美妙神奇的同构式

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「高中数学」速解函数篇——同构式在高考题型中的巧用

「高中数学」速解函数篇——同构式在高考题型中的巧用
同构式技巧，本质是方程恒等变换，整体思想和构造函数的综合。

全国各地的老师和学生似乎都很迷这个“神招”，同构式并不神秘，和很多之前的技巧大招一样，需要细化，透彻理解，前提是，你得有一个同构式的“说明书”。

首先回答三个问题：
助学团的学长学姐，根据近几年高中考试数学不同题型，分别介绍了快速解决的办法。

熟练应用，想要做到秒杀，绝对不是问题。

如果手机看起来不方便，可以领取一份电子版，打印学习。

具体方式在我主页微头条。

数学同构的几种方式

数学同构的几种方式
1、地位同等要同构，主要针对双变量：方程组上下同构，合二为一泰山移
f(x1)-f(x2)/x1-x2>k(x1<x2) 。

f(x1)-f(x2)< kx1-kx2 。

f(x1)-kx1< f(x2)-kxz 。

y=f(x)-kx为增函数。

f(x1)-f(x2)/x1-x2<(k/x1x2(x1<x2)。

f(x1)-f(x2)>k(x1-x2)/x1x2=k/x2-k/x1。

f(x1)+k/x1>f(x2)+k/x2→y=f(x)+k/x为减函数。

含有地位同等的两个变量x1，x2，或p，q等不等式进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形，如果整理(即同构)后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性(需要预先设定两个变量的大小)。

2、指对跨阶想同构，同左同右取对数。

同构基本模式
积型：aea≤blnb三种网构方式。

同右：elnea≤bInb→f(x)=xInx。

同左:：aea≤(lnb)elnb→f(x)=xex。

取对：a+Ina≤Inb+In(lnb)→f(x)=x+Inx。

3、同构放缩需有方，切放同构一起上，这个是对同构思想方法的一个灵活运用。

【放缩也是一种能力】，利用切线放缩，往往需要局部同构。

【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可】。

掌握常见放缩：(注意取等号的条件，以及常见变形)。

奇思妙想,巧用同构式(含解析)

利用同构特点解决问题
一、基础知识：
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程
和呈现同构特征，则可视为方程的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。

可比较大小或解不等式
（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点。

特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线
的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于
与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
二、典型例题：
例1：（2015天津十二校联考）设
，满足，则（
）A .B .C .
D .思路：本题研究对象并非，而是，进而可变形为
，观察上下式子左边结构相同，进而可将相同的结构视
为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性质求解
解：
设，可得为奇函数，
由题意可得：
第1页,共9页初高中数学学习资料的店
初高中数学学习资料的店。

导数背景下“同构式”的三“生”三“释”到“十里桃花”

导数背景下“同构式”的三“生”三“释”到“十里桃花”一：同构现象同构现象，是视觉美学中的一个概念，就是指某个共同的元素为多个元素共用的现象，是奇妙的错觉现象。

构成的新图形并不是原图形的简单相加，而是一种超越或突变，形成强烈的视觉冲击力，给予观者丰富的心理感受。

二：数学中的同构在抽象代数中，同构是指一个保持结构的双射。

它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。

数学中，同构式，是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式。

如：等式01301322=--=--b b ,b a ，则式子______a b b a =+..........！三：导数背景下的同构问题一生：同构式到底是什么？一释：同构式源于指对跨阶问题，x e x +与x ln x +属于跨阶函数，而x ln e x+属于跳阶函数，所以指对跳阶问题，在中学阶段没有解决它的巧妙方法，只能构造隐零点代换来消化，通过指对跨阶函数进行同构，即()()⎪⎩⎪⎨⎧--+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧--+=11x ln x x ln x x ln x x ln h x e ex xe x h x x x ，于是发现将一个指数、直线、对数三阶问题通过跨阶函数同构，变成了两阶问题，所以通过构造跨阶函数同构式，大大简化了分析和计算。

二生：同构式能解决什么问题？二释：同构式是属于跨阶的复合函数，所以复合函数能解决的一切问题，同构式能解决，在一些求参数的取值范围、零点个数、证明不等式中，利用复合函数的单调性，复合函数的零点个数以及复合函数的最值保值性来快速解题。

三生：同构式怎么构造？如何选取函数？三释：同构式需要一个构造一个母函数即外函数，用()x h 表示，这个母函数需要满足： ⑴指对跨阶；⑵单调性和最值易求；通常如：()⎪⎩⎪⎨⎧--+=1x e e x xe x h x x x基本上搞定这三个母函数，就看内函数，即子函数的构造了。

