相交线与平行线
相交线与平行线笔记整理
相交线与平行线笔记整理
相交线与平行线是几何学中的重要概念，下面是有关相交线和平行线的笔记整理：
一、相交线：
1. 定义：在平面上，如果两条直线有一个公共的交点，则称这两条直线为相交线。
2. 特性：
- 两条相交线的交点只有一个。
- 两条相交线的两个交线角互为补角。
- 如果两条相交线的交线角互为补角，则这两条直线相交。
二、平行线：
1. 定义：在平面上，如果两条直线没有交点，且方向相同或者重合，则称这两条直线为平行线。
2. 特性：
- 平行线不相交，也没有公共的交点。
- 平行线的交线角为零度。
- 平行线的交线角是对应角，即对应于同一边的内角互为补角。
三、判定平行线的方法：
1. 对称判定法：如果两条直线作为一条直线的平分线，且分出的同侧角相等，则这两条直线平行。
2. 次对称法：如果两条直线与另外一条直线作为一对同位角，且同位角相等，则这两条直线平行。
3. 逆定理法：如果两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线
平行。
4. 夹角法：如果两条直线与另外一条直线的夹角相等，则这两条直线平行。
5. 给定角的补角法：如果两条直线与另外一条直线的同侧内角互为补角，则这两条直线平行。
四、平行线性质：
1. 平行线的任意一对内错线互为消角。
2. 平行线的任意一对内错线互为内错角。
3. 平行线与切线的夹角等于对应弧所对的圆心角。
4. 平行线所夹平行线上的交线角相等。
以上是有关相交线与平行线的笔记整理，希望对你有所帮助。
平行线和相交线
平行线和相交线平行线和相交线在几何学中是重要的概念，它们具有不同的性质和特点。
本文将介绍平行线和相交线的基本概念，以及它们在几何学中的应用和相关定理。
一、平行线的概念和性质平行线是指在同一个平面上永远不会相交的两条直线。
在几何学中，我们通常使用符号"//"来表示两条平行线。
平行线具有以下性质：1. 平行线的对应角相等：当两条平行线被一条截线所交，所形成的对应角是相等的。
这个性质可以用来证明两条线平行的方法之一。
2. 平行线的任意两点之间的距离相等：平行线上的任意两点之间的距离都是相等的。
这个性质在实际中得到广泛应用，例如在建筑设计中测量平行的墙壁之间的距离。
3. 平行线的斜率相等：如果两条直线的斜率相等，则它们是平行线。
这个性质可以用来判断两条线是否平行的另一种方法。
二、相交线的概念和性质相交线是指在同一个平面上交叉的两条直线。
相交线具有以下性质：1. 相交线的对应角相等：当两条相交线被一条截线所交，所形成的对应角是相等的。
这个性质可以用来证明两条线是否相交。
2. 相交线的垂直角互补：当两条相交线形成直角时，它们被称为垂直线。
垂直线之间的对应角是互补的，即它们的和为90度。
3. 相交线的交点：相交线的交点是两条线的唯一公共点。
这个交点在几何学中具有重要的地位，它可以被用来确定形状、测量长度等。
三、平行线和相交线的应用和定理平行线和相交线在几何学中有许多重要的应用和相关定理，其中一些包括：1. 直线平行定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么它将分别与这两条平行线的对应角相等。
2. 平行线的传递性：如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也是平行的。
3. 平行线与垂直线的关系：如果两条直线相交，并且其中一条直线与第三条直线垂直，那么另一条直线也与第三条直线垂直。
这些定理和性质在解决几何问题时起着重要的作用，它们被广泛运用于建筑、设计、测量等领域。
总结：平行线和相交线是几何学中重要的概念。
平行线与相交线的关系知识点
平行线与相交线的关系知识点在几何学中，平行线和相交线是两个基本的几何概念，它们之间有着密切的关联。
本文将介绍平行线与相交线的性质以及它们之间的一些重要关系。
一、平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线。
两条平行线之间的距离始终保持相等，且它们的斜率也相等。
平行线具有以下性质：1. 平行线的性质一：同一平面内两直线要么相交于一点，要么平行。
2. 平行线的性质二：如果一条直线与另外两条平行线相交，那么这两条平行线之间的对应角相等。
3. 平行线的性质三：平行线的倾斜角度相等。
4. 平行线的性质四：两条平行线与一条相交线所构成的内角和为180度。
二、相交线的定义与性质相交线是指在同一个平面上交于一点的两条直线。
相交线之间的夹角是它们各自的内角和，且夹角的大小和形状取决于直线的倾斜程度。
相交线具有以下性质：1. 相交线的性质一：相交线之间夹角的大小可以是锐角、直角或钝角。
2. 相交线的性质二：相交线之间夹角的大小等于其对应的对顶角。
3. 相交线的性质三：两条相交线若交于一点，则点的坐标满足这两条直线的方程。
三、平行线与相交线的关系平行线与相交线之间有以下重要的关系：1. 平行线切割相交线：如果一条直线与一对平行线相交，那么它将会把这对平行线切割成相似的线段。
2. 内错角与同旁内角：当一条直线与两条平行线相交时，所构成的对应角（内错角）相等，而相应于同旁外角（同旁内角）也相等。
3. 平行线的判定：如果两条直线与一条相交线所构成的内外角相等，那么这两条直线是平行的。
4. 平行线的传递性：如果直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，那么直线a与直线c也平行。
通过对平行线和相交线的定义、性质以及它们之间的关系的认识，我们能够更好地理解几何学中的相关概念，并应用它们解决问题。
总结：平行线是在同一平面上永不相交的直线，其性质包括对应角相等、倾斜角相等以及内角和为180度等；相交线是在同一平面上交于一点的直线，其性质包括夹角等于内角和以及夹角的种类；平行线与相交线之间的关系包括平行线切割相交线、内错角与同旁内角相等、平行线的判定方法以及平行线的传递性。
数学-相交线与平行线(含答案)
数学-相交线与平行线(含答案)相交线与平行线知识要点：1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。
2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。
即，两条直线相交有且只有一个交点。
3.垂直是相交的特殊情况。
有关两直线垂直，有两个重要的结论：1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。
4.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做同侧内角；如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做同侧外角；如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做对顶角。
5.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么它们也平行。
6.平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等则平行。
⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：内错角相等则平行。
⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简单说成：同旁内角互补则平行。
7.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线垂直。
8.平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：同位角相等。
⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：内错角相等。
⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：同旁内角互补。
方法指导：平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理，利用平行公理及其推论证明或求解。
能力训练：一、选择题：1.如图（1）所示，同位角共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3.一个三角形的三个外角之和为360°，而钝角大于90°，因此钝角的个数最少为1个，选项B。
平行线与相交线
平行线与相交线平行线与相交线是几何学中的基础概念，对于描述和解决与线段、角度以及图形形状相关的问题至关重要。
本文将介绍平行线和相交线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、平行线的定义和性质1. 平行线的定义：平行线是指在同一个平面上永远不相交的两条直线。
简单地说，如果两条直线在平面上始终保持同样的方向，且没有交点，那么它们就是平行线。
2. 平行线的判定：有三种常见方法可以判定两条直线是否平行：- 同一直线外的一点和该直线上的两点连线所形成的两个角相等时，可以得出这两条直线是平行线。
- 两条直线被一条横线相交，形成的内错角、外错角相等时，可以得出这两条直线是平行线。
- 两条直线的斜率相等时，可以得出这两条直线是平行线。
3. 平行线的性质：- 平行线之间的距离在任意两点之间是相等的。
- 平行线的两侧任意一点到两条直线的距离之和相等。
- 平行线与同一个横线相交时，相交的内错角、外错角相等。
二、相交线的定义和性质1. 相交线的定义：相交线是指在同一个平面上有一个交点的两条直线。
当两条直线的交点不是无穷远处时，它们就是相交线。
2. 相交线的性质：- 相交线的交点是两条直线上对应的点之间与交点相连的线段。
- 相交线上的内角和、外角和都是相等的。
- 相交线可以分为内部区域和外部区域，两个相交线之间还可以形成许多角，如同位角、对顶角等。
三、平行线与相交线的应用平行线与相交线在几何学中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 平行四边形和矩形的性质：对于平行四边形来说，其对边相等且平行。
而矩形是一种特殊的平行四边形，其内角都是直角。
2. 三角形内角和：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的三角形内角和为180度。
3. 平面切割：使用平行线和相交线可以将一个平面切割为多个区域，为解决复杂的几何问题提供了便利。
4. 平行线与比例：平行线的性质可用于解决比例问题。
当两条平行线被两条相交线所切割时，所形成的线段之间的比例是相等的。
理解平面几何中的相交与平行线关系
理解平面几何中的相交与平行线关系相交与平行线关系是平面几何学中的重要概念。
在平面几何中，直线与直线可能会相交，也可能会平行。
本文将深入探讨相交与平行线的定义、性质以及相关的定理。
