2019高中数学第一章计数原理二项式定理的应用(习题课)课件北师大版
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高中数学 第1章 5二项式定理 北师大版选修2-3
1.二项式定理：公式(a＋b)n＝_C_0na__n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_rbr ＋__…__＋__C__nnb_n_(n∈N＋)叫作二项式定理．
2．二项展开式的通项与二项式系数：(1)(a＋b)n的二项展 开式共有__n_＋__1__项，式中的__C_rn_a_n_－_rb_r__叫作二项展开式的通 项，记作Tr＋1＝___C_rn_a_n_－_rb_r__(其中0≤r≤n，r ∈N，n∈N＋)，通 项为展开式的第r＋1项；
(3)Tr＋1＝Cr10x102－r·(－31x)r＝Cr10x102－r·(－13)r·x－r ＝Cr10·(－13)r·x10－2 3r. 若是正整数指数幂，则有10－2 3r为正整数，∴r 可以取 0,2， ∴项数有 2 个． (4)由题意 Tr＋1＝Cr7(x3)7－r(1x)r＝Cr7x21－4r，令 21－4r＝5，得 r ＝4，则 x5 的系数是 C47＝35. [答案] (1)15 (2)40 (3)B (4)35
5．二项展开式的应用 (1)利用通项公式 Crnan－rbr(0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)求指定 项、特征项(常数项，有理项等)或特征项的系数． (2)近似计算，当|a|与 1 相比较很小且 n 不大时，常用近似 公式(1±a)n≈1±na，使用公式时要注意 a 的条件以及对计算精 确度的要求． (3)整除性问题与求余数问题，对被除式进行合理的变形， 把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项含有除式 的因式或只有一、二项不能整除．
②(1＋x)n＝1＋C1nx1＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋xn(n∈N＋)． (6)要注意逆用二项式定理来分析解决问题．
2．在应用通项公式时要注意以下几点： (1)Crnan－rbr 是展开式的第 r＋1 项，而不是第 r 项； (2)通项公式表示的是二项展开式中的某一项，只要 n 与 r 确定，该项也随之确定；对于一个具体的二项式，它的二项展 开式中的各项依赖于 r； (3)公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒；
高中数学第一章计数原理习题课二项式定理的应用课件北师大版选修2_3
得
≤k ≤ 3 , ∴k=5, 3
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
二项式系数最大项
【例1】 在(3x-2y)20中,求: (1)二项式系数最大的项; (2)系数绝对值最大的项; (3)系数最大的项.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)二项式系数最大的项是第 11
10· 10· 项.T11 =C20 310 · (-2)10 x10 y10=C20 610 x10y10 .
������ ∴������������ +1 = C7 (2x)k, ������ 2������ ≥ C ������ +1 2������ +1 , C7 7 13 16
由
������ 2������ ≥ C ������ -1 2������ -1 , C7 7 5 ∴系数最大项为C7 (2x)5 =672x5 . 答案 672x5
2 5
2 5
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟 最大系数与系数最大项的求法, 如求(ax+b)n (a, b∈R) 展开式的系数最大的项, 一般采用待定系数法, 设展开式的各项系数 ������������ ≥ ������������-1 , 分别为 A1 , A2 , …,������������ + , 设第 r 项的系数最大, 应有 由此解 1 ������������ ≥ ������������+1 , 出 r 即可.
3(������ + 1) ≥ 2(20-������ 解得 7 ≤r≤8 . 因为 r∈N+, 所以 r=8,
8 · 即 T9 =C20 312 · 28 x12 y8 是系数绝对值最大的项. (3)因为系数为正的项为奇数项, 且第 9 项的系数的绝对值最大, 8 · 所以 T9 =C20 312 · 28 x12 y8 是系数最大的项.