四：典型分析：类型一：求值问题1、已知实数,x ,x 21满足(),e x ln x ,e ex x 5223121=-=则_________x x =•21反馈练习：已知实数,αβ满足34,(ln 1)e e e ααββ=-=，其中e 为自然对数的底数，则________αβ=类型二：求参数的取值范围1、设实数0λ>，若对任意的2(,)x e ∈+∞，关于x 的不等式ln 0x e x λλ-≥恒成立，则实数λ的取值范围是________2、函数kx k x x f 2log )(2-=，若0)(≥x f 对)1(∞+∈∀，x 恒成立，则k 的最大值是．变式：⑴ 已知不等式,x ln kx e x +≥-1对于任意的()+∞∈,x 0恒成立，则k 的最大值为________⑵ 已知关于x 的不等式13≥--x ln a x xe x对任意()+∞∈,x 1恒成立，则实数a 的取值范围是（） A.()e ,-∞-1 B.(]3-∞-， C.(]2-∞-， D.(]22e -∞-，3、已知函数()().e m x x f m x --=⑴求()x f 的单调区间与极值； ⑵若a x e a x lnx 2<对()+∞∈,x 1恒成立，求实数a 的取值范围。

同构式

同构式下的函数体系秒杀秘籍：关于同构式下的“亲戚函数”陈永清老师对同构式的评价及总结：同构解题，观察第一同构新天地，单调大舞台.明确提示要同构，五脏俱全立同构，无中生有再同构，放缩有方可同构！秒1中我们介绍了同构“母函数”以及同构的一些技巧，在这里我们继续欣赏同构对称之美，领略同构波澜壮阔之势.同构式下我们分为两条主线1.顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数.2.同位同构：①加减同构，在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构；②局部同构即在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可；③差一同构，指对跨阶，指数幂和对数真数差1往往可用同构秒杀之.关于()x e x x f ⋅=的亲戚函数如图1：根据求导后可知：()x e x x f ⋅=在区间()↓-∞-1,，在区间()↑+∞-,1，()()ef x f 11min -=-=；图1图2图3图41.平移和拉伸得到的同构函数如图2：()()()1111-=⋅-⋅=⋅--x ef e x e e x x x ，即将()x f 向右平移1个单位，再将纵坐标扩大e 倍，故可得()x e x y ⋅-=1在区间()↓∞-0,，在区间()↑+∞,0，当0=x 时，1min -=y ；如图3：()()()222222-=⋅-⋅=⋅--x f e e x e e x x x ，即将()x f 向右平移2个单位，再将纵坐标扩大2e 倍，故可得()x e x y ⋅-=2在区间()↓∞-1,，在区间()↑+∞,1，当1=x 时，e y -=min ；如图4：()()()111111+=⋅+⋅=⋅+-+-x f e e x e e x x x ，即将()x f 向左平移1个单位，再将纵坐标缩小e1倍，故可得()x e x y ⋅+=1在区间()↓-∞-2,，在区间()↑+∞-,2，当2-=x 时，2min 1ey -=；2.乘除导致凹凸反转同构函数图5图6图7图8如图5：()x f e x e x y xx --=⋅==-，即将()x f 关于原点对称后得到x e x y =，故可得xex y =在区间()↑∞-1,，在区间()↓+∞,1，当1=x 时，ey 1max =；如图6：()()()11111)1(---=⋅-=-=--x f e e x e ex y x x ，即将()x f 关于原点对称后，向右移一个单位，再将纵坐标缩小e 1倍，得到x e x y 1-=，故可得x e x y 1-=在区间()↑∞-2,，在区间()↓+∞,2，当2=x 时，2max 1e y =；如图7：()x f e x x e y xx --=⋅--==-11，属于分式函数，将()x f 1关于原点对称后得到，故可得x e y x =在区间()↓1,0，在区间()↑+∞,1，当1=x 时，e y =min ；如图8：()()()11111111+--=⋅---=+=--x f e e x e x e y x x ，属于分式函数，将()x f 1关于原点对称后，左移一个单位，再将纵坐标缩小e 1倍，故可得1+=x e y x在区间()↓-0,1，在区间()↑+∞,0，当0=x 时，1min =y ；3.顺反同构函数图9图10图11图12如图9：()x f x e x x x ln ln ln ln =⋅=，当()1,ln -∞-∈x ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0↓，当()+∞-∈,1ln x ，即⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,1e x ↑，ey 1min -=；如图10：()x f x x xxln ln ln 11--=⋅-=--，实现了凹凸反转，原来最小值变成了最大值，当()1,ln -∞-∈-x ，即()+∞∈,e x ↓，当()+∞-∈-,1ln x ，即()e x ,0∈↑，ey 1max =；如图11：()ex ef ex exe x x ln ln 1ln --==+，当()1,ln -∞-∈-ex ，即()+∞∈,1x ↓，当()+∞-∈-,1ln ex ，即()1,0∈x ↑，1max =y ；如图12：()2222ln 21ln 21ln x f x x xx --==，当()1,ln 2-∞-∈-x ，即()+∞∈,e x ↓，当()+∞-∈-,1ln 2x，即()e x ,0∈↑，ey 21max =；我们来看几道例题：【例1】（2019•凌源市一模）若函数2()x f x e ax =-在区间(0,)+∞上有两个极值点1x ，212(0)x x x <<，则实数a 的取值范围是（）A ．2e aB ．a e >C ．a eD ．2ea >【例2】（2019•广州一模）已知函数||2()x f x e ax =-，对任意10x <，20x <，都有2121()(()())0x x f x f x --<，则实数a 的取值范围是（）A ．2,(e-∞B ．(,2e-∞-C ．[0,2eD ．[,0]2e -【例3】（2019•荆州期末）函数()f x x x=+的单调增区间为（）A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(0,)e D ．(1,)+∞【例4】（2019•广州期末）函数2()f x xlnx mx =-有两个极值点，则实数m 的取值范围是（）A ．1(0,2B ．(,0)-∞C ．(0,1)D ．(0,)+∞【例5】（2019•深圳月考）已知函数()lnxf x kx x=-在区间14[e ，]e 上有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为（）A ．，12eB ．，1)2eC ．21[e D ．21[e ，1]e【例6】（2019•陕西一模）已知函数()()e f x k lnx x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（）A ．],(e -∞B ．(,)e -∞C ．(,)e -+∞D ．),[∞+-e【例7】（2019保山一模）若函数()ln x f x e ax x =+有两个极值点，则a 的取值范围是（）A ．(,)e -∞-B ．(,2)e -∞-C ．(,)e +∞D ．(2,)e +∞欢迎各位同仁指正！。