一、相交线的定义与性质相交线是指平面中两条线段或线的交点不为空的情况。
具体地说，如果两条线段、直线或射线在平面上存在一个交点，则它们是相交线。
相交线具有以下性质：1. 相交线上的交点只能有一个，即两条线不能在多个点相交。
2. 相交线可以有部分重合的情况，但至少有一个点是不重合的。
3. 相交线可以相交于任意位置，包括内部交叉、外部交叉以及重叠。
二、平行线的定义与性质平行线是指在平面内永远不会相交的两条线段或线。
具体地说，如果在平面上两条线段、直线或射线之间不存在任何交点，则它们是平行线。
平行线具有以下性质：1. 平行线上的两条线是平行的，它们的方向相同且永远不会相交。
2. 平行线之间的距离是相等的。
也就是说，从一条平行线到另一条平行线的垂直距离是恒定的。
3. 平行线可以在平面上任意位置平行延伸。
三、相交与平行线的关系相交与平行线是两种互斥的情况。
在平面几何中，两条直线要么相交，要么平行，不存在其他的可能。
在判断两条直线的相交与平行关系时，可以利用以下定理：1. 相交线与一条平行线永远不会平行。
2. 如果两条直线与一条第三条直线分别平行，那么它们之间要么相交，要么平行。
3. 如果两条直线与一条第三条直线分别平行，并且两条线间还有一组对应的内角或外角相等，则它们是相交线。
四、相交与平行线的应用相交与平行线在实际生活中有广泛的应用，尤其在建筑、地理、计算机图形学等领域中起到重要作用。
以下是一些实际应用的例子：1. 建筑设计中，相交与平行线的概念用于确定墙体、屋顶以及其他结构的位置和方向。
2. 地理学中，相交与平行线用于描述纬度线和经度线的关系，帮助确定地理位置和导航方向。
3. 计算机图形学中，相交与平行线的原理用于线段与多边形的相交检测以及线段的裁剪等问题。
相交线与平行线
相交线与平行线
1. 同一平面内，两直线不平行就相交。
2. 两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
3. 垂直定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
4. 垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足
5. 垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
6. 垂线段最短；
7. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
8. 两条直线被第三条直线所截
a.同位角:在两条直线的同一方,在第三条直线的同一侧。
b.内错角：在两条直线的内侧，在第三条直线的两侧。
c.同旁内角：在两条直线的内侧，在第三条直线的—同侧。
9. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
10. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//c
11. 平行线的判定。
结论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
平行线的性质：
a.两直线平行，同位角相等。
b.两直线平行，内错角相等。
c.两直线平行，同旁内角互补。
相交线与平行线
相交线与平行线1. 介绍在几何学中，相交线和平行线是两个基本的概念。
相交线指的是在平面上两条直线交叉或相交的情况，而平行线指的是在平面上永不相交的两条直线。
本文将介绍相交线和平行线的特性、判定方法以及相关定理。
2. 相交线和平行线的特性相交线和平行线有以下一些重要的特性：2.1 相交线的特性•相交线的交点称为交点。
•两条相交线上的任意一点，都分别位于另一条相交线的两侧。
•两条相交线的交点处，有且只有一条直线通过。
2.2 平行线的特性•平行线永不相交，它们在无穷远处相交。
•两条平行线上的任意一点，都位于另一条平行线的同侧。
•平行线的斜率是相等的。
•平行线的间距在任意两个平行线上的两点之间的距离是相等的。
3. 判定相交线与平行线的方法3.1 判定相交线的方法为了判定两条直线是否相交，可以使用以下方法：•方法一：计算两条直线的斜率，如果斜率不相等，则两条直线相交。
•方法二：计算两条直线的截距，如果截距不相等，则两条直线相交。
•方法三：通过解两条直线的方程组，如果方程组有唯一解，则两条直线相交。
•方法四：绘制两条直线，在图形中观察它们是否相交。
3.2 判定平行线的方法为了判定两条直线是否平行，可以使用以下方法：•方法一：计算两条直线的斜率，如果斜率相等且截距不相等，则两条直线平行。
•方法二：观察两条直线在图形上的位置关系，在平面上永远不相交的直线都是平行线。
4. 相交线与平行线的相关定理在几何学中，有一些重要的定理与相交线和平行线有关：4.1 线段等分定理如果一条直线将另一条直线上的两点分成相等的两部分，那么这条直线与这两个点所在的直线都是相交线。
4.2 平行线夹角定理如果两条平行线被一条直线截断，那么所截线与平行线所夹的内角与同位角相等。
4.3 平行线的性质•平行线的任意一对内角、外角互补。
•平行线和与它们相交的一条直线之间所夹的内角之和是180度。
5. 总结通过本文的介绍，我们了解了相交线和平行线的特性、判定方法以及相关定理。
平行线与相交线
平行线与相交线1. 引言在几何学中，平行线与相交线是基本概念，它们在直线几何中具有重要的作用和应用。
本文将详细介绍平行线与相交线的定义、性质以及相关的定理，通过例题展示其应用。
2. 平行线的定义与性质2.1 平行线的定义平行线是指在同一个平面上，永不相交的直线。
用符号"||"表示。
2.2 平行线的性质(1) 平行线具有传递性，即若直线L1与直线L2平行，直线L2与直线L3平行，那么直线L1与直线L3也平行。
(2) 平行线具有对称性，即若直线L1与直线L2平行，则直线L2与直线L1也平行。
(3) 平行线与同一条直线交叉时，其内外的对应角相等。
(4) 平行线与同一平面上的直线交叉时，形成对应角相等的等角。
3. 相交线的定义与性质3.1 相交线的定义相交线是指在同一个平面上，交叉于一点的两条直线。
3.2 相交线的性质(1) 两条相交线形成的交点是唯一的。
(2) 两条相交线的垂直平分线通过交点，并且垂直平分线相互垂直。
(3) 两条相交线形成的交点两侧的对应角相等。
(4) 两条相交线形成的内角之和等于180度。
4. 平行线与相交线的关系4.1 平行线与相交线的特殊关系(1) 平行线与相交线形成的对应角相等。
(2) 平行线与相交线形成的内角，外角之和均为180度。
(3) 平行线与一个相交线的两组对应角互为补角。
4.2 平行线截断相交线的性质(1) 平行线截断相交线，对所截断的相交线上的任意两点，其间距与平行线上对应两点的间距相等。
(2) 平行线截断相交线后，所截线段互相平分。
5. 相关定理与应用5.1 同位角定理若两条平行线被一条横截线相交，则同位角相等。
5.2 平行线的判定定理若两条直线的同位角相等，则这两条直线平行。
5.3 平行线的性质定理若一条直线与平行线相交，则生生四个对应角中，有两个角互为补角。
5.4 平行线的倾斜角定理若两条平行线被一条横截线相交，则被横截线所分段的两条平行线倾斜角相等。
平行线与相交线的性质
平行线与相交线的性质平行线和相交线是几何学中基本的概念，它们在解决几何问题时起到重要的作用。
本文将探讨平行线和相交线的性质，并讨论它们在几何学中的运用。
一、平行线的性质1. 平行线定义平行线是在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
可以用符号∥表示两条平行线。
2. 平行线的判定平行线可以通过以下方法进行判定：- 同位角相等定理：当两条直线被一条横切线相交时，同位角相等的话，则这两条直线平行。
- 内错角相等定理：当两条直线被一条横切线相交时，内错角相等的话，则这两条直线平行。
- 平行线的性质：如果两条直线分别与一条第三条直线平行，则这两条直线也平行。
3. 平行线的运用平行线的性质在几何学中有广泛的应用，例如：- 平行线的性质可以用来证明两个三角形是否相似。
- 平行线的性质可以用来解决平行四边形的性质及其应用问题。
二、相交线的性质1. 相交线定义相交线是指在同一个平面内交叉的两条直线。
相交线在几何学中起到了连接不同对象的作用。
2. 垂直相交线的性质垂直相交线是指两条直线在交点处相互垂直的情况。
垂直相交线的性质包括：- 垂直相交线上的同位角相等；- 垂直相交线上的内错角互补（相加为180度）；- 垂直相交线上的对顶角互补。
3. 交错相交线的性质交错相交线是指两条直线在交点处形成交错的情况。
交错相交线的性质包括：- 交错相交线上的内错角互补；- 交错相交线上的同位角互补。
4. 平行线与相交线的关系对于一组平行线和一组相交线，它们之间存在以下关系：- 平行线与相交线之间形成的同位角互补；- 平行线与相交线之间形成的内错角互补。
三、平行线与相交线的应用举例1. 平行线的应用比如，在城市规划中，道路平行铺设可以提高交通效率；在建筑设计中，平行线的使用可以增强空间的美感等。
2. 相交线的应用比如，在地图绘制中，相交线可用于显示街道的交汇处；在建筑设计中，相交线的应用可以创造出丰富的立体感等。
结语：通过对平行线和相交线的性质的讨论，我们可以更好地理解它们在几何学中的应用。
相交线和平行线知识点
平面内，点与直线之间的位置关系分为两种：①点在线上②点在线外同一平面内，两条或多条不重合的直线之间的位置关系只有两种：①相交②平行一、相交线1、两条直线相交，有且只有一个交点。
(反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。
)两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念：邻补角：两角共一边，另一边互为反向延长线。
邻补角互补。
要注意区分互为邻补角与互为补角的异同。
对顶角：两角共顶点，一角两边分别为另一角两边的反向延长线。
对顶角相等。
注：①、同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等;等角的对顶角相等。
反过来亦成立。
②、表述邻补角、对顶角时，要注意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。
例如：判断对错：因为∠ABC +∠DBC = 180°，所以∠DBC是邻补角。
相等的两个角互为对顶角。
2、垂直是两直线相交的特殊情况。
注意：两直线垂直，是互相垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a 。
垂足：两条互相垂直的直线的交点叫垂足。
垂直时，一定要用直角符号表示出来。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
(注：这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外)3、点到直线的距离。
