隐圆最值问题
中考数学专题隐圆中最值问题
D C
M
A
B
P
O
秘籍三：
知识原型：利用“定线（弦）定角存隐圆”求最值
例 3：边长为 3 的等边ΔABC ， D 、 E 分别为边 BC 、 AC 上的点，且 BD = CE ， AD 、BE
交于P 点，则CP 的最小值为
。
A
E P
BD
C
思路）分析：
分 析 ： 由 题 目 条 件 可 知 Δ A B D ≌ΔBCE ，所以∠BAD = ∠CBE ， 又 因 为 ∠ C B E +∠ABE = 60o ， 所 以∠BAD +∠ABE = 60o ，所以∠APB = 120o 。 我 们 观 察 到 在 点 P 运 动 的 过 程 中 ∠ A P B = 120o 是 固 定 角 度 ， 且 ∠ A P B 所 对 的 线 段 AB 也 是 固 定 的 ， 所 以 A 、 B 、 D 三 点 共 圆 ， 其 中 AB 为 弦 ， ∠APB 为圆周角。（理论基础 ：同弦在同侧所对的圆周角相等 ）如图，作圆O 使 得 A 、 B 、 D 三 点 共 圆 ， 则 动 点 P 的 运 动 轨 迹 就 是 弧 AB ， 连 接 O C 与 圆 O 交 于 点 P' ，则C P' 的 长 就 是 C P 的 最小值。（此题的关键点是找 P 点的运动轨迹，而找 P 点的运动轨迹的关键点是发现有定 线定角）
初中数学精讲隐圆模型(线段最值和轨迹问题)
几何模型11——隐圆问题
在初中数学中利用隐圆解决平面几何问题大致分为三类，第一类是定点加定长构造圆形，第二类是定弦定角，第三类是从动模型之轨迹为圆也就是常说的“瓜豆原理”，在初中数学当中构造定弦定角构造圆形在压轴题当中经常出现，定弦定角构造圆形圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题。
定弦定角解决问题的步骤：
（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧
（2）找不变的张角（很多时候一般是找出张角的补角），（补角一般为60︒、45︒）
（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置
（4）计算隐形圆的半径
（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来
（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径
例1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，求A′C的长的最小值
变式1.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，点E为AB中点，点F为AD 边上从A到D运动的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，求点G运动的路径长
（1）直径所对的圆周角是直角． 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
图形释义：
例2.如图，半径为4的⊙O 中，CD 为直径，弦AB ⊥CD 且过半径OD 的中点，点E 为⊙O 上一动点，CF ⊥AE 于点F ．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，求点F 所经过的路径长
专题1.3 最值问题-隐圆模型之定边对定角
02 定边+定角---求最值
典型例题---求角度
【例1】在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=72º,点P在△ABC的外部.
如果AP=AC,那么∠BPC的度数为 36º或144º.
P1
定点
A
辅
定长
AB=AC=AP
助 圆
A
B
C
P2
拓展提高---求长度
1.如图,在△ABC中,∠BAC=45º,AD是BC边上的高,BD=3,DC=2,则AD
∠APC=150º,则线段PB长度的最小值为_2___3___2__. B
定弦
AC
辅
定角
∠APC
助 圆
P
A
C
O
拓展提高
3.如图,∠xOy=45º,一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在
Ox,Oy上移动,其中AB=10,那么
x C
(1)点O到顶点A的距离的最大值为_1_0__2_；
A
(2)点O到AB的距离的最大值为_5__2___5．
模型解读---定边对定角
定长+定角：AB为定线段(即弦),线段AB外一点D与A,B两端形成
的张角固定(即∠ADB固定),则点D在以AB为弦的圆上运动(不与A、
B重合).
若∠ACB为钝角,
若∠ACB为锐角,点C在两个优弧上
模型23 隐圆系列之点圆最值模型(解析版)
模型介绍
平面内一定的D和⓪O上动点M的连线中，当连线过圆心O时，线段DM有最大值和最小值。分以下情况讨论：（设OD=d，⓪O的半径为r）
点D在⓪O外时，d＞r，如图：
①当D、M、O三点共线时，线段DM出现最值，DM的最大值为d+r，DM的最小值为d-r;
②当点D在⓪O上时，d=r，如图：
当D、O、M三点共线时，线段DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为d-r=0(即点D与点M重合）
③当点D在⓪O内时，d＜r，如图
当点D、O、M三点共线时，DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为|d-r|=r-d;点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题.
