2+x+1＞0，那么¬p：∃x 0∈R，x 02+x 0+1≤0． B. “x=1“是“x 2﹣3x+2=0“的充分不必要条件． C. “ac 2＜bc 2“是“a＜b“的必要不充分条件．D. 命题“假设x 2﹣3x+2=0，那么x=1”的逆否命题为：“假设x≠1，那么x 2﹣3x+2≠0”．【答案】C 【解析】【详解】对于命题p :∀x ∈R ,x 2+x +1>0,那么¬p : ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0，是真命题； “x =1”是“x 2−3x +2=0“的充分不必要条件，是真命题；假设c =0时，不成立，是充分不必要条件，∴是假命题；命题“假设x 2−3x +2=0,那么x =1”的逆否命题为：“假设x ≠1,那么x 2−3x +2≠0”，是真命题；应选C.4.等差数列{}n a 的前n 项和为5714n S a a +=，，那么()11S =A. 140B. 70C. 154D. 77【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的前n 项和公式11111=112a a S +⋅，及等差数列的性质11157=a a a a ++，即可求出结果. 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为5714n S a a +=，，∴571111114=11=11=1177222a a a a S ++⋅⋅⋅=. 应选D.【点睛】此题考察等差数列的前n 项和的求法和等差数列的性质，属于根底题.5.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>那么椭圆22221x y a b +=的离心率为( )A.12D.2【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线离心率可求得224a b =，代入椭圆方程中，根据椭圆222c a b =-可构造出离心率，化简得到结果.【详解】由双曲线离心率得：22222514a b b a a +=+=，解得：224a b =∴椭圆方程为222214x y b b += ∴椭圆离心率2224342b b e b -== 应选：C【点睛】此题考察椭圆离心率的求解，涉及到双曲线离心率的应用，属于根底题. 6.函数()[]sin ,,f x x x x ππ=∈-的大致图象是〔〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用奇偶性定义可知()f x 为偶函数，排除,B C ；由02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭排除D ，从而得到结果. 【详解】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,B C又sin 02222f ππππ⎛⎫==>⎪⎝⎭，排除D 应选：A【点睛】此题考察函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进展排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值和单调性，属于常考题型. 7.将函数2cos2y x =图象向左平移6π个单位长度，那么平移后新函数图象对称轴方程为( )A. ()62k x k Z ππ=-+∈ B. ππ122k xkZC. ()62k x k Z ππ=+∈ D. ()122k x k Z ππ=+∈ 【答案】A 【解析】【分析】利用图像左右平移的规律,得到平移后的函数图像对应的解析式,之后结合余弦函数图形的对称性,应用整体角思维得到结果.【详解】将函数2cos2y x =图象向左平移6π个单位长度，可得2cos 2()6y x π=+, 即2cos(2)3y x π=+,令2,3x k k Z ππ+=∈,解得,26k x k Z ππ=-∈, 那么平移后图像的对称轴方程为,26k x k Z ππ=-∈, 应选A.【点睛】该题考察的是有关函数图像的平移变换，以及cos()y A x ωϕ=+的图像和性质，结合余弦曲线的对称轴，求得结果.8.在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为3，BC =AB AC ⋅=〔〕 A. 1- B. 1 C. 2 D. 3【答案】D 【解析】由题意得22()()()()()(69)3AB AC DB DA DC DA DB DA DB DA DB DA ⋅=-⋅-=-⋅--=--=--=【点睛】此题考察的是平面向量根本定理与向量的拆分，需要选择适宜的基底，再把其它向量都用基底表示．9. 某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是〔〕A. 12B. 36C. 24D. 72【答案】A 【解析】113461232V =⨯⨯⨯⨯=．故A 正确．考点：1三视图；2棱锥体积公式．10.()()4,0,0,4A B -,点C 是圆222x y +=上任意一点，那么ABC ∆面积的最大值为〔〕 A. 8 B. 42 C. 12D. 62【答案】C 【解析】【分析】由三角形面积公式可得，只需求出C 到直线AB 的间隔最大值即可得结果. 【详解】由两点间间隔公式可得42AB =由两点式可得直线AB 方程为40x y -+=, 圆心()0,0到直线40x y -+=的间隔 222d ==圆的半径2r =所以点C 到直线AB 间隔的最大值为32d r +=ABC ∆面积的最大值为1122AB ⨯⨯=，应选C.【点睛】此题主要考察圆的方程与性质、点到直线间隔公式的应用以及解析几何求最值，属于中档题.解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.11.函数()221f x x ex m =-++-，函数()()20e g x x x x=+>，〔其中e 为自然对数的底数， 2.718e ≈〕假设函数()()()h x f x g x =-有两个零点，那么实数m 取值范围为〔〕 A. 221m e e <-++B. 221m e e >-+C. 221m e e >-++D.221m e e <-+【答案】C 【解析】【分析】先别离变量，转化为求对应函数单调性及其值域，即可确定结果.【详解】由()0h x =得22121(0)e m x ex x x=+-++>，令()22s x 121(0)e x ex x x =+-++>，那么222()212()(2)e x es x x e x e x x+'=+--=-+,所以当x e >时，2()0,()(21,)s x s x e e '>∈-++∞,当0x e <<时，2()0,()(21,)s x s x e e '<∈-++∞,因此当221m e e >-++时，函数()()()h x f x g x =-有两个零点，选C. 