垂线段：过线外一点，作已知线的垂线，这点到垂足之间的线段叫垂线段。
垂线与垂线段：垂线是一条直线，而垂线段是一条线段，是垂线的一部分。
垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
(或说直角三角形中，斜边大于直角边。
)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫这点到直线的距离。
注：距离指的是垂线段的长度，而不是这条垂线段的本身。
所以，如果在判断时，若没有“长度”两字，则是错误的。
4、同位角、内错角、同旁内角三线六面八角：平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角，其中有：4对同位角，2对内错角和2对同旁内角。
注意：要熟练地认识并找出这三种角：①根据三种角的概念来区分②借助模型来区分，即：同位角——F型，内错角——Z型，同旁内角——U型。
第二章 相交线与平行线
第二章相交线与平行线第1节两直线的位置关系∙知识点聚焦1.相交线与平行线（1）相交线：在同一平面内如果两条直线只有一个公共点时，我们称这两条直线相交.∙（2）平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线.注：（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.（2）两条直线相交，只有一个交点.2.对顶角与邻补角（1）对顶角：两条直线相交所成的四个角中，一个角的两边与另一个角的；两边互为反向延长线，这两个角叫作对顶角，对顶角相等.注：相等的角不一定是邻补角.（2）邻补角：两条直线相交所成的四个角中，两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，这两个角叫作邻补角，邻补角互补.注：互补的角不一定是邻补角.3.余角和补角（1）余角①定义：如果两个角的和是o90，那么称这两个角“互为余角”，简称“互余”，也可以说其中一个角是另一个角的余角.②性质：同角或等角的余角相等.（2）补角180那么称这两个角“互为补角”，简称“互补”，①定义：如果两个角的和是o也可以说其中一个角是另一个角的补角.②性质：同角或等角的补角相等.4.垂线（1）定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足.（2）性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. ②连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短.简称垂线段最短.（3）点到直线的距离:直线外一点到这条到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.注：距离是指线段的长度，是一个数量；线段是图形，它们之间不能等同. （4）垂线的画法一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上. 二移：移到三角尺使已知点落在它的另一条直角边上. 三画：沿着这条直角画线.注：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.②过一点作线段的垂线，垂足可以线段上，也可以在线段的延长线上.典型例题 例1.如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共 构成哪几对邻补角？分析：⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角.12对邻补角.ABC DEF例2.如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.分析：⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴,21BOC EOC ∠=∠,21AOC FOC ∠=∠∴)(212121AOC BOC AOC BOC FOC EOC EOF ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠又∵︒=∠+∠180AOC BOC ∴︒=︒⨯=∠9018021EOF⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE.例3.（1）已知，如图，直线AB 、CD 交于点O ，且o BOC AOD 120=∠+∠，求AOC ∠的度数.（2）如图，AB 、CD 、EF 交于点O ，o AOE 25=∠，o DOF 45=∠，求AOD ∠的对顶角的度数.（3）如图，AB 、CD 交于点O ，OE 平分AOD ∠，o BOD BOC 30-∠=∠，求CO E ∠的度数.分析：（1）由对顶角相等可得o BOC AOD 60=∠=∠，从而可得o o o A O C 12060180=-=∠.CEF（2）由对顶角相等可知o DOF EOC 45=∠=∠，从而可得o o o o A O D 1102545180=--=∠.（3）o BOD COB 180=∠+∠，o BOD BOC 30-∠=∠，则o C O B 75=∠，o BOD 105=∠，o COB AOD 75=∠=∠，OE 平分AOD ∠，则o AOE 5.37=∠， o BOD AOC 105=∠=∠，则o o o AOE COA COE 5.1425.37105=+=∠+∠=∠.例 4.已知，如图所示直线AB 、CD 、EF 交于点O ，BOD APF ∠=∠2，AOC COE ∠=∠23，求COE ∠的度数.分析：方程思想，将图中的角用未知数表示，找到等量关系，设方程，一般设较小的为x .例5.如图，OE 与CD 相交与点O ，且21,90∠=∠︒=∠=∠COE DOE .（1）BOE AOE ∠∠与有什么关系？为什么？ （2）BOC AOD ∠∠与有什么关系？为什么？ 分析：（1）BOE AOE ∠∠与相等.因为21,902,901∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠且BOE AOE ，所以BOE AOE ∠=∠.（2）BOC AOD ∠∠与相等，21,1802,1801∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠且BOC AOD ,所以BOC AOD ∠=∠.例6.（1）如图，已知o ACB 90=∠，AB CD ⊥，垂足为D ，则点A 到直线CB 的距离为线段 的长；线段DB 的长为点 到直线 的距离.AE CB OD12（2）如图，在直角三角形ABC 中，o C 90=∠，c AB =，b AC =，a BC =，则AB BC AC BC AB AB AC -++-+-= .分析：（1）垂线的性质.（2）垂线段最短+两点间线段最短.例7.探索规律(1)2条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角? (2)3条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角? (3)4条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角?(4)n 条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角?分析：两条直线相交时可出现两对不同的对顶角，故找对顶角的对数其实质就是找有多少对不同的直线相交.课堂练习1.下列说法正确的是（ ）A.同一平面内没有公共点的两条线段平行B.两条不相交的直线是平行线C.同一平面内没有公共点的两条直线平行D.同一平面没有公共点的两条射线平行2.下面四个图形中,∠1与∠2是对顶角的图形有( )A.0B.1C.2D.33.如图所示，∠1的邻补角是( )A ．BOC ∠B ．BOE ∠和AOF ∠C ．AOF ∠D ．BOE ∠和AOC ∠4.下列各图中,∠1与∠2互为余角的是( )A. B ．C ．D ．5.如图,直线1l 与2l 相交于点O ,1l OM ⊥,若o 44=∠α，则=∠β等于（ ）A ．o 56B ．o 46C ．o 45D ．o 446.若直线a 与直线b 相交于点A ，则直线b 上到直线a 距离等于2cm 的点的个数是（ ）个.A ．0B ．1C ．2D ．37.如图,已知直线AB 与CD 交于点O ,ON 平分DOB ∠,若o BOC 110=∠，则AON ∠的度数为___度.8.如图所示，o ACB 90=∠，AB CD ⊥，BC DE ⊥，①钝角与锐角互补； ②α∠的余角是α∠-090； ③β∠的补角是β∠-o 180；④若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1、∠2、∠3互余.10.已知：如图,三条直线AB ,CD EF 相交于O ,且EF CD ⊥,11.已知，所示，o ACB 90=∠，cm BC 5=，cm AC 12=，12.通过画图，寻找对顶角和邻补角(不含平角)：(1)若2条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角. (2)若3条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角. (3)若4条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角.(4)通过(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n 条直线相交于同一点，则可形成 对对顶角， 对邻补角.13.如图，AB ,CD ,EF 相交于点O ，如果o AOC 65=∠，o DOF 50=∠.（1）求BOE ∠的度数；（2）计算AOF ∠的度数，发现射线OA 有什么特殊性吗？14.如图，AOB 是一条直线，o EOC BOD AOD 90=∠==∠.1:3:=∠∠AOE BOD , (1)求COD ∠的度数. (2)图中有哪几对角互为余角? (3)图中有哪几对角互为补角?15.将一张长方形纸片按图中的方式折叠,BC ,BD 为折痕,求CBD ∠的大小.16.已知:如图,直线AB ,CD 相交于点O ,OE 平分BOD ∠,OF 平分COB ∠,1:4:=∠∠DOE AOD .求AOF ∠的度数.17.如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.18.如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ．CDBAEO19.已知：直线AB 与直线CD 相交于点O ,o BOD 45=∠.(1)如图1，若AB EO ⊥，求DOE ∠的度数； (2)如图2，若FO 平分AOC ∠，求DOF ∠的度数.20.