同构的几种方法

同构的几种方法
同构，这可是个超有趣的概念啊！它就像是一把神奇的钥匙，可以打开好多扇不同的门呢！
你看啊，在数学里，同构能让看似复杂的结构变得清晰明了。

就好比在一个混乱的拼图中找到了关键的那几块，一下子整个画面就完整了。

那不同的数学结构通过同构联系起来，不就像是失散多年的朋友突然重逢，那种惊喜感简直无与伦比！
再想想艺术领域，不同的艺术形式之间也存在着同构呢！音乐的旋律和节奏与绘画的线条和色彩，难道不是有着某种奇妙的呼应吗？一首激昂的乐曲难道不像一幅色彩浓烈的画作吗？它们相互映照，相互激发，这是多么令人惊叹的事情啊！
在生活中，同构的例子也随处可见呀！人与人之间的关系不也存在着同构吗？有些人性格互补，就像拼图的两块完美契合，这不就是一种同构吗？而且我们的习惯和行为模式，有时候也会和别人有着相似之处，这难道不是一种潜在的同构吗？
同构还能帮助我们更好地理解世界呢！当我们发现不同事物之间的同构关系，就像是找到了隐藏的线索，能让我们更深入地探索和理解这个丰富多彩的世界。

它让我们明白，看似毫无关联的东西，可能在深处有着紧密的联系。

那我们为什么要关注同构呢？因为它能给我们带来新的视角，新的启发啊！它能让我们突破思维的局限，看到更多的可能性。

它能让我们在面对复杂的问题时，找到简洁而有效的解决办法。

难道这还不够令人兴奋吗？同构就是这样神奇，这样充满魅力，它就像一道光，照亮我们探索的道路，让我们不断前行，不断发现新的精彩！。

一种巧妙的结构作文的方法——同构相叠

一种巧妙的结构作文的方法——同构相叠考场作文作为一种应试作文，最大的特点是批阅时间短，而要想在短时间内让阅卷老师把文章看清楚，那考场作文就必须有一个清晰醒目的特别条理的结构。