【点睛】此题考察利用导数研究函数零点，考察综合分析求解才能，属中档题.12.双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，那么双曲线离心率为( )11C. 2【答案】B 【解析】【分析】求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率.【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ的方程为y =，代入双曲线方程并化简得222222222223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a-+=⋅=- 12y y ⋅= 221222333a b x x b a-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故1e ===，应选B.【点睛】本小题主要考察直线和双曲线的交点，考察圆的直径有关的几何性质，考察运算求解才能，属于中档题. 二、填空题13.x ，y 满足约束条件330040x y x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，那么2z x y =+的最小值是_____．【答案】94【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论．【详解】解：作出x ，y 满足约束条件330040x y x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩的对应的平面区域如图：由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线的纵截距最小，此时z 最小，由3300x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得33,44A ⎛⎫⎪⎝⎭，此时3392444z =⨯+=，故答案为94．【点睛】此题主要考察线性规划的根本应用，利用数形结合，结合目的函数的几何意义是解决此类问题的根本方法．14.动点M 椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.那么点P 的轨迹方程______.【答案】222x y += 【解析】【分析】设()00,M x y ，()0,0N x ，(),P x y ，根据题意列出等式，然后根据M 在椭圆22:12x C y +=上，代入即得．【详解】解：令()00,M x y ，()0,0N x ，(),P x y 那么()0,NP x x y =-，()00,NM y =2NP NM =())00,0,x x y y ∴-=000x x y -=⎧⎪∴⎨=⎪⎩即002x x y y =⎧⎪∴⎨=⎪⎩代入2212x y +=可得22122x y +=即222x y += 故答案为222x y +=【点睛】此题考察相关点法求轨迹方程，属于根底题．15.在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，那么三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．【答案】323π【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如下图，由条件可得在底面ACB∆中，90,ACB AC BC ∠=︒==．取AB 的中点O ，AC 的中点E ，连OC,OE ．那么122OA OB OC AB ====.∵DA DC =, ∴DE AC ⊥.∵平面BAC ⊥平面DAC , ∴DE ⊥平面DAC , ∴DE OE ⊥. 又11=2,222DE AC OE BC ===∴222OD OE DE +=. ∴2OA OB OC OD ====.∴点O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，球半径为2. ∴3432=233V ππ⨯=球．答案：323π．点睛：〔1〕此题是一道关于求三棱锥外接球体积的题目，得到外接球的球心所在位置是解题的关键，结合题意取AB 的中点O ，易得OA=OB=OC=OD=2，进而可确定三棱锥外接球的半径，然后利用球的体积公式进展计算即可．〔2〕对于折叠性问题，要注意折叠前后的两个图形中哪些量〔位置关系、数量关系〕发生了变化、哪些没发生变化．16.函数()11x x e f x e -=+，()()11g x f x =-+，()*12321n n a g g g g n N n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么数列{}n a 的通项公式为__________．【答案】21n a n =- 【解析】【分析】先证明函数()f x 为奇函数，故()()11g x f x =-+的图像关于()1,1对称，故()()22g x g x +-=，由此将n a 的表达式两两组合求它们的和，然后求得n a 的表达式. 【详解】由于()()1111x xx xe ef x f x e e-----===-++，所以函数()f x 为奇函数，故()()11g x f x =-+的图像关于()1,1对称，由此得到()()22g x g x +-=，所以()121222111n n n n n a g g g g g g g n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()211210121n g n f n =-+=-++=-.【点睛】本小题主要考察函数的奇偶性和对称性，考察特殊数列求和的方法——分组求和法.属于中档题. 三、解答题17.函数()22cos cos sin f x x x x x =+-，x ∈R ．〔1〕求函数()f x 的单调增区间；〔2〕求方程()0f x =在(0，π]内的所有解．【答案】〔1〕[,]36ππk πk π-++,k Z ∈；〔2〕512x π=或者1112π=x【解析】【分析】先将()f x 进展恒等变换化为正弦型函数，〔1〕直接利用正弦函数的单调增区间得到222262k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈，解得x 的范围即可.〔2〕令()0f x =，解得x 的值，对k 进展赋值，使得x 落在(]0,π内，即得结果.