矩阵论课件第六讲

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《矩阵论》 ppt课件

1
2

p
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4
引理6.1.1 如果实数p 1, q 1且 1 1 1,则对 pq
任意非负实数a, b, 有
a p bq ab
pq
定理6.1.1（Hölder不等式）
设x ( x1 ,, xn )T , y ( y1 ,, yn )T C n , 则
1
1
(2) 齐次性：对任意k P, V ,有 k k ；
(3) 三角不等式：对任意 , V ,有 ,
则称||α||为向量α的范数，并称定义了范数的线性空间为赋范线性空间。
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2
对赋范线性空间V中任意向量与，有
| |
6.2.1 基本概念 6.2.2 相容矩阵范数 6.2.3 算子范数
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11
6.2.1 基本概念
定义6.2.1 设||A||是以Cm×n中的矩阵A为自变量的非负实值函数，如果它满足以下三个条件：
(1) 非负性 :当A 0时, A 0;当A 0时, A 0; (2) 齐次性 : 对任意k C , A C mn ,有 kA k A ; (3) 三角不等式: 对任意A, B C mn ,有 A B A B , 则称 A 为m n矩阵A的范数.
k
(1) lim(ax(k) by(k) ) ax by ; k
(2) lim Ax(k) Ax . k
定理6.1.8 C n中向量序列{ x(k) }收敛于向量x的充分
必要条件是对任一向量范数 , 数列 x(k) x
收敛于0.
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10
6.2 矩阵范数

矩阵论简介及线性代数复习PPT课件

的矩阵叫做复矩阵, (1)式也简记为
A = (aij)m×n 或 A = (aij) ,
m×n 矩阵 A 也记作 Am×n .
-
16
2) 方阵列矩阵行矩阵
对 (1) 式, 当 m = n 时, A 称为 n 阶方阵. 当 m = 1 时, A 称为行矩阵. 当 n = 1 时, A 称为列矩阵.
n
cij aikbkj
k 1
( i = 1,2, … , s ; j = 1, 2, … , m),
AB 称为 A 与 B 的积. 设 k 为实数, 定义 kA = (kaij)
则称 kA 为 A 与数 k 的乘积.
-
22
矩阵乘法的定义源于二个线性变换的复合运算
yy21 aa1211xx11 aa1222xx22 aa1233xx33
是成立的, 即
|AB| = |A||B | = |B||A| = |BA| .
-
34
3. 若 AB = AC 能推出 B = C 吗? 答不能. 因为矩阵的乘法不满足消去律.
例如
A 1 00 0 ,B 0 01 0 ,C 0 00 0 ,
则 AB = AC , 但 B C.
A11 A21
A*
A12
A22
A1n
A2n
An1
An2
,
Ann
叫做方阵 A 的伴随矩阵. 伴随矩阵具有重要性质: AA* = A*A =|A|E.
-
32
思考
1. 任何两个矩阵 A、B 都能进行加(减), 相乘运算吗?
答不是. (1) 只有当 A,B 为同型矩阵时, 才能进行加(减)运算. (2) 只有当第一个矩阵 A 的列数与第二个矩阵 B 的行数相同时, A 与 B 才能相乘, 这时 AB 才存在.

矩阵论课件

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矩阵论
对于满秩方阵 A，A1存在，且 AA1 A1 A I ，故当然有

AA-1 A A A-1 AA-1 A ( AA-1 )* AA-1 ( A-1 A)* A-1 A
这四个对满秩方阵显然成立的等式构成了Penrose 广义逆的启示．
4 December 2014
河北科技大学
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矩阵论
第一节和相容方程组求解问题相应的广义逆矩阵 A
1.广义逆矩阵的定义及性质
设线性方程组 AX b 是相容的，其中
A C mn , X C n , b C m ，
则 AX b相容 b R( A) （矩阵 A 的象空间）．
0 ，Ar 为 r 阶满 0
0 1 1 Ar 1 Q P I 0 Q r 0 0 1 Ar 令 C P , D I r 0 Q 1 0
1 1 C L D* ( DD* )1(C *C )1C * . 则 A - DR
3. 反射 g 逆
定义设 A C mn ，若存在G C nm ，使得
（1） AGA A；
和
（2） GAG G ；
同时成立，则称G 为 A 的一个反射（或自反）广义逆矩阵，简称为反射 g 逆，记作： Ar ，其全体记作： A{1, 2}．
4 December 2014
河北科技大学
（4）若G1G2 A{1}，则G1 AG2 A{1, 2}；
（5） A{1, 2} A{1}；