北师大版高中数学选修2-3第一章 计数原理二项式定理课件
n－ 1 1 n－ 1 3 n－3 3 为 T2＝C1 x ( － 2) ＝－ 2C x ， T ＝ C x ( － 2) n n 4 n n－3 ＝－2 2C3 x . n 1 － 2Cn
1 2 依题意得 ＝ ，即 n －3n－4＝0，解得 n＝ 3 2 －2 2Cn 4(舍去 n＝－1)．
设(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为第(r＋1)项，则 Tr＋1
归纳升华 1.求二项展开式的特定项的常用方法： (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母 的指数恰好都是整数．解这类问题必须合并通项公式中同一 字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整 除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一 字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 2．正确区分二项式系数与该项的系数． 二项式系数与项的系数是两个不同的概念， 前者仅与 二项式的指数及项数有关， 与二项式无关， 后者与二项式、 二项式的指数及项数均有关．
－
展开式通项
在二项式定理中，令 a＝1，b＝x， 备注
2 2 则得到公式(1＋x)n＝1＋C1 x ＋ C n nx k n ＋…＋Ck x ＋…＋ x n
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)(a＋b)10 的展开式中共有 10 项．(
n－ k k n (2)Ck a b 是 ( a ＋ b ) 展开式的第 k 项．( n
[变式训练] (1)(2016· 全国Ⅰ卷)(2x＋ x)5 的展开式 中，x3 的系数是________(用数字填写答案)． a x＋ 8 (2)若 3 的展开式中 x4 的系数为 7，则实数 a x ＝________．
1 2 依题意得 ＝ ，即 n －3n－4＝0，解得 n＝ 3 2 －2 2Cn 4(舍去 n＝－1)．
设(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为第(r＋1)项，则 Tr＋1
归纳升华 1.求二项展开式的特定项的常用方法： (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母 的指数恰好都是整数．解这类问题必须合并通项公式中同一 字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整 除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一 字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 2．正确区分二项式系数与该项的系数． 二项式系数与项的系数是两个不同的概念， 前者仅与 二项式的指数及项数有关， 与二项式无关， 后者与二项式、 二项式的指数及项数均有关．
－
展开式通项
在二项式定理中，令 a＝1，b＝x， 备注
2 2 则得到公式(1＋x)n＝1＋C1 x ＋ C n nx k n ＋…＋Ck x ＋…＋ x n
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)(a＋b)10 的展开式中共有 10 项．(
n－ k k n (2)Ck a b 是 ( a ＋ b ) 展开式的第 k 项．( n
[变式训练] (1)(2016· 全国Ⅰ卷)(2x＋ x)5 的展开式 中，x3 的系数是________(用数字填写答案)． a x＋ 8 (2)若 3 的展开式中 x4 的系数为 7，则实数 a x ＝________．
高中数学第一章计数原理习题课二项式定理课件北师大版
开式中含 x3 的项为 C26x3＝15x3，所以系数为 15.
12345
解析 答案
2. x2＋x12－23的展开式中常数项为
A.－8
B.－12
√C.－20
D.20
解析 x2＋x12－23＝x－1x6 展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr6(－1)rx6－2r.
令6－2r＝0解得r＝3.
故展开式中的常数项为－C36＝－20.
解析 答案
反思与感悟
两个二项式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点. (2)找到构成展开式中特定项的组成部分. (3)分别求解再相乘，求和即得.
跟踪训练1 (x＋ax)(2x－1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的 常数项为
A.－40
B.－20
第一章 计数原理
习题课 二项式定理
学习目标
1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念. 2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
知识梳理
1.二项式定理及其相关概念
二项式 定理
二项式 系数
公式(a＋b) ＝ Cn0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn
2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)
(1)对称性：_C_mn_＝__C_－1＋ Cnr .
n
(3)二项式系数的最大值：_当__n_是__偶__数__时__,中__间__的__一__项__取__得__最__大__值__,_即_C _n2 ____最__大；
C.20
D.40
解析 答案
命题角度2 三项展开式问题
例2
2x＋1x＋
高中数学 第一章 计数原理 5 第一课时 二项式定理课件 北师大版选修2-3.pptx
3
问题 1：(a＋b)n 展开式中共有多少项？ 提示：n＋1 项． 问题 2：(a＋b)n 展开式中系数有什么特点？ 提示：依次为组合数 C0n，C1n，C2n，…，Cnn. 问题 3：(a＋b)n 展开式中每项的次数有什么特点？项的 排列有什么规律？ 提示：每一项的次数和是一样的，都是 n 次，并且是按 a 的降幂排列，b 的升幂排列．
二项展开式 式中__C__rna_n_－_r_b_r _叫作二项展开式的通项 的通项 在二项式定理中，若 a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cn1x＋C2nx2
＋…＋Cnr xr＋…＋xn.
5
(1)(a＋b)n 的展开式中共有 n＋1 项，字母 a 的幂指数按降 幂排列，字母 b 的幂指数按升幂排列，每一项的次数和为 n.
第 §5 一
课 第二时 一项 章式二
定项 理式
定 理
理解教材新知
知识点
把握热点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1
§5
二项式定理
第一课时 二项式定理
2
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4； (a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5. 根据上述规律归纳出(a＋b)n(n∈N＋，n≥2)的展开式，并 思考下列问题．
15
3．(湖南高考)12x－2y5 的展开式中 x2y3 的系数是
A．－20
B．－5
()
C．5
D．20
解析：由二项展开式的通项可得，第四项 T4＝C3512x2(－2y)3
＝－20x2y3，故 x2y3 的系数为－20，选 A.
问题 1：(a＋b)n 展开式中共有多少项？ 提示：n＋1 项． 问题 2：(a＋b)n 展开式中系数有什么特点？ 提示：依次为组合数 C0n，C1n，C2n，…，Cnn. 问题 3：(a＋b)n 展开式中每项的次数有什么特点？项的 排列有什么规律？ 提示：每一项的次数和是一样的，都是 n 次，并且是按 a 的降幂排列，b 的升幂排列．
二项展开式 式中__C__rna_n_－_r_b_r _叫作二项展开式的通项 的通项 在二项式定理中，若 a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cn1x＋C2nx2
＋…＋Cnr xr＋…＋xn.