如图所示，已知直线AB 、CD 交于点0，x ＝1，1-=y 是方程34-=+y ax 的解，也是方程a ay bx 21+=-的解，且a b AOD AOC ::=∠∠，AB EO ⊥. (1)求EOC ∠的度数.(2)若射线OM 从OC 出发，绕点O 以s o /1的速度顺时针转动，射线ON 从OD 出发，绕点O 以s o /2的速度逆时针第一次转动到射线OE 停止，当ON 停止时，OM 也随之停止.在转动过程中，设运动时间为t ，当t 为何值时，ON OM ⊥. (3)在(2)的条件下，当ON 运动到EOC ∠内部时，下列结论：①BON EOM ∠-∠2不变；②BON EOM ∠+∠2不变，其中只有一个是正确的，请选择并证明.第2节 探索直线平行的条件∙知识点聚焦1.同位角具有1∠和5∠这样位置关系的角称为同位角， 图中的同位角还有2∠和6∠，3∠和7∠，4∠和8∠ 2.内错角具有3∠和5∠这样位置关系的角称为内错角， 图中的内错角还有4∠和6∠ 3.同旁内角具有4∠和5∠这样位置关系的角称为同旁内角，图中的同旁内角还有3∠和6∠ 注：（1）同位角、内错角、同旁内角是成对出现的，两直线被第三条直线所截形成的8个角中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.（2）同位角、内错角、同旁内角各自的位置关系：同位角是“同旁同侧”，内错角是“内部异侧”，同旁内角“内部同侧” 4.两条直线平行条件（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称为：同位角相等.两直线平行.（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简称：内错角相等.两直线平行.（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简称：同旁内角互补.两直线平行. （4）平行于同一条直线的两条直线平行.（5）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 5.平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行41 2 3 5 876ＤＣＢEＡF例1:如图所示：⑴图中∠1与∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？⑵图中∠1与哪个角是同位角？它们是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ ⑶∠3与∠C 是什么位置关系的角？它们是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？分析：⑴∠1与∠2是直线AB 、DE 被直线EF 所截形成的；⑵∠1与∠B 是同位角，它们是直线EF 、BC 被直线AB 所截形成的； ⑶∠3与∠C 是同旁内角，它们是直线AC 、DE 被直线BC 所截形成的.例2: 如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：分析：（1）∠1和∠2：是AB 、EF 被直线CD 所截而得到的，一组同位角（2）∠1和∠3：是AB 、CD 被直线CD 所截而得到的，一对内错角（3）∠1和∠6：是AB 、CD 被直线CD 所截而得到的，一对同旁内角（4）∠2和∠6：是EF 、CD 被直线AB 所截而得到的，一对同位角 （5）∠2和∠4：是EF 、AB 被直线CD 所截而得到的，一对同旁内角 （6）∠3和∠5：是EF 、CD 被直线AB 所截而得到的，一对内错角 （7）∠3和∠4：是AB 、CD 被直线EF 所截而得到的，一对同旁内角 例3:如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由. ⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°； ⑶∠ACD ＝∠BAC ；3CFEBAD1 423 65ABCDO分析： ⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.例4: 如图，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.分析：如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31° 则12×31°＝372°＞360° 这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°课堂练习01．如图，∠EAC ＝∠ADB ＝90°.下列说法正确的是（ ） A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DAC C ．∠ACF 是α的余角 D ．α与∠ACF 互补02．如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角为（ ） A ．∠AMF B ．∠BMF C ．∠ENC D ．∠ENDl 1l 2l 3 l 4l 5l 6图⑴l 1l 2 l 3l 4l 5l 6图⑵A E BCF DABC D FEMNα第1题图 第2题图ABDC第4题图03．下列语句中正确的是（ ）A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B ．过直线上一点的直线只有一条C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D ．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ） ①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD ＞BD A ．0 B ． 2 C ．4 D ．605．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．小于4cmD ．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC ＝ .07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ . 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合）09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？12.如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ， ∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？ABCDOABCDEFG H abc第6题图第7题图第9题图1 2 3 4 5 6 7 81A C D EB A BC DEF 1 213．如图，推理填空：⑴∵∠A ＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ）⑵∵∠2＝ （已知）∴AC ∥ED （ ）⑶∵∠A ＋ ＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．14．如图，请你填上一个适当的条件 .使AD ∥BC ．15.在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点.1 23 AB C DE F第13题图 AB C D E F第14题图GFEDCB A第3节 平行线的性质∙知识点聚焦1. 平行线的性质（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简称为：两直线平行，同位角相等.（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称为：两直线平行，内错角相等.（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简称为：两直线平行，同旁内角互补.2.平行线的判定与性质的区别与联系 （1）直线平行的条件同位角相等；内错角相等；同旁内角互补；两直线平行； （2）平行线的性质两直线平行；同位角相等；内错角相等；同旁内角互补；例1 如图，平行线CD AB ,被直线AE 所截.(1) 从︒=∠1101可以知道2∠是多少度吗？为什么？ (2) 从︒=∠1101可以知道3∠是多少度吗？为什么？ (3) 从︒=∠1101可以知道4∠是多少度吗？为什么？ 分析：（1）︒=∠1102( 两直线平行，内错角相等.)(2)︒=∠1103 ( 两直线平行，同位角相等.) (4)︒=∠704 (两直线平行，同旁内角互补.)例2 如图，已知C A CF AE CD AB ∠︒=∠,39,//,//是多少度？为什么？ 分析：因为CF AE //，所以FGB A ∠=∠因为CD AB //,所以C FGB ∠=∠ 所以︒=∠39C例3 如图，AB ∥CD ，AE 、DF 分别是∠BAD 、∠CDA 的角平分线，AE 与DF 平行吗？•为什么？分析：平行． ∵AB ∥CD ，∴∠BAD=∠CDA （两直线平行，内错角相等）． ∵AE 、DF 分别是∠BAD 、∠CDA 的平分线，∴∠EAD=12∠BAD ，∠FDA=12∠CDA ．∴∠EAD=∠FDA ．∴AE ∥DF （内错角相等，两直线平行）．例4 如图，已知∠AMB=∠EBF ，∠BCN=∠BDE ，求证：∠CAF=∠AFD ．分析：∵∠AMB=∠DMN ，又∠ENF=∠AMB ，∴∠DMN=∠ENF ， ∴BD ∥CE ．∴∠BDE+∠DEC=180°．又∠BDE=∠BCN ，∴∠BCN+∠CED=180°， ∴BC ∥DE ，∴∠CAF=∠AFD ．例5 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角A 是120°，第二次拐的角B 是150°，第三次拐的角是∠C ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，问∠C 是多少度？说明你的理由.分析：∠C=150°．理由：如答图，过点B 作BE ∥AD ，则∠ABE=∠A=120°（两直线平行，内错角相等）．∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=150°-120°=30°． ∵BE ∥AD ，CF ∥AD ，∴BE ∥CF （平行于同一条直线的两直线平行）． ∴∠C+∠CBE=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠C=180°-∠CBE=180°-30°=150°．西B 30°A北东南例6 （1）如图，若AB ∥DE ，∠B=135°，∠D=145°，你能求出∠C 的度数吗？