R
L
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(课件)矩阵论

=
aB 11 1
+
(a12
−
a 11
)
B 2
+
( a 21
−
a 12
)
B 3
+
( a 22
−
a
21
)
B 4
坐标为
β
=
(a11
,
a 12
−
a 11
,
a
21
−
a 12
,
a 22
− a21 )Τ
[注] 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同．
例如：
A
=
E 22
在上述两个基下的坐标都是 (0,
0,
(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
mn
∑ ∑ (2) A = (ai j )m×n =
ai j Ei j ．
i=1 j=1
故 Ei j (i = 1,2,L, m ; j = 1,2,L, n) 是 R m×n 的一个基, dimR m×n = mn .
第一章线性空间与线性变换（第 1 节）
5
2．坐标：给定线性空间V
n
的基
x 1
解采用中介法求过渡矩阵.

矩阵论PPT

条件是 A为正规矩阵.
• 有关正规阵的4个性质: 推论1: Hermite矩阵的特征值均为实数, 反Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数.
推论2: 实对称矩阵的特征值均为实数, 实反对称矩阵的特征值为零或纯虚数.
推论3: 设 A C nn是正规矩阵, 是 A 的特征值, x 是对应的特征向量, 则是 AH 的特征值, AH 的对应的特征向量仍为 x .
第一章：矩阵的相似变换
§1. 1 特征值与特征向量
• 有关定义回顾: 特征值; 特征向量; 特征矩阵; 特征多项式.
• 矩阵的特征值与特征向量的性质. 定理1.1: 设 i 是 A C nn 的 ri 重特征值, 对应 i
有 si 个线性无关的特征向量, 则: 1 si r i 简言之: 矩阵特征值的几何重数小于或等于其代
定理 1.21: 设 A, B C nn.
(1) 若 A是酉矩阵, 则 A1也是酉矩阵. (2) 若 A, B是酉矩阵, 则 AB也是酉矩阵.
(3) 若 A是酉矩阵, 则 det A 1
(4) A是酉矩阵的充要条件是: 它的 n 个列向量是两
两正交的单位向量.
§1. 6 酉相似下的标准形
定理 1.22 (Schur): 设 A C nn , 则 A 可酉相似于上三角矩阵 T , 即存在 n 阶酉矩阵 U , 使得
(研究生课程)
高等工程数学
教师: 李晓东
• 课程主要内容：
矩阵论：矩阵的相似变换；向量范数与矩阵范数的理论及应用；矩阵分析及应用；矩阵的各种分解方法等。泛函分析：距离空间；赋范空间与Banach空间；内积空间与Hilbert空间等。
• 主要参考书目：
1．徐仲等著，《矩阵论简明教程》，科学出版社，2007。 2．姚泽清等著，《应用泛函分析》，科学出版社，2008。

矩阵论第六章

1 2 t
即说 A 之所有不同特征根为 λ1 , λ 2 ,L, λt ，它们作为最小多项式
ϕ (λ ) 的根之重数依次为 m1 , m 2 ,..., mt
.我们把 A 的所有不同特征根
A
连同它们在最小多项式中根的重数称为
的谱. 记为
{(λ1, m1 ), (λ 2 , m2 ),L, (λ t , m t )}.
∞
设 A ∈C
n ×n
如果数项收敛，，如果数项级数 ∑ ck A 收敛，则矩阵幂级数
k k =1
∞
ck Ak 绝对收敛，其中 ⋅ 是 C n×n 上的某种相容矩阵范数. 上的某种相容矩阵范数. ∑ 绝对收敛，
k =0
推论 1 设 A∈ C 数.
n ×n
，如果 C
n× n
上的某种相容矩阵范数 ⋅ 使得 A 在幂级
d （4） (e At ) = Ae At = e At A ； dt
d （5） (sin At ) = A cos( At) = cos( At) ⋅ A ； dt d （6） (cos At) = − A sin At = − sin At ⋅ A dt
定义矩阵函数，利用定理 3 和推论 2 定义矩阵函数，其实质就是先将函数 f ( z ) 展的收敛幂级数，开成 z 的收敛幂级数，再将 z 代以矩阵 A 来定义矩阵函数 f ( A) ，但这个条件比较强，一般不易满足. 但这个条件比较强，一般不易满足.下面我们拓宽矩阵函数的定义. 定义. 对矩阵 A ∈ Cn ×n ，假定存在 n 阶可逆矩阵 P 使得
A = max aij
i, j
必要性
∑A
k =1

