新教材人教A版必修一 第一章 §1.1 第1课时 集合的概念

思考 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米 的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？
答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准. 高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定. 元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个 集合，那么任何一个元素在或不在这个集合中就确定了.
7.设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝__2_或__4_.
解析 代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意； 若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意； 若a＝6，则6－6＝0∉A，不符合题意，舍去. 所以a＝2或a＝4.
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解析 ∵3－1＝2> 3，∴3∉A. 又－3－1＝－4< 3，∴－3∈A.
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4.由方程x2－2x－3＝0和x2－1＝0的根组成的集合中的元素的个数为__3__. 解析 解方程x2－2x－3＝0可得x＝－1或3， 解方程x2－1＝0可得x＝－1或1， 由于集合中的元素具有互异性， 所以由两个方程的根组成集合中的元素的个数为3.
反思 感悟
利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能 值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验. (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论 思想的应用.
跟踪训练3 设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. (1)求实数x应满足的条件；
知识点三 常用数集及表示符号
名称 记法
自然数集 正整数集
_N__
_N_*_或__N_＋_
整数集 _Z__
有理数集 _Q__
实数集 _R__
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.接近于0的数可以组成集合.( × ) 2.分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的.( √ ) 3.一个集合中可以找到两个相同的元素.( × ) 4.由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素.( × )
解析 ∵3－6 x∈N， ∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3. 又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A中的元素为0,1,2.
反思 感悟
判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的. (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素 是否满足集合中元素所具有的特征即可.
二、元素与集合的关系
例2 (1)设集合M是由不小于2 5的数组成的集合，a＝ 15，则下列关系
中正确的是
A.a∈M
√B.a∉M
C.a＝M
D.a≠M
解析 判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这 个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是. ∵ 15<2 5， ∴a∉M.
(2)集合 A 中的元素 x 满足3－6 x∈N，x∈N，则集合 A 中的元素为_0_,1_,_2_.
√D.－π2 ∈M
解析 5>1，故 A 错； －2<0<1，故B错；
1不小于1，故C错； －2<－π2<1，故 D 正确.
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4.若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四
边形可能是
√A.梯形
C.菱形
B.平行四边形 D.矩形
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2.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是
A.3.14
B.－5
3 C.7
√D. 7
解析 由题意知 a 应为无理数，故 a 可以为 7.
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3.已知集合A中的元素x满足x－1< 3，则下列各式正确的是
A.3∈A且－3∉A
B.3∈A且－3∈A
C.3∉A且－3∉A
√D.3∉A且－3∈A
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5.设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是__k_≠__±_1__. 解析 ∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的互异性可知k2≠1， 解得k≠±1.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)元素与集合的概念、元素与集合的关系. (2)常用数集的表示. (3)集合中元素的特性及应用. 2.方法归纳：分类讨论. 3.常见误区：忽视集合中元素的互异性.
A.1 √B.2
C.3
D.4
解析 13是实数，①正确； 5是无理数，②错误；
－3是整数，③错误； － 3是无理数，④正确. 故选B.
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3.集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是
A. 5∈M C.1∈M
B.0∉M
(3)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1__∉_D， (－1,1)_∈__D.
解析 ∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，且－1是数，∴－1∉D； 又(－1来自百度文库2＝1，∴(－1,1)∈D.
三、元素特性的应用
例3 已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求 实数a.
解 由集合中元素的互异性可知，x≠3， 且x≠x2－2x，x2－2x≠3. 解得x≠－1且x≠0，x≠3.
(2)若－2∈A，求实数x的值. 解 ∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2. 由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴x＝－2.
3 随堂演练
PART THREE
1.下列各组对象能构成集合的有
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6.已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素， 则整数a＝__6__. 解析 ∵x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三个元素， ∴结合数轴(图略)知a＝6.
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跟踪训练2 用符号“∈”或“∉”填空： (1)设集合 B 是小于 11的所有实数的集合，则 2 3__∉___B,1＋ 2__∈___B；
解析 ∵2 3＝ 12> 11，∴2 3∉B； ∵(1＋ 2)2＝3＋2 2<3＋2×4＝11， ∴1＋ 2< 11，∴1＋ 2∈B.