【详解】()22cos cos sin f x x x x x =+- cos22sin 26x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭〔1〕由222262k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈，解得：36k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈.∴函数()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ 〔2〕由()0f x =得2sin 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：26x k ππ+=，即122k x ππ=-+,k Z ∈ ∵(]0,x π∈，∴512x π=或者1112x π=．【点睛】此题考察了三角函数求值的运算问题，考察三角恒等变换，正弦函数的单调性，是根底题．18.数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，且533S a =，468a a +=．〔1〕求n a ．〔2〕设2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1) ()23n a n =- (2) 2(4)216n n T n +=-⋅+【解析】【分析】(1)由数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，解得30a =，又由46582a a a +==，解得2d =，即可求得数列的通项公式；(2)由〔1〕得()1232nn n n b a n +=⋅=-⋅，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n 项和．【详解】(1)由题意，数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，又533S a =，30a ∴=，由46582a a a +==，得54a =，所以5324a a d -==，解得2d =，所以数列的通项公式为()()3323n a a n d n =+-=-． (2)由〔1〕得()1232nn n n b a n +=⋅=-⋅，()()()234122120232n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅，()()()()3412221242322n n n T n n ++=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅，两式相减得()()2341222222232n n n n T T n ++-=⋅-++++-⋅，()1228128(3)2(4)21612n n n n n -++--+-⋅=-⋅+=-，即2(4)216n n T n +=-⋅+．【点睛】此题主要考察等差的通项公式、以及“错位相减法〞求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是根底，准确计算求和是关键，易错点是在“错位〞之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考察考生的数形结合思想、逻辑思维才能及根本计算才能等.19.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，2cos cos b c Ca A-=. 〔Ⅰ〕求角A 的大小；〔Ⅱ〕假设a =，b c +=ABC ∆的面积. 【答案】〔1〕3A π=〔2〕2ABC S ∆=【解析】【分析】〔Ⅰ〕由正弦定理得到()2sin cos sin B A A C ⋅=+，再由三角形的内角间的关系得到2sin cos sin B A B ⋅=，解得1cos 2A =，进而得到结果；〔Ⅱ〕结合余弦定理得到()2222cos a b c bc bc A =+--，代入参数值得到6bc =，根据三角形面积公式得到结果即可.【详解】〔Ⅰ〕根据正弦定理，2cos 2sin sin cos cos sin cos b c C B C Ca A A A--=⇔=，整理得2sin cos B A ⋅= cos sin sin cos C A C A ⋅+⋅，即()2sin cos sin B A A C ⋅=+，而A C B π+=-，所以2sin cos sin B A B ⋅=，解得1cos 2A =，又()0,A π∈，故3A π=；〔Ⅱ〕根据余弦定理，2222cos a b c bc A =+-= ()222cos b c bc bc A +--，又14a =，42b c +=，3A π=，故()()2211442222bc bc =--⨯，解得6bc =，所以1133sin 6sin 2232ABC S bc A π∆=⋅=⨯⨯=. 【点睛】此题主要考察正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：〔1〕2222cos a b c bc A =+-；〔2〕222cos 2b c a A bc+-=，同时还要纯熟掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.20.如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA PD =，AD PB =，90APD ∠=︒，60BAD ∠=︒，点O 为AD 的中点.〔1〕求证：OB ⊥平面PAD ；〔2〕求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)32【解析】【分析】〔1〕求出,OB OP 和BP 的数量关系，根据勾股定理可证OB OP ⊥，又ABD ∆是正三角形，所以OB AD ⊥，根据直线与平面垂直的断定定理，可证OB ⊥平面PAD ；〔2〕建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量所成的余弦值，从而可以求出平面PBC 与平面PAD 所成二面角的正弦值.【详解】〔1〕证明：连结OP ，BD ，因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，故AD AB BD ==，又O 为AD 的中点，故OB AD ⊥. 在APD △中，90APD ∠=︒，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==.