北京化工大学《矩阵论》课件6-1,2

其中 A Cmn ， B C pq ， F Cmq ，而 A(1) 与 B (1) 是取定的 {1} -逆；且有解时其通解为
1) X A(1) DB(1) Y A(1) A Y B (B
（ Y Cn p 任意）
证
必要性。若矩阵方程有解 X ，则 D AXB = AA(1) AXBB(1) B = AA(1) DB (1) B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X 0 = A(1) DB(1) + X 0 A(1) DB (1) = A(1) DB(1) + X 0 A(1) AX 0 BB(1)
即 X 0 仍可表为上述形式，故所给表达式是通解。证毕推论设 A Cmn ， b C m ，线性方程组 Ax b 有解的充要条件是
证毕
2 1 2 1 4 1 1 ，求 A(1) 。已知矩阵 A = 2 1 2 2 1 2 1 2 1 0 0 r 2 r 1 2 1 3 r1 A, I = 2 4 1 1 0 1 0 r 1 2 2 1 0 0 1
性质 2
1 , 0 ； A(1) (A){1} ，其中 0 , 0
证
A, 0 因为 (A)( A(1) )(A) = = A ，所以 A(1) (A){1} 。 0 , 0
性质 3
若 SAT 有意义，且 S 与 T 均可逆，则 T 1 A(1) S 1 (SAT){1} ；
证因为 ( SAT )(T 1 A(1) S 1 )( SAT ) = SAT ，所以 T 1 A(1) S 1 (SAT){1} 。证毕性质 4 证

矩阵论6

设 u1 为A的属于 1 的特征向量，因 u1 0 ，将其化为单位特征
向量 u1 ，u1 仍是A的属于1 的特征向量。
Au1

A
u1 u1 2

1u1
u1 2
1u1
因 C n 中线性无关的向量可扩充为其基，将 u1 扩充为 C n 的一组
基：
u1 u2 un
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矩阵理论第5讲-8
酉矩阵
– 酉矩阵的性质：
• A是酉矩阵证明：
A的n个列向量是两两正交的单位向量
设矩阵 A (a1 a2 an ) ，则
a1H
a1H a1 a1H a2 a1H an
AH
A

a2H
(a1
a2

an
)

a2H a1
A是正规矩阵
AH A AAH
T HT U H AAHU U H AIAHU U H AUUH AHU TT H
a11 a12 a1n

a22 a2n

ann

a11
a11 a12 a1n
a12 a22

矩阵
A~T
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矩阵理论第5讲-10
酉相似下的标准形
– Schur定理：任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵
设 A C nn ，则A可酉相似于上三角矩阵T，即 U C nn ，且 U 1 U H ，使得
证明:
U 1AU U H AU T
用归纳法证明。当n = 1时，显然成立。假设Schur定理对n – 1阶矩阵成立

矩阵论课件

P 是数域，若 n是正整数，则系数属于 P 而未知元为 x 的
所有次数不超过 n 的多项式的集合，此集合连同零多项式在内按通常多项式的加法及数与多项式的乘法，构成数域 P 上的一个线性空间全体记作： Pn [ x ].
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, t 可以由1 , 2 ,
, s 线性表
, t 线性相关.
推论1 若 1 , 2 ,
, t 可以由 1 , 2 ,
, s 线性表示，且
1 , 2 , , t 线性无关，则 t s .
推论2 若 1 , 2 ,
, t 与 1 , 2 , , s 等价，且均线性无
实数域 R 上的线性空间简称为实线性空间；复数域 C 上的线性空间简称为复线性空间.
下面看几个线性空间的例子.
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河北科技大学
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矩阵论
例1 若 P= 是数域，V 是分量属于 P= 的 n元有序数组的集合
V a1 , a2 ,
, an | ai P，i 1, 2,
矩阵论
例4 所有定义在区间 a , b a t b 上的实值连续
函数全体构成的集合，按照函数的加法及数与函数的数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性空间，记作： R a , b .
例5 实（复）系数齐次线性方程组 Ax 0（ A R mn
或 C mn ； x R n 或 C n ；行向量和列向量不做区别）的解空间 S 构成 R 或C 上的一个线性空间.
才成立，称 x1 , x2 ,