方法：求出该定点到圆心的距离d，则最大值为d+r,最小值为|d-r|
例题精讲
【例1】．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E是AB的中点，点F是AD
边上的一个动点．将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△GEF．则GC长的最小值是（）
A．B．C．2D．2
解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点G在线段CE上时，GC的长取最小值，如图所示
根据折叠可知：GE＝AE＝AB＝2．
在Rt△BCE中，BE＝AB＝2，BC＝6，∠B＝90°，
∴CE＝＝2，
∴GC的最小值＝CE﹣GE＝2﹣2．
故选：A．
变式训练
【变式1-1】.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2，∠A＝45°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．
解：如图，连接MC；过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E．
2020年九年级数学中考专题复习：隐形圆求最值问题(含答案)
隐形圆问题
一、确定动点轨迹是圆
【例题1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A，且OA=OB，∠APB=90°，l不过点C，则AB的最小值为
【举一反三】
1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,连接A’C，则A’C长度的最小值是
第1题第2题
2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，BC=8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是
3、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.当PB=6时，在直线l变化过程中，则△ACB’面积的最大值是.
4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC=8，P、Q分別是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是
二、定边对直角
知识回顾:直径所对的圆周角是直角
构造思路:一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.
图形释义:
若AB是一条定线段，且∠APB-90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆
【例题1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为
【举一反三】
“隐圆”最值问题
B
M
C
D
A E
F
D
C
B
A B
E
D
C
F A “隐圆”最值问题
分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题。
【例1】在平面直角坐标系中，直线y = — x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边,
且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________．
【练】（2013-2014·六中周练·16)如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3,BC = 4,点D 是AB 的中点,E 、F 分别是直线AC 、BC
上的动点,∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________．
【例2】如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点，
M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转(旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3,那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________．
【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC 2，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 ．
【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ,两顶点A 、B 分别在平面直角 坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ,则OC
长的最大值是（ ）
A ．2
B ．1
C ．3．3 【练1】如图，在矩形ABC
D 中,AB = 2,BC 3A 、B 分别在平面
专题1.5 最值问题-隐圆模型之四点共圆
3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。
E
D
A
C
A
B
O
B O
F
典型例题---直径是圆中最长的弦
【例3】在△ABC中,∠ACB=90º,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作
OE⊥OF,OE、OF分别交射线AC,BC于E、F,则EF的最小值为? A
【简答】∵∠EOF=∠C=90º,∴C,O均在以
EF为直径的圆上∵EF是圆的直径,O、C均
F M
D
C
E
O
A
B
当堂训练---对角互补型四点共圆
1.如图,在四边形ABCD中,∠B=60º,∠D=120º,BC=CD=a,
则AB-AD=( C )
A. a
B.
3 a
C.a
D. 3a
2
2
D
a
120º
C
a
A
60º 60º
Ea
B