5
(1)(a＋b)n 的展开式中共有 n＋1 项，字母 a 的幂指数按降 幂排列，字母 b 的幂指数按升幂排列，每一项的次数和为 n.
第 §5 一
课 第二时 一项 章式二
定项 理式
定 理
理解教材新知
知识点
把握热点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1
§5
二项式定理
第一课时 二项式定理
2
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4； (a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5. 根据上述规律归纳出(a＋b)n(n∈N＋，n≥2)的展开式，并 思考下列问题．
15
3．(湖南高考)12x－2y5 的展开式中 x2y3 的系数是
A．－20
B．－5
()
C．5
D．20
解析：由二项展开式的通项可得，第四项 T4＝C3512x2(－2y)3
＝－20x2y3，故 x2y3 的系数为－20，选 A.
5.4.1 二项式定理的推导 教学课件 高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
由此可知：展开式的每一项由若干个"a "与若干个"b"的乘积构成， 并且 a 和 b 的总 个数为 n，若 b 的个数为 k，则 a 的个数为 n-k， 即an kbk k 0,1, 2, , n .
2. an kbk 同类项的个数.
从 n 个因式 a b 中，若选出 k 个 a b ，在这 k 个 a b 中只取" b "不取"a "， 在
x
1 7x
7
的展开式的第
2
项为_______5___．
解析：
x
1 7x
7
的展开式的第
2
项为 T2
C7
1 7
1
x5
x5
，
故答案为： x5 .
您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后，在此 框中选择粘贴，并选择只保留文字。
11 7.若 (x 2)n 的展开式共有 12 项，则n __________.
例 4：求 x 2y 7 展开式中 x4 y3 的系数.
解：
因为 x4 y3 中" x "的指数为 4，所以由二项式通项，得
C37 x4 2 y 3
280x4 y3
因此， x4 y3 的系数是-280 .
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课堂巩固
B 1.下列不属于 x 23 的展开式的项的是( )
5.4.1 二项式定理的推导
北师大版（2019）选择性必修一
学习目标
1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
二项式定理课件 高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
新知探究
根据上述规律，猜想 + 的展开式中会有哪些类型的项？
猜想 + 的展开式中各类型的项的系数分别是什么？
( + ) ＝ ( + )( + ) ⋯ ( + )个(＋)任取一个字母相乘得到
a与b的总个数为n
的个数为－
2
系数为 C3
(a
b)(a
b)(a b
)
0个a， 3个b， b3
3
系数为 C3
(a b)3 C30 a 3 C31a 2b C32 ab 2 C33b3
(a b)4 C40 a 4 C41a 3b C42 a 2b 2 C43ab3 C44b 4
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
(a
a b)(
a b)
b)(
3个a， 0个b， a 3
0
系数为 C3
(a
a b)(a b
)
b)(
2个a， 1个b，a 2b
1
系数为 C3
(a
)
)(a b
b)(a b
1个a， 2个b，ab 2
0
1
2
新知探究
( + )( + )( + )
3
a b a b a b
a b a b a b
3
新知探究
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
新知探究
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
新知探究
追问2：你能推导 + 3 ， + 4 的展开式是如何得到的吗？
2020_2021学年高中数学第一章计数原理1.5第11课时二项式定理的应用作业课件北师大版选修2
解析：Tr＋1＝Cr6(ax2)6－rbxr＝Cr6a6－rbrx12－3r， 令12－3r＝3，得r＝3， 故C63a3b3＝20， 所以ab＝1，a2＋b2≥2ab＝2， 当且仅当a＝b＝1或a＝b＝－1时，等号成立．
11．数11100－1的末尾连续的零的个数是 3 .
解析：11100－1＝(10＋1)100－1 ＝C100010100＋C11001099＋…＋C91900·10＋C110000－1 ＝10100＋C11001099＋…＋C91090·10 ＝1 000(1097＋C11001096＋…＋1)． 又1097＋C11001096＋…＋1为整数，且末尾不为0， ∴末尾连续的零的个数是3.
7．若二项式(x＋2)n的展开式的第4项是
5 2
，而第3项的二项式系数
是15，则x的值为( B )
11 A.2 B.4
21 C. 8 D.8
解析：因为二项式(x＋2)n的展开式的第4项为23C
3 n
xn－3，第3项的二
项式系数是Cn2，所以C2n＝15，解得n＝6,23C36x3＝52，解得x＝14，故选B.
——基础巩固——
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是( A )
A．120
B．－120
C．60
D．30
解析：(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，展开式的第r＋1项为C
r 5
(x＋y)5－
r(－2z)r，而(x＋y)3的展开式的第m＋1项为C
8．若9n＋C
1 n＋1
9n－1＋…＋C
n－1 n＋1
9＋C
n n＋1
是11的倍数，则自然数n为
11．数11100－1的末尾连续的零的个数是 3 .