在考场上又要审题，又要确定观点（或主旨），又要思考搜索写作材料，又要编写结构提纲，然后才能动笔起草；时间紧，思考的头绪多，往往不能兼顾，常常导致顾此失彼。

那么怎样才能既节省时间，又能使文章有一种一目了然的结构呢？在这里我们介绍一种简便实用的结构文章的方法，这种方法我称之为“同构相叠”。

本来文无定法，同一个主旨，不同的个体，可以用不同的文体、不同的思路、不同的表达方式来表达。

但考场作文作为一种应试文章，又有其特殊性，那就是让阅卷老师在快速的扫描中，能够清晰地感受到文章的结构条理。

只有做到这一点，文章主旨才能不被淹没在庞杂的材料中。

在主旨正确的情况下，要想获得高分，还必须使主旨鲜明；而主旨是否鲜明，很大程度上在于是否可以赋予文章一种清晰条理的结构。

所以清晰条理的结构，是文章在主旨正确的前提下，获得高分的必备条件。

而同构相叠，就是一种快速地使文章具有清晰条理的结构的简便方法。

所谓同构相叠，就是文章主体部分的几个（一般是三个）段落，尽管内容角度不同，但可以采用一种相同的结构形式。

这样想好了主体部分一段的结构方式，其他几段都可以采用这一段的结构方式来安排材料。

这样做不仅节省时间，而且这种相同的结构形式，也能使文章形成清晰的条理，使阅卷老师在快速阅读中，能够感受到文章这种清晰的条理。

这样整篇文章结构的构思就特别简单了。

因为任何文章都要讲究章法，所以开头讲什么，结尾也要讲什么，这叫首尾照应。

中间几段，第一段采用什么形式表现，其他几段也都按照第一段的形式来表现。

如此一来，文章的主体部分就显得特别有条理。

主体部分的构思就变成了首先想好主体部分第一段采用什么样的形式。

主体部分第一段形式确定之后，主体部分的其他各段，就按照第一段的形式来写。

这样主体部分第一段想好之后，其他段落的构思就变成了常用的三个电脑名词：复制（第一段结构形式），粘贴（第一段结构形式），替换（其他指向文章主旨不同的内容）。

高中数学中的同构式教案

高中数学中的同构式教案1. 理解同构式的概念；2. 掌握同构式的性质及判定方法；3. 能够应用同构式解决相关问题。

教学重点和难点：重点：同构式的定义、性质和判定方法；难点：解决利用同构式进行推导和证明问题。

教学准备：1. 教学课件及教学板书；2. 同构式的相关练习题；3. 讲解同构式的示范题。

教学过程：一、导入新知识（5分钟）教师引导学生回顾代数式的展开与合并运算，引出同构式的概念，并讲解同构式的定义。

二、同构式的性质（10分钟）1. 介绍同构式的性质：同构式的对称性、传递性和等号性质；2. 举例说明同构式的性质，让学生理解同构式的特点。

三、同构式的判定方法（15分钟）1. 讲解同构式的判定方法：根据同构式的定义，通过展开式比较、系数比较和公因式分解等方法进行判定；2. 给出练习题让学生尝试判定同构式是否成立。

四、应用同构式解决问题（15分钟）1. 指导学生如何利用同构式简化计算和解决问题；2. 给学生实际应用练习题，让他们动手尝试应用同构式解题。

五、课堂练习与讨论（10分钟）1. 布置课后同构式练习题，要求学生多加练习，加深对同构式的理解；2. 鼓励学生在讨论中交流经验和解题思路，提高自己的解题能力。

六、课堂总结（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并指导学生关注本课重点，加强练习，确保对同构式的理解和掌握。