（2）在AB ∥DE 的条件下，你能得出∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系吗？并说明理由．分析：（1）如答图5-3-2，过点C 作CF ∥AB ，则∠1=180°-∠B=180°-135°=45°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CF ∥AB ，DE ∥AB ，∴CF ∥DE （平行于同一条直线的两直线平行）．∴∠2=∠180°-∠D=180°-145°=35°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠BCD=∠1+∠2=45°+35°=80°． （2）∠B+∠C+∠D=360°．理由：如答图5-3-2过点C 作CF ∥AB ，得∠B+∠1=180°（两直线平行，•同旁内角互补）．∵CF ∥AB ，DE ∥AB ，∴CF ∥DE （平行于同一条直线的两直线平行）． ∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠B+∠1+∠2+∠D=360°． 即∠B+∠BCD+∠D=360°．点拨：辅助线CF 是联系AB 与DE 的纽带．课堂练习01．如图，由A 测B 得方向是（ ） A ．南偏东30° B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（）A．对顶角相等 B.同位角相等 C．内错角相等D．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A．①② B．②③C．③④D．①④06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（）A．北偏东52° B．南偏东52° C．西偏北52°D．北偏西38°07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种 B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD 的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.150°120°DBCE湖4321ABEFC D4P231A BEFC D12．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.13．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？14．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.第4节尺规作图知识点聚焦1.“尺规作图”的含义（1）在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．尺规作图在操作过程中不允许度量．（2）基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.2.熟练掌握尺规作图题的规范语言（1）用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .3.了解尺规作图题的一般步骤（1）已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；（2）求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；（3）作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.例1. 例2.例3. 典型例题如下图，已知线段a 和b ，求作一条线段AD 使它的长度等于b a -2．解：（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上，顺次截取AB =BC =a ；（3）在线段CA 上截取CD =b ，则线段AD 就是所求作的线段．求作一个角等于已知角∠MON ．解：（1）作射线11M O ；（2）以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ； （3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ； （4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ； （5）过点D 作射线D O 1．则∠D CO 1就是所要求作的角．如下图，已知α∠及线段a ，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a ．分析 先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B =∠C =∠α，底边BC =a ，故可以先作∠B =∠α，或先作底边BC =a ．∙作法 如下图（1）∠MBN =∠α；（2）在射线BM 上截取BC =a ；（3）以C 为顶点作∠PCB =∠α，射线CP 交BN 于点A ．△ABC 就是所要求作的等腰三角形．说明 画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线OC ．解（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点；（2）分别以D 、E 为圆心，以大于21DE 的长为半径作弧，两弧交于C 点；（3）作射线OC ，则OC 为∠AOB 的平分线．如下图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A 区内，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B 点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置．分析 依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在A 区内两条路所夹角的平分线上，然后由蓝方指挥部距B 点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为3.5cm ，就可以确定出蓝方指挥部的位置．解 如下图，图中C 点就是蓝方指挥部的位置．例4. 例5.课堂练习1.如图，已知∠A 、∠B ，求作一个角，使它等于B A ∠-∠.2.如图作△ABC ，使得BC=a 、AC=b 、AB=c3.如图，画一个等腰△ABC ，使得底边BC=a ，它的高AD=h4.如图，已知∠AOB 及M 、N 两点，求作：点P ，使点P 到∠AOB 的两边距离相等，且到M 、N 的两点也距离相等。
平行线与相交线
平行线与相交线平行线与相交线是几何学中的重要概念，它们在解决几何问题和证明定理时起到了关键作用。
本文将详细介绍平行线和相交线的定义、性质和应用。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。
具体地说，如果两条直线上的任意一对相邻角的对应角相等，则这两条直线是平行线。
平行线的性质如下：1. 平行线具有传递性，即如果直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，则直线a与直线c平行。
2. 平行线有唯一的平行线。
3. 平行线与同一条直线相交的两个直角互补角相等。
4. 平行线与同一条直线相交的内角、外角之和为180度。
二、相交线的定义和性质相交线是指在同一个平面内，交于一点的两条直线。
具体地说，如果两条直线不平行，则它们必定相交于一点。
相交线的性质如下：1. 相交线的对应角相等：如果两条直线相交于一点，对应于同一边的相邻角相等。
2. 相交线的同位角互补：如果两条平行线被截搁，那么同位角互补。
3. 相交线的内错角互补：如果两条相交线所围成的四个角中，直线间的内错角相等。
4. 相交线的补角相等：同一直线上两个互补角相等。
三、平行线与相交线的应用1. 平行线与三角形：在三角形中，平行线与相交线可以用来证明三角形的性质。
例如，通过平行线和相交线的构造，可以证明三角形的内角和等于180度，以及两条平行线被截搁形成的同位角互补。
2. 平行线与多边形：在多边形的研究中，平行线和相交线也发挥着重要的作用。
通过平行线的划分，我们可以得到平行线截取的线段比以及多边形内外角和的关系。
3. 平行线与平面几何：在平面几何学中，平行线与相交线的知识也常用于证明平行四边形、梯形和平行线的特性。
四、总结平行线与相交线是几何学中的基本概念，它们对于解决几何问题和证明定理至关重要。
本文简要介绍了平行线和相交线的定义、性质和应用，希望能够对读者加深对这两个概念的理解，以及在几何学中的实际应用提供帮助。
在实际问题中，我们常常需要利用平行线和相交线的性质进行推理和解决问题，因此对于这两个概念的掌握是非常重要的。
相交线与平行线的概念
相交线与平行线的概念几何学是研究空间中点、线、面等几何图形及其性质与变化规律的学科。
其中，线是几何学中最基本的概念之一。
在几何学中，我们常常遇到两条线相交或者平行的情况。
本文将介绍相交线与平行线的概念以及它们的特点和性质。
一、相交线的概念相交线指的是在平面或者空间中相互交叉的两条线。
当两条线交于一点时，我们称其为交点。
相交线可以是直线与直线的交叉，也可以是曲线与曲线的交叉。
不论是直线与直线的相交，还是曲线与曲线的相交，我们都可以通过几何学的方法来研究它们的性质和关系。
相交线的特点：1. 相交线的交点可以是一个点，也可以是多个点。
2. 当两条相交线的交点唯一时，我们称其为公共交点。
3. 相交线的交点将平面或者空间划分为不同的区域。
二、平行线的概念平行线是指在同一个平面中永远不会相交的两条直线。
平行线之间的距离始终保持相等，它们永远保持平行的方向。
平行线的特点：1. 平行线的距离始终相等。
2. 平行线的方向始终保持平行，不会相交。
三、相交线与平行线的关系在几何学中，相交线与平行线之间存在着一些重要的关系。
1. 直线相交定理直线相交定理指的是两直线相交时，交点两侧各自对应的内角互补。
也就是说，两条直线相交时，交点两侧的角度之和为180度。
2. 平行线定理平行线定理指的是如果一条直线与另外两条直线分别相交，且两个交点的同位角相等，那么这两条直线是平行线。
3. 欧几里德平行公设欧几里德平行公设是几何学中关于平行线的一个基本公设，它指的是通过一个点可以作一条与已知直线平行的直线。
这个公设是区分平行线与非平行线的重要依据。
通过以上的介绍，我们对相交线与平行线的概念有了更加清晰的认识。
相交线是指在平面或者空间中相互交叉的两条线，而平行线是指在同一个平面中永远不会相交的两条直线。
相交线与平行线之间存在着一些重要的性质和关系，如直线相交定理、平行线定理和欧几里德平行公设等。
这些性质和关系在几何学的研究中起到了重要的作用，帮助我们理解和分析各类几何问题。