解析：11100－1＝(10＋1)100－1 ＝C100010100＋C11001099＋…＋C91900·10＋C110000－1 ＝10100＋C11001099＋…＋C91090·10 ＝1 000(1097＋C11001096＋…＋1)． 又1097＋C11001096＋…＋1为整数，且末尾不为0， ∴末尾连续的零的个数是3.
7．若二项式(x＋2)n的展开式的第4项是
5 2
，而第3项的二项式系数
是15，则x的值为( B )
11 A.2 B.4
21 C. 8 D.8
解析：因为二项式(x＋2)n的展开式的第4项为23C
3 n
xn－3，第3项的二
项式系数是Cn2，所以C2n＝15，解得n＝6,23C36x3＝52，解得x＝14，故选B.
——基础巩固——
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是( A )
A．120
B．－120
C．60
D．30
解析：(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，展开式的第r＋1项为C
r 5
(x＋y)5－
r(－2z)r，而(x＋y)3的展开式的第m＋1项为C
8．若9n＋C
1 n＋1
9n－1＋…＋C
n－1 n＋1
9＋C
n n＋1
是11的倍数，则自然数n为
2019高中数学第一章计数原理1.5二项式定理课件北师大版选修2_3
上图所示的表叫作二项式系数表. 在二项式系数表中,有如下两个结论:
一二
(1)每一行的两端都是 1,其余每个数都等于它“肩上”两个数的 和.
实际上反映了组合数的下列性质:C���0��� =1,C������������ =1,C������������+1 = C������������-1 + C������������.
3.字母 b 的指数和组合数的上标相同,a 与 b 的指数之和为 n. 4.二项式通项������������+1 = C������������ an-rbr 是对(a+b)n 形式的展开式而言,至 于(b+a)n 展开式的二项式通项是 Tr+1=C������������bn-rar,两者的通项不相同, 不可混淆.
C���0���2n·(-1)0+C���1��� 2n-1·(-1)1+…+C������������2n-k·(-1)k+…+C������������20(-1)n=(2-1)n=1.
答案:1
一二
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
“×”.
(1)二项式定理中字母a,b的顺序是可以任意变换的. ( ) (2)“二项式系数”与“二项式的展开式系数”可以相等. ( )
(1)因为第 9 项为常数项,即当 k=8 时,2n-52k=0,
解得 n=10.
(2)令 2n-52k=5,得 k=25(2n-5)=6,
所以 x5 的系数为(-1)6
1 2
4 C160 = 1805.
(3)要使 2n-52k,即402-5������为整数,只需 k 为偶数,由于
k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的有 6 项,分别为展开式的第
一二
(1)每一行的两端都是 1,其余每个数都等于它“肩上”两个数的 和.
实际上反映了组合数的下列性质:C���0��� =1,C������������ =1,C������������+1 = C������������-1 + C������������.
3.字母 b 的指数和组合数的上标相同,a 与 b 的指数之和为 n. 4.二项式通项������������+1 = C������������ an-rbr 是对(a+b)n 形式的展开式而言,至 于(b+a)n 展开式的二项式通项是 Tr+1=C������������bn-rar,两者的通项不相同, 不可混淆.
C���0���2n·(-1)0+C���1��� 2n-1·(-1)1+…+C������������2n-k·(-1)k+…+C������������20(-1)n=(2-1)n=1.
答案:1
一二
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
“×”.
(1)二项式定理中字母a,b的顺序是可以任意变换的. ( ) (2)“二项式系数”与“二项式的展开式系数”可以相等. ( )
(1)因为第 9 项为常数项,即当 k=8 时,2n-52k=0,
解得 n=10.