教学反思：通过本堂课的教学，学生掌握了同构式的定义、性质和判定方法，并能够应用同构式解决相关问题。

在教学中，教师要注重引导学生理解概念，提高学生的计算能力和问题解决能力，激发学生学习兴趣和动手实践能力。

巧妙构造同构式，提升解答函数问题的效率

纵观近几年的高考试题，可发现有关函数的问题较为复杂，尤其是含有指对数的函数问题.对这类问题，我们很难直接利用函数的图象、性质求得问题的答案.此时需巧妙运用同构法来破解.同构法是通过构造同构式，建立函数模型，利用新构造出的函数的图象和性质来解答问题的方法.一般地，具有相同结构的两个代数式被称为同构式.同构法较为灵活，运用同构法解题的关键在于构造出合适的同构式，那么，如何构造合适的同构式呢？这就要求我们熟练掌握各种简单基本函数解析式的结构特征，将函数式中的代数式进行合理的变形.通常可将结构相似或一致的式子放在一起或等号（不等号）的一侧，构造出同构式，以根据同构式的特点构造出新函数模型；再来讨论新函数的性质，如单调性、奇偶性、对称性、周期性等，即可根据这些性质化简代数式，从而得到新的关系式，求得问题的答案.例1.已知函数f(x)=ae x-1-ln x+ln a，若f(x)≥1，求实数a的取值范围．解：因为f(x)=ae x-1-ln x+ln a，由f(x)≥1得ae x-1-ln x+ln a≥1，将其变形可得e x+ln a-1+ln a-1≥ln x，在不等式的两边同时加上x，得e x+ln a-1+x+ln a-1≥x+ln x，设函数g(x)=e x+x，则原不等式等价于g(x+ln a-1)≥g(ln x).对函数g(x)求导可得g′(x)=e x+1>0，则g(x)在R上单调递增，所以不等式x+ln a-1≥ln x恒成立，故ln a≥(ln x-x+1)max=0，可知a≥1.该不等式中同时含有指数式、对数式，较为复杂，于是将a化为指数形式，并将其与e x-1合并为e x+ln a-1.然后在不等式的两边同时加上x，得到不等式e x+ln a-1+x+ln a-1≥x+ln x，便将不等式左右两边的式子变为同构式，即可构造出函数g(x)=e x+x.再根据新函数的导函数来判断出函数的单调性，得出x+ln a-1≥ln x，从而得出答案.e x、x、ln x三个函数虽然具有不同的性质，却可以互相转化，这给我们构造同构式带来了很大的方便.对于形如x+ln x的函数问题，使用同构法求解较为便捷.例2.若函数f(x)在区间[]a,b上的值域为[]ka,kb（k>0），则称函数f(x)为k倍值函数.若f(x)=ln x+x是k倍值函数，则k的取值范围为_____.解：因为函数f(x)在区间[]a,b上的值域为[]ka,kb，所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以f(a)=ka，f(b)=kb，则点(a,ka)、(b,kb)在f(x)=kx的图象上，由f(x)=ln x+x可得k=ln xx+1，令F(x)=ln x x+1，对F(x)求导得F′(x)=1-ln xx2，可知F(x)的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,+∞)，由此可得F(x)max=F(e)=1e+1.可知当x≥1时，F(x)≥1，则1<k<1+1e.解答本题，需先根据f(a)=ka，f(b)=kb，构造出函数f(x)=kx；然后将函数式中的参数k、变量进行分离，通过求F(x)=ln x x+1的最值，求得k的取值范围.构造同构式的关键在于找到结构类似或相同的式子，如本题中，根据f(a)=ka,f(b)=kb构造函数f(x)=ln x+x.例3.如果cos5θ-sin5θ<7(sin3θ-cos3θ),θ∈[)0,2π，那么θ的取值范围是____.解：将cos5θ-sin5θ<7(sin3θ-cos3θ),θ∈[)0,2π移项，可得：cos5θ+7cos3θ<sin5θ+7sin3θ，设f(x)=x5+7x3，则原不等式等价为f(cosθ)<f(sinθ)，而函数f(x)=x5+7x3是奇函数且单调递增，所以不等式可变形为sinθ-cosθ>0，即2sin(θ-π4)>0，可得2kπ<θ-π4<π+2kπ(k∈Z),而θ∈[)0,2π，所以θ∈(π4,5π4).此题采用常规方法求解很难获得答案，于是将不等式移项得到同构式，并构造出一个新函数，就能将问题转化成新函数的单调性问题，这样能大大减少运算量，降低解题的难度.函数问题的命题形式多样，在解题受阻时，我们不妨将函数进行适当的变形，配凑出同构式，再根据其结构特征构造出新函数模型，这样往往能化繁为简，使解题“柳暗花明”.（作者单位：江苏省高邮市临泽中学）45Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

写文章最有效的三个概括技巧同构法

写文章最有效的三个概括技巧同构法
以下是 7 条相关内容：
1. 嘿，你知道写文章超有效的同构法之一就是找共性呀！就像一堆不同颜色的糖果，它们都有一个共同点那就是甜呀！比如说写动物，不管是老虎、狮子还是小兔子，它们都有生命这个共性呢！这技巧好用不？
2. 哎呀呀，另一个超棒的同构法是提炼关键特征呀！好比说不同的花朵，玫瑰的艳丽、百合的纯洁不就是关键特征嘛！写一篇关于花朵的文章，抓住这些特征，文章不就生动起来啦？是不是很赞呀！
3. 哇塞，还有一个同构法超厉害的，那就是构建联系呀！就如同星星和月亮，它们之间有着美妙的联系呀！写友情的时候，把朋友之间的互动和情感联系起来，文章能不吸引人嘛！你说是不是呀！
4. 嘿，同构法能帮你找出事物的规律哦！就像四季轮回，春去夏来，都有它的规律呢！写关于时间的文章，利用同构法抓住这种规律，文章肯定超有意思呀！
5. 哎呀，用同构法去展现层次也很不错呀！好比一棵大树，有主干、有分枝、还有树叶。

写一个故事，把情节的主次层次用同构法体现出来，那故事得多精彩呀！你想想呢！
6. 哇哦，同构法能把复杂的东西简单化呢！就像解开一团乱麻，找到关键线头就行啦！写一个复杂的主题，用同构法简化，文章就容易理解多啦，是不是呀！
7. 嘿，同构法还能让不同的元素产生共鸣呢！就好像不同的乐器奏出和谐的乐章！在写不同场景的文章时，用同构法找到共通之处，文章会让人沉浸其中呀！你觉得呢？
总之，同构法真的是写文章的利器呀，用起来呀！。