平行线与相交线
平行线与相交线在几何学中，平行线与相交线是两个重要的概念。
平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线，而相交线则是指在同一个平面上相交的两条直线。
本文将详细介绍平行线与相交线的性质和特点，并探讨它们在几何学中的应用。
一、平行线的性质1. 定义：平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线。
它们的方向是完全相同的，永远保持平行的关系。
2. 符号表示：通常用符号“||”来表示平行关系。
例如，若两条直线AB和CD平行，则可以表示为AB || CD。
3. 平行线的判定：a) 公理法：如果两条直线分别与第三条直线相交时，所成的内角和是180°，则这两条直线是平行的。
b) 等价判定法：- 如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行的。
- 如果两条直线分别垂直于同一条直线，则这两条直线是平行的。
二、相交线的性质1. 定义：相交线是指在同一个平面上相互交叉的两条直线。
相交线总是相交于一点，这个点称为交点。
2. 符号表示：通常用字母P表示交点。
例如，若直线AB与直线CD相交于点P，则可以表示为P = AB ∩ CD。
3. 相交线的性质：a) 相交线所成的相邻内角互补，即两角的和等于180°。
b) 相交线所成的对顶外角相等，即两角的度数相等。
c) 垂直相交线的特殊性质：如果两条相交线相互垂直，则其中一条线上任意一点到另一条线的垂足的线段长度是最短的。
三、平行线与相交线的应用1. 平行线的应用：a) 建筑学中的平行线应用：借助平行线的特性，建筑师能够设计出具有平衡美观感的建筑物。
b) 数学推理中的平行线应用：平行线的性质经常被用于解决几何问题，例如通过证明两条直线平行，可推导出其他性质。
2. 相交线的应用：a) 交通规划中的相交线应用：交叉路口的设计需要合理规划相交线，以确保交通安全和交通流畅。
b) 几何图形的划分应用：在几何图形中，相交线的划分可以将图形分为不同的区域，让问题更易于解决。
综上所述，平行线与相交线是几何学中重要的概念。
(完整版)相交线与平行线知识点总结
相交线与平行线第一节相交线一：相交线对顶角与邻补角二：垂线垂线段最短点到直线的距离第二节平行线及其判定一：平行线平行线平行线公理及推论二：平行线的判定同位角、内错角同旁内角平行线的判定第三节平行线的性质平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等平行线的判定及性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角平行线之间的距离（1）平行线之间的距离从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．（2）平行线间的距离处处相等第四节平移生活中的平移现象1、平移的概念在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离平移的性质②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等作图----平移变换。
相交线与平行线
相交线与平行线（一）知识点1：相交线与平行线概念相交线：在同一平面内，若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
通常用符号“∥”表示两条直线平行，记作直线AB∥CD（或直线l1∥l2）。
注：（1）、在同一平面内的两条直线的位置关系只有相交和平行两种。
（垂直是相交的特殊形式）（2）、两条线段或射线平行，指的是线段或射线所在的直线平行。
（3）、探讨两条直线位置关系的前提一点是在同一平面内。
知识点2：对顶角、互为余角和互为补角对顶角：概念：在同一平面内，两条直线相交后，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。
性质：对顶角相等。
注：（1）找对顶角需注意三点：一是同一平面内的的两条直线相交；二是具有公共的顶点；三是没有公共边。
（2）对顶角是成对出现的。
（3）同一平面内，两条直线相交后得到的四个角，其中不相邻的两个角叫做对顶角。
互为余角和互为补角：概念：如果两个角的和是直角（即90°），那么称这两个角互为余角，简称互余。
如果两个角的和是平角（即180°），那么称这两个角互为补角，简称互补。
性质：同角（即同一个角）或等角（角度相等的角）的余角相等，同角或等角的补角也相等。
注：（1）互为余角、互为补角表示的是两个角之间的数量关系，与位置无关。
（2）互为余角，互为补角指的是两个角之间的数量关系，余角和补角是一个角针对另一个角而言的。
知识点3：垂线与其性质及点到直线的距离概念：在同一平面内，两条直线相交得到四个角，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。
如直线AB与直线CD垂直，可记作AB⊥CD（或CD⊥AB）。
读作AB垂直于CD，垂足为O。
点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段长度。
垂线的性质：1、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
初中数学平行线与相交线
初中数学平行线与相交线平行线与相交线是初中数学中的重要概念，在几何学的学习中起着关键的作用。
本文将对平行线和相交线的定义、性质以及相关应用进行详细介绍。
一、平行线与相交线的定义平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线。
记作∥。
相交线是指在同一个平面上，有一个公共点的两条直线。
记作⊥。
二、平行线的性质1. 如果两条直线与第三条直线分别平行，则这两条直线也平行。
2. 如果两条直线被一条平行于它们的直线所截断，则这两条直线的截断线段互相平行。
3. 平面上的两条平行线分别与一条直线相交，则所形成的内错角、内错角相等。
三、相交线的性质1. 在同一平面上，两条互相垂直的直线称为相交线。
2. 相交线的交点称为垂足。
3. 在一个三角形内，高交于底边上的一点，这条高与底边的垂线相等。
四、平行线与相交线的应用1. 平行线在建筑设计中的应用：建筑工程中常常使用平行线来保证建筑结构的牢固和稳定。
2. 相交线在交通规划中的应用：交叉路口中的线路交叉又称为相交线，交通规划中需要合理设计相交线的交叉方式，以确保交通的流畅和安全。
五、实例分析以一道典型的应用题为例，来展示平行线与相交线的解题思路。
题目：如图，已知AB∥CD，AE⊥CD，且AC=15cm，BD=12cm，DE=9cm，求BE的长度。
解析：根据已知条件，在平行线AB和CD之间可以得到∠ADE和∠DCE为直角，因此∠ADE≌∠DCE。
由于两直角三边全等，则∆ADE≌∆DCE。
根据全等定理可知，AE=CE，由此可得AC=AE+EC=2AE。
又已知AC=15cm，因此AE=15/2=7.5cm。
根据直角三角形的性质，可以得到BE=√(EC^2+AE^2)=√(15^2+7.5^2)=√(225+56.25)=√281.25≈16.77cm。
六、总结平行线与相交线是初中数学中的重要内容，通过对平行线和相交线的定义、性质以及应用的学习，可以帮助我们更好地理解几何学中的相关知识。
相交线与平行线最全知识点
相交线与平行线最全知识点1.平行线的定义：在平面上，如果两条直线在平面内没有交点，那么它们就是平行线。
记作AB，CD。
2.平行线性质：-平行线朝向差：平行线的两个方向向量相等。
-平行线对应角相等：如果两条平行线被截取为若干对应的交线段，那么这些交线段的对应角相等。
-平行线的内错性：如果一条直线与一对平行线相交，那么对这两条平行线上的任意一点A及其在第一条直线上的任意一点B，有AB，CD。
-平行线的传递性：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
3.相交线的定义：在平面上，如果两条直线的方向向量不相等，那么它们就是相交线。
4.相交线性质：-相交线对应角相等：如果两条相交线被截取为若干对应的交线段，那么这些交线段的对应角相等。
-相交线的交点：两条相交线的交点是它们的唯一交点。
-相交线的截距恒等：如果两条相交线与同一直线相交，那么它们在这条直线上的截距相等。
5.平行线与垂直线：-平行线与垂直线的性质：平行线与同一直线的垂线垂直；平行线的两个垂线方向向量相等。
-平行线的判定：如果两条直线的垂直方向向量相等，那么它们是平行线。
-直线倾斜角度和斜率：平行线的倾斜角度相等，斜率（如果存在）相等；垂直线的倾斜角度之和为90度，其中一个倾斜角度为负倾斜角度的倒数。
6.平行线的判定：-两条直线判定法：如果两条直线的倾斜角度相等，那么它们是平行线。
-点斜式判定法：如果一条直线的斜率k和一点在直线上，那么直线的方程为y-y1=k(x-x1)；如果两条直线的斜率相等且截距不相等，那么它们是平行线。
- 截距式判定法：如果一条直线的方程为y = kx + b，那么它与直线y = kx + b1平行当且仅当b = b17.平行线的应用：-常见图形的平行线特性：矩形的对边平行，对角线相等；平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分。
-平行线在解题中的应用：根据平行线的性质，可以解决一些几何问题，如求证两条线段平行、证明一个四边形是平行四边形等。
(完整)相交线与平行线