当堂训练---对角互补型四点共圆
2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,连接EF.
牢记口诀：定点定长圆周走，定线定角双弧跑。 三点必有外接圆，对角互补也共圆。
常见的“隐圆”模型思维导图
O
动点 动点
6.“瓜豆”问题
隐圆 模型
O
动 点
定点
八种隐圆类最值问题,圆来如此简单(原卷版)
八种隐圆类最值问题，圆来如此简单
在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。
正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！
知识点梳理
题型一定点定长得圆
2023年湖北省鄂州市中考数学真题
2023·邵阳市中考真题
2023·广西南宁市二模
2022·辽宁抚顺·中考真题
2022·长春·中考真题
题型二直角的对边是直径
2023·菏泽市中考真题
2022·通辽·中考真题
2023·汕头市金平区一模
2023·广州市天河区三模
2022·成都市成华区二诊
题型三对角互补得圆
2023年·广元市一模
题型四定弦定角得圆
2023·成都市新都区二模
2023·成都市金牛区二模
2023·达州·中考真题
题型五四点共圆
题型六相切时取到最值
2023·随州市中考真题
2022·江苏无锡·中考真题
2022扬州中考真题
题型七定角定高面积最小、周长最小问题
题型八米勒角（最大张角）模型
徐州中考
知识点梳理
一、定点定长得圆
在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算
二、直角的对边是直径
前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°
今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于
定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)
x
B
三、对角互补
隐圆问题 最值问题 7种题型 知识点+例题+练习(非常好 分类全面)
例1：如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______
练习：如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________
2、动点到定点距离保持不变的可用圆
（先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径）
例1：木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随
有一山庄它的平面图为如右图的五边形abcde山庄保卫人员想在线段cd上选一点m安装监控装置用来监视边ab现只要使大约为就可以让监控装置的效果达到最佳已知问在线段cd上是否存在点m使若存在请求出符合条件的dm的长
教学内容
隐圆问题
教学目标
掌握隐圆的题型
重点
隐圆
难点
隐圆
教学过程
隐圆专题
1、几个点到某个定点距离相等可用圆
3在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B.C三点的坐标分别为A（2，0），B（4，0），C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB=45∘.线段CD的长的最小值为________.此时D点坐标为_______
4、如图，半径为 ，圆心角为 的扇形OAB的 上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H，设 的内心为 ，当点P在 上从点A运动到点B时，内心 所经过的路径长为
A．1B． C． D．5
隐形圆最值问题初中题型
隐形圆最值问题初中题型
隐形圆最值问题是初中数学中的一个常见题型，它涉及到圆的最值问题，需要通过分析，计算得出圆的最大或最小值。这个问题一般涉及到最大面积、最小周长或最小直径等方面，下面我将以最大面积为例来详细介绍。
我们来解释什么是隐形圆。隐形圆是指在平面上已知一个角度和一个弦长，需要求得这个角度上的圆的最大面积。我们可以先确定圆心在这个角的端点上，然后通过圆心和角的端点来画圆。这个圆称为隐形圆，因为它不是直接给出的，而是需要我们通过问题的条件来确定。
解决隐形圆最值问题的关键是画出合适的图形并找到相关的性质和定理。在求解最大面积问题时，我们可以使用面积公式S=πr²来表示圆的面积，其中r是半径。由于隐形圆的圆心位于角的端点上，因此圆心和角的两个端点构成一个等腰三角形，这是求解问题的关键。
为了方便分析，我们可以将该等腰三角形的一个顶点放在坐标系的原点，另一个顶点放在x轴上，并设该顶点的坐标为(1, 0)。由于
是等腰三角形，所以圆心的坐标也可以设为(a, b)，其中a和b是待
定的参数。假设圆的半径为r，则圆的方程为
(x - a)² + (y - b)² = r²
根据等腰三角形的性质，我们可以得到圆心的另一个坐标(a, b)
满足a² + b² = 1。这个条件可以用来确定圆心的位置。
接下来，我们要利用已知的角度和弦长的信息来确定圆心和半径。设角的顶点坐标为(cosθ, sinθ)，其中θ是已知的角度。根据弦长
的性质，我们可以得到圆心到角的顶点的距离为r，即
(a - cosθ)² + (b - sinθ)² = r²
专题1.3 最值问题-隐圆模型之定边对定角
D D
是什么呢?△ABD面积的最大值?
定弦
AB
辅
A
B
助
定角
∠ADB
圆
D
拓展提高
1.如图,边长为3的等边△ABC,D、E分别为边BC、AC上的两个动点, 且BD=CE,AD、BE交于点P,求CP的最小值。
定弦
AB
辅
定角
∠APB
助 圆
A O
P
E
P
BD
C
类型4 定长+定角---求最值
2.如图,在正△ABC中,AB=2,若P为△ABC内一动点,且满足
目录
02 定边+定角---求最值
典型例题---求角度
【例1】在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=72º,点P在△ABC的外部.
如果AP=AC,那么∠BPC的度数为 36º或144º.