设2AD PB a ==，那么OB =，PO OA a ==，因为22222234PO OB a a a PB +=+==，所以OB OP ⊥.〔也可通过POB AOB △≌△来证明OB OP ⊥〕，又因为OPAD O =，OP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以OB ⊥平面PAD ；〔2〕因为AD PO ⊥，AD OB ⊥，BO PO O =，所以AD ⊥平面POB ，又PO ⊂平面POB ，所以PO AD ⊥.由〔1〕得OB ⊥平面PAD ，又OP ⊂平面PAD ，故有OP OB ⊥，又由AD OB ⊥，所以OA ，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直.故以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴如图建系.设2AD =，那么()1,0,0A ，()1,0,0D -，()0,3,0B，()0,0,1P所以()0,3,1PB =-，()2,0,0,BC AD ==-，()0,3,0,OB =，由〔1〕知OB ⊥平面PAD ，故可以取与OB 平行的向量()0,1,0n =作为平面PAD 的法向量.设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，那么2030m BC x m PB y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，所以()0,1,3=m .设平面PBC 与平面PAD 所成二面角为θ，而1cos cos ,2m n m n m nθ⋅=<>==那么3sin 2θ=，所以平面PBC 与平面PAD 所成二面角的正弦值为32.【点睛】此题主要考察线面垂直的断定，空间向量法求二面角，属于综合题．22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的间隔为2，〔1〕试求椭圆M 的方程；〔2〕假设斜率为12的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，点3(1)2P ，为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问：12k k +是否为定值？请证明你的结论【答案】〔1〕22143x y +=〔2〕见解析【解析】分析：〔1〕由条件得a,c ，解得b,即得椭圆HY 方程，〔2〕设C,D 坐标，根据斜率公式得12k k +，设直线方程并与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理代入化简可得12k k +为定值. 详解：〔1〕．，椭圆的方程为〔2〕设直线的方程为：，联立直线l 的方程与椭圆方程得：〔1〕代入〔2〕得：化简得： (3)当时，即，即时，直线l 与椭圆有两交点，由韦达定理得：，所以，，那么，12k k +所以为定值．点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或者求根公式进展转化. 22.函数()ln xf x ax b x=-+在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+. 〔1〕务实数b 的值；〔2〕假设存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，满足()014f x e ≤+，务实数a 的取值范围. 【答案】(1) 实数b 的值是e . (2)211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】分析：〔1〕根据导数的几何意义求得曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程，与2y ax e =-+对照后可得b e =．〔2〕问题可转化为11ln 4a x x≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解，令()11ln 4h x x x =-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，结合导数可得()()221124minh x h e e==-，故得实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．详解：〔1〕函数()f x 的定义域为()()0,11,⋃+∞，∵()ln xf x ax b x =-+， ∴()2ln 1'ln x f x a x-=-. ∴()'f e a =-，又()e f e ae b =-+,∴所求切线方程为()()y e ae b a x e --+=--，即y ax e b =-++.又函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+， ∴b e =.所以实数b 的值是e . 〔2〕由题意得()00001ln 4x f x ax e e x =-+≤+，所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解.令()11ln 4h x x x=-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，那么()2222211ln 4'4ln 4ln x xh x x x x x x -=-=(22ln ln 4ln x x x x+-=. 令()ln p x x =-，那么当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()1'0p x x ==<. 所以函数()p x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()()ln 0p x p e e <=-<. 所以()'0h x <，所以()h x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()22221111ln 424h x h ee e e ≥=-=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 点睛：对于恒成立和能成立的问题，常用的解法是别离参数，转化为求函数最值的问题处理．解题时注意常用的结论：假设()a f x >有解，那么()min a f x >；假设()a f x <有解，那么()max a f x <．当函数的最值不存在时，可利用函数值域的端点值来代替，解题时特别要注意不等式中的等号能否成立．。