(2)令 2n-52k=5,得 k=25(2n-5)=6,
所以 x5 的系数为(-1)6
1 2
4 C160 = 1805.
(3)要使 2n-52k,即402-5������为整数,只需 k 为偶数,由于
k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的有 6 项,分别为展开式的第
新教材北师大版高中数学选择性必修第一册5.4二项式定理 精品教学课件
[跟进训练]
1．求2x－23x25的展开式．
[解] 法一：2x－23x25＝C05(2x)5＋C15(2x)4－23x2＋C25(2x)3－23x22
＋
C35
(2x)2
－23x2
3
＋C
4 5
(2x)
－23x2
4
＋
C55
－23x2
5
＝32x5－
120x2＋18x0
－
1x345＋480x57 －3224x310．
()
1234
2．二项式(a＋b)2n 的展开式的项数是( )
A．2n
B．2n＋1
C．2n－1
D．2(n＋1)
B [展开式的项数比二项式的指数大 1，故选 B．]
1234
3．代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1 可化简为 ________．
x4 [(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C04(x＋1)4＋C14(x ＋1)3(－1)1＋C24(x＋1)2(－1)2＋C34(x＋1)·(－1)3＋C44(－1)4＝[(x＋1)－ 1]4＝x4．]
[跟进训练]
3．求二项式x2＋2
1
x10的展开式中的常数项．
[解] 设第 r＋1 项为常数项，则
Tr＋1＝Cr10·(x2)10－r2
1
xr＝C1r0·x20－52r·12r
(r＝0，1，2，…，10)．
令 20－52r＝0，得 r＝8．所以 T9＝C810·128＝24556．
故第 9 项为常数项，其值为24556．
2．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
2019高中数学第一章计数原理二项式定理的应用习题课精练含解析北师大版选修2320190416260.doc
习题课--二项式定理的应用A组1.已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于()A.11B.10C.9D.8解析:∵只有第5项的二项式系数最大,∴+1=5.∴n=8.答案:D2.的展开式中x2y3的系数是()A.-20B.-5C.5D.20解析:由已知,得Tr+1=(-2y)r=(-2)rx5-ryr(0≤r≤5,r∈Z),令r=3,得T4=(-2)3x2y3=-20x2y3.故选A.答案:A3.使(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7解析:由二项式的通项公式得Tr+1=3n-r,若展开式中含有常数项,则n-r=0,即n=r,所以n最小值为5.答案:B4.设函数f(x)=则当x>0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为()A.-20B.20C.-15D.15解析:当x>0时,f(x)=-<0,则f[f(x)]=.Tr+1=)6-r·=(-1)r=(-1)rx3-r.令3-r=0,得r=3,此时T4=(-1)3=-20.答案:A5.已知2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,则实数a的值为.?解析:根据题意,由于2×1010+a=2×(11-1)10+a,由于2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,根据二项式定理展开式可知,2×(11-1)10被11除的余数为2,从而可知2+a能被11整除,可知a=9.答案:96.若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于.?解析:在已知等式两边对x求导,得5(2x-3)4×2=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令x=1,得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=5×(2×1-3)4×2=10.答案:107.在(3x-2y)20的展开式中,系数绝对值最大的项为.?解析:设系数绝对值最大的项是第r+1项,则所以<r<,所以r=8.所以当r=8时,系数绝对值最大的项为T9=·312·28·x12·y8.答案:T9=·312·28·x12·y88.导学号43944020已知(+3x2)n的展开式中,各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.解令x=1,则展开式中各项系数和为(1+3)n=22n.又展开式中二项式系数和为2n,∴=2n=32,n=5.(1)∵n=5,展开式共6项,∴二项式系数最大的项为第三、四两项,∴T3=)3(3x2)2=90x6,T4=)2(3x2)3=270.(2)设展开式中第k+1项的系数最大,则由Tk+1=)5-k(3x2)k=3k,得∴≤k≤,∴k=4,即展开式中系数最大的项为T5=)(3x2)4=405.9.求证:3n>(n+2)·(n∈N+,n>2).证明因为n∈N+,且n>2,所以3n=(2+1)n展开后至少有4项.(2+1)n=2n+·2n-1+…+·2+1≥2n+n·2n-1+2n+1>2n+n·2n-1=(n+2)·2n-1,故3n>(n+2)·2n-1(n∈N+,n>2).10.求证:1+2+22+…+(n∈N+)能被31整除.证明∵1+2+22+…+=-1=32n-1=(31+1)n-1=·31n+·31n-1+…+·31+-1=31(·31n-1+·31n-2+…+),显然·31n-1+·31n-2+…+为整数,∴原式能被31整除.B组1.若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x的取值范围是()A. B.C. D.(1,+∞)解析:二项式(x+y)9的展开式的通项是Tr+1=·x9-r·yr.依题意,有由此得解之,得x>1,即x的取值范围为(1,+∞).答案:D2.(2016·湖北孝感高中高二上学期期中考试)2 0152 015除以8的余数为()A.1B.3C.5D.7解析:2 0152 015=(2 016-1)2 015=2 0162 015+2 0162 014(-1)1+…+(-1)2 015,倒数两项和为2 015×2 016-1,其除以8的余数为7,因此2 0152 015除以8的余数是7.答案:D3.x8=a0+a1(x-1)+…+a8(x-1)8,则a7=.?解析:x8=[1+(x-1)]8=(x-1)+…+(x-1)7+(x-1)8,∴a7==8.答案:84.(2x-1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为.?解析:因为(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=1,再令x=-1,得310=a0-a1+a2-a3+…+a10,两式相减,可得a1+a3+…+a9=.答案:5.设的展开式的常数项为a,则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为.?解析:Tr+1=xr-3x2r=x3r-3,令r=1,得a=3,直线y=3x与曲线y=x2的交点坐标为(0,0)和(3,9),∴直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积S=(3x-x2)dx=.答案:6.导学号43944021设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=.?解析:由题意得a1==3,∴n=3a;a2==4,∴n2-n=8a2.将n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3.答案:37.求证:32n+2-8n-9(n∈N+)能被64整除.分析可将32n+2写成(8+1)n+1的形式,然后利用二项式定理展开,整理可得结果.证明32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=8n+1+8n+…+82+8+-8n-9=8n+1+8n+…+82+(n+1)8+1-8n-9=8n+1+8n+…+82=64(8n-1+8n-2+…+),所以32n+2-8n-9(n∈N+)能被64整除.8.导学号43944022已知在二项式(axm+bxn)12中,a>0,b>0,mn≠0且2m+n=0.(1)如果在它的展开式中,系数最大的项是常数项,则它是第几项?(2)在(1)的条件下,求的取值范围.解(1)设Tk+1=(axm)12-k·(bxn)k=a12-kbkxm(12-k)+nk为常数项,则有m(12-k)+nk=0,即m(12-k)-2mk=0.∵m≠0,∴k=4,∴它是第5项.(2)∵第5项是系数最大的项,∴由①得,由②得,∴.。
2019高中数学第一章计数原理1_3模块复习课(第3课时)统计案例课件北师大版
专题一
专题二
分析根据2×2列联表计算出χ2的值,再结合临界值即可作出合理
的判断. 解根据列联表的数据可以求得 χ2=34257×5(×17804××294-651××19010)2 ≈11.098.