(2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则 3_∉__C,5_∈__C； 解析 ∵n是正整数，∴n2＋1≠3，∴3∉C； 当n＝2时，n2＋1＝5，∴5∈C.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.(多选)下列选项中能构成集合的是
A.高一年级跑得快的同学
√C.3的倍数
B.中国的大河
√D.大于6的有理数
解析 根据集合的定义，选项A，B都不具备确定性.
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2.给出下列关系：①13∈R；② 5∈Q；③－3∉Z；④－ 3∉N，其中正确的 个数为
8.若由a，b，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合相等，则a2 020＋b2 020 a
的值为__1___.
解析 由已知可得a≠0，因为两集合相等，
所以有ab＝0， 或ab＝0，
a2＝1
a＋b＝1，
所以ba＝ ＝01， (舍)或ba＝ ＝－0，1，
经检验，a＝－1，b＝0满足条件，
①接近于1的所有正整数；②小于0的实数；③(2 020,1)与(1,2 020).
√ A.1组 B.2组
C.3组
D.0组
解析 ①中接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合； ②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合； ③中(2 020,1)与(1,2 020)是两个不同的数对，是确定的，能构成集合.
(2)下列说法中，正确的有__②____.(填序号) ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则 △ABC不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分 别得到不同的两个集合. 解析 ①不正确. book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3. ②正确. 集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成 的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形. ③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关.
反思 感悟
判断一组对象是否能构成集合的三个依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否能构成集合. (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数. (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之 确定，与元素之间的排列顺序无关.
跟踪训练1 (多选)下列说法正确的有 A.花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合
2 题型探究
PART TWO
一、对集合概念的理解
例1 (1)下列对象能组成集合的是 A. 2的所有近似值 B.某个班级中学习好的所有同学 C.2020年全国高考数学试卷中所有难题
√D.屠呦呦实验室的全体工作人员
解析 D中的对象都是确定的，而且是不同的. A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不 满足确定性， 因此A，B，C都不能构成集合.
知识点二 元素与集合的关系
知识点 关系
概念
记法
读法
元素与集
属于
如果 a是集合A中的元素 ， 就说a属于集合A
_a_∈__A_
“a属于A”
合的关系
如果 a不是集合A中的元素 ，
不属于 就说a不属于集合A
_a_∉_A__
“a不属于A”
思考 设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3,4这两个元素与集合A 有什么关系？如何用数学语言表示？ 答案 3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A； 4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4∉A.
解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a， ∴a＝－1 或 a＝－32. 当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性， 故a＝－1应舍去. 当 a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性， ∴a＝－32.
延伸探究 在本例中，若集合A中的三个元素换为a－3,2a－1，a2－4，其余不变， 求实数a的值. 解 ①若a－3＝－3，则a＝0，此时A中的元素为－3，－1，－4，满足题意. ②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A中的元素为－4，－3，－3，不满足 元素的互异性. ③若a2－4＝－3，则a＝±1. 当a＝1时，A中的元素为－2,1，－3，满足题意； 当a＝－1时，由②知不合题意. 综上可知a＝0或a＝1.
√B.正方体的全体构成一个集合
C.未来世界的高科技产品构成一个集合
√D.不大于3的所有自然数构成一个集合
解析 在A中，花坛上色彩艳丽的花朵不能构成一个集合，故A错误； 在B中，正方体的全体能构成一个集合，故B正确； 在C中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故C错误； 在D中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故D正确.
解析 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条 边都不相等.
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5.集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若x∈A且x∉B，
则x等于
A.2
√B.3
C.4
D.6
解析 集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意.
第一章 §1.1 集合的概念
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.通过实例了解集合的含义. 2.理解集合中元素的特征. 3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
引
课时对点练
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PART ONE
知识梳理
知识点一 元素与集合的概念
1.元素：一般地，把 研究对象 统称为元素(element)，常用小写拉丁字母 _a_，__b_，__c_，__…____表示. 2.集合：把一些 元素 组成的总体叫做集合(set)(简称为 集 )，常用大写拉 丁字母 A，B，C，… 表示. 3.集合相等：指构成两个集合的元素是 一样 的. 4.集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的 、互不相同的.