微专题：同构在不等式中的妙用(含详细解析)

同构在不等式中的妙用同构式是指除了变量不同，结构、形式都相同的表达式。

同构式在方程、解析几何、数列、不等式中均有应用。

对于一个不等式，如果对其通过移项、取对数、利用指对恒等式等各种手段将其变形，使其左右两边呈现形式完全一样的状态，接着可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理。

特别是在解决指对混合不等式问题，如恒成立求参数取值范围，或证明不等式中，使用ln e eln 1xx xx x x +=≥++，ln e e x x x x −=，ln e ex xx x −=，ln ln e x x x x +=，e ln ln x x x x −=等变形有时给解题带来极大的便利。

特别说明：同构作为一种解题方法，不能包打天下，也不宜无限拔高技巧与加深难度。

本专题常用的函数图象及其关系一．典型例题：例1．若1201x x <<<，则下列不等式中正确的是 A ．2121e e ln ln xxx x −>− B ．1221e e ln ln x xx x −>−C ．1221e e xxx x >D ．1221e e xxx x <【答案】C思路：本题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将1x ，2x 分居在不等式两侧后都具备同构的特点，所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在()0,1的单调性即可【解析】A 选项：2121e e ln ln xxx x −>−2121e ln e ln xxx x ⇔−>−，设()e ln xf x x =−，∴()1e 1e x xx f x x x−'=−=，设()e 1x g x x =−，则有()()1e 0x g x x '=+>恒成立，所以()g x 在()0,1单调递增，所以()010g =−<，()1e 10g =−>，从而存在()00,1x ∈，使得()00g x =，由单调性可判断出： ()0,x x∈，()0g x '<()0f x '⇒<；()0,1x x ∈，()0g x '>()0f x '⇒>，∴()f x 在()0,1不单调，不等式不会恒成立B 选项：1221e e ln ln xx x x −>−1212e +ln >e +ln x xx x ⇔，设()e ln x f x x =+可知()f x 单调递增，所以应该()()12f x f x <，B 错误C 选项：1221e e x x x x >1212e e x x x x ⇔>，构造函数()e xf x x=，()()21e xx f x x −'=，则()0f x '<在()0,1x ∈恒成立，所以()f x 在()0,1单调递减，所以()()12f x f x >成立D 选项：1221e e x x x x <1212e e x xx x ⇔<，同样构造()e xf x x=，由C 选项分析可知D 错误答案：C例2．（2020年福建省高三毕业班质检，理12）在满足04i i x y <<≤，i i yxi i x y =的实数对()(),1,2,,,iix y i n =⋯⋯⋯中，使得1213n n xx x x −+++<成立的正整数n 的最大值为A ．5B ．6C ．7D ．9【答案】A【解析】因为i i yxi i x y =，所以ln ln i i i i y x x y =，所以ln ln i i iix x y y =令函数n (l )f x xx=，(0,4x ⎤∈⎦，则()y f x =的图象与直线y t =有两个不同的交点， 21(n )l xf x x−'=，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增当e x >时，()0f x '<，()f x 单调递减因为ln2ln 424=，所以)(2e 41,2,3,i i x y i ≤<<≤=⋯ 因为()min2ix =，所以()12121n x x x n −++⋯+≥−又因为e n x <，且()maxe nx →，所以33e n x <且()max33e nx →，存在i x ，使得1213n n x x x x −+++<成立，则()()121minmax3n nxx x x −+++<，即()213e n −<，所以31 5.0652en <+≈，所以正整数n 的最大值为5．例3．已知函数()1ax x ϕ=+，a 为正常数，若()()ln g x x x ϕ=+，且对任意1x ，(20,2x ⎤∈⎦，12x x ≠，都有()()21221g x g x x x −>−−，求a 的取值范围．【答案】270,2⎛⎤ ⎥⎝⎦思路：观察到已知不等式为轮换对称式，所以考虑定序以便于化简，令12x x <，则不等式变形为()()2112g x g x x x −>−，将相同变量放置一侧，可发现左右具备同构特点，所以将相同结构视为函数()()h x g x x =+，从而由12x x <且()()12h x h x <可知只需()h x 为增函数即可。

同构幻方——精选推荐

同构幻⽅同构幻⽅，进⾏整⾏或整列移动⽽⽆重复旳144式。

横向①②③④这个幻⽅的1是第1列，8是第2列，11是第3列，14是第4列。

这4列数是从⼀、n阶同构幻⽅的定义将1～n2个数排成n×n的数字⽅阵，使它的纵向n个数之和，横向n个数之和相同，这个数字⽅阵我们称它为n阶幻阵，世界称Semi－magic squares即n阶半幻⽅的意思。