因为χ2>6.635,所以我们有99%的把握认为这两种药物的疗效有 差异.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
收入 x/万元
8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出 y/万元
6.2 7.5 8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程y=bx+a,其中b=0.76,a=������-b ������.据此估计, 该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元
(xi,yi)(i=1,2,…,n),则回归直线方程y=a+bx的系数为
������
������
������
=
∑ (xi
������=1
-
x)(yi-y)
n
∑
(������������-������)2
=
������∑=1������������������������-������������ ������
(1)常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关系,另一类是
相关关系;与函数关系不同,相关关系是一种非确定性关系.
(2)从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内,两个变
量的这种相关关系称为正相关,点散布在左上角到右下角的区域内,
两个变量的相关关系为负相关.
2.回归分析
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其
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数之和为 f(1),奇数项系数之和为 a0+a2+a4+…=������(1)+2������(-1),偶数项系 数之和为 a1+a3+a5+…=������(1)-2������(-1).
探究一
探究二
探究三 思维辨析
因忽视二项展开式的限制条件而致误
【典例】 已知(2x-1)n 二项展开式中,奇次项系数的和比偶次项
探究一
探究二
探究三 思维辨析
解(1)二项式系数最大的项是第 11
项.T11=C2100·310·(-2)10x10y10=C2100·610x10y10. (2)设系数绝对值最大的项是第 r+1 项,
于是 C2������0 ·320-������ ·2������ ≥ C2������0+1 ·319-������ ·2������+1 , C2������0 ·320-������ ·2������ ≥ C2������0-1 ·321-������ ·2������-1 ,
探究一
探究二
探究三 思维辨析
反思感悟 1.二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值 都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b 等于多少时,应视具体情况而定,一般取“1,-1或0”,有时也取其他值.
2.一般地,若 f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 f(x)的展开式中各项系
前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前面 的数中分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192 被 100 除所得余数 为 81.
方法
二:9192=(90+1)92=C902·9092+C912·9091+…+C9920·902+C9921·90+C9922. 前 91 项均能被 100 整除,剩下两项和为 92×90+1=8 281,显然 8
1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值
为
.
解析:令x=2,得到a0+a1+a2+…+a9=(4+m)9,令x=0,得到a0-a1+a2-
a3+…-a9=(m+2)9, 所以有(4+m)9(m+2)9=39,
即m2+6m+5=0,解得m=-1或m=-5.
答案:-1或-5
探究一
探究二
探究三 思维辨析
解设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次项的系数和为 A,偶次 项的系数和为 B.
则 A=a1+a3+a5+…,B=a0+a2+a4+…, 由已知可得 B-A=38. 令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=(-3)n,
即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,
探究一
探究二
探究三 思维辨析
1
变式训练 2 求证:1+3+32+…+33������- 能被 26 整除(n 为大于 1 的
偶数). 证明 1+3+32+…+33 ������ -1 = 1-33������ =
1-3
12(33n-1)=12(27n-1)=12[(26+1)n-1], 而
(26+1)n-1=C���0��� ·26n+C���1��� ·26n-1+…+C������������ -1·26+C������������ ·260-1=C���0��� ·26n+C���1��� ·26n-1
5
的二项式通项,确定含 x3 项对应的 r 值,代入
������
通项求得系数,从而建立关于 a 的方程求解.
二项式通项为������������
+1
=
C5������
·x5-r·
������ ������
������
= C5������·ar·x5-2r.
含 x3 的项对应的是 5-2r=3,解得 r=1,
A.1或-3 B.-1或3
C.1 D.-3 解析令x=0,得到a0+a1+a2+…+a9=(2+m)9,令x=-2,得到a0-a1+a2a3+…-a9=m9,所以有(2+m)9·m9=39,即m2+2m=3,解得m=1或-3. 答案A
探究一
探究二
探究三 思维辨析
互 动探究 本例变为:若(x+2+m)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-
+…+C������������ -1·26, 因为 n 为大于 1 的偶数, 所以12[(26+1)n-1]能被 26 整除. 所以 1+3+32+…+33 ������ -1能被 26 整除.