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k
ei
e
H j
E ei , ej , k
第45页/共188页
Remark
det E u,v, det In uvH det 1 vHu
1 vHu (由n Im AB m In BA 得到）
第46页/共188页
四、其他特殊矩阵
1幂零矩阵：Ak 0, k : 某正整数; 2幂等矩阵：A2 A; 3 实对称正定矩阵：
a a jn 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
第13页/共188页
二、块矩阵的行列式
1、设A Cmm , B Cmn , C Cnm , D Cnn , 则
1 A
0A
BA
0 AD
0D 0D CD
2 A B 1mn C D 1mn B A
CD
AB
DC
3 A B m A B
minrank A, rank B
第30页/共188页
推论1
设ACmn , B Cnk ,且AB 0,则
rank A rank B n
第31页/共188页
§1.4 特殊矩阵
一、几类基本的特殊矩阵
1、零矩阵，单位矩阵 2、对角矩阵
a11
D
a22
diag
a11
,
a22
,
ann
第50页/共188页
§2.1 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 1、定义定义1
设ACnn ,若存在数 C和x Cn , x 0使得 Ax x
则称是A的特征值，x称为A属于的特征向量。
第51页/共188页
2、特征多项式定义2
设ACnn , 称In A为A的特征矩阵，称detIn A 为A的特征多项式,称detIn A 0为A的特征方程。

矩阵论课件 6.1

2 L ,M
PL ,M x y ，则有
所以充分性. 对
P 2 PL2,M PL,M P
x C n ，因为
所以
x Px x Px Px ( I P) x
C R( P) R( I P)
n
又 z R( P) R( I P)
u,v 使
因为
z Pu ( I P)v
2 2
Pz P u P( I P)v O, 而P u Pu z C R( P) R( I P)
n
所以 z=0 ，即
所以 P 是沿 R(IP) 到 R(P) 的投影矩阵. 证毕例如果矩阵P 是幂等矩阵，那么 R( I P) N ( P) 证对 xR(IP), 因为 u 使 (IP)u=x

一组基，构造分块矩阵
X ( x1 , x2 ,, xr ), Y ( y1 , y2 ,, ynr )
由 XHY=O 得
PL X O X Y 1 X O X Y X X X O O
H

H
X Y X Y H
T
(0,1,1)
T
生成的子空间，求正交投影矩阵
T
PL和向量 x (1,2,3) 沿 L 到 L 的投影.
解因为
1 X 2 0
0 H 5 1 , X X 2 1
2 2
1 2 2 (X X ) 6 2 5
称 y 是 x 沿 M 到L 的投影. 定义6.1 将任意 xCn 变为沿M到L的投影的变换称为沿M 到 L的投影算子，记作 PL ,M .
即
PL ,M x y

北京化工大学《矩阵论》课件6-3

§3 Moore-Penrose 逆 A
一、 A 的计算定理则
n r n 设 A Cm 的满秩分解为 A FG ，其中 F Cm ，G Cr r （r 0） r r ，
A = G F = G H (GG H ) 1 (F H F ) 1 F H = G H (F H AGH ) 1 F H
1 1 。 3） A 1 1 m n
解
1 3）因为 A FG = 1 11n ，所以 1 m1 1 1 1 1 T 1 11n = A A = G (GG ) (F F ) F = n m mn 1 m1
= F (F H F ) 1 F H FG = FG = A ， AXA = G H (GG H ) 1 G G H (GG H ) 1 (F H F ) 1 F H XAX = G H (GG H ) 1 (F H F ) 1 F H = X 故 X = A 。特别地， G I r G ， F FI r 是满秩分解。所以
但 T 1 A S 1 = 1 性质 6 证注
1 1 1 1 1 1 = 1 0 ，可见 2 0 1 2
(S A T ) T 1 A S 1 。
( AH A) = A ( AH ) ， ( AAH ) = ( AH ) A ；
所以 A 的满秩分解为
1 1 1 2 0 1 1 A FG 2 1 2 0 0 1 1
又
6 1 6 3 H ， = GG H = F F 1 2 3 6
由定 B A 。如取 A = 1 0 ， B = 1 ，则 AB = 1 ，

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