这些数字⽅阵都是“同构幻阵”。

若其中⼆条对⾓线上n个数之和也相等，则称它为n阶幻⽅。

这些都在同⼀个幻阵中出现的幻⽅称“n阶同构幻⽅”⼆、同构変换任何⼀个存在的n 阶幻阵，都有n！×n！×2/8整⾏整列平移⽆重复的变换。

则3阶幻阵=6/2×6/2=9（个）。

4阶幻阵=24/2×24/2=144（个）。

5阶幻阵60×60×2/8=900（个）=……1、2阶半幻⽅不存在。

3阶半幻⽅是3！×3！×2/8=6×6×2/8=9（个）现将三阶幻⽅平移如下：9个幻⽅阵中只有⼀个是三阶幻⽅，也就是三阶幻⽅不存同构幻⽅。

⼀个幻⽅有⼋个⽅向位置的不同，幻⽅界同仁习惯上都认为“⼀変⼋，换汤不换药” 是同⼀个幻⽅⽽已。

2、四阶幻⽅ “4式同构”4式同构变换是任何四阶幻⽅共同的变换⽅法。

也就是说：有⼀个四阶幻⽅，它最少有其它3个幻⽅存在。

它的变换过程是：甲、将⼀个幻⽅（图1）的中间的⼆⾏上下交换，再把这个⽅阵的中间2列左右交换，得第⼆个幻⽅（图2）。

⼄、把图1的第⼀⾏与第⼆⾏上下交换，第三⾏与第四⾏上下交换。

再把第1列与第2列左右交换，第3列与第4列左右交换。

这也就得第3个幻⽅（图3）。

丙、把第2个幻⽅照第3个幻⽅哪样变换，得第4个幻⽅（图4）。

注：4式同构变换旳这些幻⽅，它们的对⾓线上的幻和组4数都是相同的⼆组幻和组。

我曾在书刊中摘录的⼀段对同构注释如下：【“同构”(即数学上的等效)这⼀慨念。

什么是同构——精选推荐

摘要：本文主要研究同构图形在广告设计应用后所产生的广告效果。

从影响效果的几个重要因素进行探讨，通过分析，同构图形在广告设计中的应用确实有提高广告效果的作用。

关键词:同构图形创意空间效果与内涵现在的广告铺天盖地，但真正对消费者起到影响作用的为数不多。

因此众多创意者为提高广告效果，对广告的艺术表现形式特别重视。

而同构图形作为一种强有力的艺术表现方式,在广告设计中有其独特的魅力。

一、同构的起源早在我国原始社会半坡时期，著名的人面鱼纹盆就是用人的脸和鱼的身体进行同构的，那时候鱼被看成氏族部落的保护神，而鱼的生殖能力特别强，因此人们把鱼和人的形象结合在一起，就是希望人类能够繁衍生息。

20世纪30年代，马格利特（R.Magritte）的“模型之二（Le Modele RougeⅡ）作品,使用脚和鞋子进行同构,它的巧妙之处在于从不同的视点将两个不同的元素与相关的内容巧妙地组合在一起。

结果引起了巨大的视觉轰动效果。

20世纪50年代，斯坦贝克以他系列的黑白线描再次展现了这种新艺术形式的特别之处，他的作品“人和摇椅”共用椅子的部分形，“舞伴”使用男女形状，共用人身体的部分形，使形与形的结合更为“密切”。

二、同构的概念同构，即把不同但相互间有联系的元素，甚至可能是矛盾的对立面或对应相似的物体，巧妙地结合在一起。

这种结合,不再是物的再现或并举在同一画面,而是相互展示个性,将共性物合二为一,将天地、周际空间相互利用，给人以明了、简洁、亲切、悠然而又周到的印象。

正是由于同构图形这种特性，才被广泛的应用到广告设计中。

三、同构图形对广告的影响 1.从图形的外形上讲，同构图形可以扩充广告创意的空间。

一方面，它可以使同类事物建立联系，例如把人体不同器官连接起来。

眼睛和耳朵连接可以表达千里眼、顺风耳的意思。

脚和耳朵相连接叫道听途说。

另一方面，不同类别的事物也可以建立一定的联系，例如：剥开的香蕉皮，长出来的不再是香蕉，它可以替换成手指、玉米等等。

通感同构艺术架接

通感同构艺术架接
通感同构艺术架接是一种结合视觉、听觉、触觉等多种感官的艺术形式，它将物质、
声音、动作、色彩等元素融合在一起，创造出富有感染力的艺术体验，让观众能够全方位
地沉浸在艺术世界中。