第9讲相交线与平行线同学们对两条直线相交、平行一定不陌生吧！纵横交错的公路，棋盘中的横线和竖线，操场上的双杠，教室中的课桌面、黑板面相邻的两条边与相对的两条边……都给我们以相交线和平行线的形象．专题简介暑期我们学习了几何图形-—线段、直线、射线和角．本讲将进一步学习平面内不重合的两条直线间的位置关系：相交和平行．对于相交,我们要研究两条直线相交所成的角的位置关系和数量关系;对于平行，我们要借助于一条与两条平行直线相交的直线，通过研究相交所得角的位置和数量关系,进而得出平行线的性质和判定．同时,我们还会学习通过简单的逻辑推理证明数学结论的方法，培养分析问题的能力,树立言之有据的思考习惯．模块分类1．相交线相关概念．2．平行线性质和判定．3．平行线四大模型．学习目标1．掌握与相交线和平行线的相关概念和性质．2．掌握平行线的判定和性质．3．掌握平行线四大模型．考点汇总考试频率对应例题对应练习题相交线相关概念☆☆☆例1、2练1、2平行线性质和判定☆☆☆☆☆例3、4练3、4平行线四大模型☆☆☆☆例5～8练5模块一相交线相关概念题型一邻补角、对顶角、垂线段知识点睛相交线任意两条相交的直线，将圆周角一分为四，如图,∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线,(即∠1＋∠2＝ )，具有这种关系的两个角，互为．如图，∠1和∠3有一个公共顶点O,并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为．如图，因为∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角的定义），所以∠1＝∠3（同角的补角相等）．由此我们得到对顶角的性质:对顶角相等．垂直如图，若两条直线AB、CD所成的夹角α＝90°，我们说AB、CD互相．其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做．如图,AB⊥CD，垂足为O．如果两条直线相交所成的四个角中任意一个角等于90°，那么这两条直线垂直．如果AB和CD交于点O，∠AOC＝90°，那么AB⊥CD．如图，连接直线l外一点P与直线l上格点O，A1，A2，A3，……，其中PO⊥l（称PO为P到直线l的垂线段），这些连成的线段中，不难发现, 最短．于是我们得到：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．基础夯实【例1】（1)如果∠AOB＋∠DOE＝180°，∠AOB和∠BOC互为邻补角，那么∠DOE与∠BOC的关系是．（2）如图,三条直线a、b、c相交于一点,则∠1＋∠2＋∠3＝．【练1】（1）下列语句，正确的有 (只填序号)．□，1有公共顶点且相等的两个角是对顶角；错误!有公共顶点且互补的两个角是邻补角；错误!对顶角的角平分线在同一直线上;错误!对顶角相等但不一定互补；错误!对顶角有公共的邻补角．（2）如图,EF、CD交于点O，OA⊥OB,且OD平分∠AOF，∠BOE＝2∠AOE，求∠EOD的度数．题型二同位角、内错角、同旁内角知识点睛同位角如图，直线AB，CD和EF相交（也可以说两条线AB、CD被第三条直线EF所截），构成8个角．现在我们关注那些没有公共顶点的两个角的关系．∠1和∠5这两个角分别在直线AB、CD的同一方（上方），并且都在直线EF的同侧(右侧），具有这种位置关系的一对角叫做同位角．思考：图中还有哪些角是构成同位角？内错角∠3和∠5这两个角都在直线AB、CD之间，并且分别在直线EF两侧（∠3在EF左侧，∠5在EF右侧)，具有这种位置关系的一对角叫做内错角．思考：图中还有哪些角是构成内错角？同旁内角∠3和∠6也都在直线AB、CD之间，但它们都在直线EF的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．思考：图中还有哪些角是构成同旁内角？同位角:“F字型”内错角：“Z字型”同旁内角：“C字型”基础夯实【例2】(1）如图，∠DCE与∠B是直线AB、被直线所截而成的角；∠ACB与∠A是直线AB、被直线所截而成的角；∠ACE和∠A是直线AB、被直线所截而成的角．（2）如图，直线a、b、c两两相交，形成12个角中,完成填空：错误!∠1与∠2是，错误!∠3与∠5是，○3∠2与∠5是，错误!∠7与∠12是，错误!∠6与∠7是 ,错误!∠8与∠2是，强化挑战【练2】（1）（“希望杯”邀请赛)如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中同旁内角共有________ ．（2）在如下所示的图中，一共有对内错角．(3）用数码标记出下图与∠1是同位角的所有角．模块二平行线的性质与判定知识点睛同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线．如图,过点B作直线a的平行线，能画几条？再过点C画直线a的平行线，和前面过点B画出的直线平行吗？通过观察和画图，我们可以发现一个基本事实(平行公理)：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．由平行公理，进一步可以得到如下结论:如图两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．也就是说:如果b∥a,c∥a，那么b∥c．平行线三大判定：根据平行线的定义,如果平面内两条直线不相交,就可以判断两条直线平行．但是,由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义判断两条直线是否平行．判定方法1：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等，那么两条直线平行．示意图判定同位角相等，两直线平行若∠1＝∠2，则AB∥CD．判定方法2：两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等，那么两条直线平行．示意图判定内错角相等，两直线平行若∠1＝∠4,则AB∥CD．判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,那么两条直线平行．示意图判定同旁内角互补，两直线平行若∠1＋∠3＝180°,则AB∥CD．平行线三大性质:将平行线三大判定的条件和结论互换,就可以得到平行线的三大性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截,同位角相等．简单说成:两直线平行，同位角相等．性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．性质1:两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行,同旁内角互补．基础夯实【例3】如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2,∠BAC＝70°,将求∠AGD的过程补充完整．解：∵EF∥AD（）∴∠2＝（）又∠1＝∠2( ）∴∠1＝∠3( )∴AB∥（）∴∠BAC＋＝180°（）又∠BAC＝70°( )∴∠AGD＝（）【练3】如图，∠A＝60°，∠ABD＝∠BDC，求∠ADC的度数是多少？强化挑战【例4】如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，求证：CE∥DF．【练4】已知∠1＝∠2，∠5＝∠6，AD∥BC，求证:∠3＝∠4．模块三平行线四大模型知识点睛铅笔模型结论若AE∥CF,则∠P＋∠E＋∠F＝360°猪蹄模型结论若AE∥CF，则∠P＝∠E＋∠F臭脚模型结论若AE∥CF，则∠P＝∠E－∠F骨折模型结论若AE∥CF，则∠P＝∠F－∠E总结：以上结论不要“机械地”记忆,要在掌握证明方法基础上,带着理解去记忆．不难发现，过拐点P点作平行线再导角，是证明这类结论的通法，这些模型是平行线问题中的常见模型，同学们需熟练掌握证明过程．强化挑战【例5】如图，已知AB∥CD，∠EAF＝14∠EAB,∠ECF＝14∠ECD,求证:∠AFC＝34∠AEC．【练5】已知，AD∥BC，BE平分∠ABC,DE平分∠ADC．求证：∠E＝(12∠A＋∠C）．巅峰突破【例6】如图，∠DAB＋∠ABC＋∠BCE＝360°,（1）说明AD和CE的位置关系,并说明理由．（2）作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠F的余角等于2∠B的补角，求∠BAH的度数．【例7】（武昌区期末考试)如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD,写出∠EDI与∠BHD的数量关系，并说明理由．【例8】（2013-2014洪山区期中统考）如左图,D为△ABC延长线上的一点,CE∥AB．（1）求证：∠ACD＝∠A＋∠B；（2）若右图,过A点作BC的平行线交CE于点H,CF平分∠ECD、FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数;（3)如图，AH∥BD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R,QN平分∠AQG交AH于N,QM∥GR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，说明理由．第9讲课后作业【习1】证明：过点O任意作7条直线,则在所有以O为顶点的角中，必有一个小于26°．【习2】下图中一共有对同旁内角？【习3】已知，如图，BCE、AFE是直线,AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4,求证：AD∥BE．证明:∵AB∥CD（已知)∴∠4＝∠（ )∵∠3＝∠4（已知)∴∠3＝∠ (等量代换）∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＋∠CAF＝∠2＋∠CAF（等式的性质）即∠BAF＝∠∴∠3＝∠（等量代换）∴AD∥BE（ )【习4】如图，AB∥CD，AE平分为∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E，求证:AD∥BC．【习5】如图，已知AB∥EF，求∠1－∠2＋∠3＋∠4＝．【习6】已知：AB∥CD，∠FBC＝13∠ABF,∠FDC＝13∠FDE，求∠C、∠F的关系．【习7】已知:AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系．【习8】已知：AB∥GF，∠B＝50°,∠BCD＝120°，∠E＝30°，∠F＝100°，求证：BC∥DE．【习9】如图,四边形ABCD中，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，且AE∥CF．(1）求证：∠B＝∠D；（2）延长AE、BC交于G，若∠ADC＝90°,∠G＝55°,求∠DAB的度数．【习10】如图，已知∠FEA＝∠EAF，EA平分∠CAF．（1）求证：EF∥AC；（2）若CA平分∠DAB,∠BAF与∠BAD互补,∠FEA－∠DAC＝50°，求∠F．【习11】已知，如图1，∠1＋∠2＝180°，∠AEF＝∠HLN．（1）判断图1中平行的直线，并给予证明；（2）如图2，∠PMQ＝2∠QMB,∠PNQ＝2∠QND，请判断∠P与∠Q的数量关系，并证明．图1 图2【习12】如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED,CE是∠ACB的平分线．求证：∠EDF＝∠BDF．【习13】如图，已知:DE∥AC,CD平分∠ACB,EF平分∠DEC，∠BDG与∠ADC互余．求证：DG∥EF．。
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(第 9 题图)
(第 10 题图)
10．如图，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC∶∠BOC＝1∶5，则∠BOD的度数为( A．105° B．112.5° C．135° D．157.5°
)
第五章 相交线与平行线 5．1 相交线 5．1.2 垂线