探究一
探究二
探究三 思维辨析
探究三 二项式系数或各项系数和
【例3】若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且 (a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为( )
������������ ������������
≥ ≥
������������-1 , 由此解 ������������+1 ,
出 r 即可.
探究一
探究二
探究三 思维辨析
2
变式训练 1(1)求(������ 3+3x2)5 的展开式中二项式系数最大的项;
2
(2)求(������3+3x2)5 的展开式中系数最大的项.
解得72≤r≤92.
∵r∈{0,1,2,3,4,5},∴r=4,
2
26
∴展开式中第 5 项系数最大,T5=C54 ������3(3x2)4=405������ 3 .
探究一
探究二
探究三 思维辨析
探究二 整除问题
【例2】 (1)用二项式定理证明1110-1能被100整除; (2)求9192被100除所得的余数. 分析利用二项式定理证明整除问题关键是判断所证式子与除数 之间的联系,要掌握好对式子的拆分,如本例的第(1)小题,可以利用 1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(100-9)92 的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.
所以只需C22 001166×(-1)2 016+a 能被 13 整除,即 a+1 能被 13 整除,又
0≤a<13,所以 a=12.
答案 D
【做一做 2】
������ + ������
������
5
(x∈R)展开式中 x3 的系数为 10,则实
数 a 等于
.
解析写出
������ + ������
习题课——二项式定理的应用
学 习 目 标思 维 脉 络
1.了解二项式系 数的性质,学会求 二项展开式系数 最值问题. 2.掌握“赋值法” 并会灵活应用. 3.会用二项式定 理解决整除问题.
二项展开式的应用
1.利用通项公式 C������������ an-rbr(0≤r≤n,r∈N,n∈N+) 求指定项、特
探究一
探究二
探究三 思维辨析
解(1)证明:∵1110-1=(10+1)10-1
=(1010+C110·109+…+C190·10+1)-1 =1010+C110·109+C120·108+…+102 =100×(108+C110·107+C120·106� 整除.
≥ ≥
C7������+1 2������+1 C7������-1 2������-1,
,
得
133≤k≤136,∴k=5,
∴系数最大项为C75(2x)5=672x5.
答案 672x5
探究一
探究二
探究三 思维辨析
探究一 二项式系数最大项
【例1】 在(3x-2y)20中,求: (1)二项式系数最大的项; (2)系数绝对值最大的项; (3)系数最大的项.
281 除以 100 所得余数为 81.
探究一
探究二
探究三 思维辨析
反思感悟 1.整除性问题或求余数问题的处理方法 (1)解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式. (2)用二项式定理处理这类问题,通常把被除数的底数写成除数 (或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理 展开,只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了. (3)要注意余数的范围,a=c·r+b这式子中b为余数,b∈[0,r),r是除 数,利用二项式定理展开式变形后,若剩余部分是负数要注意转换. 2.利用二项式证明多项式的整除问题 关键是将被除式变形为二项式的形式,使其展开后每一项均含有 除式的因式.若f(x),g(x),h(x),r(x)均为多项式,则 (1)f(x)=g(x)·h(x)⇔f(x)被g(x)整除. (2)f(x)=g(x)·h(x)+r(x)⇒r(x)为g(x)除f(x)后得的余式.
探究一
探究二
探究三 思维辨析
因忽视二项展开式的限制条件而致误
【典例】 已知(2x-1)n 二项展开式中,奇次项系数的和比偶次项
探究一
探究二
探究三 思维辨析
解(1)二项式系数最大的项是第 11
项.T11=C2100·310·(-2)10x10y10=C2100·610x10y10. (2)设系数绝对值最大的项是第 r+1 项,
于是 C2������0 ·320-������ ·2������ ≥ C2������0+1 ·319-������ ·2������+1 , C2������0 ·320-������ ·2������ ≥ C2������0-1 ·321-������ ·2������-1 ,
探究一
探究二
探究三 思维辨析
反思感悟 1.二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值 都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b 等于多少时,应视具体情况而定,一般取“1,-1或0”,有时也取其他值.
2.一般地,若 f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 f(x)的展开式中各项系
前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前面 的数中分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192 被 100 除所得余数 为 81.
方法
二:9192=(90+1)92=C902·9092+C912·9091+…+C9920·902+C9921·90+C9922. 前 91 项均能被 100 整除,剩下两项和为 92×90+1=8 281,显然 8
1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值
为
.
解析:令x=2,得到a0+a1+a2+…+a9=(4+m)9,令x=0,得到a0-a1+a2-
a3+…-a9=(m+2)9, 所以有(4+m)9(m+2)9=39,
即m2+6m+5=0,解得m=-1或m=-5.