通感同构艺术架接的核心理念是“同构”，它指的是在不同感官之间建立起一种内在
的联系，使得观众能够同时感知不同的感官刺激，并产生出一种独特的综合体验。

例如，
在观看电影时，音乐与画面之间的相互关联会使得观众更容易进入电影的情境，感受到更
深层次的视觉和听觉的享受。

通感同构艺术架接的应用十分广泛，它可以应用于音乐、电影、绘画、舞蹈等各种艺
术形式中。

比如，一些时尚秀场常常会使用音乐、灯光、视觉特效等元素来打造出强烈的
视听体验，带给观众更为丰富的感官刺激。

在电影中，背景音乐、声音效果和画面之间的
协调也是通感同构艺术架接的一种体现，这样可以让观众更加容易地进入电影的故事情境中。

通感同构艺术架接可以让观众在沉浸式的艺术体验中获得更为深刻的感受，通过不同
感官之间的联系，我们能够感知到更多的信息，进而产生出更加深入的理解和感受。

通感
同构艺术架接也是一种创新的艺术表现形式，它不仅能够为观众带来视觉和听觉上的享受，还能够唤起我们身体内在的感知能力，为我们的生活增添更为丰富的体验。

同构在版式设计创意中的11种表现形式

同构在版式设计创意中的11种表
现形式
1、对称式：采用对称结构将设计元素和文字分布在整个版面上，使得最终的版面形态看起来是一种层次分明的对称式；
2、叠加式：利用多层叠加的方式将设计元素和文字结合起来，以此来表现出设计创意的丰富性；
3、抽象式：注重形式的整体感，让视觉元素和文字的搭配能够完美结合，从而形成一种独特的设计风格；
4、单元式：将设计元素和文字进行分组，形成多个单元，再把这些单元分布在整个版面当中；
5、隐喻式：通过色彩、图案等元素进行隐喻，使得设计不仅仅具有形式上的美感，也能够传达出深层次的理念；
6、拼贴式：将设计元素和文字进行拼贴，以此来表现出整体的抽象感和艺术性；
7、简洁式：利用简洁的设计元素和文字，表现出精细的细节和极简的风格；
8、视差式：利用视差的概念，将设计元素和文字堆叠到一起，让最终的版面看起来层次感十分强烈；
9、模糊式：采用模糊的设计手法，让视觉元素和文字之间产生一种“模糊”的关系；
10、立体式：利用立体的空间感，将设计元素和文字放置在三维空间里，以此来表现出设计的立体感；
11、时尚式：利用时尚的元素，如光影、色彩、线条等，来表现出现代的时尚风格。

高考必考同构式的应用技巧

同构式应用1、同构式的定义：除了变量不同，其余地方均相同的表达形式。

2、同构式的应用：⑴在方程中的应用如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根⑵在不等式中的应用如果不等式的两侧呈现同构特征。

则可将相同的结构构造为一个函数，进而与函数单调性找到联系。

进行比较大小和解不等式。

——属于同构小套路①指（数）对（数）各一边，参数是关键。

②常用“母函数”：()xf x e x =±，(),xf x xe =()xe f x x=③信手拈来凑同构，凑常数，x ，参数④复合函数（兄弟关系）比较大小，利用单调性求参数范围⑶在解析几何中的应用如果()11,A x y ()22,,B x y 满足的为同一方程式，则,A B 就是方程便是的曲线上的两个点，特别的，满足的方程是直线方程时，则该方程就是直线AB 的方程。

⑷在数列中的应用将递推数列变形为“依序同构特征”，即关于()()1,,,1n n a n a n --的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解。

3、常见的指数放缩：()10xe x x ≥+=()1x e ex x ≥=4、常见的对数放缩：()11ln 11x x x x-≤≤-=()ln xx x e e≤=5、常见的三角函数放缩：0,,sin tan 2x x x x π⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭6、常用指对互化恒等式：①当0a >且1a ≠，0x >时log a xax=②当0a >且1a ≠，log xa a x=再结合指数运算与对数运算的法则，可以得到下面的相应结论（0x >）③ln xx xxe e+=()ln ln x x x xe +=④ln x x xe e x-=ln lnxe x x x -=⑤22ln xx xx e e+=()22ln ln x x x x e +=⑥2ln 2x x x e e x-=22ln ln xe x x x-=再结合切线不等式1,x x e x e ex ≥+≥；ln 1,ln xx x x e≤-≤等可以得到更多结论引申⑦ln ln 1xx xxe ex x +=≥++()ln ln 1x x x x xe xe +=≤-⑧()ln ln x x xxe e e x x +=≥+()1ln ln xxx xe x x xe xe e-+=≤=题型一不等式同构式1、（2022．海拉尔区校际四模）已知函数()()()ln 0xf x ae ea a =+>，若对于任意的实数1x >，不等式()()ln 1f x x ≥-总成立，则实数a 的取值范围是。