高数一试题及答案

《高等数学(一) 》复习资料一、选择题1. 若23lim53x x x kx →-+=-，则k =（） A. 3- B.4- C.5- D.6-2. 若21lim21x x kx →-=-，则k =（） A. 1 B.2 C.3 D.43. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.132y x =-+5. 211limsin x x x→-=( ) A.0 B.3 C.4 D.56.设函数0()(1)(2)xf x t t dt =+-⎰，则(3)f '=（）A 1B 2C 3D 47. 求函数43242y x x =-+的拐点有（）个。

A 1 B 2 C 4 D 08. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（）。

A. sin xB. 1x eC. 211x x +- D. arctan x9.已知'(3)=2f ，0(3)(3)lim2h f h f h→--=( ) 。

A. 32 B. 32- C. 1 D. -110. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（）。

A. 极小值B. 极大值C. 最小值D. 最大值11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( )A.至少有两个零点B. 有且只有一个零点C. 没有零点D. 零点个数不能确定 12.[()'()]f x xf x dx +=⎰( ).A.()f x C +B. '()f x C +C. ()xf x C +D. 2()f x C +13. 已知22(ln )y f x =，则y '=( C )A.2222(ln )(ln )f x f x x 'B. 24(ln )f x x 'C. 224(ln )(ln )f x f x x 'D. 222(ln )()f x f x x '14. ()d f x ⎰=( B)A.'()f x C +B.()f xC.()f x 'D.()f x C +15.2ln xdx x =⎰( D )A.2ln x x C +B.ln xC x+ C.2ln x C + D.()2ln x C + 16. 211limln x x x→-=( ) A.2 B.3 C.4 D.517. 设函数0()(1)(2)xf x t t dt =-+⎰，则(2)f '-=（）A 1B 0C 2-D 2 18. 曲线3y x =的拐点坐标是( )A.(0,0)B.( 1,1)C.(2,2)D.(3,3)19. 已知(ln )y f x =，则y '=( A )A.(ln )f x x ' B.(ln )f x ' C.(ln )f x D.(ln )f x x20. ()d df x =⎰( A)A.()df xB.()f xC.()df x 'D.()f x C +21. ln xdx =⎰( A )A.ln x x x C -+B.ln x x C -+C.ln x x -D.ln x二、求积分（每题8分，共80分）1．求cos ⎰．2. 求dx x⎰． 3. 求arctan xdx ⎰．4. 求⎰5. 求2356x dx x x +-+⎰．6. 求定积分8⎰7. 计算20cos x xdx π⎰．8. 求2128dx x x +-⎰．9. 求11. 求2212x xe dx -⎰12. 求3x⎰13. 求21ln exdx x⎰14.求⎰三、解答题1. 若(1lim 36x x →∞=,求a2.讨论函数321()2333f x x x x =-+-的单调性并求其单调区间3. 求函数22()2x x f x x --=-的间断点并确定其类型4. 设2sin ,.xy xy x e y '+=求5.求y =6. 求由方程cos sin x a ty b t =⎧⎨=⎩ 确定的导数x y '.7. 函数1,0()1,0tan ,0xe xf x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在0x =处是否连续？8. 函数1,0()1,0tan ,0xe xf x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在0x =处是否可导？