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P是边BC上的动点， 则AP长不可能是( ) A．2.5 B．3 C．4 D．5 12．在直线AB上任取一点 O， 过点 O 作射线 OC， OD ，使 OC⊥OD，当∠AOC＝30°时 ， ∠BOD的 度数是( ) A．60° B．120° C．60°或90° D．60°或120° 13．如图所示，EO⊥CD，垂足为O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为____．
【综合运用】 17．(12分)(1)三条直线相交，最少有__1__个交点，最多有__3__个交点，分别画出图形，并数出图 形中的对顶角和邻补角的对数； 解：图略，对顶角有6对，邻补角有12对 (2)四条直线相交，最少有__1__个交点，最多有__6__个交点，分别画出图形，并数出图形中的对顶 角和邻补角的对数； 解：图略，对顶角有12对，邻补角有24对
3．(4分)过线段外一点，画这条线段的垂线，垂足在( ) A．这条直线上 B．这条线段的端点 C．这条线段的延长线上 D．以上都有可能 4．(4分)在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时 ，有一部分同学画出下列 四种图形，请你数一数，错误的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第五章 相交线与平行线 5．1 相交线 5．1.1 相交线
4．(4分)如图，直线a与直线c相交于点O，∠1的度数是( A．60° B．50° C．40° D．30° )
5．(4分)如图，直线AB，CD相交于点O，则∠AOC的度数是( A．60° B．40° C．30° D．20°
)
6．(4分)如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分 ∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠BOM等于( ) A．38° B．104° C．142° D．144° 7 ．(4分)如图是一把剪刀的示意图 ，其中∠1＝40°，则∠2 ＝____ ，其理 由是__ 8．(4分)在括号内填写依据： 如图，因为直线a，b相交于点O. 所以∠1＋∠3＝180°(__ __)， ∠1＝∠2(__ __)．
7．(4分)如图，欲在AB某处D点修建一水泵站，将水引到村庄 C处，可在图中画出 D点，使C，D间 铺设的管道最短，这种设计的依据是( ) A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
(第 7 题图) (第 8 题图)
8．(6分)如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，AB＝6 cm，AD＝5 cm，则点B到AC的 距离为____，点A到BC的距离为____． 9．如图，已知QA⊥l，QB⊥l，所以QA与QB重合，其理由是( A．过两点只有一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．垂线段最短 D．过一点只能作一条垂线 )
(第 13 题图)
(第 14 题图)
14．如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝2 cm，BC＝1.5 cm，则BD的取值范围是__ 1.5_cm＜BD＜2_cm__． 15．(8分)如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，OM⊥ON，∠BOC＝26°，求∠AOD的度数． 解：解：因为OM平分∠AOB，ON平分∠COD， 所以∠AOB＝2∠AOM＝2∠BOM，∠COD＝2∠CON＝2∠DON.因为OM⊥ON， 所以∠MON＝90°，所以∠CON＋∠BOC＋∠BOM＝90°. 因为∠BOC＝26°，所以∠CON＋∠BOM＝90°－26°＝64°， 所以∠DON＋∠AOM＝64°. 所以∠AOD＝∠DON＋∠AOM＋∠MON＝64°＋90°＝154°
n（n－1） 个交点， (3)依次类推，n条直线相交，最少有__1__个交点，最多有____ _ 2 对顶角有__n(n－1)__对，邻补角有__2n(n－1)__对．
第五章 相交线与平行线 5．1 相交线 5．1.2 垂线
1． 当两条直线相交所成的四个角中， 有一个角是__直角__时， 就说这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的__垂线__， 它们的交点叫做__垂足__， 如图所示， CD⊥AB， 则点 D 是__垂足__，∠ADC＝∠CDB＝__90° __． 2．在同一平面内，过一点有__且只有__一条直线与已知直线垂直． 3． 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， __垂线段最短__， 简称__垂线段最短__． 4．直线外一点到这条直线的垂线段的__长度__，叫做点到直线的距离．
16 ． (10 分 ) 如图所示，已知直线 AB ， CD 相交于点 O ， OE 平分 ∠BOD ，若 ∠3∶∠2 ＝ 8∶1 ，求 ∠AOC的度数． 解：设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝8x°.由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得10x＝180，解得x＝18， 所以∠1＝∠2＝18°.所以∠AOC＝∠1＋∠2＝36°
第五章 相交线与平行线 5．1 相交线 5．1.3 同位角、内错角、同旁内角
1 ． 同位角的特征是在两条被截直线的 __ 同一方 __ ， 并且在截线的 __ 同侧 __ ， 如图中 __∠1__与__∠2__就是同位角． 2．内错角的特征是在两条被截直线__之间__，并且在截线的__两侧__，如图中__∠3__ 和__∠2__就是内错角． 3 ． 同旁内角的特征是在两条被截直线 __ 之间 __ ， 并且在截线的 __ 同一旁 __ ， 如图中 __∠4__与__∠2__就是同旁内角．
1．(4分)如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOC＋∠BOD＝180°，则∠AOC＝____，AB与CD的位置关系是
(第 1 题图)
(第 2 题图)
2．(4分)如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若∠α＝44°，则∠β等于( A．56° B．46° C．45° D．44°
)
第五章 相交线与平行线 5．1 相交线 5．1.2 垂线
第五章 相交线与平行线 5．1 相交线 5．1.1 相交线
9．(8分)如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分 ∠AOD，∠BOC＝80°，求∠BOD和∠AOE的度数．
解：因为∠BOD 与∠BOC 是邻补角，∠BOC＝80°， 所以∠BOD＝180°－∠BOC＝100°.又因为∠AOD 与∠BOC 是对顶角， 1 所以∠AOD＝∠BOC＝80°.又因为 OE 平分∠AOD，所以∠AOE＝ ∠BOC＝40° 2
第五章 相交线与平行线 5．1 相交线 5．1.2 垂线
16．(10分)如图所示，草原上有两条交叉的河流AB，CD，有一个牧民在点P处 放牧，且OP⊥AB于点O，理论上若他欲使羊群喝水的路程最短，他应做何选择？ 请你画出图形说明． 解：过点P作PE⊥CD，垂足为E， 由垂线段最短可知， PE＜PO，所以沿着PE的方向到CD 河流喝水的路程最短 17．(12分)如图所示，直线AB，CD相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF平分 ∠AOE. (1)判断OF与OD的位置关系； (2)若∠AOC∶∠AOD＝1∶5，求∠EOF的度数．
1．(4分)(2014· 上海)如图，已知直线a，b被直线c所截，那么 ∠1的同位角是( ) A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
2．(4分)如图，∠1的内错角是( A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
)
第五章 相交线与平行线 5．1 相交线 5．1.3 同位角、内错角、同旁内角
3．(4分)如图，直线AB，CD被直线EF所截，则∠3的同旁内角是( ) A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5 4．(4分)如图，以下说法错误的是( ) A．∠1，∠2是内错角 B．∠2，∠3是同位角 C．∠1，∠3是内错角 D．∠2，∠4是同旁内角 (第 3 题图) 5．(4分)如图，∠1和∠2是同位角的是( ) A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
5．(10分)如图，OA⊥CB，OD⊥OE，∠DOC＝30°，求∠AOD及∠BOE的度数． 解：∵OD⊥OE，OA⊥OC，∴∠AOC＝∠DOE＝90°， ∠AOD＝∠AOC＋∠DOC＝90°＋30°＝120°， 又∵∠COD＋∠DOE＋∠BOE＝180°， ∴∠BOE＝180°－90°－30°＝60°
1 1 解： 因为 OF 平分∠AOE， 所以∠AOF＝∠EOF＝ ∠AOE.又因为∠DOE＝∠BOD＝ BOE， 2 2 1 1 所 以 ∠DOE ＋ ∠EOF ＝ (∠BOE ＋ ∠AOE) ＝ ×180 ° ＝ 90 ° ， 即 ∠FOD ＝ 90 ° ， 所 以 2 2 OF⊥OD (2)设∠AOC＝x°，因为∠AOC∶∠AOD＝1∶5，所以∠AOD＝5x°.因为∠AOC ＋∠AOD＝ 180 °， 所以 x ＋ 5x＝ 180 ， x＝ 30. 所以∠DOE ＝∠BOD＝∠AOC＝ 30° . 又因为 ∠FOD＝90°，所以∠EOF＝90°－30° ＝60°
15．(10分)如图，一长方形纸片ABCD沿折痕EF对折，得到点D的对应点D′，点C的对应点C′，若∠BFE＝50°，试 求∠BFC′的度数． 解：∵∠BFE＋∠CFE＝180°，∠BFE＝50°，所以∠CFE＝130°， 又∠CFE＝∠EFC′，所以∠BFC′＝130°－50°＝80°
第五章 相交线与平行线 5．1 相交线 5．1.1 相交线
第五章 相交线与平行线 5．1 相交线 5．1.1 相交线
1． 两个角有一条公共边， 它们的另一条边互为__反向延长线__， 具有这种关系的两个角， 互为邻补角． 2． 两个角有一个公共的__顶点__， 且一个角的两边分别是另一个角的两边的__反向延长 线__，具有这种位置关系的角，互为对顶角． 3．对顶角__相等__．
10．如图，三条直线相交于点O， 则∠1＋∠2＋∠3等于( ) A．90° B．120° C．180° D．360°