P1
定点
A
辅
定长
AB=AC=AP
助 圆
A
B
C
P2
拓展提高---求长度
1.如图,在△ABC中,∠BAC=45º,AD是BC边上的高,BD=3,DC=2,则AD
的长为( A ) A.6 B.7 C.8 D.9
定弦
BC
辅
定角
∠BAC
助 圆
A FO
B DE
C
利用隐圆求最值
利用隐圆求最值
一、隐圆的类型：
1.定弦定角
∠A和BC是固定值，则ABC三点共圆
确定圆心的方法：做AB、BC的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心
2.直径所对圆周角为90°
3.OA=OB(A、B在以O为圆心，OA为半径的圆上)
二、最小值与最大值
当B、P、A三点共线时，BP即为最小值，BP=BA-圆的半径
当P在D点时，BP有最大值，BP=BA+圆的半径
三、常用的角度
练习
1．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，若∠BEC ＝45°，且AE ＝4、ED ＝2、则AB 的长为
2、如图．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，现有一点P 在直线CD 的左侧，且tan ∠DPC ＝43，则线段PB 的最小值为
3．如图．以正方形ABCD 的一边BC 为边向内作等腰ΔBCE，BE ＝BC ，过点E 作EH ⊥BC 于H ，点P 是Rt ΔBEH 的内心，连接AP 若AB ＝2,则AP 的最小值为
4.在ΔABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，点D 为平面上一个动点，∠ADB ＝45°则线段CD 长的最小值为
5．如图，已知正方形ABCD 的边长是2，点P 是BC 上的一动点，点Q 为正方形内部一动点，∠AQD ＝90°则PA ＋PQ 的最小值为 ＿
6．如图、在R ＋ΔABC 中，∠ACB ＝P0°，BC ＝3，AB ＝5，点D 是BC 上一动点，连接AD ，在AD 上取一点E ，使∠DAC ＝∠DCE ，连接BE ，则BE 的最小为
7 如图在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，目∠BEC ＝90°，点P 是边AB 边上的一动点，连接PD 、PE ，则PD ＋PE 的最小值为
解题技巧专题：圆中的最值问题(含隐圆问题)
2
.
6．(2019·鄂州中考)如图，在平面直角坐标系中， 已知C(3，4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、 B 在 x 轴 上 ， 且 OA ＝ OB . 点 P 为 ⊙C 上 的 动 点 ， ∠APB＝90°，则AB长度的最大值为 16 .
7．如图，已知点A是圆心为坐标原点O且半径为3 的圆上的动点，经过点B(4，0)作直线l⊥x轴，点P 是直线l上的动点．若∠OPA＝45°，则△BOP的 面积的最大值为 2 2 .
(2)解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF.
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线． ∴OF＝ 1 BC＝3.
2 ∴DF＝OD－OF＝5－3＝2.
(3)若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段 AB上任意一点，试求出PC＋PD的最小值． (3)解：作C点关于AB的对称点C′，连接C′D交AB于 P，连接OC，如图． ∵PC＝PC′， ∴PD＋PC＝PD＋PC′＝DC′. ∴此时PC＋PD的值最小． ∵ AD＝CD，∴∠COD＝∠AOD＝80°.
1．如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1， D是BC上的动点，DE与⊙A相切于E，DE的最小 值是( B ) A．1 B． 2 C． 3 D．2
2．(2019·嘉兴中考)如图，在⊙O中，弦AB＝1，
点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交 1
专题1.1 最值问题-隐圆模型之定点定长
纵观近几年中考数学,有一些高频考题，如线段最值问题， 动点路程问题，除了填空选择关于圆的计算以及解答题关于圆 的证明以外,常常会以压轴题的形式考察圆的重要性质。在这些 题目的图形中往往没有出现“圆”，但在解题时却要用到“圆” 的知识点，我们把这种类型的题目称之为“隐圆模型”
①点在圆内
②点在圆外
C
C
B
A
OP
B
O
AP
OP+PC≥OC=OP+PA,即：PC≥PA PB=OP+OC≥PC,即：PB≥PC ∴PA最短；PB最长.
OC+PC≥OP=OA+PA,即：PC≥PA PB=OP+OC≥PC,即：PB≥PC ∴PA最短；PB最长.
典型例题---圆上的点到定点的距离
【例2】有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯
当堂训练---到定点距离相等的点
1.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44º,则∠CAD=__8_8_º
2.如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD=2,BC=1,AB∥CD,则BD=__1_5_.
A
D
C
D
B
A
E
BC
定点
A
辅
定长
AB=AC=AD
助 圆
隐圆模型---点圆、线圆最值【模型专题】(含答案解析)
模型隐圆模型点圆、线圆最值
【模型讲解】 平面内一定点Q 和上动点E 的连线中，当连线过圆心。时，线段。匠有最大值和最小值.具体分以下三种情况讨论（规定：（）D=d,半径为〃）：
值，OE 的最大值为d+r,庞的最小值为df
D 图①
2. 当D 点在上时，d=r,如图③、④：当D 、E 、
（）三点共线时，线段OE 出现最值,DE 最大值为
d+r=2〃 （即为的直径），OE 的最小值为”一，•=（）（点。、已重合）: 3. 假设。点在。。内时，d<r,如图⑤、⑥：当。、E 、O 三点共线时，线段OE 出现最值,DE 最大值为d+r,庞的最小值为r —d.