9. 求抛物线2y x =与直线y x =所围成图形D 的面积A .10. 计算由抛物线22y x =与直线4y x =-围成的图形D 的面积A .11. 设y 是由方程sin yy y xe =+确定的函数，求y '12.求证： ln 1,1x x x <->13. 设y 是由方程1yy xe =+确定的函数，求y '14. 讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调性并求其单调区间15.求证： 21,x e x >-16. 求函数3(1)()x x f x x x -=-的间断点并确定其类型五、解方程1. 求方程0)(22=-+dy xy x dx y 的通解.2.求方程20yy y '''+=的通解.3. 求方程22y y y x '''-+=的一个特解. 4. 求方程3595xy y y xe -'''-+=的通解.高数一复习资料参考答案一、选择题 1-5： DABAA 6-10：DBCDD 11-15： BCCBD 16-21：ABAAAA二、求积分1．求cos ⎰．解：322cos (sin )sin 3x x C C ==+=⎰2. 求．解：13(43ln )(ln )x d x x =+⎰⎰131(43ln )(43ln )3x d x =+⋅+⎰ 431(43ln )4x C =++． 3. 求arctan xdx ⎰．解：设arctan u x =，dv dx =，即v x =，则a r c t a n a r c t a n (a r cx d x x x x dx =-⎰⎰ 2arctan 1xx x dx x =-+⎰ 21arctan ln(1)2x x x C =-++．4. 求⎰解：32222e 33e 3e 3e 23e 6e t t t t t t x t t dt t dt t tdt t t dt ===-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰223e 6e 6e 3e 6e 6e t t t t t t t t dt t t C =-+=-++⎰2)C=+．5. 求2356xdxx x+-+⎰．解：由上述可知23565623xx x x x+-=+-+--，所以2356()5623xdx dxx x x x+-=+-+--⎰⎰115623dx dxx x=-+--⎰⎰5ln26ln3x x C=--+-+．6.求定积分8⎰解t=，即3x t=，则23dx t dt=，且当0x=时，0t=；当8x=时，2t=，于是28222000313ln(1)3ln312t dtt t tt⎡⎤==-++=⎢⎥+⎣⎦⎰⎰．7. 计算2cosx xdxπ⎰．解：令2u x=，cosdv xdx=，则2du xdx=，sinv x=，于是2220000cos sin(sin)2sin2sinx xdx x d x x x x xdx x xdxπππππ==-=-⎰⎰⎰⎰．再用分部积分公式，得2000cos2cos2(cos)cosx xdx xd x x x xdxππππ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰002(cos)sin2x x xπππ⎡⎤=-=-⎣⎦．8. 求2128dxx x+-⎰．解：221113(1)(1)ln28(1)963(1)xdx d x Cx x x x-+=+=++-+-++⎰⎰12ln64xCx-=++．9.求解：令u=32x u=-，23dx u du=，从而有22311311u udu duu u-+==++⎰⎰213(1)3(ln1)12uu du u u Cu=-+=-++++⎰11. 求2212xxe dx-⎰解：2222222411112x x xxe dx e dx e e e-----===-⎰⎰12.求3x⎰解：333223(3)(3)3x x x C=--=--+⎰13. 求21lne x dxx⎰解：22111ln111ln(ln)ln ln333ee exdx xd x x ex====⎰⎰14.求⎰解：3322222121(3)(3)(3)233x x C x C=--=-⋅-+=--+⎰三、解答题1.若(1lim36xx→∞=,求a解：因为223x=，所以9a=否则极限不存在。