答案:-1或-5
探究一
探究二
探究三 思维辨析
解设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次项的系数和为 A,偶次 项的系数和为 B.
则 A=a1+a3+a5+…,B=a0+a2+a4+…, 由已知可得 B-A=38. 令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=(-3)n,
即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,
探究一
探究二
探究三 思维辨析
1
变式训练 2 求证:1+3+32+…+33������- 能被 26 整除(n 为大于 1 的
偶数). 证明 1+3+32+…+33 ������ -1 = 1-33������ =
1-3
12(33n-1)=12(27n-1)=12[(26+1)n-1], 而
(26+1)n-1=C���0��� ·26n+C���1��� ·26n-1+…+C������������ -1·26+C������������ ·260-1=C���0��� ·26n+C���1��� ·26n-1
5
的二项式通项,确定含 x3 项对应的 r 值,代入
������
通项求得系数,从而建立关于 a 的方程求解.
二项式通项为������������
+1
=
C5������
·x5-r·
������ ������
������
= C5������·ar·x5-2r.
含 x3 的项对应的是 5-2r=3,解得 r=1,
A.1或-3 B.-1或3
C.1 D.-3 解析令x=0,得到a0+a1+a2+…+a9=(2+m)9,令x=-2,得到a0-a1+a2a3+…-a9=m9,所以有(2+m)9·m9=39,即m2+2m=3,解得m=1或-3. 答案A
探究一
探究二
探究三 思维辨析
互 动探究 本例变为:若(x+2+m)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-
+…+C������������ -1·26, 因为 n 为大于 1 的偶数, 所以12[(26+1)n-1]能被 26 整除. 所以 1+3+32+…+33 ������ -1能被 26 整除.
探究一
探究二
探究三 思维辨析
探究三 二项式系数或各项系数和
【例3】若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且 (a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为( )
������������ ������������
≥ ≥
������������-1 , 由此解 ������������+1 ,
出 r 即可.
探究一
探究二
探究三 思维辨析
2
变式训练 1(1)求(������ 3+3x2)5 的展开式中二项式系数最大的项;
2
(2)求(������3+3x2)5 的展开式中系数最大的项.
解得72≤r≤92.
∵r∈{0,1,2,3,4,5},∴r=4,
2
26
∴展开式中第 5 项系数最大,T5=C54 ������3(3x2)4=405������ 3 .
探究一
探究二
探究三 思维辨析
探究二 整除问题
【例2】 (1)用二项式定理证明1110-1能被100整除; (2)求9192被100除所得的余数. 分析利用二项式定理证明整除问题关键是判断所证式子与除数 之间的联系,要掌握好对式子的拆分,如本例的第(1)小题,可以利用 1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(100-9)92 的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.
所以只需C22 001166×(-1)2 016+a 能被 13 整除,即 a+1 能被 13 整除,又
0≤a<13,所以 a=12.
答案 D
【做一做 2】
������ + ������
������
5
(x∈R)展开式中 x3 的系数为 10,则实
数 a 等于
.
解析写出
������ + ������
习题课——二项式定理的应用
学 习 目 标思 维 脉 络
1.了解二项式系 数的性质,学会求 二项展开式系数 最值问题. 2.掌握“赋值法” 并会灵活应用. 3.会用二项式定 理解决整除问题.
二项展开式的应用
1.利用通项公式 C������������ an-rbr(0≤r≤n,r∈N,n∈N+) 求指定项、特
探究一
探究二
探究三 思维辨析
解(1)证明:∵1110-1=(10+1)10-1
=(1010+C110·109+…+C190·10+1)-1 =1010+C110·109+C120·108+…+102 =100×(108+C110·107+C120·106� 整除.
≥ ≥
C7������+1 2������+1 C7������-1 2������-1,
,
得
133≤k≤136,∴k=5,
∴系数最大项为C75(2x)5=672x5.
答案 672x5
探究一
探究二
探究三 思维辨析
探究一 二项式系数最大项
【例1】 在(3x-2y)20中,求: (1)二项式系数最大的项; (2)系数绝对值最大的项; (3)系数最大的项.
281 除以 100 所得余数为 81.
探究一
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探究三 思维辨析
反思感悟 1.整除性问题或求余数问题的处理方法 (1)解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式. (2)用二项式定理处理这类问题,通常把被除数的底数写成除数 (或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理 展开,只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了. (3)要注意余数的范围,a=c·r+b这式子中b为余数,b∈[0,r),r是除 数,利用二项式定理展开式变形后,若剩余部分是负数要注意转换. 2.利用二项式证明多项式的整除问题 关键是将被除式变形为二项式的形式,使其展开后每一项均含有 除式的因式.若f(x),g(x),h(x),r(x)均为多项式,则 (1)f(x)=g(x)·h(x)⇔f(x)被g(x)整除. (2)f(x)=g(x)·h(x)+r(x)⇒r(x)为g(x)除f(x)后得的余式.