图⑤【口诀】双定边，手拉手；点共线，最值显；和最大，
差最小
【例题5】点。及其外一点C, OC=5,点4、B 分别是平面内的动点，且（14 = 4, ・.・ Z.APO = 90°,
AP = 2, OA = 5,••・ OP = yJOA 2 - PA 2 = V21，
故答案为：y/21-【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关 键.
1.当。点在。。外时，d>r,如图①、②：当D 、 E 、。三点共线时，线段Df 出现最 图②
图③
图⑥
DO
E DO
BC=3,在平面内画出点4、3的运动轨迹如下图，那么。3长的最大值为。3长的最小值为，AC 长的最大值为，长的最小值为，刀8长的最
><
、
大值为—，仙长的最小值为
><
、
OR
【答案】口.8口.2□. 9□. 1□. 120.0【解析】【分析】根据点与圆的位置关系进行解答即可.
专题1.4 最值问题-隐圆模型之定角夹定高
1+ c osα
∴ BC = r •sinα
= 2h • sinα 1+ cosα
,
1+ c osα
SΔ ABCmin =
h2 • sinα 1+ cosα
Oh α
B
E DC
典型例题---定角夹定高
【例1】如图,在△ABC中,∠A=60º,BC边上的高为3 3 ,
求BC的最小值.
ຫໍສະໝຸດ BaiduAA
分析：当高经过外心时，BC最小, 60º
当堂训练---定角夹定高
3.点E在边长为4的正方形ABCD的边BC上,点F在边CD上,∠EAF=45º, 则△AEF面积的最小值为_1_6__2__-1_6_.
A
D
O
F
F´ H B E
C
01 定角夹定高线
目录
02 定角夹定中线、角平分线
模型解读---定角夹定中线、角平分线
A
A
E F´
B
D
C
B
F
2 -12
F
C
45º45º
EF'min = 2r = 24 -12 2，
O
S四边形ABCD = 72 2 +72,
S ΔCEF
' min
=
1 2
×(24
-12
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隐圆最值问题
公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
B
M
C
D
A E F
D
C
B
A
B
D C
F
A
“隐圆”最值问题
分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题。
【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是
__________．
【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC
上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________．
【例2】如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点，
M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始
终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________．
【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC 2AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A
旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 ．
【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角 坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 长的最大值是（ ）
A ．2
B ．1
C ．3
D ．3 【练1】如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC 3A 、B 分别在平面
直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC
长的最大值为_________．
【练2】（2013·武汉中考·16）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE = DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边
长为2，则线段DH长度的最小值是__________．
【例4】如图，∠XOY= 45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在
OX、OY上移动，其中AB = 10，那么点O到AB的距离的最大值为__________．
【练】（2013-2014·二中、七一九上期中·16）已知线段AB = 4，在线段AB上取一点P，在AB的同侧作等边△APC和等边△BPD，则线段CD的最小值为_________．【例5】已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当
∠ACB最大时，则点C的坐标为__________．
【练】当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何处观赏最理想吗
如图，设墙壁上的展品最高点P距底面米，最低点Q距底面
2米，观察者的眼睛E距底面米，当视角∠PEQ最大时，站
在此处观赏最理想，则此时E到墙壁的距离为（）
A．1米 B．米 C．米 D．米
A
D
C
B
O
y
x
N
M
B
Q
C
P
A
【课外提升】
1．（2010·河南）如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠ABC = 30°，AB = 6， 点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA =
DE ，则AD 的取值范围是（ ）
A ．2 < AD < 3
B ．2 ≤ AD < 3
C ．2 ≤ A
D ≤ 3 D．1 ≤ AD < 2
2．（2012·济南）如图，矩形ABCD 中，AB = 2，AD = 1，当A 、B 两点 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动时，矩形ABCD 的形状不变，则
OD 的最大值为（ ）
A 25145 D ．5
2
3．（2013-2014·黄陂区九上期中·10）在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠ABC
= 30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0° < θ < 180° ），得
到△MNC ，P 、Q 分别是AC 、MN 的中点，AC = 2t ，连接PQ ，则旋转时
PQ 长度的最大值是（ ）
A ．26
B ．3t
C 6
D ．3t
4．已知点A 、B 的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C 是x 轴正半轴上一动点，当∠ACB 最大时，点C 的坐标为__________．