完整word版专升本高等数学测试题答案

专升本高等数学测试题1.函数y1sinx是〔D〕．〔A〕奇函数；〔B〕偶函数；〔C〕单调增加函数；〔D〕有界函数．解析因为1sinx1，即01sinx2,所以函数y1sinx为有界函数．2.假设f(u)可导，且y f(e x)，那么有〔B 〕；〔A〕dy f'(e x)dx；〔B〕dy f'(e x)e x dx；〔C〕dy f(e x)e x dx；〔D〕dy[f(e x)]'e x dx．解析y f(e x)可以看作由y f(u)和u e x复合而成的复合函数由复合函数求导法y f(u)e x f(u)e x，所以d y y x f x x x．d'(e)ed3.e x dx=(B);(A)不收敛;(B)1;(C)－１;(D)0 .解析0e x dx e x011．4.y2y y(x1)e x的特解形式可设为〔A〕；(A)x2(ax b)e x；(B)x(ax b)e x；(C)(ax)e x；(D)(ax b)x2．b解析特征方程为r22r10，特征根为r1=r2=1．=1是特征方程的特征重根，于是有y p x2(axb)e x．5.x 2y2dxdy(C)，其中D：≤x2y2≤4；1D2π42dr；2π4(A)0d r(B)d rdr；11(C )2π22dr；(D)2π2d rd rdr．11解析此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式．当x rcos时，dxdy rdrd，由于1≤x2y24D1r202≤，表示为，y rsinπ，故x2y2dxdy r rdrd 2π22dr．d1rD D6.函数y =1 arcsin(x1)的定义域3x 22解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解 .即3 x 0,3 x 3, 3 x 20,推得x 1 1,0 x4,2即0x3,因此，所给函数的定义域为[0, 3).7.求极限lim2x2 =x22 x解：原式=lim(2x 2)(2 x 2) x 2=limx 221=.4(2 x)(2 x 2)1 2恒等变换之后“能代就代〞〕xsin πtdt8.求极限lim1=x11cos πx解：此极限是“0〞型未定型，由洛必达法那么，得x sin πtdtxsin πtdt)1( sin πx11=lim1=limlim(1lim()x11cos πx x1cos πx)x1πsin πxx1ππx t, 9.曲线在点〔1，1〕处切线的斜率yt 3,解：由题意知：1 t,1,1 t 3 t,dy t1(t 3)t13t 2 t13,dx(t)曲线在点〔 1，1〕处切线的斜率为310.方程y''2y' y 0,的通解为解：特征方程r 22r 1 0, 特征根r 1r 21,通解为y(C1C2x)e x.11.交错级数(1)n11的敛散性为n1n(n1)〔4〕(1)n11=1 ,n1n(n 1)n1n(n 1)而级数1收敛，故原级数绝对收敛.n1n(n1)12.lim(112)x.〔第二个重要极限〕xx1)x(11)x1)x1)x ]1解一原式=lim(1lim(1 lim[(1 =ee 11，xxxx 0 x xx11解二原式=lim[(1( x 2)( x )=e 0 1 ．2) ]xx13.lim[112ln(1x)]x0xx解所求极限为型，不能直接用洛必达法那么，通分后可变成或型.11xln(1x)1 11 xln(1x)]limlim[2limx 22xx0xxx0x0lim1x 1 li m1x)1 .x2x(1 x)x02(1 214.设f(x)x e x ，求f'(x).解：令yx e x,两边取对数得：lnye x lnx ,两边关于x 求导数得：1 y'exlnx e xyxy' y(e x lnxe x )x即y'xe x(e xlnxe x ).x15.求f(x)x 3 +3x 2 在闭区间5,5上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：f(x)3x 26x ,令f(x)0,得x 1 0,x 2 2,f(x)6x6,f(0)60, f(2)60,∴f(x)的极大值为f(2) 4，极小值为 f(0)0.∵f(5) 50, f(5)200.∴比拟f(5),f(2),f(0),f(5)的大小可知：f(x)最大值为 200，最小值为50.16.求不定积分1dx .11x解：令1 xt ,那么 x t 21, dx 2tdt ,于是原式 = 2t dt =2 t 1 1dt ]= 2t2ln1tC 1 1 dt =2[dt1t t t =21x2ln11xC .17.求定积分41 x.1dxx解:〔1〕利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．令t x ，xt 2 ，dx 2tdt ，当x0时，t 0，当x 4时，t2，于是4xdx =2t2tdt =22t4 ]dt11 [41x1 t1 t4tt24ln1244ln3.t18.求方程(e xye x )dx (e xy e y )dy 0的通解；解整理得e x (e y 1)dxe y (e x1)dy ，用别离变量法，得e y dye xe ye xdx ，1 1两边求不定积分，得ln(e y1) ln(e x 1) lnC ，于是所求方程的通解为e y1C，e x 1即e yC 1．e x119.uexsinxy ,求u, u.x(0,1)y(1,0)解：因ue x sinxy e x cosxy ye x (sinxyycosxy),xu e x cosxy x, yu e0(sin0cos0)1,x(0,1)ue(cos01)e. y(1,0)20.画出二次积分02dy 24y2f x,ydx的积分区域D并交换积分次序. 24y20y2,y解：D：y 2y224x24的图形如右图，由图可知，D也可表为0x4,O24x 0y4xx2,所以交换积分次序后，得4x04x x2fx ydy.0d,21.求平行于y轴，且过点A(1,5,1)与B(3,2,3)的平面方程.解一利用向量运算的方法。

高等数学Ⅱ(本科类)第3阶段测试题3a

大一高数1-9的习题答案

2017-2018学年人教A版高中数学一_阶段质量检测(三)含解析

天津大学仁爱学院2014-2015 学年第一学期期中考试试卷 《高等数学 3A》

《高等数学》练习题库及答案,DOC

高等数学1 第三章 习题答案

高等数学第三章试题库

推荐-2018年高一级数学科考试题必修3[下学期]新人教版